Ứng dụng giải thuật tiến hóa đa mục tiêu trong thiết kế tối ưu kiến trúc mạng viễn thông

Ứng dụng giải thuật tiến hóa đa mục tiêu trong thiết kế tối ưu kiến trúc mạng viễn
thông
Hoàng Ngọc Thanh
VNPT Bà Rịa - Vũng Tàu, Tp.Vũng Tàu

Dương Tuấn Anh
Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính
Đại Học Bách Khoa Tp. Hồ Chí Minh

Tóm tắt - Bài viết này đề xuất cách tiếp cận sử dụng giải thuật
tiến hóa đa mục tiêu (MOEA) để giải quyết bài toán thiết kế tối
ưu kiến trúc mạng viễn thông với nhiều ràng buộc phức tạp và
các mục tiêu của bài toán gồm yếu tố chi phí và độ tin cậy. Mỗi
cá thể trong quần thể là biểu diễn của một mô hình mạng
(topology) có yếu tố chi phí được xác định nhờ giải thuật đơn
hình trong quy hoạch tuyến tính và độ tin cậy được xác định
nhờ giải thuật Monte Carlo. Một số giải thuật tiến hóa đa mục
tiêu khác nhau như NSGA, NSGAII, NSGAIIC và SPEA đã
được hiện thực và thử nghiệm để so sánh và đánh giá hiệu quả.
Abstract - The paper proposes a new approach based on a
multi-objective evolutionary algorithm (MOEA) to solve the
optimal design of telecommunication network. This design
involves many complex constraints and multiple optimization
objectives including connection cost and network reliability.
Each individual in the population is a representation of a
network topology which connection cost is determined by
Simplex method of linear programming and reliability is
derived by Monte Carlo algorithm. A number of popular
MOEA variants such as NSGA, NSGAII, NSGAIIC and SPEA
have been implemented and experimented to compare their
performances.

Từ khóa: tối ưu hóa đa mục tiêu, giải thuật tiến hóa đa mục
tiêu, thiết kế mạng viễn thông
I. GIỚI THIỆU
Trong thiết kế mạng viễn thông, các nút tượng trưng cho
các tổng đài hoặc các trung tâm chuyển mạch, cần được kết
nối với nhau theo một cách tối ưu nhất (theo nghĩa chi phí
truyền tải phải là tối thiểu, trong khi độ tin cậy phải là tối đa)
nhằm điều khiển các lưu lượng điểm - điểm mong đợi. Các
ràng buộc khác nhau trên mô hình mạng, dung lượng nút và
liên kết phải được tôn trọng. Đây là dạng bài toán tối ưu đa
mục tiêu có tính phi tuyến cao, mà cho đến nay, việc tìm
kiếm một phương pháp chính xác để giải quyết vẫn còn để
ngỏ.
Mấy năm gần đây, một số tác giả đã giải quyết bài toán
nêu trên theo hướng dùng thuật giải di truyền (GA) để tối ưu
một trong hai mục tiêu nêu trên hoặc bỏ qua một số các ràng
buộc của bài toán; một số tác giả khác giải quyết hạn hẹp ở
một vài cấu trúc mạng đặc thù. Chẳng hạn như trong [5]
Berry và các cộng sự, 1995 báo cáo việc dùng giải thuật di
truyền để thiết kế tối ưu mạng viễn thông có cấu trúc cây
(Tree-structured Communications Network). Trong [4], Ko
và các cộng sự, 1997, đề cập đến việc dùng giải thuật di
truyền để thiết kế các mạng viễn thông dạng lưới (Mesh
Network). Konak và Smith, năm 1999 ([8]) đã dùng giải
thuật di truyền lai để thiết kế trục chính (backbone) của
mạng viễn thông. Trong nước, năm 2002, tác giả Lương
Hồng Khanh cũng có bài viết về việc ứng dụng giải thuật di
truyền trong việc tối ưu hóa các tham số chất lượng mạng
viễn thông [2]. Tuy nhiên, nhìn chung bên cạnh sự ra đời rất
sôi động của nhiều dạng thức của giải thuật tiến hóa đa mục

tiêu (multi-objective evolutionary algorithm - MOEA) kể từ
giữa thập niên 80 đến nay trong cộng đồng nghiên cứu về tối
ưu hóa đa mục tiêu trên thế giới ([23]), việc ứng dụng họ giải
thuật MOEA này để giải quyết các bài toán thực tế, đặc biệt
trong lĩnh vực viễn thông, thì hãy còn rất ít trên phạm vi thế
giới cũng như trong nước. Ở đây, chúng tôi, lần đầu tiên,
nghiên cứu tiếp cận bài toán thiết kế tối ưu kiến trúc mạng
viễn thông theo hướng tối ưu đa mục tiêu sử dụng một số các
giải thuật tiến hóa đa mục tiêu như NSGA, NSGAII, SPEA,
… trên cơ sở tôn trọng các ràng buộc và các mục tiêu thực
tế, không đơn giản hóa hoặc bỏ qua các ràng buộc và tối ưu
đồng thời nhiều mục tiêu. Sau khi hiện thực và thực nghiệm,
kết quả mà chúng tôi đạt được cho thấy có thể vận dụng họ
giải thuật tiến hóa đa mục tiêu để thiết kế các mạng viễn
thông có cấu trúc không đặc thù.
Cấu trúc các phần còn lại trong bài báo này như sau. Mục
2 sẽ mô tả định nghĩa của bài toán thiết kế tối ưu mạng viễn
thông. Mục 3 trình bày sơ lược về tối ưu hóa đa mục tiên và
các giải thuật tiến hóa đa mục tiêu. Mục 4 mô tả chi tiết về
phương pháp ứng dụng giải thuật tiến hóa đa mục tiêu để
giải bài toán thiết kế tối ưu mạng viễn thông. Mục 5 báo cáo
kết quả hiện thực và thực nghiệm. Mục 6 nêu một số kết luận
và hướng phát triển trong tương lai.
II. ĐỊNH NGHĨA BÀI TOÁN
Mạng được mô hình hóa dưới dạng một đồ thị với các
nút mạng được thể hiện là các đỉnh và các liên kết là các
cạnh trong đồ thị. Cạnh của đồ thị có các trọng số tương ứng
với loại của liên kết. Các liên kết cho phép dòng thông tin đi
theo hai chiều. Vì vậy đồ thị ở đây là đồ thị vô hướng và có
trọng số. Xét đồ thị G(V,E) với tập nút V và tập cung E thuộc

tập đồ thị vô hướng S. Ta biểu diễn G bằng nửa trên của một
ma trận kề nút - nút B với các phần tử b
ij
(b
ij
biểu diễn loại
của liên kết (i, j) có giá trị trong khoảng [0, t]; 0 tương ứng
với không có liên kết). Bài toán của chúng ta là tìm một đồ
thị G* có chi phí truyền tải lưu lượng tối thiểu, độ tin cậy tối
đa; đồng thời đảm bảo các ràng buộc về độ trễ, dung lượng
nút mạng, dung lượng liên kết, bậc của nút và giới hạn số nút
trung gian.
Định nghĩa:
F
pq
là tổng băng thông yêu cầu trên các kết nối giữa các
cặp nút nguồn - đích (p, q), F
pq
có thể được biểu diễn bằng
một phần tử trong ma trận lưu lượng. Băng thông này có thể
được xem là tương đương với dung lượng. Và F
avg,pq
là lưu
lượng trung bình dự báo.
Với mỗi liên kết (i, j), có t loại liên kết, tương ứng với độ
tin cậy là r
t,ij
và chi phí cho từng đơn vị băng thông là c
t,ij
.

