Chuyên đề bất phương trình ôn thi THPT quốc gia (có lời giải chi tiết)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.04 MB, 21 trang )
TUY
ỂN CHỌN
50 BÀI TOÁN
GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH
C
ẨM NANG CHO M
ÙA THI
(ÔN THI THPT QUỐC GIA)
T
UY
ỂN CHỌN 50 B
ÀI TOÁN GI
ẢI BẤT PH
ƯƠNG TR
ÌNH
-
ÔN THI THPT QU
ỐC GIA
Trang
1
Bài 1: Giải bất phương trình
2 2
1 2 3 4 .
x x x x
+ − ≥ − −
Hướng dẫn
- Điều
kiện:
2
2
0
0 1
3 41
1 0 0 .
3 41 3 41
8
2 3 4 0
8 8
x
x
x x
x
x x
≥
≤ ≤
− +
− ≥ ⇔ ⇔ ≤ ≤
− − − +
≤ ≤
− − ≥
- Bất phương trình đã cho tương đương với
2 2 2
1 2 (1 ) 2 3 4
x x x x x x
+ − + − ≥ − −
2 2
3( ) (1 ) 2 ( )(1 ) 0
x x x x x x
⇔ + − − + + − ≥
2 2 2
2
5 34
1
9
3 2 1 0 9 10 1 0
1 1 1 3
5 34
.
9
x
x x x x x x
x x
x x x
x
− +
≥
+ + +
⇔ + − ≥ ⇔ ≥ ⇔ + − ≥ ⇔
− − −
− −
≤
- Kết hợp điều kiện (*), ta suy ra nghiệm của bất phương trình là
5 34 3 41
.
9 8
x
− + − +
≤ ≤
Bài 2: Giải bất phương trình )(,01102492321
22
Rxxxxxx ∈≥−+−+−+−
Hướng dẫn: Điều kiện: 1
≥
x
- Bất phương trình đã cho tương đương với
0410249423211
22
≥++−+−−+−− xxxxx
[ ]
)1(03)13(
223
6
11
1
)2(
03)13()2(
223
)63(2
11
2
0)269)(2)(223(2)11(
2
2
2
≥
−−+
+−
+
+−
−⇔
≥−−−+
+−
−
+
+−
−
⇔
≥−−−−−+−−⇔
x
xx
x
xx
x
x
x
x
xxxxx
- Dễ thấy
( )
1,013)11.3(313
223
6
11
1
2
2
≥∀>=−−>−−+
+−
+
+−
xx
xx
- Hơn nữa (1)
.202
≥
⇔
≥
−
⇔
xx Kết hợp điều kiện thu được .2
≥
x
Bài 3: Giải bất phương trình sau:
(
)
(
)
2 2
2
1 log log 2 log 6
x x x
+ + + > −
Hướng dẫn: ĐK:
0 6
x
< <
.
(
)
( )
2
2
2 2
log 2 4 log 6
x x x
⇔ + > −
( )
2
2 2
2 4 6 16 36 0
x x x x x
⇔ + > − ⇔ + − >
Vậy:
18
x
< −
hay 2
x
<
So sánh với điều kiện. KL: Nghiệm BPT là
2 6
x
< <
.
Bài 4: Giải
bất phương trình )(,1
4
2
2
7119229
23
23
Rx
x
x
x
xxxx
∈>
−++
−−++−
Hướng dẫn: Điều kiện
≠−++
≥
0422
1
23
xxx
x
- Nhận xét 1,014221422
23
≥∀>=−++≥−++ xxxx .
- Bất phương trình đã cho tương đương với
0217248114227119229
232323
>−+−+−−⇔−++>−−−+− xxxxxxxxxxx
T
UY
ỂN CHỌN 50 B
ÀI TOÁN GI
ẢI BẤT PH
ƯƠNG TR
ÌNH
-
ÔN THI THPT QU
ỐC GIA
Trang
2
)1(01)12(2
11
1
)2(0)188)(2(
11
2
22
>
−−+
+−
−⇔>+−−+
+−
−
⇔ x
x
xxxx
x
x
- Rõ ràng 1,011)12(21)12(2
11
1
22
≥∀>=−−>−−+
+−
xx
x
nên (1) 202
>
⇔
>
−
⇔
xx
Bài 5: Giải bất phương trình:
(
)
(
)
(
)
5 5 1
5
log 4 1 log 7 2 1 log 3 2
x x x
+ − − ≤ + +
Hướng dẫn: + Điều kiện:
1 7
4 2
x
− < <
(
)
(
)
(
)
5 5 5
log 4 1 log 3 2 1 log 7 2
x x x
⇔ + + + ≤ + −
(
)
(
)
(
)
( )( ) ( )
5 5
2
log 4 1 3 2 log 5 7 2
4 1 3 2 5 7 2
12 21 33 0
33
1
12
x x x
x x x
x x
x
⇔ + + ≤ −
⇔ + + ≤ −
⇔ + − ≤
⇔ − ≤ ≤
Giao với điều kiện, ta được:
1
1
4
x
− < ≤
. Vậy: nghiệm của BPT đã cho là
1
1
4
x
− < ≤
Bài 6: Giải bất phương trình )(221452)1(
22
Rxxxxxxx ∈+++≥+−−
Hướng dẫn: Điều kiện: .Rx
∈
Khi đó :
0)5212(2)522)(1(
222
≤+−−+++−++⇔ xxxxxxx
0
5212
547)52)(1(252214
)1(
0)
5212
)13(2
522)(1(
0
5212
)13)(1(2
)522)(1(
0
5212
)5244(2
)522)(1(
22
22222
22
2
22
2
22
22
2
≤
+−++
+−++−+++−++
+⇔
≤
+−++
−
++−++⇔
≤
+−++
−+
++−++⇔
≤
+−++
−+−+
++−++⇔
xxx
xxxxxxxx
x
xxx
xx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxxx
xxx
-
Do
>++−=+− 16)2(547
222
xxxx 0 nên (2) )1;(101
−
−∞
∈
⇔
−
≤
⇔
≤
+
⇔
xxx
Bài 7: Giải bất phương trình :
( )
2 2
x 1 x 5 x x 1
− + + > +
Hướng dẫn:
x 1
+ ≤
: loại
( )
2
2 2 2
2 2
2
2
x x 1 1 1
x 1: x 5 x 5 x x 5 x
x 1 x 1 x 1
5 1
5 x 1 x 5 x 4x 5 x 5
x 1
x 5 x
5
x
x 2
4
15x 40x 20 0
− +
+ > + > ⇔ + > + ⇔ + − >
− − −
⇔ > ⇔ − > + + ⇔ − > +
−
+ +
>
⇔ ⇔ >
− + >
T
UY
ỂN CHỌN 50 B
ÀI TOÁN GI
ẢI BẤT PH
ƯƠNG TR
ÌNH
-
ÔN THI THPT QU
ỐC GIA
Trang
3
Bài 8: Giải bất phương trình:
(
)
2 2
5 4 1 ( 2 4)
x x x x x+ < + + − (x
∈
R).
