Sáng kiến kinh nghiệm: Một số phương pháp giải phương trình và hệ phương trình

Sáng kiến kinh nghiệm Trang 1
MỤC LỤC
Trang
Lí do chọn đề tài 1
Chương 1 2
Chương 2 12
Kết luận 20
Tài liệu tham khảo 21
Sáng kiến kinh nghiệm Trang 2
PHẦN I: LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong quá trình giảng dạy, ôn thi đại học cao đẳng, bồi dưỡng học sinh
giỏi cho các em hoc sinh về phần phương trình và hệ phương trình, tôi gặp
một số phương trình và hệ phương trình mà các phương pháp giải đã được đề
cập trong sách giáo khoa ở lớp 10 hiện hành không thể giải được hoặc việc
giải chúng theo phương pháp này là rất khó khăn và dài dòng.
Chẳng hạn, phương trình:
22
2010(1 2010 ) 1xx  
(1)
(Đề học sinh giỏi lớp 12 tỉnh Quảng Ngãi năm 2010-2011)
Hay hệ phương trình:
2
22
(4 1) ( 3) 5 2 0
4 2 3 4 7
x x y y
x y x

    



   


(I)
(Đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2010)
Việc sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ giúp tôi giải quyết phương trình
(1) một cách dễ dàng, còn đối với hệ phương trình (I), phương pháp sử dụng
tính đơn điệu của hàm số cho ta một lời giải hay. Ngoài ra, thông qua việc
giải các đề thi học sinh giỏi các cấp, tôi nhận thấy sử dụng phương pháp đặt
ẩn phụ và phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải các bài toán
về phương trình và hệ phương trình tỏ ra rất hiệu quả và cho lời giải hay
Qua hai năm tìm tòi, nghiên cứu và thực hiện giảng dạy, bồi dưỡng học
sinh giỏi, tôi thấy những phương pháp nêu trên có hiệu quả và chọn viết sáng
kiến kinh nghiệm: “Một số phương pháp điển hình giải phương trình và hệ
phương trình”.
Xin chân thành cảm ơn!
Quảng Ngãi, ngày 5 tháng 5 năm 2012
Người thực hiện
Sáng kiến kinh nghiệm Trang 3
PHẦN II: NỘI DUNG ĐỀ TÀI
Trong phạm vi sáng kiến kinh nghiệm này, tôi sẽ đi sâu khai thác hai
phương pháp chủ yếu để giải phương trình và hệ phương trình đó là phương
pháp đặt ẩn phụ và phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số. Mỗi
phương pháp sẽ được trình bày thành một chương.
CHƯƠNG 1
PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
2.1 CƠ SỞ LÝ LUẬN:
Để giải một phương trình hay hệ phương trình, thông thường ta tìm cách
đưa phương trình hay hệ phương trình đó về dạng quen thuộc đã biết cách
giải, thường là phương trình bậc hai, hay một hệ phương trình đơn giản.

Ngoài cách sử dụng các phép biến đổi tương đương, đặt ẩn phụ cũng là một
cách để đưa phương trình và hệ phương trình đã cho về dạng đơn giản hơn.
Phương pháp giải một số dạng phương trình và hệ phương trình đơn giản
thường gặp:
1/
 
2
( ) 0
( ) ( )
( ) ( )
gx
f x g x
f x g x








2/ Phương trình đẳng cấp bậc hai:
22
. 0, , ,au buv cv a b c R   

Cách giải: Xét v = 0, kiểm tra xem phương trình đã cho có nghiệm không
Xét
0v 
, chia hai vế của phương trình cho
2

