Cơ Lý thuyết Vũ Duy Cường phần 2

66





PHẦN II

ĐỘNG HỌC

Động học là một phần của cơ học lý thuyết, nghiên cứu các tính chất
hình học của chuyển động của vật thể. Đối tượng khảo sát của động học là vật
rắn và động điểm (điểm hình học chuyển động).
Động học ngoài việc cung cấp kiến thức cho phần động lực học, còn là
cơ sở trong môn học chuyển động.
Động học, ngoài việc cung cấp kiến thức cho
phần động lực học, còn là cơ sở trong các môn học khác như: cơ cấu máy, động
học máy,
Chuyển động của vật thể diễn ra trong không gian, trôi theo thời gian.
Không gian ở đây được chọn là không gian Eclit, thời gian trôi đều theo một
chiều tăng, luôn lấy thời điểm xuất phát chuyển động làm gốc (ứng với t =
0).
Khi khảo sát chuyển động bao giờ cũng phải chọn một vật chuẩn được gọi
là hệ quy chiếu để từ đó quan sát vò trí của vật thể. Rõ ràng tính chất chuyển
động của vật thể phụ thuộc vào việc chọn hệ quy chiếu.
Để thuận lợi trong tính toán, sử dụng được các kiến thức toán học, người
ta gắn vào quy chiếu (vật rắn chuẩn) một hệ tọa độ thích hợp. Như vậy khảo
sát chuyển động của vật thể đối với một hệ quy chiếu nghóa là khảo sát
chuyển động của vật thể trong hệ tọa độ nào đó.
Nội dung khảo sát chuyển động của vật thể bao gồm các vấn đề sau đây:

1- Lập phương trình chuyển động: thiết lập quan hệ hàm số giữa các thông
số đònh vò với thời gian để chỉ ra vò trí của vật thể một cách liên tục. Đối với
động điểm còn có thể chỉ ra quỹ đạo.
2- Xác đònh các đặc trưng của chuyển động, cụ thể là vận tốc, gia tốc.

68








Chương 6

ĐỘNG HỌC ĐIỂM

Nội dung
Khảo sát chuyển động của đối tượng đơn giản nhất là động điểm. Qua đó
trình bày một cách cụ thể nội dung và phương pháp nghiên cứu trong động học.
Yêu cầu
- Nắm vững phương pháp thiết lập phương trình chuyển động, các đại
lượng đặc trưng của động học (vận tốc, gia tốc)
- Nhớ các công thức xác đònh các đại lượng đặc trưng của chuyển động,
mối quan hệ giữa chúng, để áp dụng khi giải các bài toán thực tế.
Để giải quyết được các yêu cầu của động học điểm đặt ra, chúng ta có
thể sử dụng nhiều phương pháp mô tả chuyển động khác nhau tùy thuộc vào
tính chất của chuyển động và mục đích chính cần giải quyết. Dưới đây chúng ta
đưa ra bốn phương pháp nghiên cứu động học điểm.

6.1. KHẢO SÁT ĐỘNG HỌC ĐIỂM BẰNG PHƯƠNG
PHÁP VECTOR VÀ TỌA ĐỘ DECARTES
1. Phương trình chuyển động
Xét động điểm M chuyển động trong không gian.
Nếu chọn một điểm tùy ý xác đònh O làm gốc thì vò trí M
hoàn toàn xác đònh bởi vector
.rOM
r
=
Khi M chuyển động:

)t(rr
r
r
=
(6.1)
Phương trình (6.1) chính là phương trình chuyển
động của M.
z
y
x
O
M
k
i
j

H
ình 6.1

69
Tại gốc O, xây dựng hệ trục Oxyz, vò trí của M hoàn toàn xác đònh bởi:

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
=
)t(zz
)t(yy
)t(xx

(6.2) chính là phương trình chuyển động của M trong hệ tọa độ Decartes.
2. Vận tốc, gia tốc
Các đại lượng vận tốc, gia tốc rất quen thuộc. Ở đây chỉ đưa ra các biểu
thức mô tả chúng trong các phương pháp nghiên cứu tương ứng.
1 - Vận tốc
Vận tốc động điểm ký hiệu là:
V
Phương pháp vector:
r
dt
dr
V
&
r
==

(6.3)
(Từ đây đạo hàm theo thời gian kí hiệu là (.))
Phương pháp toạ độ Decartes:
kVjViVV
zyx
r
r
r
++=

ở đây:
;x
dt
dx
V
x
&
==

y
dt
dy
V
y
&
==
;
z
dt
dz

V
z
&
==

2- Gia tốc
Gia tốc động kiểm kí hiệu là
w
r

- Phương pháp vector:
r
dt
rd
VW
2
2
&&
r
r
&
r
=== (6.4)
- Phương pháp tọa độ Decartes:
kWjWiWW
zyx
r
&
r
&

r
++=

ở đây:
;xW
x
&&
=

;yW
y
&&
=

zW
z
&&
=

3. Tính chất chuyển động biểu thò qua
W,V

1- Động điểm chuyển động thẳng

V cùng phương với
0WVW
x
=⇔
(6.5)
2- Động điểm chuyển động cong

V khác phương với
0WVW
x
≠⇔

Xét sự biến thiên của chuyển động qua:
2
2
VV =
từ W.V2
dt
Vd
2
= (6.6)
3- Động điểm chuyển động nhanh dần
V tăng theo thời gian
0W.V >⇔
4- Động điểm chuyển động đều
V giảm theo thời gian
0W.V =⇔

5- Động điểm chuyển động chậm dần
0W.V <⇔


70
6.2. KHẢO SÁT CHUYỂN ĐỘNG ĐIỂM BẰNG TỌA
ĐỘ CỰC
1. Phương trình chuyển động

Xét chuyển động M trên mặt phẳng Oxy, vò trí của M hoàn toàn xác đònh
bởi hai tham số:
- Độ dài r = OM
- Góc đại số giữa
Ox và OM :
Khi M chuyển động, r và
ϕ
thay đổi theo
thời gian:


⎩
⎨
⎧
ϕ=ϕ
=
)t(
)t(rr
(6.7)
(6.7) chính là phương trình chuyển động.
2. Vận tốc, gia tốc
Gọi Or là trục cực có hướng dương theo chiều
OM
với vector đơn vò là
.r
o
r
Quay
OM
theo chiều ngược kim đồng hồ một góc

2
π
ta được trục OP có
vector đơn vò là
.
o
P
Dùng quan hệ chuyển đổi trục, ta có:

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
ϕ+ϕ−=
ϕ+ϕ=
r
r
r
r
r
r
r
r
r
cosjsin iP
sinjcosir
o
o

