Chuyên đề về hình học không gian

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (991.19 KB, 88 trang )

Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Hình học không gian
1 | Trang NOON.VN: TẬN TÂM – XỨNG TẦM

CHUN ĐỀ 3: HÌNH HỌC KHƠNG GIAN

A. LÝ THUYẾT

I. HÌNH HỌC PHẲNG
1/ Các hệ thức lượng trong tam giác vng

Cho
ABC

vng tại A, AH là đường cao, AM là đường trung tuyến. Ta có:

2/ Các hệ thức lượng trong tam giác thường

a) Định lí hàm số cosin

b) Định lí hàm số sin

c) Cơng thức tính diện tích của tam giác

A

C
B
R

b

c

a

A
B C

b c
a
– nửa chu vi
– bán kính đường tròn nội
tiếp





A
B C

b c
a

A
B C

H

M






Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Hình học không gian
2 | Trang NOON.VN: TẬN TÂM – XỨNG TẦM

d) Cơng thức tính độ dài đường trung tuyến của tam giác

2 2 2
2
2 4
AB AC BC
AM

   .
2 2 2
2
2 4
BA BC AC
BN


   .

2 2 2
2
2 4
CA CB AB
CK

   .
3/ Định lí Talet

4/ Diện tích của đa giác

a/ Diện tích tam giác vng

 Diện tích tam giác vng bằng ½ tích 2 cạnh
góc vng.

b/ Diện tích tam giác đều
 Diện tích tam giác đều:

.
3
4
S


 Chiều cao tam giác đều:

.
3
2
h



c/ Diện tích hình vng và hình chữ nhật

 Diện tích hình vng bằng cạnh bình phương.
 Đường chéo hình vng bằng cạnh nhân

2
.
 Diện tích hình chữ nhật bằng dài nhân rộng.

d/ Diện tích hình thang

 Diện tích hình thang:
S
Hình Thang
1
2

.(đáy lớn + đáy bé) x chiều cao

e/ Diện tích tứ giác có hai đường chéo
vng góc

 Diện tích tứ giác có hai đường chéo vng góc
nhau bằng ½ tích hai đường chéo.
 Hình thoi có hai đường chéo vng góc nhau tại
trung điểm của mỗi đường.

A
B C

N

K
M

A
B C

N

M

A

C
B

A
B
C

A B
C D

O
A

B

H

C

D

A
B
D
C

(cạnh)
2

đều

(cạnh)
đều

Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Hình học không gian
3 | Trang NOON.VN: TẬN TÂM – XỨNG TẦM

Lưu ý
: Trong tính tốn diện tích, ta có thể chia đa giác thành những hình đơn giản dễ tính

diện tích, sau đó cộng các diện tích được chia này, ta được diện tích đa giác.

II. HÌNH HỌC KHƠNG GIAN
1. Quan Hệ Song Song
a/ Chứng minh đường thẳng //
( )
d mp

với


( )
d



 Chứng minh:
//
'
d d
và
' ( )
d



 Chứng minh:
( )
d



và


//
( )
 

b/ Chứng minh


// ( )mp mp
 

 Chứng minh
( )
mp

chứa hai đường thẳng cắt nhau song song với


mp

.
 Chứng minh
( )
mp

và



mp

cùng song song với 1 mặt phẳng hoặc cùng vng góc với 1 đường
thẳng.
c/ Chứng minh hai đường thẳng song song: Áp dụng một trong các định lí sau
 Hai


( ),
mp
 
có điểm chung S và lần lượt chứa 2 đường thẳng song song
,
a b
thì


// //
( )
Sx a b
 
 
.



 
//

//
( )
( )
a mp
b a
a mp

 





  






.