Hướng dẫn:
(
)
2 2
5 4 1 ( 2 4)
x x x x x+ < + + − (*)
- ĐK: x(x
2
+ 2x − 4) ≥ 0 ⇔
1 5 0
1 5
x
x
− − ≤ ≤
≥ − +
- (*) ⇔
2 2
4 ( 2 4) 5 4
x x x x x
+ − > + −
⇔
2 2
4 ( 2 4) ( 2 4) 3
x x x x x x
+ − > + − +
(**)
TH 1:
1 5
x ≥ − + , chia hai vế cho x > 0, ta có: (**) ⇒
2 2
2 4 2 4
4 3
x x x x
x x
+ − + −
> +
Đặt
2
2 4
, 0
x x
t t
x
+ −
= ≥
, ta có bpt:
2
4 3 0
t t
− + <
1 3
t
⇔ < <
2
2
2
7 4 0
2 4
1 3
4 0
x x
x x
x
x x
− − <
+ −
< < ⇔
+ − >
⇔
1 17 7 65
2 2
x
− + +
< <
TH 2:
1 5 0
x
− − ≤ ≤
,
2
5 4 0
x x
+ − <
, (**) luôn thỏa mãn
Vậy tập nghiệm BPT (*) là
1 17 7 65
1 5;0 ;
2 2
S
− + +
= − − ∪
Bài 9: Giải bất phương trình sau :
2 5 3 2 4 1 5 6
x x x x
+ + − > + + −
Hướng dẫn:
2 5 4 1 3 2 5 6 0
1 1
( 2 4)[ ] 0
2 5 4 1 3 2 5 6
2
BPT x x x x
x
x x x x
x
⇔ + − + + − − − >
⇔ − + + >
+ + + − + −
⇔ <
Bài 10: Giải
bất phương trình
2 2 2
3
( 2)( 2 2 5) 9 ( 2)(3 5 12) 5 7
x x x x x x x
+ − + − ≤ + + − − + +
Hướng dẫn: Điều kiện xác định:
5
2
x
≥ −
. Khi đó ta có
3
3 2 2 2
(1) 3 14 15 2( 2) 2 5 3( 2) 5 5 7 0
x x x x x x x x
⇔ + + + − + + − + + − + ≤
3
3 2 2 2
3 18 2( 2)( 2 5 3) 3( 2)( 5 3) 3 5 7 0
x x x x x x x x
⇔ + − − − + + − − + + − + − + ≤
(
)
2 2
2
2
2
3 3
2 2
2( 2)(2 4) 3( 2)( 4) 5(4 )
( 2)( 5 9) 0
2 5 3
5 3
9 3 5 7 5 7
x x x x x
x x x
x
x
x x
+ − + − −
⇔ − + + − − + ≤
+ +
+ +
+ + + +
(
)
2
2
2
2
3 3
2 2
4( 2) 3( 2) 5( 2)
( 2) 5 9 0(*)
2 5 3
5 3
9 3 5 7 5 7
x x x
x x x
x
x
x x
+ + +
⇔ − + + − − − ≤
+ +
+ +
+ + + +
T
UY
ỂN CHỌN 50 B
ÀI TOÁN GI
ẢI BẤT PH
ƯƠNG TR
ÌNH
-
ÔN THI THPT QU
ỐC GIA
Trang
4
- Ta có với
(
)
2
2
2
2
3 3
2 2
4( 2) 4 3( 2) 3
( 2); ( 2)
3 5
2 5 3
5 3
5
5( 2) 5( 2)
2
9
9 3 5 7 5 7
x x
x x
x
x
x
x x
x x
+ +
≤ + < +
+ +
+ +
≥ − ⇒
+ +
<
+ + + +
(
)
2
2
2
2
3 3
2 2
4( 2) 3( 2) 5( 2)
5 9
2 5 3
5 3
9 3 5 7 5 7
x x x
x x
x
x
x x
+ + +
⇒ + + − − − >
+ +
+ +
+ + + +
2
18 57 127 5
0,
45 2
x x
x
+ +
> ∀ ≥ −
-
Do đó (*)
2 0 2
x x
⇔ − ≤ ⇔ ≤
, kết hợp với điều kiện
5
2
x
≥ −
ta suy ra bất phương
trình đã cho có nghiệm là
5
2
2
x
− ≤ ≤
Bài 11: Giải bất phương trình )(76)1(2
152
)2(2
2
Rxxx
x
x
∈++≥++
++
+
Hướng dẫn: Điều kiện:
2
5
−≥x
Bất
phương trình đã cho tương đương với
)1(0)3(2
652
1
)1(0)3)(1(2
652
1
0)32(265276242152
22
≥
++
+++
−⇔≥+−+
+++
−
≥−+++−+⇔++≥+++−+⇔
x
xx
xxx
xx
x
xxxxxxxx
Chú ý rằng
2
5
,0)3(2
552
1
−≥∀>++
+++
xx
xx
nên (1) 101
≥
⇔
≥
−
⇔
xx
Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm
1
≥
x
Bài 12: Giải bất phương trình
2 8
2 1 2
x x
x x
− + − ≥
Hướng dẫn: Điều kiện của bất phương trình:
2
2
1 0
0
2 0
8 2
2
2 0
2 0
x
x
x
x
x
x
x
x
x
≥
− ≥
<
− ≤ <
⇔ ⇔
≥
≥
− ≥
− ≤ <
-
Với
2 0
x
− ≤ < ⇒
bất phương trình đã cho luôn đúng
- Với
2
x
≥ ⇒
bất phương trình đã cho 2 2 2( 2)( 2)
x x x x x
⇔ − + − + ≥
2 2 3
4( 2) 2( 4) 4 ( 2) ( 2)
x x x x x
⇔ − + − + − + ≥
3 2 3 2
2 4 16 4 2( 2 4 8) 0
x x x x x x
⇔ − − + − − − + ≤
3 2 3 2
2( 2 4 8) 8 2( 2 4 8) 16 0
⇔ − − + − − − + + ≤
x x x x x x
T
UY
ỂN CHỌN 50 B
ÀI TOÁN GI
ẢI BẤT PH
ƯƠNG TR
ÌNH
-
ÔN THI THPT QU
ỐC GIA
Trang
5
(
)
2
3 2 3 2
2( 2 4 8) 4 0 2( 2 4 8) 4
x x x x x x
− − + − ≤ ⇔ − − + =
3 2
0
2 4 0 1 5 1 5
1 5
x
x x x x x
x
=
⇔ − − = ⇔ = + ⇔ = +
= −
(do
2
x
≥
)
Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là
[
)
{
}
2;0 1 5
− ∪ +
Bài 13: Giải bất phương trình sau :
2
2 1
2
log ( 1) log ( 1)
x x
− ≥ −
.
Hướng dẫn: ĐK: x >1. BPT
2 2
2 1 2 2
2
log ( 1) log ( 1) log ( 1) log ( 1) 0
x x x x
− ≥ − ⇔ − + − ≥
2
( 1)( 1) 1
x x
⇔ − − ≥
3 2
1 1
x x x
⇔ − − + ≥
2
( 1) 0
x x x
⇔ − − ≥
1 5
2
x
+
⇔ ≥
(do x >1).
Vậy tập nghiệm của BPT là
1 5
S= ;
2
+
+∞
.
