Xây dựng câu hỏi, bài tập mở và vận dụng vào giảng dạy một số nội dung trong chương trình hình học 11

1

Mở Đầu
1. Lí do chọn đề tài
1.1. ng trc s phát triển và đi lên của đất nước đang đòi hỏi ngành
giáo dục phải đổi mới phương pháp để nâng cao chất lượng dạy và học. Giáo dục
phải tạo nên những con người năng động, sáng tạo có năng lực làm chủ vấn đề và
giải quyết vấn đề. Phương pháp dạy học đóng vai trị to lớn trong kết quả của quá
trình giáo dục. Mỗi phương pháp dạy học sẽ giúp nguời học phát triển trí tuệ và
năng lực theo những hướng khác nhau.

1.2.Trong những năm gần đây việc đổi mới phương pháp dạy học ở nước ta
đã có một số chuyển biến tích cực. Các phương pháp dạy học hiện đại như dạy
học và phát hiện và giải quyết vấn đề, dạy học khám phá, dạy học kiến tạo đã
được một số giáo viên áp dụng ở một góc độ nào đó qua từng tiết dạy, qua từng
bài tập. Những sự đổi mới đó nhằm tổ chức các mơi trường học tập trong đó học
sinh được hoạt động trí tuệ nhiều hơn, có cơ hội để khám phá và kiến tạo tri thức,
qua đó học sinh lĩnh hội bài học và phát triển tư duy cho bản thân họ. Tuy nhiên,
giáo viên vẫn cịn gặp khó khăn trong việc thực hiện các phương pháp dạy học
mới.

1.3. Trong nhà trường phổ thơng, dạy tốn là dạy hoạt động tốn học. Đối
với học sinh có thể xem giải bài tập tốn là một trong các hoạt động chủ yếu của
hoạt động tốn học. Theo G. Polya thì hoạt động giải tốn phải thể hiện được:
“đặc trưng của phương pháp khoa học đó là dự đốn và kiểm nghiệm” ( Dẫn theo
[23, tr .1]). Cách phát biểu bài tốn có thể chỉ ra nhiệm vụ cần thực hiện (như
chứng minh mệnh đề), cũng có thể đặt học sinh vào tình huống mị mẫm, dự
đốn, thử nghiệm và tìm kết quả tức là dạng bài toán mở. Nhưng hiện nay các bài
tập trong sách giáo khoa thường có cấu trúc dạng đóng, đồng thời vấn đề sử dụng
bài tập mở như là phương tiện giáo dục toán học cho học sinh chưa được quan
tâm và khai thác một cách hiệu quả, vì thế người giáo viên gặp khó khăn trong

việc tạo ra một mơi trường học tập trong đó học sinh thực sự tích cực, chủ động,
sáng tạo trong việc tiếp nhận kiến thức.


2

1.4. Qua nghiên cứu lí luận và thực tiễn chúng tôi nhận thấy nếu người giáo
viên biết thiết kế và cấu trúc lại các bài tập trong sách giáo khoa thành dạng bài
tập mở phù hợp với năng lực của học sinh và xem nó như là một phương tiện để
tiến hành các phương pháp dạy học hiện đại thì có thể phát huy được tính tích
cực và khơi dậy được những khả năng tiềm tàng của học sinh, đồng thời qua đó
giáo viên nhận được nhưng thơng tin về năng lực của học sinh một cách chính
xác để kịp thời rèn luyện, khắc phục và sữa chữa những sai lầm.

1.5. Một số tác giả nước ngoài như là Moon và Schulman cũng đã đề cập
đến vấn đề sử dụng câu hỏi, bài tập mở trong dạy học ở trường phổ thơng. Ở Việt
Nam đã có các cơng trình nghiên cứu về bài tốn mở của các tác giả Tơn Thân,
Nguyễn Văn Bàng, Bùi Huy Ngọc, Phan Trọng Ngọ…Tác giả Trần Vui cũng đã
nghiên cứu việc “Khảo sát toán học” thông qua bài tập mở. Gần đây vấn đề sử
dụng bài tập mở cũng đã được bàn tới trong luận án tiến sĩ của tác giả Đặng
Huỳnh Mai, trong luận văn thạc sĩ của mình tác giả Hồ Thị Hồi Ân đã chọn đề
tài về câu hỏi mở cho đối tượng là học sinh đại trà ở lớp 10.

2. Môc đích nghiên cứu
Mục đích của luận văn là nghiên cứu cơ sở lí luận và tính hiệu quả của
việc sử dụng bài tập mở. Đồng thời xây dựng câu hỏi, bài tập mở nh là một
phơng tiện để thực hiện các phơng pháp dạy học hiện đại góp phần nâng
cao hiệu quả dạy học hình học lớp 11, với đối tợng là học sinh khá và giỏi.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
3.1.Tổng hợp một số quan điểm của một số tác giả về cơ sở lí luận của

câu hỏi, bài tập mở.
3.2. Nghiên cứu và phân tích cơ sở lí luận của việc sử dụng câu hỏi, bài
tập mở theo quan điểm dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề, dạy học
khám phá, dạy học kiến tạo.
3.3. Nghiên cứu hệ thống bài tập trong sách giáo khoa hình học lớp 11
và các tài liệu có liên quan để xây dựng câu hỏi, bài tập mở nhằm nâng cao
hiệu quả dạy học hình học 11.
3.4. Thực nghiệm s phạm.
4. Giả thuyết khoa học
Kết hợp với nghiên cứu đặc điểm sách giáo khoa hình học 11 và các vấn đề trong giảng dạy hình học không gian chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của luận văn là: Sử dụng câu hỏi, bài tập mở nhằm nâng cao hiệu quảdạyhọchìnhhọckhônggian ởtrờngTHPT V đố tợ nghiênc làhọcs khávàgiỏi.
. ới i ng
ứu
inh


3
Trên cơ sở chơng trình và sách giáo khoa hiện hành nếu xây dựng đợc
hệ thống câu hỏi, bài tập mở phù hợp với từng nội dung và tổ chức triển
khai dạy học theo hớng sử dụng bài tập mở nh là một phơng tiện để thực
hiện các phơng pháp dạy học không truyền thống thì sẽ góp phần nâng cao
hiệu quả dạy học.
5. Phơng pháp nghiên cứu
5.1. Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các tài liệu thuộc các lĩnh vực:
toán học, phơng pháp dạy học toán, giáo dục học, tâm lí học, các tài liệu và
bài viết có liên quan đến đề tài luận văn.
5.2. Quan sát: Quan sát và nghiên cứu thực tế dạy học toán ở trờng phổ
thông và vấn đề sử dụng câu hỏi, bài tập mở trong dạy học phổ thông. Sử
dụng phiếu thăm dò để đánh giá thực trạng, đồng thời tham khảo ý kiến các
chuyên gia, giáo viên có nhiều kinh nghiệm về vấn đề nghiên cứu.
5.3. Thực nghiệm s phạm: Tổ chức thực nghiệm s phạm để xem xét

tính khả thi và hiệu quả của đề tài nghiên cứu.
6. Cấu trúc của luận văn
Luận văn, ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo và phần
phụ lục có 3 chơng:
Chơng 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn
1.1. Câu hỏi, bài tập đóng, Câu hỏi bài tập mở.
1.1.1. Câu hỏi, bài tập đóng.
1.1.2. Câu hỏi bài tập mở.
1.2. Dạy học sử dụng câu hỏi, bài tập mở nhìn theo quan điểm của các
lí thuyết dạy học hiện đại.
1.2.1. Dạy học sử dụng câu hỏi, bài tập mở theo quan điểm dạy học
phát hiện và giải quyết vấn đề.
1.2.2. Dạy học sử dụng câu hỏi, bài tập mở nhìn theo quan điểm dạy
học kiến tạo.
1.2.3. Dạy học sử dụng câu hỏi, bài tập mở nhìn theo quan điểm dạy
học khám phá.
1.3. Vai trò của câu hỏi, bài tập mở trong việc phát huy tính tích cực,
phát triển năng lực kiến tạo và khám phá kiến thức cho học sinh.
1.3.1. Vai trò của câu hỏi, bài tập mở trong việc phát huy tính tÝch
cùc häc tËp cña häc sinh.


