Ôn thi THPT quốc gia môn toán_ Chuyên đề hàm số và các bài toán liên quan (đầy đủ dạng)

8




DẠNG 1. CỰC TRỊ CỦA HÀM ĐA THỨC BẬC BA
Xét hàm số bậc ba :
3 3 2
3 3
′
= + + + ⇒ = + +
y ax bx cx d y ax bx c

DẠNG 1. TÌM ĐIỀU KIỆN VỀ SỐ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
 Nếu a = 0 thì 3 0
3
′ ′
= + → = ⇔ = −
c
y bx c y x
b

Trong trường hợp này hàm số có 1 cực trị.
 Nếu a ≠ 0 :
+ Hàm số không có cực trị khi y′ không đổi dấu, tức là phương trình y′ = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm
kép, tức là ∆ ≤ 0.
+ Hàm số có 2 điểm cực trị khi y′ đổi dấu hai lần, tức là phương trình y′ = 0 có hai nghiêm phân biệt.
Từ đó ta có điều kiện để hàm số có hai cực trị là ∆ > 0.
Vậy, với hàm bậc ba thì hàm số chỉ có hai cực trị hoặc không có cực trị.
Ví dụ 1: Biện luận số cực trị của hàm số
( )

= + − − −
3 2
1
1 1
3
y x m x mx
tùy theo giá trị của tham số m.
Hướng dẫn giải:
Ta có
( )
2
2 1 .
′
= + − +
y x m x m

 Hàm số không có cực trị khi y′ không đổi dấu trên miền xác định (hay hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến
trên miền xác định), điều đó xảy ra khi y′ = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép.
Từ đó ta có điều kiện
( )
2
2
3 5 3 5
0 1 0 3 1 0 .
2 2
− +
′
∆ ≤ ⇔ − − ≤ ⇔ − + ≤ ⇔ ≤ ≤m m m m m
 Hàm số có hai cực trị khi y′ đổi dấu trên miền xác định, điều đó xảy ra khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt.
2

3 5
2
0 3 1 0
3 5
2

+
>


⇔ ∆ > ⇔ − + > ⇔

−
<


m
m m
m

Kết luận :
- Hàm số không có cực trị khi
3 5 3 5
2 2
− +
≤ ≤m
- Hàm số có hai cực trị khi
3 5 3 5
; .
2 2

+ −
≥ ≤m m
Ví dụ 2: Biện luận số cực trị của hàm số
( )
= + − + + −
3 2
2 2 3y mx m x mx m tùy theo giá trị của tham số m.
Hướng dẫn giải:
Ta có
( )
2
3 2 2 2 .
′
= + − +
y mx m x m

TH1 : m = 0.
Khi đó
4 ; 0 0
′ ′
= − = ⇔ =y x y x
, trong trường hợp này hàm số có một cực trị.
TH2 : m ≠ 0.
 Hàm số không có cực trị khi
2
0
2 2 6
2 2 6
0
0

5
5
0
5 4 4 0
2 2 6
2 2 6
5
5
≠



− +

≥
− +


≠

≠

 
≥


⇔ ⇔ ⇔
  

′

∆ ≤

+ − ≥

− −




≤
− − 

≤





m
m
m
m
m
m m
m
m

Bài 1:
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

9

 Hàm số có hai cực trị khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt
2
2 2 6 2 2 6
0
0
5 5
0
5 4 4 0
0

− − − +
≠

≠

< <
 
⇔ ⇔ ⇔
  
′
∆ >
+ − <




≠


m
m
m
m m
m

Kết luận :
- Hàm số không có cực trị khi
2 2 6 2 2 6
; .
5 5
− + − −
≥ ≤m m
- Hàm số có một cực trị khi m = 0.
- Hàm số có hai cực trị khi
2 2 6 2 2 6
5 5
0

− − − +
< <



≠

m
m

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1. Tìm m để các hàm số sau đây có cực đại và cực tiểu:
a)
( )
3 2 2
2 1 2= − + − +y x mx m x
b)
( )
( )
( )
3 2 2
3 1 2 3 2 1= − − + − + − −y x m x m m x m m
Bài 2. Tìm m để hàm số
( ) ( )
3 2
1 2 2 2= + − + − + +y x m x m x m không có cực trị.
Bài 3. Biện luận theo m số cực trị của hàm số
( ) ( )
3 2
1
1 3 2 1
3
= + + + − +
y m x mx m x

DẠNG 2. TÍNH CHẤT CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Các bài toán xét đến tính chất cực trị của hàm bậc ba chỉ áp dụng khi hàm số có hai điểm cực trị (gọi là cực đại
và cực tiểu).
Gọi hoành độ các điểm cực đại, cực tiểu là x
1

; x
2
. Khi đó x
1
; x
2
là hai nghiệm của phương trình y′ = 0.
Theo định lí Vi-ét ta được
1 2
1 2

+ = −




=


B
x x
A
C
x x
A

Phương pháp thực hiện :
+ Tìm điều kiện để hàm có cực trị : y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt
⇔
∆ > 0, (*)

+ Tìm điều kiện của tham số để cực trị có tính chất K nào đó chẳng hạn.
+ Đối chiếu giá trị tìm được với điều kiện ở (*) để được kết luận cuối cùng.
Ta xét một số dạng tính chất điển hình.
Tính chất 1: Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại điểm x = x
o


Cách 1 (sử dụng bảng biến thiên) :
+ Hàm số đạt cực trị tại
( )
0 .
′
= ⇔ = →
o o
x x y x m

+ Với m tìm được, thay vào hàm số rồi khảo sát, từ bảng biến thiên ta có kết luận về hàm số đạt cực đại,
hay cực tiểu tại điểm x
o
hay không.

Cách 2 (sử dụng điều kiện cần, điều kiện đủ ; hay y’’) :
+ Hàm số đạt cực đại tại
( )
( )
0
.
0
′


=

= ⇔ →

′′
<


o
o
o
y x
x x m
y x

+ Hàm số đạt cực tiểu tại
( )
( )
0
.
0
′

=

= ⇔ →

′′
>



o
o
o
y x
x x m
y x

Chú ý: Hàm số đạt cực trị tại
( )
( )
0
0
′

=

= ⇔

′′
≠


o
o
o
y x
x x
y x

V
í dụ mẫu:

Cho hàm số
=
− + − +
3
2
1
(
2) 1.
3
y x m x mx
a
) Tìm m
đ
ể

hàm s
ố
có c
ực

đ
ạ
i
, c
ực
ti
ểu

.
b
) Tìm m
đ
ể

hàm s
ố đ
ạ
t
c
ực

đ
ạ
i
t
ại
t
ại
x = 0.
1
0

c) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 2.
Hướng dẫn giải :
Ta có
( )
2
2( 2) 2 2 2 .

′ ′′
= − + − ⇒ = − +y x m x m y x m
a) Hàm số có cực trị khi phương trình y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt
2
1
0 5 4 0
4
> −

′
⇔ ∆ > ⇔ + + > ⇔

< −

m
m m
m

b) Tìm m để hàm số đạt cực đại tại tại x = 0.


 Cách 1:
+ Hàm số đạt cực đại tại x = 0 thì
( )
0 0 0.
′
= ⇔ =y m

+ Với m = 0 thì ta có
2

0
4 0
4
=

′
= − = ⇔

=

x
y x x
x

Ta có bảng biến thiên:
x
−∞ 0 4 +∞
y’
+ 0 − 0 +
y
CĐ +∞

−∞ CT
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho đạt cực đại tại x = 0.
Vậy m = 0 là giá trị cần tìm.


 Cách 2:
Hàm số đạt cực đại tại
( )

( )
0 0
0
0 0
2( 2) 0
0 0
′

=
=


= ⇔ ⇔ ⇔ =
 
− + <
′′
<



y
m
x m
m
y

Vậy m = 0 thì hàm số đã cho đạt cực đại tại x = 0.
c) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại tại x = 2.



 Cách 1:
+ Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 thì
( )
4
2 0 4 4( 2) 0 5 4 .
5
′
= ⇔ − + − = ⇔ = − ⇔ = −y m m m m

+ Với
2 2
2
4 4 4 12 4
2 2 0
2
5 5 5 5 5
5
=

 

′ ′
= − → = − − + ⇔ = − + = ⇔
 

=
 


x

m y x x y x x
x

Ta có bảng biến thiên:
x
−∞
2
5
2 +∞
y’
+ 0 − 0 +
y
CĐ +∞

−∞ CT
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 2.
Vậy
4
5
= −m là giá trị cần tìm.


 Cách 2:
Hàm số đạt cực tiểu tại
( )
( )
4
2 0
5 4 0
4

2 .
5
2 0
5
2 0
0

′
 =
+ =
= −

 
= ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = −
  
− >
′′
>




<

y
m
m
x m
m
y

m

Vậy
4
5
= −m thì hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 2.
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
C
ho hàm s
ố
3
2
(
2 1) 2 3.= − + − + −y x m x mx

a
)

Tìm m
đ
ể

hàm s
ố
có c
ực

đ
ạ
i

, c
ực
ti
ểu
.
b
)

Tìm m
đ
ể

hàm s
ố đ
ạ
t
c
ực
ti
ểu
t
ại
t
ại
x = −1.
c
)

Tìm m
đ

ể

hàm s
ố đ
ạ
t
c
ực

đ
ạ
i
t
ại
x = 3.
1
1

Tính chất 2: Các điểm cực trị có hoành độ cùng dương, cùng âm, cùng lớn hơn hoặc nhỏ hơn α cho trước.

