Bất đẳng thức trong đề đại học
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (229.73 KB, 18 trang )
February 22, 2015
BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC
Lê Anh Tuấn_Trần Phú-BRVT_0966194630
Email:
Bất đẳng thức trong đề đại học
Câu 1: (Diễn đàn Toán phổ thông) Cho
,a b
và c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
2
( )( ) 4
( )
a b c ab bc ca bc
P
abc b c
Hướng đi: (Nhiệm vụ của hướng đi là giúp bạn hướng tư duy và dự đoán dấu bằng)
Việc đầu tiên ta sẽ dự đoán dấu bằng của nó. Đối với bài này, thông thường dấu = xảy ra khi
b c
.
Khi đó
2
2
( 2 )( ) ( 2 )( 2 )
1 1 2 5 1
a b ab b ab a b b a a b
P
ab ab b a
Đến đây ta có thể dự đoán
a b
(theo Cauchy).
Từ đây ta sẽ biết được
a b c
Giải:
2 2
( )( ) 4 1 1 1 4
( ) ( )
a b c ab bc ca bc bc
P a b c
abc b c a b c b c
Ta dùng Bất đẳng thức phụ:
( )( )
a b x y ax by
( )( ) 2 2
a b x y ax by abxy ay bx abxy
(luôn đúng theo Cauchy).
Dấu = xảy ra khi
a x
b y
.
Tiếp theo ta sẽ lồng biểu thức
1 1 1
a b c
a b c
vào BĐT phụ trên, và điều ưu tiên là ta sẽ khử đi ẩn
a
.
1 1 1 1 1 1
. ( ) 1
b c
a b c a b c
a b c a b c
bc
Đến đây ta kiểm tra, dấu = xảy ra khi
2
1
1 1
( )
a a bc
a
a bc
b c b c a b c
b c
. Điều này đi đúng với
hướng đã vạch ra là
a b c
.
February 22, 2015
BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC
Lê Anh Tuấn_Trần Phú-BRVT_0966194630
Email:
( Ở bước này ta có thể làm như sau
2 2
1 1 1 ( )
1 1 2 1
b c b c
a b c b c b c b c
a b c
a b c bc bc a bc
bc bc
)
2
2
4 1 1
1 1 4 ( ), 0;
2
b c bc bc
P t f t t
t b c
bc
b c
3
3
2 2
2
1
8. 1
1 8 1
2
'( ) 8 0 ( )
1
2
t
f t t f t
t t
nghịch biến trên
1
0;
2
1
( ) 4
2
f t f
. Dấu = khi
1
2
t a b c
Vậy
4
MinP
khi
a b c
.
Câu 2: (nguoithay.vn) Cho
,a b
và c là các số thực dương thỏa mãn
2 2 2
( ) 4 4
a b c a b c
. Tim giá trị lớn
nhất của
2 2
1
a b c b a c
P
a c b c c
.
Hướng đi: Với đề bài như thế này, ta sẽ mập mờ đoán ra
a b
. Khi đó, giả thiết sẽ là
2 2
2 2
a ac c
2 2
2 2
1 1 1 1 1
2 ( ) 4 4 4 4 1
2 2
a a c a a c
P a a c c c
a c a c c c c c c
(cauchy 3 số)
Dấu = khi
1
, 1
2
c a b
Giải: Chìa khóa bài này chính là bất đẳng thức phụ
2
2 2
x y
x y
a b a b
Đây là bất đẳng thức đầu tiên mà bạn nên học nếu muốn chinh phục 10 điểm đề thi THPT Quốc gia. Nó có rất
nhiều tên gọi, một trong số đó là Schwarz. Cách chứng minh BĐT này đã có rất nhiều trên mạng, các bạn có thể
lên google search. Vì là đất nước trên con đường hội nhập nên cách bạn hãy tự trang bị cho mình các kĩ năng,
và một trong đó là kĩ năng tìm kiếm thông tin. Tôi chỉ xin nói ra dấu bằng của nó.
Dấu = xảy ra khi
x y
a b
February 22, 2015
BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC
Lê Anh Tuấn_Trần Phú-BRVT_0966194630
Email:
Từ đây ta sẽ có
2 2
2 2 2 2
1 1 1 1 1
( ) 4 4 4 4 1
2 2
b a
P a c b c a b c a b c c
a b c c c c c
Dấu bằng xảy ra khi
1
, 1
2
c a b
Câu 3: (diendantoanhoc.net) Cho
,x y
và
z
thực dương thỏa mãn
2 2 2
6 4 ( )x y z z x y
. Tim giá trị nhỏ
nhất của
2 2
3 3
2 2
x y
x y
P
z
y x z x y z
Hướng đi: Qua hai câu trên, chắc chắn các bạn đã dự đoán được
x y
Từ giả thiết suy ra
( )( 3 ) 0
x z x z
. Đến đây ta sẽ thử 2 trường hợp
x y z
và
3x y z
lần lượt vào P.