4
1.3.2. Vai trò của câu hỏi bài tập mở trong việc phát triển t duy, năng
lực kiến tạo và khám phá kiến thức cho học sinh.
1.4. Tổ chức dạy học Toán theo hớng sử dụng câu hỏi bài tập mở.
1.5. Ưu điểm và hạn chế khi sử dụng câu hỏi, bài tập mở.
1.5.1. Ưu điểm.
1.5.2. Hạn chế.
1.6. Thực trạng của việc dạy học ở nớc ta hiện nay.

1.7. Khả năng áp dụng câu hỏi, bài tập mở trong dạy học toán ở trờng THPT.
1.8. Kết luận chơng 1.
Chơng 2: Xây dựng câu hỏi, bài tập mở và vận dụng vào

giảng dạy một số nội dung trong chơng trình hình học 11
2.1. Đặc điểm của sách giáo khoa chơng trình hình học 11.
2.1.1. Đặc điểm về nội dung của sách giáo khoa hình học lớp 11.
2.1.2. Đặc điểm liên quan đến vấn đề sử dụng câu hỏi, bài tập mở.
2.2. Xây dựng câu hỏi, bài tập mở trong chơng trình hình học 11.
2.2.1. Câu hỏi, bài tập mở nhằm củng cố khái niệm cho học sinh.
2.2.2. Câu hỏi, bài tập mở nhằm khắc sâu các kiến thức, định lí cho
học sinh.
2.2.3. Câu hỏi, bài tập mở nhằm phát triển nâng cao khả năng giải
toán cho học sinh.
2.3. Kết luận chơng 2.
Chơng 3: Thực nghiệm s phạm
3.1. Mục đích thực nghiệm.
3.2. Nội dung thùc nghiƯm.
3.3. Tỉ chøc thùc nghiƯm.
3.3.1. Chän líp thùc nghiƯm.
3.3.2. H×nh thøc tỉ chøc thùc nghiƯm.
3.4. KÕt ln chung về thực nghiệm.
3.4.1. Đánh giá định tính.
3.4.2. Đánh giá định lợng.
Kết luận của luận văn
Phụ lục: Một số giáo án dạy học theo hớng sử dụng câu hỏi, bài
tập mở


5

Chơng 1

Cơ sở lí luận và thực tiễn
1.1.Câu hỏi, bài tập đóng và câu hỏi, bài tập mở
1.1.1. Câu hỏi, bài tập đóng
Câu hỏi, bài tập đóng là dạng câu hỏi có cấu trúc hoàn chỉnh, ở đây
một câu trả lời đúng luôn đợc xác định rõ ràng theo một mục tiêu cố định
nào đó từ những giả thiết cần thiết đợc cho trong tình huống của bài toán.



Ví dô 1.1. Cho u = (1;2), v = (−4;2). Chøng minh u và v vuông góc.
Ví dụ 1.2. Cho tam giác ABC vuông tại B. SA vuông góc với mặt phẳng
ABC tại A. Chứng minh BC ( ASB ) .
1.1.2. Câu hỏi, bài tập mở
Theo Tôn Thân: Câu hỏi, bài tập mở là dạng bài toán trong đó điều
phải tìm hoặc điều phải chứng minh không đợc nêu lên một cách rõ ràng,
ngời giải phải tự xác định điều ấy thông qua mò mẫm dự đoán và kiểm
nghiệm [28, tr. 43]. Nghiên cứu của Tôn Thân về câu hỏi, bài tập mở chú ý
đến bồi dỡng t duy sáng tạo cho học sinh.
Theo Nguyễn Văn Bàng: câu hỏi, bài tập mở là bài tập có 3 đặc điểm sau:
- Bài tập đợc phát biểu ngắn gọn, dễ hiểu thuộc một lĩnh vực nhận thức
rất quen thuộc.
- Bài tập không quay về áp dụng trực tiếp những thuật toán hay thủ
thuật đà biết, bài tập không có những hớng dẫn về phơng pháp giải do đó
bài tập không nêu cụ thể dạng chứng minh mệnh đề Toán học này khác.
- Ngời giải phải vận dụng các thao tác mò mẫm, dự đoán và thử
nghiệm.
Theo Phan Trọng Ngọ về hình thức câu hỏi có hai loại: Câu hỏi đóng

(có - không hoặc đúng - sai; lựa chọn phơng án đúng, điền thế, ghép đôi,
v.v) và các câu hỏi mở [21, tr. 212].
Bùi Huy Ngọc phát triển thêm: bài tập mà học sinh có tham gia vào
việc xây dựng giả thiết, hay phải chọn lọc hoặc điều chỉnh giả thiết gọi là
bài tập mở về giả thiết (mở đầu vào). Bài tập khi giải phải mò mẫm dự đoán,
biện luận nhiều trờng hợp sẽ thuộc bài tập mở phía kết luận (mở ®Çu ra).


6
Theo Trần Vui: Câu hỏi, bài tập mở là dạng câu hỏi, bài tập trong đó
học sinh đợc cho một tình huống và yêu cầu cho thể hiện lời giải của mình
(thông thờng là dạng viết). Nó có thể sắp xếp từ mức độ đơn giản yêu cầu
học sinh chứng tỏ một công việc, hoặc yêu cầu thêm giả thuyết rõ ràng vào
một tình huống phức tạp, hoặc giải thích các tình huống toán học, viết ra
phơng hớng, tạo ra các bài toán mới có liên quan, tổng quát hoá. Các câu
hỏi mở có thể mở ít hay nhiều phụ thuộc vào bao nhiêu sự hạn chế hoặc phơng diện đợc tính đến. Câu hỏi, bài tập mở thờng có cấu trúc nh thiếu dữ
liệu hoặc các giả thiết và không có thuật giải cố định. Điều đó dẫn đến có
nhiều lời giải đúng cho một bài toán. Giải quyết câu hỏi, bài tập mở đòi hỏi
sự kiến tạo của chính bản thân học sinh [34, tr. 77].
Theo [30, tr.22], bài toán mở có thể có dạng tìm vấn đề và chọn mục
đích hoặc mục đích đà biết tìm phơng pháp giải cũng có thể là dạng tìm
nhiều mục đích ®Ĩ ph¸t triĨn”




VÝ dơ 1.3. Cho u = (a; b) , tìm v sao cho u và v vuông góc.
Ví dụ 1.4. Trong không gian cho mặt phẳng (P) và mặt cầu (O; R). HÃy
xét vị trí tơng đối của (P) và mặt cầu?
Có nhiều ý kiến về dạng cấu trúc của câu hỏi, bài tập mở tuy nhiên,

trong luận văn này chúng tôi chú ý tới dạng câu hỏi, bài tập mở mà để giải
quyết vấn đề học sinh phải thực hiện quá trình dự đoán, mò mẫm, kiểm
nghiệm và dạng bài toán mở mà có thể tạo ra nhiều tình huống và bài toán mới.
Các dạng câu hỏi, bài tập mở có thể từ mức độ đơn giản đến phức tạp
từ việc giải thích các tình huống toán học đến việc tìm ra phơng hớng, tạo ra
các bài toán có liên quan, ở mức độ cao hơn có thể là yêu cầu tổng quát
hoá, khái quát hoá. Câu hỏi, bài tập mở ở mức độ nào còn phụ thuộc vào
các thành tố của quá trình dạy học.
Giải quyết một bài toán mở yêu cầu học sinh phải tiếp cận và làm
thành thạo các bài toán đóng tơng ứng, nắm vững kiến thức cơ bản đồng
thời huy động và cấu trúc lại kiến thức để mở rộng, tìm tòi và phát hiện các
kết quả còn tiềm ẩn.
1.2. Dạy học sử dụng câu hỏi, bài tập mở nhìn theo quan điểm của
các lí thuyết dạy học hiện đại
1.2.1. Dạy học sử dụng câu hỏi, bài tập mở nhìn theo quan điểm của
lí thuyết dạy học phát hiện và giải quyết vÊn ®Ị