Băng thông riêng phần của một đường thứ r từ nút p đến
nút q được biểu thị là
pq
r
h
. Chi phí cho từng đơn vị băng
thông trên đường này là
pq
r
C
. Rõ ràng ta có:
0≥
pq
r
h
.
Khi đó tổng băng thông của kết nối (p, q) là:
∑
=
r
pq
rpq
hF
Gọi
pq
rij
a
,
là phần tử (i, j) của ma trận kề cho cặp (p, q)
trên đường thứ r;

pq
rij
a
,
= 1 hoặc 0, tương ứng với việc có
hoặc không liên kết (i, j) trên đường thứ r cho cặp nguồn
đích (p, q), ta có:
∑
=
),(
,,
ji
ijt
pq
rij
pq
r
caC
Chi phí của kết nối (p, q) là:
∑
r
pq
r
pq
r
hC
Và tổng chi phí truyền tải lưu lượng là:
∑∑∑
= >
n

p pq r
pq
r
pq
r
hC
1
Khi đó, tổng băng thông trên liên kết (i, j) sẽ là:
∑∑∑
= >
=
n
p pq r
pq
r
pq
rijij
haf
1
,
Nếu
max
ij
f
là dung lượng cực đại cho phép trên liên kết (i, j),
ta có:
max
0
ijij
ff ≤≤

Nếu H
max
là cận trên của số liên kết trong một chuỗi các
liên kết, ta có:
∑
≤
),(
max
,
ji
pq
rij
Ha
Gọi u
i
là lưu lượng tổng tại nút i với u
i
max
là cận trên, dễ
dàng chứng minh được:
( )
max
2
1
i
p ij
ijippii
ufFFu ≤







++≡
∑ ∑
≠
Giả sử nút i trong G có bậc là d
i
và các bậc cận trên và
dưới là d
i
max
và d
i
min
, ta có:
( )
max
1
min
i
n
j
jiijii
dbbdd
∑
=
≤+≡≤
Gọi f

avg,ij
là tổng lưu lượng trung bình trên liên kết (i,j), ta
có:
∑∑∑
= >
=
n
p pq r
pq
pqavg
pq
r
pq
rijijavg
F
F
haf
1
,
,,
Gọi γ là tổng lưu lượng trên mạng, vậy:
∑∑
= >
=
n
p pq
pq
F
1
γ

Gọi T
max
là độ trễ gói (packet delay) trung bình cực đại
cho phép, ta có (xem [8]):
max
),(
,
,
1
T
ff
f
T
Eji
ijavgij
ijavg
≤
−
=
∑
∈
γ
Về độ tin cậy của mạng, các phương pháp đánh giá chính
xác có nhiều hạn chế do thời gian tính toán. Một phương
pháp được nhiều tác giả đề nghị sử dụng là phương pháp mô
phỏng Monte Carlo (xem [6]), đây là phương pháp mô
phỏng bằng xác suất. Một ví dụ đơn giản dùng Monte Carlo
là ví dụ dùng để tính giá trị của P
i
. Giả sử có một hình tròn,

bán kính 1 nằm trong hình vuông cạnh có độ dài là 2. Khi
đó, xác suất để một điểm trong hình vuông nằm trong hình
tròn là P
i
/4. Bây giờ để tính P
i
, người ta sẽ gieo hai biến
ngẫu nhiên (x, y) (x và y thuộc đoạn [0,1]). Điểm (x, y) thuộc
về đường tròn nếu x
2
+y
2
≤ 1. Nếu số cặp biến ngẫu nhiên (x,
y) càng lớn thì giá trị P
i
tính được càng chính xác. Độ tin cậy
của mạng được đánh giá dựa vào xác suất mạng vẫn duy trì
được tính liên thông khi loại bỏ một hoặc nhiều các liên kết
được lựa chọn ngẫu nhiên.
Bài toán thiết kế mạng có thể được tóm tắt:
∑∑∑
= >
∈
n
p pq r
pq
r
pq
r
SG

hC
1
min
(r1)
∑
=
r
pq
rpq
hF
(r2)
∑
=
),(
,,
ji
ijt
pq
rij
pq
r
caC
(r3)
∑∑∑
= >
=
n
p pq r
pq
r

pq
rijij
haf
1
,
(r4)
( )
max
2
1
i
p ij
ijippii
ufFFu ≤






++≡
∑ ∑
≠
(r5)
max
0
ijij
ff ≤≤
(r6)
max

),(
,
Ha
ji
pq
rij
∑
≤
(r7)
( )
max
1
min
i
n
j
jiijii
dbbdd
∑
=
≤+≡≤
(r8)
∑∑∑
= >
=
n
p pq r
pq
pqavg
pq

r
pq
rijijavg
F
F
haf
1
,
,,
(r9)
∑∑
= >
=
n
p pq
pq
F
1
γ
(r10)
max
),(
,
,
1
T
ff
f
T
Eji

ijavgij
ijavg
≤
−
=
∑
∈
γ
(r11)
0≥
pq
r
h
(r12)
Một đồ thị G* có hàm mục tiêu (r1) tối thiểu, độ tin cậy
tối đa và thỏa các ràng buộc từ (r2) đến (r12) là một mạng
tối ưu.
III. TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU VÀ CÁC GIẢI THUẬT
TIẾN HÓA ĐA MỤC TIÊU
Phần này sẽ giới thiệu sơ lược về tối ưu hóa đa mục tiêu
và một số giải thuật tiến hóa đa mục tiêu nổi bật nhất.
A. Tối ưu đa mục tiêu
Không mất tính tổng quát, giả thuyết tất cả các mục tiêu
của bài toán cần được tối thiểu hóa - một mục tiêu loại tối
thiểu hóa có thể được chuyển thành loại tối đa hóa bằng cách
nhân cho -1. Bài toán tối thiểu hóa K mục tiêu được định
nghĩa như sau: cho 1 vectơ biến quyết định n chiều x={x
1
,
…,x

