TỔNG HỢP ĐỀ THI HSG TOÁN LỚP 8 HUYỆN GIỒNG RIỀNG

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
HUYỆN GIỒNG RIỀNG VÒNG HUYỆN NĂM HỌC 2010 – 2011
= = = 0o0 = = = Môn: TOÁN - lớp 8 , thời gian: 150 phút
(không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (6 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a/ x
4
+ 64
b/ x
3
– 19x – 30
c/ x
5
+ x – 1
Bài 2: (4 điểm) Thực hiện các phép tính rút gọn biểu thức:
a/ M = (a + b + c)
2
+ (a – b – c )
2
+ (b – c – a)
2
+ (c – a – b )
2

b/
1235.2469 1234
N
1234.2469 1235
−
=
+

Bài 3: (4 điểm) Cho a + b > 1. Chứng minh rằng a
4
+ b
4
>
1
8
Bài 4: (4,5 điểm) Cho hình thang vuông ABCD có
µ
µ
0
90 ;
2
CD
A D AB AD= = = =
. Qua điểm E
thuộc cạnh AB, kẻ đường vuông góc với DE, cắt BC tại F.
a/ Chứng minh: Tam giác BCD vuông cân
b/ Chứng minh: ED = EF
Bài 5: (1,5 điểm) Có 45 học sinh làm bài kiểm tra, không có ai bị điểm dưới 2, chỉ có 2 học
sinh được điểm 10. Chứng minh rằng ít nhất cũng tìm được 6 học sinh có điểm kiểm tra bằng
nhau (giả thiết điểm kiểm tra là số tự nhiên từ 0 đến 10)
HẾT
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN LỚP 8
Bài 1: (6 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a/ x
4
+ 64
= x
4

+ 16x
2
+ 64 – 16x
2
(0,5 đ)
= (x
2
+ 8)
2
– (4x)
2
(0,5 đ)
= (x
2
+ 4x + 8)(x
2
– 4x + 8) (0,5 đ)
b/ x
3
– 19x – 30
= x
3
– 9x – 10x – 30 (0,5 đ)
= x(x – 3)(x + 3) – 10(x + 3) (0,5 đ)
= (x + 3)(x
2
+ 3x – 10) (0,5 đ)
= (x + 3)[(x
2
– 2x) + (5x – 10)]

= (x + 3)[x(x – 2) + 5(x – 2)] (0,5 đ)
= (x + 3)(x – 2)(x + 5) (0,5 đ)
c/ x
5
+ x – 1
= x
5
+ x
2
– x
2
+ x – 1 (0,5 đ)
= x
2
(x
3
+ 1) – (x
2
– x + 1) (0,5 đ)
= x
2
(x + 1)( x
2
– x + 1) – (x
2
– x + 1) (0,5 đ)
= (x
2
– x + 1)(x
3

+ x
2
– 1) (0,5 đ)
Bài 2: (4 điểm) Thực hiện các phép tính rút gọn biểu thức:
a/ M = (a + b + c)
2
+ (a – b – c )
2
+ (b – c – a)
2
+ (c – a – b )
2

(a + b + c)
2
= a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2ab + 2bc + 2ac (0,5 đ)
(a – b – c )
2
= a
2
+ b
2
+ c
2

– 2ab + 2bc – 2ac (0,5 đ)
(b – c – a)
2
= a
2
+ b
2
+ c
2
– 2ab – 2bc + 2ac (0,5 đ)
(c – a – b )
2
= a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2ab – 2bc – 2ac (0,5 đ)
M = 4a
2
+ 4b
2
+ 4c
2
(0,5 đ)
b/
1235.2469 1234
N
1234.2469 1235

−
=
+

đặt x = 1234 ta có: N =
2 2
2 2
( 1).(2 1) 2 2 1 2 2 1
1
(2 1) ( 1) 2 1 2 2 1
x x x x x x x x x
x x x x x x x x
+ + − + + + − + +
= = =
+ + + + + + + +
(1,5 đ)
Bài 3: (4 điểm) Cho a + b > 1. Chứng minh rằng a
4
+ b
4
>
1
8
Ta có a + b > 1 > 0