7
Theo các nhà tâm lý học, con ngời chỉ bắt đầu t duy tích cực khi nảy
sinh nhu cầu t duy, tức là khi đứng trớc một khó khăn về nhận thức cần phải
khắc phục, một tình huống gợi vấn đề, hay nói nh Rubinstein: "T duy sáng
tạo luôn bắt đầu bằng một tình huống gợi vấn đề".
Trong dạy học, một vấn đề biểu thị bởi một hệ thống những mệnh đề
và câu hỏi (hoặc yêu cầu hành động) thoả mÃn hai điều kiện sau:
- Học sinh cha giải đáp đợc câu hỏi đó hoặc cha thực hiện đợc hành
động đó.
- Học sinh cha đợc học một quy tắc có tính chất thuật toán nào để giải
đáp câu hỏi hoặc thực hiện yêu cầu đặt ra. Hiểu theo nghĩa trên thì vấn đề
không đồng nghĩa với bài tập. Những bài tập chỉ yêu cầu học sinh trực tiếp

vận dụng một quy tắc có tính chất thuật toán thì không phải là những tình
huống có vấn đề, ví dụ đối với học sinh THPT giải phơng trình: x2 -5x + 4 =
0 không phải là tình huống có vấn đề.
Tính huống gợi vấn đề là một tình huống gợi ra cho học sinh những
khó khăn về lý luận hay thực tiễn mà họ thấy cần thiết và có khả năng vợt
qua, nhng không phải là ngay tức khắc nhờ một quy tắc có tính chất thuật
toán, mà phải trải qua một quá trình tích cực suy nghĩ, hoạt động để biến
đổi đối tợng hoạt động hoặc điểu chỉnh kiến thức sẵn có. Nh vậy, một tình
huống có vấn đề cần thoả mÃn các điều kiện sau:
- Tồn tại một vấn đề: Tính huống phải bộc lộ mâu thuẫn giữa thực tiễn
với trình độ nhận thức, chủ thể phải ý thức đợc một khó khăn trong t duy
hoặc hành động mà vốn hiểu biết sẵn có cha đủ để vợt qua.
- Gợi nhu cầu nhận thức, tức là ngời học sinh phải cảm thấy sự cần
thiết, thấy mình có nhu cầu giải quyết. Tốt nhất là tình huống gây đợc "cảm
xúc" làm cho học sinh ngạc nhiên, thấy hứng thú mà mong muốn giải quyết.
- Gây niềm tin ở khả năng: Nếu một tình huống tuy có vấn đề và vấn
đề tuy hấp dẫn, nhng nếu học sinh cảm thấy nó vợt quá xa so với khả năng
của mình thì họ cũng không sẵn sàng giải quyết. Cần làm cho học sinh thấy
rõ tuy họ cha có ngay lời giải, nhng đà có một số kiến thức, kỹ năng liên
quan đến vấn đề đặt ra và họ tin rằng nếu tích cực suy nghĩ thì sẽ giải quyết
đợc.
Theo tác giả Nguyễn Bá Kim: "Tri thức không phải là điều có thể dễ
dàng cho không. Để dạy một tri thức nào đó, thầy giáo thờng không thể trao
ngay cho học sinh điều thầy muốn dạy, cách làm tốt nhất thờng là cài đặt tri


8
thức đó vào những tình huống thích hợp để học sinh chiếm lĩnh nó thông
qua hoạt động tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo.
Giới thiệu bài toán với t cách là một tình huống gợi vấn đề với mục

đích làm cho vấn đề trở nên hấp dẫn tạo khả năng kích thích hoạt động tích
cực của học sinh.
Nh vậy trong dạy học giải quyết vấn đề ta thấy:
+ Học sinh đợc đặt vào tình huống gợi vấn đề chứ không phải là thông
báo tri thức dới dạng có sẵn.
+ Học sinh hoạt động tích cực, chủ động, tận lực huy động tri thức và
khả năng của mình để phát hiện và giải quyết vấn đề.
+ Mục tiêu dạy học không phải là chỉ làm cho học sinh lĩnh hội kết
quả của quá trình phát hiện và giải quyết vấn đề mà còn ở chỗ làm cho họ
phát triển khả năng tiến hành những quá trình nh vậy. Nói cách khác học
sinh đợc học bản thân của việc học.
Điều quan trọng trong dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề không
phải là nêu lên các câu hỏi mà là cách đặt câu hỏi nh thế nào để tạo ra
các tình huống có vấn đề.
Từ việc nghiên cứu bản chất của câu hỏi, bài tập mở chúng tôi cho
rằng nếu ngời giáo viên biết đặt ra các câu hỏi, bài tập mở phù hợp thì khi
đó cũng đồng thời ta đợc những tình huống có vấn đề và trong quá trình giải
quyết vấn đề vừa đợc đặt ra thì câu hỏi và bài tập mở sẽ giúp học sinh tìm ra
đợc những vấn đề mới từ đó tiếp nhận kiến thức một cách tích cực và chủ
động hơn.
Ví dụ 1.5. Sau khi học khái niệm hai véctơ cùng phơng giáo viên có thể
nêu câu hỏi sau.

r r

r

r

r

Cho hai vectơ u , v và hai số thực a, b thoả m·n a.u + b.v = o .

r r

Hai vect¬ u , v có cùng phơng không?
Với câu hỏi này giáo viên có thể nhận đợc nhiều phản hồi từ phía học
sinh bởi qua những câu trả lời khác nhau.

r r

Có những học sinh trả lời vectơ u , v cùng phơng, còn có những học
r r
sinh cho rằng hai vectơ u , v không cùng phơng, và có thể có những học
sinh xét đợc những trờng hợp của các số a, b, và đa ra đợc kết luận đúng
trong từng trờng hợp. Điều quan trọng là qua đó giáo viên đánh giá đợc khả


9
năng phân tích, suy luận của học sinh và khắc sâu đợc khái niệm véctơ
không và hai vectơ cùng phơng.
Trong giờ luyện tập về quan hệ vuông góc giáo viên có thể nêu cho học
sinh câu hỏi với độ mở lín nh sau
VÝ dơ 1.6. Trong mét tø diƯn c¸c đờng cao có đồng quy không?
Với câu hỏi này học sinh có thể liên tởng tới tính đồng quy của 3 đờng
cao trong tam giác và cho rằng các đờng cao trong tứ diện đồng quy.
Tuy nhiên, có những học sinh đa ra ví dụ về những tứ diện mà đờng
cao không đồng quy. Khi đó vấn đề mới đặt ra cho học sinh là tứ diện nào
thì các đờng cao ®ång quy?”
VÝ dơ 1.7. Ta xÐt vÝ dơ vỊ dạy học giải quyết vấn
S

đề với câu hỏi mở.
Bài toán 1. (h×nh 1) Cho h×nh chãp S . ABCD , đáy
ABCD là hình vuông, SA vuông góc với (ABCD).
K
Dựng đờng vuông góc chung của AD và SB.
D
A
Trong bài toán này häc sinh cã thĨ nh×n thÊy
H×nh 1
AD ⊥ SB . Tõ A dùng AK ⊥ SB suy ra AK lµ đoạn
C
B
vuông góc chung của AD và SB.
Bài toán 2. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành,

SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). HÃy xác định đờng vuông góc
chung của AD và SB. (hình 2)
Trong bài toán 2, AD không vuông góc với SB. Vì vậy, không
dựng trực tiếp đợc đoạn AK nh trong bài toán 1, nên tình huống gợi ra
thực sự là tình huống có vấn đề.
Trong bài toán 1 ta thấy

AK ( SBD ) ,

S

suy

ra AK sẽ vuông góc với mọi đờng nằm
trong mặt phẳng (SBD).

Từ nhận xét đó ta có thể xác định đợc
phơng của đờng vuông góc chung của AD và
SB trong bài toán 2 không?

M

K
A

Với câu hỏi này học sinh có thể sẽ nghĩ

Hình 2

N

đến dựng B trên BC sao cho AB ' ⊥ BC . Gäi
B

B'

C

D


10

AK là đoạn vuông góc chung của SB ' và AD . Khi đó đờng vuông góc
chung của AD và SB sẽ song song với AK.
Ta có thể dựng đoạn vuông góc chung của AD và BS nh thế nào?