n
} trong không gian giải pháp X, tìm vectơ x* mà nó tối
thiểu tập K hàm mục tiêu đã cho z(x*)={z
1
(x*),…,z
K
(x*)}.
Không gian lời giải X nói chung bị hạn chế bởi một loạt các
ràng buộc có dạng g
j
(x*)=b
j
(j=1,…,m).
Một lời giải khả thi (feasible solution) x được gọi là vượt
trội (dominate) lời giải y (x  y), nếu và chỉ nếu, z
i
(x) ≤ z
i
(y)
(i=1,…, K) và z
j
(x) < z
j
(y) ở ít nhất một mục tiêu j. Một lời
giải được nói là tối ưu Pareto (Pareto optimal) nếu nó không
bị vượt trội bởi một lời giải nào trong không gian lời giải.
Tập tất cả các lời giải khả thi không bị vượt trội trong X
được gọi là tập tối ưu Pareto (Pareto optimal set). Với tập tối
ưu Pareto đã cho, các giá trị hàm mục tiêu tương ứng trong
không gian mục tiêu được gọi là Pareto Front.

Mục tiêu của các giải thuật tối ưu đa mục tiêu là xác định
các lời giải trong tập tối ưu Pareto. Thực tế, việc chứng minh
một lời giải là tối ưu thường không khả thi về mặt tính toán.
Vì vậy, một tiếp cận thực tế với bài toán tối ưu đa mục tiêu
là tìm kiếm tập các lời giải là thể hiện tốt nhất có thể của tập
tối ưu Pareto, một tập các lời giải như vậy được gọi là tập
Pareto được biết tốt nhất (Best-known Pareto set).
Với mối bận tâm nêu trên, cách tiếp cận tối ưu hóa đa
mục tiêu cần thực hiện tốt ba tiêu chí mâu thuẫn nhau sau
đây:
1. Tập Pareto-được-biết-tốt-nhất nên là một tập con
của tập Pareto tối ưu.
2. Những lời giải trong tập Pareto-được-biết-tốt-nhất
nên phân bố đều và đa dạng trên Pareto front để
cung cấp cho người ra quyết định một hình ảnh về
sự đánh đổi qua lại giữa các mục tiêu.
3. Pareto front-được-biết-tốt-nhất phải biểu thị toàn
cảnh của Pareto front.
Với thời gian tính toán có giới hạn cho trước, tiêu chí thứ
nhất được thực hiện tốt nhất bằng cách tập trung (tăng
cường) sự tìm kiếm trên một vùng đặc biệt của Pareto front.
Trái lại, tiêu chí thứ hai đòi hỏi quá trình tìm kiếm phải phân
bố đều trên Pareto front. Tiêu chí thứ ba nhắm vào việc mở
rộng Pareto front tại hai đầu nhằm thăm dò những lời giải
cực trị.
B. Các giải thuật tiến hóa đa mục tiêu
Giải thuật di truyền hay giải thuật tiến hóa là họ giải
thuật tìm kiếm dựa trên quần thể. Giải thuật tiến hóa đặc biệt
phù hợp để giải quyết các bài toán tối ưu đa mục tiêu. Các
giải thuật tiến hóa truyền thống có thể được biến cải để tìm

kiếm tập Pareto-được-biết-tốt-nhất trong bài toán tối ưu đa
mục tiêu chỉ trong một lượt chạy. Do đó, giải thuật tiến hóa
là cách tiếp cận meta-heuristic được ưa chuộng nhất để giải
bài toán tối ưu hóa đa mục tiêu. Trong số các phương pháp
tối ưu hóa đa mục tiêu dựa vào meta-heuristic, 70% các
phương pháp là dựa vào giải thuật di truyền ([23]).
Giải thuật MOEA đầu tiên được biết là Vector Evaluated
Genetic Algorithm (VEGA) được đề nghị bởi Schaffer, 1985
[9]. Sau đó, nhiều MOEA khác đã được phát triển bao gồm
Multi-objective Genetic Algorithm (MOGA) bởi Fonseca và
Fleming, năm 1993 [10], Niched Pareto Genetic Algorithm
(NPGA) bởi Horn và các cộng sự, năm 1994 [11], Weight-
Based Genetic Algorithm (WBGA) bởi Hajela và Lin, năm
1992 [12], Random Weight Genetic Algorithm (RWGA) bởi
Murata và Ishibuchi, năm 1995 [13], Nondominated Sorting
Genetic Algorithm (NSGA) bởi Srinivas và Deb, năm 1994
[14], Strength Pareto Evolutionary Algorithm (SPEA) bởi
Zitzler và Thiele năm 1999 [15], SPEA cải tiến (SPEA2) bởi
Zitzler và các cộng sự năm 2001 [16], Pareto-Archived
Evolution Strategy (PAES) bởi Knowles và Corne năm 2000
[17], Pareto Enveloped-based Selection Algorithm (PESA)
bởi Corne và các cộng sự năm 2000 [18], Region-based
Selection in Evolutionary Multiobjective Optimization
(PESA-II) bởi Corne và các cộng sự năm 2001 [19], Fast
Non-dominated Sorting Genetic Algorithm (NSGA-II) bởi
Deb và các cộng sự năm 2002 [20], Rank-Density Based
Genetic Algorithm (RDGA) bởi Lu và Yen năm 2003 [21]
và Dynamic Multi-Objective Evolutionary Algorithm
(DMOEA) Yen và Lu năm 2003 [22].
Điểm khác biệt giữa các giải thuật MOEA nằm ở cách

gán độ thích nghi (fitness assignment), cách duy trì quần thể
ưu tú (elitism) và các tiếp cận nhằm đa dạng hóa quần thể
([23]).
Một phương pháp hay dùng để gán độ thích nghi là xếp
hạng Pareto (Pareto ranking) được mô tả sau đây.
•
Xếp hạng Pareto
Phương pháp này bao gồm việc gán thứ hạng 1 cho các
cá thể không bị vượt trội trong quần thể và đưa chúng ra
ngoài vòng xem xét; rồi tìm tập cá thể không bị vượt trội mới
để gán thứ hạng 2 và tiếp tục như vậy.
Một phương pháp hay dùng để đa dạng hóa quần thể là
chia sẻ độ thích nghi (fitness sharing). Phương pháp chia sẻ
độ thích nghi khuyến khích tìm kiếm trên những vùng chưa
được thăm dò của Pareto front bằng cách giảm bớt độ thích
nghi của các lời giải ở những vùng cá thể mật độ cao. Kỹ
thuật chia sẻ độ thích nghi với số đếm vùng lân cận (niche
count) được mô tả như sau.
•
Chia sẻ độ thích nghi dựa vào số đếm vùng lân cận.
Phương pháp này đòi hỏi phải giảm bớt độ thích nghi f
i
của một cá thể i bằng cách chia nó cho số đếm vùng lân cận
m
i
được tính cho cá thể đó. Tức là độ thích nghi dùng chung
được tính bằng f
i
/m
i