Thấy khi
x y z
thì P có giá trị nhỏ hơn. Vậy dấu bằng khi
x y z
Giải: Để ý thấy đây là BĐT là thuần nhất (có nghĩa là đồng bậc) nên ta sẽ sử dụng phép đặt như sau:
Đặt
,
x y
a b
z z
(từ đây hướng đi của chúng ta đều quy về
1
a b
)
2
2 2
2 2
2 2 2
2 2
1
4( ) 6 6
4 4
6 4 ( ) 6 0
2
4( ) 2 6
a b a b a b
x y x y
x y z z x y
z z z z
a b ab
2
a b
và
2( ) 3
a b ab
2 2
3 3 3 3
2 2
2 2 2 2
1 1
x y
x y a b
P a b
z
y x z x y z b a a b
Đến đây, ta thấy sự tương quan giữa
3
2
1
a
b a
và
3
2
1
b
a b
. Nhiệm vụ bây giờ của chúng ta là khử mẫu hoặc
làm cho chúng cùng chung mẫu số. Bây giờ ta 2 chia ra hai hướng.
Hướng 1: Khử mẫu.
Ta thấy ở tử là bậc ba, điều đó liên tưởng cho ta cauchy 3 số. Và ta có thể khử theo hai cách như sau:
Cách 1.1:
Ta có
3
2
1 3
8 8 4
1
a a ab b a
b a
(lưu ý khi
1
a b
thì
3
2
1 1
8 8 4
1
a a ab b
b a
nên ta chọn như
thế).
February 22, 2015
BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC
Lê Anh Tuấn_Trần Phú-BRVT_0966194630
Email:
Tương tự
3
2
1 3
8 8 4
1
b b ab a b
a b
3 3
2 2
2( ) 2( ) 3 1
2( ) 1 1
4 4 2
1 1
a b a b
a b a b ab
b a a b
Suy ra
2 2
1 1 1
2
2 2 2
2
a b
P a b
Cách 1.2: Ta có
3 2
2
3 2
2
2 1 3
;
4 16 4
1
2 1 3
4 16 4
1
a b a a a
b a
b a b b b
a b
3 3
2 2
2 2
3 1 1 3 1 1 1 1 1
( ) ( ) 4 4 6 ( )
8 16 8 8 16 8 8 4 2
1 1
a b
a b a b a b a b a b
b a a b
Suy ra
2 2
1 1 1
2
2 2 2
2
a b
P a b
Hướng 2: Làm cho chúng cùng chung mẫu số
3 3 3 3 3 3 3 3
2 2
3 3
2 2 54( ) 27( )
2 ( 1)( 1) 2 (b 1)(b 1) (2 2 2) 4( 1)
1 1
a b a b a b a b
b a a a a b a b
b a a b
Mặt khác:
3
3 3
2( )
27
a b
a b
(BĐT này rất dễ dàng chứng minh bằng tương đương, nhưng bạn hãy thử chứng
minh theo hướng khác nhé, mọi bài toán lớn đều cần 1 bài toán nhỏ thế này)
3 3
3 3
3 3
2 1
(3 3 ) (2 2 2)
4 4.27 27.4 27
a b a b
a b a b
a b
Từ đó ta suy ra
3
3 3
2 2 3
2 1
27.