Từ K dựng đờng thẳng song song với AD cắt BS tại M. Từ M kẻ đờng
thẳng song song AK cắt đờng thẳng AD tại N. Khi đó MN là đoạn vuông
góc chung của AD và SB.
Trong bớc vận dụng bài toán ta có thể nêu các câu hỏi sau:
Xét vị trí tơng đối của mặt phẳng (SAB ) và AD?
Đờng SB và SB có mối quan hệ gì ?
d
Từ đó có thể nêu quy trình dựng đoạn vuông góc
2

N

chung của hai đờng thẳng d1 , d 2 chéo nhau không ?

d1

Ta đi đến quy trình sau:

M

Hình 3


Trờng hợp 1. Nếu d1 ⊥ d 2 . (h×nh 3)
Gäi ( α ) là mặt phẳng qua d1 và vuông góc với d2

tại M. Dùng MN vu«ng gãc víi d1 ta suy ra MN là đoạn vuông góc chung
của d1 và d2.
d1
d

2

Trờng hợp 2. d1 , d 2 không vuông góc. (hình 4)

M

Từ bài toán 2, học sinh có thể nêu ra cách

d3
A

dựng đoạn vuông góc chung của d1 , d 2 nh sau.
+ Bớc 1. Xác định ( ) vuông góc với d1 và
cắt d1 tại điểm A. Gọi d3 là hình chiếu của d2 lên ( )

N



K

Hình 4

.
+ Bớc 2. Dựng đoạn vuông góc chung AK của d1 và d3 nh trờng hợp 1.
+ Bớc 3. Dựng đờng thẳng qua K song song với d1 cắt d2 tại N. Từ N kẻ
đờng thẳng song song với AK cắt d 1 tại M. Chứng minh MN là đoạn vuông
góc chung của d1 và d2.
Khi đó giáo viên yêu cầu học sinh nhìn lại bài toán 2 theo cách dựng vừa nêu.
Nh vậy dạy học theo hớng sử dụng câu hỏi, bài tập mở tơng thích với

dạy học giải quyết vấn đề. Các câu hỏi, bài tập mở thông thờng chứa
đựng các tình huống có vấn đề trong Toán học.


11
1.2.2. Dạy học sử dụng câu hỏi, bài tập mở nhìn theo quan điểm của
lí thuyết dạy học kiến tạo
Theo lÝ thut kiÕn t¹o nhËn thøc cđa Jean Piaget:
Häc tËp là quá trình cá nhân hình thành các tri thức. Tri thức đợc học
sinh tiếp thu một cách chủ động, sáng tạo và phát triển chứ không phải tiếp
nhận một cách thụ động từ bên ngoài. Nhận thức là quá trình thích nghi và
tổ chức lại thế giới quan của mỗi ngời nhng không phải khám phá một thế
độc lập tồn tại bên ngoài ý thức con ngời.
- Jean Piaget cho rằng: cấu trúc nhận thức có chức năng tạo sù thÝch
øng cđa c¸ thĨ víi c¸c kÝch thÝch cđa môi trờng. Các cấu trúc nhận thức có
đợc hình thành theo cơ chế đồng hoá và điều ứng [21, tr. 58].
+ Đồng hoá là quá trình chủ thể tái lập lại một số đặc điểm của khách
thể đợc nhận thức vào các cấu trúc đà có trớc đó.
+ Điều ứng là quá trình thích nghi và biến đổi những đặc điểm của
khách thể vào cái đà có tạo ra cấu trúc mới.
Đồng hoá dẫn đến sự tăng trởng các cấu trúc đà có trớc đó còn điều
ứng tạo các cấu trúc kiến thức mới
Quá trình thu nhận tri thức mới của học sinh có đợc theo sơ đồ sau:
Tri thức đà có Dự đoán Kiểm nghiệm Thích nghi (nếu thành công) Kiến thức mới
Thất bại Dự đoán khác

Ta thấy rằng những câu hỏi, bài tập mở có độ mở ít tạo điều kiện
củng cố các khái niệm hoặc khắc sâu kiến thức cho học sinh.

r r

rr

Ví dụ 1.8. Xác định góc giữa hai vectơ u , v biết u.v = 0
Với câu hỏi này thì giáo viên sẽ cũng cố đợc cho học sinh khái niệm
hai vectơ vuông góc và vectơ không.
Còn những câu hỏi, bài tập mở với độ mở nhiều sẽ tạo điều kiện
để học sinh thực hiện quá trình điều ứng kiến thức và thu nhận kiến thức mới.
Ví dụ 1.9. Cho ABCD là tứ diện gần ®Òu AB = CD = a, BC = AD = b,
CA = BD = c. T×m thĨ tÝch tø diƯn theo a, b, c. (hình 5)
Rõ ràng có nhiều định hớng tìm lời giải cho bài toán trên. Tuy nhiên ta
giả sử bài toán trên đợc nêu lên sau khi häc sinh biÕt c¸ch tÝnh thĨ tÝch cđa
tø diƯn DMNP có 3 góc phẳng ở đỉnh D vuông.


12
Ban đầu học sinh có thể nghĩ tới tính thể tích ABCD theo công thức
V =

1
S .h nhng sẽ gặp khó khăn với việc tính
3

D

đờng cao buộc học sinh phải cấu trúc lại kiến
thức để tìm cách tính.
C
Khi đó giáo viên có thể nêu các câu hỏi M
P

mở để học sinh thực hiện quá trình điều ứng
B
A
Hình 5
kiến thức.
N
Có thể tìm sự liên hệ giữa tứ diện ABCD
với một hình nào đó đà tính đợc thể tích hay
không?
Nếu DMNP là tứ diện vuông đỉnh D ta có thể dựng đợc một tứ diện
gần đều có quan hệ đặc biệt với tứ diện đà cho không?
Từ đó học sinh có thể tìm ra nhận xét.
Gọi A, B,C lần lợt là trung ®iĨm cđa MN, NP, MP.
1
4

Khi ®ã ta cã ABCD lµ tứ diện gần đều và V ABCD = VDMNP .
Mặt kh¸c nÕu AB = CD = a, BC = AD = b, CA = BD = c
Sư dơng hƯ thøc Pitago ta tính đợc
DM = 2(a 2 + b 2 − c 2 ) ,

Suy ra V ABCD =

DN = 2(c 2 + b 2 − a 2 ) , DP = 2(c 2 + a 2 − b 2 )

1
2( a 2 + b 2 − c 2 )(b 2 + c 2 − a 2 )(a 2 + c 2 − b 2 ) .
12

Ta thÊy c©u hái, bài tập mở là tình huống mang tính kiến tạo, đặt ra

cơ hội kiến tạo kiến thức cho học sinh. Có thể nói rằng dạy học sử dụng
câu hỏi, bài tập mở là tơng thích với dạy học kiến tạo.
1.2.3. Dạy học sử dụng câu hỏi, bài tập mở nhìn theo quan điểm của
lí thuyết dạy học khám phá
Jerome Bruner đà đễ xuất mô hình dạy học khám phá đợc đặc trng bởi
các yếu tố cơ bản sau đây:
a. Hành động tìm tòi khám phá của học sinh.
Theo Jerome Bruner, học sinh phải là ngời tự lực, tích cực hành động
tìm tòi, khám phá đối tợng học tập để hình thành cho mình các nguyên tắc,
các ý tởng cơ bản từ các tình huống học tập cụ thể. Trong học tập khám phá
cho phép ngời học đi qua các giai đoạn các hình thức học tập sau: đầu tiên


