Đề thi phương trình bất phương trình mũ logarit (2002 2009)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (195.67 KB, 15 trang )
1.
2.
3.
4.
5.
6.
PT-BPT MŨ LÔGARIT
***
2
log 2 ( x + y 2 ) = 1 + log 2 ( xy )
ĐH-A-2009. Giải hệ phương trình: 2 2
3x + y − xy = 81
*CĐ-2009. Cho 0
2
ĐH-A-2008. Giải phương trình: log 2 x −1 (2 x + x − 1) + log x +1 (2 x − 1) = 4
x2 + x
log 0,7 log 6
ĐH-B- 08 Giải bất phương trình:
÷< 0
x+4
x 2 − 3x + 2
≥0
ĐH-B-08 Giải bất phương trình: log 1
x
2
ĐH-A-07 Giải bất phương trình: 2log 3 (4 x − 3) + log 1 (2 x + 3) ≤ 2
(
) (
)
x
2 −1 +
3
x
2 +1 − 2 2 = 0
7.
*ĐH-B-07 Giải phương trình:
8.
x
x
*ĐH-D-07 Giải phương trình: log 2 (4 + 15.2 + 27) + log 2
9.
*Tham khảo 2007. Giải BPT:
10.
*Tham khảo 2007. Giải PT: log 4 ( x − 1) +
( log
x8+
)
1
4.2 x − 3
=0
log 4 x 2 log 2 2 x ≥ 0
1
log 2 x +1 4
=
1
+ log 2 x + 2 .
2
2
11.
Tham khảo 2007. Giải PT: log 3 ( x − 1) + log 3 (2 x − 1) = 2
12.
*Tham khảo 2007. Giải PT: (2 − log 3 x)log 9 x 3 −
13.
2
2
Tham khảo 2007. Giải BPT: log 1 2 x − 3 x + 1 + 2 log 2 ( x − 1) ≥ 2
2
14.
15.
16.
Tham khảo 2007. Giải BPT: 23x +1 − 7.22x + 7.2 x − 2 = 0
*ĐH-A-2006 Giải phương trình3.8x + 4.12 x − 18x − 2.27 x = 0
Tham khảo 2006 Giải PT log x 2 + 2log 2 x 4 = log 2 x 8
17.
x
x −2
+ 1
ĐH-B-2006 Giải BPT log 5 4 + 144 − 4log 5 2 < 1 + log 5 2
18.
Tham khảo 2006 log
4
=1
1 − log 3 x
1
(
1
)
(
x + 1 − log 1 (3 − x) − log 8 ( x − 1)3 = 0
2
2
x2 + x −1
x2 + x − 2
19.
*Tham khảo 2006 9
20.
ĐH-D-2006 CM với mỗi a>0 hệ sau có nghiệm duy nhất
21.
ĐH-D-2006 Giải PT 2 x
22.
23.
24.
)
− 10.3
+1 = 0
e x − e y = ln(1 + x) − ln(1 + y )
y − x = a
2
+x
2
− 4.2 x − x − 22 x + 4 = 0
x
x +1
Tham khảo 2006 Giải PT log 3 ( 3 − 1) log 3 ( 3 − 3) = 6
ln(1 + x) − ln(1 + y ) = x − y
***Tham khảo 2006 Giải HPT 2
2
x − 12 xy + 20 y = 0.
1
2 ( log 2 x + 1) log 4 x + log 2 = 0
4
Tham khảo 2006 Giải
1
x −1 + 2 − y = 1
25.
*ĐH-B-2005 Giải hệ
26.
12 15 20
***ĐH-D-2005 CMR ÷ + ÷ + ÷ ≥ 3x + 4 x + 5 x
5 4 3
2
3
3 log 9 (9 x ) − log 3 y = 3.
x
2
−2 x
x
x
2 x−x2
1
− 2 ÷
3
≤3
27.
Tham khảo-2005 Giải 9 x
28.
***Tham khảo-2005 Cho x +y +z = 0. CMR: 2 + 4 x + 2 + 4 y + 2 + 4 z ≥ 3 3.
29.
1
log 1 (y − x) − log 4 y = 1
ĐH-A-2004 Giải HPT: 4
x 2 + y 2 = 25
30.
2
Tham khảo-2004 Giải BPT log π log 2 x + 2 x − x < 0.
4
31.
Tham khảo-2004 Giải BPT: 2.x 2 log 2 x ≥ 2 2 log 2 x
)
(
1
3
32.
***Tham khảo-2004 CMR phương trình sau có nghiệm duy nhất x x +1 = ( x + 1)
33.
ĐH-B-2004 Tìm GTNN của hàm số: y =
34.
***Tham khảo 2004 Giải BPT:
35.
***Tham khảo 2004
ln 2 x
x
x
( x > 0)
x ∈ 1;e3
2 x −1 + 6 x − 11
>4
x −2
x2
Tìm GTNN của hàm số và CMR f(x)=3 có đúng 2 nghiệm.
2
*Tham khảo 2004 Giải BPT log 3 x > log x 3
Cho hàm số y = e x − sin x +
36.
37.
x 2 + y = y2 + x
***Tham khảo 2004 Giải HPT
2 x + y − 2 x − 1 = x − y.
38.
x +1
x
x +1
Tham khảo 2003 Giải BPT 15.2 + 1 ≥ 2 − 1 + 2
39.
40.
41.
42.
43.
44.
