GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CÂN BẰNG ĐỘNG LỰC HỌC

Luận án cao học
Chương 4
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CÂN BẰNG ĐỘNG LỰC HỌC
Phương trình cân bằng đáp ứng động học :
)(tFKUUCUM =++

(4.1 )
Với :
F(t) = F
I
(t) + F
D
(t) + F
E
(t) (4.2)
Trong đó : F
I
(t) : Lực qn tính F
I
(t) =
UM


F
D
(t) : Lực cản F
D
(t) =
UC

F

E
(t) : Lực đàn hồi , F
E
(t) =
KU
Để giải phương trình trên có nhiều phương pháp khác nhau
I – Phương pháp sai phân trung tâm :
Vận tốc và gia tốc tại thời điểm t được tính như sau :
)2(
1
2
tttttt
UUU
t
U
∆+∆−
+−
∆
=

(4.3)
)(
2
1
ttttt
UU
t
U
∆+∆−
+−

∆
=

(4.4)
Giải phương trình tìm chuyển vị tại thời điểm t+∆t bằng cách giải phương trình (4.1) ở
thời điểm t
tttt
RKUUCUM =++

(4.5)
Thay
t
U

và
t
U

từ (4.3) và (4.4) vào (4.1), ta được :
tttttt
UC
t
M
t
UM
t
KRUC
t
M
t

∆−∆+






∆
−
∆
−






∆
−−=






∆
+
∆
2
112

2
11
222
(4.6)
Từ phương trình này chúng ta có thể tính được
tt
U
∆+
dựa vào điều kiện cân bằng ở thời
điểm t và phương trình (4.5) . Do đó q trình sai phân trung tâm là phương pháp hiện ,
q trình sai phân khơng đòi hỏi các hệ số ảnh hưởng của ma trận độ cứng trong mỗi
bước giải kế tiếp .
Trình tự các bươc như sau :
Bước 1 :
- Xác định ma trận độ cứng K , ma trận khối lượng M và ma trận cản C
Bước 2 :
- Xác định điều kiện ban đầu
00
,,UU

⇒
U

từ phương trình (4.1 )
Bước 3 :
Chọn bước thời gian ∆t sao cho ∆t< ∆t
cr
= T
n
/π ,tính tốn các hệ số tích phân .Chu kỳ

T
n
được chọn với giá trị nhỏ nhất của hệ có n bậc tự do
t
a
∆
=
1
0

t
a
∆
=
2
1
1
02
2 aa =
2
3
1
a
a =
Bước 4 : Tính
0
3
00
UaUtUU
t


+∆−=
∆−
Bước 5 : Tính ma trận khối lượng ảnh hưởng
CaMaM
10
ˆ
+=
Bước 6 : Tính tải trọng ảnh hưởng ở thời gian t
ttttt
UCaMaUMaKRR
∆−
−−−−= )()(
ˆ
102
Chương 4 : Giải phương trình cân bằng động học 45
Luận án cao học
Bước 7 : Giải phương trình để tìm chuyển vị tại thời điểm t+∆t :
RUM
tt
ˆˆ
=
∆+
Bước 8 : Giá trị vận tốc và gia tốc tại thời điểm t
)2(
0
tttttt
UUUaU
∆+∆−
+−=


)(
1
ttttt
UUaU
∆+∆−
+−=

II - Phương pháp Houbolt :
Phương pháp sai phân Houbolt liên quan thành phần chuyển vị của phương pháp sai
phân trung tâm . Biểu thức của vân tốc và gia tốc :
( )
ttttttttt
UUUU
t
U
∆−∆−∆+∆+
−+−
∆
=
2
2
452
1

(4.7)
( )
ttttttttt
UUUU
t

U
∆−∆−∆+∆+
−+−
∆
=
2
291811
6
1

(4.8)
Để có được lời giải tại t+∆t, chúng ta xem xét phương trình (4.1) tại thời điểm t+∆t
tttttttt
RKUUCUM
∆+∆+∆+∆+
=++

(4.9)
Thế (9.14),(9.15) vào (9.16) ta được :
tttt
ttttt
UC
t
M
t
UC
t
M
t
UC

t
M
t
RUKC
t
M
t
∆−∆−
∆+∆+






∆
+
∆
+






∆
+
∆
−







∆
+
∆
+=






+
∆
+
∆
2
22
22
3
11
2
34
35
6
112
(4.10)