1
27
2
1 1 4 1
a b
a b
b a a b a b
Suy ra
2 2
1 1 1
2
2 2 2
2
a b
P a b
February 22, 2015
BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC
Lê Anh Tuấn_Trần Phú-BRVT_0966194630
Email:
Câu 4: (Boxmath) Cho
,a b
và
c
là các số thực dương thỏa
3 ( )
a a b c bc
. Tìm GTNN của
b c
P
a
Hướng đi: Ta dự đoán
b c
. Khi đó,
2
3 ( 2 ) 3 2 3a a b b b a
Vậy dấu bằng khi
3 2 3b c a
Giải: Ta thấy đây là BĐT thuần nhất. Đặt
;
b c
x y
a a
(từ đây ta sẽ xoay quanh
3 2 3
x y
)
Theo giả thiết:
2
3 3( ) 6 4 3
4
x y
x y xy x y
6 4 3
P x y
Dấu = khi
3 2 3 3 2 3x y b c a
Câu 5: (THTT) Cho các số thực dương
, ,x y z
thỏa
2 2 2
1
x y z
.Tìm GTNN của
2 2
1 1 2 3
1
P
z
x xy y xy
Hướng đi: Ta dự đoán dấu
2 2
2 1
x y x z
.Thay vào P ta được
2
2 2 3
1
1
P
z
z
Giải: Theo giả thiết
0;1
z
2 2 2
2 2
2 2
4
4
1 1 2 3 2 2 3 2
1 1
2
4
P
z z
x xy y xy
x xy y xy
x xy y
2
2 2
2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 3
( )
1 1 1
1
2
f z
x y z z z
z
x y
2
2 2
2 2 3 2 3
'( ) . 0
(1 ) 1 1 1 1
1
1 1
z z
f z
z z z z z
z
z z
3 2 2 3 2
1
1 1 3 3 3 1 3 3 (2 1)(2 3 3) 0
2
z z z z z z z z z z z z z
February 22, 2015
BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC
Lê Anh Tuấn_Trần Phú-BRVT_0966194630
Email:
Bảng biến thiên:
Z
0
1
2
1
Theo bảng biến thiên,
8 3
3
MinP
. Dấu bằng xảy ra khi
3 1
,
2 2
x y z
f’(z)
0
f(z)
2 2 3
8 3
3
Lưu ý rằng sẽ nhiều bạn gặp khó khăn khi tìm
2
1
2 2 3
lim
1
1
x
z
z
. Để làm tốt đề thi THPT Quốc Gia, tôi biết
các bạn sẽ phải chọn lọc những thứ cần học, và dĩ nhiên phần giới hạn lớp 11 sẽ bị bỏ qua, nên gặp những
trường hợp thế này, các bạn cứ làm theo cảm tính, cứ tưởng tượng, z càng tiến tới 1 thì
2
2
1
z
càng lớn. Nên
ta cứ tự tin mà cho
2
1
2 2 3
lim
1
1
x
z
z
Câu 6: Cho các số thực không âm
, ,a b c
thỏa
1a b c
và không có hai số nào đồng thời bằng 0. Tìm GTNN:
1 1
1 3
( )( ) (c )
P c a b
a b b c a a b
Hướng đi: Ta dự đoán dấu = khi
a b
khi đó
2 1a c
Khi đó
2
2
1 1 4 4
1 2 3 1 4 3 4
2 2 1 1 1
P c a c c c c
a a c a a c c c c
Giải: Theo giả thiết
0;1
c
1 1 1
1 4
( ) (c )
P c c
a b b c a
(thêm 1 lần nữa, ta thấy được sức mạnh của Schwarz)
2 2
1 4 1 4
. 3 4 . 3 4
1 2 1 1
c c c c
c a b c c c
2
2
4
3 4 ( )
1
c c f c
c
2
2
8
' 2 1 1 0 0;1
1
c
f c c c
c
Suy ra hàm số nghịch biến trên
0;1 0 8
f c f
February 22, 2015
BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC
Lê Anh Tuấn_Trần Phú-BRVT_0966194630
Email:
Vậy
8
MinP
khi
1
, 0
2
a b c
Câu 7: (nguoithay.vn) Cho các số thực dương
, ,x y z
thỏa
2 2 2
5( ) 9( 2 )x y z xy yz zx
. Tìm GTLN của
3
2 2
1x
P
y z
x y z
Hướng đi: Dự đoán
y z
. Khi đó
2 2 2
5 2 18 4x y xy y x y
Do đó
3
2 1
216.