Tham khảo 2003 Tìm m để PT có nghiệm thuộc (0;1): 4(log 2 x ) − log 1 x + m = 0
2
2
ĐH-D-2003 Giải PT: 2
x2 − x
2 + x − x2
−2
=3
x
Tham khảo 2003 Giải PT: log 5 5 − 4 = 1 − x
(
)
2
2
ĐH-A-2002 Cho PT log 3 x + log 3 x + 1 − 2m − 1 = 0
1) Giải PT khi m=2
2) Tìm m để PT có nghiệm trên [1 ; 3 3 ]
2
Tham khảo 2002 Giải PT 16 log 2 x − 3log 3 x x = 0
27 x
x − 1 3 − 3x − k < 0
Tham khảo 2002 Tìm k để hệ BPT sau có nghiệm:
1
1
3
log 2 x 2 + log 2 ( x − 1) ≤ 1
2
3
2
(
))
(
45.
x
ĐH-B-2002 Giải BPT log x log 3 9 − 72 ≤ 1
46.
Tham khảo 2002 Giải HPT
47.
Tham khảo 2002 Tìm m để PT sau có nghiệm: 91+
48.
Tham khảo 2002 Giải PT:
49.
50.
51.
x − 4 y + 3 = 0
log 4 x − log 2 y = 0
1
log
2
2
1− x 2
− ( a + 2 ) 31+
23 x = 5 y 2 − 4 y
ĐH-D-2002 Giải HPT 4 x + 2 x+1
=y
x
2 +2
log x x3 + 2 x 2 − 3 x − 5 y = 3
Tham khảo 2002 Giải PT :
3
2
log y y + 2 y − 3 y − 5 x = 3
Tham khảo 2002 Giải BPT
(
+ 2a + 1 = 0
1
8
log 4 ( x − 1) = log 2 ( 4 x )
4
( x + 3) +
(
(
1− x 2
)
(
)
)
)
log 1 4 x + 4 ≥ log 1 2 2 x +1 − 3.2 2 .
2
2
PT-BPT MŨ LÔGARIT
***
log 2 ( x + y 2 ) = 1 + log 2 ( xy )
ĐH-A-2009. Giải hệ phương trình: 2 2
3x + y − xy = 81
2
1.
HD: HPT tương đương
xy > 0
xy > 0
x = 2 x = −2
2
2
⇔
∨
x + y = 2 xy ⇔ x = y
y = 2 y = −2
x 2 + y 2 − xy = 4
x 2 + y 2 − xy = 4
*CĐ-2009. Cho 0
ln b
<
HD: Đưa BĐT về dạng tương đương (1 + a 2 ) ln b > ln a (1 + b 2 ) ⇔
2
1 + a 1 + b2
1 + x 2 (1 − 2 ln x)
ln x
f ′( x) =
> 0 vì lnx<0 và 0
Xét hàm số f ( x) =
với 0
1 + x2
2.
(
)
Suy ra f(x) đồng biến trên (0;1) Mà 0
ĐH-A-2008. Giải phương trình:
log 2 x −1 (2 x 2 + x − 1) + log x +1 (2 x − 1) 2 = 4
HD: Với điều kiện x >
1
, PT tương đương: log 2 x −1 (2 x − 1)( x + 1) + 2 log x +1 (2 x − 1) = 4
2
⇔ log 2 x −1 ( x + 1) + 2 log x +1 (2 x − 1) = 3
Đặt t = log 2 x −1 ( x + 1) ta được: t +
t = 1
2
=3⇔
t
t = 2
log 2 x −1 ( x + 1) = 1 ⇔ x + 1 = 2 x − 1 ⇔ x = 2 thỏa ĐK x >
1
2
Với t=1 ta có:
x = 0
Với t=2 ta có: log 2 x −1 ( x + 1) = 2 ⇔ x + 1 = (2 x − 1) ⇔ 4 x − 5 x = 0 ⇔
x = 5
4
2
3
2
Do ĐK ta chỉ nhận x =
5
5
. ĐS: x=2, x =
4
4
x2 + x
ĐH-B- 08 Giải bất phương trình: log 0,7 log 6
÷< 0
x+4
4.
2
log 6
x +x
HD: log 0,7 log 6
÷< 0 ⇔
x+4
log
6
x2 + x
x2 + x
>0
x+4 >0
x2 + x
x+4
x2 + x
⇔ log 6
>1⇔ 2
⇔
>6
x+4
x2 + x
x+4
x + x > 6
>1
x+4
x+4
⇔ −4 < x < −3 ∨ x > 8
x 2 − 3x + 2
≥0
ĐH-B-08 Giải bất phương trình: log 1
x
2
5.
x 2 − 3x + 2
0 < x < 1 ∨ x > 2
0 < x < 1 ∨ x > 2
>0
x 2 − 3x + 2
2
x
log 1
≥0 ⇔ 2
⇔ x − 4x + 2
⇔ x2 − 4 x + 2
x
≤0
≤0
2
x − 3x + 2 ≤ 1
x
x
x
HD:
0 < x < 1 ∨ x > 2
⇔
⇔ 2− 2 ≤ x <1 ∨ 2 < x ≤ 2+ 2
( x < 0) ∨ 2 − 2 ≤ x ≤ 2 + 2
) (
(
) (
)
ĐH-A-07 Giải bất phương trình: 2log 3 (4 x − 3) + log 1 (2 x + 3) ≤ 2
6.