Hai điểm phân biệt cực trị cùng có hoành độ dương.
Khi đó ta có
1 2
2 1
1 2
0
0
0
0
0

B
S x x
A
x x
P x x C
A
−

>

= + >


> > → ⇔
 
= >


>




Hai điểm cực trị cùng có hoành độ âm.
Khi đó ta có
1 2
1 2
1 2
0
0

0
0
0
B
S x x
A
x x
P x x C
A
−

<

= + <


< < → ⇔
 
= >


>




Hai điểm cực trị có hoành độ trái dấu.
Khi đó ta có
1 2 1 2
0 0 0

C
x x P x x
A
< < ⇔ = < ⇔ <

Hai điểm cực trị cùng có hoành độ lớn hơn α.
Khi đó ta có
( )( )
( )
2
2
1 2 1 2
1 2
2 1
1 2
α α 0
α α 0
α α 0
α
2α
2α
2α
C B
x x x x
x x
A A
x x
B
x x
B

A
A
 −
 

− + >
− + + >
 

 − − >
  
 
> > ⇔ ⇔ ⇔
  
−
+ >
−
>


 
>





Hai điểm cực trị cùng có hoành độ nhỏ hơn α.
Khi đó ta có
( )( )

( )
2
2
1 2 1 2
1 2
1 2
1 2
α α 0
α α 0
α α 0
α
2α
2α
2α
C B
x x x x
x x
A A
x x
B
x x
B
A
A
 −
 

− + >
− + + >
 


 − − >
  
 
< < ⇔ ⇔ ⇔
  
−
+ <
−
<


 
<





Hai điểm cực trị có hoành độ thỏa mãn x
1
< α < x
2
.
Khi đó ta có
( )( ) ( )
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
α α α 0 α α 0 α α 0
−

 
< < ⇔ − − < ⇔ − + + < ⇔ − + <
 
 
C B
x x x x x x x x
A A

Tính chất 3: Sử dụng Vi-ét cho hoành độ các điểm cực trị.
Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x
1
; x
2
. Khi đó x
1
; x
2
là hai nghiệm của phương trình y′ = 0.
Theo định lí Vi-ét ta được
1 2
1 2

+ = −




=



B
x x
A
C
x x
A

Ví dụ 1: Cho hàm số
= + − − +
3 2
( 1) 3 .y x m x mx m

a) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu.
b) Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x
1
; x
2
thỏa mãn
+ =
1 2
1 2
1 1
2 .
x x
x x

c) Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ đều lớn hơn 2.
d) Tìm m để hoành độ điểm cực đại của hàm số nhỏ hơn 1.
Hướng dẫn giải:
Ta có

2
3 2( 1) 3
′
= + − −
y x m x m

a) Hàm số có cực đại, cực tiểu khi phương trình y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt
(
)
2
2
7 3 5
2
0 ( 1) 9 0 7 1 0 *
7 3 5
2

− +
>


′
⇔ ∆ > ⇔ − + > ⇔ + + > ⇔

− −
<


m
m m m m

m

1
2

Vậy với
7 3 5
2
7 3 5
2

− +
>



− −
<


m
m
thì hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu.
b) Gọi x
1
; x
2
là hoành độ điểm cực đại, cực tiểu. Khi đó x
1
; x

2
là hai nghiệm của phương trình y′ = 0.
Theo định lí Vi-ét ta được
1 2
1 2
2(1 )
3
−

+ =



= −

m
x x
x x m

Ta có
2 2
1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 1 2(1 ) 1 13
2 2 2 3 1 0 .
3 6
+
− − ±
+ = ⇔ = ⇔ = ⇔ + − = ⇔ =

x x
m
x x x x m m m m
x x x x

Đối chiếu với điều kiện (*) ta được
1 13
6
m
− +
= là giá trị cần tìm.
c) Gọi x
1
; x
2
là hoành độ điểm cực đại, cực tiểu. Khi đó x
1
; x
2
là hai nghiệm của phương trình y′ = 0.
Theo định lí Vi-ét ta được
1 2
1 2
2(1 )
3
−

+ =




= −

m
x x
x x m

Theo bài ta có
( )( )
( )
1 2 1 2
1 2
2 1
1 2
2 4 0
4(1 )
2 2 0
4 0
2
3
2(1 )
4
4
1 6
3

− + + >
−

 − − >

− − + >
  
> > ⇔ ⇔ ⇔
  
−
+ >
>


 
− >


x x x x
m
x x
m
x x
m
x x
m

8
8
0
8 5.
3
5
5
+


> −
>


⇔ ⇔ ⇔ − < < −
 
< −


< −

m
m
m
m
m

Đối chiếu với điều kiện (*) ta được
7 3 5
8
2
m
− −
− < < là giá trị cần tìm.
d) Ta có
1
2
1 2
2

1
6
0 3 2( 1) 3 0
1
6

′
− − ∆
= =


′
= ⇔ + − − = ⇔ → <

′
− + ∆
= =


m
x x
y x m x x x
m
x x

Bảng biến thiên
x
−∞ x
1
x

2
+∞
y’
+ 0 − 0 +
y
CĐ +∞

−∞ CT

Ta thấy hàm số đạt cực đại tại điểm có hoành độ
1
1
6
′
− − ∆
=
m
x
Theo bài ta có
( )
1
2
5 0
1
1 1 6 5
6
5
− − ≥

′

− − ∆

′ ′
= > ⇔ − − ∆ > ⇔ ∆ < − − ⇔

′
∆ < − −


m
m
x m m
m

2 2
5
5
8 5.
3 24
7 1 10 25
≤ −

≤ −


⇔ ⇔ ⇔ − < ≤ −
 
> −
+ + < + +




m
m
m
m
m m m m

Đối chiếu với điều kiện (*) ta được
7 3 5
8
2
m
− −
− < < là giá trị cần tìm.
V
í dụ 2:

Cho hàm số
=
− + + −
3 2
3
( 1) 9 .y x m x x m

T
ìm
m đ
ể

hàm s
ố đ
ạ
t
c
ực

đ
ạ
i
, c
ực
ti
ểu
t
ại

x
1
;
x
2
t
h
ỏa
mãn
−
≤
1
2

2
.
x
x

Hư
ớ
n
g d
ẫn
gi
ải
:

T
a có
2
3
6( 1) 9.
′
= − + +y x m x

1
3

 Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x
1
; x
2
khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt

1 2
; 0
′
⇔ ∆ >x x

( )
2
1 3
( 1) 3 0 *
1 3

> − +
⇔ + − > ⇔

< − −


m
m
m

 Theo định lý Vi-et ta có
1 2
1 2
2( 1)
3
+ = +


=


x x m
x x

Khi đó:
( ) ( )
2 2
2
1 2 1 2 1 2
2 4 4 4 1 12 4 ( 1) 4 3 1− ≤ ⇔ + − ≤ ⇔ + − ≤ ⇔ + ≤ ⇔ − ≤ ≤x x x x x x m m m
Đối chiếu với điều kiện (*) ta được
3 1 3
1 3 1

− ≤ < − −

− + < ≤


m
m
là các giá trị cần tìm.
Ví dụ 3: Cho hàm số
= + − + − + +
3 2
(1 2 ) (2 .) 2y x m x m x m

Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x
1
; x

2
thỏa mãn
− >
1 2
1
.
3
x x

Hướng dẫn giải:
Ta có
2
3 (1 2 .)2 2= − +
′
+ −
x m x m
y

 Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x
1
; x
2
khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt x
1
; x
2

( )
2 2
5

(1 2 ) 3(2 ) 4 5 0 *
4
1

>

′
⇔ ∆ = − − − = − − > ⇔

< −

m
m m m m
m

 Theo định lý Vi-et ta có
1 2
1 2
(1 2 )
3
2
2
.
3
−

+ = −




−

=


m
x x
m
x x

Khi
đ
ó
( ) ( )
2 2
2
1 21 2 2 1 21
1
4 4(1 2 ) 4(2 1
1
93
)⇔− = + − > ⇔ − − − >> − x x x x mx mx x x
2
3 29
8
16 12 5 0
3 29
8

+

>


⇔ − − > ⇔

−
<


m
m m
m

Đối chiếu với điều kiện (*) ta được
3 29
8
1

+
>


< −


m
m
là các giá trị cần tìm.
Ví dụ 4: Cho hàm số
= − − + − +

3 2
1 1
( 1) 3( 2) .
3 3
y x m x m x

Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x
1
; x
2
thỏa mãn
+ =
1 2
2 1.x x

Hướng dẫn giải:
Ta có
2
2( 1) 3( 2).
′
= − − + −y x m x m

 Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x
1
; x
2
khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt x
1
; x
2

2
5 7 0,
′
⇔ ∆ = − + > ∀m m m
 Khi đó ta có
( )( )
1 2 2 2 2
1 2 1 2 1
1 2 1 2
1 2
2( 1) 1 2 2( 1) 3 2
3( 2) 3( 2) 1 2(2 2 ) 4 3
2 1 2 1
3( 2) 3 2 4 3 3 6

+ = − − + = − = −
 
  
= − ⇔ = − ⇔ = − − = −
  
  
+ = + =
= − ⇒ − − = −
 

x x m x x m x m
x x m x x m x m m
x x x x
x x m m m m

2
4 34
8 16 9 0 .
4
− ±
⇔ + − = ⇔ =m m m Vậy
4 34
4
− ±
=m là các giá trị cần tìm.
Ví dụ 5: Cho hàm số
= + + + +
3 2
(1 – 2 ) (2 – ) 2.y x m x m x m

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu đồng thời hoành độ điểm cực tiểu nhỏ hơn 1.
Hư
ớ
n
g d
ẫn
gi
ải
:

T
a có
2
3

2(1 2 ) 2 ( ).
′
= + − + − =
y
x m x m g x

D
o h
ệ
s
ố
a = 3 > 0 nên yêu c
ầu
bài toán tr
ở
thành y′ = 0 có hai nghi
ệm
phân bi
ệt
x
1
;
x
2

t
h
ỏa
mãn
1

4

2
1 2
4 5 0
5 7
1 (1) 5 7 0
4 5
2 1
1
2 3

′
∆ = − − >


< < ⇔ = − + > ⇔ < <

−

= <


m m
x x g m m
S m

Ví dụ 6: Cho hàm số
= +
3 2

4 – 3 .y x mx x

Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x
1
; x
2
thỏa mãn
= −
1 2
4 .
x x

Hướng dẫn giải:
Ta có
2 2
12 2 3 36 0.
′ ′
= + − ⇒ ∆ = + >y x mx m
Khi đó
1 2
1 2
1 2
4
9
.
6 2
1
4



