DÙNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN VÀ PHƯƠNG PHÁP VIRTUAL CRACK CLOSURE TECHNIQUE (VCCT) THÔNG QUA PHẦN MỀM ANSYS ĐỂ TÍNH TOÁN KHẢ NĂNG PHÁ HỦY CỦA MỘT KẾT CẤU HAI VẬT LIỆU

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VÂN TẢI
KHOA CƠ KHÍ
BỘ MÔN KĨ THUẬT MÁY

ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP
ĐỂ TÀI DÙNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN VÀ PHƯƠNG
PHÁP VIRTUAL CRACK CLOSURE TECHNIQUE (VCCT) THÔNG QUA
PHẦN MỀM ANSYS ĐỂ TÍNH TOÁN KHẢ NĂNG PHÁ HỦY CỦA MỘT
KẾT CẤU HAI VẬT LIỆU

Giáo viên hướng dẫn : Th.s Trần Thanh Hải
Sinh viên thực hiện : Phạm Xuân Hiếu
Lớp : Cơ điện tử K46
HÀ NỘI - 2010
MỤC LỤC
ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP
Đặt vấn đề
Sự tiến bộ của khoa học, kỹ thuật đòi hỏi người kỹ sư thực hiện những đề án
ngày càng phức tạp, đắt tiền và đòi hỏi độ chính xác, an toàn cao.
Phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) là một phương pháp rất tổng quát và hữu
hiệu cho lời giải số nhiều lớp bài toán kỹ thuật khác nhau. Từ việc phân tích trạng
thái ứng suất, biến dạng trong các kết cấu cơ khí, các chi tiết trong ô tô, máy bay,
tàu thủy, khung nhà cao tầng, dầm cầu v.v.., những bài toán của lý thuyết trường
như: lý thuyết truyền nhiệt, cơ học chất lỏng, thủy đàn hồi, khí đàn hồi, điện từ
trường v.v.. Với sự giúp đỡ của nghành Công nghệ thông tin và hệ thống CAD,
nhiều kết cấu phức tạp cũng đã được tính toán và thiết kế chi tiết một cách dễ
dàng.
Trên thế giới có nhiều phần mềm PTHH nổi tiếng như: NASTRAN, ANSYS,
MODULLEF, SAP 2000, CASTEM 2000, SAMCEF v.v..
Phần mềm ANSYS là một trong nhiều chương trình phần mềm công nghiệp
sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn (FEM - Finite Element Method) để phân

tích các bài toán vật lý cơ học, chuyển các phương trình vi phân, phương trình
đạo hàm riêng từ dạng giải tích số, với việc sử dụng phương pháp rời rạc hóa về
dạng gần đúng để giải.
Đề tài : “Dùng phần tử hữu hạn (FEM) và phương pháp Virtual Crack Closure
Technique (VCCT) thông qua phần mềm Ansys để tính toán khả năng phá huỷ của
một kết cấu hai vật liệu (bi-material structure)” được lựa chọn để đáp ứng mục
đích kiểm nghiệm, xác định năng tỷ lệ lượng giải phóng (hay độ cứng chống phá
hủy) của kết cấu khi vết nứt hình thành, từ đó so sánh với các cấu trúc trong thực
tế nhằm đưa ra phương pháp sử dụng cấu trúc vật liệu một cách phù hợp nhất.
Sau một quá trình tìm hiểu, nghiên cứu với nỗ lực của bản thân cùng với sự
hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của thầy giáo Th.s Trần Thanh Hải_ BM KTM đề
tài đã được hoàn thành. Tuy vậy, do thời gian và vốn kiến thức còn hạn chế nên
đề tài còn nhiều thiếu sót. Rất mong nhận được sự chỉ bảo và góp ý sâu sắc của
các Thầy, Cô và các bạn để đề tài được hoàn thiện hơn.
Hà nội, ngày 30 tháng 4 năm 2010
GVHD_THS.TRẦN THANH HẢI
Trang 2
ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP
Sinh viên thực hiện
Phạm Xuân Hiếu
Lớp cơ điện tử K46 _ ĐHGTVT
Nội dung đề tài
Đề tài được chia thành các chương sau:
Chương 1: Tìm hiểu cơ học phá hủy (Fracture Mechanics)
Xác định nguyên lý cơ bản của việc dùng Cơ học phá hủy (Fracture Mechanics)
trong việc đánh giá độ bền phá hủy của kết.
Chương 2: Nghiên cứu phương pháp PTHH
Trong chương này sẽ tìm hiểu khái niệm, nội dung và những ứng dụng của
phương pháp phần tử hữu hạn (PPPTHH) trong việc giải các bài toán cụ thể.
Đồng thời sẽ giới thiệu các một số phần tử cơ bản thường được sử dụng trong