⇒

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
ϕ−=ϕϕ−ϕϕ−=
ϕ=ϕϕ+ϕϕ−=
oo
o
o
r.sinjcosiP
P.cossinir
r
&
r
&
r
r
&
r
r
&
r
&
r
&
r
&

r
r
&
r
(6.8)
1- Vận tốc
Sử dụng (6.3) ta được:

o
Porooo
PVrVr.rr.r)r.r(
dt
d
rV +=+===
r
&
rr
&
r
&
r
(6.9)
trong đó:
;r
V
r
&
=

ϕ=

&
r
rV
p

2- Gia tốc

o
poro
2
2
PWrW)r.r(
dt
d
rW +===
rr
&&
r
(6.10)
trong đó:
;rrW
2
r
ϕ−=
&
&&
ϕ+ϕ=
&
&
&&

r2rW
p

6.3. KHẢO SÁT CHUYỂN ĐỘNG ĐIỂM BẰNG TỌA ĐỘ
TỰ NHIÊN
1. PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG
Những trường hợp đã biết quỹ đạo của động điểm, chúng ta thường khảo
sát chuyển động của chúng bằng tọa độ tự nhiên.
b
M
ν
+
O
τ
Γ
H
ình 6.3
M
x
y
P
P
o
r
r
o
j
ϕ
i
Hình

6.
2
Hình 6.2

71
Giả sử quỹ đạo của động điểm là (
Γ
), nếu lấy điểm tùy ý xác đònh O
Γ
∈
làm gốc và quy ước chiều dương trên quỹ đạo, vò trí của chuyển động điểm M
hoàn toàn xác đònh thông qua độ dài đại số
=
s OM. Khi M chuyển động:

)t(ss
=
(6.11)
(6.11) là phương trình chuyển động của động điểm trong hệ tọa độ tự
nhiên.
2. Vận tốc, gia tốc
1- Tam diện động Frene
Vận tốc đặc trưng cả hướng chuyển động trong không gian, tọa độ
s

không thể hiện được vai trò này. Để mô tả được hướng chuyển động của động
điểm (trên quỹ đạo) chúng ta xây dựng tam diện động Frene.
Xét tam diện vuông Mτnb có gốc luôn trùng với M, chuyển động
theo M

-
τ
r
là vector đơn vò tiếp tuyến với quỹ đạo tại M theo chiều dương.
-
n
r
là vector đơn vò pháp tuyến chính vuông góc với
τ
r
, hướng vào phía
lõm của quỹ đạo, nằm trong mặt phẳng giới hạn đi qua ba điểm M và hai điểm
thuộc quỹ đạo M
1
, M
2
lân cận khi M
1
và M
2
tiến đến M (mật tiếp)
-
b
r
là vector đơn vò trùng pháp tuyến có phương chiều sao cho M
τ
nb là
một hệ tọa độ vuông góc thuận.
2- Vận tốc
Từ đònh nghóa, chúng ta có tốc độ của động điểm: V =

s
&

- Nếu chuyển động theo chiều dương quỹ đạo, tức
V
cùng chiều
τ
r
, tọa
độ
s
r
tăng theo thời gian 0s >⇒
&

- Nếu chuyển động ngược chiều dương, tức
V ngược chiều
τ
r
, tọa độ
s

giảm theo thời gian
0s <⇒
&

Kết hợp, chúng ta viết được:
τ=
r
&

sV
(6.12)
3- Gia tốc

nwWn
s
s
dt
sd
sd
d
sss sVW
n
2
r
r
r
&
r
&&
r
&
r
&&
&
r
&
r
r
&&

&
r
+τ=
ρ
+τ=
τ
+τ=τ+τ==
τ
(6.13)
(Chú ý rằng
τ
r
đổi hướng)
trong đó:
sW
&&
=
τ
- gọi là gia tốc tiếp (6.14)

ρ
=
ρ
=
22
n
Vs
W
&
- gọi là gia tốc pháp (6.15)

(
n
1
ds
d
r
r
ρ
=
τ
đã được chứng minh ở hình vi phân với
ρ
là bán kính cong của quỹ
đạo tại M).

72
6.4. MỘT SỐ CHUYỂN ĐỘNG ĐẶC BIỆT
1. Chuyển động thẳng
Chọn phương chuyển động làm trục tọa độ (trục x). Chúng ta nhận được:
phương trình chuyển động: x = x(t)
Vận tốc : V =
x
&

Gia tốc : W =
x
&&

Ví dụ 6.1. Xét chuyển động của vò trí hình chiếu lên một đường thẳng của một
điểm thuộc vật quay quanh trục cố đònh vận tốc gốc không thay đổi

o
ω
, cách
trục quay đoạn a (H.6.4).
Giải. Giả sử thời điểm đầu động điểm trùng với
vò trí M
o
, chúng ta nhận được:

)tcos(a)cos(a)t(x
o
α
+
ω
=
α+ϕ=

là phương trình chuyển động.
Vận tốc:
)tsin(ax
V
oo
α
+
ω
ω
−
=
=
&

Gia tốc :
x)tcos(axW
2
oo
2
o
ω−=α+ωω−==
&&

2. Chuyển động tròn
Ví dụ 6.2. Cho động điểm M chuyển động trên đường
tròn theo luật OM
at2s
=
=
. Từ phương trình chuyển
động dạng tọa độ tự nhiên ta có:

τ=τ=
r
r
&
a2sV

nWn
R
a4
0n
R

V
sVW
n
22
rrr
r
&
&
r
=+=+τ==

3. Chuyển động Xycơlôít
Ví dụ 6.3. Xét chuyển động của điểm M trên biên của
đường tròn lăn không trượt trên đường thẳng (H.6.6) có vận tốc của tâm là V
1
=
const. Tìm quỹ đạo,
W ,V
của động điểm.
Giải.
1- Phương trình chuyển động
Lấy hệ trục tọa độ Oxy có O trùng với vò trí của M khi tiếp xúc đường
thẳng cố đònh. Tại thời điểm bất kỳ, vò trí M(x, y) được xác đònh:
O
x
x
o
x
a
M

M
o
α
ϕ
H
ình 6.4
Hình 6.4
y
x
A
I
M
V
O
2R
π
ϕ
Hình

6.6
H
ình 6.
6
W
I
W W
ithin
0
+
M

V
Hình

6.5

73

⎩
⎨
⎧
ϕ−=ϕ−=
ϕ
−
=
ϕ
−=
)cos1(RcosRRy
sinr
A
MsinROAx
(6.17)
ở đây:
,
R
V
đặt( t
R
t
V
11

=ωω==ϕ
R - là bán kính của đường tròn.
Thay vào (6.17):
⎩
⎨
⎧
ω−=ϕ−=
ω−=
)tcos1(RcosRRy
tsinRt
V
x
1
(6.18)
Phương trình (6.18) là phương trình chuyển động dạng tham số. Quỹ đạo
của nó là đường cong Xycơlôít (H.6.6).
2- Vận tốc

