Các dạng toán mặt cầu trong không gian (Phương pháp tọa độ trong không gian)

Chuyên đề mặt cầu
CHUYÊN ĐỀ VỀ MẶT CẦU
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa :
* Mặt cầu là tập hợp những điểm M cách một điểm I cố định một khoảng không đổi .
* Điểm I cố định gọi là tâm của mặt cầu .
* Khoảng cách không đổi là R : Gọi là bán kính của mặt cầu .
2. Phƣơng trình của mặt cầu :
- Giả sử điểm cố định I=(a;b;c) và R là khoảng khơng đổi M=(x;y;z) thì theo định nghĩa :
IM  R 

 x  a   y  b   z  c
2

2

2

 R   x  a    y  b    z  c   R2
2

2

- Nếu khai triển (1) ta có :

 x2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0  a 2  b2  c 2  R 2  d  0 

2

1

 2

- Nhƣ vậy (1) và (2) gọi là phƣơng trình tổng quát của mặt cầu . Riêng trƣờng hợp phƣơng
trình (2) muốn là phƣơng trình của mặt cầu thì phải thỏa mãn điều kiện :
R 2  a 2  b2  c 2  d  0

*

3. Điều kiện cần và đủ để mặt phẳng (P) : Ax+By+Cz+D=0 tiếp xúc với cầu (S) thì :
Khoảng cách từ tâm I của cầu đế mặt phẳng (P) phải bằng bán kính của (S) :
 h  I; P 

aA  bB  cC  D
A2  B 2  C 2

R

 3

Khi đó mặt phẳng (P) gọi là tiếp diện của cầu (S) .
B. MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƢỜNG GẶP
BÀI TỐN 1: LẬP PHƢƠNG TRÌNH MẶT CẦU .

Để lập đƣợc phƣơng trình mặt cầu ta phải biết tọa độ của tâm I của cầu : ( Có ba ẩn số - là
ba tọa độ của I ) và biết bán kính của R của mặt cầu , nhƣ vậy có bốn ẩn số . Vì thế bài
tốn đã cho ta phải thiết lập đƣợc bốn phƣơng trình thì ta mới giải đƣợc .
Đặc biệt khi tâm I của mặt cầu mà nằm trên một đƣờng thẳng d , thì ta chuyển đƣờng
thẳng d sang tham số , vì vậy ba tọa độ của I ta biểu diễn qua ẩn t , sau đó ta chỉ cần tìm
một phƣơng trình nữa là đủ .
Sau đây chúng ta cùng nhau tham khảo một số dạng toán hay gặp trong các kỳ thi tôt

nghiệp cũng nhƣ thi đại học trong những năm gần đây .
1. Lập (S).đi qua bốn điểm :
 Bƣớc 1: Viết phƣơng trình của (S) dạng (2).
 Bƣớc 2: Cho (S) đi qua lần lƣợt bốn điểm ta đƣợc bốn phƣơng trình .
 Bƣớc 3: Giải hệ bốn phƣơng trình tìm đƣợc , suy ra bốn ẩn là : a,b,c và d .
 Bƣớc 4: Thay bốn ẩn tìm đƣợc vào (2) ta suy ra phƣơng trình của (S).

Trang 1


Chun đề mặt cầu
VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. ( TN-02-03).
Trong không   với tọa độ Oxyz , bốn điểm A,B,C,D có tọa độ xác định bởi hệ thức
gian  
cho   

A(2;4;-1) , OB  i  4 j  k ; C  (2;4;3); OD  2i  2 j  k .
1/ Chứng minh rằng : AB  AC, AC  AD, AD  AB . Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
2/ Viết phƣơng trình tham số đƣờng vng góc chung  của hai đƣờng thẳng AB và CD.
Tính góc giữa đƣờng thẳng  và mặt phẳng (ABD) .
3. Viết phƣơng trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A,B,C,D . Viết phƣơng trình tiếp diện
  của cầu (S) song song với mặt phẳng (ABD) .
GIẢI
1/ Chứng minh rằng : AB  AC, AC  AD, AD  AB . Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
Ta có : A(2;4;-1),B(1;4;-1),C(2;4;3) và D(2;2;-1) suy ra :





 AB   1;0;0 
 AB AC  0
 
  


 AC   0;0; 4    AC. AD  0  AB  AC; AC  AD, AD  AB.

 
  
AD   0; 2;0   AD. AB  0




2/ Viết phƣơng trình tham số đƣờng vng góc chung  của hai đƣờng thẳng AB và CD.
Tính góc giữa đƣờng thẳng  và mặt phẳng
(ABD) .
y
Do  là đƣờng vng góc chung cho nên :
D
N
A

I

z
J

x

  
   0 0 0 1 1 0 
  AB 
 u   AB, CD   
;
;




  CD
 2 4 4 0 0 2 
x  2


  0; 4; 2  / / u   0; 2; 1   :  y  4  2t
 z  1  t



Vì : CD   0; 2; 4 và  qua A(2;4;-1).

E

C

B

- Mặt phẳng (ABD) qua A(2;4;-1) có

 


n  AC   0;0;4 / / k   0;0;1   ABD  : z  1  0
 

u .k
 

1
1

- Gọi    ; ABD   sin   cos u , k    

4  1.1
5
u k





3. Viết phƣơng trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A,B,C,D . Viết phƣơng trình tiếp diện
  của cầu (S) song song với mặt phẳng (ABD) .
Cách 1:
Gọi (S) :  x2  y 2  z 2  2ax-2by  2cz  d  0  a2  b2  c2  R2  d  0  2
- (S) qua A(2;4;-1) suy ra : 4a +8b-2c-d= 21 (1)
- (S) qua B(1;4;-1) suy ra : 2a +8b-2c-d= 18 (2)
- (S) qua C(2;4;3) suy ra : 4a +8b+6c-d= 29 (3)

Trang 2


Chuyên đề mặt cầu
- (S) qua D(2;2;-1) suy ra : 4a +4b-2c-d= 9 (4)
Nhƣ vậy giải hệ bốn phƣơng trình trên ta có :
3
1
a  ; b  4, c  1; d  8   S   x 2  y 2  z 2  3x  8 y  z  8  0
2
2

Cách 2:
3
2

- Tâm của đƣờng tròn đáy của tam giác (ABC) là J là trung điểm của BC , suy ra J( ; 4;1 )
- Lập phƣơng trình đƣờng thẳng d qua J và vng góc với (ABC) cho nên d có véc tơ chỉ
3

x

2
 

phƣơng u  k   0;0;1   :  y  4
z  1 t



- Lập phƣơng trình mặt phẳng (P) qua K(2;3;-1) là trung điểm của AD và vng góc với

AD suy ra (P) có véc tơ pháp tuyến là k   0;0;1   P  : z 1  0 .
- Tâm I của cầu (S) là giao của d với (P) cho nên I có tọa độ là nghiệm của hệ :
3

x

2

y  4
3

 1  t  1  0  t  0  I   ; 4;1

2

z  1 t

z 1  0

2

2

1
5
3
1 5
2



  S  :  x     y  4   z   
- Tính bán kính R bằng IA =  4 
4
2
2
2
4



Ví dụ 2.( TN : 2003-2004 )
Trong không gia tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A(1;-1;2),B(1;3;2),C(4;3;2) và D(4;-1;2).
1. Chứng minh A,B,C,D là bốn đỉnh của một tứ diện .
2. Gọi A’ là hình chiếu vng góc của điểm A trên mặt phẳng Oxy . Hãy viết phƣơng trình
mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A’,B,C,D.
3. Viết phƣơng trình tiếp diện (P) của mặt cầu (S) tại điểm A’.
GIẢI
1. Chứng minh A,B,C,D là bốn đỉnh của một tứ diện .


 AB   0; 4;0 
 
  

4 0
- Ta có :  AC   3; 4;0    AB, AC  AD  3.
 0  A,B,C,D đồng phẳng .