phương pháp phần tử hữu hạn (PPPTHH).
Chương 3: Giới thiệu về phương pháp Virtual Crack Closure Technique (VCCT),
một phương pháp PTHH dùng để xác định tỷ lệ năng lượng giải phóng (hay độ
cứng chống phá hủy) khi có một vết nứt hình thành trong kết cấu.
GVHD_THS.TRẦN THANH HẢI
Trang 3
ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP
Chương 4: Tìm hiểu phần mềm Ansys
Nội dung của chương này đi sâu tìm hiểu về phần mềm Ansys, những ứng dụng
của phần mềm trong các lĩnh vực công nghiệp. Thực hiện phân tích, tính toán các
cấu trúc, cấu kiện, các chi tiết máy bằng phần mềm Ansys.
Chương 5: Nghiên cứu và triển khai phương pháp VCCT trên Ansys để tính độ
bền phá hủy của kết cấu.
CHƯƠNG I
CƠ HỌC PHÁ HỦY
I. Giới thiệu về cơ học phá hủy (Fracture Mechanics)
Cơ học phá hủy (Fracture Mechanics) là môn khoa học chuyên nghiên cứu về
độ bền tuổi thọ của vật liệu, chi tiết máy hoặc cấu kiện khi có các vết nứt. Cho
phép định lượng mối quan hệ giữa tính chất vật liệu, ứng suất, sự hiện diện của
các vết nứt có thể gây phá hủy kết cấu và cơ chế lan truyền các vết nứt. Nó sử
dụng các phương pháp phân tích cơ học vật rắn để tính toán động lực trên một vết
nứt và những thử nghiệm của cơ học vật rắn để mô tả đặc điểm chống lại phá hủy
kết cấu (theo [1]).
Hầu hết các thành phần kỹ thuật và các cấu trúc chứa khuyết tật hình học.
Kích thước và hình dạng của chúng là quan trọng bởi vì chúng xác định độ bền
của cấu trúc vật liệu. Thông thường, độ bền của các thành phần hoặc cấu trúc có
chứa các khuyết tật bị ảnh hưởng bởi hai yếu tố ứng suất và độ bền uốn. Tuy
nhiên, cách tiếp cận này thường sẽ cho kết quả không chính xác nếu khuyết tật có
đặc trưng hình học lớn. Để giải thích điểm này, chúng ta hãy xem xét các trường
hợp sau (hình 1):

GVHD_THS.TRẦN THANH HẢI
Trang 4
ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP
Hình 1. Các mẫu thử có và không có vết nứt
Tất cả các mẫu có cùng độ dày. Các lực cần thiết để phá vỡ bốn mẫu được sắp
xếp theo thứ tự sau: F4 < F3 < F1 < F2
Rõ ràng, các kích thước của các khuyết tật ở các mẫu C và D ảnh hưởng lớn đến
độ bền của mẫu, làm giảm độ bền của mẫu.
So với phương pháp thông thường có tên là tiếp cận sức bền vật liệu có hai
yếu tố ảnh hưởng, phương pháp cơ học phá hủy (Fracture mechanics) bị ảnh
hưởng bởi ba yếu tố áp dụng ứng suất, kích thước phá hủy và độ bền phá hủy.
Trong phương pháp tiếp cận này, độ bền phá hủy thay thế độ bền uốn phù hợp
tính chất vật liệu. Fracture Mechanics xác định giới hạn của ba yếu tố trên. Hình
3 cho thấy sự khác biệt giữa cách tiếp cận Fracture Mechanics với cách tiếp cận
sức bền vật liệu.
Hình 2. So sánh phương pháp Fracture Mechanics với phương pháp tiếp cận Sức
bền vật liệu
Đối với vật liệu không thay đổi theo thời gian, Fracture Mechanics có thể
được chia thành Linear Elastic Fracture Mechanics (LEFM) và Elasto Plastic
Fracture Mechanics (EPFM). LEFM cho kết quả vượt trội cho các vật liệu giòn
GVHD_THS.TRẦN THANH HẢI
Trang 5
ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP
như thép cường độ đàn hồi cao, thủy tinh, đá, bê tông, vv... Tuy nhiên, đối với vật
liệu dễ uốn như thép carbon thấp, thép không gỉ, hợp kim nhôm, polyme, vv, tính
dẻo luôn xảy ra trước phá hủy. Tuy nhiên, khi tải trọng nhỏ, LEFM vẫn cho kết
quả gần đúng.
Sơ đồ hình cây của Fracture Mechanical có thể được nhìn thấy trong hình 3:
Hình 3. Mô hình cấu trúc hình cây đơn giản của Fracture Mechanics
II. Biểu đồ ứng suất – chuyển vị

Theo thí nghiệm đối với vật liệu dẻo (Thép CT 38) ta có được đồ thị chuyển
vị – ứng suất như hình 4 (theo [2]):
GVHD_THS.TRẦN THANH HẢI
Trang 6
ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP
Hình 4. Đồ thị chuyển vị - ứng suất
Trong quá trình từ lúc bắt đầu kéo đến khi bị đứt, mẫu thử đã qua các điểm
đặc biệt. Dưới đây ta sẽ phân tích quá trình đó.
Giai đoạn tỉ lệ: Giai đoạn này thể hiện bằng đoạn OA. Trong giai đoạn này
vật liệu tuân theo định luật Hooke, ứng suất lớn nhất gọi là giới hạn tỉ lệ
σ
tl
.
Độ dốc của đoạn OA bằng giá trị của modul đàn hồi của vật liệu. Trong giai đoạn
này, vật liệu có tính đàn hồi, tức là sau khi bỏ hết tải trọng – lực kéo, mẫu thử
hoàn toàn trở lại trạng thái chiều dài ban đầu.
Tuy nhiên trên phía trên giới hạn đàn hồi một ít, người ta thấy vật liệu vẫn
còn đàn hồi A’.Ứng suất lớn nhất mà vật liệu còn đàn hồi được gọi là ứng suất
đàn hồi
σ
dh
.
Khi kéo mẫu đến điểm C, đồ thị có dạng nằm ngang CC’ gọi là mặt chảy. Trong
giai đoạn này, không tăng lực kéo, mẫu vẫn bị giãn. Ứng suất tương ứng với điểm
C gọi là giới hạn chảy
σ
ch
Hết mặt chảy độ bền của kim loại được khôi phục. Đó là giai đoạn tái bền
tương ứng với đoạn C’D. Cuối giai đoạn này, trên mẫu thử đã hình thành một chỗ
thót. Chính chỗ thót này đã làm cho độ giãn của thanh rất lớn. Ứng suất cao nhất