:)V,V(V
yx

x
V

)tcos1(
V
tcosR
V
x
ω

−
=
ω
ω
−
=
=
ΙΙ
&


y
V

tsin
V
tsinR
ω
=
ω
ω
=
Ι


V

t
2
sin2.VVV

1
2
y
2
x
ω
=+=

xét:
y
x
V
V

2
tg
2
t
tg
tsin
tcos1 ϕ
=
ω
=
ω
ω−
=

Suy ra
V

- có phương luôn đi qua điểm cao nhất của đường tròn
3- Gia tốc:
yx
W,W(W ):
tsin
V
W
x
ω
ω
=
Ι
;
tcos
V
W
y
ωω=
Ι


R
V
VWWW
2
1
2
y
2
x

Ι
=ω=+=⇒

xét:
ϕ=ω= tgttg
W
W
y
x
. Suy ra
W
- có phương đi qua tâm I.
4- Tính bán kính cong của quỹ đạo (P)

t
2
cos
R
V
t
2
cosV)t
2
sin2.V(
dt
d
dt
dv
W
2

ω
=
ω
ω=
ω
==
Ι
ΙΙτ


t
2
sin
R
V
WWW
2
22
n
ω
=−=
Ι
τ

suy ra:
t
2
sinR4
t
2

sin
R
V
t
2
sinV4
W
V
2
22
n
2
ω
=
ω
ω
==ρ
Ι
Ι

Bán kính cong tăng dần từ chân đến đỉnh Xycơlôít.
4. Chuyển động Parabol
Ví dụ 6.4. Động điểm chuyển động theo quy luật:

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−=

=
2
t5t400y
t300x
(m, s)
Tìm
,W,V
độ cao, tầm xa và bán kính cong tại độ cao cực đại.
Giải.
1- Vận tốc, gia tốc

74
)V,V(V
yx
:
300x
V
x
=
=
;
t10400y
V
y
−
=
=
&

0xW :)W,W(V
xyx
==
&&
;
10yW
y
−
=
=
&&

2- Độ cao h
Động điểm đạt tại độ cao h lúc: V
y
= 0
⇔
t = 40 s
Tính được: h
max
= y(40) = 8000 (m)
3- Tầm xa S
Tầm xa S là tọa độ x của động điểm tương ứng thời điểm y = 0
⇒
t =
80 (s), (t = 0 loại)
Tính được : S = x(80) = 24.000 (m)
4- Bán kính cong
ρ
(h

max
)
Tại vò trí khảo sát: V(40) = V
x
(40) = 300 (m)
Để tìm W
n
, ta tìm
τ
W
và W.

22
y
2
x
2
t100t8000000.250VVVV +−=⇒+=


2
t100t8000000.2502
8000t200
VW
+−
−
==
τ
&

2
22
n
tt802500
300
WWW
+−
=−=⇒
τ

Tại t = 40 có )m( 9000
W
V
40t
n
2
==ρ
=

y
x
S
M
h
O
Hình

6.7
Hình 6.7

75
Chương 7

CHUYỂN ĐỘNG CƠ BẢN CỦA VẬT RẮN

Nội dung
Khảo sát hai chuyển động cơ bản của vật rắn là chuyển động tònh tiến và
quay quanh trục cố đònh, làm cơ sở để nghiên cứu các chuyển động phức tạp
khác.
Yêu cầu
- Nắm vững đặc điểm của chuyển động tònh tiến
- Nắm vững các đặc trưng mô tả vật chuyển động quay quanh trục cố đònh
và các công thức xác đònh chúng
- Nắm vững các công thức liên hệ đặc trưng chuyển động của vật và điểm
thuộc vật
7.1. CHUYỂN ĐỘNG TỊNH TIẾN CỦA VẬT RẮN
1. Đònh nghóa

Chuyển động tònh tiến của vật rắn là chuyển động mà mỗi đoạn thẳng
thuộc vật có phương không đổi trong suốt quá trình chuyển động.
Ví dụ:
- Thùng xe chuyển động trên đường thẳng
- Vật rắn AB trong cơ cấu bốn khâu hình bình hành (H.7.1)
2. Đặc điểm của chuyển động tònh tiến
Đònh lý. Khi vật rắn chuyển động tònh tiến, vận tốc, gia tốc của mọi điểm thuộc
vật tương ứng bằng nhau quỹ đạo của chúng giống nhau.
Chứng minh. Xét hai chuyển động tùy ý A, B thuộc vật S chuyển động tònh tiến
(H.7.2), chúng ta có:

ABrr
AB
+=
r
r

(
A
B
Hình

7.
1
Hình 7.1

76
Vận tốc:
)constAB do( VrrV
AAB

B
====
&
r
&
r
&
r
(7.2)
Gia tốc:
A
AB
B
WVVW ===
&
r
&
r
(7.3)
- Quỹ đạo: giả sử quỹ đạo của A là
,
A
Γ
từ
(7.1) điểm B có quỹ đạo
B
Γ
chính là
A
Γ

dòch
chuyển tònh tiến độ dời
A
B
, vậy hai quỹ đạo phải
giống nhau.
Nhận xét:
- Từ đặc điểm của chuyển động tònh tiến, để
khảo sát chuyển động của cả vật, chúng ta chỉ cần
khảo sát chuyển động của một điểm thuộc vật
- Chúng ta nói vật rắn chuyển động tònh tiến thẳng, tròn có nghóa là
điểm thuộc vật chuyển động thẳng, tròn
7.2. CHUYỂN ĐỘNG QUAY QUANH TRỤC CỐ ĐỊNH
CỦA VẬT RẮN
1. Đònh nghóa
Vật rắn chuyển động có hai điểm cố đònh là vật rắn quay quanh hai trục
cố đònh đi qua hai điểm đó.
2. Khảo sát chuyển động cả vật
1- Phương trình chuyển động
Xét mặt phẳng P gắn chặt vào vật và chứa
trục quay. Xác đònh vò trí của vật tương đương xác
đònh vò trí của (P). Lập mặt phẳng chứa trục quay
(
π
) cố đònh, vò trí của (P) hoàn toàn xác đònh bởi
góc nhò diện
ϕ
giữa (
π
) và (P) (H.7.3).