v
ta thu được một
phương trình bậc hai đã biết cách giải.
3/ Hệ đối xứng loại 1(2 ẩn): là hệ phương trình mà vai trò của x và y
trong từng phương trình của hệ là như nhau.
Sáng kiến kinh nghiệm Trang 4
Cách giải: Đặt
;S x y P xy  
, đưa hệ đã cho về hệ giải được bằng
phương pháp thế.
4/ Hệ đối xứng loại 2(2 ẩn): là hệ mà khi thay đổi vai trò của x và y trong
hệ thì mỗi phương trình của hệ biến thành phương trình còn lại.
Cách giải: sử dụng phương pháp cộng đại số các phương trình của hệ ta
thu được một phương trình tích với một nhân tử là (x – y), từ đó tìm được mối
liên hệ bậc nhất giữa x và y, rồi giải tiếp bằng phương pháp thế.
2.1 THỰC TRẠNG:
Như đã đề cập ở phần lý do chọn đề tài, đứng trước phương trình (1), với
những phương pháp giải phương trình đã được trình bày trong chương trình
sách giáo khoa lớp 10 hiện hành, học sinh sẽ suy nghĩ ngay đến phương pháp
biến đổi tương đương để đưa về phương trình bậc 4 với hy vọng tìm được một
nghiệm để đưa phương trình đó về bậc thấp hơn rồi giải. Tuy nhiên việc làm
này học sinh sẽ không thực hiện được vì phương trình bậc 4 này không đặc
biệt, cũng không có nghiệm nguyên, vì thế học sinh tỏ ra lúng túng và bế tắc.
Bằng cách sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để đưa về hệ đối xứng loại 2, học
sinh gặp ngay một dạng toán quen thuộc mà phương pháp giải đã rõ ràng. Vì
vậy cần thay đổi và bổ sung một số kĩ thuật sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ
để giải quyết được những phương trình và hệ phương trình phức tạp.
Qua khảo sát, đánh giá học sinh khối 10, 11, 12 của trường về khả năng
vận dụng các kiến thức đã học trong chương trình sách giáo khoa để giải các
bài tập phương trình và hệ phương trình trong kì thi học sinh giỏi cấp trường

năm học 2009-2010, tôi thu được mẫu số liệu sau:
Số học sinh giải được
Số học sinh không giải được
Khối 10
2/15
13/15
Khối 11
3/10
7/10
Khối 12
4/10
6/10
Sáng kiến kinh nghiệm Trang 5
2.1 NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP:
a) Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình đối xứng loại 2:
Ví dụ 1: Giải phương trình:
22
2010(1 2010 ) 1xx  
(1)
(Đề học sinh giỏi lớp 12 tỉnh Quảng Ngãi năm 2010-2011)
Giải: Đặt
2
1 2010tx
, ta được hệ:
2
2
2010 1 ( )
2010 1 ( )
t x a
x t b








. Đây là một hệ
phương trình đối xứng loại 2 đã biết cách giải.
Lấy (a) – (b) vế theo vế ta được:
22
2010( )
1
2010
tx
x t x t
tx



   



+ Với t = x, thay vào (a) ta được:
2
1 8041
2010 1 0
4020
x x x


    
+ Với
1
2010
tx
, từ (a) ta được
2
2009 1 8037
2010 0
2010 4020
x x x

    
Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm
1 8041
4020
x


;
1 8037
4020
x


Ví dụ 2: Giải phương trình:
3
3
3 3 2 2 0xx   

(2)
(Đề học sinh giỏi lớp 12 tỉnh Quảng Ngãi năm 2008-2009)
Giải: Đặt
3
3
3 2 3 2t x t x    
. Ta được hệ:
3
3
3 2 ( )
3 2 ( )
x t a
t x b







. Đây là hệ
đối xứng loại 2, đã biết cách giải.
Lấy (a) – (b) vế theo vế ta được
22
( )( 3) 0x t x xt t x t      
(vì
22
0x xt t  
)
Với t = x thay vào (a) ta được:

2
1
3 2 0
2
x
xx
x


   



Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm
1; 2xx  

Sáng kiến kinh nghiệm Trang 6
Nhận xét: Với hai phương trình trên, nếu sử dụng cách đặt ẩn phụ thông
thường, hay bằng phép biến đổi tương đương, thì bài toán trên nên rất phức
tạp, và không thể đưa được về dạng quen thuộc, thậm chí còn dẫn đến một
phương trình phức tạp hơn. Việc sử dụng cách đặt ẩn phụ mà ta coi ẩn phụ
cùng với ẩn ban đầu của phương trình như là hai ẩn của một hệ phương trình
giúp ta đưa bài toán về được dạng quen thuộc ngay. Cách làm này khá thú vị
và giúp cho học sinh có một cách tư duy mới trong quá trình giải toán.
Ngoài ra cách đặt ẩn phụ như trên còn giúp ta có thể sáng tác ra được
những phương trình mới từ việc xét một hệ phương trình đối xứng loại 2 quen
thuộc. chẳng hạn, xét hệ phương trình:
2
2
2 5 1

2 5 1
xy
yx







. Thế y theo x ở phương
trình thứ 2 vào phương trình thứ nhất của hệ ta được
2
2
51
2 5( ) 1
2
x
x


, từ
đó ta được phương trình mới:
22
8 5(5 1) 4xx   

Cũng từ hệ phương trình trên, bằng cách sử dụng phép đặt
21
5
x

y


rút
từ phương trình thứ nhất của hệ, rồi thế vào phương trình thứ hai ta lại được
một phương trình vô tỷ
2
21
5 2 1
5
x
x