4 0


 AD   3;0;0 


2. Gọi A’ là hình chiếu vng góc của điểm A trên mặt phẳng Oxy . Hãy viết phƣơng trình
mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A’,B,C,D.
- Nếu A’ là hình chiếu của A trên (Oxy) thì A’(1;-1;0).
- Gọi (S) là mặt cầu đi qua bốn điểm thì (S):
 x2  y 2  z 2  2ax-2by  2cz  d  0  a 2  b2  c2  R2  d  0 

Trang 3

*


Chuyên đề mặt cầu
- (S) qua A’(1;-1;0) thì : 1+1-2a+2b+d=0 ; hay : 2a-2b-d=2 (1)
- (S) qua B(1;3;2) thì : 1+9+4-2a-6b-4c+d=0 ; hay : 2a+6b+4c-d=14 (2)
-(S) qua C(4;3;2) thì : 16+9+4-8a-6b-4c+d=0 ; hay : 8a+6b+4c-d=29 (3)
-(S) qua D(4;-1;2) thì : 16+1+4-8a+2b-4c+d=0 ; hay : 8a-2b+4c-d =21 (3).
Từ bốn phƣơng trình trên ta có một hệ .
Giải hệ ta tìm đƣợc : a=5/2,b=2,c=1 và d=-1 . Thay vào (*) :

 S  : x2  y 2  z 2  5x-4 y  2z-1  0

3. Viết phƣơng trình tiếp diện (P) của mặt cầu (S) tại điểm A’.






Nếu (P) là tiếp diện của (S) tại A’(1;-1;0) thì : IA   ;3;1 / / n   3;6; 2  làm véc tơ pháp


2

tuyến . Cho nên (P): 3(x-1)+6(y+1)+2z=0 ; Hay (P): 3x+6y+2z+3=0 .
Ví dụ 3.(ĐH-KD-2008) .
Trong khơng gian hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A(3;3;0),B(3;0;3),C(0;3;3),D(3;3;3).
Viét phƣơng trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A,B,C,D ?
3

GIẢI
Gọi phƣơng trình của (S) : x  y  z  2ax  2by  2cz  d  0
2

2

2

*

Nếu (S) qua bốn điểm A,B,C,D thì ta thay tọa độ bốn điểm vào (*) ta có hệ :
3

a  2

6b  6c  d  18
a  b  0

3
2
2
2
6a  6c  d  18
d  0

3 
3 
3
27


b 



2  S  : x     y     z   

2 
2 
2
4

6b  6c  d  18
6a  9


3
6a  6b  6c  d  27
6b  9
c 


2

d  0


BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. ( ĐHQG-KA-98 ).
Trong không gian tọa độ Oxyz , cho A(a;0;0),B(o;b;0),C(o;o;c) ( a,b,c>0 ). Dựng hình hộp
chữ nhật có O,A,B,C làm bốn đỉnh . Gọi D là đỉnh đối diện của O .
1. Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABD)
2. Tìm tọa độ hình chiếu của C lên mặt phẳng (ABD)
3. Lập phƣơng trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC ?
Bài 2.( HVCNBCVT-99).
Cho hình lập phƣơng ABCD.A’B’C’D’ có cạnh là a với A(a;0;0)
,D(0;0;0),C(0;a;0),D’(0;0;a). Gọi M là trung điểm của AD, N là tâm hình vng CC’D’D.
1. Tìm bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện BC’MN ?
2. Gọi (P) là mặt phẳng qua (BMN) . Tính diện tích thiết diện hình lập phƣơng tạo bới
mặt phẳng (BMN) ?
Bài 3.( HVHCQG-2000)

Trang 4


Chun đề mặt cầu

Trong khơng gian Oxyz , cho hình lập phƣơng ABCD.A’B’C’D’ sao cho A trùng với gốc
tọa độ O ,B(1;0;0),D(0;1;0),A’(0;0;1) . Gọi M là trung điểm của AB , N là tâm hình vng
ADD’A’ .
1. Viết phƣơng trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm C,D’M,N ?
2. Tìm bán kính đƣờng trịn (C ) là giao của (S) với mặt mặt cầu (S’) đi qua A’BC’D ?
3. Tính diện tích thiết diện của hình lập phƣơng tạo bởi mặt phẳng (CMN).
Bài 4. ( ĐHAn Giang-2001).
Cho hình lập phƣơng ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh bên BB’,CC’,DD’. Với AB=a ,hai
điểm M,N trên CC’sao cho CM=MN=NC’. Xét mặt cầu (K)đi qua bốn điểm A,B’M và N.
1. Chứng minh các điểm A’,B thuộc mặt cầu (K)
2. Tính độ dài bán kính của mặt cầu (K).
Bài 5. ( BK-KD-2011).
Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh a . Trên các dƣờng thẳng vng góc với
mặt phẳng (P) tại B và C lấy hai điểm D và E nằm về cùng một phía đối với mp(P) sao cho
BD 

a 3
, CE  a 3 .
2

1. Tính độ dài cạnh AD ,AE và DE của tam giác ADE
2. Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCE ?
Bài 6.(ĐHCĐ-2001).
Trong không gian Oxyz , cho A(3;0;0),B(0;3;0),C(0;0;3) và H là hình chiếu vng góc của
O trên mặt phẳng (ABC).
1. Tính diện tích tam giác ABC và độ dài OH
2. Gọi D là điểm đối xứng với O qua H . Chứng minh tứ diện ABCD là tứ diện đều .
Tính thể tích tứ diện ABCD ?
3. Viết phƣơng trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD ?
Bài 7. ( ĐHKTCN-2001).

Trong không gian Oxyz , cho bốn điểm A(3;6;-2),B(6;0;1),C(-1;2;0),D(0;4;1).
1. Chứng minh ABCD là một tứ diện
2. Viết phƣơng trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD ?
3. Viết phƣơng trình đƣờng trịn ngoại tiếp tam giác ABC ? Tìm tâm và bán kính của
đƣờng trịn đó ?
Bài 8. ( CĐKTKT-2004).
Trong khơng gian tọa độ Oxyz, cho bốn điểm S(2;2;6),A(4;0;0),B(4;4;0),C(0;4;0)
1. Chứng minh S.ABCO là hình chóp tứ giác đều ?
2. Viết phƣơng trình mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCO ?
BÀI TỐN 2:
LẬP MẶT CẦU (S) CÓ LIÊN QUAN
ĐẾN ĐƢỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHƠNG GIAN
I. LẬP PHƢƠNG TRÌNH (S) BIẾT (S) QUA BA ĐIỂM A,B,C VÀ TÂM NẰM TRÊN MỘT MẶT
PHẲNG (P) CHO SẴN HOẶC TIẾP XÚC VỚI (P).
CÁCH GIẢI

Trang 5


Chuyên đề mặt cầu
 Bƣớc 1: Viết phƣơng trình mặt cầu dƣới dạng tổng quát , sau đó cho (S) đi qua ba
điểm A,B,C ta đƣợc ba phƣơng trình
 Bƣớc 2: Thay tạo độ tâm I với a,b,c vào phƣơng trình mặt phẳng (P) ta đƣợc phƣơng
trình thứ tƣ . Vậy ta có hệ bốn phƣơng trình bốn ẩn .
 Bƣớc 3: Giải hệ , ta suy ra a,b,c và d . Thay vào phƣơng trình tổng qt ta có
phƣơng trình của (S) .
VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1.(ĐH-KD-2004 ).
Cho ba điểm A(2;0;1),B(1;0;0) ,C(1;1;1) và mặt phẳng (P): x+y+z-2=0 . Viết phƣơng trình
mặt cầu (S) đi qua A,B,C và có tâm thuộc (P) .