Khi vật rắn chuyển động,
ϕ
là hàm của
thời gian:

)t(ϕ=ϕ
(7.4)
Phương trình (7.4) chính là phương trình chuyển động của vật rắn.
Chúng ta quy ước chiều quay dương (
0>
ϕ
) nếu như nhìn từ đỉnh trục
quay vật quay theo chiều ngược chiều kim đồng hồ, (
0
<
ϕ
) nếu quay ngược
lại.
2- Vận tốc góc
• Vận tốc góc của vật rắn quay quanh trục cố đònh
Vận tốc góc của vật rắn quay quanh trục cố đònh là đại lượng đại số:

ϕ=ω
&
(7.5)
- Vật quay chiều dương :
0>
ω

z

x
y
O
k
P
π
ϕ
ω
ε
H
ình 7.3
z
y
x
O
A
B
r
A
r
B
Hình

7.
2

77
- Vật quay chiều âm :
0
<

ω

- Đơn vò rad/s
Trong kỹ thuật còn dùng đơn vò vòng/phút: n vòng/phút
s/rad
30
nπ
⇔
• Vector vận tốc góc
Để thể hiện được phương của trục quay thông qua vector đơn vò chỉ
phương (
k
), chúng ta đònh nghóa vector vận tốc góc
ω
r
là vector nằm trên trục
quay (biểu diễn thêm một mũi tên vòng) (H.7.3):

k
r
&
&
r
ϕ=ω (7.6)
Như vậy, nếu biết
ω
r
chúng ta biết phương trục quay, chiều quay và vận
tốc quay.
3- Gia tốc góc

• Gia tốc góc vật rắn quay quanh trục cố đònh
Là đại lượng :
ϕ=ω=ε
&&&
(7.7)
• Vector gia tốc
ε
r

Tương tự
ω
r
chúng ta có : kk
r
&&
r
&
r
ϕ=ω=ε
4- Tính chất của chuyển động qua
εω
r
r
,

Tương tự ảnh hưởng của
W,V
đến chuyển động, chúng ta xét biến thiên
của
:

22
ω=ω
r


εω
ω
rr
r
2
dt
d
2


0. =εω
r
r

⇔
vật rắn quay đều

0. >εω
r
r
(
εω
r
r
,

cùng chiều)
⇔
vật rắn quay nhanh dần

0. <εω
r
r
(
εω
r
r
,
ngược chiều)
⇔
vật rắn quay chậm dần
3. Khảo sát chuyển động thuộc điểm vật
1- Phương trình chuyển động
Xét M thuộc vật cách trục quay
Δ
đoạn IM = r
Khi vật chuyển động vạch nên quỹ đạo tròn
trong mặt phẳng vuông góc trục quay có tâm I (H.7.4).
Chọn điểm O trên quỹ đạo trùng với vò trí đầu
của M làm gốc, ta nhận được phương trình chuyển
động:
)t(.rOMs
ϕ
=
=

2- Vận tốc
• Phân bố vận tốc trên tia bán kính thuộc mặt
phẳng quỹ đạo
Áp dụng:
τ= sV
&

O
M
I
r
ϕ
ω

Δ
H
ình 7.
4


78
trong đó:
ω=ϕΙ= r.Ms
&
r
&


τω=⇒
r

rV
Nếu chọn
τ
r
cùng chiều quay: τω=
r
rV
Dựa vào (7.10) trên một tia bán kính, vận tốc các điểm phân bố tuyến
tính theo luật tam giác vuông (H.7.6) tăng theo r hệ số
ω
: V = r
ω

• Biểu diễn vận tốc qua
ω
r

Chúng ta dễ dàng kiểm chứng:
ρ×ω=×ω=
r
r
r
OM V (H.7.6)
Ở đây O là điểm thuộc trục quay.
3- Gia tốc
• Biểu diễn trên mặt phẳng quỹ đạo
(H.7.5)

n
WWW +=

τ


τε=τ=
τ
r
r
&&
r sW

nrn
r
V
W
2
2
n
rr
ω==

Xét một điểm thuộc tia bán kính có:

2
n
W
W
tg
ω
ε
==α

τ
- không phụ thuộc vào vò trí của điểm
Còn độ lớn:
422
n
2
rWWW ω+ε=+τ=
Tỉ lệ với khoảng cách r hệ số
42
ω+ε

W
phân bố trên một tia bán kính theo quy
luật tuyến tính tam giác nhọn (H.7.5)
• Biểu diễn qua
εω
r
r
,
(H.7.6)

) (
dt
d
dt
Vd
W ρ×ω==
rr

n
WWV +=×ω+ρ×ε=
τ
r
r
r

ở đây:
ρ×ε=
τ
r
r
W ;
VW
n
×ω=
r

7.3. CÁC CƠ CẤU TRUYỀN ĐỘNG CƠ BẢN
1. Sự cần thiết của các bộ truyền lực
Trong một máy hoặc hệ thống máy, động cơ (khâu đầu) chỉ tạo ra chuyển
động đơn giản (thường là quay quanh trục cố đònh). Các nhà thiết kế phải tạo ra
bộ phận trung gian (khâu dẫn) để biến đổi chuyển động của động cơ thành
những chuyển động theo ý muốn ở khâu công tác.
Hình 7.6
O
M
I
n
W

τ
W
ρ
ω
ε
Δ

M
V
M
r
W
r
W
ithin
W
τ
Ι
α
ω
ε
H
ình 7.
5

79
2. Các bộ truyền đơn giản
1- Truyền chuyển động quay quanh trục cố đònh thành chuyển động quay
quanh trục cố đònh (thay thế chế độ quay) song song với nhau

Dùng dây đai, xích, bánh răng (H.7.7)

⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
±=±=
ε
ε
=
ω
ω
1
2
1
2
2
1
2
1
Z
Z
R
R

Z
1
, Z

2
- là số răng tương ứng của các bánh răng 1 và 2
Trong công thức (7.11) hai bánh răng quay cùng chiều ta lấy dấu cộng,
ngược chiều lấy dấu (−).
2- Truyền động cơ cấu cam
7.4. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 7.1. Cho cơ cấu truyền động như H.7.9, biết góc quay của trụ O là
2
t)2a(=ϕ
có chiều như H.7.9. Xác đònh
ε
ω
,
của trụ O
1

cũng như chuyển động
của tải A.
Giải.
•
Phân tích chuyển động
Cơ cấu gồm ba vật rắn chuyển động:
Quay
tònh tiến
tònh tiến
Tònh tiến
V
1
V
2

O
V
2
ω
Hình

7.8
R
2
R
1
O
1
O
2
ω
2
ω
1
R
2
R
1
O
2
O
1
ω
1
ω

2
R
1
ω
1
R
2
O
1
O
2
ω
2
R
2
R
1
O
2
O
1
ω
2
ω
1
Hình

7.7

80

II
ω
2
ε
2
E
ω
1
I
0,4
x
H
ình 7.10
R = 0,4
1
O
I
O
II
R = x
2
ω
2
ε
2
ω
1
Hình 7.11
- Trụ O và O
1

quay quanh các trục
cố đònh tương ứng có quan hệ truyền
động bánh răng tiếp xúc ngoài.
- Tải A chuyển động tònh tiến
thẳng đứng.
• Vận tốc, gia tốc: (chọn chiều
quay là chiều dương)
- Trụ O:
at=ϕ=ω
&&
; a=ϕ=ε
&&

Trụ quay nhanh dần đều theo
chiều hình vẽ
- Trụ O
1
(lấy chiều quay làm chiều dương)

at
R
R
R
R
11
1
=ω=ω
;
a
R

R
R
R
11
11
=ε=ω=ε
&

Trụ O
1
cũng quay nhanh dần đều theo chiều hình vẽ
- Tải A: quãng đường của tải A và của dây là như nhau và cũng bằng
quãng đường của điểm thuộc trụ o
1
cách trục một đoạn r
1
.

⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
====
=ω=
⇒
ε )r(a
R

Rr
VW
at
R
Rr
rV
11
1
1
AA
1
1
11A
&

Tải A chuyển động đi lên nhanh dần đều.
Ví dụ 7.2. Cho cơ cấu truyền động giữa hai trục vuông góc với nhau như H.7.10.
Giả thiết không có sự trượt tương đối theo chiều quay. Biết trục I dòch chuyển
dọc trục theo luật x = 0,1 + 0,2t (m,s) đồng thời quay quanh trục với vận tốc góc
120 vòng/ phút.
Tìm chuyển động của trục II.
Giải. Hai trục quay tiếp xúc tại E. Tương tự các bánh răng tiếp xúc ngoài, chỉ
khác là hai trục vuông góc (H.7.11).
R
R
1
I
A
O
1

O
r
1
ω
ε
Hình 7.9

81

120.
t2,01,0
4,0
x
R
1
1
2
+
=ω=ω⇒
(vòng/phút)
hay:
)s/rad(
t2,01,0
6,1
2
+
π
=ω

2

22
)t2,01,0(
32,0
+
π
−=ω=ε⇒
&

Chứng tỏ trục II quay chậm dần.
Ví dụ 7.3. Xác đònh chuyển động của cần cam AB
của cơ cấu cam (H.7.12). Đóa tròn bán kính R; OI
=
l ; quay đều vận tốc góc
o
ω

Giải.
• Phân tích chuyển động
- Cần cam AB tònh tiến thẳng đứng
- Cam quay đều quanh trục O
• Phương trình chuyển động
Để tìm chuyển động của cần cam chúng ta cần tìm OA = x(t), chọn trục x
hướng lên trên. Giả sử vò trí ban đầu của cảm ứng
0
o
=
ϕ
.

ϕ

−
β
==⇒ coslcosRxOA

Áp dụng:

R
sinl
sin
sin
R
sin
R
sin
l
ϕ
=β→
ϕ
=
α
=
β


ϕ−=β
222
sinlR
R
l
cos

⇒
phương trình chuyển động của cần AB:

tcosltsinlRlx
oo
222
ω−ω−=

• Vận tốc

tsinlR2
t2 sinl
tsinlxV
o
222
oo
2
oo
ω−
ωω
−ωω==
&

• Gia tốc

2/3
o
222

o
22
o
2
o
222
o
2
o
2
o
2
o
)tsin1R(16
t2sin1)tsin1R(t2 sin161
tcos1
xvW
ω−
ωω−ω−ωω
−ωω=
===
&&&







I

O
A
V
2
R
Hình

7.
12
ϕ
α
β
ω

82
Chương 8

CHUYỂN ĐỘNG PHỨC HP CỦA ĐIỂM

8.1. MÔ HÌNH BÀI TOÁN VÀ CÁC ĐỊNH NGHĨA
1. Mô hình bài toán
Nhiều trường hợp trong thực tế yêu cầu
chúng ta phải khảo sát động điểm trong
những hệ quy chiếu khác nhau. Chẳng hạn
như con lắc dao động đối với trần xe đang
chạy trên đường. Những bài toán loại này
được giải quyết thông qua mô hình tổng quát
sau.
Động điểm M chuyển động trong hệ
quy chiếu Oxyz. Hệ quy chiếu Oxyz lại

chuyển động đối với hệ quy chiếu O
1
x
1
y
1
z
1
được xem là hệ cố đònh (H.8.1).
Vấn đề đặt ra ở đây là khảo sát chuyển động của M trong từng hệ quy
chiếu và quan hệ giữa các chuyển động này.
2. Các đònh nghóa
1- Chuyển động tương đối
Chuyển động của M(x,y,z) trong hệ động Oxyz được gọi là chuyển động
tương đối. Đây là chuyển động mà người quan sát cảm nhận được khi gắn chặt
mình với hệ động (Oxyz).
Vận tốc tương đối :
r
V
(hoặc
r
V )
Gia tốc tương đối :
r
W
(hoặc
r
V )
là vận tốc và gia tốc trong chuyển động tương đối. Các đại lượng này được xác
đònh đối với hệ động (Oxyz).

Chú ý: Các vector đơn vò chỉ phương của hệ động
k ,j ,i
r
r
r
cố đònh trong hệ
động nhưng biến thiên (quay) trong hệ cố đònh (O
1
x
1
y
1
z
1
).
Chúng ta nhận được:
O
1
x
1
y
1
i
1
j
1
k
1
X
z

1
O
i
j
k
Hình 8.1

83

()
kzjyix kzjyix
dt
d
dt
dOM
V
Oxyz
Oxyz
r
r
&
r
&
r
&
r
rr
++=++==
(8.1)

()
kzjyix kzjyix
dt
d
dt
dV
W
Oxyz
Oxyz
R
r
r
&&
r
&&
r
&&
r
&
r
&
r
&
++=++==
(8.2)
2- Chuyển động tuyệt đối
Chuyển động của điểm M(x
1
, y
1,

z
1
) đối với hệ cố đònh O
1
x
1
y
1
z
1
được gọi
là chuyển động tuyệt đối.
Vận tốc tuyệt đối
a
V
(hoặc
a
V
), gia tốc tuyệt đối
a
W
(hoặc
a
W
) là vận
tốc, gia tốc được tính trong chuyển động tuyệt đối. Chú ý đến tính chất các
vector đơn vò của từng hệ tọa độ.
Chúng ta nhận được:

kzjyixkziyixOO

)OMOO(
dt
d
dt
MOd
V
1
zyxO
1zyxO
1
a
1111
1111
&
r
&
r
&
r
r
&
r
&
r
&
++++++=
+==
•
(8.3)

dt
Vd
W
1111
zyxO
a
a
=


()
kzjyixkzjyix2 kz jy ix OO
1
r
&&
r
&&
r
&&
r
&&
r
&&
r
&&
&&
r
&&
r

&&
r
++++++++++=
••
(8.4)
3- Chuyển động theo
Chuyển động của hệ động đối với hệ cố đònh được gọi là chuyển động
theo.
Để động điểm M thể hiện được chuyển động theo chúng ta đưa ra khái
niệm trùng điểm M
*
của M là điểm thuộc hệ động nhưng trùng với động điểm
M tại vò trí đang xét.
Tương ứng chúng ta có vận tốc theo:
*
M
e
VV =

Gia tốc theo:
*
M
e
WW =

Chú ý: tại thời điểm đang xét:
*
1
*
1

OMOOMO +≡

kzjyixOOkzjyixOOMO
1
***
1
*
1
r
r
r
r
r
+++=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+++≡⇔
(do
*
MM ≡
)
Chú ý: M
*
cố đònh trong hệ động Oxyz nên các tọa độ x, y, z của M tại vò
trí này được xem là các hằng số.