13
là các hành động phân tích trên cơ sở các kiến thức và các vấn đề nêu ra.
Trên cơ sở đó thực hiện các bớc chuyển di các nguyên tắc, các kiến thức đÃ
có vào các tình huống, và cuối cùng rút ra đợc các kết quả.
b. Cấu trúc của vấn đề
Cấu trúc tối u của nhận thức với đặc tính là sự tối giản hoá các thông
tin, khả năng tìm ra đợc sự kiện mới, hiểu biết rộng hơn những thông tin đÃ
cho và khả năng vận dụng kiến thức đà học vào giải uyết các vấn đề.
Tính đơn giản hoá các thông tin giúp ngời học nhận ra đợc cái chung,
cái riêng, nhận ra đợc tính đặc trng của vấn đề. Khả năng sinh ra cái mới
chính là khả năng tìm ra đợc sự kiện mới, hiểu biết sâu và rộng hơn những
thông tin đà cho, khả năng vận dụng kiến thức đà học đợc vào việc giải
quyết các tình huống riêng. Theo Jerome Bruner có hai loại ứng dụng cấu
trúc: Loại thứ nhất là chuyển di các mối liên tởng, các kĩ năng hay kĩ xảo
mẫu đà tiếp thu đợc sang các liên tởng, kĩ năng gần giống với nó. Loại thứ
hai là chuyển di các nguyên tắc, các thái độ đà có vào các tình huống khác
nhau [21, tr. 61]. Về cơ bản đây là học một ý tởng để dùng làm cơ sở cho

việc triển khai các vấn đề cụ thể sau đó. Jerome Bruner cho rằng, loại
chuyển di này là trọng tâm của quá trình dạy học. Đó là sự mở rộng và đào
sâu không ngừng kiến thức theo những ý tởng, nguyên tắc tổng quát và cơ bản.
c. Đánh giá quá trình khám phá của học sinh
Jerome Bruner đề nghị phân biệt trạng thái thành công hay thất bại
trong quá trình khám phá với sự thởng phạt. Đôi khi quá trình khám phá
của học sinh không đạt đợc kết quả nh mong muốn nhng những gì học sinh
thu đợc trong quá trình trải nghiệm đó có thể rất tốt và bổ ích. Do đó trong
dạy học cần phả trả lại chức năng ban thởng của sự thành công hay thất bại
của ngời học. Ngời học tự thởng hay phạt bằng cách đánh giá những cố
gắng của mình khi độc lập giải quyết vấn đề. Đừng để học sinh đánh mất
niềm vui đích thực của việc học.
Học tập là quá trình lĩnh hội những tri thức mà loài ngời đà tích lũy đợc. Trong học tập, học sinh cũng phải đợc khám ra những hiểu biết mới đối
với bản thân. Học sinh sẽ thông hiểu, ghi nhớ và vận dụng linh hoạt những
gì mà mình đà nắm đợc qua hoạt động chủ động tự lực khám phá của chính
mình. Tới một trình độ nhất định thì sự học tập tích cực, sự khám phá sẽ
mang tính nghiên cứu khoa học và ngời học cũng tạo ra những tri thức mới
cho khoa học.


14
Khác với khám phá trong nghiên cứu khoa học, khám phá trong học
tập không phải là một quá trình tự phát mà là một quá trình có hớng dẫn của
giáo viên, trong đó giáo viên khéo léo đặt học sinh ở địa vị ngời phát hiện,
ngời khám phá lại những tri thức. Giáo viên không cung cấp những kiến
thức mới bằng phơng pháp thuyết trình, giảng giải mà bằng phơng pháp tổ
chức các hoạt động khám phá để học sinh tự lực khám phá tri thức mới.
Hoạt động khám phá trong học tập có nhiều dạng khác nhau, từ trình
độ thấp lên trình độ cao tùy theo năng lực t duy của ngời học và đợc tổ chức
thực hiện theo cá nhân, nhóm nhỏ hoặc nhóm lớn, tùy theo mức độ phức tạp

của vấn đề cần khám phá.
Các dạng hoạt động khám phá trong học tập có thể là:
- Trả lời câu hỏi.
- Thử nghiệm, đề xuất giả thuyết, phân tích nguyên nhân, thông báo
kết quả.
- Thảo luận, tranh luận một vấn đề nêu ra hoặc giải các bài toán.
Quyết định hiệu quả học tập là những gì học sinh làm chứ không phải
những gì giáo viên làm. Vì vậy giáo viên phải tập trung vào thiết kế các
hoạt động của học sinh. Tuy nhiên, cũng không nên có tham vọng biến toàn
bộ nội dung bài học thành chuỗi các hoạt động khám phá. Số lợng hoạt
động và mức độ t duy đòi hỏi ở mỗi họat động trong một tiết học phải phù
hợp với trình độ học sinh để có đủ thời lợng để thầy trò thực hiện hoạt động
khám phá.
Mỗi câu hỏi, bài tập mở là một tình huống toán học và kích thích
hoạt động khám phá của häc sinh vµ më ra nhiỊu híng cđa mét chđ đề
có ý nghĩa. Giáo viên sử dụng câu hỏi, bài tập mở giúp học sinh phát huy đợc hết khả năng toán học của mình và cho phép học sinh tiếp cận và khám
phá vấn đề theo cách mà các em chän.
VÝ dơ 1.10. Ta xÐt vÝ dơ sau vỊ dạy học khám phá nhờ các câu hỏi mở.
Bài tập 72 trang 64 sách bài tập hình học 11. (hình 6)
Cho hình chóp S. ABC và điểm M nằm trong tam giác ABC. Các đờng
thẳng qua M lần lợt song song với các đờng thẳng SA, SB, SC, cắt các mặt
phẳng (SBC), (SCA), (SAB) tại A1 , B1 , C1 .


15
a. Gọi N là giao điểm của SA1 và BC , chứng minh các điểm A, M, N
thẳng hàng, từ ®ã suy ra c¸ch dùng ®iĨm A1 .
b. Chøng minh

MA1 HM

=
.
SA
HA
S

MA1 MB1 MC1
c. Chứng minh
+
+
=1.
SA
SB
SC

Ta phát biểu bài toán trên thành bài toán mở
nh sau:
Cho hình chóp S. ABC và điểm M nằm trong
tam giác ABC. Các đờng thẳng qua M lần lợt
song song với các đờng thẳng SA, SB, SC, cắt

C1
A1

A

K

C

E

M

N

các mặt phẳng (SBC), (SCA), (SAB) tại A1 , B1 , C1 .

Hình 6

a. HÃy nêu cách dựng điểm A1 , B1 , C1 , và
giải thích cách dựng đó.

B

b. Tìm mối liên hệ giữa các hệ thức

MA1 MB1 MC1
,
víi S MAB , S MAC ,
,
SA
SB SC

S MCB , S ABC ? Cã nhËn xÐt g× vỊ tỉng

MA1 MB1 MC1
+
+
?

SA
SB
SC

c. Tồn tại hay không điểm M để cho tích

MA1 MB1 MC1
.
.
đạt giá trị
SA
SB
SC

lớn nhất?
Để giải quyết bài toán trên giáo viên có thể kết hợp nhiều câu hỏi dới
các hình thức kiến tạo, giải quyết vấn đề hoặc khám phá.
Do MA1 // SA nên có mp( MA1 , SA ), gọi N là giao điểm của
mp( MA1 , SA ) và BC. Từ đó suy ra cách dựng điểm A1 .
Do MA1 // SA ta suy ra điều gì ?
Khi đó học sinh có thể tìm ra đợc hệ thức
Tìm hệ thức liên hệ giữa
chứng minh hệ thức đó.

NM
với
NA

MA1 NM
=

SA
NA

S MAB , S MAC , S MCB vµ S ABC ? H·y


16

Khi đó học sinh đa ra và chứng minh đợc hƯ thøc
Suy ra

MA1 S MBC
=
. T¬ng tù
SA
S ABC

MB1 S MAC
.
=
S ABC
SB

NM S MBC
=
NA S ABC

MC1 S MBA
=
.