P
y y
. Khảo sát hàm số này ta thấy Pmax khi
1
12
y
Vậy dấu = khi
1 1
,
3 12
x y z
Giải: Từ giả thiết, ta sẽ hướng đến các đại lượng đối xứng (
yz
hoặc
y z
hoặc
2 2
y z
)
2
2 2 2 2 2 2
5( ) 9( 2 ) 9 5 5 18 2
x y z xy yz zx x y z x y z yz y z
2
2
2 9 ( ) 5 0
y z x y z x
(đây là bất phương trình đẳng cấp)
2
y z x
Đó là những gì ta có được từ giả thiết, và ta không thể quy về ẩn x để khảo sát hàm số. Do đó ta sẽ quy về 1 ẩn
khác. Và chìa khóa chính là ẩn
y z
3
3 2 3 3
2 2
2
1 1 4 1 1
4 ( ), 0
27
27 27
2
y z
x t
P t f t t
y z y z y z
x y z y z y z y z
2
'( ) 4 0 6
9
t
f t t
Bảng biến thiên
T
0
6
Theo bảng biến thiên,
16
MaxP
. Dấu bằng xảy ra khi
1 1
,
12 3
y z x
f’(t)
0
f(t)
0
16
February 22, 2015
BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC
Lê Anh Tuấn_Trần Phú-BRVT_0966194630
Email:
Câu 8: (toanhoc24h) Cho
, ,a b c
là các số thực dương thỏa mãn
2
4
ac b a b c
. Tìm GTNN của
2
2 2
2
8 8 1
1
a c b
b
P
a c
a b c
Thoạt nhìn biểu thức của P thật phức tạp, nhưng hãy nhìn kĩ, các biểu thức sẽ phân ra 2 phần, 1 phần đối xứng
gồm (a,c). Và 1 phần không đối xứng gồm b. Nên các bạn đừng quá lo lắng. Cốt lõi bài toán sẽ nằm ở những thứ
đó.
Hướng đi: Ta tiếp tục dự đoán như những bài trên
a c
. Và các bạn hãy làm thử các bước tiếp theo. Tôi tin tới
đây các bạn đã có thể vạch ra hướng đi trong đầu mà không cần ghi ra hướng đi trên nháp.
Giải:
2 2 2
2
2 ( ) 4 2( ) 1
a b c b b a c a c ac b a c b b a c
(bước này tương tự các
câu trên, ta sẽ quy các biểu thức về
ac
hoặc
a c
hoặc
2 2
a c
. Và bạn đừng ngại, cứ thử hết 3 cái đó, thế nào
cũng có cái gọn nhất)
Và để ý 1 tí ta sẽ cần thứ này
2( ) 1a b c b
Đến biểu thức P:
2 2 2 2
2 2
2 2 2
8 8 1 4 1 8 1
1 2 2 2 2
4.
1 1
1 1
a c b a c b b
b b b
P
a c b b
a b c b b
Đặt
1
1
b
t
b
(cái này khó mà tìm điều kiện chặt của t, nhưng ta chỉ cần điều kiện t>0 là đủ)
2
2
( ) 8P f t t
t
2
2 1
'( ) 16 0
2
f t t t
t
Bảng biến thiên:
T
0
1
2
Theo bảng biến thiên,
6
MinP
. Dấu bằng xảy ra khi
1 1 1
,
2 3 6
t b a c
f’(t)
0
f(t)
6
February 22, 2015
BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC
Lê Anh Tuấn_Trần Phú-BRVT_0966194630
Email:
Câu 9: (nguoithay.vn) Cho
, ,a b c
là các số thực dương thỏa mãn
2 4a b b c bc
và
3
a c
Tìm GTNN
của
2 2
2a b
P
ac
Hướng đi: Như những định hướng ở các bài trước, ta sẽ đoán được
b c
. Và bài này còn dễ hơn các bài trước
là có thêm dữ kiện
3
a c
nên ta có thể giữ niềm tin dấu bằng sẽ xảy ra khi
3
a b c
Nhìn vào giả thiết và cả biểu thức P ta đều nghĩ tới phép đặt ẩn phụ
,
a b
x y
c c
.
Giải: Từ giả thiết ta có
1
3
a
c
2 4 2 1 4 2 2
a b c a a b
a b b c bc
c c b c b c
Đặt
,
a b
x y
c c
1
3
x
Và
2
2 2 1 1 1
2 2
1 3 3 2
x y y
x y x y
y y
2 2
2
2 2 2
2 2
3 2 3
2 1 1
2 2 2
( )
1 1 1 1
y y y
y y y y
y y y y y
P x f y
x y y y y
Đến đây đạo hàm hơi vất vả.
2
2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
1 3 1 2 2 2 3 2 3
1 9 4 3 2 3 2 3
1 1
'( ) 0 ;
3 2
1 1
y y y y y y
y y y y y y
f y y
y y
Vậy
( )f y
đồng biến trên
1 1 1
; ( ) 1
3 2 3
y f y f
Dấu bằng khi
1 1
3 3 3
c
y x a b
Từ đây, ta thấy hướng của ta đã vạch ra là không đúng, đây là một bài toán khá hay, cho ta thấy được sự bất
biến của BĐT, bây giờ cũng đề bài trên, các bạn hãy thử tìm GTLN xem!