⇒

kz jy ix OO
dt
MOd
V
1zyxO
*
1
e
1111
&
r
&
r
&
r
+++==
••
(8.5)

84
kz jy ix OO
dt
Vd
W

1zyxO
e
e

1111
&&
r
&&
r
&&
r
+++==
••
(8.6)
8.2. CÁC ĐỊNH LÝ HP VẬN TỐC, GIA TỐC
1. Đònh lý hợp vận tốc
Vận tốc tuyệt đối của động điểm bằng tổng hình học vận tốc tương đối và
vận tốc theo.

era
VVV +=
(8.7)
Chứng minh. Sử dụng (8.1), (8.3) và (8.5), chúng ta có ngay kết quả.
2. Đònh lý hợp gia tốc
Gia tốc tuyệt đối của động điểm bằng tổng hình học gia tốc tương đối, gia
tốc theo và thời gia tốc phụ côriôlit
C
W .

Cera
WWWW ++=
(8.8)
trong đó:
(

)
r
e
C
V2W ×ω=
r
(8.9)
Chứng minh. Sử dụng (8.2), (8.4) và (8.6) chúng ta có kết quả (8.8) trong đó

⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++= kzjy ix2W
c
&
r
&
&
r
&
&
r
&
(8.10)
1- Trường hợp hệ động tònh tiến (
0
e

=ω
r
)
Chúng ta có ngay:
0W0kji
c
=⇒===
&
r
&
r
&
r

2- Trường hợp hệ động quay quanh trục cố đònh (H.8.2)
Các vector
k ,j ,i
&
r
&
r
&
r
tương ứng là vận tốc đầu mút của chúng.
Sử dụng (7.13):

;ii
e
r
r

&
r
×ω=

;jj
e
r
r
&
r
×ω=

;kk
e
r
r
&
r
×ω=

(8.10)
(
)
kzjyix2W
e
C
r
&
r
&

r
&
r
++×ω=⇒
(8.1)
r
e
C
V2W ×ω=⇒
r

Ngay cả khi hệ động chuyển động tổng quát công
thức (8.9) vẫn đúng nhưng
e
ω
r
là vận tốc góc tức thời dọc
theo trục quay tức thời.
3- Phương pháp thực hành xác đònh
c
W

Từ công thức (8.1) chúng ta dễ dàng suy ra gia tốc
c
W


c
W

⊥
ω=
V
r2
e
. Hướng trùng hướng của
⊥
rV khi đã quay theo chiều
quay của
e
ω
góc
2π
.
Ở đây
⊥
rV là hình chiếu của
r
V
lên phương vuông góc với vector
.
e
ω
r

8.3. PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN CHUYỂN
ĐỘNG PHỨC HP
Những bài toán trong chương này được chia theo các dạng sau:
y
x

O

j
i
k
H
ình 8.2
Δ

Hình 8.2

85
- Bài toán tìm phương trình chuyển động: ví dụ (8.1)
- Bài toán tổng hợp: biết các chuyển động thành phần (tương đối, theo)
tìm chuyển động tuyệt đối (các ví dụ 8.2, 8.3, 8.4)
- Bài toán phân tích: biết chuyển động tuyệt đối tìm các chuyển động
thành phần (các ví dụ 8.5, 8.6, 8.7).
Tuy nhiên cũng có những bài toán hỗn hợp bao gồm từng phần của các
loại bài toán trên.
Để giải được các loại bài toán này chúng ta cần phải:
1- Nắm vững các đònh nghóa về chuyển động
2- Chọn hệ động phù hợp với từng bài toán (thường chọn vật rắn sao cho
các điểm chúng ta cần xác đònh chuyển động hay mô tả chuyển động liên quan
trực tiếp đến vật rắn này).
3- Bao giờ cũng giải các đại lượng thuộc về vận tốc trước bằng cách áp
dụng trực tiếp:
rea
VVV +=

4. Sau khi giải được các đại lượng vận tốc chúng ta sử dụng phương trình:

Viết một cách tổng quát:
⊥
ττ
×ω+++=+
r
e
n
re
n
ea
n
a
V2WWWWW
r

Chiếu phương trình vector này lên các trục thích hợp chúng ta sẽ giải
được các đặc trưng gia tốc.
8.4. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 8.1. Băng để ghi dao động tònh tiến theo phương Ox vận tốc 2 m/s. Đầu
bút (gắn vào vật dao động theo phương Oy) vẽ lên băng đường hình sin với biên
độ AB = 2,5 cm; O
1
C = 8 cm. Tìm phương trình dao động của vật nếu điểm O
ứng với vò trí của vật lúc t = 0.
Giải. Chúng ta cần tìm dao động của điểm đầu bút, điểm này liên hệ trực tiếp
với băng giấy. Chọn băng giấy làm hệ động, đường hình sin trên băng chính là
quỹ đạo tương đối của điểm thuộc vật (vật chuyển động tònh tiến).
Xây dựng hệ Oxy cố đònh, hệ O
1
x

1
y
1
gắn chặt vào băng giấy làm hệ
động, từ H.8.3 chúng ta nhận được phương trình chuyển động tương đối của
điểm thuộc vật (đầu bút):
A
O O
1
B
C
y
1
y
V = 2 m/s
x
x
1

H
ình 8.3

86

⎩
⎨
⎧
ω=
=
tsin5.2y

t200x
11
1
(cm/s)
Tần số vòng
1
ω
được tính qua chu kỳ T = 8/200 = 0,04 s

π=
π
=ω⇒ 50
T
2
1

Dùng phép đổi tọa độ chúng ta nhận được phương trình dao động của vật:
Ví dụ 8.2. Một con thuyền bơi qua sông có vận tốc so với mặt nước yên lặng là
u, dòng sông chảy với tốc độ v. Chiều rộng của sông là h. Tìm hướng của
u
r
để
con thuyền qua sông nhanh nhất ?
Giải. Giả sử người lái thuyền cho thuyền chạy theo hướng
u
r
như H.8.4. Áp
dụng công thức hợp vận tốc khi chọn mặt nước làm hệ động

vuV

a
r
r
+=
Chiếu phương trình vector lên hai
trục x, y:
⎩
⎨
⎧
α==
+
α
=
=
⇒
cosuyV
vsinux
V
ay
ax
&
&