(điểm D) gọi là giới hạn bền
σ
b
Sau điểm D, đồ thị tụt xuống đến một điểm nhất định thì mấu đứt. Sở dĩ có đoạn
tụt xuống vì lúc đó chỗ thót có diện tích tương đối bé nên lực kéo không cần lớn
như trước.
Từ sau giới hạn đàn hồi, vật liệu bao giờ cũng có biến dạng dư hay biến dạng
dẻo. Thí dụ tại điểm M ta bỏ lực, đồ thị giảm tải trọng đi theo đường MP có độ
dốc bằng độ dốc của giai đoạn đàn hồi OA. Khi hết tải trọng, thanh còn biến dạng
dẻo thể hiện bằng đoạn OP, còn đoạn PQ là biến dạng đàn hồi.
GVHD_THS.TRẦN THANH HẢI
Trang 7
ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP
III. Fracture modes (các chế độ phá hủy)
Trong kỹ thuật ta thường gặp ba chế độ phá hủy cơ bản (theo [1]).
Hình 5. Ba chế độ phá hủy cơ bản
− Chế độ I các bề mặt phá hủy bị tách theo hướng vuông góc với mặt đầu của vết
nứt.
− Chế độ II các bề mặt trượt lên nhau trong một hướng vuông góc với mặt đầu của
vết nứt.
− Chế độ III các bề mặt bị tách theo hướng song song với mặt đầu vết nứt.
Ngoài ra còn có các dạng phá hủy khác là các biến thể của 3 chế độ trên. Trong
đó chế độ I là loại phổ biến nhất thường gặp trong hư hỏng kỹ thuật.
IV. Năng lượng cân bằng trong vết nứt
Sự khác biệt giữa một khối nứt và một khối không nứt là trên bề mặt có các
vết nứt. Khối nứt tạo ra các bề mặt mới (vết nứt) và giải phóng ra năng lượng.
Sau đó vết nứt có phát triển ra được hay không còn phụ thuộc vào việc nó có
chứa đủ năng lượng để tạo thêm các bề mặt trong khi vẫn duy trì sự cân bằng của
nó.
Theo định luật bảo toàn năng lượng: Công thực hiện trong một đơn vị thời

gian do tác dụng của tải trọng (
.
W
) phải bằng tổng tỷ lệ của biến đổi năng lượng
đàn hồi nội bộ (internal elastic energy) (
́
U
E
), năng lượng biến dạng dẻo (
GVHD_THS.TRẦN THANH HẢI
Trang 8
ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP
́
U
P
), động năng (kinetic energy) (
́
K
) của vết nứt, và năng lượng cần thiết
để tăng vết nứt cho một đơn vị thời gian (
́
Γ
). Nói cách khác (theo [1]).
. . . . .
E P
W U U K
= + + + Γ
(*)
Nếu vết nứt xảy ra chậm, động năng K là không đáng kể (
.

0K
=
). Hơn nữa, vì
tất cả thay đổi theo thời gian được gây ra bởi những thay đổi kích thước các vết
nứt, chúng ta có:
A
A
t A t A
∂ ∂ ∂ ∂
= =
∂ ∂ ∂ ∂
&
với A là diện tích vết nứt. Do vậy phương trình (*) có thể được viết lại như sau:
P
U
A A A
∂∂Π ∂Γ
− = +
∂ ∂ ∂
(**)
E
U W
Π = −
là thế năng của hệ
Phương trình (**) cho thấy việc giảm thế năng bằng với năng lượng tiêu tan
trong kết cấu dẻo và tạo ra bề mặt.
V. Lý thuyết Griffith
Đối với một vật liệu giòn lý tưởng (vật liệu tuyến tính đàn hồi), năng lượng
tiêu tan trong biến dạng dẻo là không đáng kể và có thể được bỏ qua (
́

U
P
=0).
Do vậy, năng lượng để mở rộng một đơn vị của bề mặt vết nứt G có thể được xác
định (theo [1]):
G
A A
∂Π ∂Γ
= − =
∂ ∂
(***)
Phương trình trạng thái cân bằng ở trên có nghĩa là thế năng trong vật thể cần
phải thắng năng lượng bề mặt của vật liệu (năng lượng cần thiết để vết nứt lớn
thêm ra). G còn được gọi là tỷ lệ giải phóng năng lượng đàn hồi hay độ cứng
chống phá hủy.
GVHD_THS.TRẦN THANH HẢI
Trang 9
ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP
Theo lý thuyết đàn hồi tuyến tính, một vật thể không thay đổi dưới tác dụng
của tải trọng (theo định lý Clapeyron):
2
E
W U
=
và kết hợp với (*) (
́
K
=0), do đó (***) phương trình có thể được viết lại như
sau:
E