3
3
x >
4
HD: BPT tương đương
log (4 x − 3) 2 − log (2 x + 3) ≤ 2
3
3
3
3
3
3
x > 4
x > 4
x > 4
x>
3
4
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔ < x≤3
2
2
4
log (4 x − 3) ≤ 2
(4 x − 3) ≤ 9
8 x 2 − 21x − 9 ≤ 0 − 3 ≤ x ≤ 3
3
8
2x + 3
2x + 3
7.
*ĐH-B-07 Giải phương trình:
HD: Đặt t =
(
)
(
) (
x
2 −1 +
)
x
2 +1 − 2 2 = 0
x
2 + 1 ta được PT:
1
t + = 2 2 ⇔ t 2 − 2 2t + 1 = 0 ⇔ t = 2 − 1 ∨ t = 2 + 1 ⇔ x = −1 ∨ x = 1
t
x
x
*ĐH-D-07 Giải phương trình: log 2 (4 + 15.2 + 27) + log 2
8.
1
4.2 x − 3
=0
HD: Đặt t=2x, t>0 ta được:
4
4
1
t >
t >
⇔ 3
log 2 (t + 15t + 27) + log 2
=0 ⇔ 3
4t − 3
t 2 + 15t + 27 = 4t − 3
t 2 + 11t + 30 = 0
Phương trình vơ nghiệm t nên phương trình đã cho vơ nghiệm x
2
4
9.
*Tham khảo 2007. Giải BPT:
( log
x 8 + log 4
)
x 2 log 2 2 x ≥ 0
HD: ĐK: x>0, x≠1
Đưa về 3log x 2 + log 2 x =
1 1
6
+ log 2 x ⇔ + 2t = 1 + t
2 2
t
(t = log 2 x)
⇔ t 2 − t + 6 = 0 ⇔ t = 3 ∨ t = −2 ⇔ x = 8 ∨ t =
10.
*Tham khảo 2007. Giải PT: log 4 ( x − 1) +
HD: ĐK: x>1
Đưa về
1
log 2 x +1 4
=
1
4
1
+ log 2 x + 2 .
2
1
1
1 1
log 2 ( x − 1) +
= + log 2 ( x + 2)
2
2 log 2 x +1 2 2 2
⇔ log 2 ( x − 1) + log 2 (2 x + 1) = 1 + log 2 ( x + 2) ⇔ log 2 ( x − 1)(2 x + 1) = log 2 2( x + 2)
⇔ 2 x 2 − 3 x − 5 = 0 ⇔ x = −1 ∨ x =
11.
5
2
Do ĐK, chỉ nhận nghiệm x = 5
2
2
Tham khảo 2007. Giải PT: log 3 ( x − 1) + log
3
(2 x − 1) = 2
HD: ĐK x>1
Đưa về 2log 3 ( x − 1) + 2log 3 (2 x − 1) = 2
1
⇔ log 3 ( x − 1)(2 x − 1) = 1 ⇔ ( x − 1)(2 x − 1) = 3 ⇔ 2 x 2 − 3 x − 2 = 0 ⇔ x = 2 ∨ x = − .
2
Do ĐK chỉ nhận x=2
12.
*Tham khảo 2007. Giải PT: (2 − log 3 x)log 9 x 3 −
HD: ĐK x>0, x≠
1
9
Đưa về (2 − log 3 x)
4
=1
1 − log 3 x
1
4
2 − log 3 x
4
−
=1 ⇔
−
=1
log 3 9 x 1 − log 3 x
2 + log 3 x 1 − log 3 x
2−t
4
−
= 1 (t = log 3 x)
2 + t 1− t
⇔ (2 − t )(1 − t ) − 4(2 − t ) = (2 + t )(1 − t )
⇔
⇔ t2 + t − 4 = 0 ⇔ t =
13.
−1 − 17
−1 + 17 Do ĐK chỉ nhận
−1 + 17
t=
∨t =
2
2
2
1
1
2
2
Tham khảo 2007. Giải BPT: log 1 2 x − 3 x + 1 + 2 log 2 ( x − 1) ≥ 2
2
HD: ĐK x <
1
∨ x >1
2
1
1
1
2
( x − 1)
( x − 1)
Đưa về − log 2 ( x − 1)(2 x − 1) + log 2 ( x − 1) ≥ ⇔ log 2
≥2
≥1 ⇔
2
2
2
( x − 1)(2 x − 1)
( x − 1)(2 x − 1)
2
⇔
( x − 1)( −3x + 1)
−3 x + 1
−3 x 2 + 4 x − 1
1
1
≥0 ⇔
≥0⇔
≥0 ⇔ ≤x<
( x − 1)(2 x − 1)
( x − 1)(2 x − 1)
3
2
2x −1
1
x < 2 ∨ x > 1
1
1
⇔ ≤x<
Kết hợp ĐK:
3
2
1 ≤ x < 1
3
2
5
2
Tham khảo 2007. Giải BPT: 23x +1 − 7.2 2x + 7.2 x − 2 = 0
3
2
x
HD: 2t − 7t + 7t − 2 = 0 (t = 2 , t > 0)
1
⇔ (t − 1)(2t 2 − 5t + 2) = 0 ⇔ t = 1 ∨ t = 2 ∨ t = ⇔ x = 0 ∨ x = 1 ∨ x = −1
2
x
15.
