áp dụng phương pháp tọa độ giải các bài toán hình học không gian

Chuyên đ: Gii toán hình hc không gian bng phng pháp ta đ



S GIÁO DC&ÀO TO TNH LÀO CAI

TRNG THPT-DTNT LÀO CAI



1







S¸ng kiÕn kinh nghiÖm




ÁP DNG PHNG PHÁP TA 


VÀO GII CÁC BÀI TOÁN HÌNH HC
TRONG KHÔNG GIAN

Giáo viên thc hin: Trn Xuân Mai


T : Toán – Lý – Tin - CN




Nm hc: 2010 - 2011

Chuyên đ: Gii toán hình hc không gian bng phng pháp ta đ

MC LC
Trang
PHN 1: M U 3

1. Tính cp thit ca đ tài 3
2. Tình hình nghiên cu…………………………………………………….2
3. Mc đích nghiên cu 3
4. Nhim v nghiên cu 3
5. Phng pháp nghiên cu 4
6. Phm vi và đi tng nghiên cu……………………………………… 3
PHN 2: NI DUNG 4
CHNG 1: C S LÍ LUN CA KHÔNG GIAN VÀ PHNG
PHÁP TO 
TRONG KHÔNG GIAN 5
1.1. Các khái nim 5
1.2. Du hiu nhn bit mt bài toán hình hc không gian bng phng
pháp ta đ. 9

1.3. Các bc gii mt bài toán hình hc không gian bng phng pháp
ta đ 10

1.4. Cách chn h ta đ đi vi mi loi hình. 10
CHNG 2: H THNG BÀI TP Error! Bookmark not defined.
Bài toán 1 17
Bài toán 2……………………………………………………………….18
Bài toán 3……………………………………………………………….19
Bài toán 4 20
Bài toán 5……………………………………………………………….20
Bài toán 6……………………………………………………………….22
Bài toán 7……………………………………………………………….22
Bài toán 8 23
KT LUN Error! Bookmark not defined.
TÀI LIU THAM KHO Error! Bookmark not defined.

2
Chuyên đ: Gii toán hình hc không gian bng phng pháp ta đ

PHN 1: M U


1. Tính cp thit ca đ tài:
Hình hc là mt môn hc khó có tính h thng, cht ch, logic và trìu
tng. c bit là phn hình hc không gian (HHKG).  gii mt bài toán
HHKG đòi hi hc sinh phi có nhiu k nng, nm kin thc tht chc và
vng. Vi mt bài toán nói chung và bài toán HHKG nói riêng thì có nhiu
cách gii khác nhau, có th là phng pháp tng hp (PPTH), phng pháp
véc t hay phng pháp to đ trong đó có mt phn ln các bài toán hình
hc không gian có th gii bng phng pháp to đ (PPT). Vi nhng bài
toán đó thì PPT cho ta cách gii rt nhanh chóng và d dàng hn nhiu so
vi PPTH. PPT cho ta li gii mt cách chính xác, tránh đc các yu t
trc quan, các suy din phc tp ca PPTH và là phng tin hiu qu đ gii
các bài toán hình hc. Vì vy, trong nhng nm gn đây PPT đc xem là
ni dung trng tâm ca chng trình toán trung hc ph thông.
Xut phát t bn thân mun hc hi, tìm tòi, nghiên cu sâu hn v gii
các bài toán HHKG bng phng pháp ta đ, vi mong mun bn thân có

đc kin thc vng hn v phn này đ phc v ging dy và giúp hc sinh
có phng pháp ti u đ gii quyt các bài tp HHKG vn phc tp, tôi đ
chn chuyên đ: "Gii toán hình hc không gian bng phng pháp ta
đ".
2. Tình hình nghiên cu:
"Gii toán hình hc không gian bng phng pháp ta đ" không phi
là phng pháp mi, mt s bài tp trong SGK, SBT HH12 đã yêu cu hc
sinh gii bng PPT, tuy nhiên vic vn dng phng pháp này đ gii các
bài toán HHKG vn là vn đ khó vi các em hc sinh. Nhiu đng nghip đã
nghiên cu đ tìm li gii cho bài toán này nhng cha tng hp mt cách có
h thng.
3. Mc đích nghiên cu :
Chuyên đ "Gii toán hình hc không gian bng phng pháp ta
đ" đc nghiên cu vi mc đích:
̇ Cho hc sinh thy đc s tng đng gia HHKG và hình hc gii
tích trong không gian.
̇ Giúp cho hc sinh có thêm phng pháp đ gii mt bài toán HHKG.
̇ Nghiên cu sâu hn v HHKG làm tài liu tham kho cho hc sinh và
giáo viên.
4. Nhim v nghiên cu :
Chuyên đ đc nghiên cu vi hai nhim v:
a, Nghiên cu lý lun chung:

3
Chuyên đ: Gii toán hình hc không gian bng phng pháp ta đ
- C s ca không gian và phng pháp to đ trong không gian.
- Du hiu nhn bit mt bài toán hình hc không gian bng phng
pháp ta đ.
- Các bc gii mt bài toán hình hc không gian bng phng pháp
ta đ.

- Cách chn h ta đ đi vi mi loi hình.
b, H thng bài tp minh ha.
5. Phng pháp nghiên cu:
Chuyên đ đc nghiên cu vi phng pháp nghiên cu lý lun các
tài liu các tài liu có liên quan và các bài tp minh ha.
6. Phm vi và đi tng nghiên cu:
- Các bài toán HHKG lp 11, lp 12
- i chng và thc nghim vi lp bi dng ôn thi đi hc và cao
đng ca nhà trng nm hc 2010 – 2011.