. Số đếm vùng lân cận m
i
là giá trị ước
lượng vùng lân cận của cá thể i đông đúc như thế nào. Nó
được tính cho từng cá thể trong quần thể hiện hành theo công
thức: m
i
= ∑
j
∈
Pop
Sh[d[i, j]], với d[i, j] là khoảng cách Euclid
giữa hai cá thể i và j và Sh[d] là hàm chia sẻ (sharing
function). Sh[d] là một hàm của d[i, j] sao cho Sh[0] = 1 và
Sh[d ≥
σ
share
] = 0. Thông thường Sh[d] = 1-d/
σ
share
với d ≤
σ
share
và Sh[d] = 0 với d ≥
σ
share
. Ở đây
σ
share
là bán kính vùng

lân cận, được người dùng xác định để ước lượng độ cách
biệt tối thiểu mong muốn giữa hai lời giải cuối cùng. Các cá
thể có khoảng cách trong phạm vi
σ
share
bị giảm bớt độ thích
nghi vì chúng ở trong cùng vùng lân cận.
Một phương pháp đa dạng hóa quần thể khác không phải
xác định thông số
σ
share
là dùng khoảng cách mật độ
(crowding distance) mà được mô tả sơ lược như sau.
•
Phương pháp dùng khoảng cách mật độ
Phương pháp này đòi hỏi tính khoảng cách mật độ là giá
trị ước lượng mật độ lời giải bao quanh một điểm được xét i
trong quần thể. Đại lượng này là giá trị trung bình của hai
điểm lấy hai bên của điểm được xét i dọc theo mỗi trục mục
tiêu. Đại lượng này được dùng trong cơ chế chọn cha mẹ như
sau: lấy ngẫu nhiên hai lời giải x và y; nếu chúng có cùng
mức không vượt trội (non-domination rank) thì lời giải nào
có khoảng cách mật độ cao hơn sẽ được chọn; ngược lại lời
giải có mức không vượt trội thấp hơn sẽ được chọn.
Ngoài ra, việc duy trì quần thể ưu tú là một vấn đề quan
trọng trong tối ưu hóa đa mục tiêu bằng giải thuật MOEA.
Trong ngữ cảnh của giải thuật MOEA, tất cả những lời giải
không bị vượt trội được phát hiện bởi MOEA được coi như
là những lời giải ưu tú. Có hai chiến lược thường dùng để
hiện thực việc duy trì quần thể ưu tú: (i) lưu trữ các lời giải

ưu tú trong chính quần thể và (ii) lưu trữ các lời giải ưu tú
trong một danh sách thứ cấp bên ngoài quần thể và đưa
chúng trở lại quần thể.
Đặc điểm của một số giải thuật MOEA tiêu biểu nhất
được mô tả sơ lược như sau:
• VEGA
Gán độ thích nghi: quần thể được phân thành K tiểu quần
thể (K là số mục tiêu). Các cá thể trong mỗi tiểu quần thể
được đánh giá theo một mục tiêu riêng.
Cơ chế đa dạng hóa: không có.
Cách duy trì quần thể ưu tú: không có.
• MOGA
Gán độ thích nghi: dùng cách xếp hạng Pareto (Pareto
ranking).
Cơ chế đa dạng hóa: chia sẻ độ thích nghi (fitness
sharing) dùng số đếm vùng lân cận.
Cách duy trì quần thể ưu tú: không có.
• NSGA
Gán độ thích
nghi: xếp hạng dựa
vào sắp thứ tự
mức độ không
vượt trội (non-
domination
sorting).
Cơ chế đa dạng
hóa: chia sẻ độ
thích nghi
(fitness sharing)
dùng số đếm

vùng lân cận.
Cách duy trì quần thể ưu tú: không có.
•NSGA-II
Gán độ thích nghi: xếp hạng dựa vào sắp thứ tự mức độ
không vượt trội (non-domination sorting).
Cơ chế đa dạng hóa: phương pháp dùng khoảng cách
mật độ (crowding distance).
Cách duy trì quần thể ưu tú: có.
• SPEA
Gán độ thích nghi: xếp hạng dựa vào kho lưu ngoài
(external archive) của những lời giải không bị vượt trội.
Cơ chế đa dạng hóa: gom cụm (clustering) để tỉa bớt
quần thể ngoài (external population).
Cách duy trì quần thể ưu tú: có.
• SPEA-2
Gán độ thích nghi: dựa vào sức mạnh của các cá thể vượt
trội (dominator).
Cơ chế đa dạng hóa: dùng mật độ dựa vào láng giềng
gần nhất thứ k.
Cách duy trì quần thể ưu tú: có.
Độc giả có quan tâm đến các giải thuật MOEA tiêu biểu
khác, có thể tham khảo bài tổng quan về MOEA khá đầy đủ
của Konak và các cộng sự, 2006 ([23]).
IV. PHƯƠNG PHÁP GIẢI CHO BÀI TOÁN THIẾT
KẾ TỐI ƯU MẠNG VIỄN THÔNG
Một cách tổng quát, việc thiết kế mạng bao gồm việc tìm
mô hình mạng và xác định lưu lượng cho các đường liên kết.
Trong đó, mô hình mạng cần tìm phải liên thông và thỏa
ràng buộc về bậc của nút; lưu lượng cho các đường liên kết
phải bảo đảm có tổng lưu lượng cung cấp cho từng cặp

nguồn - đích bằng với giá trị lưu lượng yêu cầu, cũng như
thỏa các ràng buộc về độ trễ, dung lượng nút mạng, dung
lượng liên kết và giới hạn số trạm trung gian. Theo hướng
tiếp cận của nghiên cứu này, giải thuật tiến hóa có nhiệm vụ
tìm mô hình mạng. Với mỗi nhiễm sắc thể, tức mô hình
mạng đã tìm được, giải thuật Monte Carlo được sử dụng để
xác định độ tin cậy và giải thuật qui hoạch tuyến tính được
sử dụng để ấn định lưu lượng tối ưu cho các đường liên kết,
từ đó tính ra được chi phí truyền tải của từng mô hình. Một
giải thuật sửa chữa cũng được sử dụng với các mô hình
mạng không đáp ứng được ràng buộc về độ trễ gói cực đại
cho phép (r11).
A. Biểu diễn nhiễm sắc thể
Một đồ thị bất kỳ có thể được biểu diễn duy nhất bằng
một ma trận kề nút-nút. Các phần tử của ma trận nhận các
giá trị trong khoảng [0, t] tương ứng với loại liên kết (=0
tương ứng với không có liên kết) giữa từng cặp nút hàng-cột.
Vì các liên kết là hai chiều, nên chỉ cần xét phần tam giác
trên của ma trận. Chọn một thứ tự đọc ma trận tùy ý (ở đây
ta chọn đọc theo thứ tự từ trái sang phải, từ trên xuống dưới),
ma trận có thể được chuyển thành vectơ mà không làm mất
thông tin (xem Hình 1).
0 3 0 2 0 0 0 0 0
0 0 1 0 3 0 0 0 0
0 0 0 0 0 4 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 2 0
0 0 0 0 0 0 0 0 3
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0
  