*ĐH-A-2006 Giải phương trình3.8 + 4.12 x − 18x − 2.27 x = 0
HD: 3.23 x + 4.3x 22 x − 32 x 2 x − 2.33 x = 0
14.
3x
2x
x
2
2
2
Chia 2 vế của PT cho 3 ta đươc: 3. ÷ + 4 ÷ − ÷ − 2 = 0
3
3
3
x
2
2
Đặt t = ÷ , t>0 ta có: 3t 3 + 4t 2 − t − 2 = 0 ⇔ t = −1 ∨ t =
3
3
2
Do ĐK ta chỉ nhận t = ⇔ x=1
3
16.
Tham khảo 2006 Giải PT: log x 2 + 2log 2 x 4 = log 2 x 8
3x
HD: ĐK x>0, x≠1, x≠
⇔
1
2
1
1
+
=
. PT tương đương với:
log 2 x log 4 2 x log8 2 x
2
1
4
6
1
2
+
=
⇔
=
⇔ 1 + log 2 x = 2log 2 x
log 2 x 1 + log 2 x 1 + log 2 x
log 2 x 1 + log 2 x
(
⇔ 2x = x 2 ⇔ x = 2
)
(
)
x
x −2
+ 1
ĐH-B-2006 Giải BPT: log 5 4 + 144 − 4log 5 2 < 1 + log 5 2
17.
HD: Biến đổi BPT
4 x + 144
x −2
log 5
+5
÷ < log 5 5.2
16
(
)
4x + 144
⇔
< 5.2 x −2 + 5 ⇔ 4x -20.2x + 64 < 0
16
⇔ t 2 -20.t + 64 < 0(t=2 x > 0) ⇔ (t − 4)(t − 16) < 0 ⇔ 4 < t < 16 ⇔ 2 < x < 4
Tham khảo 2006: log
18.
2
x + 1 − log 1 (3 − x) − log 8 ( x − 1)3 = 0
2
HD: ĐK 1
⇔
( x + 1)(3 − x)
1 − 17
1 + 17
= 1 ⇔ x2 − x − 4 = 0 ⇔ x =
∨x=
x −1
2
2
19.
( x + 1)(3 − x)
=0
x −1
Do ĐK chỉ nhận x = 1 + 17
2
*Tham khảo 2006: 9 x2 + x −1 − 10.3x2 + x − 2 + 1 = 0
1 x2 + x 10 x2 + x
9
− .3
+ 1 = 0 . Đặt t = 3x2 + x , t > 0
9
9
2
Ta được t − 10t + 9 = 0 ⇔ t = 1 ∨ t = 9 ⇔ x 2 + x = 0 ∨ x 2 + x − 2 = 0 ⇔ x = −2 ∨ x = −1 ∨ x = 0 ∨ x = 1
HD:
e x − e y = ln(1 + x) − ln(1 + y )
20.
***ĐH-D-2006 CM với mỗi a>0 hệ sau có nghiệm duy nhất:
y − x = a
e x+ a − e x − ln(1 + x + a ) + ln(1 + x ) = 0
HD: Biến đổi
y = x + a
6
Xét hàm số
f ( x) = e x + a − e x − ln(1 + x + a ) + ln(1 + x ), x > −1
a
f ′( x) = e x (e a − 1) +
> 0 (vì a>0 và x>−1)
(1 + x)(1 + x + a)
lim f ( x) = +∞, lim f ( x) = −∞ , f(x) liên tục trên (−1; +∞) . Từ hai kết quả trên, f(x)=0 có nghiệm x
0
x →+∞
+
t →−1
trên (−1; +∞)
Do f ′( x) > 0, ∀x > −1 nên f(x)=0 có khơng q 1 nghiệm
Kết luận f(x)=0 có nghiệm duy nhất x0 và HPT có nghiệm duy nhất.(x=x0;y=x0+a)
ĐH-D-2006 Giải PT: 2 x
21.
2
+x
− 4.2 x
2
−x
− 22 x + 4 = 0
x2 + x
u = 2
HD: Đặt
Suy ra u.v = 22 x (u>0,v>0)
2
v = 2 x − x
Phương trình thành:
u − 4v − uv + 4 = 0 ⇔ u(1-v)+4(1-v)=0 ⇔ (u+4)(1-v)=0 ⇔ v=1 ⇔ x 2 − x = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 1
(
)
(
(
)
)
x
x +1
Tham khảo 2006 Giải PT: log 3 3 − 1 log3 3 − 3 = 6
22.
HD: Đưa về:
(
)
(
)
(
)
log 3 3x − 1 log 3 3(3x − 1) = 6 ⇔ log 3 3x − 1 1+log 3 3x − 1 = 6
( t = log ( 3 − 1) ) ⇔ t
⇔ t (1 + t ) = 6
(
x
3
)
(
2
+ t − 6 = 0 ⇔ t = 2 ∨ t = −3
)
⇔ log 3 3x − 1 = 2 ∨ log 3 3x − 1 = −3 ⇔ 3x − 1 = 9 ∨ 3x − 1 =
⇔ 3x = 10 ∨ 3x =
23.
1
27
28
28
⇔ x = log 3 10 ∨ x = log 3
27
27
ln(1 + x ) − ln(1 + y ) = x − y
***Tham khảo 2006 Giải HPT: 2
2
x − 12 xy + 20 y = 0.