Câu 10: (ĐH Vinh) Cho các số thực dương
, ,x y z
thỏa
2 2 2
2 3
x y z xy x y z
. Tìm GTNN của
20 20
2
P x y z
x z y
February 22, 2015
BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC
Lê Anh Tuấn_Trần Phú-BRVT_0966194630
Email:
Hướng đi: Bài này thực sự là 1 bài khá khó, đây không phải BĐT nửa đối xứng, và ta khó mà đoán được điểm
rơi của nó. Nhưng khó chứ không phải là không thể. Để ý kĩ, ta sẽ thấy sự xuất hiện của 2 biểu thức
1
x z
và
1
2
y
. Điều này giúp ta liên tưởng đến việc khử mẫu và rất để ý thấy, hệ số của chúng đều là 20, nên rất có
thể chúng bằng nhau.
Khi chúng bằng nhau thì
2 2 2 2 2
2 2 3 2 1 0
x z y x y z xy x y z x y x y
Và
40
2( ) 2
P x z
x z
. Khảo sát hàm số này thì hàm số sẽ có GTNN là 26 và
4
x z
2 2
4
2 1; 2; 3
2 1 0
x z
x z y x y z
x y x y
Từ đó ta đã biết được điểm rơi của BĐT.
Giải:
2
2 2 2 2
3 2
x y z x y z xy x y z
(dễ thấy
x y z
nên ta làm tiếp)
2
2
x y z
6
x y z
4
20 20 40 40 2
2 2
2 2
2
P x y z x y z x y z
x z y x y z
x z y
Đến đây thì đã đơn giản, có nhiều cách sử lí, và tôi sẽ chọn cách gần gũi với các bạn nhất.
Đặt
2 2 2
t x y z
2
40 2
2
P f t t
t
3
2 2
40 2 2 40 2
'( ) 2 0 2 2
t
f t t t f t
t t
nghịch biến trên
2; 2 2
Vậy
2 2 26
f t f
.
Vậy
26
MinP
khi
1; 2;z 3
x y
Các bạn hãy làm thử bài này:
February 22, 2015
BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC
Lê Anh Tuấn_Trần Phú-BRVT_0966194630
Email:
(moon.vn) Cho các số thực dương
, ,x y z
thỏa
2 2 2
2 3
x y z xy x y z
. Tìm GTNN của
54 54
7 5
P x y z
y z x
Câu 11: (Tilado.edu.vn) Cho
, ,x y z
là các số thực không âm thỏa mãn
0
xy yz zx
và
2
3x xy yz zx
.
Tìm GTNN của
16 25x y z
P
y z z x x y
Hướng đi: Thoạt nhìn, ta thấy đây là bất đăng thức thuần nhất, vì thế không cần suy nghĩ nhiều, ta sẽ dùng
phép đặt ẩn phụ.
Giải:
0
x
:
2
3 0 0
x xy yz zx yz xy yz zx
(vô lí)
Vậy
0
x
Đặt
;
y z
a b
x x
(các bạn có thể đặt khác tôi),
0
a
2
2
3 1 1
3 1 3 1 3
1 3
y yz z b
x xy yz zx a ab b a b
x x x b
2
2
16 3 1 25 1
16 25 1 16 25 1
1 1 4 1 4
1
b b
x y z a b b
P
y z z x x y a b b a b b
b
Đến đây ta sẽ xét hàm
f b
, nhưng thực phức tạp để đạo hàm, ta hãy dự đoán dấu bằng. Ở trên kia ta đã thấy
1
3
b
nên ta hãy thử với
1
3
b
thì khi đó
34
3
P
2 2
2 2
1
25
16 3 1 25 1 16 3 1
1 1 34
3
3
4 1 4 4 1 4 3
1 1
b
b b b
b b
P
b b b b
b b
2 2
2 2
16 3 1 25 3 1
1 34 16 4 25 34
3 3 1
4 1 12 3 4 1 12 3
1 1
b b
b b
b
b b b b
b b
4 3 2
2
2
25 138 320 710 265 34 34
3 1
3 3
12 1 4 1
b b b b
b
b b b
(vì
4 3 2
1
25 138 320 710 265 0
3
b b b b b
)
February 22, 2015
BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC
Lê Anh Tuấn_Trần Phú-BRVT_0966194630
Email:
Vậy
34
3
MaxP
khi
1
, 0 0, 3
3
b a y x z
Bài toán này đòi hỏi sự biến đổi cẩn thận, các bạn hãy thử theo con đường khảo sát hàm số xem. Biết đâu sẽ
nhanh hơn.