U
G
A
∂
=
∂
Ý nghĩa vật lý đầy đủ của tỷ lệ giải phóng năng lương G là nó mô tả năng
lượng trên một đơn vị diện tích sẽ được giải phóng nếu vết nứt phát triển. Cần chỉ
ra rằng phương trình chỉ đúng khi vật thể nứt là đàn hồi tuyến tính. Nếu vật thể
đàn hồi phi tuyến hoặc có tính dẻo đáng kể, phương trình không còn giá trị và khi
đó phương trình (***) được sử dụng phù hợp hơn.
CHƯƠNG II
PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
I. Khái niệm chung và nội dung của phương pháp
GVHD_THS.TRẦN THANH HẢI
Trang 10
ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP
1. Khái niệm chung
Phương pháp phần tử hữu hạn (PP PTHH) là một phương pháp số, đặc biệt có
hiệu quả để tìm dạng gần đúng của một hàm chưa biết trong miền xác định V của
nó. Tuy nhiên PP PTHH không tìm dạng xấp xỉ của hàm cần tìm trên toàn miền
xác định V mà chỉ trong từng miền con
j
V
(phần tử) thuộc miền xác định V. Do
đó phương pháp này rất thích hợp với hàng loạt bài toán vật lý và kỹ thuật trong
đó có hàm cần tìm được xác định trên những miền phức tạp gồm nhiều vùng nhỏ
có đặc tính hình học, vật lý khác nhau, chịu những điều kiện biên khác nhau.
Phương pháp ra đời từ trực quan phân tích kết cấu, rồi được phát biểu một cách
chặt chẽ và tổng quát như một phương pháp biến phân.

Cơ sở của phương pháp này là làm rời rạc hóa các miền liên tục phức tạp của
bài toán. Các miền liên tục được chia thành nhiều miền con
j
V
(phần tử). Các
miền này được liên kết với nhau bởi các điểm nút. Trên miền con này, dạng biến
phân tương đương với bài toán được giải xấp xỉ dựa trên các hàm xấp xỉ trên
từng phần tử, thoả mãn điều kiện trên biên cùng với sự cân bằng và liên tục giữa
các phần tử.
Các hàm xấp xỉ này được biểu diễn qua các giá trị của hàm (hoặc giá trị của đạo
hàm) tại các điểm nút trên phần tử. Các giá trị này được gọi là các bậc tự do của
phần tử và được xem là ẩn số cần tìm của bài toán.
Trong việc giải phương trình vi phân thường, thách thức đầu tiên là tạo ra một
phương trình xấp xỉ với phương trình cần được nghiên cứu. Có rất nhiều cách để
làm việc này, tất cả đều có những ưu điểm và nhược điểm. PP PTHH là sự lựa
chọn tốt cho việc giải phương trình vi phân từng phần trên những miền phức tạp
hoặc khi những yêu cầu về độ chính xác thay đổi trong toàn miền.
2. Nội dung của phương pháp
GVHD_THS.TRẦN THANH HẢI
Trang 11
ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP
Phương pháp phần tử hữu hạn có nội dung như sau: Để giải một bài toán biên
trong miền V, ta chia thành một số hữu hạn các miền con
j
V
(j = 1,..., n) sao cho
hai miền con bất kì không giao nhau và chỉ có thể chung nhau đỉnh hoặc các
cạnh. Mỗi miền con
j
V

được gọi là một phần tử hữu hạn.
Người ta tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán biên ban đầu trong một không gian
hữu hạn chiều các hàm số thoả mãn điều kiện khả vi nhất định trên toàn miền V.
Có thể chọn cơ sở của không gian này gồm các hàm số ψ
1
(x),..., ψ
n
(x) có giá trị
trong một số hữu hạn phần tử
j
V
ở gần nhau. Nghiệm xấp xỉ của bài toán ban đầu
được tìm dưới dạng:
c
1
ψ
1
(x) + ... + c
n
ψ
n
(x)
trong đó các c
k
là các số cần tìm.
Thông thường người ta đưa việc tìm các c
k
về việc giải một phương trình đại số
với ma trận thưa (chỉ có các phần tử trên đường chéo chính và trên một số đường
song song nằm sát với đường chéo chính là khác không) nên dễ giải. Có thể lấy

cạnh của các phần tử hữu hạn là đường thẳng hoặc đường cong để xấp xỉ các
miền có dạng hình học phức tạp. Phương pháp phần tử hữu hạn có thể dùng để
giải gần đúng các bài toán biên tuyến tính, phi tuyến và các bất phương trình.
3. Ứng dụng phương pháp phần tử hữu hạn
Với sự hỗ trợ của máy tính điện tử, phương pháp phần tử hữu hạn đang được
sử dụng rộng rãi và có hiệu quả trong nhiều lĩnh vực như lí thuyết đàn hồi và dẻo,
cơ học chất lỏng, cơ học vật rắn, cơ học thiên thể, khí tượng thuỷ văn, v.v..
Phương pháp phần tử hữu hạn thường được dùng trong các bài toán Cơ học (cơ
học kết cấu, cơ học môi trường liên tục) để xác định trường ứng suất và biến
dạng của vật thể.
Ngoài ra, phương pháp phần tử hữu hạn cũng được dùng trong vật lý học để
giải các phương trình sóng, như trong vật lý plasma, các bài toán về truyền nhiệt,
động lực học chất lỏng, trường điện từ.
4. Một số khái niệm sử dụng trong bài toán phần tử hữu hạn [3]
a. Hàm xấp xỉ
GVHD_THS.TRẦN THANH HẢI
Trang 12
ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP
Một trong những tư tưởng cơ bản của PPPTHH là xấp xỉ hóa đại lượng cần
tìm trong mỗi miền con
e
V
(phần tử). Điều này cho phép ta khả năng thay thế việc
tìm nghiệm vốn phức tạp trên toàn miền V bằng việc tìm nghiệm trong phạm vi
mỗi phần tử ở dạng hàm xấp xỉ đơn giản. Và vì vậy bước quan trọng đầu tiên cần
nói đến là việc chọn hàm xấp xỉ đơn giản, thường chọn ở dạng đa thức vì những
lý do sau:
− Đa thức khi được xem như một tổ hợp tuyến tính của các đơn thức thì tập hợp các
đơn thức thỏa mãn yêu cầu độc lập tuyến tính.
− Hàm xấp xỉ dạng đa thức thường dễ tính toán, dễ thiết lập công thức khi xây