SA
S ABC

Tõ ®ã häc sinh ®i ®Õn kÕt luËn
S
MA1 MB1 MC1
S
S
+
+
= MBC + MAC + MBA ⇒
SA
SB
SC
S ABC S ABC S ABC
Do tæng

MA1 MB1 MC1
+
+
=1
SA
SB
SC

MA1 MB1
MA1 MB1 MC1
+
+
=1 nên để tìm GTLN của

.
.
SA
SA
SB
SB
SC

MC1
ta sẽ liên hệ đến BĐT nào?
SC

Với câu hỏi đó học sinh có thể tìm ra cách sau nhờ BĐT Cauchy.
3

MA1 MB1 MC1 
3
MA1 MB1 MC1  SA + SB + SC 
 = 1 = 1
.
.
≤
 
SA


SB
SC
3
27

 3





DÊu = x¶y ra khi
Suy ra

MA1 MB1 MC1 1
=
=
=
SA
SB
SC 3

NM
KM EM 1
=
=
= . Hay M là trọng tâm của tam giác ABC.
NA
KB
EC 3

Qua ví dụ ta thấy giáo viên có thể kết hợp câu hỏi, bài tập mở cùng với
các câu hỏi định hớng để dẫn dắt học sinh tìm tòi và khám phá kiến thức.
Việc giải toán là một yêu cầu rất quan trọng đối với học sinh. Do vậy
khi dạy học sinh giải toán, giáo viên không chỉ đơn thuần cung cấp lời giải

mà quan trọng hơn là dạy cho học sinh biết cách suy nghĩ tìm ra con đờng
hợp lý để giải toán. Bởi theo G. Pôlya: "Tìm đợc cách giải một bài toán là
một điều phát minh".
Trong quá trình giải một bài toán cụ thể nào đó, lẽ đơng nhiên không
cần huy động đến mọi kiến thức mà ngời giải đà thu thập, tích luỹ đợc từ trớc.
Giáo viên thông qua các câu hỏi mở để rèn luyện khả năng huy động
đến những kiến thức nào, cần xem xét đến những mối liên hệ nào. Ngời giải
toán đà tích luỹ đợc những tri thức ấy trong trí nhớ, giờ đây rút ra và vận


17
dụng một cách thích hợp để giải bài toán. G. Pôlya gọi việc huy động có
chọn lọc các tri thức thích ứng với bài toán đang giải là sự tổ chức.
Nh vậy ta có thể xem câu hỏi, bài tập mở là phơng thức truyền tải hiệu
quả vấn đề mà giáo viên muốn học sinh tìm tòi, đó cũng là cách để kích
thích khả năng khám phá của học sinh.
1.3. Vai trò của câu hỏi, bài tập mở trong việc phát huy tính tích
cực, phát triển năng lực kiến tạo và khám phá kiến thức cho học sinh
1.3.1. Vai trò của câu hỏi, bài tập mở trong việc phát huy tính tích
cực học tập của học sinh
+ Học là hoạt động tích cực, tự lực, sáng tạo của học sinh. Bất kì hoạt
động nhận thức nào trong đó có sự học là một quá trình tích cực. kiến thức
chỉ thực sự là kiến thức khi nào nó là thành quả của những cố gắng t duy
chứ không phải là trí nhớ [13, tr.18], học sinh không bao giờ nắm kiến
thức một cách thực sự nên không có sự tham gia tích cực của hoạt động t
duy. Đặc biệt việc nắm kiến thức toán học không đơn giản là việc học thuộc
lòng không thể chỉ dạy giải bài tập mà chỉ có thể học giải bài tập. Nhiều
học sinh giải bài tập theo mẫu mà không hiểu bản chất cách giải. Đó cũng
là một trong những nguyên nhân học kém môn toán.
Để nắm đợc kiến thức toán học học sinh cần phải hiểu nó, muốn thế

học sinh phải có những cố gắng, hứng thú học tập nhất định. việc nắm
kiến thøc diƠn ra t theo møc ®é biĨu lé tÝnh tích cực của trí tuệ và lòng
ham hiểu biết của mỗi em [13, tr. 19].
+ Tính tích cực của nhận thức là thái độ cải tạo của chủ thủ thể đối với
khách thể thông qua sự huy động cao của các chứcc năng tâm lí nhằm giải
quyết vấn đề học tâp, nhận thức.
Tính tích cực nhận thức đối với học sinh đòi hỏi phải có những nhân
tố, tính lựa chọn, thái độ đối với đối tợng nhận thức. Đề ra cho học sinh
mục đích nhiệm vụ cần giải quyết sau khi đà lựa chọn đối tợng cải tạo trong
hoạt động. Nếu hoạt động thiếu những nhân tố có tính lựa chọn thái độ đối
với nhận thức thì chỉ thể hiện trạng thái hành động nhất định của con ngời
mà không thĨ nãi ®Õn tÝnh tÝch cùc nhËn thøc. VÝ dơ: giáo viên giải bài tập
bằng cách ghi lên bảng cho học sinh chép vào vở, nhiều học sinh sẽ không
hiểu gì cả, vì học sinh không thể hiện thái độ cải tạo đối với điều đó.
Hiện tợng tích cực và trạng thái hoạt động bình thờng có thể giống
nhau về bề ngoài nhng khác nhau về bản chất. Trong giờ häc to¸n häc sinh


18
có thể chăm chú nghe thầy, ghi chép tất cả những điều đà có trên bảng,
thậm chí có nhiều em cố gắng học thuộc lòng các quy tắc, định lí nhng cha
hẳn đà thể hiện thái độ tích cực trong học tập. Tính tích cực chỉ đợc thể hiện
trong hoạt động cải tạo, đòi hỏi phải thay đổi, phải có tình huống mà trớc
tiên là trong ý thức của chủ thể hành động. Chỉ có kích thích sự hoạt động
nhận thức của học sinh và nâng cao những cố gắng của bản thân các em
trong việc vững kiến thức ở tất cả các giai đoạn dạy học mới có thể cải thiện
đợc kết quả học tập.
Ngời ta phân tính tích cực theo ba cấp độ khác nhau trong hoạt động
nhận thức.
- Tính tích cực tái hiện dựa vào trí nhớ và t duy tái hiện. Tính tích cực

này chỉ phát huy trong khi hoạt động có ý thức, hoạt động này phục vụ cho
sự vận động tiếp theo nào đó.
- Tính tích cực tìm tòi đợc đặc trng bằng sự bình phẩm, phê phán. cố
gắng cao về mặt nhận thức, sự khao khát hiểu biết, vơn lên trong học tập.
Tính tích cực này không bị hạn chế bởi yêu cầu của giáo viên trong giờ học.
- Tính tích cực sáng tạo là mức độ cao nhất của tính tích cực. Nó đặc trng
bằng sự khẳng định con đờng riêng của mình mang tính sáng tạo, không chấp
nhận theo con đờng củ, phát kiến những giá trị mới trong nhận thức.
Trong dạy học toán tính tích cực đều có thể biểu hiện ở ba cấp độ tuỳ
thuộc vào nội dung, phơng pháp dạy học và đối tợng học sinh. Chúng tôi cho
rằng câu hỏi, bài tập mở có thể phát huy tốt cấp độ tìm tòi và sáng tạo.
Tính tích cực của nhận thức chỉ đợc bắt đầu khi mà ta đặt học sinh trớc
một hình huống có vấn đề. Vì thế trong giờ học giáo viên chú ý nÃy sinh thờng
xuyên các vấn để kích thích tính tích cực học tập của học sinh. Nếu nh bài tập
đóng thờng áp dơng trùc tiÕp kiÕn thøc, vËn dơng c¸c phÐp tÝnh, công thức,
hoặc dễ định hớng lời giải thì câu hỏi, bài tập mở thờng đa học sinh đến
thình huống mới lạ, kích thích sự tìm kiếm kết quả và cách thức giải quyết
vấn đề.
Theo Kharlamov học là quá trình chủ thể của quá trình nhận thức (học
sinh) tự biến đổi mình, bằng cách chọn lọc, tiếp nhận và xử lí thông tin lấy
từ môi trờng xung quanh, con đờng tiếp nhận và biến đổi tri thức, hình
thành kĩ năng của chủ thể là thông qua các hoạt động, các mối giao lu, tơng
tác giữa các cá nhân với nhau hay tập thể hoặc giáo viên. Ta có thể thấy
rằng bản thân khái niệm học đà nói lên yêu cầu về tÝnh tÝch cùc cđa chđ thĨ


19
nhận thức. Sẽ không có một tri thức nào đợc hình thành, không có kĩ năng
nào đợc phát triển nếu ngời học không hoạt động tích cực ở mức độ nhất
định. Bản thân nguồn tri thức phải chứa đựng những u tè kÝch thÝch tÝch

cùc cđa chđ thĨ khi hä đà sẵn sàng tiếp nhận nó. Vì vậy nói đến phát huy
tính tích cực học tập của học sinh thì thầy giáo phải làm cho nguồn tri thức
phát triển ở mức độ cần thiết và làm tăng tính tích cực bằng những kích
thích bên trong cấu trúc của bài toán trong quá trình dạy học. Câu hỏi, bài
tập mở có ®iỊu kiƯn kÝch thÝch tÝnh tÝch cùc theo híng ®ã.
Nh vậy trong quá trình dạy học giáo viên có thể tìm cách thay đổi cấu
trúc của bài toán từ bài toán từ dạng đóng sang dạng mở để phát huy tính
tích cực của học sinh.
Ví dụ 1.11. Trong chơng trình hình học phẳng ta có.
Bài toán 1. Cho tam giác OBC, đờng thẳng d cắt OB, OC lần lợt tại các
điểm B1, C1. (hình 7)
Chứng minh

SOB1C1
SOBC

=

OB1 OC1
.
OB OC

O

HÃy phát biểu bài toán tơng tự trong không gian?
Câu hỏi này sẽ kích thích học sinh đi tìm sự tơng
ứng từ phẳng lên không gian.
Đờng thẳng tơng ứng với mặt phẳng
Tam giác t¬ng øng víi chãp
DiƯn tÝch t¬ng øng víi thĨ tÝch.