GIẢI
2
2
2
Mặt cầu (S) có dạng : x  y  z  2ax  2by  2cz  d  0 *
(S) qua A,B,C ta thay tọa độ của A,B,C vào (*) ta đƣợc hệ ba phƣơng trình :
4a  2c  d  5
2a  2c  4
c  1
2a  d  1
d  2a  1
d  1
2
2





  S  :  x  1  y 2   z  1  1

2a  2b  2c  d  3 b  c  1
b  0
a  b  c  2
a  1
a  1




Ví dụ 2.Lập mặt cầu (S) qua ba điểm A(-2;4;1) ,B(3;1;-3),C(-5;0;0) và có tâm thuộc mặt
phẳng (P) : 2x+y-z+3=0 .
GIẢI
Gọi (S) có tâm I(a;b;c) và bán kính R .
Nếu (S) qua A,B,C và có tâm thuộc mặt phẳng (P) thì ta có hệ :
4a+8b+2c-d=21  A   S 
4a+8b+2c-d=21
4a+8b+2c-d=21 a  1

10a  6b  8c  21 3a  4b  c  2
b  2
6a  2b  6c  d  0  B   S 







10a  d  25  C   S 
3a  4b  c  2
3b  c  4
c  3
2a  b  c  3  0  I  P
6a  7b  3c  24
34a=34
d  35




 


Vậy mặt cầu (S) có phƣơng trình x2  y 2  z 2  2x  4 y  6z  35  0
Chú ý : Dạng toán này cịn có dạng
Lập mặt cầu (S) có tâm là I và tiếp xúc với một mặt phẳng (P) cho sẵn .
CÁCH GIẢI
 Bƣớc 1: Lập phƣơng trình đƣờng thẳng d qua I
 


và vng góc với (P)  ud  nP
 Bƣớc 2: Tìm tọa độ H là giao của d với (P) ( H
I
chính là tiếp diểm ).
 Bƣớc 3: Tính độ dài IH = R
P

Trang 6

H


Chun đề mặt cầu
VÍ DỤ ÁP DỤNG
Ví dụ 1. Trong không gian tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P): 2x+y-z+5=0 và các điểm
A(0;0;4),B(2;0;0) . Viết phƣơng trình mặt cầu đi qua O,A,B và tiếp xúc với mặt phẳng (P)
GIẢI
Cách 1:
Gọi (S) có tâm I(a;b;c) và bán kính R có dạng tổng qt :

Nếu (S) qua O,A,B thì ta có hệ ba phƣơng trình :
d  0
a  1
8c  d  16
c  2
c  2






b  1
 a  1
 a  1

4a-d=4
 2a  b  c  5

5b 2  10b  5  0
c  2
2
 2  b  2  5  6 12  b2  22  0  


d  0

R



4 11

2
2
2
Vậy (S) :  x  1   y  1   z  2  6 .

Cách 2:
Nhận xét : A ,B nằm trên hai trục Ox và Oz , cho nên OAB thuộc mặt phẳng (Oxz) vng
góc với trục Oy . Tâm đƣờng trịn ngoại tiếp tam giác OAB là trung điểm M(1;0;2) của AB
Lập đƣờng thẳng d qua M và vng góc với mp(OAB) ( Là trục của đƣờng tròn qua OAB
x  1
 
) thì d song song với Oy  u  j   0;1;0   d :  y  t . Tâm I của mặt cầu thuộc d cho nên

z  2


tọa độ của I(1;t;2) .
Vì (S) tiếp xúc với (P) cho nên : h(I,P)=R =IO
 5  t2 

2t 25
6

 5  t 2  2t  1  0  t  1  I  1;1; 2 

Do đó mặt cầu (S) có phƣơng trình là :  x  1   y  1   z  2  6
Ví dụ 2. Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P): x+2y-2z+2=0 , và điểm I có
tọa độ là I(1;2;2) .

a/ Viết phƣơng trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng (P)
b/ Tìm tọa độ giao điểm của (S) với đƣờng thẳng đi qua hai điểm M(1;2;1);N(2;1;1).
c/ Lập phƣơng trình mặt phẳng qua M,N và tiếp xúc với (S).
GIẢI
a/ Viết phƣơng trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng  
(P)
- Lập đƣờng thẳng d qua I(1;2;2) và vng góc với (P) cho nên u  n  1; 2; 2  . Cho
nên d có phƣơng trình : x=1+t ; y=2+2t;z=2-2t .
- Tìm tọa độ H là giao của d với (P) , tọa độ H là nghiệm của hệ :
2

Trang 7

2

2


Chuyên đề mặt cầu
x  1 t
 y  2  2t
1

 1 4 8
 1  t   2  2  2t   2  2  2t   2  0  9t  3  t    H    ; ; 

3
 3 3 3
 z  2  2t
 x  2 y  2z  2  0


2

2

2

1
4
8
1
Vậy : IH     1    2     2   216

 
 

3
 3  3
 3

216
2
2
2
Cho nên :  S  :  x  1   y  2    z  2  
 24 (*)
9

b/ Tìm tọa độ giao điểm của (S) với đƣờng thẳng đi qua hai điểm M(1;2;1);N(2;1;1).
-

x  1 t

Đƣờng thẳng (MN) qua M(1;2;1) có véc tơ chỉ phƣơng u  1; 1;0   ( MN ) :  y  2  t .

z  1


- Nếu (MN) cắt (S) thì : thay giao điểm A của (MN) với cầu (S) vào (*) A(t+1;2-t;1)
30
.
2


30
30 
30
30 
Do đó có hai điểm : A1  1 
;2 
;1 ; A2  1 
;2 
;1




2
2
2

2





ta có :  t  1  1   2  t  2   1  2   24  2t 2  24  9  15  t  
2

-

2

2

c/ Lập mặt phẳng (P) qua (MN) và tiếp xúc với (S) .
x  y 1  0
.
z 1  0

- Đƣờng thẳng (MN) là giao của hai mặt phẳng : 

- Suy ra (P) qua (MN) thì (P) thuộc chùm : x+y-1+m(z-1)=0 hay : x+y+mz-1-m=0 (*)
- Nếu (P) tiếp xúc với (S) thì :
 m  2  6 6
 24  m  2  3 24  
1 4  4
 m  2  6 6

 x  y  2  6 6 z 1 6 6  0

Thay vào (*) ta có hai mặt phẳng : 
x  y  6 6  2 z  1 6 6  0


h  I , P  R 

-

1  2  2m  1  m





 



II. LẬP (S) CÓ TÂM I ĐỒNG THỜI CẮT (P) THEO MỘT ĐƢỜNG TRÕN XÁC
ĐỊNH ( Biết bán kính-hoặc chu vi-hoặc diện tích )



I
K

B




CÁCH GIẢI
Bƣớc 1: Lập phƣơng trìnhđƣờng thẳng d qua I và

vng góc với (P) khi đó u  n P .
Bƣớc 2: Tìm tọa độ tâm K của đƣờng tròn giao
tuyến là giao của d với (P) . Từ đó tìm đƣợc IK .
Bƣớc 3:Dựa vào giả thiết cho biết đƣờng trịn (C )
ta tính đƣợc r .
Bƣớc 4: Tính R2  IK 2  r 2 . Thay vào phƣơng trình
mặt cầu .
Trang 8


Chun đề mặt cầu
MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1 . Trong không gian tọa độ Oxyz , cho điểm I(1;2;-2) và đƣờng thẳng d là giao
tuyến của hai mặt phẳng 2x-y-5=0 và y-z+3=0 .
1.Viết phƣơng trình mặt cầu (S) có tâm I ,đồng thời mặt phẳng (P): 2x+2y+z+5=0 cắt (S)
theo một giao tuyến là một đƣờng trịn có chu vi bằng 8 .
2.Viết phƣơng trình tiếp diện của (S) qua d ?
GIẢI
2425

 d  3 . Theo giả thiết : 8  2 r  r  4 ( là bán kính của đƣờng
3
2
2
2
trịn C ). Vậy : R 2  d 2  r 2  9  16  25  R  5   S  :  x  1   y  2   z  2  25 .