Bài 14: Giải
bất phương trình
3
3
2log ( 1) log (2 1) 2
x x
− + − ≤
Hướng dẫn: ĐK:
1
x
>
. BPT
1
2
3
3
2log ( 1) log (2 1) 2
x x
⇔ − + − ≤
3 3 3
log ( 1) log (2 1) 1 log ( 1)(2 1) 1
x x x x
⇔ − + − ≤ ⇔ − − ≤
⇔
2
( 1)(2 1) 3 2 3 2 0
x x x x
− − ≤ ⇔ − − ≤
1
2
2
x
⇔ − ≤ ≤
. Kết hợp ĐK ta có tập nghiệm là
(
]
1;2
S =
Bài 15: Giải bất phương trình )(,)1()12)(3(
22
Rxxxxx ∈−≥+−−
Hướng dẫn: Điều kiện:
2
1
≥x
- Nhận xét x = 1 không thỏa mãn bài toán, do đó xx ≠−12
- Bất phương trình đã cho tương đương với
2
133
,
2
133
01312212
22133)12(3
)12(
)1(
3
2222
22
2
2
−
≤
+
≥⇔≥−−⇔++≥−⇔+≥−⇔
−−−≥−⇔−−≥−⇔
+−
−
≥−
xxxxxxxxxxx
xxxxxxx
xx
x
x
Kết hợp điều kiện ta thu được nghiệm
2
313 +
≥x
Bài 16: Giải bất phương trình 29122)5124(4
2223
+−≤−+−− xxxxxxx
Hướng dẫn: +) Điều kiện:
≤
≥
⇔≥−
0
2
02
2
x
x
xx
T
UY
ỂN CHỌN 50 B
ÀI TOÁN GI
ẢI BẤT PH
ƯƠNG TR
ÌNH
-
ÔN THI THPT QU
ỐC GIA
Trang
6
+) Ta có bất phương trình đã cho tương đương với
[
]
)1(0)()12(02)52(252)12(
02)52)(12()252)(12(
02)5124(29124
22
23
2223
≤−⇔≤−−−+−−⇔
≤−−−−+−−⇔
≤−+−−−+−
xfxxxxxxx
xxxxxxx
xxxxxxx
+
) V
ới xxxxxxf 2)52(252)(
22
−−−+−= .Đặt xxttxxt 2)0(;2
222
−=⇒≥−=
- Khi đó 2)52(22)52()2(22)52(252
2222
+−−−=+−−−−=−−−+− xtxtxtxxxxxxxx
- Ta có
2222
)32(912416825204)2(8)52( −=+−=−++−=−−−=∆ xxxxxxxx
Do vậy phương trình
−=
−=
⇔=
2
1
2
0)(
t
xt
xf
D
o v
ậy ta có phân tích
122)(22(2)52(252)(
2222
+−+−−=−−−+−= xxxxxxxxxxxf
Khi đó (1) 0)122)(22)(12(
22
≤+−+−−−⇔ xxxxxx
)2(,0)22)(12(
2
≤+−−−⇔ xxxx
(Do 2 012
2
>+− xx với mọi x thuộc miền xác định)
Ta xét m
ột số trường hợp sau:
+) TH1:
2
1
012 =⇔=− xx (không thỏa mãn)
+) TH2) 2
442
2
22
22
2
=⇔
+−=−
≥
⇔−=− x
xxxx
x
xxx (thỏa mãn)
+) TH3 ⇒
+−<−
>
⇔
−<−
>−
442
2
22
012
22
2
xxxx
x
xxx
x
Hệ phương trình vô nghiệm
+) TH4
2
1
22
012
2
<⇔
−>−
<−
x
xxx
x
Kết hợp với đk ta được 0
≤
x
Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là x=2;x 0
≤
Bài 17: Giải bất phương trình:
(
)
(
)
(
)
5 5 1
5
log 4 1 log 7 2 1 log 3 2
x x x
+ − − ≤ + +
Hướng dẫn: + Điều kiện:
1 7
4 2
x
− < <
+
BPT
(
)
(
)
(
)
5 5 5
log 4 1 log 3 2 1 log 7 2
x x x
⇔ + + + ≤ + −
(
)
(
)
(
)
( )( ) ( )
5 5
2
log 4 1 3 2 log 5 7 2
4 1 3 2 5 7 2
12 21 33 0
33
1
12
x x x
x x x
x x
x
⇔ + + ≤ −
⇔ + + ≤ −
⇔ + − ≤
⇔ − ≤ ≤
T
UY
ỂN CHỌN 50 B
ÀI TOÁN GI
ẢI BẤT PH
ƯƠNG TR
ÌNH
-
ÔN THI THPT QU
ỐC GIA
Trang
7
Giao với điều kiện, ta được:
1
1
4
x
− < ≤
. Vậy: nghiệm của BPT đã cho là
1
1
4
x
− < ≤
Bài 18: Giải bất phương trình:
2 2
(4 7) 2 10 4 8
x x x x x
− − + > + −
Hướng dẫn: ĐK: x
≥
-2
2 2
(4 7) 2 10 4 8
x x x x x
− − + > + −
2 2
(4 7) 2 2(4 7) 2[( 2) 4]
x x x x x x
⇔ − − + + − − > + −
2
(4 7)( 2 2) 2( 2 2)( 2 2)
x x x x x
⇔ − − + + > + − + +
2 2
2 2
4 7 2 2 4 4 2 2 2 1
(2 ) ( 2 1) 0 (2 2 1)(2 2 1) 0
x x x x x x
x x x x x x
⇔ − − > + − ⇔ > + + + +
⇔ − + + > ⇔ + + + − + − >
2 2 1
2 2 1
x x
x x
+ > −
⇔
+ < − −
hoặc
2 2 1
2 2 1
x x
x x
+ > − −
+ < −
G
i
ải các hệ bất pt trên được tập nghiệm là: T =
[
)
5 41
2; 1 ;
8
+
− − ∪ +∞
Bài 19: Giải bất phương trình
3
8 2 (4 1)( 14 8 1)
x x x x x
− ≥ + − + + −
.
Hướng dẫn: Điều kiện :
1
x
≥
3 3 3
(1) 8 2 (4 1)( 1 8 1 16 1) 8 2 (4 1) (4 1) (2)
x x x x x x x x x⇔ − ≥ + − − + − + − ⇔ − ≥ + − − + −
- Xét hàm số
3 2
( ) ; '( ) 3 1 0 1
f t t t f t t t
= − = − > ∀ ≥ ⇒
f(t) đồng biến trên [1;+
∞
) mà (2) có
(2 ) (4 1)
f x f x
≥ + −
và
2 ,4 1 [1; )
x x
+ − ∈ +∞
nên
(2) 2 4 1
x x
⇔ ≥ + −
2
2 4 0
2 4 1 (2 4) 1
1 0
x
x x x x
x
− ≥
⇔ − ≥ − ⇔ − ≥ −
− ≥
2
2
2
17 17
17 17 17 17
8
4x 17 x 17 0
;
8 8
x
x
x
x x
≥
≥
+
⇔ ⇔ ⇔ ≥
− +
− + ≥
≤ ≥
Bài 20: Giải bất phương trình:
(
)
2
( 2) 2 3 2 1 2 5 3 1
x x x x x
+ + − + + + + ≥
Hướng dẫn: Điều kiện:
1
x
≥ −
Đặt
2 2
2
2 2
2
2 3
1 2 5 3
, 0
1 2
x a b
x a
x b x x ab
a b
a b
+ = −
+ =
+ = ⇒ + + =
≥
= −
.