Häc sinh có thể nghĩ đến mệnh đề sau.
Bài toán 2. Cho hình chóp O.ABC, nếu mặt
phẳng (P) cắt các cạnh OA, OB, OC, tại A1, B1, C1
thì

VOA1B1C1
VOABC

=

OA1 OB1 OC1
. (hình 8)
.
.
OA OB OC

C1
B1

Hình 7
C

B

O
C1

A1

B1

A

Ta thấy câu hỏi, bài tập mở nếu đợc sử dụng
một cách hợp lí sẽ góp phần gợi động cơ, tích cực
hoá các hoạt động học tập của học sinh .
Ví dụ 1.12. Bài toán 1. Cho hai đờng thẳng a,

Hình 8
B

b chéo nhau. Tồn tại hay không mặt phẳng ( ) , ( ) lần
lợt chøa a, b vµ song song víi nhau ? ( h×nh 9).

b
β

a
α

C


20
Học sinh có thể trả lời câu hỏi này bằng cách dựng ( ) và ( ) .
Từ đó giáo viên có thể tiếp tục nêu các câu hỏi mở để phát huy tính
Hình 9
tích cực cho học sinh.
Cho tứ diện ABCD, qua các cặp cạnh đối của tứ diện tơng ứng vẽ các
cặp mặt phẳng song song (mỗi mặt chứa cạnh thứ nhất và song song với

cạnh thứ hai và ngợc lại). Hình tạo bởi giao tuyến của 6 mặt phẳng trên là
hình gì ? HÃy giải thích kết luận đó.
Nếu ABCD là tứ diện gần đều thì hình tạo thành có đặc điểm gì ?
Qua các câu hỏi mở học sinh đà chủ động và tích cực tìm kiếm và đi
đến kết quả sau:
B
Cho hình tứ diện ABCD với cách dựng đÃ
E
nêu ta đợc hình hộp AEBFHDGC và gọi là hình
hộp ngoại tiếp tứ diện ABCD. Nếu ABCD là tứ A
F
diện gần đều thì AEBFHDGC là hình hộp chữ
nhật. (hình 10)
G
Nếu ABCD là tứ diện gần đều. HÃy so sánh
D
Hình 10
thể tích của ABCD và thể tích cđa h×nh hép?
H

C

VABCD = VAEBFHDGC − VAHDC − VBDGC − VABFC VABED
1
6

Mặt khác ta thấy VAHDC = VBDGC = VABFC = VABED = VAEBFHDGC
1
⇒ VABCD = VAEBFHDGC .
3

NÕu biÕt AB = CD = b, AC=BD=c, AD=BC=a, h·y tÝnh thÓ tích ABCD?
Do AEBFHDGC là hình hộp chữ nhật nên tính ®ỵc
HD =

a 2 + b2 − c2 ,
b2 + c 2 − a 2 ,
a2 + c2 − b2
HA =
HC =
2
2
2

Suy ra VABCD =

1
2 ( a2 + b2 − c2 ) ( a 2 + c2 − b2 ) ( b2 + c 2 − a 2 ) .
12

Häc sinh có thể thấy rằng đây cũng là một phơng pháp tính thể tích
của tứ diện gần đều.


21
Ví dụ 1.13. Cho hai đờng thẳng d1, d2 chéo nhau và vuông góc với
nhau, gọi AB là đoạn vuông gãc chung ( A ∈ d1 , B ∈ d 2 ). Trên d1, d2 lần lợt
lấy các điểm M, N sao cho AM = x, BN = y . Tìm mối liên hệ của MN và
AB với x, y khi MN tiếp xúc với mặt cầu đờng kính AB . (hình 11)
Giáo viên có thể định hớng cho học sinh bằng câu hỏi sau

Khi MN tiếp xúc với mặt cầu đờng kính AB ta suy ra điều gì ?
Gọi H là tiếp điểm của mặt cầu đờng kính AB víi MN.
Suy ra OH = OA = OB
⇒ ∆OAM = ∆OHM ⇒ AM = HM .

T¬ng tù NB = HN MN = x + y .
Độ dài AB và x, y có mối liên hệ gì không?
Các yếu tố vuông góc trong bài toán đà sử
dụng cha?
Quá trình tìm kiếm của học sinh có thể thu
đợc kết quả sau.

M

A
d

1

O
H

d

Hình 11
2

B
N

MN 2 = AN 2 + AM 2 , AN 2 = AB 2 + BN 2
2
2
2
2
⇒ MN 2 = AM 2 + AB 2 + BN 2 ⇒ ( x + y ) = x + y + AB .

Suy ra AB 2 = 2 xy .
D¹y häc sư dụng câu hỏi, bài tập mở phải dựa trên lý thuyết của Vgôtsky về cùng phát triển gần nhất, những câu hỏi phải hớng vào vùng phát
triển gần nhất tức là phải phù hợp với trình độ mà học sinh đà đạt tới ở thời
điểm đó, không thoát ly cách xa trình độ này, nhng họ vẫn còn phải tích cực
suy nghĩ phấn đấu vơn lên thì mới thực hiện đợc nhiệm vụ đặt ra. Nhờ
những hoạt động đa dạng với yêu cầu thuộc về vùng phát triển gần nhất,
vùng này chuyển hoá dần thành vùng trình độ hiện tại, tri thức, kỹ năng,
năng lực lĩnh hội đợc trở thành vốn trí tuệ của học sinh và những vùng trớc
kia còn ở xa nay đợc kéo lại gần và trở thành những vùng phát triển gần
nhất mới. Cứ nh vậy, câu hỏi, bài tập mở có thể giúp học sinh khám phá các
nấc thang của kiến thức trong quá trình hoạt động và phát triển.
Vận dụng câu hỏi, bài tập mở dựa trên lý thuyết Vgôtsky về vùng phát
triển gần nhất trong việc định hớng tìm tòi lời giải bài toán rất có hiệu quả
đối với việc phát huy tính tÝch cùc häc tËp cña häc sinh.


22
Trong dạy học nếu khơi dậy đợc tính tích cực hoạt động của học sinh
thì chất lợng dạy học sẽ đợc nâng cao. Xét theo quan điểm đó tính tích cực
của hoạt động nhận thức là nền tảng của việc nâng cao chất lợng giờ lên
lớp.
1.3.2. Vai trò của câu hỏi, bài tập mở trong việc phát triển t duy,
năng lực kiến tạo và khám phá kiến thức cho học sinh

Xuất phát từ cách hiểu mô hình dạy học theo quan điểm kiến tạo:
Tri thức đà có Dự đoán Kiểm nghiệm Thích nghi (nếu thành công) Kiến thức mới
Thất bại Dự đoán khác