4
Chuyên đ: Gii toán hình hc không gian bng phng pháp ta đ

PHN 2: NI DUNG

CHNG I

C S LÍ LUN CA KHÔNG GIAN VÀ PHNG PHÁP
TO  TRONG KHÔNG GIAN

1.1. Các khái nim
1.1.1. nh ngha
Không gian clit là không gian liên kt vi không gian véc t clit
hu hn chiu.
Không gian clit s gi là n chiu nu không gian véct clit liên kt
vi nó có s chiu bng n.
Không gian clit thng đc kí hiu là E, không gian clit liên kt
vi nó đc kí hiu là .
E
ur
1.1.2. Mc tiêu trc chun
Mc tiêu afin
{
}

ur uuruur
12 n
O,e ,e , ,e
ca không gian clit n chiu E
n
gi là
mc tiêu trc chun (hay h to đ  các vuông góc), nu c s
ε
=
{
}
ur uuruur
12 n
e ,e , ,e
ca
uu
là c s trc chun, tc
r
n
E
i
j
i
j
e.e
δ
=
u
urur
,

ij
0 nÕu i
j
1 nÕu i =
j
δ
≠
⎧
=
⎨
⎩

1.1.3. i mc tiêu trc chun
Cho hai mc tiêu trc chun
{
}
12 n
O,e ,e , ,e
u
ruuruur
(I) và
{
}
12 n
O ,e ,e , ,e
′′′
ur uuruur
(II)
ca không gian clit n chiu E

n
.
{
}
12 n
e ,e , ,e
u
ruuruur
sang c s Gi C là ma trn chuyn t c s
ε
=
{}
12 n
e ,e , ,e
′′ ′
ur uuruur
ε
′
=
.
Các c s đó đu là c s trc chun nên C là ma trn trc giao cp n.
Khi đó, công thc đi mc tiêu trc chun là :
x = Cx
′
+ a
Vi C.C
t
= I
n
, a là ma trn ct to đ ca gc O

′
đi vi mc tiêu (I).
x, x là hai ma trn ct to đ ca cùng mt đim đi vi mc tiêu th
nht và th hai.
′
1.1.4. H to đ  các vuông góc thun, nghch

5
Chuyên đ: Gii toán hình hc không gian bng phng pháp ta đ
Vi 2 mc tiêu trc chun (I) và (II)  trên. Ta quy đnh c s
{
12 n
e ,e , ,e
ur uuruur
}
ca mc tiêu trc chun (I) là thun.
ε
=
Khi đó nu ma trn chuyn t c s (I) sang c s (II) có đnh thc là
dng thì h to đ  các vuông góc là thun, ngc li có h to đ là
nghch.
Trong toán hc ph thông, ta ch xét h to đ  các vuông góc Oxyz
thun.
1.1.5. To đ ca véc t đi vi h to đ
Trong h to đ ?các vuông góc Oxyz cho véc t tu ý . Vì 3 véc t v
r
i,
j
, k
rruur

không đng phng nên tn ti duy nht b s (x, y, z) sao cho
vx.i
yj
zk=++
rrr
r
th (x, y, z) đc gi là to đ ca . Kí hiu: v
r
(
)
(
)
v x,y,z hoÆc v x,y,z=
rr
.
1.1.6. To đ ca đim đi vi h to đ
Trong h to đ  các vuông góc Oxyz cho đim M bt kì. Khi đó:
To đ ca cng là to đ ca đim M. Nh vy nu
OM
uuuur
(
)
OM x;y;z=
uuuur
tc là
OM x.i y
j
zk
=
++

uuuurrr
r
thì b ba s (x; y; z) là to đ ca
đim M.
Kí hiu:
(
)
(
)
Mx;
y
;z hoÆc M x;
y
;z=

3
1.1.7. Ta xét trong E có các tính cht
1. Cho
a0, b≠
r
rr
a
r
bka
=
r
r
cùng phng sao cho . k
⇔
∃

a,b
r
r


2. Cho không cùng phng, c
r
đng phng vi và sao
cho: .
a
r
b
r
k,l⇔∃
ckalb=+
rr
r
3. Cho
a,b,c
r
rr
không cùng phng vi d
r
. Khi đó tn ti duy nht
d
r
xa
y
bzc
+

+
r
rr
= . (x; y; z) sao cho:
4. G là trng tâm
ABC :Δ
GA GB GC 0;
⇔
++=
u
uur uuur uuur ur


(
)
1
OG OA OB OC
3
=++
uuur uuur uuur uuur
Vi mi O thì

5. G là trng tâm t din ABCD thì:
GA GB GC GD 0
+
++=
uuur uuuruuuruuurr

(
)

1
OG OA OB OC OD
4
=+++
uuur uuur uuuruuuruuur
Vi mi O thì
1
≠
) thì:
6. im M chia đon thng AB theo t s k (k
MA kMB
=
u
uuur uuur


6
Chuyên đ: Gii toán hình hc không gian bng phng pháp ta đ
OA kOB
OM
1k
−
=
−
u
uur uuur
uuuur
Vi mi O thì
7. Cho
(

)
ux;
y
;z=
r
(
)
v x ;y ;z ,k
′′′
=
∈
r
฀
và ta có:
uv xx;
yy
;z z.
′
′′
=
⇔= = =
rr
̇
(
)
uv xx;
yy
;z z
′
′′

±
=± ± ±
rr
. ̇
(
)
ku kx;k
y
;kz .=
r

̇
u.v x.x
y
.
y
z.z .
′′
=++
rr
′
2
̇
̇ =
2
u
uur
22
x
y

z.++

Do đó:
22
uxyz=++
2
r

(
)
222 2 2
xx yy zz
cos u;v
xyz x y z
2
′
′′
+
+
=
′
′′
+++ + +
rr
̇
̇ u v u.v 0 xx yy zz 0.
′′′
⊥⇔ =⇔ + + =
rr rr
u,v c c v,c u