Bất phương trình trở thành:
2 2 2 2
( )( 2 ) 2
a b a b ab a b
− − + ≥ −
2 2 2 2
( )( 2 ) ( ) ( ) 0
( )( 2 ) ( 2 ) 0 ( 0)
( 2 )( 1) 0
a b a b b a b a b
a b a b a b do a b
a b a b
⇔ − − + + − − ≥
⇔ − − − − ≥ + >
⇔ − − − ≥
T
UY
ỂN CHỌN 50 B
ÀI TOÁN GI
ẢI BẤT PH
ƯƠNG TR
ÌNH
-
ÔN THI THPT QU
ỐC GIA
Trang
8
TH1:
1
1
1 1
2 3 2 1 0 3
2 2
2 3 1 1 0
1 3
x
x
x x x x
x x
x
≥ −
≥ −
+ − + ≤ ⇔ ≥ − ⇔ − ≤ ≤
+ − + − ≤
− ≤ ≤
T
H2:
1
1
1
2 3 2 1 0 1
2
2 3 1 1 0
1; 3
x
x
x x x x
x x
x x
≥ −
≥ −
+ − + ≥ ⇔ ≤ − ⇔ = −
+ − + − ≥
≤ − ≥
Vậy bất phương trình có nghiệm
1
{ 1} ;3
2
S
= − ∪ −
Bài 21: Giải bất phương trình 5325235010
22
−−+−≥−− xxxxx
Hướng dẫn: Điều kiện
10
74525
5
0252
035010
2
2
+
≥⇔
≥
≥+−
≥−−
x
x
xx
xx
- Nhận xét 0
53252
47142
53252
2
2
2
>
−++−
+−
=−−+−
xxx
xx
xxx
- B
ất phương trình đã cho tương đương với
02.51123)2(5)5112(2
02.)5)(12(320274
)5)(2)(12(645925235010
22
2
22
≥−+−+−−+−⇔
≥−−−++−⇔
−−−−−++−≥−−
xxxxxx
xxxxx
xxxxxxxx
- Đặt )0;0(,2;5112
2
>>=−=+− babxaxx ta thu được
2
226
;
2
226
0712225112
0)52)((0352
22
22
−
≤
+
≥⇔≥+−⇔−≥+−⇔
≥⇔≥+−⇔≥+−
xxxxxxx
bababaabba
Kết hợp điều kiện ta có tập nghiệm
+∞+= ;
2
22
3S
Bài 22: Giải bất phương trình xxxxx 215123
232
−+−≤+−
Hướng dẫn: Điều kiện
2
0)2(
1
05123
2
≥⇔
≥−
≥
≥+−
x
xx
x
xx
Bất phương trình đã cho tương đương với
)1()1)(1(2125123
2232
−++−+−−+≤+− xxxxxxxxxx
0.232)23(3)(
0)1(.2)(1(26102
232223
223
≥+++−++−−++⇔
≥++−−+−+−⇔
xxxxxxxxxx
xxxxxxxx
T
UY
ỂN CHỌN 50 B
ÀI TOÁN GI
ẢI BẤT PH
ƯƠNG TR
ÌNH
-
ÔN THI THPT QU
ỐC GIA
Trang
9
)1(0
23
2
23
.31
23
2
23
2
≥
++
+−
+
++
+−
−⇔
xxx
xx
xxx
xx
Đặt )0(
23
23
2
≥=
++
+−
tt
xxx
xx
thì (1)
)2(024231
3
1
0231
32322
≥++⇔++≤+−⇒≤≤−⇔≥+−⇔ xxxxxxxttt
Nhận thấy (2) nghiệm đúng với 2
≥
x . Kết luận nghiệm
[
)
+∞= ;2S
Bài 23: Giải bất phương trình:
2
3 4
2 2 3
1
1
x x x
x
x
+ + +
+ ≥ +
+
+
Hướng dẫn: ĐK: x > -1
- Theo câu a ta có:
2
4
3, 1
1
+ +
≥ ∀ > −
+
x x
x
x
. (1)
- Lại có
3 2
1
1 1
+
= + +
+ +
x
x
x x
- Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số
2
1,
1
+
+
x
x
ta được:
2
1 2 2, 1
1
+ + ≥ ∀ > −
+
x x
x
(2)
T
ừ (1) và (2), cộng vế với vế ta có:
2
3 4
2 2 3
1
1
x x x
x
x
+ + +
+ ≥ +
+
+
,
1
x
∀ > −
Suy ra mọi giá trị x > -1 đều thỏa mãn bất phương trình.
Vậy kết hợp với điều kiện, bât phương trình có tập nghiệm là
(
)
1;S
= − +∞
Bài 24: Giải bất phương trình sau:
2
2
1 2 2 3 1
1
1 2 1
x x x
x x
+ − + +
>
− − +
Hướng dẫn: Điều kiện:
2
2
0
3 1 0 0
1 2 1 0
x
x x x
x x
≥
+ + ≥ ⇔ ≥
− − + ≠
- Ta có
2
2
1 3
2 1 2 3 1 ( 0)
2 4
x x x x
− + = − + ≥ > ∀ ≥
⇒
2
1 2 1 0
x x
− − + <
- BPT
2 2
1 3 1
⇔ + − + < + +
x x x x x
1 1
1 1 3
x x
x x
⇔ + + − < + +
(Vì x = 0 không thỏa mãn bất phương trình)
- Đặt
1
2
x t t
x
+ = ⇒ ≥
vì
0
x
>
.
- Ta có
13
1 1 3 2 1 3
4
t t t t
+ − < + ⇔ − < ⇔ <
T
UY
ỂN CHỌN 50 B
ÀI TOÁN GI
ẢI BẤT PH
ƯƠNG TR
ÌNH
-
ÔN THI THPT QU
ỐC GIA
Trang
10
- Suy ra
13 1 13
2 2
4 4
t x
x
≤ < ⇒ ≤ + <
( )
2
2
1
2
1 0
13 105 13 105
1 13
8 8
4 13 4 0
4
x
x
x
x
x x
x
x
+ ≥
− ≥
− +
⇔ ⇔ ⇔ < <
− + <
+ <
Bài 25: Giải bất phương trình: 10121123
22
−+<−++ xxxxx
Hướng dẫn: Điều kiện: 1
≥
x
Bất phương trình đã cho tương đương với
)2(22.3
4)2)((3822)2)((6
101211)2)(1(6)2(9
22
2222
22
++−<+−⇔
++<+−⇔++<+−⇔
−+<−−+−++
xxxxxx
xxxxxxxxxx
xxxxxxxx
Đặt )0,(
2
2
≥
+=
−=
ba
xb
xxa
ta được BPT 0)2)((23
22
>−−⇔+< bababaab
- TH1:
2
575
2
575
2
575
085
022
84
2
2
2
2
2
2
+
>⇔
−
<
+
>
⇔
>−−
>−−
⇔
+>−
+>−
⇔
>
>
x
x
x
xx
xx
xxx
xxx
ba
ba
(do )1
≥
x
- TH2:
3113131
085
022
84
2
2
2
2
2
2
+<≤⇔+<<−⇔
<−−
<−−
⇔
+<−
+<−
⇔
<
<
xx
xx
xx
xxx
xxx
ba
ba
(do 1
≥
x )
Vậy bất phương trình có tập nghiệm
[
)
31;1;
2
575
+∪
+∞
+
=S
Bài 26: Giải bất phương trình
(
)
(
)
1
1 1 2
2 2
log 4 4 log 2 3 log 2
x x x
+
+ ≥ − − .