Để tính được U
t+
∆
t
từ (4.10) cần phải biết được chuyển vị tại thời điểm U
t
, U
t-
∆
t
và U
t-2
∆
t
Phương pháp Houbolt là phương pháp sai phân ẩn , xét phương trình cân bằng tại thời
điểm t+∆t . Để giải phương trình sai phân (4.1 ) dựa vào điều kiện biên và kết quả của
phương pháp sai phân trung tâm ở thời điểm ∆t và 2∆t
Trình tự các bước như sau :
Bước 1 :
- Xác định ma trận độ cứng K , ma trận khối lượng M và ma trận cản C
Bước 2 :
- Xác định điều kiện ban đầu
00
,,UU

⇒
U

từ phương trình (4.1 )
Bước 3 : Chọn bước thời gian ∆t ,tính tốn các hệ số tích phân, chu kỳ T

n
được chọn
với giá trị nhỏ nhất của hệ có n bậc tự do
2
0
1
t
a
∆
=
t
a
∆
=
6
11
1
2
2
5
t
a
∆
=
t
a
∆
=
3
3

04
2aa −=
2
3
5
a
a
−
=
2
0
6
a
a =
9
3
7
a
a =
Bước 4 :
Sử dụng giá trị tính tốn U
∆
t
và U
2
∆
t
của phương pháp sai phân trung tâm
Bước 5 : Tính tốn ma trận độ cứng
K

ˆ
CaMaKK
10
ˆ
++=
Chương 4 : Giải phương trình cân bằng động học 46
Luận án cao học
Bước 6 : Tính tốn tải trọng ở thời điểm t+∆t :
)()(
ˆ
2
753
2
4'
ttttttt
â
ttt
a
tttt
UaUaUaCUaUaUaMRR
∆−∆−∆−∆−∆+∆+
++++++=
Bước 7 : Giải phương trình để tìm chuyển vị tại thời điểm t+∆t :
tttt
RUK
∆+∆+
=
ˆˆ
Bước 8 : Giá trị vận tốc và gia tốc tại thời điểm t+∆t :
tttttttttt

UaUaUaUaU
∆−∆−∆+∆+∆+
−−=
2
6420

tttttttt
UaUaUaUaU
∆−∆−∆+
−−−=
2
7531

III – Phương pháp Wilson :
Phương pháp Wilson chủ yếu là sự mở rộng của phương pháp gia tốc tuyến tính ,trong
dao động tuyến tính của gia tốc từ thời điểm t đến thời điểm t+∆t
Hình 4.1 – Tuyến tính hố gia tốc phương pháp θ của Wilson
Phương pháp Wilson giả thiết gia tốc tuyến tính trong khoảng thời gian t đến t+θ∆t
.Trong đó θ ≥1.0 , khi θ = 1 .0 sẽ làm giảm gia tốc tuyến tính . Điều kiện ổn định θ ≥
1.37, thường dùng θ = 1.40
τ lấy trong khoảng 0 ≤ τ ≤ θ∆t , từ t đến t+θ∆t ta có :
)(
τθττ
θ
τ
UU
t
UU
ttt


−
∆
+=
∆++
(4.11)
)(
2
τθτττ
θ
τ
τ
UU
t
UUU
ttt

−
∆
++=
∆++
(4.12)
)(
62
1
3
2
τθττττ
θ
τ
ττ

UU
t
UUUU
ttt

−
∆
+++=
∆++
(4.13)
Từ (4.12) và (4.13), tại thời điểm t+θ∆t :
)(
2
τθτθ
θ
UU
t
UU
tttt

+
∆
+=
∆+∆+
(4.14)
)2(
6
22
τθττθ
θ

θ
UU
t
UtUU
tttt

+
∆
+∆+=
∆+∆+
(4.15)
Từ đó có thể tính vận tốc và gia tốc tại thời điểm t+θ∆t theo
tt
U
∆+
θ
τττθθ
θ
θ
UU
t
UU
t
U
tttt

2
6
)(
6

22
−
∆
−−
∆
=
∆+∆+
(4.16)
τττθθ
θ
θ
U
t
UUU
t
U
tttt

2
2)(
3
∆
−−−
∆
=
∆+∆+
(4.17)
Chương 4 : Giải phương trình cân bằng động học 47
t
τ

tt
U
∆+

t
U

tt
U
∆+
θ

t+∆t t+θ∆t
Luận án cao học
Để tính chuyển vị,vận tốc và gia tốc tại thời điểm t+∆t ta xét phương trình (4.1) tại thời
điểm t+θ∆t :
tttttttt
RKUUCUM
∆+∆+∆+∆+
=++
θθθθ