2. Quan Hệ Vng Góc
a/ Chứng minh đường thẳng


d mp



 Chứng minh
d
vng góc với hai đường thẳng cắt nhau chứa trong
( )
mp

.
 Chứng minh:


// '
'
d d
d mp 













d mp



 Chứng minh:


   
//
d mp
mp mp

 













d mp



 Hai mặt phẳng cắt nhau cùng vng góc với mặt phẳng thứ 3 thì giao tuyến của chúng vng góc với
mặt phẳng thứ 3:





   




 
P
P d P
d


 







  




 





b/ Chứng minh đường thẳng
'
d d


 Chứng minh


d


và


'
d


.
 Sử dụng định lý ba đường vng góc.
 Chứng tỏ góc giữa
d
và
'
d
bằng
0
90

.
c/ Chứng minh




mp mp
 


 Chứng minh


 
   
d
mp mp
d

 






 







(chứng minh mp chứa 1 đường thẳng vng góc với
mp kia)
 Chứng tỏ góc giữa hai mặt phẳng bằng
0
90
.

Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Hình học không gian
4 | Trang NOON.VN: TẬN TÂM – XỨNG TẦM

3/ Góc Và Khoảng Cách.
a/ Góc giữa hai đường thẳng

 Là góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau lần lượt vẽ cùng phương
với hai đường thẳng đó:



//
//
'
( , ) ( ', ')
'
a a
a b a b
b b





  





b/ Góc giữa đường thẳng
d
và mặt phẳng


mp


 Là góc tạo bởi đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.




, ( , ')d d d
 
 
 
 
 

 

(với
'
d
là hình chiếu vng góc của
d
lên
( )
mp

).

c/ Góc giữa hai


mp

và


mp


 Là góc có đỉnh nằm trên giao tuyến
u
,
2 cạnh của hai góc lần lượt nằm trên
2 mặt phẳng và cùng vng góc với giao tuyến.







( ); ( , )a b
  
 

d/ Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:

 Là độ dài đoạn vng góc vẽ từ điểm đó đến đường thẳng


,
d M MH
 

e/ Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song:

 Là khoảng cách từ một điểm trên đường thẳng (mặt phẳng)
này đến đường thẳng (mặt phẳng) kia.

f/ Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song

 Là khoảng cách từ một điểm trên đường thẳng đến mặt phẳng.

g/ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

 Là độ dài đoạn vng góc chung của 2 đường thẳng đó.
 Là khoảng cách MH từ một điểm M trên
d
đến


mp


chứa
'
d
và song song với
d
.
 Là khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song




,
 

lần lượt chứa

d
và
'
d
.











M

M

M



d’

Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Hình học không gian
5 | Trang NOON.VN: TẬN TÂM – XỨNG TẦM

4/ Hinh Chóp Đều
a/ Định nghĩa.

Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu có đáy là một đa giác đều và có chân đường cao
trùng với tâm của đa giác đáy.

Nhận xét:

 Hình chóp đều có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau. Các mặt bên tạo với đáy các
góc bằng nhau.
 Các cạnh bên của hình chóp đều tạo với mặt đáy các góc bằng nhau.

b/ Hai hình chóp đều thường gặp

* Hình chóp tam giác đều: Cho hình chóp tam giác đều
.
S ABC
. Khi đó:

 Đáy
ABC
là tam giác đều.
 Các mặt bên là các tam giác cân tại
S
.
 Chiều cao:
SO
.
 Góc giữa cạnh bên và mặt đáy:




SAO SBO SCO
 
.
 Góc giữa mặt bên và mặt đáy:

SHO
.
 Tính chất:
2 1 3
, ,
3 3 2
AB
AO AH OH AH AH   .
 Lưu ý: Hình chóp tam giác đều khác với tứ diện đều.
+ Tứ diện đều có các mặt là các tam giác đều.
+ Tứ diện đều là hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng cạnh đáy.

* Hình chóp tứ giác đều: Cho hình chóp tam giác đều
.
S ABCD
.

 Đáy
ABCD
là hình vng.
 Các mặt bên là các tam giác cân tại
S
.
 Chiều cao:

SO
.
 Góc giữa cạnh bên và mặt đáy:




SAO SBO SCO SDO
  
.
 Góc giữa mặt bên và mặt đáy:

SHO
.