Hướng dẫn:
(
)
(
)
1
1 1 2
2 2
log 4 4 log 2 3 log 2
x x x
+
+ ≥ − −
(
)
(
)
( ) ( )
1
1 1 1
2 2 2
2 1
1 1
2 2
log 4 4 log 2 3 log 2
log 4 4 log 2 3.2
x x x
x x x
+
+
⇔ + ≥ − +
⇔ + ≥ −
( )
2 1
4 4 2 3.2
4 3.2 4 0
2 1
2
2 4
x x x
x x
x
x
L
x
+
⇔ + ≤ −
⇔ − − ≥
≤ −
⇔ ⇔ ≥
≥
Vậy BPT có tập nghiệm: S =
[
)
2;
+∞
T
UY
ỂN CHỌN 50 B
ÀI TOÁN GI
ẢI BẤT PH
ƯƠNG TR
ÌNH
-
ÔN THI THPT QU
ỐC GIA
Trang
11
Bài 27: Giải bất phương trình
2.14 3.49 4 0
x x x
+ − ≥
Hướng dẫn: Chia cả hai vế của bpt cho 4
x
được bpt
2
7 7
2 3 1 0
2 2
x x
⇔ + − ≥
Đặt
7
2
x
t
=
(với t > 0). BPT trở thành 3t
2
+ 2t – 1 ≥ 0
1
1
1
3
3
t
t
t
≤ −
⇔ ⇒ ≥
≥
7 1
2 3
x
⇔ ≥
7
2
log 3
x⇔ ≥ − . KL: BPT có tập nghiệm
∞+−= ;3log
2
7
S
Bài 28: Giải bất phương trình )(4307545124
23
Rxxxxxx ∈<+−+−
Hướng dẫn: Điều kiện
2
1
≥x . Bất phương trình đã cho tương đương với
[ ]
)1(01)13(5
112
4
)1(
01)13(5)1(
112
)22(4
0)43045)(1()112(4
043475454124
2
2
2
23
<
−−+
+−
−⇔
<−−−+
+−
−
⇔
<+−−+−−⇔
<−+−+−−
x
x
x
x
xx
x
xx
xxxxx
xxxxxx
-
Nh
ận xét
2
1
,01)1
2
1
.3(51)13(5
112
4
22
≥∀>−−>−−+
+−
xx
x
x
nên (1) 101
<
⇔
<
−
⇔
xx
- Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm S =
1;
2
1
Bài 29: Giải bất phương trình:
2 0,5
log ( 2) log 1
x x
− + <
.
Hướng dẫn: Điều kiện:
2
x
>
.
( )
2 2 2
2 2
log 2 log 1 log 1 2
x x
x x
x x
− −
⇔ − − < ⇔ < ⇔ <
2 2 2
x x x
⇔ − < ⇔ > −
.
Kết hợp điều kiện ta được nghiệm của bpt là
2
> −
x
.
Bài 30: Giải bất phương trình:
3 2 3 2
2 4 5 3 4
x x x x x x x
− − > − + − − +
.
Hướng dẫn:
Cách 1: BPT
( ) ( )
2 2
2 2 1 2 ( 1)
x x x x x x
⇔ − − > − + − − +
(
)
0
x
≥
.
( )
2
( 2) | 2 | 1 1 2 1
x x x x x
⇔ − + − + > + − +
. (1)
*
2 :
x
=
(1) 0 2 2
⇔ > (loại).
*
0 : (1) 2 2
= ⇔ − > −
x (loại).
T
UY
ỂN CHỌN 50 B
ÀI TOÁN GI
ẢI BẤT PH
ƯƠNG TR
ÌNH
-
ÔN THI THPT QU
ỐC GIA
Trang
12
*
2 :
x
>
(
)
( )
2
(1) ( 2) 1 1 1 2 1
x x x x
⇔ − + + > + − +
-
Chia 2 v
ế cho
.( 2) 0
x x
− >
ta được:
( )
2
1 1 1 1
(1) 1 1
2
2
x x
x
x
⇔ + + > + +
−
−
.
- Xét hàm
2
2
( ) 1 , 0 '( ) 1 0 0
1
t
f t t t t f t t
t
= + + > ⇒ = + > ∀ >
+
( )
f t
⇒
đồng biến
0
t
∀ >
,
1 1
(1)
2
x
x
⇔ >
−
2
2 5 4 0 4; 1
x x x x x x
⇔ − > ⇔ − + > ⇔ > <
.
- Kết hợp
2 4
x x
> ⇒ >
.
*
0 2 :
x
< <
(
)
( )
2
(1) ( 2) 1 1 1 2 1
x x x x
⇔ − − + > + − +
.
- Chia 2 vế cho
.( 2) 0
x x
− <
ta được:
( )
2
1 1 1 1
(1) 1 1
2
2
x x
x
x
⇔ − + < − +
−
−
.
- Xét hàm
2
2
2 2
1
( ) 1 , '( ) 1 0
1 1
t t t
f t t t t f t t
t t
+ −
= − + ∈ ⇒ = − = > ∀
+ +
R
( )
f t
⇒
đồng
bi
ến
t
∀
. Từ đó
1 1
(1)
2
x
x
⇔ <
−
. Trường hợp này vô nghiệm vì
1
0
2
x
<
−
.
Đáp số:
4
x
>
.
Cách 2: ĐK
0
x
≥
+
0
x
=
không là nghiệm. Xét
0 :
x
>
+
( )( )
2
3 2 3 2
5 4
(1) 2 1
4 5 3 4
x x
x x
x x x x x
− +
⇔ − + >
− + + − +
( )
3 2 3 2
1 1
( ) 4 0
2
4 5 3 4
x x
f x x
x
x x x x x
+ −
⇔ = − + >
+
− + + − +
.
+ Xét
3 2 3 2
1 1
( )
2
4 5 3 4
x x
g x
x
x x x x x
+ −
= +
+
− + + − +
Nếu
1
x
≥
thì
( ) 0
g x
>
.
+ Nếu
0 1:
x
< <
1 1 1 1
x x
+ > ⇒ + >
. Ta có:
1 1 1
(1)
2
2 2 2
x x
x x
+ +
> =
+ +
( )( )
2
3 2
3 4 1 2 2 1 2 2
x x x x x x x x
− + = + − = − + > − = −
3 2 3 2
4 5 3 4 2
x x x x x x
⇒ − + + − + > −
3 2 3 2
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
4 5 3 4
x x x x
x x x x
x x x x x
− − − −
⇒ < = < =
− − + −
− + + − +
3 2 3 2
1 1
(2)
2
4 5 3 4
x
x x x x x
−
⇒ > −
− + + − +
.
T
UY
ỂN CHỌN 50 B
ÀI TOÁN GI
ẢI BẤT PH
ƯƠNG TR
ÌNH
-
ÔN THI THPT QU
ỐC GIA
Trang
13
Từ
(1)
và
(2)
suy ra
( ) 0 0
g x x
> ∀ >
.
+
( ) 0 4 0 4
f x x x
> ⇔ − > ⇔ >
. Kết hợp ĐK suy ra đáp số:
4
x
>
.