⇒
(a + b)
2
> 1
⇔

a
2
+ 2ab + b
2
> 1 (1) (0,5 đ)
Mà: (a – b)
2
> 0
⇔
a
2
- 2ab + b
2
> 0 (2) (0,5 đ)
Cộng (1) và (2) ta có : 2(a
2
+ b
2
) > 1 (0,5 đ)
⇒
a
2
+ b
2
>
1
2
(0,5 đ)

⇒

a
4
+ 2a
2
b
2
+ b
4
>
1
4
(3) (0,5 đ)
Mặc khác: (a
2
– b
2
)
2
> 0
⇔
a
4
- 2a
2
b
2
+ b
4
> 0 (4) (0,5 đ)
Cộng (3) và (4) ta được: 2(a

4
+ b
4
) >
1
4
(0,5 đ)
⇒
a
4
+ b
4
>
1
8
⇒
đpcm (0,5 đ)
Bài 4: (4,5 điểm)
-Hình vẽ: (0,25 đ)
a/ Chứng minh:
∆
BCD vuông cân
Kẻ BH
⊥
DC
⇒
ABHD là hình vuông (0,25 đ)
⇒
AB = DH = BH = AD =
2

DC
(0,25 đ)
⇒
DH = HC = BH =
2
DC
(0,25 đ)
⇒
∆
BCD vuông cân tại B (0,25 đ)
b/ Từ a/
µ
·
0 0
45 135C ABC⇒ = ⇒ =
(0,25 đ)
Gọi M là trung điểm của DF
Xét
∆
EDF (
µ
0
90E =
) có EM là trung tuyến
2
DF
EM MF⇒ = =
(0,25 đ)
⇒
∆

MBE cân tại M
⇒
·
·
MEB MBE=
(0,5 đ)
Xét
∆
BDF (
µ
0
90B =
) có BM là trung tuyến
2
DF
BM MF⇒ = =
(0,25 đ)
⇒
∆
MBF cân tại M
⇒
·
·
MFB MBF=
(0,5 đ)
Xét tứ giác MEBF có :
· ·
· ·
·
0

135MEB MFB MBE MBF ABC+ = + = =
(0,5 đ)
·
0 0 0
360 2.135 90EMF⇒ = − =
(0,5 đ)
Vậy trong
∆
EDF có EM là đường cao cũng là trung tuyến,
nên
∆
EDF cân tại E hay ED = EF (0,5 đ)
Bài 5: (1,5 điểm)
Theo đề bài có 45 – 2 = 43 học sinh phân chia vào 8 loại điểm từ 2 đến 9(0,5 đ)
Giả sử mỗi loại trong 8 loại điểm đều là điểm của không quá 5 học sinh thì lớp học có không
quá 5.8 = 40 học sinh, ít hơn 43 học sinh. (0,5 đ)
Vậy tồn tại 6 học sinh có điểm kiểm tra bằng nhau. (0,5 đ)
/ /
//
H
M
F
A
D
C
B
E
UBND HUYỆN GIỒNG RIỀNG KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VỊNG HUYỆN
PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2011 – 2012
Khóa ngày 06/11/2011

ĐỀ THI MƠN TỐN LỚP 8
Thời gian làm bài: 150 phút (khơng kể thời gian phát đề)
Bài 1: (4 điểm)
a/ Chứng minh rằng tổng lập phương của ba số ngun liên tiếp chia hết cho 9
b/ Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì : A = 5
n+2
+ 26.5
n
+ 8
2n+1

M
59
Bài 2: (4 điểm)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a/ x
3
+ y
3
+ z
3
– 3xyz
b/ x
4
+ 2011x
2
+ 2010x + 2011
Bài 3: (4 điểm)
a/ Cho a + b = 2 và a
2

+ b
2
= 20. Tính giá trị của biểu thức M = a
3
+ b
3
b/ Cho a + b + c = 0 và a
2
+ b
2
+ c
2
= 14. Tính giá trị của biểu thức N = a
4
+ b
4
+ c
4
Bài 4: (4 điểm)
Cho hình thang cân ABCD có góc ACD = 60
0
, O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi E, F, G
theo thứ tự là trung điểm của OA, OD, BC. Tam giác EFG là tam giác gì? Vì sao?
Bài 5: (4 điểm)
Cho hình bình hành ABCD có E, F thứ tự là trung điểm của AB, CD.
a/ Chứng minh rằng các đường thẳng AC, BD, EF đồng quy.
b/ Gọi giao điểm của AC với DE và BF theo thứ tự là M và N. Chứng minh rằng EMFN là hình
bình hành.
HẾT
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 8

(THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2011 – 2012)

Bài 1: (4 điểm)
a/
Ta phải chứng minh: A = n
3
+ (n + 1)
3
+ (n + 2)
3

M
9 với n
∈
Z
A = n
3
+ n
3
+ 3n
2
+ 3n + 1 + n
3
+ 6n
2
+ 12n + 8
= 3n
3
+ 9n
2

+ 15n + 9 (0,5đ)
= 3n
3
– 3n + 9n
2
+ 18n + 9 (0,5đ)
= 3n(n – 1)(n + 1) + 9n
2
+ 18n + 9 (0,5đ)
Nhận thấy n(n – 1)(n + 1)
M
3 nên 3n(n – 1)(n + 1)
M
9 Và 9n
2
+ 18n + 9
M
9
Vậy A
M
9 (0,5đ)
b/ 5
n+2
+ 26.5
n
+ 8
2n+1
= 25.5
n
+ 26.5

n
+ 8.8
2n
= (0,5ñ)
= 5
n
(59 – 8) + 8.64
n
(0,5ñ)
= 59.5
n
+ 8(64
n
– 5
n
) (0,5ñ)
59.5
n

M
59 vaø 8(64
n
– 5
n
)
M
(64 – 5) = 59
vaäy 5
n+2
+ 26.5

n
+ 8
2n+1

M
59 (0,5ñ)
Bài 2: (4 điểm)
a/ x
3
+ y
3
+ z
3
– 3xyz = (x + y)
3
– 3xy(x + y) + z
3
– 3xyz =
= (x + y + z)
3
– 3z(x + y)(x + y + z) – 3xy(x + y + z) (0,5ñ)
= (x + y + z)[(x + y + z)
2
– 3z(x + y) – 3xy] (0,5ñ)
= (x + y + z)[x
2
+ y
2
+ z
2

+ 2xy + 2yz + 2zx – 3zx – 3zy – 3xy] (0,5ñ)
= (x + y + z)(x
2
+ y
2
+ z
2
– xy – yz – zx) (0,5ñ)
b/ x
4
+ 2011x
2
+ 2010x + 2011 =
= x
4
+ x
3
+ x
2
+ 2010x
2
+ 2010x + 2010 – x
3
+ 1 (0,5ñ)
= x
2
(x
2
+ x + 1) + 2010(x
2

+ x + 1) – (x – 1)(x
2
+ x + 1) (0,5ñ)
= (x
2
+ x + 1)(x
4
+ 2010 – x + 1) (0,5ñ)
= (x
2
+ x + 1)(x
4
– x + 2011) (0,5ñ)
Bài 3: (4 điểm)
a/ Cho a + b = 2 và a
2
+ b
2
= 20. Tính giá trị của biểu thức M = a
3
+ b
3
Từ a
2
+ b
2
= 20
⇒
(a + b)
2

– 2ab = 20
⇒
ab = -8(0,5ñ)
M = a
3
+ b
3
= (a + b)
3
– 3ab(a + b)
= 2
3
– 3.(-8).2 = 56 (0,5ñ)
b/ Cho a + b + c = 0 và a
2
+ b
2
+ c
2
= 14. Tính giá trị của biểu thức N = a
4
+ b
4
+ c
4
Từ a
2
+ b
2
+ c

2
= 14
⇒
(a
2
+ b
2
+ c
2
)
2
= 196
⇒
a
4
+ b
4
+ c
4
= 196 – 2(a
2
b
2
+ b
2
c
2
+ c
2
a

2
) (0,5ñ)
Ta lại có: a + b + c = 0
⇒
(a + b + c)
2
= 0
⇒
a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2(ab + bc + ca) = 0 (0,5ñ)
⇒
(ab + bc + ca) = -7 (0,5ñ)
⇒
(ab + bc + ca)
2
= 49
⇒
a
2
b
2
+ b
2
c
2

+ c
2
a
2
+ 2abc(a + b + c) = 49 (0,5ñ)
⇒
a
2
b
2
+ b
2
c
2
+ c
2
a
2
= 49 (0,5ñ)
Do đó N = a
4
+ b
4
+ c
4
= 196 – 2(a
2
b
2
+ b