= −


+ = − → = ±



= −


x x
m
x x m
x x

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1: Cho hàm số
3 2
( 2) ( 1) 2.= + + − − +y x m x m x

a) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu.
b) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại tại x = 3.
c) Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x
1
; x
2
thỏa mãn
2 2
1 2
10.+ <x x

d) Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ đều nhỏ hơn −1.
Bài 2: Cho hàm số
( ) ( )
3 2 3
2 3 3 6 5 1 4 1.= − + + + − −y x m x m x m
a) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu.
b) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị có hoành độ đều nhỏ hơn 2.
Bài 3: Tìm m để hàm số
( ) ( )
3 2
1 2 2 2= + − + − + +y x m x m x m có hai điểm cực đại, cực tiểu đồng thời hoành độ
điểm cực tiểu nhỏ hơn 2.
Bài 4: Cho hàm số
( )
( )
3 2 2
2
1 4 3 2.
3
= + + + + + + +y x m x m m x m
Gọi x
1
, x
2
là hoành dộ hai điểm cực trị của hàm
số.
a) Tìm m để hàm số đạt cực trị tại ít nhất một điểm có hoành độ lớn hơn 1.
b) Tìm m sao cho biểu thức
( )

1 2 1 2
2= − +
P x x x x
đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 5: Cho hàm số
3 2
1
( 6) 1.
3
= + + + −y x mx m x
Tìm giá trị của m để
a) hàm số có cực trị.
b) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x
1
, x
2
thỏa mãn
1 1
1 2
1 1
.
3
+
+ =
x x
x x

c) hàm số đạt cực đại tại điểm có hoành độ x = 1.
d) hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = 0.
Tính chất 4: Các cực trị nằm cùng phía, khác phía với các trục tọa độ.

+ Các điểm cực trị nằm cùng phía với trục Oy khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.
+ Các điểm cực trị nằm khác phía với trục Oy khi y′ = 0 có hai nghiệm trái dấu.

+ Các điểm cực trị nằm khác phía với trục Ox khi đồ thị cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt hoặc hàm số có cực trị
với y
CĐ
.y
CT
< 0.
+ Các điểm cực trị nằm cùng phía với trục Ox khi đồ thị cắt trục Ox tại một điểm hoặc hàm số có cực trị với
y
CĐ
.y
CT
> 0.
Ví dụ 1: Cho hàm số
= + + +
3 2
3 – 2y x x mx m
, với m là tham số.
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại, cực tiểu nằm về hai phía của trục hoành.
Hư
ớ
n
g d
ẫn
gi
ải
:

T
a có
2
3
6
′
= + +
y
x x m
,
hàm s
ố
có c
ực

đ
ạ
i
, c
ực
ti
ểu
khi ph
ư
ơ
n
g trình y′ = 0 có hai nghi
ệm
phân bi
ệt

.
T
ức
là
9
3 0 3.
′
∆ = − > ⇔ <m m
1
5

Phương trình hoành độ giao điểm của (C
m
) và Ox:
( )
3 2
2
1
3 – 2 0
( ) 2 2 0, 1
= −

+ + + = ⇔

= + + − =

x
x x mx m
g x x x m

Hàm số có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía đối với trục Ox khi (1) có 2 nghiệm phân biệt khác –1
Ta có điều kiện
3 0
3
( 1) 3 0

′
∆ = − >
⇔ <

− = − ≠

m
m
g m

Vậy m < 3 là giá trị cần tìm.
Ví dụ 2: Cho hàm số
= − + + − − + −
3 2 2
(2 1) ( 3 2) 4y x m x m m x
, với m là tham số.
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại, cực tiểu nằm về hai phía của trục tung.
Hướng dẫn giải:
Ta có
2 2
3 2(2 1) ( 3 2)
′
= − + + − − +y x m x m m

Hàm số có cực đại, cực tiểu khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt
( )
( )
2
2
0 2 1 3 3 2 0
′
⇔ ∆ > ⇔ + − − + >m m m

2
13 3 21
2
13 5 0
13 3 21
2

− +
>


⇔ + − > ⇔

− −
<


m
m m
m

Hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu nằm về hai phía của trục tung khi y′ = 0 có hai nghiệm trái dấu
( )
2
3 3 2 0 1 2.− + < ⇔ < <m m m
Kết hợp điều kiện ta được 1 < m < 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ 3: Cho hàm số
= − + − −
3 2
1
(2 1) 3
3
y x mx m x
, với m là tham số.
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại, cực tiểu nằm về cùng một phía của trục tung.
Hướng dẫn giải:
Ta có
2
2 2 1
′
= − + −y x mx m

Hàm số có cực đại, cực tiểu khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt
2
0 2 1 0 1
′
⇔ ∆ > ⇔ − + > ⇔ ≠m m m
Hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu nằm về cùng một phía của trục tung khi phương trình y′ = 0 có hai nghiệm
cùng dấu
1
0 2 1 0 .

2
⇔ > ⇔ − > ⇔ >ac m m
Kết hợp điều kiện ta được
1
1
2
< ≠m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Tính chất 5: Các bài toán cực trị khi y′
′′
′ = 0 giải được nghiệm ‘đẹp’
Khi phương trình y′ = 0 có
( )
2
ax b∆ = + thì điều kiện để hàm số có cực trị là
( )
2
0 0 .
b
ax b x
a
∆ > ⇔ + > ⇔ ≠ −
Khi đó,
1
2
0
x x
y
x x
=


′
= ⇒

=

và sử dụng yêu cầu của đề bài để giải ra tham số.
Ví dụ 1: Cho hàm số
= − + − − +
3 2 2 3
3 3( 1) .y x mx m x m m

Tìm giá trị của m để hàm số có cực trị. Khi đó, tìm m để khoảng cách từ điểm cực đại đến gốc tọa độ bằng
2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu đến gốc tọa độ O.
Hướng dẫn giải :
Ta có
2 2 2 2
3 6 3( 1) 0 2 1 0
′ ′
= − + − ⇒ = ⇔ − + − =y x mx m y x mx m

Hàm số có cực đại, cực tiểu khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt 1 0,
′
⇔ ∆ = > ∀m
Khi đó
( )
( )
1 1;2 2
0
1 1; 2 2


= − ⇒ − −
′
= ⇔

= + ⇒ + − −


x m A m m
y
x m B m m

Do hệ số a = 1 > 0 và m + 1 > m − 1 nên A là điểm cực đại và B là điểm cực tiểu của hàm số.
Theo bài ta có
2
3
2 2
2 6 1 0
3 2 2

= − +
= ⇔ + + = ⇔

= − −


m
OA OB m m
m

V

ậy

3
2 2= − ±m

là các giá tr
ị
c
ần
tìm.
1
6

Ví dụ 2: Cho hàm số
( )
−
= − + − + −
2
3
3 1
1
(3 2) 1.
3 2
m x
y x m x m

Tìm giá trị của m để
a) hàm số có cực đại, cực tiểu.
b) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ lớn hơn 2.
c) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ x

1
; x
2
thỏa mãn
+ >
3 3
1 2
28x x

d) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ x
1
; x
2
thỏa mãn
+ =
2 2
1 2
2 12x x

Hướng dẫn giải :
Ta có
( ) ( )
2 2
3 1 3 2 0 3 1 3 2 0.y x m x m y x m x m
′ ′
= − − + − ⇒ = ⇔ − − + − =
a) Hàm số có cực đại, cực tiểu khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt.
Ta có điều kiện
( ) ( )
2

2
0 3 1 4. 3 2 0 9 18 9 0 1m m m m m∆ > ⇔ − − − > ⇔ − + > ⇔ ≠
b) Với
( )
( )
3 1 3 1
1
2
1 0
3 1 3 1
3 1
2
m m
x
m y
m m
x m

− − −
= =


′
≠ ⇒ = ⇔
 − + −
= = −



Hoành độ các điểm cực đại, cực tiểu lớn hơn 2 khi 3 1 2 1.m m− > ⇔ >

Vậy với m > 1 thì hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu và hoành độ cực đại, cực tiểu lớn hơn 2.
c) Ta có
( )
3
3 3
1 2
4
28 1 3 1 28 3 1 3 .
3
x x m m m+ > ⇔ + − > ⇔ − > ⇔ >

d) Do vai trò bình đẳng của x
1
; x
2
nên ta có hai trường hợp xảy ra
 Với
( )
2
2 2
1 2 1 2
1 10
1; 3 1 2 12 2 3 1 12 3 1 10
3
x x m x x m m m
±
= = − ⇒ + = ⇔ + − = ⇔ − = ± → =
Kết hợp với điều kiện tồn tại cực trị ta được
1 10
.

3
m
±
=
 Với
( )
2
2 2
1 2 1 2
22 2 22
3 1; 1 2 12 2 3 1 1 12 3 1
2 6
x m x x x m m m
±
= − = ⇒ + = ⇔ − + = ⇔ − = ± → =
Kết hợp với điều kiện tồn tại cực trị ta được
2 22
.
6
m
±
=
Ví dụ 3: Cho hàm số
+= +
3 2
3y x x m

Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm A, B sao cho

.=

0
120AOB
Hướng dẫn giải :
Ta có
2
0
3 6 0
2 4
= ⇒ =

′ ′
= + ⇒ = ⇔

= − ⇒ = +

x y m
y x x y
x y m

Vậy hàm số có hai điểm cực trị A(0 ; m) và B(−2 ; m + 4).
Ta có (0; ), ( 2; 4).= = − +OA m OB m

 
Để


0
1
120 cos
2

= ⇒ = −AOB AOB
( )
( )
2 2
2
2 2
4 0
( 4) 1
4 ( 4) 2 ( 4)
3 24 44 0
2
4 ( 4)
4 0
12 2 3 2
4
12 2 3
3
3
3
− < <
+

⇔ = − ⇔ + + = − + ⇔

+ + =

+ +
− < <

− +


⇔ ⇔ = = − +
− ±

=


m
m m
m m m m
m m
m m
m
m
m

Vậy
2
4
3
= − +m là giá trị cần tìm.
Ví dụ 4: Cho hàm số
= − + − −
3 2
3 3 1y x mx m

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này đối xứng nhau qua (d): x + 8y −
−−
− 74 = 0.
Hư

ớ
n
g d
ẫn
gi
ải
:

T
a có
(
)
2
0
3
6 3 2 0
2
=

′ ′
= − + = − − ⇒ = ⇔

=

x
y x mx x x m y
x
m

H

àm s
ố
có c
ực

đ
ạ
i
, c
ực
ti
ểu
khi y′ = 0 có hai nghi
ệm
phân bi
ệt

⇒
m ≠ 0
1
7

Khi dó, các điểm cực trị của hàm số là
3 3
(0; 3 1), (2 ;4 3 1) (2 ;4 )− − − − ⇒A m B m m m AB m m



Trung điểm I của AB có toạ độ
3

( ;2 3 1)− −I m m m
Đường thẳng d:
( )
: 8 74 0+ − =d x y có một véc tơ chỉ phương
(8; 1)= −

u
.
A và B đối xứng với nhau qua d ⇔
( )
3
8(2 3 1) 74 0
2
. 0

+ − − − =
∈


⇔ ⇔ ⇔ =
 
⊥
=



 
m m m
I d
d m

AB d
AB u

Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.
Ví dụ 5: Cho hàm số
( )
= − + − +
3 2
3
3 1 1
2
m
y x x m x
Tìm m để
a) hàm số có cực đại, cực tiểu.
b) hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 2.
c) hàm số đạt cực đại tại x = 0.
d) hàm số không có cực đại, cực tiểu.
e) đường thẳng qua các điểm cực đại, cực tiểu song song với đường thẳng d: y = 9x + 1
Hướng dẫn giải :
a) Ta có
( ) ( )
( )
3 2 2 2
3
3 1 1 3 3 3 1 3 1
2
m
y x x m x y x mx m x mx m
′

= − + − + ⇒ = − + − = − + −
Hàm số có cực đại, cực tiểu khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt.
Ta có điều kiện
( )
2
0 2 0 2.m m∆ > ⇔ − > ⇔ ≠
Vậy với m ≠ 2 thì hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu.
b) Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 2 khi hệ sau có nghiệm
(2) 0
, ( )
(2) 0
′
=


′′
>

y
I
y

Ta có y′′ = 6x – 3m, khi đó
4 2 1 0 3
( ) 3
12 3 0 4
m m m
I m
m m
− + − = =

 
⇔ ⇔ ⇒ =
 
− > <
 

Giá trị m = 3 thỏa mãn điều kiện (*) nên là giá trị cần tìm.
c) Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 0 khi hệ sau có nghiệm
(0) 0
, ( )
(0) 0
′
=


′′
>

y
I
y

Ta có y′′ = 6x – 3m, khi đó hệ
1 0 1
( ) 1
3 0 0
m m
I m
m m
− = =

 
⇔ ⇔ ⇒ =
 
− < >
 

Giá trị m = 1 thỏa mãn điều kiện (*) nên là giá trị cần tìm.
d) Hàm số không có cực đại, cực tiểu khi y′ không đổi dấu ⇔ y′ = 0 vô nghiệm ⇔ ∆ ≤ 0 ⇔ (m – 2)
2
≤ 0
Bất phương trình trên chỉ có nghiệm duy nhất m =2.
Vậy với m = 2 thì hàm số đã cho không có cực trị.
e) Xét phương trình y’ = 0 ta được x
2
– mx + m – 1 = 0
( )
1
1
2
2
2
2
3 2
2
1
2
2
2
2
3 5 4

1
2
2
m
m m
y
x m
m
m m
m m
x
y
−

+ −

=
= = −



∆ = − ⇒ ⇒

− +
− +


= =
=






Gọi A(x
1
, y
1
) và B(x
2
, y
2
) là các điểm cực đại, cực tiểu. Khi đó
2
3 8 6
2 ;
2
m m
AB m
 
− +
= −
 
 


Đường thẳng qua các điểm cực đại, cực tiểu song song với d : y = 9x + 1 khi
( )
2
2 2

3 8 6
2
2
/ / 2 4 9 3 8 6 27 74 58 0
9 1
d o
m m
m
AB u m m m m m vn
− +
−
⇔ = ⇔ − = − + ⇔ − + = →
−
 

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1: Cho hàm số
( )
2
3
2 1
1
2(2 1) 3.
3 2
m x
y x m x
−
= − − + +

T

ìm giá tr
ị
c
ủa
m
đ
ể


a
)

hàm s
ố
có c
ực

đ
ạ
i
, c
ực
ti
ểu
.
b
)

hàm s
ố đ

ạ
t
c
ực

đ
ạ
i
, c
ực
ti
ểu
t
ại
các
điểm
có hoành âm.

1
8

c) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ x
1
; x
2
thỏa mãn
4 4
1 2
17x x+ >

d) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ x
1
; x
2
thỏa mãn
2 2
1 2
2 12x x+ =

Bài 2: Cho hàm số
( )
2
3 2
3 1
1
(2 ) 2.
3 2
m x
y x m m x
+
= − − + −

Tìm giá trị của m để
a) hàm số có cực đại, cực tiểu.
b) hàm số đạt cực đại tại điểm x = 3.
c) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ x
1
; x
2
thỏa mãn

2 2
1 2
40x x− =

d) hàm số đạt cực đại, cực tiểu đồng thời các điểm cực đại, cực tiểu nằm hai phía của trục Oy.
Bài 3: Cho hàm số
3
3 2= − +y x mx

a) Tìm m để đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của hàm số cắt đường tròn tâm I(1; 1) bán kính bằng 1 tại
hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất.
b) Tìm m để hàm số có CĐ, CT và khoảng cách từ O đến đường thẳng đi qua CĐ, CT lớn nhất.
Tính chất 6: Phương trình đường thẳng qua cực đại, cực tiểu và một số ứng dụng điển hình
Lấy y chia cho y′ ta được . ( ) ,
′
= + +
y y g x ax b
khi đó đường thẳng d : y = ax + b chính là đường thẳng đi qua các
điểm cực đại, cực tiểu của hàm số.
Tác dụng lớn nhất của việc tìm được phương trình đường thẳng qua cực đại, cực tiểu là lấy được tung độ của
chúng. Thật vậy, gọi M, N là các điểm cực đại, cực tiểu thì
( ) ( )
1 1 2 2
; , ;+ +
M x ax b N x ax b
, trong đó x
1
; x
2
là hai

nghiệm của phương trình y′ = 0 và ta có thể dùng Vi-et được.
Ví dụ 1: Cho hàm số
( )= − + + − + −
3 2 2 3 2
3 3 1y x mx m x m m

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu. Khi đó, hãy viết phương trình đường thẳng qua các điểm đó.
Hướng dẫn giải :
Ta có
2 2 2 2
3 6 3(1 ) 0 2 1 0
′ ′
= − + + − ⇒ = ⇔ − + − =y x mx m y x mx m

Hàm số có cực đại, cực tiểu khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt 1 0,
′
⇔ ∆ = > ∀m
Vậy hàm số luôn có cực đại, cực tiểu với mọi giá trị của m.
Chia y cho y′ ta được
2
1
2
3 3
 
′
= − + − +
 
 
m
y x y x m m

Gọi
( ) ( )
1 1 2 2
; , ;A x y B x y là các điểm cực trị, khi đó
( )
( )
1
2
2
1 1 1
2
2 2 2
1
2
3 3
1
2
3 3

 
′
= − + − +
 


 

 


′
= − + − +
 

 

x
x
m
y x y x m m
m
y x y x m m

Do
( ) ( )
( )
1 2
2
2
1 1
2
2 2
2
0 , : 2
2

= − +
′ ′
= = ⇒ ⇔ ∈ = − +


= − +

x x
y x m m
y y A B d y x m m
y x m m

Vậy, phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho là
2
2= − +
y x m m
.
Ví dụ 2: Cho hàm số
= − − +
3 2
3 2y x x mx

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị song song với đường thẳng
d: y = −
−−
−4x + 3.
Hướng dẫn giải :
Ta có
2
3 6
′
= − −y x x m

Hàm số có cực đại, cực tiểu khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt
( )

0 9 3 0 3, *
′
⇔ ∆ > ⇔ + > ⇔ > −m m
Chia y cho y′ ta được
1 1 2
2 2
3 3 3 3
     
′
= − − + + −
     
     
m
xy
m
x y
Gọi
( ) ( )
1 1 2 2
; , ;A x y B x y là các điểm cực trị, khi đó phương trình đường thẳng qua A, B là
( )
2
: 2 2
3 3
 
∆ = − + + −
 
 
m m
y x

Theo bài ta có
2
2
4
3
3
2 3
3
/ / : 4 3



−
+ = −




 
⇔
⇔ =∆ = − +


−
≠

⇒

m
m

m
d
y x
1
9

Đối chiếu với (*) ta được m = 3 là giá trị cần tìm.
Ví dụ 3: Cho hàm số
= − − +
3 2
3 2y x x mx

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này cách đều đường thẳng (d): y = x −
−−
− 1.
Hướng dẫn giải :
Ta có
2
3 6
′
= − −y x x m

Hàm số có cực đại, cực tiểu khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt
( )
0 9 3 0 3, *
′
⇔ ∆ > ⇔ + > ⇔ > −m m
Chia y cho y′ ta được
1 1 2
2 2

3 3 3 3
     
′
= − − + + −
     
     
m
xy
m
x y
Gọi
( ) ( )
1 1 2 2
; , ;A x y B x y là các điểm cực trị, khi đó phương trình đường thẳng qua A, B là
( )
2
: 2 2
3 3
 
= − + + −
 
 
m m
AB y x
Các điểm cực trị cách đều đường thẳng (d) : y = x − 1 nên xảy ra 1 trong 2 trường hợp:
 TH1: Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị song song hoặc trùng với đường thẳng (d)
2 3
2 1 ,
3 2
 

− + = ⇔ = −
 
 
⇔
m
m (thỏa mãn)
 TH2: Trung điểm I của AB nằm trên đường thẳng
( )
1 2 1 2
1 1
2 2
+ +
⇔ = − ⇔ = −
I I
y y x x
d y x
( ) ( )
1 2 1 2
2 2 2
2 2 2 2 3 .2 6 0
3 3 3 3
     