⎡⎤
=
⇒⊥ ⊥
⎣⎦
r
rrrrrr
và Tích có hng ca 2 vec t
y
zz xx
y
cu;v ; ; ;
y
zz xx
y
⎛⎞
⎡⎤
==
⎜⎟
⎣⎦
′
′′ ′′ ′
⎝⎠
rrr

cùng phng
u,v
rr
u,v 0
⎡⎤
⇔=

⎣⎦
r
r
.
()
a,b a . b .sin a,b .
⎡⎤
=
⎣⎦
rr r r rr

đng phng
a,b,c
rrr
a,b .c 0
⎡⎤
⇔=
⎣⎦
r
rr

ABC
1
SAB,A
2
Δ
⎡⎤
=
⎣⎦
uuuruuur

C

h×nh hép ABCD.A B C D
VAB,A
′′′′
⎡⎤
D.AA
′
=
⎣⎦
uuur uuur uuuur


8. Trong không gian vi h to đ Oxyz nu véc t và véc t a
r
b
r
là hai
véc t không cùng phng và các đng thng cha chúng song song vi
(hoc nm trên) mt mt phng
(
)
α
thì véc t:
là mt véc t pháp tuyn ca mt phng na,b
⎡
=
⎣
rrr

(
)
α
⎤
⎦

Nu là mt cp véc t ch phng ca mt phng
a,b
rr
(
)
α
thì là
mt véc t pháp tuyn ca
na,b
⎡
=
⎣
rrr
⎤
⎦
(
)
α
.
9.
a. Phng trình tng quát ca mt phng có dng:

7
Chuyên đ: Gii toán hình hc không gian bng phng pháp ta đ

(
)
222
Ax B
y
Cz D 0 A B C 0+++= ++≠
trong đó:
(
)
nA,B,C=
r
là véc t pháp tuyn ca nó.
b. Phng tnh theo đon chn ca mt phng có dng:
xyz
1
abc
+
+=


Mt phng đó ct các trc Ox, Oy, Oz ln lt ti các đim (a; 0; 0), (0;
b; 0), (0; 0; c).

10.
a. Phng trình tng quát ca đng thng:
222
222
A:B:C A :B :C
Ax By Cz D 0
víi A B C 0

Ax By Cz D 0
ABC
0
′
′′
≠
⎧
+++=
⎧
⎪
++≠
⎨⎨
′′′′
+++=
⎩
⎪
′′′
+
+≠
⎩


b. Phng trình tham s ca đng thng:

0
222
0
0
xx at
y y bt víi a b c 0

zz ct
=+
⎧
⎪
=+ ++≠
⎨
⎪
=+
⎩
Vi (x
0
, y
0
,z
0
) là ta đ ca 1 đim thuc đng thng và (a; b; c)
là véc t ch phng ca đng thng.
u =
r
c. Phng trình chính tc ca đng thng:
()
222
000
xx yy zz
abc0
abc
−
−−
== ++≠

11.
(
)
(
)
0000
M x ;y ;z vµ :Ax By Cz D 0
α
+
++=
a. Cho
()
()
000
0
222
Ax B
y
Cz D
dM,
ABC
α
+
++
=
++

000
xx yy zz

abc
−
−−
==
b. Cho
()

1
M x;y;z vµ :
Δ
()
01
1
MM,u
dM,
u
⎡⎤
⎣⎦
Δ=
u
uuuuur r
r

(
)
(
)
0000
u a;b;c lµ vÐct¬ chØ
p

h−¬n
g
cña ; M x ;
y
;zΔ
r
, M
0

∈Δ


c. Cho
000
xx yy zz

abc
−−−
==
(
)(
0000
ua;b;c; M x,
)
y
,z
r
:
Δ
;

8
Chuyên đ: Gii toán hình hc không gian bng phng pháp ta đ
và
:
′
Δ
000
xx yy zz

abc
′′′
−−−
==
′′′
;
()
(
)
0000
u a ;b ;c lµ vÐct¬ chØ
p
h−¬n
g
cña ; M x ,
y
,z
′′′′ ′ ′′′
Δ
ur

, M
0

′
∈Δ
()
00
u;u .M M
d;
u, u
⎡⎤
′
′
⎣⎦
′
ΔΔ =
⎡⎤
′
⎣⎦
r ur uuuuuur
rur
.
12.
vµ
′
Δ
Δ a. Gi
ϕ
là góc gia hai đng thng thì:
222 2 2

u.u
aa bb cc
cos
u.u a b c . a b c
ϕ
′
′′′
++
==
′
2
′
′′
++ + +
rur
rur

b. Gi
θ
là góc gia đng thng
Δ
và mt phng
()
α
thì:
22222

2
Aa Bb Cc
ABC.abc

θ
++
=
++ ++
00
090
sin
.
θ
≤
≤
(
)
; n A;B;CΔ
r
(
)
u a;b;c
r
là véct ch phng ca là véct pháp tuyn
ca
()
α
.
c. Gi
γ
là góc gia
(
)
:Ax By Cz D 0

α
+
++= và

()
:Ax By Cz D 0
α
′′′′′
+++=
,
(
)
222
ABC0
′′′
+
+≠

222 2 2
n.n
AA BB CC
cos
n.n A B C . A B C
γ
′
′′′
++
==
′
2

′
′′
++ + +
rur
rur
. th:
Trong đó n và ln lt là véct pháp tuyn ca
r
n
′
ur
(
)
α
(
)
α
′
và
13. Phng trình mt cu
()()
(
)
222
2
xa
y
bzc−+−+−=

R

0
.
có tâm I (a; b; c); bán kính R.
222
ABCD0
+
+−>
Hoc: vi

222
x2Axy2Byz2CzD++++++=
(
)
IA;B;C
′
−−−
222
ABCD
+
+− bán kính R = . C? tâm
1.2. Du hiu nhn bit mt bài toán hình hc không gian bng phng
pháp ta đ.
)
i ;
j
; k
rr r
Trong h to đ  các vuông góc Oxyz vi c s trc chun
(

Nhng bài toán hình hc không gian có phn gi thit  nhng dng
sau có th dùng phng pháp ta đ đ gii.
̇ Hình đ cho có mt đnh là tam din vuông.