2
c
2
+ c
2
a
2
) = 196 – 2.49 = 98 (0,5ñ)
Bài 4: (4 điểm)
- Hình vẽ (0,5ñ)
- Do ABCD là hình thang cân và
·
0
60ACD =
Suy ra
OAB∆
và
OCD∆
là các tam giác đều. (0,5ñ)
- Chứng minh
BFC
∆
vuông tại F (0,5ñ)
- Xét
BFC
∆
vuông tại F có:
1
2
FG BC=

(0,5ñ)
- Chứng minh
BEC∆
vuông tại E (0,5ñ)
- Xét
BEC∆
vuông tại E có:
1
2
EG BC=
(0,5ñ)
- Xét
BEC∆
có:
1
2
EF BC=
(0,5ñ)
- Suy ra EF = EG = FG nên
EFG
∆
đều (0,5ñ)
Bài 5: (4 điểm)
a/
- Hình vẽ: (0,25ñ)
- Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình bình
hành ABCD, ta có O là trung điểm của BD. (0,25ñ)
- Chứng minh BEDF là hình bình hành (0,5ñ)
- Có O là trung điểm của BD nên O cũng là trung điểm
của EF (0,5ñ)

- Vậy EF, BD, AC đồng quy tại O. (0,5ñ)
b/
- Xét
∆
ABD có M là trọng tâm, nên
1
3
OM OA=
(0,5ñ)
- Xét
∆
BCD có N là trọng tâm, nên
1
3
ON OC=
(0,5ñ)
- Mà OA = OC nên OM = ON (0,5ñ)
- Tứ giác EMFN có OM = ON và OE = OF nên là hình bình hành. (0,5ñ)
Trên đây là những gợi ý đáp án và biểu điểm, Học sinh có thể giải theo cách khác. Tùy vào
bài làm cụ thể của học sinh, giám khảo cho điểm tương ứng.

UBND HUYỆN GIỒNG RIỀNG KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN
=
=
X
X
//
/ /
G
F

E
O
A
B
D
C
//
/ /
//
/ /
O
N
M
F
E
D
C
A
B
PHÒNG GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2012 – 2013
Khóa ngày 04/11/2012
ĐỀ THI MÔN TOÁN LỚP 8
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Bài 1: (4 điểm)
a/ Tìm x, y, z biết
1 2 3
111 222 333
x y z+ + +
= =
và 3x + 2y + z = 989

b/ Cho tỉ lệ thức
( , 0)
a c
b d
b d
= ≠
. Chứng minh rằng:
( )
( )
2012
2012 2012
2012
2012 2012
a b
a b
c d
c d
−
+
=
+
−
Bài 2: (4 điểm)
a/ Chứng minh rằng biểu thức S = 3
0
+ 3
1
+ 3
2
+ 3

3
+ 3
4
+ 3
5
+ ……+ 3
94
+ 3
95
chia hết cho 40.
b/ Tìm các giá trị nguyên của n để giá trị của biểu thức A = 3n
3
+ 10n
2
– 5 chia hết cho giá trị
của biểu thức B = 3n + 1.
Bài 3: (4 điểm)
a/ Chứng minh đẳng thức : (a + b + c)
3
= a
3
+ b
3
+ c
3
+ 3(a + b)( b + c)(c + a)
b/ Cho a
2
+ b
2

+ c
2
= ab + bc + ac. Chứng minh rằng: a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc
Bài 4: (4 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ đường trung tuyến AM (với M
∈
BC). Gọi D là điểm đối
xứng với A qua M, E là điểm đối xứng với A qua BC.
a/ Chứng minh BCDE là hình thang cân.
b/ Qua A kẻ đường thẳng d bất kỳ không cắt cạnh BC. B’, C’ là hình chiếu của B và C trên
đường thẳng d. Chứng minh rằng: BB’ + CC’
≤
BC
Bài 5: (4 điểm)
Cho hình vuông ABCD có độ dài đường chéo là 1. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt
lấy các điểm M, N, P, Q . Chứng minh rằng chu vi tứ giác MNPQ không nhỏ hơn 2.
HẾT
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 8
(THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2012 – 2013)

Bài Đáp án Điểm
Bài 1:
(4 đ)
a/

1 2 3
111 222 333
x y z+ + +
= =
và 3x + 2y + z = 989
Từ
1 2 3 3( 1) 2( 2) 3
111 222 333 333 444 333
x y z x y z+ + + + + +
= = ⇒ = =