− + + + − = + − ⇔ + = − ⇔ =
     
    
⇔

m m m m
x x x x m
Vậy

3
0;
2
= = −m m là các giá trị cần tìm.
Ví dụ 4: Cho hàm số
= − +
3 2
3y x x mx

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này đối xứng nhau qua (d): x −
−−
− 2y −
−−
− 5 = 0.
Hướng dẫn giải :
Ta có
2
3 6
′
= − +y x x m

Hàm số có cực đại, cực tiểu khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt
( )
0 9 3 0 3, *
′
⇔ ∆ > ⇔ − > ⇔ <m m
Chia y cho y′ ta được
1 1 2 1
2
3 3 3 3

   
′
= − + − +
   
   
y x y m x m

Gọi
( ) ( )
1 1 2 2
; , ;A x y B x y là các điểm cực trị, khi đó
( )
2 1 2
2 2
3
:
3 3
 
− + ⇒ = −
 

=

AB
m x m kA mB y
Ta có
( )
1
: 2 5 0
2

− − = ⇒ =
d
d x y k
A, B đối xứng nhau qua (d) thì ta phải có
( ) ( )
1 2
. 1 2 1 0
2 3
 
⊥ ⇔ = − ⇔ − = − ⇔ =
 
 
AB d
AB d k k m m
Với m = 0 thì đồ thị có hai điểm cực trị là (0; 0) và (2; –4), nên trung điểm của chúng là I(1; –2).
Ta thấy I ∈ (d), do đó hai điểm cực trị đối xứng với nhau qua (d).
Vậy m = 0 là giá trị cần tìm.
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1: Cho hàm số
3 2
3( 1) 9 2= − + + + −y x m x x m
Tìm m để hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng
( )
1
: .
2
=d y x
Đ/s: m = 1
Bài 2: Cho hàm số
3 2

3 2= − − +y x x mx
Tìm m để hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu và đường thẳng qua các điểm đó tạo với đường thẳng
( )
: 4 5 0+ − =d x y một góc 45
0
.
Đ/
s:
.=
−
1
2
m

B
ài 3:

Cho hàm s
ố
3
2 2
3=
− + +y x x m x m

2
0

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này đối xứng nhau qua đường thẳng
1 5
:

2 2
= −d y x

Đ/s : m = 0
Bài 4: Cho hàm số
3 2 3
3 4= − +y x mx m
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này đối xứng nhau qua đường thẳng d : y = x.
Đ/s :
2
.
2
= ±m
Bài 5: Cho hàm số
3 2
3( 1) 9 2= − + + + −y x m x x m
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này đối xứng nhau qua đường thẳng
1
:
2
=d y x
Đ/s : m = 1
Bài 6: Cho hàm số
3 2
3= − +y x x mx
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này đối xứng nhau qua đường thẳng : 2 5 0− − =d x y
Đ/s : m = 0
Bài 7: Cho hàm số
3 2
7 3= + + +y x mx x

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu vuông góc với đường thẳng
:3 7 0.− − =d x y
Đ/s :
3 10
.
2
= ±m
Bài 8: Cho hàm số
3 2 2 2
3( 1) (2 3 2)= − − + − + − +y x m x m m x m m
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu tạo với đường thẳng
: 4 20 0+ − =d x y góc 45
0
.
Đ/s :
3 15
.
2
±
=m
Bài 9: Cho hàm số
3 2
3 2= − +y x x
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu tiếp xúc với đường tròn
2 2
( ):( ) ( 1) 5− + − − =C x m y m .
Đ/s :
4
2; .
5

= = −m m
MỘT SỐ BÀI GIẢI MẪU VỀ CỰC TRỊ HÀM BẬC BA CHỌN LỌC
Bài 1: Cho hàm số
3 2
1 1
( 1) 3( 2)
3 3
= − − + − +y x m x m x
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại x
1
; x
2
sao cho
1 2
2 1.+ =x x
Giải :
TXĐ :
D
= R
Ta có
( ) ( )
2
' 2 1 3 2y x m x m= − − + −
Để hàm số có cực đại cực tiểu tại x
1
; x
2
thì phương trình ' 0y = có 2 nghiệm phân biệt x
1
; x

2
hay
( ) ( )
2
2
' 1 3 2 5 7 0m m m m∆ = − − − = − + > luôn đúng với mọi m
Theo định lí Viète ta có:
( )
( )
1 2
1 2
2 1
3 2
x x m
x x m
+ = −


=
−



2
1

Như vậy ta có hệ:
( )( )
( )( )
( )

1 2
1 2
1 2
2 1 1
3 2 2
2 1 3
x x m
x x m
x x
+ = −

= −


+ =


Từ
( ) ( )
1 3và ta dễ dàng giải được
2
1
3 2
4 5
x m
x m
= −


= −



Thay vào
( )
2
ta có:
( )( ) ( )
( )
1
4 5 3 2 3 2 19 73
16
m m m m− − = − ⇔ = ±

Vậy
( )
1
19 73
16
m = ±
là giá trị cần tìm.
Bài 2: Cho hàm số
3 2
( 2) ( 1) 2
3
= + − + − +
m
y x m x m x

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại x
1

; x
2
sao cho
1 2
1.< <x x
Giải :
TXĐ :
D
= R
Ta có
( )
2
' 2 2 1y mx m x m= + − + −
Để hàm số có cực đại, cực tiểu tại thì phương trình
( ) ( )
2
' 2 2 1 0 *y mx m x m= + − + − = có hai nghiệm phân
biệt x
1
; x
2
sao cho
1 2
1.< <x x
Đặt 1t x= − ta có
( )
*
trở thành
( ) ( )( ) ( ) ( )
2

2
1 2 2 1 1 0 4 1 4 5 0 **m t m t m mt m t m+ + − + + − = ⇔ + − + − =
( )
*
có 2 nghiệm
1 2
1x x< < thì PT
( )
**
có hai nghiệm
1 2
0t t< < hay
( )
5
4 5 0 0
4
m m m− < ⇔ < <
Vậy
5
0
4
m< < là giá trị cần tìm.
Bài 3: Cho hàm số
3 2
1
3 4
3
= − − +y x mx mx
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại x
1

; x
2
sao cho
2 2
1 2
2 2
2 1
2 9
2
2 9
+ +
+ =
+ +
x mx m
m
m x mx m

Giải :
TXĐ :
D
= R
Ta có
2
' 2 3y x mx m= − −
Để hàm số có cực đại, cực tiểu tại x
1
; x
2
thì PT
2

' 2 3 0y x mx m= − − = có 2 nghiệm phân biệt x
1
; x
2

Hay
( ) ( )
2
' 3 0 ; 3 0;m m m∆ = + > ⇔ ∈ −∞ − ∪ +∞
Theo định lí Viète ta có:
1 2
1 2
2
3
x x m
x x m
+ =


= −

thay vào
2 2
1 2
2 2
2 1
2 9
2
2 9
+ +

+ =
+ +
x mx m
m
m x mx m
ta có :
( )
(
)
2
2
1 1 2 2
2 2
2 1 2 1
9
2
9
x x x x m
m
m x x x x m
+ + +
+ =
+ + +

(
)
(
)
2
2

2
1
2 1 2 2
2
2
9
1
2 3 9 4
x x x x x m
m m m m m
m
+ − + +
⇔ = ⇔ − + + = ⇔ = −
(
vì
0m ≠ )

2
2


Bài 4: Cho hàm số
3 2 2
1 1
( 3)
3 2
= − + −y x mx m x

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại x
1

; x
2
dương sao cho
2 2
1 2
5
.
2
+ =x x

Giải :
TXĐ :
D
= R
Ta có
2 2
' 3y x mx m= − + −
Để hàm số có cực đại, cực tiểu tại x
1
; x
2
dương thì PT
2 2
' 3 0y x mx m= − + − = có 2 nghiệm dương phân biệt
x
1
; x
2

( )

2 2
1 2
2
1 2
4 3 0
0 3 2
3 0
m m
x x m m
x x m

∆ = − − >


⇔ + = > ⇔ < <


= − >



Ta có :
( )
( )
2
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
5 7
2 2 3
2 2

x x x x x x m m m+ = + − = − − = ⇔ = ±
Kết hợp ĐK ta có
7
2
m = là giá trị cần tìm.
Bài 5: Cho hàm số
3
3 2= − +y x mx
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại A, B sao cho diện tích tam giác ABC bằng 3 2 , với C(1 ; 1).
Ta có :
2 2
' 3 3 0y x m x m= − = ⇔ = . Để hàm số có cực đại, cực tiểu tại A, B 0(*)m⇔ >
Khi đó :
2 2 ( ; 2 2)
2 2 ( ;2 2)
x m y m m A m m m
x m y m m B m m m

= ⇒ = − + ⇒ − +

= − ⇒ = + ⇒ − +



Từ đo ta có pt đường thẳng qua A,B là: 2 2 0mx y+ − =
Theo bài ra ta có
3
2
2 1
1 1

. ( ; ) 4 16 . 3 2
2 2
4 1
ABC
m
S AB d C AB m m
m
−
= = + =
+

2
1
4 . 2 1 3 2 (2 1) 18 2( *)
2
m m m m m tm⇔ − = ⇔ − = ⇔ =
Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.
Bài 6: Cho hàm số
3 2
3( 1) 12 3 4= − + + − +y x m x mx m
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại A, B sao cho tam giác ABC nhận O làm trọng tâm, với
9
1; .
2
 
− −
 
 
C

Ta có :
2 2 2
' 3 6( 1) 12 0 2( 1) 4 0 2 2 4 0y x m x m x m x m x mx x m= − + + = ⇔ − + + = ⇔ − − + =
2
( 2 ) 2( 2 ) 0 ( 2)( 2 ) 0
2
x
x x m x m x x m
x m
=

⇔ − − − = ⇔ − − = ⇔

=


Để hàm số có cực đại, cực tiểu tại A, B 1(*)m⇔ ≠ khi đó:
Ta có:
3
2 3 2
2 9 (2;9 )
2 4 12 3 4 (2 ; 4 12 3 4)
x y m A m
x m y m m m B m m m m
= ⇒ = ⇒