  
  
302000001030000004000001000020003000
Hình 1. Ví dụ biểu diễn của một nhiễm sắc thể (t = 4)
Tổng quát, nếu n là số nút trong đồ thị, thì chiều dài
nhiễn sắc thể là: n(n-1)/2 và không gian tìm kiếm của bài
toán là:
2
)1(
)1(
−
+
nn
t
B. Khởi tạo quần thể
Quần thể ban đầu được khởi tạo ngẫu nhiên theo nhiều
phương pháp khác nhau, các cá thể chỉ được chọn khi chúng
là biểu diễn của một mạng liên thông và thỏa ràng buộc về
bậc của nút. Phần lớn các cá thể được tạo theo giải thuật:
begin algorithm
{d
i
là thứ bậc của nút i, d
i
max
là cận trên
của d
i

}
L = {}
Chọn một nút giữa ngẫu nhiên i trong N
Gọi thủ tục start_from_node(i)
end algorithm
procedure start_from_node(j)
while (d
j
<d
j
max
)
Chọn một nút ngẫu nhiên m∈N, m≠j, (j,m)∉L
If (d
m
<d
m
max
)
Thêm cạnh (m,j) vào L
Gọi thủ tục start_from_node(m)
endif
end while
end procedure
Một số cá thể khác có thể được tạo theo cách tạo cây phủ
tối thiểu (minimum spanning tree) ngẫu nhiên:
begin algorithm
L = {}
Chọn 1 nút bắt đầu ngẫu nhiên i∈N
C = {i}

repeat
Chọn một nút ngẫu nhiên d∉C
Chọn một nút ngẫu nhiên c∈C thỏa d
c
<d
c
max
L = L ∪ {(c,d)}
C = C ∪ {d}
until C = N
end algorithm
C. Tính toán giá trị của các hàm mục tiêu
Việc tính toán giá trị của các hàm mục tiếu thực hiện
gồm các bước:
B
1
: Xây dựng mô hình mạng từ nhiễm sắc thể đã cho;
B
2
: Dùng giải thuật Monte Carlo (xem [6]) tính toán độ
tin cậy của nhiễm sắc thể: các nhiễm sắc thể có độ
tin cậy được đánh giá dựa vào xác suất nhiễm sắc
thể vẫn duy trì được tính liên thông khi loại bỏ một
hoặc nhiều các liên kết được lựa chọn một cách
ngẫu nhiên. Các liên kết có độ tin cậy cao hơn sẽ có
xác suất được lựa chọn để loại bỏ thấp hơn;
B
3
: Tính toán chi phí truyền tải lưu lượng (r1), gồm 2
bước con:

B
3a
: Dùng giải thuật ở [3] tìm r đường đi ngắn nhất giữa
từng cặp nút thỏa (r7);
B
3b
: Dùng qui hoạch tuyến tính phân bổ lưu lượng theo
các đường đi đã tìm ở bước B
3a
, thỏa các ràng buộc
về lưu lượng của bài toán, đồng thời tối thiểu hóa
tổng chi phí truyền tải lưu lượng (r1);
B
4
: Dùng thủ tục sửa chữa, sau đó lặp lại các bước B
2
và B
3
nếu mô hình mạng không thỏa ràng buộc về
độ trễ gói cực đại cho phép (r11).
D. Cơ chế chọn lọc (selection mechanism)
Giải thuật MOEA chọn lọc các nhiễm sắc thể cho việc
sinh sản ngẫu nhiên, cơ hội được chọn tùy thuộc vào giá trị
hàm mục tiêu của chúng. Mỗi giải thuật MOEA có cách
chọn lọc khác nhau:
• Chọn lọc dựa vào tỷ lệ: từ tập các nhiễm sắc thể và các
giá trị hàm mục tiêu, ta có thể tạo ra một bộ chọn lọc
ngẫu nhiên tương tự như một bánh xe rulét (roulette
wheel), các nhiễm sắc thể có giá trị thích nghi tốt hơn
ánh xạ tương ứng với phần lớn hơn.

• Chọn lọc dựa vào thứ hạng Pareto (Pareto-ranking):
các nhiễm sắc thể có thứ hạng Pareto thấp sẽ có cơ hội
được chọn lọc cao hơn (xem mục 3.B).
• Chọn lọc dựa vào đấu loại trực tiếp: hai nhiễm sắc thể
được chọn lựa ngẫu nhiên để đấu loại, nhiễm sắc thể có
giá trị hàm thích nghi tốt hơn sẽ là người chiến thắng.
E. Phép toán lai tạo (crossover operator)
Giải thuật ở đây dùng phép lai đồng dạng (uniform
crossover) để lai tạo quần thể, hai mạng cha mẹ được chọn
để tạo ra một mạng con mới theo cách: nếu cả cha và mẹ
cùng sở hữu một liên kết, mạng con cũng sẽ có liên kết đó;
nếu cả cha và mẹ cùng không có, mạng con cũng sẽ không
có; nếu chỉ một trong cha hoặc mẹ có liên kết thì mạng con
cũng sẽ có với xác suất 50%. Phép lai tạo này đảm bảo mạng
con sẽ thừa hưởng các đặc tính chung của cả cha và mẹ. Các
mô hình mạng sau khi lai tạo được kiểm tra tính hợp lệ và
sửa chữa để đảm bảo chỉ những mô hình liên thông và thỏa
ràng buộc về bậc của nút được đưa sang thế hệ kế tiếp.
F. Phép toán đột biến (mutation operator)
Trong biểu diễn nhiễm sắc thể, các gen tượng trưng cho
loại liên kết, gen có giá trị 0 nếu không có liên kết. Trong
quá trình đột biến, việc bỏ đi một liên kết sẽ không bao giờ
cải thiện được giá trị hàm mục tiêu của nhiễm sắc thể, vì
phép toán tuyến tính phát sinh sẽ trở nên ràng buộc chặt chẽ
hơn. Vì vậy, chúng ta chọn giải pháp: chọn ngẫu nhiên một
gen trong nhiễm sắc thể; nếu gen có giá trị 0 ta sẽ thiết lập
gen là một số ngẫu nhiên có giá trị trong đoạn (1,…, t). Một
lần nữa việc kiểm tra tính hợp lệ và sửa chữa các nhiễm sắc
thể lại được thực hiện.
G. Sửa chữa (repair)