5/ Xác Định Đường Cao Hình Chóp

a/ Hình chóp có một cạnh bên vng góc với
đáy:
Chiều cao của hình chóp là độ dài cạnh bên vng
góc với đáy.

Ví dụ: Hình chóp
.
S ABC
có cạnh bên


SA ABC


thì chiều cao là
SA
.

b/ Hình chóp có một mặt bên vng góc với mặt
đáy:
Chiều cao của hình chóp là chiều cao của tam giác
chứa trong mặt bên vng góc với đáy.
Ví dụ: Hình chóp
.
S ABCD
có mặt bên


SAB

vng góc với mặt đáy


ABCD
thì chiều cao
của hình chóp là chiều cao của
SAB

.

c/ Hình chóp có hai mặt bên vng góc với đáy:
Chiều cao của hình chóp là giao tuyến của hai mặt
bên cùng vng góc với đáy.
Ví dụ

: Hình chóp
.
S ABCD
có hai mặt bên


SAB
và


SAD
cùng vng góc với mặt đáy


ABCD
thì chiều cao là
SA
.

d/ Hình chóp đều:
Chiều cao của hình chóp là đoạn thẳng nối đỉnh và
tâm của đáy.
Ví dụ
: Hình chóp tứ giác đều
.
S ABCD
có
tâm mặt phẳng đáy là giao điểm của hai
đường chéo hình vng
ABCD

thì có đường
cao là
SO
.

Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Hình học không gian
6 | Trang NOON.VN: TẬN TÂM – XỨNG TẦM

6/ Thể Tích Khối Đa Diện

1/ Thể tích khối chóp:
1
.
3
V B h


:
B
Diện tích mặt đáy.

:
h
Chiều cao của khối chóp.

2/ Thể tích khối lăng trụ:
.
V B h


:
B
Diện tích mặt đáy.

:
h
Chiều cao của khối chóp.

Lưu ý: Lăng trụ đứng có chiều cao cũng là
cạnh bên.

3/ Thể tích hình hộp chữ nhật:
. .
V a bc




Thể tích khối lập phương:
3
V a


4/ Tỉ số thể tích:
. ' ' '
.
' ' '
. .
S A B C
S ABC
V
SA SB SC
V SA SB SC


5/ Hình chóp cụt A’B’C’.ABC


' '

3
h
V B B BB
  
Với
, ',
B B h
là diện tích hai đáy và chiều cao.

C

D

S
O

C

A

B
B
A C
A
B
C

A
B
C
a
b
c
a
a
a
S
A
’

B
’

C
’

A
B
C
Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Hình học không gian

7 | Trang NOON.VN: TẬN TÂM – XỨNG TẦM

CHÚ Ý: CÁCH VẼ HÌNH + CÁCH LÀM CÁC BÀI TỐN ĐƠN GIẢN

Khối tứ diện đều:

Khối chóp tứ giác đều

Vẽ hình: kích thước hình phải cân đối, khơng q lớn cũng khơng q nhỏ. Thường là 6 ơ tập
cho cạnh dài hình bình hành, 3 ơ cho cạnh ngắn và 5 ơ cho chiều cao SA. (hoặc SO đối với hình
chóp đều)
Vẽ hình chóp có cạnh bên vng góc với đáy

A
C
D
M
O
O
C
D
B
A
S
+ Tất cả các cạnh đều bằng nhau
+Tất cả các mặt đều là các tam giác
đều
+ O là trọng tâm của tam giác đáy

Và AO

(BCD)

+ Tất cả các cạnh bên bằng nhau
+ Đa giác đáy là hình vng tâm O
+ SO

(ABCD)

B
C
D
A

S
B
C
D
A

S

B C
D
A

Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Hình học không gian
8 | Trang NOON.VN: TẬN TÂM – XỨNG TẦM

Vẽ hình chóp đều

S

B

A

C

B

A

C

S

B

A

C

B

C

D

A

O

B

C

D

A

S

O

B

C

D

A

S

O

B

C

D

A

S

O

I

K

Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Hình học không gian
9 | Trang NOON.VN: TẬN TÂM – XỨNG TẦM