9
Chuyên đ: Gii toán hình hc không gian bng phng pháp ta đ
̇ Hình chóp có mt cnh bên vuông góc vi đáy và đáy là các tam giác
vuông, tam giác đu, hình vuông, hình ch nht,
̇ Hình lp phng, hình ch nht.
̇ Hình đ cho có mt đng thng vuông góc vi mt phng, trong mt
phng đó có nhng đa giác đc bit: tam giác vuông, tam giác đu, hình
thoi,
̇ Khi hình đu: hình chóp đu, lng tr đu,
Các dng khác nhau mà có th to đc các tam din vuông chng hn:
Nu hai đng thng chéo nhau mà vuông góc, hai mt phng vuông góc.
Ngoài ra, vi mt s bài toán mà gi thit không cho  nhng hình
không gian quen thuc nh hình chóp tam giác đu, hình lp phng, hình
ch nht, thì bng cách nhn xét tính cht song song và vuông góc ca đi
tng tham gia trong hình ta cng có th thit lp đc h ta đ vuông góc.
1.3. Các bc gii mt bài toán hình hc không gian bng phng pháp
ta đ
̇ Bc 1: Chn h ta đ thích hp.
̇ Bc 2: Chuyn t ngôn ng hình hc sang ngôn ng ta đ.
̇ Bc 3: Gii bài toán bng kin thc ta đ.
̇ Bc 4: Phiên dch các kt qu t ngôn ng ta đ sang ngôn ng hình
hc.
* Mt vài ví d v cách chuyn ngôn ng hình hc sang ngôn ng ta đ:
̇ 3 đim A, B, C phân bit thng hàng tng đng ta đ 1 đim tha
mn phng trình đng thng đi qua hai đim kia hoc
AB . kAC=

uuuruu
ur
̇ 4 đim A, B, C, D phân bit đng phng tng
đng
AB,AC .AD 0
⎡⎤
=
⎣⎦
u
uur uuur uuur
hoc ta đ ca mt đim tha mn phng
trình mt phng đi qua 3 đim kia.
̇ 3 đng thng (có phng trình di dng chính tc) đng quy tng
đng h phng trình bao gm 3 phng trình ca 3 đng thng có
nghim duy nht hoc giao đim ca 2 đng thng này nm trên
đng thng kia.
Xác đnh khong cách, góc gia các yu t trong không gian khi
chuyn sang phng pháp ta đ ch yu là dùng các công thc tính khong
cách, góc gia các yu t.
1.4. Cách chn h ta đ đi vi mi loi hình.
1.4.1. Hình chóp tam giác
1.4.1.1. Hình chóp đu
Cho hình chóp đu SABC, có 3 cách chn h ta đ là:
Cách 1:

10
Chuyên đ: Gii toán hình hc không gian bng phng pháp ta đ
O trùng vi tâm đáy, tia Ox
≡
OA, tia Oy trùng tia qua O và có cùng

phng chiu vi tia CB, tia Oz
OS.
≡
x
z
S

C
B
y

A
O







Cách 2:
O
≡
M - trung
đim BC
S
z
C

y

x
A
O'
M ≡O
B
tia Ox MA.
≡
MB. tia Oy
≡
tia Oz
≡
tia qua M và có cùng phng
chiu vi tia O'S






Cách 3:
O A.
≡
tia Ox tia Ax, trong đó Ax ≡
∈
(ABC) và
vuông góc vi AC.
z
S

O'
tia Oy AC, tia Oz tia qua A và có
cùng phng chiu vi tia O'S.
≡ ≡



C
≡
O A
B

y


x




1.4.1.2 Hình chóp SABC có đáy SA vuông góc vi đáy ABC.
Các trng hp ca đáy:

11
Chuyên đ: Gii toán hình hc không gian bng phng pháp ta đ
* Trng hp 1: áy là tam giác
vuông ti A.
Cách chn h ta đ là: O A; tia Ox
≡
≡

AB;
tia Oy AC; tia Oz AS.
≡
≡



* Trng hp 2: áy là
tam giác cân ti A.
z
S

C? hai cách chn h ta đ:
Cách 1:
O
≡ A; tia Ox tia Ax; Ax≡
∈
(ABC) và tia Ax
AC.
⊥
x
B
O
≡
A
tia Oy
≡
AC; tia Oz
≡
AS.

Cách này cng áp dng cho trng hp
Δ
ABC
đu, ABC cân ti C.
Δ

Cách 2:
O
≡
A; tia Ox
≡
tia Ax, Ax
∈
(ABC)và Ax
⊥
AI.
I - trung đim BC, tia Oy
≡
AI, tia Oz AS. ≡





* Trng hp 3: áy là tam giác đu, hay
đáy là tam giác cân ti C.
Cách chn h ta đ ging cách 1 ca
trng hp đáy là tam giác cân ti A.
* Trng hp 4: áy là tam giác
vuông ti B.