3 3 2 4 3
333 444 333
x y z+ + +
⇒ = =
3 3 2 4 3 3 3 2 4 3 3 2 10 989 10 9
333 444 333 333 444 333 1110 1110 10
x y z x y z x y z+ + + + + + + + + + + +
⇒ = = = = = =
+ +
111.9 9
1 98
10 10
x x⇒ + = ⇒ =

222.9 4
2 197
10 5
y y⇒ + = ⇒ =

333.9 7
3 296
10 10
z z⇒ + = ⇒ =

0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
b/ Đặt
;
a c
k a bk c dk
b d
= = ⇒ = =
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2012
2012 2012
2012
2012 2012 2012
2012
1
1
b k

a b bk b
b
d
c d dk d
d k
− 
− −
 
= = =
− −
− 
 
(1)
( )
( )
2012 2012
2012 2012 2012 2012 2012
2012 2012 2012 2012 2012
2012 2012
1
( )
( )
1
b k
a b bk b b
c d dk d d
d k
+
+ +
= = =

+ +
+
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
( )
( )
2012
2012 2012
2012
2012 2012
a b
a b
c d
c d
−
+
=
+
−
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
Bài 2:
(4 đ)
a/ Từ 0 đến 95 có: (95 – 0) + 1 = 96 phần tử, do đó có 24 bộ 4 số liên tiếp nhau
S = (3
0
+ 3
1
+ 3

2
+ 3
3
) + (3
4
+ 3
5
+ 3
6
+ 3
7
) + ……+ (3
92
+ 3
93
+ 3
94
+ 3
95
)
S = 40 + 3
4
.40 + ……+ 3
92
.40
Các hạng tử đều chia hết cho 40 nên S chia hết cho 40.
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ

b/
Thực hiện phép chia A cho B được thương là n
2
+ 3n – 1, dư là – 4
Để A chia hết cho B thì 3n + 1
∈
Ư(4) = {
±
1;
±
2;
±
4}
3n + 1 -1 1 -2 2 -4 4
n
2
3
−
0 -1
1
3
5
3
−
1
Kết luận Loại Nhận Nhận Loại Loại Nhận
Vậy n = 0 ; n = -1; n = 1
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ

0,5 đ
Bài 3:
(4 đ)
a/ Chứng minh đẳng thức : (a + b + c)
3
= a
3
+ b
3
+ c
3
+ 3(a + b)( b + c)(c + a)
Vế trái: (a + b + c)
3
= (a + b)
3
+ c
3
+ 3c(a + b)(a + b + c)
= a
3
+ b
3
+ 3ab(a + b) + c
3
+ 3c(a + b)(a + b + c)
= a
3
+ b
3

+ c
3
+ 3(a + b)[ab + c(a + b + c)]
= a
3
+ b
3
+ c
3
+ 3(a + b)[ab + ca + cb + c
2
]
= a
3
+ b
3
+ c
3
+ 3(a + b)[a(b + c) + c(b + c)]
= a
3
+ b
3
+ c
3
+ 3(a + b)(b + c)(a + c) = vế phải
⇒
đpcm
2 đ
b/ Cho a

2
+ b
2
+ c
2
= ab + bc + ac. Chứng minh rằng: a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc
Phân tích thành nhân tử: a
3
+ b
3
+ c
3
- 3abc =
= (a + b)
3
– 3ab(a + b) + c
3
– 3abc
= (a + b + c)
3
– 3c(a + b)(a + b + c) – 3ab(a + b + c)
= (a + b + c)[(a + b + c)
2
– 3c(a + b) – 3ab]

= (a + b + c)(a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2ab + 2bc + 2ac – 3ac – 3bc – 3ab)
= (a + b + c)(a
2
+ b
2
+ c
2
– ac – bc – ab)
Theo đề cho a
2
+ b
2
+ c
2
= ab + bc + ac
⇒
a
2
+ b
2
+ c
2
– ac – bc – ab = 0
⇒

a
3
+ b
3
+ c
3
- 3abc = 0 hay a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc
2 đ
Bài 4:
(4 đ)
Hình vẽ: 0,5 đ
a/ Chứng minh HM là đường trung bình của
∆
ADE
⇒
HM // ED hay BCDE là hình thang. (1)
+ Chứng minh BD = AC (do ABDC là hình bình hành)
+ Chứng minh CE = AC (do A và E đối xứng qua BC)
⇒
BD = CE (2)
Từ (1) và (2) suy ra BCDE là hình thang cân.
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ

0,5 đ
b/ Kẻ thêm MM’
⊥
d
⇒
MM’ là đường trung bình của hình thang BCC’B’
⇒
BB’ + CC’ = 2MM’
mà MM’
≤
AM
hay 2MM’
≤
2AM = BC
suy ra: BB’ + CC’= 2MM’
≤
BC
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
Bài 5:
(4 đ)
Hình vẽ: 0,5 đ
Kẻ ME
⊥
BD ; QF
⊥
BD ; NI
⊥
BD ; PK

⊥
BD
Ta có: MN
≥
ME + NI
NP
≥
IK
PQ
≥
QF + PK
QM
≥
EF
Gọi p là chu vi tứ giác MNPQ, thì: p = MN + NP + PQ + MQ
⇒
p
≥
ME + NI + IK + QF + PK + EF = (ME + EF + FQ) + (NI + IK + PK)
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
d
//
//
x
x

M'
C'
M
A
B
C
E
D
B'
I
K
F
E
A
D
B
C
M
Q
P
N
Mà các tam giác EBM, FDQ, IBN, KDF vuông cân.
⇒
p
≥
(BE + EF + FD) + (BI + IK + DK) = 2BD = 2 0,5 đ
UBND HUYỆN GIỒNG RIỀNG KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN
PHÒNG GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2013 – 2014
Khóa ngày 17/11/2013
ĐỀ THI MÔN TOÁN LỚP 8

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Bài 1: (4 điểm)
a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n, biểu thức
2 3
3 2 6
n n n
A = + +
luôn có giá trị nguyên
b) Tìm số tự nhiên bé nhất, biết rằng khi chia số đó cho 2011 thì dư là 23, còn khi chia số
đó cho 2013 thì dư là 32.
Bài 2: (5 điểm)
a) Rút gọn biểu thức N =
8 4
4 2
3 4
2
x x
x x
+ +
+ +
b) Cho a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc. Tính giá trị của biểu thức M =
1 1 1
a b c
b c a

   
+ + +
 ÷ ÷ ÷
   
Bài 3: (3 điểm)
a) Cho biểu thức A = x
2
+ y
2
– 6x – 4y + 2026. Tìm giá trị nhỏ nhất của A và giá trị tương
ứng của x, y.
b) Với giá trị nào của hệ số a và b thì đa thức x
3
+ ax + b chia hết cho (x – 1)
2
?
Bài 4: (4 điểm)
Cho tam giác ABC, đường cao AH. Vẽ ở phía ngoài tam giác ấy các tam giác vuông cân
ABD, ACE (với
·
·
0 0
90 , 90ABD ACE= =
). Qua điểm C kẻ đường thẳng vuông góc với BE,
cắt đường thẳng HA tại K.
a) Chứng minh rằng: CD
⊥
BK
b) Chứng minh rằng ba đường thẳng AH, BE và CD đồng quy
Bài 5: (4 điểm)

Cho hình bình hành ABCD. Qua C kẻ đường thẳng xy bất kỳ chỉ có một điểm chung C
với hình bình hành. Gọi A’, B’, D’ lần lượt là hình chiếu của A, B, D trên đường thẳng
xy. Chứng minh rằng: AA’ = BB’ + DD’
HẾT
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN NĂM HỌC 2013 – 2014
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN 8
Câu Nội dung đáp án Điểm
1 (4 đ)
1a
Ta có
2 3 2 3
2 3
3 2 6 6
n n n n n n
A
+ +
= + + =
Phân tích: 2n + 3n
2
+ n
3
= n(2 + 3n + n
2
)
= n[(n
2
+ n) + (2n + 2)]
= n[n(n + 1)+ 2(n+1)]
= n(n + 1)(n + 2)
n(n + 1)(n + 2)

M
2 và n(n + 1)(n + 2)
M
3 mà (2,3) = 1 nên n(n + 1)(n + 2)
M
6
Vậy
2 3 2 3
2 3
3 2 6 6
n n n n n n
A
+ +
= + + =
là bội của 6, hay A luôn có giá trị nguyên
0,25
0,25
0,5
0,5
0,5
1b Gọi n là số tự nhiên cần tìm. Theo đề ta có: n = 2011x + 23 ; n = 2013y + 32
(x, y
∈¥
)
Ta có 2011x + 23 = 2013y + 32
2011 2011 2 9x y y⇔ = + +
Do đó 2y + 9
M
2011
Vì n nhỏ nhất nên ta chọn y là nhỏ nhất