HD:
Xét PT thứ nhất ln(1+x)-x=ln(1+y)−y
Đặt f(t)=ln(1+t)−t (t>−1)
1
−t
f ′(t ) =
−1 =
t +1
t +1
Nếu −1
Xét x2−12xy+20y2=0 ⇔ x=10y V x=2y
Nếu y=0 thì x=0 thỏa hệ PT
Nếu y>0 thì x=10y hay x=2y đều cho x>0, y>0
Nếu −1
PT đầu thành f(x)=f(y) ⇔ x=y
y > −1, y ≠ 0
Hệ đã cho thành x = 10 y ∨ x = 2 y vơ nghiệm
x = y
Kết luận: hệ có nghiệm (x=0;y=0)
7
2 ( log 2 x + 1) log 4 x + log 2
24.
Tham khảo 2006 Giải:
( log 2 x + 1) log 2 x − 2 = 0 . Đặt t=log2x
HD: Đưa về
1
⇔ x=2 ∨ x=
2
t +t − 2 = 0 ⇔ t=1 ∨ t= − 2
4
1
=0
4
x −1 + 2 − y = 1
*ĐH-B-2005 Giải hệ:
25.
2
3
3 log 9 (9 x ) − log 3 y = 3.
x −1 + 2 − y = 1
x −1 + 2 − y = 1
⇔
HD: Với điều kiện x≥1, 0
log 3 (3x) − log 3 y = 1
log 3 ÷ = 1
y
x −1 + 2 − y = 1
y = x
⇔
⇔
x −1 + 2 − x = 1
x = y
x − 1 + 2 − x = 1 (1≤1≤2) ta có
Xét
x −1+ 2 − x + 2 x −1 2 − x = 1 ⇔ x −1 2 − x = 0 ⇔ x = 1∨ x = 2
x = 1 x = 2
∨
Nghiệm của hệ là
y =1 y = 2
x
x
x
12 15 20
***ĐH-D-2005 CMR: ÷ + ÷ + ÷ ≥ 3x + 4 x + 5 x
5 4 3
HD: Dùng BĐT Côsi ta có:
26.
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
12 15
12 15
x
÷ + ÷ ≥ 2 ÷ ÷ = 2.3
5 4
5 4
x
12 20
12 20
x
÷ + ÷ ≥ 2 ÷ ÷ = 2.4
5 3
5 3
15 20
15
÷ + ÷ ≥ 2 ÷
4 3
4
x
x
x
20
x
÷ = 2.5
3
x
12 15 20
Suy ra ÷ + ÷ + ÷ ≥ 3x + 4 x + 5 x
5 4 3
27.
Tham khảo-2005 Giải: 9
x 2 −2 x
2 x−x2
1
− 2 ÷
3
≤3
HD: Đặt t = 3x2 − 2 x , t > 0 ta có t2−2t−3≤0 ⇔ −1≤t≤3
BPT thành 3x2 −2 x ≤ 3 ⇔ x 2 − 2 x ≤ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤ 2
28.
***Tham khảo-2005 Cho x +y +z = 0. CMR: 2 + 4 x + 2 + 4 y + 2 + 4 z ≥ 3 3.
HD: Mơt bài tốn hay. Dự đốn x=y=z=0 thì “=” xảy ra. Ta dùng BĐT Cơsi với chú ý x=0 thì 4x=1.
x
2 + 4 x = 1 + 1 + 4 x ≥ 3 3 4 x ⇒ 2 + 4 x ≥ 32 3
Tương tự với y,z ta có:
8
y
z
x
x + y+z
3
2 + 4x + 2 + 4 y + 2 + 4z ≥ 3 2 3 + 2 3 + 2 3 ÷
÷ ≥ 3 3 2 3 = 3 3 (vì x+y+z=0)
29.
HD:
1
log 1 (y − x) − log 4 = 1
y
ĐH-A-2004 Giải HPT: 4
x 2 + y 2 = 25
y > 0, y > x
y > 0, y > x
1
− log 4 (y − x) + log 4 y = 1
y
y
log 1 (y − x) − log 4 y = 1
⇔ 2
⇔ log 4
=1 ⇔
=4
4
2
y−x
x + y = 25
y − x
x 2 + y 2 = 25
x 2 + y 2 = 25
x 2 + y 2 = 25
y > 0, y > x
y > 0, y > x
y > 0, y > x y > 0, y > x
x = 3
4x
4x
⇔ y =
⇔ y =
⇔ y = 4
∨ y = −4
⇔
3
3
y = 4
x = 3
x = −3
2
2
2
x + y = 25
x = 9
30.
)
(
2
Tham khảo-2004 Giải BPT: log π log 2 x + 2 x − x < 0.
4
(
(
)
)
log x + 2 x 2 − x > 0
2
log x + 2 x 2 − x < 0.
log π
⇔ log 2 x + 2 x 2 − x > 1
⇔
2
2
4
log 2 x + 2 x − x > 1
)
(
HD:
(
)
x + 2x 2 − x > 0
2 − x < 0
2 − x ≥ 0
⇔
∨ 2
⇔ x + 2x 2 − x > 2 ⇔ 2 x 2 − x > 2 − x ⇔ 2
2
2 x − x ≥ 0 2 x − x > x − 4 x + 4
x + 2x 2 − x > 2
x ≤ 2
x > 2
x ≤ 2
⇔ ( x < −4 ) ∨ ( 1 < x )
⇔
∨ 2
⇔ x > 2∨
x ≤ 0 ∨ x ≥ 2 x + 3x − 4 > 0
x < −4 ∨ x > 1
1
31.