1. Tính h(I,P)=

2. Mặt phẳng tiếp diện của (S) gọi là (Q) . Do mp(Q) qua d cho nên (Q) thuộc chùm mặt
phẳng : m(2x-y-5)+n(y-z+3)=0 ; hay : 2mx-(m-n)y-nz+3n-5m =0 (*).
H(I,Q)=

7n  5m

 5   7n  5m   25  5m2  2mn  2n2   10m  n   0
2

4m 2   m  n   n 2
2

2

Nếu chọn : m=1, thì n=-10 , thay vào phƣơng trình (*) ta có phƣơng trình tiếp diện là :
2x-11y+10z-35=0 .
Ví dụ 2. Lập phƣơng trình mặt cầu (S) có tâm I(2;3;-1) và định ra trên đƣờng thẳng d có
phƣơng trình là giao tuyến của hai mặt phẳng : 5x-4y+3z+20=0 , 3x-4y+z-8=0 một dây
cung có độ dài bằng 16.
GIẢI
Ta tính h(I,d) .
 x  1  2t
- Đƣờng thẳng d viết lại :  y  5  t . Gọi H là một điểm

 z  15  2t


I
A

B

d

H

bất thuộc d thì H(1+2t;-5+t;-15-2t)
kỳ



 IH   2t  1; t  8; 2t  14   u   2;1; 2 
 

 IH .u '  0  2  2t  1   t  8  2  2t 14   0  9t  18  t  2

AB 2
 IH 2  64  225  269
Vậy : H   5; 10; 10   IH  25  100  100  225  R 
4
2
2
2
Vậy : S: x  2   y  3   z  1  289 .
 

 IM , u 

- Ta cịn có cách tính IH bằng công thức : h  I , d      ; M  1; 5; 15
u
2

2

Trang 9


Chuyên đề mặt cầu
2

2

2

 8 14   14 1   1 8 
 


 
 

 IM , u 


1 2   2 2   2 1 
302  302  152
2025




 IM  1;8;14   IH 



 15

3
3
4 1 4
u
2

2

AB
16
Theo cách tính : R  IH     225     225  64  269 .


 
 2 
 2
2

2

Ví dụ 3.( ĐHLN-2001).
 x  t

Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho đƣờng thẳng d:  y  1  2t và mp (P): 2x-y-2z-2=0 .

z  2  t


1/ Lập phƣơng trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đƣờng thẳng d và tâm I cách mặt phẳng (P)
một khoảng bằng 2 .đồng thời (S) cắt (P) theo đƣờng trịn có bán kính bằng 3.
2/ Viết phƣơng trình mặt phẳng ® qua d và tạo với (P) một góc nhỏ nhất .
GIẢI
1/ Lập phƣơng trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đƣờng thẳng d và tâm I cách mặt phẳng (P)
một khoảng bằng 2 .
 Nếu I  d  I   t; 1  2t; 2  t   h  I , P  






2  t    2t  1  2  2  t   2
4 1 4

 2  6t  5  6


 1 2 13 
 1
t
 I1    6 ;  3 ; 6 
 6
6t  5  6



. Tính khoảng cách từ hai tâm đến (P)



11

 11 14 1 
6t  5  6
t  
 I2   ;  ; 

6

3 6
6


 1 2
 13 
 11  14
1
2     2   2
2    2   2
 6 3
6
6 3
6
h  I1 , P  

 2; h  I 2 , P  
 2 . Do đó :
4 1 4
4 1 4
2
2
2
 2
1 
2   13 
2

 R1   2   9  13   S1  :  x     y     z    13
6 
3 
6


2
2
2

14  
1
2
 11  
2
 R2   2   9  13   S2  :  x     y     z    13
6 
3 

6




x
 1 
2/ Đƣờng thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng : 

x 
 1


y 1
2x  y  1  0
2

.
z2
x  z  2  0
1

Do vậy mặt phẳng (R ) qua d thì (R ) thuộc chùm : 2x+y+1+m(x+z-2)=0 .



Hay mp( R) : (2+m)x+y+mz+1-2m=0 (*). Mp( R) có n1   m  2;1; m ; nP   2; 1; 2  .
 
 
n1.nP

Vậy : cos  

n1 nP

2  m  2   1  2m

 m  2

2

 1  m2 4  1  4



5
3 2m 2  4m  5

Do  nhỏ nhất cho nên cos lớn nhất khi m=-1 .
Trang 10



5
1
5

3 2  m  12 3 3 3


Chuyên đề mặt cầu

Vậy thay vào (*) ta có mp( R): x+y-z+3=0 .
Chú ý : Dạng tốn này cịn có cách giải khác :
Giả sử ( R) là mặt phẳng qua d và cắt (P) theo giao
B
tuyến  và A=d giao với (P) . B là một điểm bất kỳ
trên d . Kẻ BH  ( P), BC         BHC   BHC
d
Là góc phẳng của nhị diện tạo bởi (P) và ( R) .


H

A
P

Vì HC    HC  HA  tan  

BH BH

 hằng số .
HC HA

Nên  có giá trị nhỏ nhất khi C trùng với A
 d   . Vậy ( R) là mặt phẳng qua AB và cắt (P)
theo giao tuyến    ABH  .
Ta có :

C






 
 


vd   1;2;1 , nP   2; 1; 2   vd , nP    3;0; 3 / / v  1;0;1


 
 


Mặt khác ta lại có : vd , v    2;2; 2  / / 1;1; 1  nR . Để ý M(0;-1;2) thuộc d nằm trong ( R).



Ta có phƣơng trình mặt phẳng ( R) : x+y+1-(z-2)=0 ,Hay : x+y-z+3=0 .
BÀI TOÁN 3:
LẬP MẶT PHẲNG-ĐƢỜNG THẲNG KHI CHO PHƢƠNG TRÌNH CỦA MẶT
CẦU (S)
I. LẬP MẶT PHẲNG TIẾP XÖC VỚI MẶT CẦU

Chú ý :
- Giả sử cần lập mặt phẳng (P) tiếp xúc với cầu (S) có tâm I(a;b;c;) và bán kính R
Mặt phẳng (P) : Ax+By+Cz+D=0 đƣợc xác định khi tối thiểu phải biết đƣợc ba ẩn số .
Trong khi đó điều kiện để mặt phẳng (P) tiếp xúc với cầu (S) thì chỉ có một dữ kiện là
h(I,P)=R . 

aA  bB  cC  D
A2  B 2  C 2

 R.

- Vì thế cho nên bài ra bao giờ cũng cho thêm tối thiểu hai dự kiện nữa .
1. Lập mặt phẳng (P) vng góc với đƣờng thẳng d cho sẵn ( hoặc song song với một
mặt phẳng (Q) cho sẵn ) và tiếp xúc với cầu (S) .
CÁCH GIẢI
 
 
 Bƣớc 1: Nếu (P) vng góc với d thì nP  ud   A; B; C    P  : Ax  By  Cz  m  0 *
 Bƣớc 2: Nếu (P) tiếp xúc với cầu (S) thì : 

aA  bB  cC  m
A2  B 2  C 2

R

1

 Bƣớc 3: Giải (1) ta tìm đƣợc ẩn m thay vào (*) ta có mặt phẳng (P)
 Trƣờng hợp (P) song song với (Q) thì véc tơ pháp tuyến của (Q) cũng là của (P).
MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA
2x  3 y  4z  1  0
và mặt cầu (S) có phƣơng trình là :
 x  y  2z  9  0

Ví dụ 1; Cho đƣờng thẳng d : 

Trang 11


Chuyên đề mặt cầu
x2  y 2  z 2  4x  2 y  6z  6  0 . Hãy lập phƣơng trình mặt phẳng (P) vng góc với d và tiếp

xúc với mặt cầu (S).
GIẢI


 


 3

4 4

Đƣờng thẳng d có véc tơ chỉ phƣơng u  n1 , n2   
;


1 2 2

Mặt cầu (S) có tâm I(2;-1;3) và có bán kính là R= 20 .
Do vậy (P) vng góc với d có dạng : 2x+z+m=0 (*)
Nếu (P) tiếp xúc với (S) thì : h  I , P  

2.2  3  m
4 1

 P  : 2x  z  3  0
1



3 
   2;0;1  nP .
1 1 1 
2

;

2

m  3
 20  m  7  10  
 m  17

Vậy có hai mặt phẳng : 

 P2  : 2x  z  17  0


Ví dụ 2.( Bài 87- tr137-BTHH12NC).
Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho mặt cầu :  S  : x2  y 2  z 2 10x  2 y  26z  113  0 .
x  5 y  1 z  13
Và hai đƣờng thẳng d :


;

2
3
2

 x  7  3t

d ' :  y  1  2t
z  8


a/ Viết phƣơng trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) và vng góc với d .
b/ Viết phƣơng trình mặt phẳng (Q) tiếp xúc với (S) và song song với cả d ,d’.
GIẢI
a/ Viết phƣơng trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) và vng góc với d .
Mặt cầu (S) có tâm I(5;-1;-13) và có bán kính R= 308