Bài 31: Giải bất phương trình )(1928
233
Rxxxxx ∈++−−≤−
Hướng dẫn: Điều kiện: 3
0)3)(3(
2
01
092
08
2
23
3
≥⇔
≥++−
≥
⇔
≥+
≥−−
≥−
x
xxx
x
x
xx
x
Bất phương trình đã cho tương đương với
2
3
3
2
3320)332(
033.32232
3.)1)(3(22
)1)(3)(3(21928
22
22222
2222
22
2233
−
=
⇔
+
+
=
−
−
⇔
++=−−⇔≤++−−−⇔
≤+++++−−−−−⇔
+++−≤−⇔
+++−+−+−−≤−
x
x
x
x
x
xxxxxxxx
xxxxxxxx
xxxxxx
xxxxxxxx
Đối chiếu điều kiện, kết luận bất phương trình đã cho vô nghiệm.
Bài 32: Giải bất phương trình :
2
1
2
2
log log (2 ) 0 ( )
x x R
− > ∈
.
Hướng dẫn:
- Điều kiện:
2 2
2
log (2 ) 0 2 1 1 1
x x x
− > ⇔ − > ⇔ − < <
- Khi đó ⇔
2
2
2 2
1 1 1 1
1 1
log (2 ) 1
0
2 2 0
x x
x
x
x
x x
− < < − < <
− < <
− < ⇔ ⇔ ⇔
≠
− < >
Vậy tập nghiệm bpt là
( 1;0) (0;1)
S
= − ∪
Bài 33: Giải bất phương trình:
(
)
2 2
5 4 1 ( 2 4)
x x x x x+ < + + − (x
∈
R).
Hướng dẫn: ĐK: x(x
2
+ 2x − 4) ≥ 0 ⇔
1 5 0
1 5
x
x
− − ≤ ≤
≥ − +
⇔
2 2
4 ( 2 4) 5 4
x x x x x
+ − > + −
⇔
2 2
4 ( 2 4) ( 2 4) 3
x x x x x x
+ − > + − +
(**)
+ TH 1:
1 5
x ≥ − + , chia hai vế cho x > 0, ta có:
(**) ⇒
2 2
2 4 2 4
4 3
x x x x
x x
+ − + −
> +
-
Đặt
2
2 4
, 0
x x
t t
x
+ −
= ≥
, ta có bpt:
2
4 3 0
t t
− + <
1 3
t
⇔ < <
2
2
2
7 4 0
2 4
1 3
4 0
x x
x x
x
x x
− − <
+ −
< < ⇔
+ − >
⇔
1 17 7 65
2 2
x
− + +
< <
+ TH 2:
1 5 0
x
− − ≤ ≤
,
2
5 4 0
x x
+ − <
, (**) luôn thỏa
T
UY
ỂN CHỌN 50 B
ÀI TOÁN GI
ẢI BẤT PH
ƯƠNG TR
ÌNH
-
ÔN THI THPT QU
ỐC GIA
Trang
14
Vậy tập nghiệm bpt (*) là
1 17 7 65
1 5;0 ;
2 2
S
− + +
= − − ∪
Bài 34: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm
∈ +
x
0;1 3
:
(
)
2
2 2 1 2 0
m x x x( x )
− + + + − ≤
Hướng dẫn: Đặt
2
t x 2x 2
= − +
∈ +
dox [0;1 3]
nên
[
]
1;2
t
∈
- Bất phương trình trở thành:
−
≤
+
2
t 2
m
t 1
-
Kh
ảo sát hàm số
t
g(t)
t
−
=
+
2
2
1
với
[
]
1;2
t
∈
- Ta có:
+ +
= >
+
2
2
2 2
0
1
t t
g'(t)
(t )
. Vậy
t
g(t)
t
−
=
+
2
2
1
đồng biến trên
[
]
1 2
;
⇒
2
( ) (2)
3
Maxg t g
= =
- Từ đó:
2
t 2
m
t 1
−
≤
+
có nghiệm t ∈ [1,2]
⇔
[ ]
t
m g t g
1;2
2
max ( ) (2)
3
∈
≤ = =
. Kết luận:
2
3
m
≤
Bài 35: Giải bất phương trình )(94117652
2
Rxxxxx ∈+<++++
Hướng dẫn: Điều kiện
5
6
−≥x
+ Bất phương trình đã cho tương đương với
)1(0)2
3117
1
265
1
)(2(
0
3117
2
265
2
)2(2
0)3(117)2(65422
2
22
2
2
>−
+++
+
+++
−−⇔
<
+++
++−
+
+++
++−
+−−⇔
<+−+++−++−−
xxxx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xxxxxx
+
Nh
ận xét
5
6
,2
5
13
5
6
3
1
5
6
2
1
3117
1
265
1
−≥∀<
+−
+
−
<
+++
+
+++
x
xxxx
+ Do đó (1) 210)2)(1(02
2
<<−⇔<−+⇔<−−⇔ xxxxx . Kết luận nghiệm -1<x<2
Bài 36: Giải bất phương trình )(63)1(22
2232
Rxxxxxxxx ∈++≥+++++
Hướng dẫn: Điều kiện 2
−
≥
x
+ Nhận xét x = -2 thỏa mãn bất phương trình đã cho
+ Xét trường hợp x >-2 thì bất phương trình đã cho tương đương
063)1(2222
2232
≥++−++++−++ xxxxxxx
T
UY
ỂN CHỌN 50 B
ÀI TOÁN GI
ẢI BẤT PH
ƯƠNG TR
ÌNH
-
ÔN THI THPT QU
ỐC GIA
Trang
15
)1(0
632
1
22
1
)2)(1(
0
632
)2)(1(
22
2
632)(1(22
2
2
22
2
2
22
≥
+++
+
+
+++
+−⇔
≥
+++
−++
+
+++
−+
⇔
+−+++−++⇔
xx
x
xx
xx
xx
xxx
xx
xx
xxxxx
T
a có
1012,0
632
1
22
1
)2(
2
2
≥⇔≥−⇔−>∀>
+++
+
+
+++
+ xxx
xx
x
xx
x .
Kết luận 1
≥
x
Bài 37: Giải bất phương trình sau
2 5 3 2 4 1 5 6
x x x x
+ + − > + + −
Hướng dẫn:
2 5 4 1 3 2 5 6 0
1 1
( 2 4)[ ] 0
2 5 4 1 3 2 5 6
2
⇔ + − + + − − − >
⇔ − + + >
+ + + − + −
⇔ <
x x x x
x
x x x x
x
Bài 38: Giải bất phương trình
2
2
3 1
1
1
1
x
x
x
− <
−
−
.