3
Tham khảo-2004 Giải BPT: 2.x 2 log2 x ≥ 2 2 log2 x
3
log 2 x
1
3
1 log2 x
1
3
log 2 x
log 2 x
2
⇔ log 2 2.x
⇔ 1 + log 2 x ≥ log 2 x ⇔ 1 ≥ log 2 x ⇔ 0 < x ≤ 2
÷ ≥ log 2 2 2
2.x 2
≥ 22
HD:
2
2
32.
***Tham khảo-2004 CMR phương trình sau có nghiệm duy nhất: x x +1 = ( x + 1)
x
( x > 0)
HD: x x +1 = ( x + 1) ⇔ ln x x +1 = ln ( x + 1) ⇔ ( x + 1) ln x = x ln ( x + 1) ⇔ ( x + 1) ln x − x ln( x + 1) = 0
Đặt f ( x ) = ( x + 1) ln x − x ln( x + 1)
x
x
1
1
− x2 − x −1
+
f ′′( x) = 2
< 0 Suy ra f’(x) nghịch biến trên R+
x x +1
x ( x + 1) 2
x
1
1
+
+ +
Mà: xlim f ′( x ) = xlim ln
÷ = 0 ⇒ f’(x)>0 với mọi x>0 ⇒ f(x) đồng biến trên R
→+∞
→+∞
x +1 x x +1
lim f ( x) = −∞
f(e)=e+1−eln(e+1)>0
f ′( x) = ln x − ln( x + 1) +
x → 0+
Vậy có x0 thuộc (0;e) để f(x0)=0 và x0 là nghiệm duy nhất.
9
ln 2 x
33.
ĐH-B-2004 Tìm GTNN của hàm số: y =
x ∈ 1;e3
x
ln x(2 − ln x)
ln 2 x
HD: y = f (x) =
f ′(x) = 0 ⇔ x = 1 ∨ x = e2
x ∈ 1;e3 f ′(x) =
2
x
x
2
f(1)=0; f (e ) =
34.
HD:
4
9
f (e 3 ) = 3
2 ;
e
e
2
GTNN là f(1)=0; GTLN là f (e ) =
***Tham khảo 2004 Giải BPT:
4
e2
2 x −1 + 6 x − 11
>4
x −2
2 x −1 + 2 x − 3
>0
x−2
2 x −1 + 2 x − 3 < 0
x<1 thì
suy ra x<1 thỏa BPT
x − 2 < 0
x=1 không thỏa BPT
2 x −1 + 2 x − 3 > 0
1
2 x −1 + 2 x − 3 > 0
x>2 thì
suy ra x>2 thỏa BPT
x − 2 > 0
Kết luận: nghiệm là x<1, x>2
x2
2
Tìm GTNN của hàm số và CMR f(x)=3 có đúng 2 nghiệm.
x2
f ′( x) = e x − cos x + x
f ′′( x) = e x + sin x + 1 > 0
HD: y = f ( x) = e x − sin x +
2
Suy ra f’(x) đồng biến trên R, f’(0)=0
Suy ra f’(x)>0 khi x>0 và f’(x)<0 khi x<0
Suy ra f(x) đồng biến khi x>0 và nghịch biến khi x<0
GTNN là f(0)=1
x2
x2
y = f ( x) = e x − 1 + 1 − sin x + ≥ e x − 1 +
2
2
2
x
x
Mà xlim e − 1 + ÷ = +∞ ⇒ xlim f ( x ) = +∞
→+∞
→+∞
2
35.
36.
Tham khảo 2004 Cho hàm số y = e x − sin x +
x2
lim e x − 1 + ÷ = +∞ ⇒ xlim f ( x ) = +∞
Và x →−∞
→−∞
2
Bảng biến thiên hàm số cho ta f(x)=3 có đúng 2 nghiệm phân biệt.
*Tham khảo 2004 Giải BPT log 3 x > log x 3
x > 0, x ≠ 1
x > 0, x ≠ 1
x > 0, x ≠ 1
x > 0, x ≠ 1
⇔
HD: Đưa về t = log 3 x ⇔ t = log 3 x ⇔ t = log 3 x
−1 < log 3 x < 0 ∨ log 3 x > 1
1
2
−1 < t < 0 ∨ t > 1
t −1
t >
>0
t
t
1
⇔ < x < 1∨ x > 3
3
10
37.
x 2 + y = y2 + x
x+ y x− 1
2 − 2 = x − y.
***Tham khảo 2004 Giải HPT
HD: Xét PT thứ nhất: (x−y)(x+y−1)=0
Thay y=x vào PT thứ hai 22 x − 2 x−1 = 0 ⇔ 2 x = x − 1 ⇔ x = −1 (y=−1)
x −1
Thay y=1−x vào PT thứ hai 2 x −1 + 2 x − 3 = 0 Hàm số f ( x) = 2 + 2 x − 3 đồng biến trên R và f(1)=0
nên f(x)=0 có nghiệm duy nhất x=1 (y=0)
Kết luận (x=−1;y=−1), (x=1;y=0)
15.2 x +1 + 1 ≥ 2 x − 1 + 2 x +1
Tham khảo 2003 Giải BPT
38.