Có hai cách chn h ta đ là:
Cách 1:
O A; tia Ox
≡ Ax; tia Oy ≡
≡
AB;
tia Oz
≡
AS.
Ax
∈
(ABC) và Ax AB.
⊥




y
C
z
S

C

B
I
x
O
≡
A

y
z
S
y
x
C

O
≡
A
B
z
x
y
A
B
C
S


12
Chuyên đ: Gii toán hình hc không gian bng phng pháp ta đ
Cách 2:
x
z
S

C

A

y
O ≡B
O B; tia Ox BC; tia Oy ≡ BA
≡
≡
tia Oz
≡
tia qua B và c? cùng phng
chiu vi tia AS.






1.4.2. Hình chóp t giác
z

1.4.2.1. Hình chóp đu S.ABCD
Cách chn h ta đ là :
Cách 1:
O
≡ tâm đáy.
tia Ox
≡
tia qua O và có cùng phng, chiu
vi tia DC.
tia Oy
≡
tia qua O và có cùng phng chiu

vi tia AD.
tia Oz = OS.


Cách 2:
O
≡
tâm đáy; tia Ox OB; ≡
tia Oy ≡ OC;
tia Oz ≡ OS.














x

A

D

S
O
y

B

C
z
x
A
S

O
D
B
C

y

13
Chuyên đ: Gii toán hình hc không gian bng phng pháp ta đ
⊥
1.4.2.2 Hình chóp SABCD có SA (ABCD)
Các trng hp ca đáy:
a. áy là hình ch nht hoc là hình
vuông.
z
S
A
B

C

D
y
x
Cách chn h trc ta đ là : O
≡
A; tia
Ox AB; tia Oy AD; tia Oz
AS. ≡ ≡
≡







z
S

A
B
C

D
y
x
b. áy là hình thang vuông ti A và B
(tng t ti C, D).

Cách chn h ta đ là:
O A; tia Ox
≡ AB; tia Oy AD; ≡
≡
tia Oz
≡
AS.




c. áy là na lc giác đu.
z
S

O ≡ A
B
C

D
y
x
Chn h ta đ nh hình v:
O
A; tia Ox Ax; tia Oy AD;
≡
≡
≡
tia Oz
≡

AS; Ax
∈
(ABCD) và Ax
⊥
AD.




z

S


d. áy là hình thoi
O A; Ox Ax; Oy AC; Oz
≡ ≡ ≡
≡
AS;
Ax
∈
(ABC) và Ax AC
⊥




O
≡
A

B
C

D
y
x

14
Chuyên đ: Gii toán hình hc không gian bng phng pháp ta đ
1.4.2.3. Hình chóp SABCD có đáy
ABCD, tâm O, SO
x
z
A
y
B
C

O
D
S

(
)
ABCD⊥
.
+ Nu ABCD là hình vuông thì có ba
cách chn to đ.
Cách 1: O tâm đáy; tia Ox ≡
≡

tia qua
O có cùng phng chiu vi tia DC, tia
Oy trùng vi tia qua O có cùng phng
chiu vi tia BC, tia Oz OS.
≡



Cách 2:
Chn gc O
≡
A, tia Ox AB; tia
Oy
≡
≡
AD; tia Oz tia qua O có
cùng phng chiu vi tia OS.
≡

tâm đáy, tia Ox
z
S

x

D



Cách 3: O

≡
≡
OB, tia
Oy ≡ OC, Oz
≡
OS.
+ N
u ABCD là hình ch nht thì chn
ì chn nh
ình lng tr
.A'B'C'D'.
uông ti A
nh cách 1 và cách 2  trên.
+ Nu ABCD là hình thoi th
cách 3  trên.
1.4.3. H
1.4.3.1. Lng tr tam giác
Lng tr đng ABCD
Các trng hp ca đáy:
a. áy là tam giác v
Cách chn h ta đ là:
O
≡ A; tia Ox
≡
AB; tia

giác cân ti A

Oy≡ AC; tia Oz ≡ AA'

b. áy là tam
z

y

C
'

A'

B'

A

B

C
x

z
x
y
A
B
C
I
B'
C'
A'

y
C

B
A
O
z
x
A
S

O
D
y

B
C

Chuyên đ: Gii toán hình hc không gian bng phng pháp ta đ
Có 2 cách chn h ta đ:
Cách 1:

16
tia Ox tia Ax; tia Oy
O ≡ A; ≡ AI, I - là trung đim BC; tia Oz AA';
Cách 2:
O
≡
≡
Ax (ABC) và Ax

⊥
AI.

∈




≡
B; tia Ox Ax; tia Oy ≡
≡
BC;
tia Oz
≡
BB'; Bx
∈
(ABC); Bx
⊥
B .

C

c. áy
Có 3 cách ch
trng hp b.
tia qua O và cùng phng chiu vi
A'.
.4.3.2. Lng tr t giác
 đng ABCD.A'B'C'D'
i đó

h nht)
z
y
C'
A'
B'
A
B
C

x


z
A'
C'
B'
A



là tam giác đu
n:
Cách 1 và cách 2 ging
C
Cách 3:
O
≡ tâm đáy; tia Ox ≡ OB;
tia Oy ≡
tia AC.

tia Oz ≡ tia qua O và có cùng phng chiu
vi tia A


1
Lng tr
Các trng hp ca đáy
a. áy là hình ch nht (kh
ABCD.A'B'C'D' là hình c
Có hai cách chn h ta đ là:
Cách 1:
O
≡
A; tia Ox
≡
AB; tia Oy
≡
AD;
AA'.
tia Oz ≡