Hướng dẫn: Điều kiện
1
x
<
. Bất phương trình đã cho tương đương với:
2 2 2
2 2
2 2
1 3 3
1 2 0 (1)
1 1
1 1
x x x x x
x x
x x
− +
> − ⇔ − + >
− −
− −
+ Đặt
2
1
x
t
x
=
−
, khi đó bất phương trình (1) trở thành:
2
1
3 2 0
2
t
t t
t
<
− + > ⇔
>
+ Với t < 1 thì
2
2
1 1 (2)
1
x
x x
x
< ⇔ < −
−
*
1 0:
x
− < ≤
bất phương trình (2) đúng
*
0 1:
x
< <
bất phương trình
2 2
2
(2) 1 0
2
x x x⇔ < − ⇔ < <
Tập nghiệm của bất phương trình (2) là
1
2
1;
2
S
= −
+
V
ới t > 2 thì
2
2
2 2 1 (3)
1
x
x x
x
> ⇔ > −
−
* Bất phương trình (3)
2 2
0
2 5
5
4(1 )
x
x
x x
>
⇔ ⇔ >
> −
Tập nghiệm của bất phương trình (3) là
2
2 5
;1
5
S
=
T
UY
ỂN CHỌN 50 B
ÀI TOÁN GI
ẢI BẤT PH
ƯƠNG TR
ÌNH
-
ÔN THI THPT QU
ỐC GIA
Trang
16
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
1 2
2 2 5
1; ;1
2 5
S S S
= ∪ = − ∪
Bài 39: Giải bất phương trình: )(152)13(
23
Rxxxx ∈++>+
Hướng dẫn: Điều kiện:
3
1
−≥x
+ Bất phương trình đã cho tương đương với
)1(0)113)(213(
)213)(213()213)(13(
134)213)(13(
)13(2152)213)(13(
2
2
<−−+−+⇔
++−+>−++⇔
++−>−++⇔
+−++>−++
xxxx
xxxxxxx
xxxxx
xxxxxxx
+
Ta có
3
1
,0113 −≥∀>+++ xxx nên
(1) )2(0)1()213(0
113
)1()213(
>−−+⇔>
+++
−−+
⇔ xxxx
xx
xxxx
Xét hai trường hợp xảy ra
+) Với
<
>
⇔>−
0
1
0)1(
x
x
xx
thì (2)
1
10
0
0134
0
0
213
2
<⇔
<≤
<
⇔
<−−
≥
<
⇔>+⇔ x
x
x
xx
x
x
xx
+) V
ới 100)1(
<
<
⇔
<
−
xxx thì (2)
φ
∈⇔
>−−
<<
⇔<+⇔ x
xx
x
xx
0134
10
213
2
Kết luận nghiệm
−= 1;
3
1
S
Bài 40: Giải bất phương trình )(,92515
392
)3453(2
Rxx
x
xxx
∈+<+
++
−+−
Hướng dẫn: Điều kiện
3
5
≥x . Lúc này bất phương trình đã cho tương đương với
3
3
5
3343
7
33
3
5
01029346
7
33
3
5
)733()152912(4
7
33
3
5
733152912225152912287
534532.5)3453(2
)392)(392(5)3453(2
222
22
<≤⇔
<∪>
<≤
⇔
>+−
<≤
⇔
−<+−
≤≤
⇔
−<+−⇔<+−+−⇔
<−+−⇔<−+−⇔
−+++<−+−
x
xx
x
xx
x
xxx
x
xxxxxx
xxxxxx
xxxxx
Vậy bất phương trình ban đầu có nghiệm là 3
3
5
<≤ x
Bài 41: Giải bất phương trình :
( )
2 2
x 1 x 5 x x 1
− + + > +
Hướng dẫn:
x 1
+ ≤
: loại
T
UY
ỂN CHỌN 50 B
ÀI TOÁN GI
ẢI BẤT PH
ƯƠNG TR
ÌNH
-
ÔN THI THPT QU
ỐC GIA
Trang
17
( )
2
2 2 2
2 2
2
2
x x 1 1 1
x 1: x 5 x 5 x x 5 x
x 1 x 1 x 1
5 1
5 x 1 x 5 x 4x 5 x 5
x 1
x 5 x
5
x
x 2
4
15x 40x 20 0
− +
+ > + > ⇔ + > + ⇔ + − >
− − −
⇔ > ⇔ − > + + ⇔ − > +
−
+ +
>
⇔ ⇔ >
− + >
Vậy : x > 2
Bài 42: Giải bất phương trình :
(
)
2 3
. 2 1 2 1
x x x x x
− + ≤ − −
Hướng dẫn: ĐK:
1
x
2
≥ −
(
)
(
)
( )
)
2
2
2 1 2 1 0
2 1 0 2 1 0
1 2;
⇔ + − + + ≤
⇔ + − ≤ + + ≥
⇔ ∈ + +∞
BPT x x x x
x x vi x x
x
Bài 43: Giải bất phương trình:
+ + < +
0,2 0,2 0,2
log x log (x 1) log (x 2)
.
Hướng dẫn: Điều kiện:
>
x 0
(*).
+ + < +
0,2 0,2 0,2
log x log (x 1) log (x 2)
⇔ + < +
2
0,2 0,2
log (x x) log (x 2)
⇔ + > +
2
x x x 2
⇔ >
x 2
(vì x > 0).
Vậy bất phương trình có nghiệm >
x 2
.
Bài 44: Giải bất phương trình:
2
20 4 2 4
x x x x
+ + + ≤ +
Hướng dẫn: Điều kiện: x
0 (*)
+ x = 0 là nghiệm bpt (1)
+ x > 0 chia 2 vế BPT cho
x
ta được:
4 2
x 20 1 2 x
x
x
+ + + ≤ +
- Đặt
2
2 4
t x x t 4
x
x
= + ⇒ + = −
Bất phương trình thành:
2
t 16 2t 1
+ ≤ −
2 2
1
t
t 3
2
t 16 4t 4t 1
≥
⇔ ⇔ ≥
+ ≤ − +
V
ới
t 3
≥
ta có:
2
x 3 x 4;0 x 1
x
+ ≥ ⇔ ≥ < ≤
Kết hợp với điều kiện (*) và nghiệm x = 0 ta được tập nghiệm bpt là
[
]
0; [ ; ]
S 1 4
= ∪ +∞
Bài 45: Giải bất phương trình:
2
300 40 2 10 1 3 10
0
1 1 2
x x x x
x x
− − − − − −
≤
+ + − −
T
UY
ỂN CHỌN 50 B
ÀI TOÁN GI
ẢI BẤT PH
ƯƠNG TR
ÌNH
-
ÔN THI THPT QU
ỐC GIA
Trang
18
Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm bất phương trình là:
1 3
5 10
x
≤ ≤
Bài 46: Giải bất phương trình:
(
)
2
( 2) 2 3 2 1 2 5 3 1
x x x x x
+ + − + + + + ≥
Hướng dẫn: Điều kiện:
1
x
≥ −
Đặt
2 2
2
2 2
2
2 3
1 2 5 3
, 0
1 2
x a b
x a
x b x x ab
a b
a b
+ = −
+ =
+ = ⇒ + + =
≥
= −
.