Câu 12: (THTT) Cho các số dương
, ,a b c
thỏa
2 2 2
14
a b c
. Tìm GTLN của
2
2 2 2
4
4 5 3
3 28 7 ( )
a c
a
P
a c a bc a b c
a b
Hướng đi: Bài toán này tôi đánh giá rất khó, để tạo ra bài toán này, chắc hẳn tác giả phải tạo ra điểm rơi trước
rồi mới nêu lên ý tưởng. Còn đối với chúng ta, điểm rơi vẫn còn là dấu chấm hỏi.
Nhận xét thấy các biểu thức trong P được chia thành hai nhóm là
+Nhóm 1:
2
4 3
7 ( )
a
a bc a b c
có chứa cả 3 biến
, ,a b c
+Nhóm 2:
2
2 2
4
5
3 28
a c
a c
a b
chỉ chứa 2 biến số
Ta sẽ xử lý nhóm 1 trước. Bây giờ, ta lồng ghép giả thiết vào P xem thử thế nào. Để ý ta sẽ thấy
2
3 12
( )a b c
a b c
. Dấu = xảy ra khi
a b c
2
2 2 2 2
2
4 8 8
7 3 2
3
a a a
a bc a bc b c
a b c
Như các bài trên, ta cần đưa chúng về cùng dạng mẫu số với biểu thức
2
12
a b c
và phải chú ý
a b c
nên
ta làm như sau:
2
2
2
2
2 2
8 8 8 4
2 2
3
2
a a a
a a b c a b c
a b c
a a b c
Vì ta chia thành 2 nhóm nên đồng nghĩa với việc ta sẽ biến đổi P thành hai hàm số độc lập (kiểu như
P f x g y
) nên ta cần tìm lần lượt GTLN của các hàm số thành phần.
Ta sẽ tìm GTLN của
2
2
2
4 3 4 12 1 1 1 1
12
7 ( ) 6 3 3
a
a bc a b c a b c a b c
a b c
February 22, 2015
BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC
Lê Anh Tuấn_Trần Phú-BRVT_0966194630
Email:
Tới đây, ta đã ép bài toán vào dấu = khi
2 2 2
3
6 2
1
14
a b c a
a b c b
c
a b c
. Giờ ta sẽ đi giải quyết bài toán.
Giải: Ta có
2
3 12
( )a b c
a b c
và
2
2
2
2
2 2
8 8 8 4
2 2
3
2
a a a
a a b c a b c
a b c
a a b c
Suy ra
2
2
2
4 3 4 12 1 1 1 1
12
7 ( ) 6 3 3
a
a bc a b c a b c a b c
a b c
Tiếp tục, ta lại có:
2 2
2
2 2
4 4 4
3
3 1
3 28
28
1 3 28
4
4 3
a c a c a c
a c
a c
a c
(bunhiacopsky)
1 6
25 25
a c
. (Đây là BĐT tiếp tuyến).
2
5 2 3
25 5
a b
a b
. (Tiếp tục ta sử dụng BĐT tiếp tuyến. Để biết thêm về BĐT tiếp tuyến, các bạn xem
)
Từ đó ta có
2 2 2 2 2 2
2
2 2
3 2 1
4
5 3 2 9 9 1
3 28 25 25 25 25 5
a b c
a c
a b c
a c
a b
Vậy
8
15
MaxP
khi
3, 2, 1a b c
Câu 13: (ĐH Vinh) Cho
, ,x y z
là các số thực không âm thỏa mãn
2 2 2
5 6
x y z xy yz zx
. Tìm GTLN
của
2 2
2
P x y z y z
Hướng đi: Ta dự đoán
y z
. Khi đó
2 2 2
2
5 6
5
2
x y
x y z xy yz zx
x y
Khi
2
5
x y
thì
2
25
2 3
2
P x x
(khảo sát ta thấy ra xấu nên ta cứ cho là nó sai đi :3 )
February 22, 2015
BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC
Lê Anh Tuấn_Trần Phú-BRVT_0966194630
Email:
Khi
2x y
thì
2
2
2
x
P x
Khảo sát hàm số này thì được
3
min
2
P
khi
1
1;
2
x y z
Giải:
2 2
2
2 2 2 2 2
5
5 6 6 5 5 6 6 5 6 0
4 2
y z y z
x yz x y z y z x x y z x x y z y z
2
2
5 5 0 5 0
x x y z y z x y z x y z x y z
5x y z x
2
2
2 2
1
2
2 1 1
2 2 2
y z x y z
y z
x y z
P x y z y z
Vậy
1
MaxP
khi
1
1;
2
x y z
.