B
O
y
x
z
y
x
A'
B

B'
A
C'
D
C

D'
Chuyên đ: Gii toán hình hc không gian bng phng pháp ta đ

17
m đáy .
a Ox tia đi qua O có cùng phng chiu

tia .
b. áy là hình thoi
O
Cách 2: O
≡
tâ
ti ≡
vi tia DC
′′
,
tia Oy ≡ qua O có cùng phng chiu vi tia
BC
′′
.
tia Oz≡ tia qua O có cùng phng chiu vi
′
AA

≡
tâm đáy ABCD
tia Ox
≡
OD; tia Oy ≡ OC; tia Oz
≡
OO';
h lp phng)
d. áy là hình thang vuông ti A và B (tng t
và C)
O' - tâm ca A'B'C'D'
c. áy là hình lp phng (khi đó
ABCD.A'B'C'D' là hìn
Có 3 cách chn h ta đ, bao gm 2
trng hp a và b.





ti D
O
≡ A; tia Ox
≡
AB; tia Oy
≡

AD;
tia Oz
≡ AA'
. áy là hình thang cân có đáy
B.


e
A
O
≡
A; tia Ox
≡
Ax ; tia Oy
≡
AB;
Ax
∈
(ABCD); và Ax AB;
1.4.3.3. Lng tr nghiêng
Da trên đng cao và tính
thích hp.
⊥
tia Oz ≡ AA
′

cht ca đáy đ thit lp h ta đ

x
z
y
A'
B'
C'
D'
O
D
C

B
A
O'
z
y
x
A'
B
B'
A
C'
D
C
D'
x
z
y

A'
B
B'
A
C'
D
C

D'
z
x
A'
B
B'
A
C'
D
C

D'
O
y
Chuyên đ: Gii toán hình hc không gian bng phng pháp ta đ


18
H THNG BÀI TP
Bài toán 1:
Cho t din OABC tam din vuông. OA =
. Gi M, N ln lt là các trung đim các cnh AB, OA. Chng

CHNG 2
có góc tam din đnh O là
OB = OC = 1
minh khong cách gia OM và CN là
()
1
dOM,CN
3
=
.

Li gii

, khi đó:
Chn h to đ Oxyz nh hình v
11 1
O(0, 0, 0); A(1, 0, 0); B(0, 1, 0); C(0, 0, 1); M
2
⎜
⎝
;;0; N;0;0
2 2
⎛⎞⎛⎞
⎟⎜⎟
⎠⎝⎠

Véc t ch phng ca OM
u
uuur
là

Z
11
u,,0
22
⎜⎟
⎝⎠


⎛⎞
r
Véct ch phng ca CN
u
uur
là
C

B
1
v,0,1
2
⎛⎞
=−
r
Véct ni 2 đim ca đng
thng trên là:
 ng OM và CN là:


⎜⎟
⎝⎠

M
x
A
O
N
y
()
OC 0,0,1=
uuur
. Khi đó khong cách
gi a hai đng th
()
22
2
00 1
11
0
22
1
01
OM,CN .OC
1
2
dOM,CN
3
OM,CN
111
1
0

0
222
2
11
01
10
22
−
⎡⎤
⎣⎦
==
⎡⎤
⎣⎦
++
−
−
uuuur uuur uuur
uuuuruuur

=
điu phi chng minh.

⇒


Chuyên đ: Gii toán hình hc không gian bng phng pháp ta đ

19
ài toán 2:
Cho t din OABC có cnh OA, OB, OC đôi mt vuông góc vi nhau

B = OC =
B

3a 2
. và OA =4a; O
a. Chng minh
()
()
12a
dO C,AB
5
=

rng hai cnh đi d n bt kì ca t din vuông góc vi
i:
b. Chng minh i
nhau.

Li gi
Chn h to đ nh hình v.
hi đó
K :
A(4a; 0; 0); B(0;
3a 2
; 0);
C(0; 0;
3a 2
)
mt ng
Phng trình ph

(ABC):

xy z
1
4a
++=

32a 32a

()
()
22
13a.4a12a
,ABC
5a 5
11
16a 9a
===
+
(điu phi chng minh)
b. Ta có:
z
C

B
x
A
O
y
dO

OC
uuur
(0; 0;
3a 2
); OB
uuur
= (0; OA
u
uur
2
; 0); =(4a; 0; 0);
3a
AB =
uuur
(-4a;
3a 2
; 0); = (-4a; 0; AC
uuur
3a
BC
u
uur
3a 22
); = (0; -
2
;
3a
).
Ta t
, OA. 0; O C= =

ur uuuru uur
.
Suy r u phi chng minh.
hy:
OC 0 BC B .A 0=
uu uuruuur uuuruu
.AB
a đi


Chuyên đ: Gii toán hình hc không gian bng phng pháp ta đ
Bài toán 3 :
Cho hình hp ch nht ABCD.A'B'C'D' có: AB = a, AD = b, AA' = c
vi 0 < a < b < c.
Gi I, J theo th t là trung đim AB, C'D'. Các đim M, N tha mn
AM kAD, BN kBB
′
==
uuuuruuuruuuruuur
u
vi
0k1
≤
≤
.
()
()
22 22 22
abc
dA,ABD

ab bc ca
′
=
++
a. Chng minh rng:
b. Chng minh rng: M, N, I, J đng phng.
Li gii

Chn h ta đ nh hình v. Khi
đó có:
z
y
x
A
D'
C

D
B
A'
B'
C'
M
I
J
A(0, 0, 0); B(0, a, 0); C(b, a, 0);
A
′

D(b, 0, 0);

(0, 0, c); (0, a, c); B
′
a
2
a
2
I(0, , 0); J(b, , c).
V nên
AM kAD, BN kBB
′
==
uuuuruuuruuuruuur
u
M(kb, 0, 0); N(0, a, kc).
a. S dng phng trình mt phng
theo đon chn, ta đc phng trình
mt phng (
A
′
BD):
xyz
1
bac
++=

.

acx bcy abz abc 0⇔++−=
()
()

2 2 22 22 2 2 22 22
abc
abc
dA,ABD
ab bc ca ab bc ca
−
′
==
++ ++

Khi đó có:
(iu phi chng minh)
()
aa
IJ b,0,c ; IM kb, ,0 ; IN 0, ,kc
22
⎛⎞⎛
==−=
⎜⎟⎜
⎝⎠⎝
ur uuuruur
⎞
⎟
⎠
b. Có:
()
(
)
IM IN kb,0, kc k b,0,c kIJ+= = =
uuuruur ur

Thy
Suy ra:
IJ I
u
, M,IN
ruuuruur
đng phng M, N, I, J đng phng
⇒
(iu phi chng minh).