Đƣờng thẳng d có véc tơ chỉ phƣơng u   2; 3;2   nP
Nếu (P) vng góc với d thì (P): 2x-3y+2z+m=0 (*).
Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) thì :
h  I , P 

10  3  26  m
494

 308  m  13  17.308  m  13  5236

Tóm lại có hai mặt phẳng : 2x-3y+2z 13  5236 =0 .
b/ Viết phƣơng trình mặt phẳng (Q) tiếp xúc với (S) và song song với cả d ,d’.



ud   2; 3; 2 
   3 2 2 2 2 3 



  ud , ud '   
;
;
Ta có : 

   4;6;5   nQ


 2 0 0 3 3 2 
ud '   3; 2;0 


Vậy (Q) có dạng : 4x+5y+6z+m=0 (*)
 m  103
 308  m  51  154  
16  36  25
 m  205
 Q1  : 4x  5 y  6z  103  0
Vậy có hai mặt phẳng (Q) : 
 Q2  : 4x  5 y  6z  205  0


Nếu (Q) tiếp xúc với (S) thì : h  I , Q  

20  6  65  m

2. Lập mặt phẳng (P) chứa đƣờng thẳng d và tiếp xúc với cầu (S)
CÁCH GIẢI
Trang 12


Chuyên đề mặt cầu
 Bƣớc 1: Chuyển đƣờng thẳng d sang dạng là giao tuyến của hai mặt phẳng .
 Bƣớc 2: Nếu (P) chứa d thì (P) thuộc chùm mặt phẳng . Viết phƣơng trình chùm mặt
phẳng sau đó chuyển về dạng mẫu mực .
 Bƣớc 3: Sử dụng điều kiện : (P) tiếp xúc với (S) thì h(I,P) = R , ta sẽ thu đƣợc
phƣơng trình của mặt phẳng (P)
VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1.( MĐC-98).
Trong khơng gian tọa độ Oxyz , cho đƣờng thẳng d :

x  13 y  1 z

 và mặt cầu (S) có
1
1
4

phƣơng trình : x2  y 2  z 2  2x  4 y  6z  67  0 .
Hãy lập phƣơng trình mặt phẳng (P) chứa d và tiếp xúc với (S) .
GIẢI
( Chuyển d về dạng giao tuyến của hai mặt phẳng )
Đƣờng thẳng d là giao của hai mặt phẳng :

 x  13 z
 1  4
4x  z  52  0

.


4 y  z  4  0
 y 1  z
 1

4

I
d

M


u

Nếu (P) chứa d thì (P) thuộc chùm :
4x+z-52+m(4y-z+4)=0 ;
Hay : 4x+4my+(1-m)z+4m-52=0 (*) .
Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3) và có bán kính R=9. Cho nên (P) tiếp xúc với (S) thì :
Khoảng cách từ tâm I đến (P) bằng bán kính :
P

H

 m  1

 9   9m  45  9 17m  2m  17   2m  m  1  0  
2
m  1
2
16  16m  1  m 

2
 P  : 2x  2 y  z  28  0
1
Thay vào (*) ta có hai mặt phẳng : 
.
 P2  : 8x  4 y  z  100  0

4  8m  3(1  m)  4m  52

2

2

2

8x  11y  8z  30  0
và mặt
 x  y  2z  0

Ví dụ 2. Trong không gian tọa độ Oxyz , cho đƣờng thẳng d : 

cầu (S) có phƣơng trình : x2  y 2  z 2  2x  6 y  4z 15  0 .

Hãy viết phƣơng trình mặt phẳng (P) chứa d và tiếp xúc với cầu (S) .
GIẢI
Cầu (S) có tâm I(-1;3;-2) và có bán kính R= 29 .
Mặt phẳng (P) chứa d cho nên (P) thuộc cùm mặt phẳng :
8x-11y+8z-30+m(x-y-2z)=0 ; hay : (8+m)x-(11+m)y+(8-2m)z-30=0 (*)
Néu (P) tiếp xúc với (S) thì :
h  I , P 

  8  m   3 11  m   2 8  2m   30

8  m   11  m   8  2m 
2

2

2

 29 

Trang 13

87
6m  6m  249
2

 29


Chuyên đề mặt cầu
m  1

6.m2  6.m  249  3.87  m2  m  2  0  
 m  2

Nếu m=1: (P) : 9x-12y+6z-30=0 ; hay : 3x-4y+2z-10=0 .
Nếu m=-2 thì (P): 6x-9y+12z-30=0 , hay (P): 2x-3y+4z-10=0 .
Nhƣ vậy có hai mặt phẳng chứa d và tiếp xúc với (S) .
II. MẶT PHẲNG CẮT MẶT CẦU – TÌM TỌA ĐỘ TÂM VÀ BÁN KÍNH ĐƢỜNG
TRÕN GIAO TUYẾN .
BÀI TỐN :
Cho mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c) và bán kính R . Mặt phẳng (P) Ax+By +Cz+D=0 . Chứng
minh (P) cắt (S) . Tìm tọa độ tâm và bán kính của đƣờng trịn giao tuyến
CÁCH GIẢI
 Bƣớc 1: Lập phƣơng trình đƣờng thẳng d qua tâm cầu I và
 
vng góc với mặt phẳng (P) : u  n   A; B; C 
 Bƣớc 2: Tìm tọa độ giao điểm K của d với (P) . ( Đó
chính là tâm của đƣờng trịn giao tuyến ). Sau đó tính độ
I
dài đoạn thẳng d=IK
R
d
 Bƣớc 3: Để tính bán kính của đƣờng trịn ( C) ta sử dụng
K
công thức : r 2  R2  d 2  R2  IK 2
r
MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1.( Bài 3.59-Ơn chƣơng III-tr117-BTHH12CB)
Trong khơng gian cho bốn điểm A(1;0;0),B(0;1;0),C(0;0;1) và D(1;1;0)
a/ Viết phƣơng trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A,B,C,D /
b/ xác định tâm và bán kính của đƣờng trịn là giao tuyến của mặt phẳng(ACD) với mặt

cầu (S)
GIẢI
a/ Viết phƣơng trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A,B,C,D
Từ hình vẽ , dễ dàng tìm đƣợc tọa độ tâm cầu (S) là I :
- Gọi J là trung điểm của AB J   ; ;0 


2 2 
- Kẻ đƣờng thẳng m qua J và song song với Oz cắt
CD tại I ( I là trung điểm của CD ) . Do vậy :
1 1

C
K
I
B

O
J
A
D

1 1 1
I  ;
 . Bán kính của cầu (S) bằng đoạn thẳng
2 2 2
1 1 1
3
OI=    .
4 4 4

2

Ta có :



   0 1 1 1 1 0 

AC   1;0;1 , AD   0;1;0    AC , AD   
;
;
   1;0; 1 / / n  1;0;1


1 0 0 0 0 1

Trang 14


Chuyên đề mặt cầu
Mặt phẳng (ACD) qua A(1;0;0) và có véc tơ pháp tuyến là
 
 
 AC, AD   1;0; 1   ACD  : x  z  1  0



b/ xác định tâm và bán kính của đƣờng trịn là giao tuyến của mặt phẳng(ACD) với mặt
cầu (S)

-

1

x  2  t

1
Gọi d là đƣờng thẳng qua tâm cầu I và vng góc với (ACD) thì d :  y 

2

1

z  2  t


- Đƣờng thẳng d cắt ACD) tại điểm H thì tọa độ H là nghiệm của hệ :
1
1
1 1 1
 t   t 1  0  t  0  H   ; ; 
2
2
2 2 2

- trùng với I . Vì thế (ACD) cắt (S) theo đƣờng trịn lớn có bán kính bằng bán kính
của (S) r  R 

3
.