Lấy tích phân theo t từ thời điểm
(xuất phát) đến thời điểm đang xét chúng ta
nhận được:

⎩
⎨
⎧

α=
+
α
=
⇒
t cosuy
t.)vsinu(x

Khi cập bến: y = h
⇒

α
=
cosu
h
t
là thời điểm cập bến
Quãng đường thuyền trôi dọc theo bờ sông lúc cập bến là:

α
+α=
α
+α=
cosu
hv
htg
cosu
h
)vsinux

Muốn qua sông nhanh nhất:
,0
=
α

u
h
t
min
=

⇒
hướng cho thuyền đi vuông góc với bờ sông.
Ví dụ 8.3. Bộ phận điều tiết ly tâm quay
quanh trục thẳng đứng với vận tốc gốc không
đổi
s
/
rad6
o
=ω
. Các quả văng gắn vào đầu
cuối của lò xo thực hiện dao động trong rãnh
sao cho khoảng cách từ trọng tâm I của nó tới
trục quay biến thiên theo luật:
x
v
V
A
u

M
O
h
α
y
Hình 8.4
Hình 8.4
I

W
e
n
W
C
V
e
x
W
r
V
r
O
ω
o
Hình

8.5

87
OI = x = (0,1 + 0,05 sin8

π
t) m, (t tính theo giây).
Hãy tính:
a) Vận tốc, gia tốc điểm I tại thời điểm gia tốc côriôlit của nó đạt giá trò
lớn nhất.
b) Gia tốc côriôlit khi quả văng ở vò trí xa nhất.
Giải. Chọn đóa quay làm hệ động (quay đều quanh trục cố đònh). Xét chuyển
động của khối tâm I của quả văng thực hiện chuyển động hợp:
- Chuyển động tương đối: dao động thẳng dọc theo trục động Ox (gắn
chặt vào đóa) với quy luật đã biết OI = x = (0,1 + 0,05sin8
π
t) (m)
- Chuyển động theo: là chuyển động của điểm thuộc đóa quay quanh trục
O cố đònh vận tốc góc
)const(
o
=
ω

• Vận tốc: (tính vận tốc tại vò trí tùy ý)
Áp dụng:
rea
VVV +=

ooe
e
).t8sin05,01,0(.OIV:V ωπ+=ω= (m/s)

OI⊥
thuận chiều quay

o
ω

t8cos4,0xV:V
r
r
ππ==
&
(m/s)
dọc theo phương trục động Ox
• Gia tốc
Áp dụng:
Crea
WWWW ++=

WWW
n
eea
+=
τ

trong đó:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
↑↑
ωπ+=ω=ω=
OI

)t8sin05,01,0(x.OI
W
2
o
2
o
2
o
n
e


⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⊥
=ω=
τ
OI
0.OI
W
o
e
(do đóa quay đều,
0
o
=
ε

)

t8sin2,3xW:W
2
r
r
ππ−==
&&
, dọc theo phương trục x (H.8.5)

tcos.8,4W:V2W
C
roC
ππ=×ω=

r
V⊥ thuận chiều quay ) V do (
or
o
ω⊥ω
a) Gia tốc W
C
đạt giá trò lớn nhất khi:
0t8sin 1t8cos
11
=π⇔=π

Tương ứng: x
1
= 0,1; V

r1
= 0,4
π
; V
e1
= 0,1
o
ω
= 0,6

;6,31,0W
2
o
n
1e
=ω=
;0W
1r
=

π=πω= 8,48,0W
o1C

Từ H.8.6 chúng ta nhận được:

4,1VVW
2
1r
2
1eI

=+=
(m/s)
0
,
1
5
O
W

e
n
1
I

V
r
1
x
V
e
1
W
I
W
C
1
V
I
H
ình 8.

6


88

5,15)W(WW
2n
1e
2
CII
=+=
(m/s
2
)
b) Khi quả văng ở vò trí xa nhất

0t8cos1t8sin
22
=
π
⇒
=
π
⇔


0W
2C
=
⇒

Chú ý: Ở đây chúng ta giả sử tại thời điểm t
1
đóa đang có vò trí ở trên
H.8.6
⇔
tia OI xác đònh.
Ví dụ 8.4. Cho quả cầu quay quanh trục thẳng đứng vận tốc góc không đổi
o
ω
.
Chất điểm M chuyển động đều dọc theo đường kinh tuyến, còn N chuyển động
đều theo đường vó tuyến với vận tốc tương đối u, v không đổi như H8.7.
Xác đònh
aa
W,V
của M, N ?
Giải. Chọn quả cầu làm hệ động.
• Vận tốc
Điểm M:
Áp dụng:
rea
VVV +=
trong đó:
;uV
M
r
=
oMo
M

e
.r.IMV ω=ω=
ở đây:
M
e
M
r
V V ⊥
(H.8.7)

2
o
2
M
22M
e
2M
r
M
a
.ru)V()V(V ω+=+=⇒

Điểm N:
tương tự:
;vV
N
r
=
oNo
N

e
.r.HNV ω=ω=
• Gia tốc: (H.8.8)
Áp dụng:
C
n
ee
n
rra
WWWWWW ++++=
ττ
(i)
- Điểm M:
có:
0W
r
=
τ
(do V
r
= u = const)

;
R
u
OM
uV
W
222
n

r
==
ρ
= (OM = R)

0W
e
=
τ
(do quả cầu quay đều)

2
o
2
oM
n
e
.IM.rW ω=ω=

α
ω
=
β
ω= cosu2cosu.2W
ooC

Phương của
C
W vuông góc mặt phẳng kinh tuyến
qua M (tiếp tuyến vó tuyến).