= ⇒ = − + − + ⇒ − + − +


2
3

Vì tam giác ABC nhận O làm trọng tâm nên
3 2
2 2 1 0
1
( *)
9
2
9 4 12 3 4 0
2
+ − =


⇔ = −

− + − + − =


m
m tm
m m m m

Vậy
1
2
= −m
là giá trị cần tìm
Bài 7: Cho hàm số

3 2 3
2 3( 1) 6= − + + +y x m x mx m
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại A, B sao cho 2.=AB
Ta có :
2
1
' 6 6( 1) 6 0 ( 1)( ) 0
x
y x m m x x m
x m
=

= − + + = ⇔ − − = ⇔

=


Để hàm số có cực đại, cực tiểu tại A, B 1(*)m⇔ ≠ khi đó:
Ta có:
3 3
3
2 2
1 3 1 (1; 3 1)
(1 ;( 1) )
3 ( ;3 )
x y m m A m m
AB m m
x m y m B m m

= ⇒ = + − ⇒ + −


⇒ = − −

= ⇒ = ⇒




2 6 2
0
2 ( 1) ( 1) 2 ( 1) 1 ( *)
2
m
AB m m m tm
m
=

= ⇔ − + − = ⇔ − = ⇔

=


Vậy m = 0 ; m = 2. là giá trị cần tìm
Bài 8: Cho hàm số
3 2 2 3
3 3( 1) 4 1= − + − − + −y x mx m x m m
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O.
Ta có :
2 2 2 2
1 1

' 3 6 3( 1) 0 2 1
1 1
x m x m
y x mx m x mx m
x m x m
− = = +
 
= − + − = ⇔ − + = ⇔ ⇔
 
− = − = − +
 

Hàm số luôn có cực đại, cực tiểu tại A, B :
Ta có:
3
3
1 ( ) 3 4 1 3 (1 ; 3)
1 ( ) 3 4 1 1 ( 1 ;1 )
x m y x m x m m A m m
x m y x m x m m B m m

= + ⇒ = − − + − = − ⇒ + −

= − + ⇒ = − − + − = + ⇒ − + +



Vì tam giác OAB vuông tại O nên ta có :
2
1

. 0 (1 )( 1 ) ( 3)( 1) 0 2 2 4 0
2
m
OAOB m m m m m m
m
= −

= ⇔ + − + + − + = ⇔ − − = ⇔

=

 

Vậy 1; 2.= − =m m
Bài 9: Cho hàm số
3 2 3 2
3( 1) 3 ( 2) 2= + + + + + +y x m x m m x m m
Chứng minh rằng hàm số luôn có cực trị với mọi m, và khoảng cách giữa các điểm cực trị không đổi.
Ta có :
3 2 3 2 3
2
3 2 3 2 3
( ) 3( )
' 3 6( 1) 3 ( 2) 0
2 ( ) 3( ) 4
x m y x m x m m m m m
y x m x m m
x m y x m x m m m m m

= − ⇒ = + + + + − = −

= + + + + = ⇔

= − − ⇒ = + + + + − = − +



(ở đây ' 0y = luôn có 2 nghiệm phân biệt)
Khoảng cách giữa các điểm cực trị là 4 16 2 5AB = + =
Đ/s :
2
5.=AB

B
ài 10:
C
ho hàm số
3
2 2
1
(
1) 1
3
= − + − +y x mx m x

2
4

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và y
CĐ
+ y

CT
> 2.
2 2 2
1
' 2 1 0 ( ) 1
1
x m
y x mx m x m
x m
= +

= − + − = ⇔ − = ⇔

= − +


Hàm số luôn có cực đại, cực tiểu tại A, B
Ta có:
3 3
3
3 3
3
1 1
1 ( ) 1
3 3 3
1 5
1 ( ) 1
3 3 3
m m
x m y x m x m

m m
x m y x m x m

+
= + ⇒ = − + − + = −


 +
= − + ⇒ = − + − + = −



Ta có: y
CĐ
+ y
CT
> 2
3
3
3
2
2 2 2 2 6 0
3
3 0
m
m
m m m
m

>

⇔ − + > ⇔ − > ⇔

− < <



Kết luận:
3
3 0
m
m

>

− < <


là giá trị cần tìm
Bài 11: Viết phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu của hàm số sau :
a)
3 2
( 1) 2= + + + −y x m x x m
b)
3 2 2 3 2
3 3(1 )= − + + − + −y x mx m x m m .
a, Ta có :
2
' 3 2( 1) 2y x m x= + + + .Để hàm số có 2 cức trị ' 0y⇔ = có 2 nghiệm phân biệt.
2
1 6

( 1) 6 0
1 6
m
m
m

> − +
⇔ + − > ⇔

< − −


(*).
Khi đó gọi
1 1 2 2
( ; ), ( ; )A x y B x y là tọa độ 2 điểm cực trị.
Thực hiện phép chia y cho y’ ta được :
2
1 1 10 2 4 11 2
'
3 9 9 9
m m m m
y x y x
+ − − +
 
= + + −
 
 

Ta có:

2 2
1 1 1 1 1
1 1 10 2 4 11 2 10 2 4 11 2
'( )
3 9 9 9 9 9
m m m m m m m
y x y x x x
+ − − + − − +
 
= + + − = −
 
 


2 2
2 2 2 2 2
1 1 10 2 4 11 2 10 2 4 11 2
'( )
3 9 9 9 9 9
m m m m m m m
y x y x x x
+ − − + − − +
 
= + + − = −
 
 

Vậy với đk (*) đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu của hàm số là :
2
10 2 4 11 2

9 9
m m m
y x
− − +
= −
b, Tương tự câu a ta có:
2
2y x m m= + − với m R∈

Bài 12: Cho hàm số
3 2 2
(2 1) ( 3 2) 4= − + + − − + −y x m x m m x
a) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu.
b) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này nằm khác phía với Oy.

Ta có :
2 2
' 3 2(2 1) 3 2y x m x m m= − + + − + − . Để hàm số có 2 cức trị ' 0y⇔ = có 2 nghiệm phân biệt.
2 2 2
'
5 30
' 0 (2 1) 3( 3 2) 0 10 5 0 (*)
5 30
y
m
m m m m m
m

> − +
⇔ ∆ > ⇔ + + − + − > ⇔ + − > ⇔


< − −



Với đk(*) đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị tại
1
1 2 2
(
; ), ( ; )
A
x y B x y
.
Theo định ly Viet:
1
2
2
1 2
2
(2 1)
3
3 2
3
m
x
x
m m
x x
+


+
=



−
+

=



2
5

Theo đk A, B nằm khác phía với Oy
2
1 2
3 2
0 1 2
3
m m
x x m
− +
⇔ = < ⇔ < <
Kết hợp (*) kết luận: 1 2m< <

Bài 13: Cho hàm số
3 2 2
3= − + +y x x m x m

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này đối xứng nhau qua đường thẳng
1 5
:
2 2
= −d y x

Ta có
2 2
' 3 6y x x m= − +
. Để hàm số có 2 cức trị ' 0y⇔ = có 2 nghiệm phân biệt
2
'
' 0 9 3 0 3 3
y
m m∆ > ⇔ − > ⇔ − < < (*) .
Với đk(*) đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị tại
1 1 2 2
( ; ), ( ; )A x y B x y .
+ Thực hiện phép chia y cho y’ ta được :
2 2
1 1 2 3
' 2
3 3 3 3
m m m
y x y x
 
+
 
= − + − +
 

 
 
 

+ Từ đó ta có pt đương thẳng qua các điểm cực trị là:
2 2
2 3
2
3 3
m m m
y x
 
+
= − +
 
 
.
Vì A, B đối xứng nhau qua
1 5
:
2 2
= −d y x nên :
. 1
d AB
I d
k k
∈




= −


 
( với I là trung điểm của AB)
Giải
2
1 2
. 1 2 1 0
2 3
d AB
m
k k m
 
= − ⇔ − = − ⇔ =
 
 
 
( thõa mãn (*))
Với 0m = ta có (0;0), (2; 4) (1; 2)A B I d− ⇒ − ∈
Vậy 0m = là giá trị cần tìm
(chú ý: ở đây các e có thể giải cả 2 đk
. 1
∈



= −



 
d AB
I d
k k

để
ng
ắ
n g
ọ
n ta nên gi
ả
i 1
đ
k là
. 1= −
 
d AB
k k và thử lại đk
kia)
Bài 14: Cho hàm số
3 2 3
3 4= − +y x mx m
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này đối xứng nhau qua đường thẳng d : y = x.
Ta có :
2
0
' 3 6 0
2
=


= − = ⇔

=

x
y x mx
x m
. Để hàm số có cực đại cực tiểu tại A,B 0m⇔ ≠
Khi đó gọi
2
3
3
(1; 2 )
(0;4 ), (2 ;0)
( ;2 )

= −

⇒




AB
u m
A m B m
I m m
( với I là trung điểm AB)
Vì A,B đối xứng nhau qua :d y x= nên :

2
2
2
1
. 1 2
2 1 0

∈

=
 
⇔ ⇔ = ±
 
= −
− =




 
d AB
I d
m m
m
u u
m

Bài 15: Cho hàm số
3 2
3( 1) 9 2= − + + + −y x m x x m

T
ìm m
đ
ể

hàm s
ố
có c
ực

đ
ạ
i
, c
ực
ti
ểu
và các
điểm
này
đ
ố
i
x
ứn
g nhau qua
đ
ườ
n
g th

ẳn
g
1
:
2
=d y x

Đ/
s : m = 1
B
ài 16:

Cho hàm s
ố
3
2
3=
− +y x x mx

2
6

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này đối xứng nhau qua đường thẳng : 2 5 0− − =d x y
Đ/s : m = 0
Bài 17: Cho hàm số
3
3= − +y x mx m
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu. Khi đó chứng minh rằng các điểm này nằm về hai phía của trục Oy.
Ta có :
2 2

' 3 3 0y x m x m= − = ⇔ = . Để hàm số có 2 cức trị ' 0y⇔ = có 2 nghiệm phân biệt 0(*)m⇔ >
Với đk(*) đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị tại
1 1 2 2
( ; ), ( ; )A x y B x y . Theo định ly Viet:
1 2
1 2
0x x
x x m
+ =