2

Ví dụ 2.( Bài 3.54-Ơn chƣơng III-tr116-BTHH12CB)
Cho mặt phẳng (P): 2x-3y+4z-5=0 và mạt cầu (S): x2  y 2  z 2  3x  4 y  5z  6  0
a/ Xác định tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S)
b/ Tính khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P). Từ đó chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt
mặt cầu (S) theo một đƣờng tròn mà ta ký hiệu là (C ). Xác định bán kính r và tâm H của
đƣờng tròn (C ).
GIẢI
a/ Xác định tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S)
3
5
9
25
26
Mặt cầu (S) có tâm I=   ; 2;  ; R   4   6 


 2

2

4

4

2

 3
5

2     3  2   4    5
2
8
2

 29  R .
b.Ta có khoảng cách từ tâm I đến (P) : h( I , P)   
4  9  16
29

Chứng tỏ : (P) cắt cầu (S) theo giao tuyến là một đƣờng trịn .
Tìm tâm và bán kính của ( C).
3

 x   2  2t

 Đƣờng thẳng d qua I và vuông góc với (P) :  y  2  3t

5
 z   4t
2


 Đƣờng thẳng d cắt (P) tại H ( là tâm của đƣờng tròn ) : Tọa độ của H là nghiệm của
hệ :

Trang 15


Chuyên đề mặt cầu

3

 x   2  2t

8
 y  2  3t
 3

5

 119 34 81 
 2    2t   3  2  3t   4   4t   5  0  t  
 H 
; ; 

29
29 58 
 2

2

 58
 z  5  4t

2
2x  3 y  4z  5  0


Bán kính r của ( C) : r 2  R 2  h2  I , P  

26 64 249
249


r 
4 26 58
58

Ví dụ 3. ( ĐH-Đà lạt -2001)
Trong khơng gian tọa độ Oxyz , cho điểm I(0;1;2) ,A(1;2;3) ,B(0;1;3)
1/ Viết phƣơng trình mặt cầu (S) có tâm I và đi qua A ?

2/ Viết phƣơng trình mặt phẳng (P) qua B có véc tơ pháp tuyến n  1;1;1
3/ Chứng minh (P) cắt (S) theo một đƣờng tròn ( C) . Tìm tâm và bán kính của ( C) ?
GIẢI
1/ Viết phƣơng trình mặt cầu (S) có tâm I và đi qua A ?
2
2
2
Nếu (S) qua A(1;2;3) , thì IA=R  R2  IA2  1  0   2  1   3  2  3 .
Vậy (S) :  x  1   y  2   z  3  3 .

2/ Lập mặt phẳng (P) qua B(0;1;3) có n  1;1;1 , (P) : x+y+z-4=0 (*).
2

2

2

3/ Chứng minh (P) cắt (S) : Ta có h  I , P  

0 1 2  4
3



1
 3  R   P   S 
3

x  t
 Tìm tọa độ tâm : Lập d qua I ( 0;1;2) và vuông góc với (P) : d :  y  1  t

z  2  t

x  t
 y  1 t
1
1 4 7
 Tâm H của ( C) là d cắt (P) , d : 
 3t  1  t   H   ; ; 

3
3 3 3
z  2  t
x  y  z  4  0


1
3

8
3

 Bán kính r của ( C) : r 2  R 2  h2  I , P   3    r 

8 2 6

3
3

BÀI TỐN 4:
TÌM ĐIỂM TRÊN CẦU (S) THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN – (S) CHỨA THAM SỐ
BÀI TOÁN : Cho mặt cầu (S) : F(x,y,z)=0 (1) hoặc F(x,y,z,m)=0 (2) . Mặt phẳng (P) hay
đƣờng thẳng d ( cho phƣơng trình )
1/ Tìm điểm M trên (S) sao cho khoảng cách từ M đến (P) là nhỏ nhất , lớn nhất .
2/ Tìm m để d cắt (S) : F(x,y,z,m) =0 tại hai điểm M,N sao cho MN=a ( hằng số )
3/ Tìm quỹ tích tâm I của (S) ....
CÁCH GIẢI
Trang 16


Chuyên đề mặt cầu
1/ Tìm điểm M trên (S) sao cho khoảng cách từ M đến (P) là nhỏ nhất , lớn nhất .
 Bƣớc 1: Lập phƣơng trình đƣờng thẳng d qua I và vng góc với (P)
 Bƣớc 2: Tìm tọa độ H ,K là giao của d với (Q) . Sau đó tính IH và IK . H,K là các
điểm cần tìm .
2/ Tìm m để d cắt (S) : F(x,y,z,m) =0 tại hai điểm M,N sao cho MN=a ( hằng số )
 Bƣớc 1: Chuyển d sang tham số . Lập hệ để tìm giao của d và (S) suy ra g(t,m)=0
 Bƣớc 2: Lấy trên d một điểm H , tính IH theo cơng thức .(1)

 Bƣớc 3: Sử dụng IH 2  R 2  


MN 

 2 

2

 2  . Từ (1) và (2) suy ra m cần tìm .

3/ Tìm quỹ tích tâm I của (S) ....
* Sử dụng phƣơng pháp tìm quỹ tích trong hàm số .
MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Trong khơng gian tọa độ Oxyz , cho (S) : x2  y 2  z 2  2x  2z  2  0 và mặt phẳng
(P) : 2x-2y+z+6=0 . Tìm điểm A trên (S) sao cho khoảng cách từ A đến (P) lớn nhất , nhỏ
nhất ?
GIẢI
2
2
2
 Mặt cầu (S) :  x  1  y   z  1  4  I  1;0; 1 , R  2 .
 x  1  2t
 Đƣờng thẳng d qua I(1;0;-1) và vng góc với (P) : d :  y  2t

z  1 t


 Đƣờng thẳng d cắt (S) thơng qua phƣơng trình :

1  2t 1   2t    1  t 1
2

2

2

 4  9t 2  4

 2
13
7 4 1
t  3  A   3 ;  3 ;  3   h( A, P)  3
2


t   

3
2
1
 1 4 5
t    A    ; ;    h( A, P) 
3
3
 3 3 3

2x  2 y  z  1  0
và mặt cầu
 x  2 y  2z  4  0

Ví dụ 2. Trong khơng gian tọa độ Oxyz , cho đƣờng thẳng d : 

(S) : x2  y 2  z 2  4x  6 y  m  0 . Tìm m để d cắt (S) tại hai điểm M,N sao cho MN=8 .
GIẢI
Mặt cầu (S) có tâm I(-2;3;0) và bán kính R= 4  9  m  13  m  0  m  13 *
2

2

MN 
8
Mặt khác ta có : IH  R  r  13  m   

  13  m     m  3  IH  m  3 (1)
 2 
 2
2

2

2

Trang 17


Chuyên đề mặt cầu
Lại có IH=h(I,d) . Ta có d qua M(0;1;-1) và có véc tơ chỉ phƣơng là tích có hƣớng của hai
véc tơ pháp tuyến của hai mặt phẳng :


   2 1 1 2 2 2 



u   n, n '  
;
;
  6;3;6  / / u '   2;1; 2  ; MI   2; 2;1 .



 2 1 1 2 2 2 
 

 MI , u '
9  36  36
Do đó : h  I , P      
 3 (2)
4 1 4
u'

Từ (1) và (2) : m  3  3  m  12 . Vậy với m=-12 thì thỏa mãn u cầu bài tốn .
Ví dụ 3. Trong khơng gian tọa độ Oxyz , cho họ :

 Sm  : x2  y 2  z 2  4mx  2my  6z  m2  4m  0
1/ Tìm m để  Sm  là phƣơng trình của một mặt cầu ?
2/ Chứng minh rằng tâm I của  Sm  luôn nằm trên một đƣờng thẳng cố định ( với các giá
trị của m tìm đƣợc )
GIẢI
1/ Tìm m để  Sm  là phƣơng trình của một mặt cầu ?

 Sm  :  x  2m   y  m   z  3  4m2  4m  9 (*)
Để  Sm  là phƣơng trình của mặt cầu thì : 4m2  4m  9  0   '  4  36  32  0 . Do đó với
2

2

2

mọi m (*) ln là phƣơng trình của (S) .
2/ Ta có tọa độ tâm I của  Sm 

 x  2m
x  2 y  0
là :  y  m  
. Đây chính là giao của hai mặt

z  3
z  3


phẳng . Do đó giao tuyến của chúng là một đƣờng thẳng cố định ( ví không phụ thuộc vào
m ).
MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYÊN
Bài 1. ( ĐH-Thủy lợi -2000)
Trong không gian tọa độ Oxyz , cho mặt cầu (S) : x2  y 2  z 2  6x  4 y  2z  5  0 và mặt
phẳng (P) : x+2y+2z+11=0 .
a/ Tìm tọa độ tâm và bán kính của (S)
b/ Tìm điểm M trên mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ đó đến mặt phẳng (P) là ngắn nhất
?