HD: Đặt t=2x ta được 30t + 1 ≥ t − 1 + 2t
t=1 thỏa BPT
t > 1
t > 1
⇔ 2
⇔1< t ≤ 4
30t + 1 ≥ 9t − 6t + 1
t − 4t ≤ 0
t < −1
−1 ≤ t < 1
−1 ≤ t < 1
−1
⇔
≤ t < −1 ∨ 2
t<1 ta được 30t + 1 ≥ t + 1 ⇔ −1 ∨
2
30
t − 28t ≤ 0
t ≥ 30 30t + 1 ≥ t + 2t + 1
−1 ≤ t < 1
−1
−1
⇔
≤ t < −1 ∨
⇔
≤ t < −1 ∨ 0 ≤ t < 1
0 ≤ t ≤ 28
30
30
t>1 ta được 30t + 1 ≥ 3t − 1 ⇔
2
Tổng hợp các trường hợp và điều kiện t>0 ta có 0 < t ≤ 4 ⇔ 0 < 2 x ≤ 4 ⇔ x ≤ 2
39.
Tham khảo 2003 Tìm m để PT có nghiệm thuộc (0;1) : 4(log 2 x ) − log 1 x + m = 0
2
2
HD: 4(log 2 x ) − log 1 x + m = 0 ⇔ ( log 2 x ) + log 2 x + m = 0 ⇔ m = − ( log 2 x ) − log 2 x
2
2
2
2
Với 0
1
Khảo sát hàm số cho kết quả m ≤
4
ĐH-D-2003 Giải PT: 2 x2 − x − 22+ x − x2 = 3
40.
HD: 2
x2 − x
−2
2 + x − x2
=3
⇔ 2x
2
−x
−
2x
2
−x
⇔ x = −1 ∨ x = 2
41.
(
)
x
Tham khảo 2003 Giải PT: log 5 5 − 4 = 1 − x
(
)
HD: log 5 5 − 4 = 1 − x ⇔ 5 x − 4 = 51− x
42.
x2 − x
2
2
= 3 ⇔ t = 2
2
⇔ 2x −x = 4 ⇔ x − x − 2 = 0
t − 3t − 4 = 0
4
x
t = 5 x
t = 5 x
t = 5 x
⇔
⇔
⇔ x =1
5 ⇔ 2
t − 4t − 5 = 0
t = 5
t − 4 =
t
2
2
ĐH-A-2002 Cho PT : log 3 x + log 3 x + 1 − 2m − 1 = 0
1) Giải PT khi m=2
2) Tìm m để PT có nghiệm trên [1 ; 3 3 ]
HD:
11
t = log 2 x + 1
3
2
2
1) log 3 x + log3 x + 1 − 5 = 0 ⇔
t + t − 6 = 0
2) Xét 1 ≤ x ≤ 3
2
t = log 2 x + 1
2
3
⇔
⇔ log 3 x = 3 ⇔ log 3 x = ± 3 ⇔ x = 3±
t = 2
⇔ 0 ≤ log 3 x ≤ 3
3
t = log 2 x + 1
3
2
2
log 3 x + log 3 x + 1 − 2 m − 1 = 0 ⇔
1 2
m = f (t ) = t + t − 2
2
(
43.
)
PT ban đầu có nghiệm x thỏa 1 ≤ x ≤ 3 3 khi và chỉ khi m thuộc miền giá trị của f(t) với 1 ≤ t ≤ 2
Khảo sát hàm số ta được 0 ≤ m ≤ 2
2
Tham khảo 2002 Giải PT: 16 log 2 x − 3log 3 x x = 0
27 x
1
1
HD: Với ĐK x > 0, x ≠ , x ≠
3
3
8log 3 x
3log 3 x
=
Đưa về dạng
3 + 2 log 3 x 1 + log 3 x
Hoặc log 3 x = 0 ⇔ x = 1
8
3
1
=
⇔ log 3 x = ⇔ x = 3
Hoặc
3 + 2 log 3 x 1 + log 3 x
2
x − 1 3 − 3x − k < 0
Tham khảo 2002 Tìm k để hệ BPT sau có nghiệm:
1
3
2 1
log 2 x + log 2 ( x − 1) ≤ 1
2
3
HD: Xét BPT ta có
1
1
3
log 2 x 2 + log 2 ( x − 1) ≤ 1
2
3
Giải xong được −1 ≤ x ≤ 2
3
3
Xét BPT x − 1 − 3 x − k < 0 ⇔ k > f ( x) = x − 1 − 3 x
Xét −1 ≤ x ≤ 1 , k > f ( x) = ( 1 − x ) − 3 x
44.
3
3
(
))
(
x
ĐH-B-2002 Giải BPT : log x log 3 9 − 72 ≤ 1
0 < x < 1
x > 1
x
x
x
HD: log x log 3 9 − 72 ≤ 1 ⇔ log 3 9 − 72 > 0 ∨ log 3 9 − 72 > 0
x
x
log 3 9 − 72 ≥ x log 3 9 − 72 ≤ x
x > 1
x > 1
0 < x < 1
0 < x < 1
x
⇔
∨ 9 − 72 > 1 ⇔ x
∨ 3x > 6 2
x
x
9 − 72 ≥ 3 x x
log 3 9 − 72 ≥ x x
9 − 72 ≤ 3x
9 − 3 − 72 ≤ 0
(
(
))
(
(
(
)
)
(
(
)
0 < x < 1
x > 1
⇔ x
∨
⇔ log 3 6 2 < x ≤ 2
x
x
3 ≤ −8 ∨ 3 ≥ 9 6 2 ≤ 3 ≤ 9
(
)
12
)
)
45.
x − 4 y + 3 = 0
log 4 x − log 2 y = 0
Tham khảo 2002 Giải HPT
HD:
x ≥ 1, y ≥ 1
x ≥ 1, y ≥ 1
x ≥ 1, y ≥ 1
x − 4 y + 3 = 0
x = 1 x = 9
⇔ x = 4 y − 3
⇔ x = 4 y − 3 ⇔ x = 4 y − 3
⇔
∨
y =1 y = 3
log 4 x − log 2 y = 0
log x = log y
x = y2
y2 − 4 y + 3 = 0
2
4
46.