= −


Theo đk A, B nằm khác phía với Oy
1 2
0( 0)x x m m⇔ = − < ∀ >
Kết luận: Với m>0 hàm số có CĐ, CT và các điểm đó năm về 2 phía với trục Oy
Bài 18: Cho hàm số
3 2
3 2= − − +y x x mx
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu song song với đường thẳng
: 4 3 0.+ − =d x y
Giải:
TXĐ: R
Đạo hàm:
2
' 3 6y x x m= − −
( )
2

' 0 3 6 0
x
y x x m= ⇔ − − = ;
2
' 3 3 3 9m m∆ = + = +
' 0 3m∆ > ⇔ > − . Nên 3m > − thì hàm số có cực đại, cực tiểu.
Sử dụng phép chia đa thức, ta được
( )
( ) ( )
2
2 1
2 2 3 6 . '
3 3 3 3
 
   
= − + + − + − − − = +
   
 
   
 
x x
m m x
y x x x m r q y

Từ đó suy ra, phương trình đường thẳng qua cực đại, cực tiểu là
( )
2
2 2
3 3
 

= = − + + −
 
 
x
m m
y r x
( )
∆
Đường thẳng : 4 3d y x= − +
Yêu cầu trở thành ∆ song song d hay
2
2 4
3
3
3
9
2 3
3

 
− + = −
 

=


 
⇔ ⇔ =
 
≠ −



− ≠


m
m
m
m
m
(thỏa mãn)
Vậy 3m = là giá trị cần tìm.
Bài 19: Cho hàm số
3 2
7 3= + + +y x mx x
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu vuông góc với đường thẳng
:3 7 0.− − =d x y
Giải: TXĐ: R
Đạo hàm:
2
' 3 2 7y x mx= + +
( )
2
' 0 3 2 7 0
x
y x mx= ⇔ + + = ;
2
' 21m∆ = −
2
1

' 0
21

>
∆ > ⇔

< −


m
m
. Nên
( ) ( )
;
21 21;∈ −∞ − ∪ +∞m thì hàm s
ố
có c
ực

đ
ạ
i
, c
ực
ti
ểu
.
S
ử
d

ụn
g phép chia
đa
th
ức
, ta
đ
ượ
c

2
7

( )
( ) ( )
2
2
14 2 7
3 3 2 7 . '
3 9 9 3 9
 
 
 
= − + − + + + + = +
 
 
 
 
 
 

x x
m m x m
y x x mx r q y

Từ đó suy ra, phương trình đường thẳng qua cực đại, cực tiểu là
2
14 2 7
3
3 9 9
 
= − + −
 
 
m m
y x
( )
∆
Đường thẳng : 3 7d y x= −
Yêu cầu trở thành ∆ vuông góc d hay
2 2
14 2 2 3 10
3. 1 15
3 9 3 2
 
− = − ⇔ = ⇔ = ±
 
 
m m
m (thỏa mãn)
Vậy

3 10
2
= ±m là giá trị cần tìm.
Bài 20: Cho hàm số
3 2 2 2
3( 1) (2 3 2)= − − + − + − +y x m x m m x m m
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu tạo với đường thẳng
: 4 20 0+ − =d x y góc 45
0
.
Giải: TXĐ: R
Đạo hàm:
( )
( )
2 2
' 3 6 1 2 3 2= − − + − +y x m x m m ;
( )
( )
2
2 2
' 9 1 3 2 3 2 3 9 3∆ = − − − + = − +m m m m m
3 5
2
' 0 .
3 5
2

+
>



∆ > ⇔

−
<


m
m
Nên
3 5 3 5
; ;
2 2
   
− +
∈ −∞ ∪ +∞
   
   
   
m thì hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u.

S
ử
d
ụ
ng phép chia
đ
a th
ứ
c, ta
đượ
c:
( )
3 2
2 2
2
2 8 82 6 2 1
3 6 1 2 3 2
33 3 3
2
 
− + − −
 
 
+ − − − + − +
 
 
 
 
 
 

− +
= − +
 
 
m m m x m
x m x m m
m m
y x =
( ) ( )
. '+
x x
r q y

Từ đó suy ra, PTĐT qua cực đại, cực tiểu là
( )
2 3 2
2 8
3
2
3
8 26 2
x
m m
x
m m
y r
m
 
− + − +
= = − +

 
−
 

( )
∆

Đường thẳng : 4 20d y x= − + . Đặt
2
2 6 2
3
m m
k
− +
= −
Yêu cầu tương đương
( )
0
cos ; cos45d
∆ =
5 / 3
4
1 4 4 1
3 / 5
1 4
=

+
⇔ = ⇔ + = − ⇔


= −
−

k
k
k k
k
k

TH1:
2
2
5 2 6 2 5
2 6 7 0
3 3 3
− +
= ⇔ − = ⇔ − + =
m m
k m m (vô nghiệm)
TH2:
2
2
3 2 6 2 3 15 215
10 30 1 0
5 3 5 10
− + ±
= − ⇔ − = − ⇔ − + = ⇔ =
m m
k m m m (thỏa mãn)
Vậy

15 215 3 15
.
10 2
± ±
= =m là các giá trị cần tìm.
Bài 21: Cho hàm số
3 2
3 2= − +y x x
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu tiếp xúc với đường tròn
2
2
(
):( ) ( 1) 5− + − − =C x m y m
.

G
iải:

T
X
Đ:

R
2
8

2
' 3 6= −y x x
( )
' 0 0⇒ = ⇔ =

x
y x hoặc 2x =
Suy ra 2 điểm cực trị lần lượt là
( )
0;2A và
( )
2; 2B −
Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị: :2 2 0d x y+ − =
Đường tròn
( )
( )
tâm ; 1
:
bán kính 5
I m m
C
R
+


=



Yêu cầu:d tiếp xúc
( )
C hay
( )
( )
2 1 2

; 5
5
+ + −
= ⇔ =
m m
d d C R
2
3 1 5
4
3
=


⇔ − = ⇔
−

=


m
m
m
(t/m)
Vậy 2m = và
4
3
m
−
=
là các giá trị cần tìm

Bài 22: Cho hàm số
3 2 2 2
2( 1) ( 4 1) 2( 1)= + − + − + − +y x m x m m x m
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu vuông góc với đường thẳng
9
: 5.
2
= +d y x
Giải:
Đạo hàm
( )
( )
2 2
' 3 4 1 4 1= + − + − +y x m x m m
Hàm số có cực đại, cực tiểu ' 0y⇔ = có hai nghiệm phân biệt.
Hay
( )
( )
2
2 2
2 3
' 0 4 1 3 4 1 0 4 1 0
2 3

> − +
∆ > ⇔ − − − + > ⇔ + + > ⇔

> − −



m
m m m m m
m

Nên
( ) ( )
; 2 3 2 3;m∈ −∞ − − ∪ − + +∞ thì hàm số có cực đại, cực tiểu.
Sử dụng phép chia đa thức, ta được
( )
( ) ( )
2 3 2
2 2
2 8 2 2 8 10 16 2 2
3 4 1 4 1 . '
9 9 3 9
 
 
+ + + + + −
 
 
= − − + + + − + − + = +
 
 
 
 
 
 
 
x x
m m m m m x m

y x
x m x m m r q y T
ừ đó suy ra, PTĐT qua cực đại, cực tiểu là
( )
2 3 2
2 8 2 2 8 10 16
9 9
 
+ + + + +
= = − −
 
 
x
m m m m m
y r x
( )
∆
Yêu cầu trở thành ∆ vuông góc d hay
2
2
0
9 2 8 2
. 1 4
4
2 9
=
 

+ +
− = − ⇔ + =

 

= −

 
m
m m
m m
m
(thỏa mãn)
Vậy 0m = và 4m = − là các giá trị cần tìm.
Bài 23: Cho hàm số
3 2
3 3( 6) 1= − + + +y x mx m x
Tìm m để điểm A(3 ; 5) nằm trên đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu.
Giải:
Đạo hàm:
( )
2
' 3 6 3 6y x mx m= − + + .
( )
( )
2 2
' 9 9 6 9 6m m m m∆ = − + = − −
2
9

3
' 0
2

m
m
>

∆ > ⇔

< −

. Nên
( ) ( )
; 2 3;m∈ −∞ − ∪ +∞ thì hàm số có cực đại, cực tiểu.
Sử dụng phép chia đa thức, ta có
( ) ( )
( )
( ) ( )
2 2 2
2 2 12 6 1 3 6 3 6 . '
3 3
x x
x m
y m m x m m x mx m r q y
 
 
 
= − + + + + + + − − + + = +
 
 
 
 

Từ đó suy ra, PTĐT qua cực đại, cực tiểu là
( ) ( )
2 2
2 6 6 1y m m x m m= − + − + + +
( )
∆
Yêu cầu trở thành
( )
∆ đi qua A hay
( ) ( )
2 2 2
5 3. 2 2 12 6 1 5 12 37 5m m m m m m= − + + + + + ⇔ − + + =

2
4
5 12 32 0
8
5
=


⇔ − − = ⇔

= −

m
m m
m

Kết hợp các điều kiện trên, ta có 4m = là giá trị cần tìm.

Bài 24: Cho hàm số
3 2
1
3 3
= + + +
m
y x mx x

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này nằm cùng phía với đường thẳng d : 2x + y = 0.
Giải:
Đạo hàm:
2
' 2 1y x mx= + + .
Hàm số có cực đại, cực tiểu
2
' 0 1 0 1m m⇔ ∆ > ⇔ − > ⇔ >
Nên
( ) ( )
; 1 1;m∈ −∞ − ∪ +∞ thì hàm số có cực đại, cực tiểu.
Khi đó, gọi tọa độ của hai điểm cực trị lần lượt là
( )
1 1
;
x y
,
( )
2 2
;
x y

.
Theo vi-ét, ta có
1 2
1 2
2
. 1
x x m
x x
+ = −


=


Yêu cầu trở thành
( )( )
1 1 2 2
2 2 0x y x y+ + >

( )
1

Mặt khác, ta có:
( )
( ) ( )
2
2
2 2
2 1 . '
3 3 3

x x
m x m
y x x mx r q y
 
−
 
= + + + + = +
 
 
 
 

Nên PTĐT qua cực đại, cực tiểu là
2
2 2
3
m
y x
 
−
=
 
 

( )
2
2 2 2 2
1 1 2 2 1 2
2 2 2 2 1 1
1 2 2 0 4 1 0 1 0 2

3 3 3 3
m m m m
x x x x x x m
    
− − − −
⇔ + + > ⇔ + > ⇔ + ≠ ⇔ ≠ ±
    
    

Kết hợp điều kiện ta có
1
2
m
m
 >


≠ ±


là các giá trị cần tìm

Bài 25:

Cho hàm số
3
2
1
3
=

+ + +y x x mx m

T
ìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm này bằng
2
15.