Bài 2. ( ĐHAN-KA-98) .
Cho tam diện vuông Oxyz và một phần tám mặtcầu đơn vị : x 2  y 2  z 2  1 (x,y,z  0 ), trong
góc tam diện ấy . Một mặt phẳng (P) tiếp xúc với một phần tám mặt cầu ấy tại điểm M cắt
các trục Ox, Oy,Oz thứ tự tại A,B,C sao cho OA=a,OB=b,OC=c (a,b,c>0).
1 1 1
  1 ?
a 2 b2 c2
b/ Chứng minh : 1  a 2 1  b2 1  c2   64 . Tìm vị trí của M khi dấu đẳng thức xảy ra ?

a/ Chứng minh rằng :

Trang 18


Chuyên đề mặt cầu
Bài 3. ( ĐHQG-A-99).
 Cho đƣờng tròn ( C) là giao tuyến của cầu (S) : x2  y 2  z 2  4x  6 y  6z  17  0 với
(P) có phƣơng trình : x-2y+2z+1=0 .
1/ Tìm tọa độ tâm và bán kính đƣờng trịn ( C)
2/ Lập phƣơng trình mặt cầu (S’) chứa đƣờng trịn ( C) có tâm nằm trên mặt phẳng (Q) :
x+y+z+3=0 .
 Cho họ : Cm : x2  y 2  z 2  2  m  1 x  2  m  2 y  6m  7  0 . ( với m là tham số )
1/ Tìm quỹ tích tâm I của họ Cm
2/ Tìm tọa độ tâm thuộc họ mà tiếp xúc với Oy .
2x  y  2z  12  0
. Lập phƣơng trình đƣờng trịn ( C) có tâm
4x  7 y  z  6  0

Bài 4. Cho đƣờng thẳng  : 

I(1;-1;-2) và cắt  tại hai điểm A,B sao cho AB=8 .
Bài 5. ( ĐH-Thủy lợi -2000) .
Cho mặt cầu (S) : x2  y 2  z 2  6x  4 y  2z  5  0 . Và mặt phẳng (P) : x+2y+2z+11=0 .
1/ Tìm tọa độ tâm và bán kính của ( C) là giao của (P) với (S) ?
2/ Tìm tọa độ điểm M trên (S) sao cho khoảng cách từ đó đến (P) nhỏ nhất ?
Bài 6. ( ĐH-YHP-2000).
Cho các điểm A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c) ( a,b,c>0) và :

1 1 1
  2 .
a b c

1/ Chứng minh khi a,b,c thay đổi thì mặt phẳng (ABC) ln đi qua một điểm cố định . Tìm
tọa độ điểm cố định ấy ?
2/ Tìm tâm và bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC ? và chứng minh :

1
r
4
2



3



3 1

BỔ SUNG THấM

Bài 1.
Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz cho mặt phẳng (Pm):
2x+2y+z m2-3m=0 và mặt cầu (S): (x-1)2+(y+1)2+(z-1)2=9.
a.Tìm m để mặt phẳng (Pm) tiếp xúc mặt cầu (S). Với m tìm đ-ợc, hÃy xác định toạ độ tiếp
điểm của mặt phẳng (Pm) và mặt cầu (S)
b. Cho m=2. Chøng minh r»ng mp(P2) tiÕp xóc víi (S). Tìm toạ độ tiếp điểm c. Xác định m
để (Pm) cắt (S) theo một đ-ờng tròn (C) có bán kính r=2 2
Bài2.
Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz cho ba điểm A(2;0;1),B(1;0;0),
C(1;1;1) và mặt phẳng (P): x+y+z-2=0. Viết ph-ơng trình mặt cầu đi qua ba điểm A, B, C và
có tâm thuộc mặt phẳng (P)
Bài 3.
Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABCA 1B1C1
với A(0;-3;0), B(4;0;0), C(0;3;0), B1 (4;0;4)
a. Tìm toạ độ các đỉnh A1, C1. Viết ph-ơng trình mặt cầu có tâm là A và tiÕp xóc víi mỈt
Trang 19


Chuyờn mt cu
phẳng (BCC1B1).
b. Gọi M là trung điểm của A1B1. Viết ph-ơng trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, M và
song song với BC1. Mặt phẳng (P) cắt đ-ờng thẳng A1C1 tại N. Tính độ dài đoạn MN
Bài 4.
Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz cho ba điểm A(2;0;0), C(0;4;0),
S(0;0;4).
a. Tìm toạ độ điểm B thuộc mặt phẳng Oxy sao cho tứ giác OABC là hình chữ nhật. Viết
ph-ơng trình mặt cầu đi qua bốn điểm O, B, C, S
b. Tìm toạ ®é ®iĨm A1 ®èi xøng víi ®iĨm A qua ®-êng thẳng SC
Bài 5.
Trong kg với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz cho ba điểm A(1;1;0), B(0;2;0), C(0;0;2)

a. Viết ph-ơng trình mặt phẳng (P) qua gốc toạ độ O và vuông góc với BC. Tìm toạ độ giao
điểm của đ-ờng thẳng AC với mặt phẳng (P)
b. CM ABC là tam giác vuông. Viết ph-ơng trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC
Bài 6.
Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz cho mặt phẳng
(P): 2x+y-z+5=0 và các điểm A(0;0;4), B(2;0;0)
a. Viết ph-ơng trình hình chiếu vuông góc của đ-ờng thẳng AB trên mặt phẳng (P)
b. Viết ph-ơng trình mặt cầu đi qua O, A, B và tiếp xúc với mặt phẳng (P)
Bài 7.
Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz cho 4 điểm S(2;2;6), A(4;0;0),
B(4;4;0), C(0;4;0)
a. CMR hình chóp SABCO là hình chóp tứ giác đều
b. Viết ph-ơng trình mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCO
Bài 8.
Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz cho đ-ờng thẳng d:
2 x 2 y z 1 0
và mặt cầu (S): x2+y2+z2+4x-6y+m=0. Tìm m để đ-ờng thẳng d cắt mặt

x 2 y 2z 4 0

cầu (S) tại hai điểm M, N sao cho khoảng cách giữa hai điểm đó bằng 9
Bài 9.
Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz cho A(0;3;-3), B(1;1;3) và đ-ờng
x  3  2t
th¼ng d:  y  5  2t

z  1 t


a. CMR ABd

b. T×m h×nh chiÕu cđa A, B trên d
c. Tìm Md để MA+MB nhỏ nhất
d. Viết ph-ơng trình mặt cầu nhỏ nhất qua A, B vµ tiÕp xóc d
Bµi 10.
Gäi (C) lµ giao tun cđa mặt cầu (S): (x-3)2+(y+2)2+(z-1)2=100 và (P): 2x-2y-z+9=0. Xác
định toạ độ tâm và bán kính của (C)
Bài11.
Trang 20


Chuyờn mt cu
Trong kg gian với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz cho mặt phẳng (P): x+y+z-1=0 và
đ-ờng th¼ng d:

x y z 1
.
 