Bài này vẫn còn rất nhiều cách khác, cách bạn hãy thử tìm 1 lời giải khác cho bài này nhé!
Câu 14: (moon.vn) Cho
, ,a b c
là các số thực dương thỏa mãn
2 2 2
1 2 2
c a b
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
2 2 2
a b c
P
b c a c
a b c
Hướng đi: Bài toán rất đơn giản để ta có thể đoán được
2a b c
Và hướng đi chắc chắn phải là đặt ẩn phụ.
Giải:
2
2 2 2
1 2 2 1 1 1 1 1
c a b a b c a b
Đặt
2
1 1
; 1 4
4
x y
a b
x y x y xy x y
c c x y
Ta lại có
2
2
2 2 2 2
2 4
2 1 1 1
4
xy xy xy
x y
x y xy x y xy xy x y xy
February 22, 2015
BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC
Lê Anh Tuấn_Trần Phú-BRVT_0966194630
Email:
Và
2 2 2 2 2 2 2
1 1
1 1 2
1 1 1 1
1 1
a b c x y x y
P
b c a c y x y x
a b c x y x y
2 2
4 1
1 1 4 4
1 2 2
1 1 2
4 4
x y
x y
x y x y
x y x y
Đặt
2
4 4 4
4 2
2 4
t
t x y P f t
t t
2
2 2 2 2
2 2 2
4 3 1
4 3 4
1 2
'( ) 4. 0 4
2
4 4 4
t t
t t
t
f t t
t
t t t
5
4
3
f t f
Dấu = khi
2 2x y a b c
Sau đây là một số bài toán mà tôi thấy hay và đáng làm:
(toanhoc24h.blogspot.com) – trích trong đề thi thử của thầy Khải. Đây là người thầy mà tôi rất kính trọng.
Trong thầy tôi thấy được sự đam mê…
Câu 1: Cho
, ,x y z
là các số thực dương thỏa mãn
4 4
x y z
. Tìm GTNN:
2 2
2 4 2
z x y z
P z y z
x y
Câu 2: : Cho
, ,x y z
là các số thực dương thỏa mãn
3 2 3
x y z
. Tìm GTLN:
2 2
2
9
2 3
1
x y
P z z
xy
Câu 3: Cho
, ,a b c
là các số thực dương thỏa mãn
2 2 2
a bc b c
. Tìm GTLN:
3
6
2 2 2 2
3
b c a
P
a c a b
b c
Câu 4: Cho
,x y
là các số thực dương thỏa mãn
3 7
x y
. Tìm GTNN:
2
2
2
1 2 3
1
x xy
P x
y y xy
Câu 5: Cho
, ,a b c
là các số thực dương. Tìm GTNN:
2 2 4
2 4
2
16
a ab a
P
b ac c a
a b c a
February 22, 2015
BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC
Lê Anh Tuấn_Trần Phú-BRVT_0966194630
Email:
Câu 6: Cho
, ,a b c
là các số thực dương thỏa mãn
4
abc a b c
. Tìm GTNN:
2 2
1 8
8
bc
P
bc b c
a b a c
Câu 7: Cho
, ,x y z
là các số thực dương thỏa mãn
1
x y z
. Tìm GTNN
2
2
x y z
P
x yz y zx z xy
Câu 8: Cho
, ,x y z
là các số thực dương thỏa mãn
2 2
x y z
. Tìm GTLN
2
2 2 2
2 2
1 2
3
1
1 1
xy z
z
P
x y z
z z
Câu 9: : Cho
, ,x y z
là các số thực dương thỏa mãn
x z
. Tìm GTNN
2
2
2 3
2
x z
xz y
P
y yz xz yz x z
Câu 10: Cho
, ,x y z
là các số thực dương thỏa mãn
2 2 2
3x y z xy
. Tìm GTNN
2 2 2
2 2 2
x y x y
P
y yz z x x z
Câu 11: Cho
,x y
là các số thực dương thỏa mãn
2 2
1x y xy
. Tìm GTLN
3 3
3 3
24
1 1 2
xy
x y
P
y x x y
Câu 12: Cho
, ,x y z
là các số thực dương thỏa mãn
2 2 2
3
x z y xy yz zx
. Tìm GTLN
2
1
2
2
x
P
xy y z
y z
Câu 13: Cho
, ,x y z
là các số thực dương thỏa mãn. Tìm GTNN
3 3 2
2
2 2
.