3
0

Giải:
Đạo hàm:
2
2y x x m= + + . Ta có ' 0 1 0 1m m∆ > ⇔ − > ⇔ <
Nên 1m < thì hàm số có cực đại, cực tiểu. Gọi tọa độ hai điểm cực trị là
( )
1 1
;
x y
và
( )
2 2
;
x y
.
Khi đó, theo vi-ét
1 1
1 2
2x x

x x m
+ = −


=

.
Mặt khác, ta có
( )
( ) ( )
2
2 2 2 1
2 . '
3 3 3 3
x x
m m x
y x x x m r q y
 − 
   
= + + + + + = +
   
 
   
 

Nên PTĐT qua cực đại, cực tiểu là
2 2 2
3 3
m m
y x

−
 
= +
 
 

Yêu cầu tương đương
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
2
60 60
3
m
x x y y x x x x
−
 
− + − = ⇔ − + − =
 
 

( ) ( )
2
2
2
3 2
1 2
2 2 4 8 13
1 60 . 4 4 60 4 12 21 122 0 2

3 9
m m m
x x m m m m m
 
 
− − +
 
⇔ + − = ⇔ − = ⇔ − + + = ⇔ = −
 
 
 
 
 
 
 
Vậy 2m = − là giá trị cần tìm.
Bài 26: Cho hàm số
3 2
2 3( 1) 6 (1 2 )= + − + −y x m x m m x
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này nằm trên đường thẳng d : 4x + y = 0.
Giải:
TXĐ: R
Đạo hàm:
( ) ( )
2
' 6 6 1 6 1 2y x m x m m
= + − + −
( ) ( )
( )
( )

2 2
2
' 9 1 36 1 2 9 9 6 1 9 3m m m m m m∆ = − − − = − + = −
.
1
' 0
3
∆ > ⇔ ≠m

Nên
1
3
≠m
thì hàm số có cực đại, cực tiểu.
Sử dụng phép chia đa thức, ta có:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
3 2
1
3 1 4 6 2 6 6 1 6 1 2 . '
3 6
x x
x m
y m x m m m x m x m m r q y
−
 
 
 
= − − + − + + + + − + − = +

 
 
 
 

Từ đó suy ra, PTĐT qua cực đại, cực tiểu là
( )
( )
2
3
3 1 4 6 2
x
y r m x m m m= = − − + − +

Đồng nhất với
d
có
( )
2
3
1
1;
3 1 4
3
1
1
4 6 2 0
0; 1;
2


= = −


− =
 
⇔ ⇔ =
 
− + =



= = =


m m
m
m
m m m
m m m
(thỏa mãn)
Vậy
1m =
là giá trị cần tìm.

Bài 27:

Cho hàm số
3
2
1

2
3
3
= − +y x x x

Gọi
A, B là hai điểm cực trị của hàm số. Tìm điểm M trên Ox sao cho tam giác ABM có diện tích bằng 2.
G
iải:

3
1

TXĐ: R
Đạo hàm:
2
' 4 3y x x= − + . ' 0 1y x= ⇔ = hoặc 3x = .
Từ đó suy ra hai điểm cực trị của hàm số:
4
1;
3
A
 
 
 
và
( )
3;0B
( )
2

2
4 2 13
3 1 0
3 3
AB
 
= − + − =
 
 
. Đường thẳng : 2 3 6 0AB x y+ − = .
Gọi
( )
;0M m là điểm cần tìm.
Yêu cầu:
( ) ( )
0
2 6
1 13
2 . ; 2 . 2 3 3
6
2 3
13
m
m
dt ABM AB d M AB m
m
=
−

∆ = ⇔ = ⇔ = ⇔ − = ⇔


=


Vậy
( )
0;0M và
( )
6;0M là các điểm cần tìm.
Chú ý: Công thức chia nhanh đa thức bậc 3:
Với đa thức
( ) ( ) ( )
3 2
.
'= + + + = +
x x x
P ax bx cx d r q P
với 0a ≠
Thì luôn có
( )
( )
2
2 2
3 9 9
3 9

 
 
= − + −


 
 

 
 


= −


x
x
c b bc
r x d
a a
x b
q
a

DẠNG 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM ĐA THỨC BẬC BỐN TRÙNG PHƯƠNG
Xét hàm số
( )
4 2 3 2
2
0
4 2 2 2 0
2
x
y ax bx c y ax bx x ax b
b

x
a
=


′
= + + ⇒ = + = + = ⇔

= −



DẠNG 1. TÌM ĐIỀU KIỆN VỀ SỐ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
 Hàm số có một cực trị khi y′ chỉ đổi dấu một lần, tức là 0
2
− ≤
b
a

 Hàm số có một cực trị khi y′ chỉ đổi dấu ba lần, tức là y′ = 0 có ba nghiệm phân biệt 0
2
⇔ − >
b
a

Ví dụ 1: Cho hàm số
= − + −
4 2
2 3 1y x mx m

Tìm m để
a) hàm số có 1 cực trị.
b) hàm số có 3 cực trị.
Hướng dẫn giải :
Ta có
( )
3 2
2
0
4 4 4 0
=

′
= − = − ⇒ = ⇔

=

x
y x mx x x m y
x m

a) Hàm số có một cực trị khi m ≤ 0.
b) Hàm số có ba cực trị khi m > 0.
Ví dụ 2: Cho hàm số
( )
= + − + −
4 2
1 3 3 5y m x mx m
Biện luận theo m số cực trị của hàm số đã cho.
Hướng dẫn giải :

Ta có
(
)
( )
3
2
2
0
4
1 6 2 ( 1) 3 0
( 1) 3 , 1
=

 
′
= + − = + − ⇒ = ⇔

 
+ −


x
y m x mx x m x m y
m x m

T
H1 :
1
6 ; 0 0
′

= − ⇒ = = ⇔ =m y x y x

T
rong tr
ư
ờ
n
g h
ợ
p
này hàm s
ố

có m
ộ
t
c
ự
c
tr
ị
,
và
đ
ó
là
đ
i
ể
m

c
ự
c
ti
ể
u
.
32

TH2 :
( )
2
3
1, 1
1
≠ − ⇔ =
+
m
m x
m

+ Hàm số có một cực trị khi
3
0 1 0
1
≤ ⇔ − < ≤
+
m
m
m

+ Hàm số có ba cực trị khi
0
3
0
1
1
>

> ⇔

< −
+

m
m
m
m

Kết luận :
 Hàm số có một cực trị khi 1 0− ≤ ≤m
 Hàm số có ba cực trị khi
0
1
>


< −

m

m

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Biện luận theo m số cực trị của các hàm số sau :
a)
4 2
2 (2 1) 3.= − − + + +y x m x m

b)
4 2
(1 ) (3 1) 2 5.= − − + + +y m x m x m

c)
2 4 2 3
(3 2) 1.= − − + −y m x mx m

DẠNG 2. TÍNH CHẤT CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
TH1: Hàm số có ba điểm cực trị A, B, C.
+ Tìm điều kiện tồn tại ba điểm cực trị :
( )
0 *
2
− >
b
a

+ Với điều kiện (*) ta có
2
3
0

0
2
2


= = →


−
′
= ⇔ = = →



−
= − = →


A A
B B
C C
x x y
b
y x x y
a
b
x x y
a
, từ đó
( )

0; ; ; ; ;
2 2
   
− −
−
   
   
   
A B C
b b
A y B y C y
a a

Do hàm ch
ẵ
n v
ớ
i x nên các
đ
i
ể
m B, C có y
B
= y
C
.
Nh
ậ
n xét : A
∈

Oy, B ; C
đố
i x
ứ
ng nhau qua Oy nên
tam giác ABC luôn là tam giác cân tại A
.
Ta xét m
ộ
t s
ố
tính ch
ấ
t c
ơ
b
ả
n th
ườ
ng g
ặ
p c
ủ
a hàm s
ố
:
Tính chất 1: 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân.
Do tam giác ABC
đ
ã cân t

ạ
i A nên ch
ỉ
có th
ể
vuông cân t
ạ
i
đỉ
nh A.
Khi
đ
o ta có
đ
i
ề
u ki
ệ
n
( )
. 0, 1=
 
AB AC
với ; ; ;
2 2
   
− −
= − = − −
   
   

   
 
B A C A
b b
AB y y AC y y
a a

Từ đó
( ) ( )
2
1 . 0 0
2
⇔ = ⇔ + − =
 
B A
b
AB AC y y
a

Giá trị m tìm được kết hợp với điều kiện tồn tại ở (*) cho ta kết
quả cuối cùng của bài toán.
Ngoài ra ta cũng có thể dùng điều kiện Pitago cho tam giác cân
ABC :
2 2 2 2 2
2+ = ⇔ =AB AC BC AB BC
Tính chất 2: 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác đều.
Tam giác ABC đều khi
( )
2 2
, 2= ⇔ =AB BC AB BC

với ; ; 2 ;0
2 2
   
− −
= − = −
   
   
   
 
B A
b b
AB y y BC
a a

Từ đó
( ) ( )
2
2
2
2
− −
⇔ + − =
B A
b b
y y
a a

Giá trị m
t
ìm được kết hợp với điều kiện tồn tại ở (*) cho ta kết

quả cuối cùng của bài toán.



Tí
nh chất 3:
3
điểm cực trị tạo thành một tam giác có một góc bằng 120
0