Chọn hệ trục tọa độ Decartes có trục z theo trục
quay, trục x nằm trong mặt phẳng kinh tuyến như H.8.7.
Chiếu (i) lên ba trục tọa độ:
A
I
O
H
B
N
M
z
V u
r
=
α
β
ω
e
n
ω
r
n
y
Hình

8.8
V u
r
M
V

e
I
r
M
O
V v
r
r
N
V
e
N
H
A
H
ình 8.7
B
ω
o

89

⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨

⎧
α=α=
αω−==
ω−α−=−α−=
cos
R
u
cosWW
cosu2WW
rsin
R
u
WsinWW
2
n
raz
oCay
2
oM
2
n
e
n
rax

Điểm N:
có:
0W
r
=

τ
(do V
r
= v = const)

N
22
n
r
r
v
HN
v
W ==


0W
e
=
τ


2
oN
2
o
n
e
.r.HNW ω=ω=

oC
2W ω=

,v2
V
or
ω
=
chiều
n
e
W ↑↓
và:
n
r
W

⇒
có ngay:
N
2
2
oNo
n
r
n
eCax
r
v
rv2WWWW −ω−ω=−−=

và
.0WW
azay
=
=

Ví dụ 8.5. Cho cơ cấu cần gạt như H.8.9. Tay quay OA quay đều quanh O cố
đònh vận tốc góc
o
ω
làm cho thanh O
1
B lắc qua lại quanh O
1
, con chạy A trượt
dọc O
1
B. Biết OA = r, hãy xác đònh
11
,
ε
ω
của O
1
B tại vò trí như H.8.9.
Giải. Giữa vật đã biết chuyển động là thanh OA và vật chưa biết chuyển động
là thanh O
1
B có điểm liên hệ duy nhất là A (đầu mút thanh OA và tiếp xúc với
O

1
B).
Chọn O
1
B làm hệ động và xét điểm A chuyển động hợp:
- Chuyển động tuyệt đối của A: thuộc OA quay đều quanh O
- Chuyển động tương đối: trượt thẳng dọc theo O
1
B (nằm dọc theo O
1
B
quan sát chuyển động của A).
- Chuyển động theo: O
1
B quay quanh O
1
cố đònh
• Vận tốc
Áp dụng:
rea
VVV +=
(*)
+
oa
a
.rV:V ω=

OA ⊥ thuận chiều
o
ω

+
?r2.AOV:V
111e
e
ω=ω= (chưa biết)

AO
1
⊥ thuận chiều
1
ω
(chưa biết).
Chúng ta chọn một chiều giả đònh
+
?V:V
r
r
= (chưa biết)
cùng phương O
1
B ? (chưa biết chiều)
Chúng ta chọn một chiều giả đònh
Chiếu
e
o
e
o
a
V

2
r
V30sinVx(*) =
ω
⇔−=−⇒

O
1
x
y
30
o
ε
1
ω
1
W
e
n
A
W
e
τ
W= W
aa

n
O
ω
o

W
C
V
a
V
e
R
V
r
Hình

8.9

90
Chiếu
ror
o
a
V
2
3
rV30cosVy(*) =ω⇔=⇒

Các kết quả nhận được đều lớn hơn không, chứng tỏ chiều của
re
V,V

được chọn đúng, suy ra:
4AO
V

o
1
e
1
ω
==ω

(chúng ta có thể xác đònh V
e
, V
r
theo quy tắc tam giác vector kín).
• Gia tốc
Áp dụng:
Crea
WWWW ++=

n
aa
WW +⇔
τ

Cr
n
ee
WWWW +++=
τ
(**)
+
:W

a
τ

τ
a
W

0r
o
=
ε
=
(do
)0
o
=ε

+ :W
n
a

n
a
W
2
o
rω=

AO↑↑

+
:W
r
W
r
= ? (chưa biết)
cùng phương O
1
B (chưa biết chiều).
Chúng ta chọn chiều giả đònh như hình vẽ
+
:W
n
e

8
.r
16
.r2.AOW
2
o
2
o
2
11
n
e
ω
=
ω

=ω=


1
AO↑↑
+
:W
C

2
or1C
4
3
rV.2W ω=ω=


r
V⊥ thuận chiều quay
1
ω
(do
r1
V ⊥ω
v
)
Chiếu (**) / x
Ce
on
a
W00W30cosW −++=−⇒

τ

Chiếu (**) / y
0WW030sinW
r
n
e
on
a
++−=−⇒

⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
+ω−=ω−
ω−=ω−
⇔
τ
r
2
o
2
o
2
oe
2

o
W
8
r
2
r
4
3r
W
2
3r

Giải hệ phương trình chúng ta nhận được:

2
or
8
r3
W ω−=
;
2
oe
4
3r
W ω−=
τ

Kết quả trên chứng tỏ W
r
và

τ
e
W
có chiều ngược chiều đã chọn, có độ lớn
là trò số dương tương ứng.

91

2
o
2
o
1
e
1
8
3
r2
4
3r
AO
W
ω=
ω
==ε⇒
τ
(cùng chiều
1
ω
)

Thời điểm đang xét thanh O
1
B quay nhanh dần.
Chú ý: Nếu không cần tính W
r
chúng ta bỏ phương trình (**) / y.
Ví dụ 8.6. Cơ cấu Culít gồm tay quay OA = r quay đều quanh trục O cố đònh với
vận tốc góc
,
o
ω
làm cho Culít chuyển động lên, xuống. Tìm vận tốc, gia tốc của
Culít theo góc quay của tay quay OA (H.8.10).
Giải. Cơ cấu có tay quay OA đã biết chuyển động. Điểm A tựa vào Culít có vai
trò truyền động. Chọn Culít làm hệ động, xét chuyển động hợp của điểm A.
Chuyển động tuyệt đối: A thuộc OA quay đều quanh O (đã biết)
Chuyển động theo: Culít tònh tiến thẳng đứng
Chuyển động tương đối: đứng trên Culít chúng ta thấy A chuyển động
thẳng ngang ở phần trên của chữ T.
• Vận tốc (tại vò trí tương ứng góc
ϕ
)
Áp dụng:
rea
VVV +=

+
{
; r V
o

a
ω= OA⊥ thuận chiều quay
o
ω
}
+
{
?V
e
= (chưa biết độ lớn); phương thẳng
đứng} (chọn chiều giả đònh đi lên)
+
{
?V
r
= (chưa biết độ lớn); phương nằm
ngang} (chọn chiều như H.8.10).
Nhìn từ H.8.10 chúng ta giải ra ngay:

tsinrsin.
V
V
ooae
ω
ω
=ϕ=

(chính là vận tốc của Culít).
• Gia tốc
Áp dụng:

Crea
WWWW ++= (**)
ở đây:
+
e
W
có phương thẳng đứng, chọn chiều giả đònh đi lên
+
r
W có phương nằm ngang, chọn chiều giả đònh sang trái (H.8.10)
+
0W
C
=
(hệ động tònh tiến)
+
n
aa
WW = (do OA quay đều)
Chiếu (**) lên trục thẳng đứng (chiều
e
W ):

tcosrcosWW
o
2
oae
ωω=ϕ=⇒
A
V

r
V
a
W
e
V
e
W
a
W
r
O
ω
o
ϕ
ϕ
H
ình 8.10