dựng các phương trình của PPPTHH và tính toán bằng máy tính. Đặc biệt vì dễ
đạo hàm, tích phân.
− Có khả năng tăng độ chính xác bằng cách tăng số bậc của đa thức xấp xỉ (về mặt
lý thuyết thì đa thức bậc vô cùng sẽ cho nghiệm chính xác). Tuy nhiên trong thực
tế ta cũng chỉ lấy các đa thức xấp xỉ bậc nhất mà thôi.
b. Phép nội suy
Tuy nhiên, trong phương pháp PTHH các hệ số của hàm xấp xỉ dạng đa thức
được biểu diễn qua chính các giá trị của nó (hoặc cả giá trị các đạo hàm) tại một
số điểm nút được định trước trên phần tử (theo [3]).
Nói cách khác là hàm xấp xỉ được nội suy theo các giá trị ( hoặc cả các đạo hàm)
của nó tại các nút phần tử. Kết quả là, trong phạm vi mỗi phần tử đại lượng cần
tìm là hàm bất kì sẽ được xấp xỉ hóa bằng một đa thức nội suy qua các giá trị
(hoặc cả các đạo hàm) của nó tại điểm nút của phần tử.
GVHD_THS.TRẦN THANH HẢI
Trang 13
ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP
Hình 6. Dạng nội suy của các hàm xấp xỉ theo phương pháp Lagrange
Trong các ví dụ trên các hàm bất kì được biểu diễn xấp xỉ bằng các đa thức bậc 0,
bậc 1, bậc 2 theo các giá trị (chỉ theo giá trị) của hàm tại điểm định trước (điểm
nút). Phép xấp xỉ này được gọi là phép nội suy Lagrange.
Nội suy Hecmit: Khác với phép nội suy Lagrange, nội suy Hecmit là phép xấp
xỉ theo giá trị và cả đạo hàm từ bậc 1 đến bậc nào đó tại các điểm cơ sở
Hình 7. Hàm nội suy Hecmit
Bằng việc xấp xỉ hóa đại lượng cần tìm trong phạm vi mỗi phần tử thì trên toàn
miền V khảo sát, đại lượng cần tìm cũng được biểu diễn gần đúng theo các giá trị
(và có thể cả đạo hàm đến cấp nào đó) của chính nó tại các điểm nút.
Và rõ ràng nếu lưới phần tử càng mịn thì kết quả nhận được càng tiến đến sự mô
tả chính xác của nghiệm cần tìm.
Ví dụ : Với phép nội suy Lagrange
Hình 8. Hàm nội suy Lagrange khi lưới phần tử mịn

GVHD_THS.TRẦN THANH HẢI
Trang 14
ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP
c. Dạng đa thức xấp xỉ
Như đã nói ở trên, hàm xấp xỉ được chọn dưới dạng đa thức đơn giản. Có thể
như sau. [3] :
Bài toán 1 – D (một chiều)
:
( )
u x
=
1
a
+
2
a
x
(xấp xỉ tuyến tính)

( )
u x
=
1
a
+
2
a
x
+
2

3
a x
(xấp xỉ bậc hai)

( )
u x
=
1
a
+
2
a
x
+
2
3
a x
+
3
4
a x
(xấp xỉ bậc ba)
Hay nếu lấy
( )
u x
là một hàm xấp xỉ bậc n thì:
( )
u x
=
1

1
1
n
i
i
a x
+
−
∑
Hay:
( )
u x
= [1
x

2
x
...
n
x
]
1
2
3
1
...
n
a
a
a

a
+
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Hay:
( )
u x
=
( )
P x
 
 

{ }
a
Trong đó :
( )
P x
 
 
gọi là ma trận các đơn thức.

{ }

a
gọi là véc tơ các tọa độ tổng quát hay véc tơ các tham số.
Bài toán 2 – D (hai chiều)
ví dụ :
( )
,u x y
=
2 2
1 2 3 4 5 6
a a x a y a x a y a xy
+ + + + +
= [1
x

y
2
x
2
y
xy
]
1
2
6
...
a
a
a
 
 

 
 
 
 
 
GVHD_THS.TRẦN THANH HẢI
Trang 15
ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP
Hay
( ) ( ) { }
, ,u x y P x y a
 
=
 
d. Chọn bậc của đa thức xấp xỉ hay hàm xấp xỉ
Khi chọn bậc của đa thức xấp xỉ cần xét tới các yêu cầu sau (theo [3]):
• Các đa thức xấp xỉ phải thỏa mãn điều kiện hội tụ:
Đây là một yêu cầu quan trọng vì PP PTHH là một phương pháp số và do đó phải
đảm bảo được rằng khi kích thước phần tử giảm đi thì kết quả sẽ hội tụ đến
nghiệm chính xác. Muốn vậy đa thức xấp xỉ
e
u
phải thỏa mãn 3 điều kiện sau:
− Liên tục trong phần tử (
e
V
). Điều này hiển nhiên thỏa mãn khi xấp xỉ là đa thức.
− Bảo đảm tồn tại trong phần tử trạng thái đơn vị (hằng số) và đạo hàm riêng của
nó đến bậc cao nhất mà phiếm hàm
( )

