Bài tập: Tổng và hiệu của hai vecto rất hay(Hình học 10 - Chương I: Vecto)

1
Tổng và hiệu của hai vecto
I/ Tính tổng của các vecto
1. Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD.
a)Tìm tổng của hai vecto
−→
NC và
−→
MC;
−→
AM và
−→
CD;
−→
AD và
−→
NC.
b)Chứng minh rằng
−→
AM +
−→
AN =
−→
AB +
−→
AD
2. Cho hình bình hành ABCD có AC cắt BD tại O. Hãy tính tổng
−→
OA +
−→
OB +

−→
OC +
−→
OD
3. Cho năm điểm A, B, C, D và E. Hãy tính tổng
−→
AB +
−→
BC +
−→
CD +
−→
DE.
4. Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Hãy tính tổng:
−→
OA +
−→
OB +
−→
OC +
−→
OD +
−→
OE +
−→
OF.
II/ Tìm vecto đối, hiệu của hai vecto.
1. Chứng minh rằng −(
−→
a +

−→
b ) = −
−→
a −
−→
b .
2. Chứng minh rằng điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi
−→
IA = −
−→
IB.
3. Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Trên cạnh AC lấy hai điểm E và F sao choAE = EF = FC,
gọi BE giao AM tại điểm N. Chứng minh rằng
−→
NA và
−−→
NM là hai vecto đối nhau.
4. Cho tam giác ABC, gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC.
a)Tìm hiệu
−→
AM −
−→
AN,
−−→
MN −
−→
NC,
−−→
MN −
−→

PN,
−→
BP −
−→
CP.
b)Phân tích
−→
AM theo hai vecto
−−→
MN và
−→
MP.
III/ Chứng minh đẳng thức vecto.
1. Cho sáu điểm A, B, C, D, E, F. Chứng minh rằng
−→
AD +
−→
BE +
−→
CF =
−→
AE +
−→
BF +
−→
CD.
2. Cho năm điểm A, B, C, D, E. Chứng minh rằng :
a)
−→
AC +

−→
DE −
−→
DC −
−→
CE +
−→
CB =
−→
AB. b)
−→
AB +
−→
BC +
−→
CD =
−→
AE −
−→
DE.
3. Cho tam giác ABC, gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC. Chứng minh rằng với O
bất kì ta có:
−→
OA +
−→
OB +
−→
OC =
−−→
OM +

−→
ON +
−→
OP
4. Cho tam giác ABC, gọi A’ là điểm đối xứng của B qua A, B’ là điểm đối xứng của C qua B,
C’ là điểm đối xứng của A qua C. Chứng minh rằng với điểm O bất kì ta có:
−→
OA +
−→
OB +
−→
OC =
−→
OA

+
−−→
OB

+
−−→
OC

.
5. Cho hình bình hành ABCD tâm O. M là điểm tùy ý. Chứng minh rằng:
a)
−→
CO −
−→
OB =

−→
BA. d)
−→
DA −
−→
DB +
−→
DC =
−→
0 .
b)
−→
AB −
−→
BC =
−→
DB. f)
−→
MA +
−→
MC =
−→
MB +
−−→
MD.
c)
−→
DA −
−→
DB =

−→
OD −
−→
OC.
6. Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N là trung điểm của AD và BC. Chứng minh rằng:
a)
−→
AD +
−→
MB +
−→
NA =
−→
0 . b)
−→
CD −
−→
CA +
−→
CB =
−→
0
7. Cho tam giác ABC, bên ngoài tam giác dựng các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng minh
rằng:
−→
RJ +
−→
IQ +
−→
PS =

−→
0 .
8. Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là điểm bất kì trên đường chéo AC. Qua O kẻ các đường thẳng
song song với các cạnh của hình bình hành ABCD. Các đường thẳng này cắt AB và CD tại M và N,
cắt AD và BC tại E và F. Chứng minh rằng:
2
a)
−→
OA +
−→
OC =
−→
OB +
−→
OD.
b)
−→
BD =
−−→
ME +
−→
FN.
9. Cho bốn điểm A, B, C, D bất kì.
a)Chứng minh rằng:
i)
−→
AC +
−→
BD =
−→

AD +
−→
BD ii)
−→
AB +
−→
CD =
−→
AD +
−→
CB iii)
−→
AB −
−→
CD =
−→
AC −
−→
BD
b) Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD và O là trung điểm EF. Chứng minh rằng:
i)
−→
OA +
−→
OB +
−→
OC +
−→
OD =
−→

0 ii)
−→
MA +
−→
MB +
−→
MC +
−−→
MD = 4
−−→
MD
10. Cho ta giác ABC nội tiếp trong đường tròn O, trực tâm H, vẽ đường kính AD.
a)Chứng minh rằng
−→
HB +
−→
H C =
−→
HD
b)Gọi H’ là điểm đối xứng của H qua O chứng minh rằng
−→
HA +
−→
HB +
−→
H C =
−−→
HH

11. Cho tam giác OAB. Giả sử

−→
OA +
−→
OB =
−−→
OM,
−→
OA −
−→
OB =
−→
ON. Khi nào thì M nằm trên đường phân
giác trong của góc

OAB? Khi nào N nằm trên đường phân giác ngoài của góc

AOB?
12. Cho tam giác ABC.
a) Nếu G là trọng tâm ta giác ABC thì
−→
GA +
−→
GB +
−→
GC =
−→
0 .
b)Nếu
−→
IA +

−→
IB +
−→
IC =
−→
0 thì I là trọng tâm tam giác ABC.
13. Cho tứ giác ABCD, biết rằng tồn tại điểm O sao cho OA=OB=OC=OD và
−→
OA +
−→
OB +
−→
OC +
−→
OD =
−→
0 . Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình chữ nhật.
14. Cho tam giác ABC biết rằng tồn tại điểm O sao cho OA=OB=OC và
−→
OA +
−→
OB +
−→
OC =
−→
0 . Chứng
minh rằng tam giác ABC đều.
15. Cho tam giác ABC có |
−→
CA +

−→
CB| = |
−→
CA −
−→
CB|. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông.
IV/Tính độ dài của tổng và hiệu các vecto.
1. Cho tam giác ABC vuông tại A biết AB=a, AC=2a. Tính |
−→
AB +
−→
AC|; |
−→
AB −
−→
AC|.
2. Cho tam giác ABC đều cạnh a. Tính |
−→
AB +
−→
BC|; |
−→
CA −
−→
CB|.
3. Cho tam giác ABC vuông tại A biết AB=a và

B = 60
0
. Tính |

−→
AB +
−→
BC|; |
−→
AB −
−→
AC|.
4. Cho tam giác ABC đều cạnh a, đường cao AH. Tính |
−→
AB +
−→
AC|; |
−→
AB −
−→
AC|; |
−→
AB +
−→
BH|.
5. Cho hình vuông ABCD cạnh a.Tính |
−→
BC +
−→
AB|; |
−→
AB −
−→
AC|.

6. Cho hình thoi ABCD tâm O có cạnh a,

BAD = 60
0
.Tính |
−→
AB +
−→
AD|; |
−→
BA −
−→
BC|; |
−→
OB −
−→
DC|.
7. Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh a.Tính |
−→
OA −
−→
CB|; |
−→
AB +
−→
CD|; |
−→
CD −
−→
DA|.

8. Cho hình chữ nhật ABCD tâm O cạnh là a, b. Chứng minh rằng:
a) Với mọi điểm M ta có
−→
MA +
−→
MC| =
−→
MB +
−−→
MD.
b)|
−→
AB +
−→
AD| = |
−→
AB −
−→
AD|.
|