2 2
4
x y x y z
P
xy y xz x yz
x y
Câu 14: : Cho
, ,x y z
là các số thực dương thỏa mãn
2 2 2
2x x z x
. Tìm GTLN
2
2
4
2 1 1
x z z x
P
x y y
x y
Câu 15: : Cho
, ,x y z
là các số thực dương thỏa mãn
2 2 2
4
x y z
. Tìm GTNN
2 2 2 2
2
2 3 3 2
2
2
y x xy x y
P
y zx
y z
Câu 16: : Cho
, ,x y z
là các số thực dương thỏa mãn
2 2 2
2x y z xy z
. Tìm GTNN
February 22, 2015
BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC
Lê Anh Tuấn_Trần Phú-BRVT_0966194630
Email:
2
3
2 2 2 2
2 2 2 2
8x y z
P
y z x z
x z y z
Câu 17: Cho
, ,a b c
là các số thực dương thỏa mãn
2 5a b b c bc
và
2
a c
. Tìm GTLN và GTNN
2 2
a b
P
ac
Câu 18: Cho
, ,x y z
là các số thực dương thỏa mãn
z x z z y z xy
. Tìm GTNN
2 2 2
30
4 4 12
x y x y z
P
y z x z
x y z xy
Câu 19: Cho
, ,x y z
là các số thực dương thỏa mãn
2 2
3x y z xy
. Tìm GTNN
3 3
16
x y x y
P
y z x z z
Câu 20: Cho
, ,a b c
là các số thực dương thỏa mãn
2 2
a ab b c
. Tìm GTLN
2
2
2 2
3 2 2 36
1 1
2 2
4 2 3
ab c
P
a b
ab c
Câu 21: Cho
, ,x y z
là các số thực thỏa mãn
, , 1
x y z
và
3
x y z
. Tìm GTLN
2 2
2 2 2
1
4 1 4 5
x y
P
x y xy z z
Câu 22: Cho
, ,x y z
là các số thực dương thỏa mãn
2 2 2
5
x y z yz
. Tìm GTNN
2 2
2z y z x y
P
x y x z x z x y
Câu 23: Cho
, ,a b c
là các số thực dương thỏa mãn
2
4
ac b a b c
. Tìm GTNN
2
2 2
2
8 8 1
1
a c b
b
P
a c
a b c
Câu 24: Cho
, ,x y z
là các số thực dương thỏa mãn
2 2 2
2
x y z
. Tìm GTNN
2
2 2 2
2 2 2 54
2 2 2
xy yz zx
P
z x y
x y z
Câu 25: Cho
, ,x y z
là các số thực thỏa mãn
, , 1x y z
và
2 2 2
6 2
x y z xy x y z
. Tìm GTNN
February 22, 2015
BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC
Lê Anh Tuấn_Trần Phú-BRVT_0966194630
Email:
2
1 1
1 1
x y x y
P
y z x z z
Câu 26: Cho
, ,x y z
là các số thực dương thỏa mãn
4 4
x y xy xyz
. Tìm GTLN
3
2
x z y z z
P z
x y z y x z
x y
Câu 27: Cho
, ,x y z
là các số thực dương thỏa mãn
2 2 2
2
x y z xy yz zx
. Tìm GTNN
2 2 2 2 2
2
2 2
3 8
2 2
x x y z y z
P
y z xy xz
x y z
Câu 28: Cho
, ,x y z
là các số thực dương. Tìm GTNN
2
2
2
2 2
z xy
x y
P
x z y z
x y z
Câu 29: Cho
, ,x y z
là các số thực dương thỏa mãn
2 3
xy z z
. Tìm GTNN
3
2 4
2
16
x y
z z
P
z
x y x y
Câu 30: Cho
, ,x y z
là các số thực dương . Tìm GTNN
3
2 2 2
8
z x y x y
P
z
x y y z x z
Câu 31: Cho
, ,a b c
là các số thực dương thỏa mãn điều kiện
2
a b c
. Tim GTNN
2
2 2
1 1 2 2 64
24
b c a b
P
a b bc ca a b a