I u
đòi hỏi.
Vì như ta đã biết, PPPTHH có thể được xem như một phương pháp xấp xỉ khi
cực tiểu hóa một hàm dạng:
( )
I u
=
, ,, ( )
( , , , ,..., )
r
V
F x u u u u dx
∫
− Trên biên phần tử, u và các đạo hàm của nó đến cấp (r-1) là liên tục.
Ví dụ: Khi u là chuyển vị thì phải đảm bảo khả năng phần tử dịch chuyển cứng
và muốn bảo đảm trạng thái đơn vị của đại lượng khảo sát thì chỉ cần không được
bỏ qua số hạng tự do
1
a
trong đa thức xấp xỉ, hay không được bỏ qua thành phần
1 trong
( )
, ,P x y z
 
 
.
Với cơ học vật rắn biến dạng và kết cấu, các yêu cầu này có thể được hiểu như
yêu cầu liên tục của biến dạng, nói cách khác là phần tử biến dạng không có sự
đứt, gãy. Như với dầm, tấm, vở đòi hỏi cả chuyển vị và đạo hàm cấp 1 của
chuyển vị là liên tục. Nếu đa thức xấp xỉ thảo mãn tất cả 3 điều kiện này, thì

nghiệm xấp xỉ sẽ hội tụ tới nghiệm chính xác khi sử dụng lưới phần tử mịn hơn.
Tuy nhiên để thấy được điều này khi mịn hóa lưới phần tử cũng cần tuân theo các
qui tắc sau:
− Lưới sau được mịn hơn trên cơ sở lưới trước, các điểm nút lưới trước cũng có
mặt trong tập hợp các nút lưới sau.
GVHD_THS.TRẦN THANH HẢI
Trang 16
ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP
− Các phần tử có khích thước nhỏ hơn trước nhưng dạng hình học của phần tử vẫn
phải như dạng cũ.
− Dạng đa thức xấp xỉ là không đổi trong quá trình mịn hóa lưới phần tử.

Hình 9. Quy luật mịn hóa lưới phần tử
• Các đa thức xấp xỉ được chọn sao cho không làm mất tính đẳng hướng hình
học.
• Các số phần tử của {a} tức số tham số của đa thức xấp xỉ phải bằng số bậc tự do
của phần tử
{ }
e
q
. Yêu cầu này cho khả năng nội suy đa thức xấp xỉ theo giá trị
đại lượng cần tìm tại các điểm nút.
e. Ghép nối phần tử - ma trận cứng và véc tơ tải tổng thể.
Giả sử vật thể (miền V) được chia thành
e
N
phần tử (miền con
e
V
) bởi R điểm

nút. Nếu mỗi nút có s bậc tự do thì số bậc tự do của cả hệ là n = R.s
Gọi
{ }
q
là véc tơ chuyển vị nút tổng thể (hay véc tơ chuyển vị nút kết cấu).
Nó sẽ là tập hợp của tất cả các bậc tự do của tất cả các nút của hệ và gồm n
thành phần.
Giả sử mỗi phần tử có r nút, thì số bậc tự do của r nút của phần tử gồm
e
n r s
= ×
. Và véc tơ chuyển vị nút phần tử
{ }
e
q
gồm tất cả các bậc tự do của r nút
của phần tử tức là gồm
e
n
thành phần.
GVHD_THS.TRẦN THANH HẢI
Trang 17
ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP
Rõ ràng theo mô hình tương thích, các thành phần này của
{ }
e
q
là nằm trong
số các thành phần của
{ }

q
. Và do đó sự liên hệ giữa 2 véc tơ này có thể được
biểu diễn như sau:
{ }
[ ]
{ }
( ) ( ) ( )
.
1 1
e
e
e e
q L q
n n n n
=
× × ×
Trong đó
[ ]
e
L
là ma trận định vị của phần tử có kích thước
( )
e
n n
×
. Ma trận này
cho thấy hình ảnh sắp xếp các thành phần của véc tơ
{ }
e
q

trong
{ }
q
.
Ví dụ: Dầm với bốn điểm nút như hình 10 có véc tơ chuyển vị nút tổng
thể
{ }
q
là:
{ }
{ }
1 2 3 8
, , ,...,
T
q q q q q
=
Hình 10. Các bậc tự do của dầm 4 nút
{ }
[ ]
{ }
1
1
2
2
1 1
3
4
8
1 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0
...
0 0 0 1 0 0 0 0
q
q
qq
q L q
q
q
q
 
 
 
 
 
 
   
 
= = =
   
 
   
 
   
 
 
 
{ }
[ ]
{ }

1
3
4 2
2 2
4
5
8
0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0
...
0 0 0 0 0 1 0 0
q
q
q q
q L q
q
q
q
 
 
 
 
 
 
   
 
= = =
   
 

   
 
   
 
 
 
{ }
[ ]
{ }
1
5
6 2
3 3
7
8
8
0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0
...
0 0 0 0 0 0 0 1
q
q
q q
q L q
q
q
q
 
 

 
 
 
 
   
 
= = =
   
 
   
 
   
 
 
 

f. Xây dựng ma trận cứng và véc tơ tải tổng thể bằng ma trận chỉ số [b]
GVHD_THS.TRẦN THANH HẢI
Trang 18
ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP
Trong phương pháp phần tử hữu hạn, ta dùng 2 hệ thống chỉ số để đánh số
cho các bậc tự do của các nút. Đó là:
− Hệ thống chỉ số tổng thể: Có được bằng cách đánh số bậc tự do của toan kết cấu.
Hệ thống chỉ số tổng thể để chỉ thứ tự các bậc tự do trong tập hợp tất cả các bậc
tự do của toàn hệ, tức thứ tự của các bậc tự do đang xét trong
{ }
q
(hoặc
{ }
q