Bài toán 4:
Cho hình hp ch nht ABCD.A
1
B C DB
r r
1 1 1
. Gi H, K theo th t là hình
chiu vuông góc ca A và C
xung mt phng (CB
1 1
D
1
). Chng minh rng:
uuu uuuu

1
AH 2KC=
Chuyên đ: Gii toán hình hc không gian bng phng pháp ta đ
Li gii

Gi s ABCD.A
1
BB
1
C
1
D
1
có: AB = a,
AD = b, AA
z
y
x
C
1
D

A
1
D
1
B
1
C

B

A

M
K
H
1
= c, vi 0 < a < b < c.
Chn h trc ta đ nh hình v:
Khi đó: C
1
(0, 0, 0); B
1
(0, b, 0);
D
1
(a, 0, 0); C(0; 0; c); A(a; b; c)
DPhng trình mt phng (CB
1 1
) có dng:
xyz
1
abc
++=
()
()
11
222 22
abc
1
2
abc

AH d A, CB D
111 111
abc abc
++−
===

Khi đó:
2
+
+++
()
()
1111
222 22
0001
1
KC d C , CB D
111 111
abc abc
++−
===
++ ++

2
Mà AH //C
1
K (vì cùng vuôn góc vi (B
1
CD
1

)), nm v hai phía khác
nhau ca mt phng (B
1
A,C
1
AH 2KC=
u
uur uuuur
1
CD
1
). Suy ra: .
(iu phi chng minh).

Bài toán 5:
Cho hình hp ch nht ABCD.A
1
B C D có AB = a, AD = 2a, AAB
1 1 1 1
=
a2. Trên AD ly M, gi K là trung đim ca B
1
M.
1. t AM = m ( ). Tính th tích khi t din A
0m2a≤<
1
KID theo a
và m, trong đó I là tâm hình hp. Tìm v trí ca đim M đ th tích đó đt giá
tr ln nht.
2. Khi M là trung đim ca AD:

a. Hi thit din ca hnh hp ct bi (B
1
CK) là hình gì? Tính S thit
din đó theo a.
b. Chng minh rng đng thng
B
B
1
M tip xúc vi mt cu đng kính
AA
1
.

Li gii
: Chn h ta đ Axyz vi:
D
∈
Ax, B
∈
Ay, A
1
∈
Az. Khi đó:
z
x
A
D
1
y
C

D
B

C
1
I

K .

M

A
1
B
1
.
N

Chuyên đ: Gii toán hình hc không gian bng phng pháp ta đ
A(0, 0, 0); B(0, a, 0); C(2a, a, 0); D(2a, 0, 0);
A

1
(0, 0,
a2
); B
1
(0, a,
a2

); C
1
(2a, a,
a2
);
aa 2
a, ,
22
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
D
1
(2a, 0,
a2); I ;
maa 2
,,
22 2
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
M(m, 0, 0), K
1. Th tích khi t din A KID đc cho bi:
1
(
2
111
1a2
AK,AI .AD 2a m
624

⎡⎤
=
⎣⎦
uuuur uuur uuuur
3
a2
12
)
−
V= . Khi đó Max V = đt đc khi
m = 0 . MA⇔≡
aaa2
,,
22 2
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
2. Khi M là trung đim AD thì m = a, suy ra: M(a, 0, 0), K

a. Vì (BCC
1
BB
1
)//(ADD
1
A
1
) nên:
(BB
1

CK)
∩
(ADD
1
A
1
) =MN//B C//A
1 1
D
a2
0,0,
2
⎛⎞
⎜
⎝⎠
Nên N là trung đim AA , do đ? N
⎟
và thit din B
1 1
CMN là
hình thang cân.
Ta có:
11
td NB M CB M 1 1
11
SS S NB,NM CB,CM
22
ΔΔ
⎡
⎤⎡ ⎤

=+= +
=
⎣
⎦⎣ ⎦
u
uuuruuuur uuur uuur

=
22
2
a2 3a2
a2
22
+=

b.  chng minh đng thng B
1
M tip xúc vi mt cu đng kính AA
1
, ta
chng minh d(N, B
1
AA
2
M) = .
1
a2
MN a;0;
2
⎛⎞

=−
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
uuuur
(
)
1
BM a; -a; -a 2=
uuuur
;
2
1
1
1
BM,MN
a2a2AA
2a 2 2
BM
⎡⎤
⎣⎦
===
u
uuur uuuur
uuuur
Tht vy, ta có: d(N, B
1
M) =
1
AA

2
Vy khong cách t N ti B
1
M là .
1
AA
2
1
BM⇒
tip xúc vi mt cu tâm N, bán kính ( hay đng kính AA
1
)
Chuyên đ: Gii toán hình hc không gian bng phng pháp ta đ
Bài toán 6:
Cho lng tr đng tam giác đu ABC.A'B'C' có các cnh đáy và cnh
bên đu bng a. Gi M, N, E ln lt là trung đim ca BC, CC', C'A'.
⊥
Chng minh rng (MNE)
(AA'B'B)
Li gii

Chn h ta đ Oxyz có O
≡
L , L là trung đim ca AB. Các tia Ox,
Oy, Oz ln lt trùng vi các tia LC, LA, tia qua L và có cùng phng, chiu
vi tia AA'.