Cách xác định góc
Góc giữa đường thẳng mặt phẳng trong hình chóp, lăng trụ:
Tìm hình chiếu d
/
của d lên mặt phẳng (P)
Khi đó góc giữa d và (P) là góc giữa d và d
/

B

C

A

O

B

C

A

O

B

C

A

S

O

I

K

S

B

C

D

A

Góc gi
ữ
a SC và
B

C

D

A

S

O

Góc gi
ữ
a SC và
S

Góc gi
ữ
a SC và
B

A

C

B

C

A

S

O

I

K

Góc gi
ữ
a SA và
Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Hình học không gian
10 | Trang NOON.VN: TẬN TÂM – XỨNG TẦM

Góc giữa hai mặt phẳng trong hình chóp, lăng trụ :
Xác định giao tuyến d của (P) và (Q)
Tìm trong (P) đường thẳng a

(d) ,
trong mặt phẳng (Q) đường thẳng b

(d)
Khi đó góc giữa (P) và (Q) là góc giữa hai đường thẳng a và b

S

B

C

A

O

I

Góc gi
ữ
a m
ặ
t
bên và đáy
S

B

A

C

Góc gi
ữ
a
(SBC) và đáy
S

B

A

C

Góc gi
ữ
a
(SBC) và đáy
S

B

A

C

Góc gi
ữ
a
SC và (SAB)
B

D

A

S

O

Góc gi
ữ
a m
ặ
t
bên và đáy
C

S

B

C

D

A

Góc gi
ữ
a
(SBC) và
đáy
Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Hình học không gian
11 | Trang NOON.VN: TẬN TÂM – XỨNG TẦM

Mặt cầu ngoại tiếp

Hình chóp đều

- Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp:
+ SO là trục đường tròn ngoại tiếp hình vng đáy
+ Mặt phẳng trung trực đoạn SA (hoặc cạnh bên khác) cắt SO tại I

I là tâm mặt cầu cần
tìm.
+ Bán kính mặt cầu:
.
SK SA
R SI
SO
 
- Trình bày: thường là có câu thể tích
+ Ghi cơng thức thể tích

+ Tính diện tích đáy
+ Tính chiều cao rồi tính diện tích, khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (cùng khối chóp.

B

C

D

A

S

O

I

K

B

C

A

S

O

I

K

S

B

C

D

A

S

B

A

C

c
I

O
A
C
B

S
Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Hình học không gian
12 | Trang NOON.VN: TẬN TÂM – XỨNG TẦM

B. BÀI TẬP MẪU

Thí dụ 1. Cho hình chóp
.
S ABC
có đáy là tam giác vng tại

0
, 30 ,
B BAC SA AC a
  
và
SA
vng góc với


mp ABC
.Tính thể tích khối chóp
.
S ABC
và khoảng cách

Bài giải tham khảo

Tính thể tích khối chóp
.

S ABC
.
* Ta có:
 

.
1
. . 1
3
S ABC ABC
V S SA


* Trong đó:



2
SA a


* Tìm
ABC
S

?
Trong
ABC

vng tại

B
, ta có:
0
0
0
0
.sin 30
sin 30
2
3
cos 30
.cos 30
2
a
BC
BC AC
AC
AB
a
AB AC
AC






 






 

 
 
 

 
 
 





 

2
1 1 3 3
. . . 3
2 2 2 2 8
ABC
a a a
S AB BC

   
* Thay





2 , 3
vào
 
2 3
.
1 3 3
1 .
3 8 24
S ABC
a a
V a    (đvtt)


4

Tính khoảng cách từ
A
đến


mp SBC
.
* Ta có:
     

.
.

3.
1
, . , 5
3
S ABC
S ABC SBC
SBC
V
V d A SBC S d A SBC
S


   
  
   
   

* Tìm
SBC

?
Ta có:
 
BC AB
BC mp SAB BC SB SBC
BC SA





     





vng tại
B
.
2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 3 3
. . . . .
2 2 2 2 2
SBC
a a
S BC BS AC AB SA AB a a

   
 
 
 
 
       
 
 
 
 
 
 

   

 

2
1 7 7
6
2 2 2 8
a a a
   
* Thế




4 , 6
vào


5
 
3
2
3 8 21
, 3
24 7
7
a a
d A SBC
a

 
    
 
 
.