′
). Hệ
thống này được đánh thứ tự từ 1, 2, 3…n =
R s
×
.
− Hệ thống chỉ số phần tử: để chỉ thứ tự các bậc tự do trong phần tử hay thứ tự của
các bậc tự do trong
{ }
e
q
(hoặc
{ }
e
q
′
): Được đánh số từ 1, 2, 3,..
e
n
=
r s
×
(Trong
đó R là số nút của cả hệ; r là số nút của phần tử; s là số bậc tự do của 1 nút).
Ví dụ: Để xác định sự tương ứng của mỗi phần tử thuộc
{ }
e
q
trong
{ }

q
(hoặc
{ }
e
q
′
trong
{ }
q
′
) người ta lập ma trận chỉ số
[ ]
b
mà giá trị của mỗi thành phần
ij
b

chính là chỉ số tổng thể tương ứng bậc tự do thứ j của phần tử thứ i.
Ma trận chỉ số
[ ]
b
có số hàng bằng số phần tử của hệ, số cột bằng số bậc tự do
của một phần tử.
Ví dụ: Ở ví dụ trong ví dụ trên thì
[ ]
b
có kích thước (3x4). Và
23 32
5, 6b b
= =

Hệ thống chỉ số tổng: 1, 2, 3, …, 8 Hệ số chỉ số phần tử 1, 2, 3, 4
Hình 11. Các hệ số chỉ số của kết cấu
Chỉ số cục bộ
Phần tử
Nút i Nút j
1 2 3 4
(1) 1 2 3 4
(2) 3 4 5 6
GVHD_THS.TRẦN THANH HẢI
Trang 19
ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP
(3) 5 6 7 8
Hay
[ ]
1 2 3 4
3 4 5 6
5 6 7 8
b
 
 
=
 
 
 
Khi sử dụng ma trận chỉ số
[ ]
b

để xây dựng ma trận cứng tổng thể
K
 
 
và véc
tơ tổng thể
P
 
 
(hoặc
K
 
′
 
và
P
 
′
 
) ta chỉ cần nhớ rằng mỗi thành phần
ij
e
K
của
ma trận cứng phần tử
[ ]
e
K
sẽ phải gộp thêm vào phần tử
mn

K
của ma trận cứng
tổng thể
K
 
 
với
ei
m b
=
và
ej
n b
=
(trong đó
ei
b
,
ej
b
là các giá trị của phần tử hàng i
cột j của ma trận
[ ]
b
). Tương tự, mỗi phần tử
e
i
P
của véc tơ
{ }

e
P
sẽ được gộp thêm
vào phần tử
m
P
của
{ }
P
với m =
ei
b
.
Ví dụ:
(2)
1,3
K

21 23
( , ) 3,5b b
K K
≡

(3)
2,4
K

32 34
( , ) 6,8b b
K K

≡
5. Trình tự phân tích bài toán theo phương pháp PTHH [3]
Bước 1: Rời rạc hóa miền khảo sát
Trong bước này, miền khảo sát V được chia thành các miền con
V
e
hay
thành các phần tử có hình dạng thích hợp.
Với bài toán cụ thể thì số phần tử, hình dạng hình học của phần tử cũng như kích
thước các phần tử phải được xác định rõ. Số điểm nút mỗi phần tử không được
lấy một các tủy tiện mà tùy thuộc vào hàm xấp xỉ định chọn.
Các phần tử thường có dạng hình học đơn giản như hình dưới đây (hình 12):
GVHD_THS.TRẦN THANH HẢI
Trang 20
ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP
Hình 12. Các dạng hình học đơn giản của phần tử
Bước 2: Chọn hàm xấp xỉ thích hợp
Vì đại lượng cần tìm là chưa biết, nên ta giả thiết dạng xấp xỉ của nó sao cho
đơn giản đối với tính toán bằng máy tính nhưng phải thỏa mãn các điều kiện tiêu
chuẩn hội tụ, và thường được chọn ở dạng đa thức.
Rồi biểu diễn hàm xấp xỉ theo một tập hợp giá trị và có thể có cả các đạo hàm
của nó tại các nút phần tử
{ }
e
q
Bước 3: Xây dựng phương trình phần tử, hay thiết lập ma trận độ cứng phần tử
[ ]
K e
và véc tơ tải
{ }

P e
.
Có nhiều cách thiết lập: trực tiếp, hoặc sử dụng nguyên lý biến phân, hoặc các
phương pháp biến phân,... Kết quả nhận được có thể biểu diễn một cách hình
thức như một phương trình phần tử:
[ ]
e
K
.
{ }
e
q
=
{ }
e
P
Bước 4 : Ghép nối các phần tử trên cơ sở mô hình tương thức mà kết quả là hệ
thống phương trình:
K
 
 
.
{ }
q
=
{ }
P
Trong đó:
K
 

 
: là ma trận độ cứng tổng thể (hay ma trận hệ số toàn miền)
GVHD_THS.TRẦN THANH HẢI
Trang 21
ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP
{ }
q

: là véc tơ tập hợp các giá trị đại lượng cần tìm tại các nút (còn gọi là
véc tơ chuyển vị nút tổng thể)
{ }
P

: là véc tơ các số hạng tự do tổng thể (hay véc tơ tải tổng thể)
Rồi sử dụng các điều kiện biên của bài toán, mà kết quả nhận được là hệ phương
trình sau:

*
K
 
 
.
{ }
*
q
=
{ }
*
P
Đây chính là phương trình hệ thống hay còn gọi là phương trình để giải