(4.18)
Ở đây :
( )
tttttt
RRRR −+=
∆+∆+
θ
θ

(4.19)
Thế (4.16)(4.17) vào (4.18) thu được
tt
U
∆+
θ
sau đó thay
tt
U
∆+
θ
vào (4.16) thu được
tt
U
∆+
θ

Trình tự các bước giải như sau :
Bước 1 :
- Xác định ma trận độ cứng K , ma trận khối lượng M và ma trận cản C
Bước 2 :
- Xác định điều kiện ban đầu
00
,,UU

⇒
U

từ phương trình ( )
Bước 3 : Chọn bước thời gian ∆t,tính tốn các hằng số tích phân ,chọn θ = 1.4

2
0
)(
6
t
a
∆
=
θ
t
a
∆
=
θ
3
1
12
2aa
=
2
3
t
a
∆
=
θ
θ
0
4
a

a =
θ
3
5
a
a
−
=
θ
3
1
6
−=a
2
7
t
a
∆
=
6
2
8
t
a
∆
=
Bước 4 : Tính tốn ma trận độ cứng
K
ˆ
CaMaKK

10
ˆ
++=
Bước 5 : Tính tốn tải trọng ở thời điểm t+∆t :
)2()2()(
ˆ
312'
tttttt
a
tttttt
UaUUaCUUaUaMRRRR

++++++−+=
∆+∆+
θ
Bước 6 : Giải phương trình để tìm chuyển vị tại thời điểm t+∆t :
tttt
RUK
∆+∆+
=
θθ
ˆˆ
Bước 7 : Giá trị vận tốc và gia tốc tại thời điểm t+∆t :
ttttttt
UaUaUUaU

654
)( ++−=
∆+∆+
θ

)(
7
tttttt
UUaUU

++=
∆+∆+
)2(
8
ttttttt
UUaUtUU

++∆+=
∆+∆+
IV – Phương pháp Newmark :
Phương pháp sai phân cũng được xem là mở rộng của phương pháp gia tốc tuyến tính .
Chuyển vị và vận tốc tại thời điểm t+∆t được tính như sau :
[ ]
tUUUU
tttttt
∆+−+=
∆+∆+

δδ
)1(
(4.20)
2
)
2
1

( tUUUtUU
ttttttt
∆






+−+∆+=
∆+∆+

αα
(4.21)
Ở đây α vàδ là các hệ số có thể được xác định để sai phân chính xác và ổn định
Ban đầu Newmark đề nghị khơng có điều kiện ổn định và phương pháp gia tốc trung
bình với δ = 0.5 và α = 0.25
Chương 4 : Giải phương trình cân bằng động học 48
t
U

tt
U
∆+

t t+∆t
)(
2
1
ttt

UU
∆+
+

Luận án cao học
Hình 4.2 – Gia tốc trung bình của Newmark
Trình tự các bước như sau :
Bước 1 :
- Xác định ma trận độ cứng K , ma trận khối lượng M và ma trận cản C
Bước 2 :
- Xác định điều kiện ban đầu
00
,,UU

⇒
U

từ phương trình (4.1 )
Bước 3 : Chọn bước thời gian ∆t ,tính tốn các hằng số tích phân
Với δ ≥ 0.5 và α ≥ 0.25(0.5+δ)
2
2
0
1
t
a
∆
=
α
t

a
∆
=
α
δ
1
t
a
∆
=
α
1
2
1
2
1
3
−=
α
a
1
4
−=
α
δ
a







−
∆
= 2
2
5
α
δ
t
a )1(
6
δ
−∆= ta ta ∆=
δ
7
Bước 4 : Tính tốn ma trận độ cứng
K
ˆ
CaMaKK
10
ˆ
++=
Bước 5 : Tính tốn tải trọng ảnh hưởng ở thời điểm t+∆t :
)()2(
ˆ
5412'
tttttt
a
tttt

UaUaUaCUUaUaMRR

++++++=
∆+∆+
Bước 6 : Giải phương trình để tìm chuyển vị tại thời điểm t+∆t :
tttt
RUK
∆+∆+
=
ˆˆ
Bước 7 : Giá trị vận tốc và gia tốc tại thời điểm t+∆t :
ttttttt
UaUaUUaU

320
)( −−−=
∆+∆+
)
76
tttttt
UaUaUU
∆+∆+
++=

Chương 4 : Giải phương trình cân bằng động học 49