Bất phương trình trở thành:
2 2 2 2
( )( 2 ) 2
a b a b ab a b
− − + ≥ −
2 2 2 2
( )( 2 ) ( ) ( ) 0
( )( 2 ) ( 2 ) 0 ( 0)
( 2 )( 1) 0
a b a b b a b a b
a b a b a b do a b
a b a b
⇔ − − + + − − ≥
⇔ − − − − ≥ + >
⇔ − − − ≥
TH1:
1
1
1 1
2 3 2 1 0 3
2 2
2 3 1 1 0
1 3
x
x
x x x x
x x
x
≥ −
≥ −
+ − + ≤ ⇔ ≥ − ⇔ − ≤ ≤
+ − + − ≤
− ≤ ≤
Hướng dẫn: Điều kiện:
1 3
10 10
x≤ ≤
-
Ta có:
1 3
1 1 2, ;
10 10
x x x
+ + − < ∀ ∈
(Theo BĐT Bunhia)
2
2
Bpt 300 40 2 10 1 3 10 0
( 10 1 1) ( 3 10 1) 300 40 4
10 2 2 10
(10 2)(30 2)
10 1 1 3 10 1
x x x x
x x x x
x x
x x
x x
⇔ − − − − − − ≥
⇔ − − + − − ≤ − −
− −
⇔ + ≤ − +
− + − +
1 1
(10 2) 30 2 0
10 1 1 3 10 1
x x
x x
⇔ − − − − ≤
− + − +
(*)
2 2
1 1
( ) 30 2
10 1 1 3 10 1
5 5 1 3
'( ) 30 0, ( ; )
10 10
10 1( 10 1 1) 3 10 ( 3 10 1)
f x x
x x
f x x
x x x x
= − − −
− + − +
= − − − < ∀ ∈
− − + − − +
- Mặt khác
( )
f x
liên tục trên
1 3
[ ; ]
10 10
nên
( )
f x
nghịch biến trên
1 3
[ ; ]
10 10
3 1
( ) ( ) ( ) 0
10 10
f f x f
⇒ ≤ ≤ <
( Hs có thể đánh giá)
- Do đó bất phương trình (*)
1
10 2 0
5
x x
⇔ − ≥ ⇔ ≥
T
UY
ỂN CHỌN 50 B
ÀI TOÁN GI
ẢI BẤT PH
ƯƠNG TR
ÌNH
-
ÔN THI THPT QU
ỐC GIA
Trang
19
TH2:
1
1
1
2 3 2 1 0 1
2
2 3 1 1 0
1; 3
x
x
x x x x
x x
x x
≥ −
≥ −
+ − + ≥ ⇔ ≤ − ⇔ = −
+ − + − ≥
≤ − ≥
V
ậy bất phương trình có nghiệm
1
{ 1} ;3
2
S
= − ∪ −
Bài 47: Giải bất phương trình
2 2
1 2 3 4 .
x x x x
+ − ≥ − −
Hướng dẫn:
Điều kiện:
2
2
0
0 1
3 41
1 0 0 .
3 41 3 41
8
2 3 4 0
8 8
x
x
x x
x
x x
≥
≤ ≤
− +
− ≥ ⇔ ⇔ ≤ ≤
− − − +
≤ ≤
− − ≥
(*)
B
ất phương trình đã cho tương đương với
2 2 2
1 2 (1 ) 2 3 4
x x x x x x
+ − + − ≥ − −
2 2
3( ) (1 ) 2 ( )(1 ) 0
x x x x x x
⇔ + − − + + − ≥
2 2 2
2
5 34
1
9
3 2 1 0 9 10 1 0
1 1 1 3
5 34
.
9
x
x x x x x x
x x
x x x
x
− +
≥
+ + +
⇔ + − ≥ ⇔ ≥ ⇔ + − ≥ ⇔
− − −
− −
≤
Kết hợp điều kiện (*), ta suy ra nghiệm của bất phương trình là
5 34 3 41
.
9 8
x
− + − +
≤ ≤
Bài 48: Giải bất phương trình
(
)
(
)
2 3 2
5 5 10 7 2 6 2 13 6 32
x x x x x x x x
− + + + + + ≥ + − +
.
Hướng dẫn:
Điều kiện
2
x
≥ −
. Bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình
(
)
(
)
2 2 3 2
(5 5 10) 7 3 (2 6) 2 2 3(5 5 10) 2(2 6) 13 6 32
x x x x x x x x x x x
− + + − + + + − + − + + + ≥ + − +
(
)
(
)
2 3 2
(5 5 10) 7 3 (2 6) 2 2 2 5 10 0
x x x x x x x x
⇔ − + + − + + + − − + − + ≥
( )
2
2
5 5 10 2 6
2 5 0
7 3 2 2
x x x
x x
x x
− + +
⇔ − + − − ≥
+ + + +
(*)
+ Do
1 1
2 2 2 2
2
2 2
x x
x
≥ − ⇒ + + ≥ ⇒ ≤
+ +
và vì
2 6 0
x
+ >
2 6 2 6
3
2
2 2
x x
x
x
+ +
⇒ ≤ = +
+ +
(1)
+ Do
2
x
≥ − ⇒
1 1
7 3 5 3 5
5
7 3
x
x
+ + ≥ + > ⇒ <
+ +
và vì
2
5 5 10 0x x x
− + > ∀ ∈
ℝ
2 2 2
2 2
5 5 10 5 5 10 5 5 10
2 5 3
5
7 3 7 3
x x x x x x
x x x x
x x
− + − + − +
⇒ < = − + ⇒ − − < − −
+ + + +
(2)
Từ (1) và (2)
2
2
5 5 10 2 6
5 0
7 3 2 2
x x x
x
x x
− + +
⇒ + − − <
+ + + +
. Do đó (*)
2 0 2
x x
⇔ − ≤ ⇔ ≤
Kết hợp điều kiện
2 2 2
x x
≥ − ⇒ − ≤ ≤
.
T
UY
ỂN CHỌN 50 B
ÀI TOÁN GI
ẢI BẤT PH
ƯƠNG TR
ÌNH
-
ÔN THI THPT QU
ỐC GIA
Trang
20
Bài 49: Giải bất phương trình sau
1 2
3 1
3
log (2 8) log (24 2 ) 0
+ +
− + − ≤
x x
Hướng dẫn:
Điều kiện:
x 1
x 2
2 8 0
24 2 0
+
+
− >
− >
(1)
(
)
(
)
x 1 x 2
3 3
log 2 8 log 24 2
+ +
⇔ − ≤ −
x 1 x x
x 1 x 2 x x x
2 8 0 2 4 2 4
2 8 24 2 2.2 8 24 4.2 6.2 32
+
+ +
− > > >
⇔ ⇔ ⇔
− ≤ − − ≤ − ≤
x
2
16 16
4 2 2 x log
3 3
⇔ < ≤ ⇔ < ≤
Bài 50: Giải bất phương trình
2
2( 3 3 2 ) 2 3 7 0
+ − − + + − ≥
x x x x
Hướng dẫn:
Điều kiên :
3
3 x
2
− ≤ ≤
(
)
( )
( )( )
( )
2
2 x 3 2 1 3 2x 2x 3x 5 0
1 3 2x
x 3 4
2 x 1 2x 5 0
x 3 2 1 3 2x
2 4
x 1 2x 5 0
x 3 2 1 3 2x
(*)
⇔ + − + − − + + − ≥
− −
+ −
⇔ + + − + ≥
+ + + −
⇔ − + + + ≥
+ + + −
D
o
3 4
3 x 3 2x 9 1
2
3 2x 1
− ≤ ≤ ⇒ − ≤ ⇒ ≥
− +
và
2x 5 1
+ ≥ −
nên
2 4 3
2x 5 0, x 3;
2
x 3 2 1 3 2x
+ + + > ∀ ∈ −
+ + + −
- Từ (*)
x 1 0 x 1
⇔ − ≥ ⇔ ≥
. Kết hợp với điều kiện
⇒
tập nghiệm của bất phương
trình là
3
;
2
T 1
=