Thí dụ 2. Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật có
, 2
AB a BC a
 
. Hai


mp SAB
và


mp SAD
cùng vng góc với mặt phẳng đáy, cạnh
SC
hợp với đáy một góc
0
60
.
Tính thể tích khối chóp

.
S ABCD
theo
a
.

Bài giải tham khảo

S

A

C

B

3
0
a

Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Hình học không gian
13 | Trang NOON.VN: TẬN TÂM – XỨNG TẦM


( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
SAB ABCD
SAD ABCD SA ABCD
SAB SAD SA







  



 



.

Hình chiếu của
SC
lên


mp ABCD
là
AC
.




0

, 60
SC ABCD SCA
 
  
 
 
 
.
 Mà:
 

.
1
. 1
3
S ABCD ACBD
V SAS
 .

 Tìm

?
SA

Trong
SAC

vng tại
A
:

 
tan .tan
SA
SCA SA AC SCA
AC
  



2 2 0 2 2
.tan60 (2 ) . 3 15 2
AB BC a a a     .
 Ta lại có:



2
. .2 2 3
ABCD
S AB BC a a a
  
.
 Thay




2 , 3
vào
 

3
2
1 2 15
1 15 2
3 3
ABCD
a
V a a     (đvtt).

Thí dụ 3. Hình chóp
.
S ABC
có
2
BC a

, đáy
ABC
là tam giác vng tại
,
C SAB
là tam giác
vng cân tại
S
và nằm trong mặt phẳng vng góc với mặt đáy. Gọi
I
là trung điểm cạnh
AB
.
a/ Chứng minh rằng, đường thẳng



SI mp ABC

.
b/ Biết


mp SAC
hợp với


mp ABC
một góc
0
60
. Tính thể tích
khối chóp
.
S ABC
.
Bài giải tham khảo
a/ CM:


SI mp ABC


 Do
SAB


vng cân tại có
SI
là trung tuyến

SI
cũng
đồng thời là đường cao
SI AB
 
.
 Ta có:
 
( ) ( )
( ) ( )
( )
SAB ABC
AB SAB ABC SI mp ABC
AB SI SAB






   



 





(đpcm)
b/ Tính thể tích khối chóp
.
S ABC

S
A
D

B
C

6
0
S
A
B
C

I
K
6
0
2
Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Hình học không gian

14 | Trang NOON.VN: TẬN TÂM – XỨNG TẦM

 Gọi
K
là trung điểm của đoạn
AC
.
SK

vừa là trung tuyến vừa là đường cao trong
SAC SK AC
  
.
 Trong
ABC

vng tại
C
có
KI
là đường trung bình.
//KI BC
KI AC
BC AC



  






.
 Mặt khác:
   


0
( ) ( ) { }
( ) ; 60
( )
mp ABC mp SAC AC
KI AC mp ABC mp SAC mp ABC SKI
SK AC mp SAC


 


 

     
  
  
 

 




.
 Mà:
 

.
1
. 1
3
S ABC ABC
V S SI


 Tìm

?
SI

Trong
SKI

vng tại
I
, ta có:
 
 

0
1
tan .tan . .tan 60 3 2

2
SI
SKI SI IK SKI BC a
IK
     .
 Tìm
ABC
S

?
 
2
2 2 2
1 1 1
. . . . . . 2
2 2 2
ABC
S BC AC BC AB BC BC SI BC

    


   

2
2
2
1
.2 . 2 3 2 2 2 3
2

a a a a   .
Thế




2 , 3
vào
 
3
2
.
1 2 6
1 .2 2. 3
3 3
S ABC
a
V a a  

Thí dụ 4. Cho hình lăng trụ
. ' ' '
ABC A B C
có đáy
ABC
là tam giác đều cạnh bằng
a
. Hình
chiếu vng góc của
'
A

xuống


mp ABC
là trung điểm của
AB
. Mặt bên


' '
AA C C
tạo với đáy
một góc bằng
45

. Tính thể tích của khối lăng trụ này.