Vậy 2y + 9 = 2011
⇔
2y = 2002
⇔
y = 1001
Khi đó n = 2013.1001 + 32 = 2 015 045
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
0,5
2 (5 đ)
2a
N =
( ) ( )
2 2
4 2
8 4 8 4 4
4 2 4 2 4 2
2
3 4 4 4
2 2 2
x x
x x x x x
x x x x x x
+ −
+ + + + −
= = =
+ + + + + +

( ) ( )
4 2 4 2
4 2
4 2
2 2
2
2
x x x x
x x
x x
+ + + −
= = − +
+ +
1
1
2b ta có a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc
⇔
a
3
+ b
3
+ c
3

- 3abc = 0
⇔

⇔
(a + b + c)(a
2
+ b
2
+ c
2
– ab – ba – ca ) = 0
2 2 2
0
0
a b c
a b c ab bc ca
+ + =

⇔

+ + − − − =


-Nếu a + b + c = 0 thì a + b = -c ; a + c = -b ; b + c = -a
Khi đó M =
1
b a c b a c c a b
b c a b c a
+ + + − − −
× × = × × = −

-Nếu a
2
+ b
2
+ c
2
–ab – bc – ca = 0
⇔
2a
2
+ 2b
2
+ 2c
2
–2ab – 2bc – 2ca = 0
⇔
(a – b)
2
+ (b – c)
2
+ (c – a)
2
= 0
⇔
a = b = c
Khi đó M = (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 8
1
0,25
0,25
0,5

0,25
0,25
0,5
3 (3 đ)
3a A = x
2
+ y
2
– 6x – 4y + 2026 = (x
2
– 6x + 9) + (y
2
– 4y + 4) + 2013 =
= (x – 3)
2
+ (y – 2)
2
+ 2013
2013≥
Vậy minA = 2013
3 0 3
2 0 2
x x
y y
 − = =

⇔ ⇔


− = =



0,25
0,5
0,75
3b Thực hiện phép chia theo cách sắp xếp ta được:
x
3
+ ax + b = (x
2
– 2x + 1)(x +2) + [x(a + 3) + (b – 2)]
để phép chia là chia hết thì đa thức dư :
x(a + 3) + (b – 2) = 0
3 0 3
2 0 2
a a
b b
 + = = −

⇔ ⇔
 
− = =


Vậy a = -3 ; b = 2
0,75
0,75
4 (4 đ) Hình vẽ 0,5
4a
a/Ta có

·
·
0
90KAC ACH= +

(góc ngoài
∆
AHC)

·
·
0
90BCE ACH= +
(gt)
·
·
KAC BCE⇒ =
Mà
·
·
KCA BEC=
(cùng phụ
·
KCE
)
Và AC = CE (gt)
KAC BCE
⇒ ∆ = ∆
(g-c-g)
AK BC

⇒ =
Do đó
KAB CBD
∆ = ∆
(c-g-c)
·
·
AKB BCD⇒ =
Mặt khác:
·
·
0
90AKB KBH+ =
Nên
·
·
0
90BCD KBH+ =
hay CD
⊥
BK
0,25
0,25
0,5
0,25
0,25
0,5
0,5
0,25
0,25

4b b/Xét
KBC∆
có AH, BE, CD là các đường cao nên chúng đồng quy. 0,5
5 (4 đ) Hình vẽ 0,5
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Kẻ OO’
⊥
xy
⇒
AA’//BB’//DD’//OO’
Xét hình thang DBB’D’ có:
'
'// '// ''
OD OB
OO
OO BB DD
=

⇒


là đường trung bình của
hình thang
' '
'
2
BB DD
OO
+
⇒ =
(1)

Xét
'AA C∆
có
'
'// '
OA OC
OO
OO AA
=

⇒


là đường trung bình của tam giác
'
'
2
AA
OO⇒ =
(2)
Từ (1) và (2) suy ra AA’ = BB’ + DD’
1,0
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
_
/
x

x
H
B
C
K
A
E
D
B'
O'
A'
D'
O
B
D
C
A