Tham khảo 2002 Tìm m để PT sau có nghiệm: 91+
1− x 2
− ( a + 2 ) 31+
1− x 2
+ 2a + 1 = 0
HD:
1+ 1− x 2
9
1+ 1− x 2
− ( a + 2) 3
Với −1≤x≤1 ta có
1− x 2
⇔ t = 3
+ 2a + 1 = 0
9t 2 − 3( a + 2)t + 2a + 1 = 0
1
≤t ≤3
3
Ta tìm a để PT 9t 2 − 3(a + 2)t + 2a + 1 = 0 có nghiệm t thỏa
9t 2 − 6t + 1
Biến đổi PT a = f (t ) =
3t − 2
x
1/3
2/3
1
-∞
f’(t)
+
0
0
−
−
f(t)
0
+∞
Tham khảo 2002 Giải PT:
1
HD: log
2
9(3t 2 − 4t + 1)
1
, f ′(t ) = 0 ⇔ t = 1 ∨ t =
2
(3t − 2)
3
+∞
f ′(t ) =
+
4
-∞
PT có nghiệm khi a≤0 V a≥4
47.
1
≤t ≤3
3
1
log
2
2
( x + 3) +
1
8
log 4 ( x − 1) = log 2 ( 4 x )
4
x > 0, x ≠ 1
x > 0, x ≠ 1
1
8
( x + 3) + log 4 ( x − 1) = log 2 ( 4 x ) ⇔ log x + 3 + log x − 1 = log (4 x) ⇔
4x
2
4
(
)
2
2
2
log 2 x − 1 = log 2 x + 3
x > 0, x ≠ 1
0 < x < 1
x > 1
0 < x < 1
x > 1
⇔
⇔
∨
∨ 2
4x
4x
4x ⇔ 2
− x − 2 x + 3 = 4 x x + 2 x − 3 = 4 x
x −1 = x + 3
− x + 1 = x + 3 x − 1 = x + 3
0 < x < 1
x > 1
⇔ 2
∨ 2
⇔ x = −3 + 2 3 ∨ x = 3
x + 6x − 3 = 0 x − 2x − 3 = 0
48.
ĐH-D-2002 Giải HPT
23 x = 5 y 2 − 4 y
x
4 + 2 x +1
=y
x
2 +2
HD:
23 x = 5 y 2 − 4 y
23 x = 5 y 2 − 4 y
23 x = 5 y 2 − 4 y
y = 2x
y = 2x
x
x
x
x +1
⇔ (2 + 2)2
⇔ 3
⇔ 2
⇔ x
4 + 2
2
=y
=y
y − 5y + 4y = 0
y − 5y + 4 = 0
2 = y
x
x
2 +2
2 +2
y = 2x
x = 0 x = 2
⇔
⇔
∨
y =1 y = 4
y = 1∨ y = 4
13
(
(
)
)
log x x3 + 2 x 2 − 3x − 5 y = 3
Tham khảo 2002 Giải PHƯƠNG TRÌNH :
3
2
log y y + 2 y − 3 y − 5 x = 3
49.
HD:
x > 0, x ≠ 1, y > 0, y ≠ 1
x > 0, x ≠ 1, y > 0, y ≠ 1
log x x3 + 2 x 2 − 3x − 5 y = 3
3
2
3
⇔ x + 2 x − 3 x − 5 y = x ⇔ 2 x 2 − 3x − 5 y = 0
3
2
log y y + 2 y − 3 y − 5 x = 3
3
2
2
3
y + 2 y − 3 y − 5x = y
2 y − 3 y − 5 x = 0
(
(
)
)
x > 0, x ≠ 1, y > 0, y ≠ 1
x > 0, x ≠ 1, y > 0, y ≠ 1
2
2
⇔ 2( x − y ) − 3( x − y ) − 5( y − x) = 0 ⇔ ( x − y )( x + y + 1) = 0
4( x 2 + y 2 ) − 3( x + y ) − 5( x + y ) = 0
4( x 2 + y 2 ) − 8( x + y ) = 0
x > 0, x ≠ 1, y > 0, y ≠ 1 x > 0, x ≠ 1, y > 0, y ≠ 1
x = 2
⇔ x = y
∨ y = −1 − x
⇔
y = 2
2
2
8 x − 16 x = 0
8 x + 8 x + 13 = 0
50.
Tham khảo 2002 Giải BPT:
(
)
(
)
log 1 4 x + 4 ≥ log 1 2 2 x +1 − 3.2 2 .
2
2
x
2 x +1
− 3.2 > 0
− 3.2 2 ). ⇔ 2
x
⇔ x≥2
HD: log 1 ( 4 + 4 ) ≥ log 1 (2
x
2 x +1
2 ⇔ 4 ≥ 16
2
2
− 3.2
4 + 4 ≤ 2
2 x +1
2
14