Bài giải tham khảo
 Gọi
, ,
H M I
lần lượt là trung điểm của các đoạn
thẳng
, ,
AB AC AM
.




. ' ' '
. . ' 1
ABC A B C ABC
V B h S A H

 

 Do
ABC

đều nên:
 

2 2
. 3 3
2
4 4
ABC
BC a
S

  .
 Tìm
'
A H
?
Do
IH
là đường trung bình trong đều
AMB


, đồng
thời
BM
là trung tuyến nên cũng là đường cao.
Do đó:
// IH MB
IH AC
MB AC



 





và
 
'
' '
AC A H
AC A HI AC A I
AC IH




   







Mà:
   


0
( ) ( ' ') { }
( ) ' ' ; ' 60
' ( ' ')
ABC ACC A AC
AC IH ABC ACC A ABC A IH
AC A I ACC A


 


 

    
  
  
 

 




.
A
B
C
A
B
C

M

I
H

a
Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Hình học không gian
15 | Trang NOON.VN: TẬN TÂM – XỨNG TẦM

Trong
'
A HI

vng tại
H
, ta có:
 
o

0
' 1 3
tan45 ' .tan45 3
2 4
A H a
A H IH IH MB
HI
     
.
 Thay




2 , 3
vào
 
2 3
. ' ' '
3 3 3
1 .
4 4 16
ABC A B C
a a a
V   .

Thí dụ 5. Cho hình lăng trụ đứng
. ' ' '
ABC A B C
có đáy

ABC
là tam giác vng tại

0
, , 60
A AC a ACB
 
. Đường chéo
'
BC
của mặt bên


' '
BC C C
tạo với mặt phẳng


' '
mp AA C C
một góc
0
30
. Tính thể tích của khối lăng trụ theo
a
.

Bài giải tham khảo

 Ta có:

( )
AB AC
AB ACC A
AB AA




 
 






. Do đó
AC

là hình chiếu
vng góc của
BC

lên
( )
ACC A
 
.
Từ đó, góc giữa
BC


và
( )
ACC A
 
là

0
30
BC A


.
 Trong tam giác vng
ABC
:
0
. tan 60 3
AB AC a
 
.
 Trong tam giác vng
'
ABC
:
0
.cot 30 3. 3 3
AC AB a a

  

.
 Trong tam giác vng
'
ACC
:
2 2 2 2
' ' (3 ) 2 2
CC AC AC a a a
    
.
 Vậy, thể tích lăng trụ là:
3
1 1
. . . ' . 3. .2 2 6
2 2
V B h AB AC CC a a a a
    (đvdt).

Thí dụ 6. Cho hình chóp đều
.
S ABCD
có cạnh đáy
2
a
, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng
0
60
.
Tính thể tích của hình chóp
.

S ABCD
.

Bài giải tham khảo

Tính thể tích khối chóp
.
S ABCD

 Gọi
O
là tâm của mặt đáy thì


SO mp ABCD


nên
SO
là đường cao của hình chóp và gọi
M
là trung điểm
đoạn
CD
.
 Ta có:

0
( )
( ) 60

( ) ( )
CD SM SCD
CD OM ABCD SMO
CD SCD ABCD


 



   



 




(góc giữa mặt
( )
SCD
và mặt đáy)
 Ta có:
 

.
1
. 1
3

S ABCD ABCD
V S SO

 Tìm

?
SO

Trong
SMO

vng tại
O
, ta có:

tan
SO
SMO
OM


 

0
.tan .tan 60 3 2
2
BC
SO OM SMO a    .
B
’

A

C
B
’

A
’

C
’

a
6
0
3
0
S
A
B
C

D

O

2
M

6
0
Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Hình học không gian
16 | Trang NOON.VN: TẬN TÂM – XỨNG TẦM

 Mặt khác:





2
2 2
2 4 3
ABCD
S BC a a  
.
 Thế




2 , 3
vào
 
3
2
1 4 3
1 .4 . 3

3 3
ABCD
a
V a a   (đvtt).
C. BÀI TẬP

Bài 1. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy 2a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60
0
. Tính
thể tích của hình chóp.
Giải
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………

Bài 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vng tại B,

BAC
= 30
0
,SA = AC = a và SA vng
góc với mặt phẳng (ABC).Tính V
S.ABC
và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).