Không phải tất cả các nhiễm sắc thể được khởi tạo ngẫu
nhiên, lai tạo hay đột biến là biểu diễn của một mạng liên
thông hoặc thỏa các ràng buộc về độ trễ và bậc của nút, vì
vậy quá trình sửa chữa (repair) là cần thiết. Khi sửa chữa,
mục đích của ta là tạo ra một lời giải khả thi bằng một vài
thay đổi. Tính liên thông dễ dàng được kiểm tra với chi phí
không quá lớn bằng cách dùng giải thuật tìm kiếm theo chiều
sâu trước (Depth First Search) (xem [1]). Nếu một đồ thị
không liên thông, các liên kết ngẫu nhiên được bổ sung giữa
các thành phần liên thông cho đến khi đồ thị liên thông hoàn
toàn. Nếu bậc của một nút nhỏ hơn cận dưới của ràng buộc,
một hoặc nhiều hơn các liên kết sẽ được bổ sung. Nếu bậc
của một nút lớn hơn cận trên của ràng buộc, một hoặc nhiều
hơn các liên kết sẽ được bỏ đi, nhưng vẫn phải đảm bảo tính
liên thông của đồ thị.
Với một mạng đã liên thông và thỏa ràng buộc về bậc
của nút (r7), tất cả các đường đi thỏa ràng buộc về giới hạn
số trạm trung gian (r6) được tạo ra, thủ tục Qui hoạch tuyến
tính được sử dụng để tìm phân bổ lưu lượng trên các đường
đi thỏa các ràng buộc về dung lượng của nút (r4) và liên kết
(r5), cũng như đảm bảo sao cho tổng lưu lượng phân bổ cho
từng cặp nút phải bằng với ma trận lưu lượng yêu cầu (r2),
đồng thời tối thiểu hóa tổng chi phí truyền tải lưu lượng (r1).
Nếu Qui hoạch tuyến tính không tìm ra giải pháp, chúng
cũng được sửa chữa. Để sửa chữa, một thủ tục nhỏ được gắn
liền với thủ tục Qui hoạch tuyến tính nhằm tìm ra các liên
kết hoặc nút quá tải. Nếu liên kết (i, j) bị quá tải, một liên kết
thứ hai giữa nút i và nút j được tạo ra. Điều này được thực
hiện bằng cách chọn ngẫu nhiên một nút thứ ba k và bổ sung
vào các liên kết (i, k) và (k, j). Nếu nút i bị quá tải, một liên

kết vòng qua i được tạo ra bằng cách chọn hai nút j và k nằm
liền kề i, tức đồ thị đã tồn tại các liên kết (i, j) và (i, k), sau
đó bổ sung vào liên kết (j, k).
Với một mạng có độ trễ gói trung bình cao hơn mức
mong muốn (T
max
), điều này đồng nghĩa với việc có một vài
liên kết nào đó có lưu lượng trung bình xấp xỉ với lưu lượng
cho phép. Trong trường hợp như vậy, độ trễ gói trung bình
của mạng có thể được cải thiện bằng cách thêm vào một liên
kết nhằm chia tải với các liên kết bị quá tải. Để tìm ra liên
kết ứng thí tốt nhất, lần lượt các liên kết bị quá tải được loại
bỏ khỏi mạng cho đến khi mạng được tách thành hai mạng
con riêng biệt G
1
và G
2
(tức là V
1
∩ V
2
= ∅). Các liên kết bị
loại bỏ thiết lập thành tập S. Liên kết ứng thí là liên kết có
chi phí nhỏ nhất {i, j} thỏa i∈V
1
, j∈V
2
và {i, j}∉S. Tuy
nhiên, thủ tục này đôi khi thất bại trong việc tìm ra một liên
kết như vậy, đặc biệt khi mạng có kết nối dày đặc. Trong

trường hợp này, giải thuật sẽ tìm kiếm đường dẫn với chi phí
truyền tải cao nhất trong mạng, liên kết ứng thí là liên kết
trực tiếp giữa hai nút ở cuối đường dẫn vừa tìm.
H. Phát triển các tầng lớp ưu tú (elitism)
Do phép chọn lọc và lai tạo được thực hiện một cách
ngẫu nhiên, không đảm bảo các nhiễm sắc thể không bị vượt
trội sẽ hiện hữu trong thế hệ kế tiếp. Cách giải quyết phổ
biến là chọn duy trì những nhiễm sắc thể không bị vượt trội
được sản sinh của mỗi thế hệ.
I. Đảm bảo quần thể đa dạng và nhỏ
Ta chọn cách thức: sau khi lai tạo, tất cả các nhiễm sắc
thể được so sánh với nhau. Vì các nhiễm sắc thể giống nhau
không thêm bất kỳ thông tin nào. Nên ta có thể loại bỏ chúng
mà không ảnh hưởng đến sự tiến triển của quần thể.
J. So sánh trước - kiểm tra sau
Nhược điểm của Qui hoạch tuyến tính là tốn nhiều thời
gian tính toán. Lợi dụng đặc điểm các quần thể thường có độ
hội tụ cao, nên trước khi tính toán giá trị hàm mục tiêu của
một nhiễm sắc thể, ta so sánh nó với tất cả các thành viên đã
được tính ở các thế hệ trước (số thế hệ tiền sử được lưu trữ
tùy thuộc vào dung lượng bộ nhớ). Các nhiễm sắc thể giống
nhau sẽ có cùng giá trị hàm mục tiêu, nên việc tính lại là
không cần thiết.
K. Lược bỏ
Quá trình sửa chữa và phép đột biến thường thêm vào các
liên kết. Quần thể sẽ hướng tới một đồ thị liên thông hoàn
toàn (với ràng buộc bậc của nút cho phép). Vì vậy chất liệu
di truyền dư thừa sẽ được sản sinh qua các thế hệ tương lai.
Giải pháp được chọn là tìm các liên kết không cần thiết và
lược bỏ chúng.