1 1
1

a. ViÕt PTCT cđa các đ-ờng thẳng là giao tuyến của mp(P) với các mặt phẳng toạ độ. Tính
thể tích của khối tứ diện ABCD, biết A, B, C là giao điểm t-ơng ứng của mp(P) với các trục
toạ độ Ox, Oy, Oz còn D là giao điểm của đ-ờng thẳng d với mặt phẳng toạ độ Oxy
b. Viết ph-ơng trình mặt cầu (S) đi qua 4 điểm A, B, C, D. Xác định toạ độ tâm và bán kính
của đ-ờng tròn là giao tuyến của mặt cầu (S) với mp(ACD)
Bài12.
Trong kg Đềcác vuông góc Oxyz cho A(-3;1;2) và mp(P): 2x+3y+z-13=0
a. HÃy viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng d đi qua A và vuông góc với mp(P). Tìm toạ độ giao
điểm M của d và (P)
b. Viết ph-ơng trình mặt cầu tâm A bán kính R=4. CMR mặt cầu này cắt mp(P) và tìm bán

kính của đ-ờng tròn là giao của mặt cầu và mp(P)
Bài13.
Trong không gian với
hệ toạ độ Đềcác vuông Oxyzcho 4 điểm A, B, C, D có toạ độ xác
góc


định bởi A(2;4;-1); OB i 4 j  k ; C(2;4;3); OD  2i  2 j  k
a. CMR ABAC; ABAD; ACAD vµ tÝnh thĨ tÝch cđa tø diƯn ABCD
b. ViÕt PTTS cđa ®-êng vuông góc chung của 2 đ-ờng thẳng AB và CD
c. Viết PTmp(ABD) và tính góc giữa đ-ờng thẳng với mp(ABD)
d. Viết ph-ơng trình mặt cầu (S) đi qua 4 điểm A, B, C, D
Bài14.
Trong kg hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz cho I(1;2;2) và mp(P): x+2y-2z+2=0
a. Viết ph-ơng trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với (P). Tìm tiếp điểm
b. Tìm giao điểm của (S) với đ-ờng thẳng qua điểm M(1;2;1); N(2;1;1)
c. Lập ph-ơng trình mp qua MN và tiếp xúc với (S)
Bài15.
Trong kg vuông góc Oxyz cho mặt cầu (S): x2+y2+z2-2x+4y-6z=0
a. Xác định vị trí t-ơng đối của (S) với đ-ờng thẳng d qua M(1;-1;1), N(2;1;5). Tìm toạ độ
giao điểm của (S) và d (nếu có). Xác định tâm và tính bán kính của đ-ờng tròn giao tuyến
giữa (S) với mp Oxy
b. Tìm m để mp(P): x-y-z-m=0 là tiếp diện của (S). Khi đó tìm góc tạo bởi (P) và tiếp diện
(Q) của (S) biết (Q) qua gốc O
Bài 16.
Cho hình chóp tứ giác SABCD có độ dài tất cả các cạnh đều bằng a.
a. CMR đáy ABCD là hình vuông
b. Năm điểm S, A, B, C, D cùng nằm trên một mặt cầu. Tìm tâm và bán kính của mặt cầu đó
Bài17. Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz cho tứ diện OABC có O là
gốc toạ độ, AOx, BOy. COz và mp(ABC) có ph-ơng trình là 6x+3y+2z-6=0

a. Tính thể tích khối tứ diện OABC
b. Xác định toạ độ tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp khối tứ diện OABC
Bài18.
Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz cho mặt cầu
Trang 21


Chuyên đề mặt cầu
(S): x2+y2+z2=2(x+2y+3z)
a. Gäi A, B, C lµ giao điểm (khác điểm O(0;0;0)) của mặt cầu (S) với các trục 0x, 0y, 0z.
Xác định A, B, C và viết ph-ơng trình mặt phẳng (ABC)
b. Xác định tâm đ-ờng tròn ngoại tiếp ABC
Bài19.
Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz cho mặt cầu (S) có ph-ơng trình
x2+y2+z2=4 và mặt phẳng (P) có ph-ơng trình x+y+z=1
a. Tính khoảng cách từ tâm I của mặt cầu (S) tới mặt phẳng (P) và chứng tỏ rằng mặt phẳng
(P) cắt mặt cầu (S) theo một đ-ờng tròn.
b. Viết ph-ơng trình đ-ờng tròn (C) là giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S). HÃy xác
định toạ độ tâm H và tính bán kính của đ-ờng tròn (C) đó.
Bài20.
Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz cho A(0;-2;0), B(2;1;4) và mặt
phẳng (): x+y-z+5=0
a. Viết PTTS của đ-ờng thẳng d đi qua A và B
b. Tìm trên đ-ờng thẳng d điểm M, sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng () bằng 2 3 .
c. Viết ph-ơng trình mặt cầu (S) có đ-ờng kính AB. Xét vị trí t-ơng đối giữa mặt cầu (S) và
mặt phẳng ()
Bài 21.
5 x  4 y  3z  20  0
và điểm I(2;3;-1)
3x 4 y z 8 0

Cho đ-ờng thẳng :

a. Tính khoảng cách từ điểm I đến đ-ờng thẳng
b. Viết ph-ơng trình mặt cầu (S) tâm I và cắt đ-ờng thẳng tại hai điểm phân biệt A, B sao
cho AB=8
Bài 22.
Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, có giao tuyến là đ-ờng thẳng . Trên
lấy hai điểm A, B với AB=a. Trong mặt phẳng (P) lấy điểm C, trong mặt phẳng (Q) lấy điểm
D sao cho AC, BD cùng vuông góc với và AC=BD=AB. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp
tứ diện ABCD và tính khoảng cách từ A đến mp(BCD) theo a
Bài 23.
Cho hình chóp tứ giác đều SABCD, biết các đỉnh S(3;2;4), A(1;2;3), C(3;0;3). Gọi H là tâm
hình vuông ABCD
a. Viết ph-ơng trình mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD
b. Tính thể tích của khối chóp có đỉnh S, đáy là thiết diện tạo bởi hình chóp SABCD với mp
đi qua H và vuông góc với SC
Bài 24.
Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi, AC cắt BD tai gốc 0, biết A(2;0;0),
B(0;1;0), S(0;0;2 2 ). Gọi M là trung điểm của SC
a. Tính góc và khoảng cách giữa hai đ-ờng thẳng SA và BM
b. Giả sử mp(ABM) cắt đ-ờng thẳng SD tại N. Tính thể tích khối chóp SABMN
Bài 25.

Trang 22


Chuyên đề mặt cầu
8 x  11y  8 z 30 0
và tiếp xúc với mặt cầu

x y 2z 0

Lập ph-ơng trình mp chứa đ-ờng thẳng:

x2+y2+z2+2x-6y+4z-15=0
Bài 26.
Lập ph-ơng trình mp tiếp xúc với mặt cầu: x2+y2+z2-10x+2y+26z-113=0 và song song với
hai đ-ờng thẳng :

x 5 y  1 z  13
x  7 y 1 z 8
, :




2
3
2
3
2
0

Bài 27.
Lập pt mặt cầu có tâm I:

x 2 y 1 z 1
và tiếp xúc với hai mp

3
2
2

(P): x+2y-2z-2=0, (Q): x+2y-2z+4=0
Bài 28.
Cho mặt cầu (S): (x-3)2+(y+2)2+(z-1)2=9 và mp(P): x+2y+2z+11=0. Tìm điểm M trên mặt
cầu sao cho khoảng cách từ M đến mp(P) là ngắn nhất
Bài 29.
Cho hai đ-ờng thẳng d1:

x y2 z4
x 8 y  6 z  10
, d2:




1
1
2
2
1
1

a. ViÕt pt®t d song song với 0x và cắt d1 tại M, cắt d2 tại N. Tìm toạ độ M, N
b. Ad1, Bd2. AB vuông góc d1 và d2. Viết pt mặt cầu đ-ờng kÝnh AB
Bµi 30.
Cho A(3;6;-2), B(6;0;1), C(-1;2;0), D(0;4;1)
a. CMR A, B, C, D là 4 đỉnh của tứ diện. Tính thể tích của tứ diện đó

b. Viết PT mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Xác định toạ độ tâm và bán kính của mặt cầu
này
c. Viết ph-ơng trình đ-ờng tròn đi qua A, B, C. Xác định toạ độ tâm và bán kính của đ-ờng
tròn đó
Bi 31.Trong khụng gian vi hệ tọa độ Oxyz, cho hai đƣờng thẳng:
d1 :

x  4 y 1 z  5
x2 y3 z


d2 :


3
1
2
1
3
1

Viết phƣơng trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đƣờng thẳng d 1 và d2
Bài 32. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hãy xác định toạ độ tâm và bán kính đƣờng
trịn ngoại tiếp tam
giác ABC, biết A(-1; 0; 1), B(1; 2; -1), C(-1; 2; 3).

Trang 23