Giải
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Hình học không gian

17 | Trang NOON.VN: TẬN TÂM – XỨNG TẦM

………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………

Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a, BC = 2a. Hai mặt bên
(SAB) và (SAD) vng góc với đáy, cạnh SC hợp với đáy một góc 60
0
. Tính thể tích khối chóp
S.ABCD.
Giải
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………

Bài 4. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy 2a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60
0
. Tính thể
tích của hình chóp.
Giải
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………

Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Hình học không gian
18 | Trang NOON.VN: TẬN TÂM – XỨNG TẦM

Bài 5. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vng tại B, cạnh SA vng góc với đáy. Gọi D, E
lần lượt là hình chiếu vng góc của A lên SB, SC. Biết rằng AB = 3, BC = 2 và SA = 6. Tính

thể tích khối chóp S.ADE.
Giải
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………

Bài 6. Cho khối chóp S.ABC có SA vng góc với mặt đáy (ABC), tam giác ABC vng cân tại B,
SA= a, SB hợp với đáy một góc 30
0
. Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
Giải
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………

Bài 9. Cho khối chóp S.ABC có ABC và SBC là các tam giác đều có cạnh bằng 2,
3
SA a

. Tính
thể tích khối chóp S.ABC theo a.
Giải
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………

Câu 11. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60
0
.
Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón có đỉnh S và đáy là đường tròn ngoại tiếp
đáy hình chóp đã cho.
Giải
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………

Câu 12. Cho khối chóp S.ABC có SA vng góc với mặt đáy (ABC), tam giác ABC vng cân tại B,
SA= a, SB hợp với đáy một góc 30
0
.Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
Giải
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Hình học không gian
21 | Trang NOON.VN: TẬN TÂM – XỨNG TẦM

………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………

Câu 13. Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng
6
, đường cao h = 2. Hãy tính diện tích của
mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó.
Giải
………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………

Câu 14. Cho hình lăng trụ

.
ABC A B C
  
có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a. Hình chiếu
vng góc của
A

xuống mặt phẳng (ABC) là trung điểm của AB. Mặt bên
( )
AA C C
 
tạo với
đáy một góc bằng
45

. Tính thể tích của khối lăng trụ này.
Giải
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Hình học không gian
22 | Trang NOON.VN: TẬN TÂM – XỨNG TẦM

………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………

Câu 16. Cho hình lăng trụ đứng
.
ABC A B C
  
có đáy ABC là tam giác vng tại B, BC = a, mặt
( )
A BC

tạo với đáy một góc
0

30
và tam giác
A BC

có diện tích bằng
2
3
a
. Tính thể tích
khối lăng trụ
.
ABC A B C
  
.
Giải
Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Hình học không gian
23 | Trang NOON.VN: TẬN TÂM – XỨNG TẦM

………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………

Câu 18. Cho khối chóp S.ABC có ABC và SBC là các tam giác đều có cạnh bằng 2,
3
SA a

.
Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
Giải
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Hình học không gian
24 | Trang NOON.VN: TẬN TÂM – XỨNG TẦM

………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………
Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Hình học không gian
25 | Trang NOON.VN: TẬN TÂM – XỨNG TẦM

………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………

Câu 21. Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vng cân có cạnh góc vng bằng a.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình
nón.
b) Tính thể tích của khối nón tương ứng.
Giải
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………



ABCD
bẳng
0
45
. Tính theo a thể tích của
khối chóp
S.ABCD
và khoảng cách giữa hai đường thẳng
SB,AC
.

Bài giải
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………

Chuyên đề về hình học không gian

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về