L. Khả năng tương tác
Việc cho phép tinh chỉnh các thông số trong thời gian
thực có thể cải tiến hiệu năng của hệ thống. Bằng cách thay
đổi các thông số và sử dụng các toán tử lai tạo, đột biến và
sinh sản ngẫu nhiên trong quần thể, ta có thể nghiên cứu giá
trị của các chiến lược mới mà không cần thay đổi mã chương
trình. Việc tương tác cũng cho phép thu thập các thông tin
cần quan tâm ở bất kỳ giai đoạn nào.
V. KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM
Chúng tôi đã xây dựng phần mềm trên cơ sở dùng ngôn
ngữ C++ để thể hiện các giải thuật và hình ảnh đồ họa ba
chiều của tập các lời giải tối ưu trong không gian mục tiêu.
Phần mềm chạy thử nghiệm trên máy có cấu hình Intel
Core2 Duo CPU T5870 2GHz, RAM 1GB, OS Ubuntu 9.10.
Theo hướng tiếp cận Pareto, bốn giải thuật MOEA được
hiện thực và thử nghiệm bao gồm: NSGA, NSGAII,
NSGAIIC và SPEA. Chương trình gồm các mô đun chính:
(i) mô đun nạp dữ liệu và mô hình mạng cần thiết kế từ tập
tin; (ii) mô đun thiết lập các tham số tính toán; (iii) các mô
đun hiện thực các giải thuật SPEA, NSGA, NSGAII và
NSGAIIC; (iv) mô đun hiện thực giải thuật tìm k đường đi
ngắn nhất Dijkstra mở rộng; (v) mô đun giải bài toán qui
hoạch tuyến tính dùng giải thuật đơn hình; và (vi) mô đun
thực thi, hiển thị và kết xuất dữ liệu kết quả ra tập tin.
Ở đây, giải thuật NSGAIIC là phiên bản cải tiến của
NSGAII trong trường hợp tập Pareto-được-biết-tốt-nhất có
kích thước quá lớn (lớn hơn mức M
0
cho trước), khi đó tập
Pareto-được-biết-tốt-nhất sẽ được phân thành M

1
cụm
(cluster) dựa vào khoảng cách giữa các lời giải trong không
gian hàm mục tiêu hoặc không gian biến quyết định, dĩ nhiên
M
0
> M
1
. Trong mỗi cụm, lời giải có khoảng cách trung bình
đến các lời giải trong cùng cụm thấp nhất sẽ được chọn vào
tập Pareto-được-biết-tốt-nhất cho thế hệ kế tiếp. Khi đó kích
thước của tập Pareto-được-biết tốt-nhất sẽ được thiết lập lại
ở kích thước M
1
(xem [23]). Cải tiến này giúp hạn chế kích
thước của tập Pareto-được-biết-tốt-nhất nhưng làm tăng chi
phí tính toán của giải thuật NSGAIIC.
Các kết quả được trình bày ở đây có được từ việc chạy
các giải thuật MOEA khác nhau để thiết kế tối ưu một mạng
viễn thông có: 24 nút, 55 liên kết, 396 lưu lượng yêu cầu
giữa từng cặp nút nguồn - đích (đây là dữ liệu và mô hình
mẫu có mã hiệu ta1 U-U-L-N-C-A-Y-N do Telekom Austria
đề xuất, được lấy từ thư viện chứa các mẫu kiểm thử dành
cho các cộng đồng nghiên cứu trên thế giới nhằm chuẩn hóa
việc kiểm tra benchmark, đánh giá và so sánh giữa các mô
hình và giải thuật thiết kế tối ưu mạng viễn thông cố định
được đặt tại trang web .
Tóm tắt kết quả thử nghiệm của chúng tôi với các giải
thuật MOEA khác nhau được thể hiện ở Bảng 1 và Bảng 2.
Trong Bảng 1, cột N

E
thể hiện số thứ tự của các cá thể trong
tập Pareto-được-biết-tốt-nhất, cột Cost thể hiện chi phí
truyền tải lưu lượng, cột Reliable thể hiện độ tin cậy và cuối
cùng cột Time thể hiện thời gian thực thi của từng giải thuật
(tính theo phút và giây).
BẢNG 1. KÊT QUẢ THỰC NGHIỆM VỚI CÁC GIẢI THUẬT MOEA
MOEA N
E
Cost Reliable Time
NSGA
1 3295 0.7910
75p15g
2 3190 0.7777
3 2965 0.7595
4 2960 0.7413
5 2870 0.7294
NSGAII
1 3095 0.7819
18p29g
2 2965 0.7735
3 2945 0.7357
4 2910 0.7350
NSGAIIC
1 3105 0.7749
20p46g2 3075 0.7651
3 2915 0.7490
SPEA
1 3220 0.7854
35p37g

2 3095 0.7840
3 3000 0.7721
4 2990 0.7378
5 2870 0.7364
Trong Bảng 2, cột N thể hiện số lời giải trong tập Pareto-
tốt-nhất-được-biết tổng có được bằng cách: hợp các tập
Pareto-được-biết-tốt-nhất của mỗi giải thuật MOEA và chọn
ra các lời giải không bị vượt trội (là các lời giải được tô đậm
trong Bảng 1); ứng với từng giải thuật, cột N
1
thể hiện số lời
giải trong tập Pareto-được-biết-tốt-nhất, cột N
2
thể hiện số
lời giải trong tập Pareto-được-biết-tốt-nhất trong tập Pareto-
tốt-nhất-được-biết tổng, cột N
3
thể hiện số lời giải trong tập
Pareto-được-biết-tốt-nhất bị vượt trội so với các lời giải
trong tập Pareto-được-biết-tốt-nhất tổng và cuối cùng cột N
4
thể hiện khoảng cách Euclid trung bình giữa các lời giải
trong tập Pareto-được-biết-tốt-nhất.
BẢNG 2. SO SÁNG KẾT QUẢ GIỮA CÁC GIẢI THUẬT MOEA
MOEA N
1
N
2
N
3

N N
4
Time
NSGA 5 1 4
7
0.74142 75p15g
NSGAII 4 2 2 0.88188 18p29g
NSGAIIC 3 2 1 0.95697 20p46g
SPEA 5 2 3 0.80313 37p37g
Qua so sánh kết quả giữa các giải thuật MOEA ta nhận
thấy: NSGA có thời gian tính toán chậm nhất, chất lượng lời
giải thấp và phân bố không rộng trong không gian mục tiêu;
SPEA cho kết quả tốt hơn; NSGAII và NSGAIIC thì tốt nhất
cả về tiêu chí thời gian tính toán lẫn chất lượng lời giải.
VI. KẾT LUẬN
Phương pháp tối ưu đa mục tiêu dùng giải thuật tiến hóa
là cách tiếp cận mới trong phân tích và thiết kế mạng viễn
thông với nhiều ràng buộc phức tạp và nhiều mục tiêu khác
nhau. Trong nghiên cứu này, chúng tôi thử áp dụng một số
giải thuật tiến hóa đa mục tiêu MOEA vào việc thiết kế tối
ưu mạng viễn thông. Kết quả thực nghiệm với bốn giải thuật
tiến hóa đa mục tiêu NSGA, NSGAII, NSGAIIC và SPEA
khi thiết kế mạng viễn thông mà chúng tôi đạt được đã
chứng tỏ khá rõ nét tính hiệu quả và đúng đắn của phương
pháp tối ưu đa mục tiêu này. Kết quả này là kết quả bước đầu
của một đề tài nghiên cứu đang tiến hành, do đó, vẫn còn
một số vấn đề cần được tiếp tục nghiên cứu sâu hơn trong
thời gian sắp tới, có thể kể như sau:
Bài toán chưa đặt vấn đề thiết kế mạng với khả năng dự
phòng và cấu hình lại khi có sự cố làm mất một hoặc nhiều