Nhận thức là quá trình điều ứng và tổ chức lại thế giới quan của chính
mỗi con ngời, trong đó điều ứng là sự thay đổi những sơ đồ nhận thức hiện
có sao cho tơng hợp với những kiến thức mới (có thể trái ngợc với kiến thức
ban đầu).
Từ cách hiểu bản chất của quá trình thích nghi trí tuệ của Jean Piaget;
từ nhận thức về khả năng sản sinh cái mới của Jerome Bruner là khả năng
chuyển di các nguyên tác thái độ đà có vào các tình huống mới khác nhau.
Đồng thời căn cứ vào các yếu tố về năng lực t duy chúng tôi nhận thấy
rằng để phát triển năng lực t duy, năng lực kiến tạo và khám phá kiến thức
cho học sinh đợc thì cần chú trọng phát triển các năng lực sau:
- Năng lực dự đoán và phát hiện vấn đề, khả năng liên tởng và chuyển
di các liên tởng.
- Năng lực định hớng và tìm tòi cách thức giải quyết vấn đề, tìm lời
giải bài toán.
- Năng lực huy động kiến thức để giải quyết vấn đề Toán học.
Qua nghiên cứu và thực tiễn chúng tôi nhận thấy có thể sử dụng câu
hỏi, bài tập mở để phát triển các năng lực trên.
Điều đó đợc thể hiện nh sau:
a. Sử dụng câu hỏi, bài tập mở để phát triển năng lực dự đoán và
phát hiện vấn đề, khả năng liên tởng và chuyển di các liên tởng
Để có năng lực này học sinh cần đợc rèn luyện các năng lực thành tố
nh xem xét các đối tợng Toán học, các quan hệ Toán học trong mối quan hệ
giữa cái chung, cái riêng; nắm đợc mối quan hệ nhân quả, cần có năng lực
so sánh phân tích, tổng hợp, đặc biệt hoá, tổng quát hoá, năng lực liên tởng

23
các đối tợng, quan hệ tơng tự.
Ví dụ 1.14. Khi học về tích vô hớng của hai véctơ ta có :
a.b = a b cos(a, b) .
NÕu häc sinh xÐt trờng hợp đặc biệt: i, j là các véctơ đơn vị
i = 1; j = 1 và gọi là góc tạo bởi 2 véctơ này khi đó ta có i. j = cos .

Nh vậy khi gặp giá trị lợng giác cosin của một góc ta cũng có thể
chuyển di sự liên tởng đến tích vô hớng của hai véctơ đơn vị tạo với nhau
một góc .
A
Xét bài toán chứng minh rằng trong mọi
B1
tam giác ABC ta có
C1
O

3
cosA + cosB + cosC .
2

Hình 12
B

A1

C

Gợi ý: Gọi O là tâm vòng tròn nội tiếp
tam giác ABC; A1, B1, C1 là các điểm tiếp xúc của đờng tròn (O) với BC,

CA, AB.
(hình 12)
u u u u u ur u u
u u u u ur u ur u ur u u u u ur
u ur u u
Gäi α, , lần lợt là các góc: (OB 1 , OC 1 ) , (OC 1 , OA 1 ) , (OA 1, OB 1 ) .
Khi ®ã ∠A + α = ∠B + β = ∠γ + C = 1800
uu u u u u u u u
ur r
ur u ur r
r
Đặt: OA = e1 , OB = e2 , OC = e3 là các vectơ đơn vị.

u u
u r
r
u u
u r
r
u u
r r
Ta cã α = e2 , e3 , β = ( e1 , e3 ) , γ = e2 , e1

(

Râ rµng
⇔

u
r

(

(

)

u u u
r u r
r
e1 + e2 + e3

)

u
u
r

u
r

2

≥0

( e ) +( e ) +( e )
1

2

2

2

3

)

2

uu
r u uu
r
r u uu
r
r r
+ 2e1.e2 + 2e3 .e2 + 2e1.e3 ≥ 0

⇔ 3 + 2(cosγ + cosβ + cosα) ≥ 0
⇔ 3 - 2(cosA + cosB + cosC) ≥ 0


24

3
2
HÃy đặt các mối quan hệ tơng ứng từ phẳng lên không gian và tìm bất
đẳng thức tơng tự ?
Khi đó học sinh sẽ đặt mối quan hệ tơng ứng từ phẳng lên không gian
Tam giác diện.

Tứ
A
Tâm đờng tròn nội tiếp Tâm mặt cầu nội
tiếp.
D1
O
Góc ở đỉnh của tam giác Góc phẳng nhị
diện cạnh là các cạnh cđa tø diƯn.
B
D
⇔ cosA + cosB + cosC

≤

A1

I
Gäi αi (i = 1,6 ) là độ lớn sáu góc nhị diện
C Hình 13
các cạnh của tứ diện ABCD.
Gọi O là tâm mặt phẳng cầu nội tiếp tứ diện
ABCD; A1, B1, C1, D1 là các điểm tiếp xúc của mặt cầu (O) với các mặt
(BCD), (CDA), (DAB), (ABC). (hình 13)

Kẻ A1I BC thì OI BC (Định lý ba đờng vuông góc), từ đó lại theo
định lý ba đờng vuông góc ta có D1I BC.
Vậy

D1 IA1 là góc nhị diện cạnh BC.

Ký hiệu (BC) là độ lớn góc nhị diện cạnh BC
Ta cã: ( BC ) + ∠D1OA1 = 1800 .
NÕu thực hiện phép biến đổi nh bài toán 1 ta thu đợc điều gì?
Khi đó bằng cách chuyển di các liên tởng đà đợc học qua bài toán 1
học sinh biÕn ®ỉi nh sau.
r
u u u u u u u ur u u ur u
ur r u r u u u r u u u
r
Đặt OA1 = e1 , OB1 = e2 , OC1 = e3 , OD1 = e4 là các vectơ đơn vị.
u u u u 2
r u r u
r
r
Khi ®ã: e1 + e2 + e3 + e4 ≥ 0

(

)

4

⇔

∑ e i 2 +2 e1 e 2 +2 e1 e3 +2 e1 e 4 +2 e 2 e3 +2 e 2 e 4 +2 e3 e 4
i =1

≥0

25

⇔

4+2[cos(AB)+cos(BC)+cos(CD)+cos(DA)+cos(AC)+cos(BD)] ≥ 0
6

⇔

4 - 2 (∑ cosα i ) ≥ 0

⇔

(∑ cosα i ) ≤ 2.

i =1

6

i =1

Qua vÝ dô ta thấy có thể sử dụng các câu hỏi, bài tập mở để rèn luyện
học sinh năng lực liên tởng các đối tợng, khả năng tơng tự hoá, chuyển di
các kĩ năng tơng ứng. Đó cũng là một cách thức để rèn luyện năng lực dự
đoán và phát hiện vấn đề.
b. Sử dụng câu hỏi, bài tập mở để phát triển năng lực định hớng và
tìm tòi cách thức giải quyết vấn đề, tìm lời giải bài toán
Theo G.Polya "Có thể coi khát vọng muốn đạt đợc mục đích là một nhân
tố kích thích; nó gợi cho chúng ta những hoạt động có thể dẫn đến mục
đích. Kết quả mong muốn sẽ gợi ra những phơng tiện. Cho nên, bạn hÃy

nhằm vào kết quả, đừng lúc nào lơi khỏi mục ®Ých cđa b¹n; mơc ®Ých sÏ
chØ híng cho sù suy nghĩ cả bạn" (Dẫn theo [19, tr. 279] ).
Trong khi ngẫm nghĩ về điểm cuối cùng (kết quả) của một bài toán,
chúng ta hy vọng sẽ nảy ra ý về những phơng tiện thích hợp để giải bài toán
đó, phải vận dụng những cố gắng, phân tích để gợi ra trong trí tởng tợng của
mình những phơng tiện thích hợp đó.
Theo chúng tôi năng lực định hớng tìm tòi cách thức giải quyết vấn đề
tìm tòi lời giải các bài toán đợc xác đinh trên cơ sở các khả năng phát hiện
các đối tợng và quan hệ trong mối liên hệ tơng tự; khả năng phát hiện ý tởng nhờ nắm quan hệ giữa kết quả và nguyên nhân; khả năng nhìn nhận
một vấn đề theo nhiều quan điểm khác nhau; khả năng nhận dạng các đối tợng và các phơng pháp.
Ví dụ 1.15. Cho tứ diện ABCD, xác định vị trí tơng đối của AB và CD
khi CA2 + DB 2 = CB 2 + AD 2 (1) . (hình 14)
Khi gặp bài toán này có thể sử dụng câu hỏi
mở để học sinh tìm tòi phơng pháp giải quyết vấn
đề nh sau:
Hệ thức (1) có đặc điểm gì?
Học sinh cã thĨ nhËn thÊy hai vÕ gåm b×nh

A

D

B
E
C