Bước 5 : Giải hệ phương trình đại số
*
K
 
 
.
{ }
*
q
=
{ }
*
P
Với bài toán tuyến tính việc giải hệ phương trình
đại số là không khó khăn. Kết quả là tìm được các
chuyển vị của các nút. Nhưng với bài toán phi
tuyến thì nghiệm sẽ đạt được sau một chuỗi các
bước lặp mà sau mỗi bước ma trận độ cứng
K
 
 
thay đổi (trong bài toán phi tuyến vật lý) hay véc
tơ lực nút
{ }
P
thay đổi (trong bài toán phi tuyến
hình học)
6. Giải bài toán hệ thanh bằng phương pháp phần tử hữu hạn
Ví dụ : Giải bài toán thanh dưới đây theo PPPTHH với sơ đồ hai phần tử. Biết
chiều dài thanh là 2a. Độ cứng EF không đổi. Thanh chịu tải trọng phân bố đều

dọc trục, cường độ q = const
Các bước giải
a. Thực hiện rời rạc hóa vật thể khảo sát bởi việc định rõ các nút, các phần tử. Rồi
thực hiện đánh số nút, đánh số phần tử. Hình 13. Kết cấu
thanh
GVHD_THS.TRẦN THANH HẢI
Trang 22
ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP
Trong bài toán thanh đơn giản này, ta chia thanh thành 2 phần tử (phần tử (1) và
(2)) bởi hệ thống 3 điểm nút 1, 2, 3.
Sau đó trên sơ đồ kết cấu đã được rời rạc hóa, thiết lấp ma trận chỉ số
[ ]
b
Hay ma trận

là
[ ]
1 2
2 3
b
 
=
 
 
b. Thiết lập ma trận đó cứng phần tử
[ ]
e
K
rồi thực hiện ghép nối các phần tử để
xây dựng ma trân cứng tổng thể

K
 
 
.
Nhận xét rằng do 2 phần tử có chiều dài và độ cứng như nhau nên dễ thấy là
[ ]
1
K
=
[ ]
2
K
. Ta có
1 2 chỉ số tổng thể của phần tử (1)
[ ]
1
1 1
1
EF
K
dx
a
−
 
=
 
 

1
2

2 3 chỉ số tổng thể của phần tử (2)
[ ]
2
1 1
1
EF
K
dx
a
−
 
=
 
 

2
3
Thực hiện ghép nối các phần tử
GVHD_THS.TRẦN THANH HẢI
Trang 23
ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP
1 2 3 chỉ số tổng thể toàn kết cấu

1 1
1 1 1
1
EF
K
a
dx

−
 
 
 
= + −
 
 
 
 

1
2
3

1 1 0
2 1
1
EF
K
a
dx
−
 
 
 
= −
 
 
 
 

Thiết lập véc tở tải phần tử
{ }
e
P
rồi thực hiện ghép nối các phần tử để xây dựng
véc tơ tải tổng thể
{ }
P
. Dễ thấy trong bài toán này
{ }
1
P
=
{ }
2
P
.
chỉ số tổng thể chỉ số tổng thể

{ }
1
1
1
2
qa
P
 
=
 
 

1
2
và
{ }
2
1
1
2
qa
P
 
=
 
 

2
3
Thực hiện ghép nối, với chú ý là do tại các nút 2 và nút 3 không có tải trọng tập
trung cho trước, còn tại nút 1 có phản lực R.
Nên véc tơ tải trọng nút
{ }
n
P
là:
{ }
n
P
=
0

0
R
 
 
 
 
 
Và khi đó véc tơ tải tổng thể:
{ }
P
=
1
2
1 1 0
2
1 0
2
qa
R
R
qa
qa
qa
 
+
 
   
 
   
+ + =

     
     
   
 
 
Vậy ta có hệ phương trình
{ } { }
K q P
 
=
 
như sau :
GVHD_THS.TRẦN THANH HẢI
Trang 24
ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP
1
2
3
1 1 0
2
EF
2 1
1
2
qa
R
q
q qa
a
dx qa

q
 
+
 
 
−
 
 
 
 
 
− =
   
 
   
 
 
 
 
 
 
c. Áp đặt điều kiện biên
Rõ ràng theo sơ đồ kết cấu đã cho thì chuyển vị của nút 1 là bằng 0, hay
1
q
=0.
Vậy hệ thống phương trình để giải sẽ nhận được bằng cách xóa đi các hàng và cột
tương ứng
1
q

=0, tức là xóa hàng 1, cột 1 của hệ phương trình trên.
Cuối cùng ta có:
{ } { }
* * *
K q P
 
=
 
như sau:
1
2
2 1 2
EF
1 1 1
2
q
qa
a
q
 
−
   
 
=
   
 
−
   
 
 

d. Giải hệ phương trình này ta tìm được chuyển vị nút
2
q
và
3
q
, cụ thể là
{ }
2
2
*
3
3
4
2
q
qa
q
EFF
q
 
 
 
= =
   
 
 
 
Và như vậy tất cả các chuyển vị nút là đã biết, cụ thể :
{ }

1
2
*
2
3
0
3
2
4
q
qa
q q
EF
q
 
 
 
   
= =
   
   
 
 
 
Từ đó véc tơ chuyển vị nút
{ }
e
q
của mỗi phần tử cũng hoàn toàn xác định
Cụ thể :

{ }
2
1
1
2
0
3
2
q
qa
q
EF
q
 
 
 
= =
   
 
 
 
và
{ }
2
2
2
3
3
4
2

q
qa
q
EF
q
 
 
 
= =
   
 
 
 
Và biểu đồ chuyển vị của mỗi phần tử cũng hoàn toàn xác định như sau :
( )
[ ]
{ } ( ) ( )
1 1 1 2 2
1
. .u x N q N x q N x q
= = +
GVHD_THS.TRẦN THANH HẢI
Trang 25