liên kết.
Bài toán chưa tiếp cận theo hướng dùng một số các giải
thuật tối ưu hóa đa mục tiêu dựa vào meta-heuristic khác
như: giải thuật mô phỏng luyện kim đa mục tiêu (MOSA),
giải thuật tìm kiếm Tabu đa mục tiêu, giải thuật di truyền lai
đa mục tiêu,
Đối với từng bài toán, hoặc mỗi giai đoạn nhất định trong
quá trình giải quyết bài toán, việc chọn giải thuật meta-
heuristic hoặc thay đổi các tham số phù hợp để có được kết
quả tối ưu là rất quan trọng, bài báo này cũng chưa cho điều
kiện xem xét.
Ngoài ra, chúng ta cũng cần xem xét thêm trường hợp có
sự kết hợp với việc định tuyến và điều khiển tối ưu, để giải
bài toán thiết kế mạng viễn thông một cách tổng thể hơn.
THƯ MỤC THAM KHẢO
[1] T.H. Cormen, C.E. Leiserson, R.L. Rivest, Introduction to
Algorithms, MIT Press, 1997
[2] Lương Hồng Khanh, “Ứng dụng thuật toán tiến hóa trong việc tối ưu
hóa các tham số chất lượng mạng,” Tạp chí Bưu chính Viễn thông, số
197, 2002, trang 42-45.
[3] E. Q. V. Martins, M. M. B. Pascoal, J.L.E. Santos, “The k shortest
paths problem”, Technical Report, Universidade de Coimbra,
Portugal, 1998.
[4] K.T. Ko, K.S. Tang et al., “Using Genetic Algorithms to Design
Mesh Networks”, Computer Journal, No. 30, 1997.
[5] L. Berry, B. Murtagh, S. Sugden và G. McMahon, “Application of a
Genetic-based Algorithm for Optimal Design of Tree-structured
Communications Networks”, Proceedings of the Regional Teletraffic
Engineering Conference of the International Teletraffic Congress,
South Africa, September 1995, pp. 361-370.

[6] G. Kochanski, “Monte Carlo Simulation”, 2005.
/>[7] S. Duarte, B. Barán and D. Benítez, “Telecommunication network
design with parallel multi-objective evolutionary algorithms,”
Proccedings of XXVII Conferencia Latinoamericana de Informatica
CLEI'2001, Merida, Venezuela, 2001.
[8] A. Konak and A. Smith , “A Hybrid Genetic Algorithm Approach for
Backbone Design of Communication Networks”, Proceedings of the
1999 Congress on Evolutionary Computation, Washington D. C.,
1999.
[9] J. D. Schaffer, “Multiple objective optimization with vector evaluated
genetic algorithms,” Proceedings of the International Conference on
Genetic Algorithm and their Applications, 1985.
[10] C. M. Fonseca and P.J. Fleming, “Multiobjective genetic algorithms,”
IEE Colloquium on Genetic Algorithms for Control Systems
Engineering (Digest No. 1993/130), 28 May 1993. London, UK: IEE;
1993.
[11] J. Horn, N. Nafpliotis, D. E. Goldberg, “A niched Pareto genetic
algorithm for multiobjective optimization”, Proceedings of the first
IEEE Conference on Evolutionary Computation. IEEE World
Congress on Computational Intelligence, 27–29 June, Orlando, FL,
USA, 1994.
[12] P. Hajela P, C. Y. Lin, “Genetic search strategies in multicriterion
optimal design”, Struct Optimization , 4(2), 1992, pp. 99–107.
[13] T. Murata, H. Ishibuchi, “MOGA: multi-objective genetic
algorithms,” Proceedings of the 1995 IEEE International Conference
on Evolutionary Computation, 29 November –1 December, Perth,
WA, Australia, 1995.
[14] N. Srinivas, K. Deb, “Multiobjective optimization using
nondominated sorting in genetic algorithms”, J. Evol Comput 2(3),
1994, pp. 221–48.

[15] E. Zitzler, L. Thiele, “Multiobjective evolutionary algorithms: a
comparative case study and the strength Pareto approach”, IEEE
Trans Evol Comput, 3(4), 1999, pp. 257–71.
[16] E. Zitzler, M. Laumanns, L. Thiele, “SPEA2: improving the strength
Pareto evolutionary algorithm”, Swiss Federal Institute Techonology:
Zurich, Switzerland, 2001.
[17] J. D. Knowles, D. W. Corne, “Approximating the nondominated front
using the Pareto archived evolution strategy”, Evol Comput, 8(2),
2000, pp.149–72.
[18] D. W. Corne, J. D. Knowles, M. J. Oates, “The Pareto envelope-based
selection algorithm for multiobjective optimization”, Proceedings of
sixth International Conference on Parallel Problem Solving from
Nature, 18–20 September, Paris, France, 2000.
[19] D. W. Corne, N. R. Jerram, J. D. Knowles, M. J. Oates, “PESA-II:
region-based selection in evolutionary multiobjective optimization”,
Proceedings of the Genetic and Evolutionary Computation
Conference (GECCO-2001), San Francisco, CA, 2001.
[20] K. Deb, A. Pratap, S. Agarwal, T. Meyarivan, “A fast and elitist
multiobjective genetic algorithm: NSGA-II,” IEEE Trans Evol
Comput, 6(2), 2002, pp.182–97.
[21] H. Lu, G. G. Yen, “Rank-density-based multiobjective genetic
algorithm and benchmark test function study,” IEEE Trans Evol
Comput, 7(4), 2003, pp.325–43.
[22] G. G. Yen, H. Lu, “Dynamic multiobjective evolutionary algorithm:
adaptive cell-based rank and density estimation”, IEEE Trans Evol
Comput, 7(3), 2003, pp.253–74.
[23] A. Konak, D. W. Coit, A. E. Smith, “Multi-objective optimization
using genetic algorithms: A tutorial,” J. Reliability Engineering and
System Safety, No. 91, 2006, pp. 992-1007.