Ta có:
3
Ca ; 0; 0

2
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
a
B0; ; 0
2
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠
aa3
A0;; a;C ;0; a
22
⎛⎞
⎛⎞
′′
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
; ;
a3 a a3 a a3a
M,,0; N,0,; E,,
44 2 2 44
⎛⎞⎛⎞⎛
−
⎜⎟⎜⎟⎜

⎝⎠⎝⎠⎝
a
⎞
⎟
⎠



a3aa a
MN , , ; ME 0, ,a
442 2
⎛⎞
⎛⎞
==
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
uuuuruuur

Mt phng (MNE) có pháp tuyn là:
22
a3 a3
nMN,ME 0, ,
48
⎛⎞
⎡⎤
==−
⎜⎟
⎣⎦

⎝⎠
ruuuuruuur
z
y
x
B'
C'
A'
A
C
M
B
L
N
E

Mt phng (AA'B'B) có véct pháp tuyn là:
(
)
ua,0,0=
r

()
(
)
Có
u.n 0 u n MNE AA B B
′
′
=⇔⊥⇔ ⊥

rr r r

Vy ta có điu phi chng minh.

Bài toán 7: Trong mt phng (P) cho hình thoi ABCD vi AB = a;
2a
3
BD =
. Trên đng vuông góc vi (P) ti giao đim hai đng chéo
ca hình thoi, ly đim S sao cho SB = a.
a. Chng minh tam giác SAC vuông.
b. Chng minh mt phng (SAB) và (SAD) vuông góc vi nhau.
Li gii

Chn h to đ nh hình v.
Ta có: S
a6
0; 0;
3
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
, B
a
; 0; 0
3
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠

,
aa6
D ; 0; 0 , C 0; ; 0
3
3
⎛⎞
⎛⎞
−
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
,
x
y

z
S

B
A
C

D
O
Chuyên đ: Gii toán hình hc không gian bng phng pháp ta đ
a6
A 0; - ; 0
3

⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
.
฀
SC.SA
cosASC 0
SC . SA
==
uur uuur
uur uuur
a. Ta có
a6 a6 a6 a6
SC 0; ; - ; SA 0; - ; -
33 33
⎛⎞
⎛⎞⎛
==
⎜⎟
⎜⎟⎜
⎜⎟⎜
⎜⎟
⎝⎠⎝
⎝⎠
uur uuur
⎞
⎟
⎟
⎠

฀
0
ASC 90⇒=
hay tam giác ASC vuông ti S.
(iu phi chng minh)
()
22 2 2
1
2a a2a2 a2
nSA,SB ; - ; 2; -1; 1
333 3
⎛⎞
⎡⎤
== =
⎜⎟
⎣⎦
⎜⎟
⎝⎠
uuruuuruur
b.
()
22 2 2
2
2a a2 a2 a2
n SA,SD ; ; - 2; 1; -1
33 3 3
⎛⎞
⎡⎤
== =

⎜⎟
⎣⎦
⎜⎟
⎝⎠
uuruuuruur

aa6 aa
SD ; 0; - ; SB ; 0; -
33
33
⎛⎞⎛
=− =
⎜⎟⎜
⎜⎟⎜
⎝⎠⎝
uur uur
6
⎞
⎟
⎟
⎠
. Vi
(
)
(
)
12 1 2
n.n 0 n n SAB SAD⇒=⇔⊥⇔ ⊥
uuruuruuruur
.

Bài toán 8:
Cho hình tr có 2 đáy là 2 đng tròn tâm O và O
1
, bán kính R, chiu
cao hình tr bng h. Trên 2 đng tròn (O) và (O
1
) có 2 đim di đng A, B.
Gi I, K theo th t là trung đim OO
1
và AB.
Chng minh rng: IK là đng vuông góc chung ca OO
1
và AB.

Li gii: Chn h ta đ Oxyz sao cho O trùng vi tâm đáy. OO
1

∈
Oz. Khi
đó có: O
(
)
AA
A x ,y ,0

1
(0, 0, h) và A
∈
C(O, R)⇒ vi

22 2
AA
x
+
y
=
2

R
B
∈
(OC
′
1
, R) vi
x
22
BB
y
R+=

Vì I, K là trung đim ca OO
1
và AB, suy ra:

ABAB
hxxyyh
I 0,0, , K , ,
222
++

⎛⎞⎛
⎜⎟⎜
⎝⎠⎝
2
⎞
⎟
⎠

Ta có:
(
)
(
)
1BAB
OO 0,0,h , AB x x ,
A
yy
,h=−−
r uuur
z
B
O
1
uuuu
nên:
I
K
A
y
x

O
Chuyên đ: Gii toán hình hc không gian bng phng pháp ta đ
11
OO .IK 0 OO IK

AB.IK 0 AB IK
⎧⎧
=⊥
⎪⎪
⇔
⇔
⎨⎨
=⊥
⎪⎪
⎩⎩
uuuur uur uuuur uur
uuur uur uuuruur
IK là đng vuông góc chung ca OO
1
và
AB.
Vy ta có điu phi chng minh.

KT LUN
Mt bài toán hình hc có th có nhiu cách gii, mi bài toán đu có
th tìm đc mt cách gii ti u. Trc mt bài toán HHKG, tìm đc cách
gii ti u là mt vn đ khó. Gii bài toán HHKG bng PPT là mt trong