. Cứ như thế ta có thể tạo ra được
nhiều phương trình mới từ những hệ phương trình quen thuộc
Từ những nhận xét trên, giúp ta có thể đưa ra cách giải phương trình dạng
tổng quát sau:
* Dạng tổng quát: :
( ) ' ' , , 2
n
n
ax b p a x b qx r n N n      
Cách giải: Đặt
''
n
a x b ay b  
nếu p.a’ > 0
Đặt
' ' ( )

n
a x b ay b   
nếu p.a’ < 0
để đưa bài toán về hệ phương trình “gần” đối xứng loại 2
b) Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình đối xứng loại 1:
Ví dụ 3: Giải phương trình:
22
3 10 5xx   
(3)
Sáng kiến kinh nghiệm Trang 7
Giải: Điều kiện:
10 10x  
Đặt
22
3; 10 ; 3;0 10u x v x u v      
Khi đó ta được hệ:
22
5
13
uv
uv





. (*)
Đây là hệ phương trình đối xứng loại 1 đã biết cách giải.
Giải hệ trên tìm được
2

3
u
v





hoặc
3
2
u
v





Từ đó tìm được phương trình (3) có 4 nghiệm
6; 1xx   

Ví dụ 4: Giải hệ phương trình:
22
4 2 2
2 3 15 0
2 4 5 0
x y x y
x y x y

   



    


(II)
Giải: Hệ phương trình (II)
2
2 2 2
( 2) 3( 2) 21 0
( 1) ( 2) 10
x y y
xy

    



   


22
2 2 2 2 2 2
( 3)( 2) 21 ( 1 4)( 2 4) 21
( 1) ( 2) 10 ( 1) ( 2) 10
x y x y
x y x y

       




       


Đặt
2
1; 2; 1u x v y u     
, ta được hệ:
22
( 4)( 4) 21
10
uv
uv
  




. Đây là hệ
phương trình đối xứng loại 1, giải hệ này ta được
3
1
u
v






hoặc
1
3
u
v





Từ đó tìm được hệ phương trình (II) có 3 nghiệm
     
2,1 ; 2,1 ; 0,5
Ví dụ 5: Giải hệ phương trình:
33
33
11
9
1 1 1 1
1 1 18
xy
x y x y





   



   
   

   


   

(III)
(Đề Olympic 30/4 lớp 10 năm 2009-2010)
Giải: Điều kiện
0, 0xy

Sáng kiến kinh nghiệm Trang 8
Đặt
3
3
11
,uv
xy

. Ta được hệ
33
9
( )(1 )(1 ) 18
uv
u v u v




   

. Đây là hệ phương
trình đối xứng loại 1 quen thuộc (đã biết cách giải)
Nhận xét: Qua 3 ví dụ trên, ta thấy việc sử dụng ẩn phụ giúp ta chuyển bài
toán từ dạng chưa quen thuộc về dạng quen thuộc đã biết cách giải, đồng thời
hạn chế được những tính toán cồng kềnh hơn. Mặt khác, ta còn có thể sáng
tác ra các bài toán mới từ những hệ phương trình đối xứng loại 1 đơn giản.
chẳng hạn, từ hệ phương trình (*) ở ví dụ 3, ta thay
22
2, 1u x v y y    

khi đó ta được hệ phương trình
22
4 4 3 2 2
60
2 4 3 2 8 0
x y y
x y y x y y

   


      


khá
phức tạp.
c) Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình bậc hai, bậc ba:
Ví dụ 6: Giải phương trình:

3
1 2 3xx   
(4)
Giải: Điều kiện:
1x 
. Đặt
3
1 , 2, 0u x v x u    

Ta được hệ phương trình:
23
3
3
uv
uv





. Dễ dàng giải được hệ này bằng
phương pháp thế, và tìm được
1; 2vu
. Từ đó tìm được x =3.
Nhận xét: Với phương trình (4) việc sử dụng phương pháp biến đổi tương
đương sẽ làm bài toán phức tạp, sử dụng cách đặt ẩn phụ đưa về hệ phương
trình cho ta lời giải hay và đơn giản hơn nhiều. Đặc biệt với những bài toán có
chứa căn bậc cao (căn bậc 4, căn bậc 5,…) thì phương pháp đặt ẩn phụ đưa về
hệ tỏ ra hiệu quả hơn rất nhiều.
d) Đặt ẩn phụ đưa về phương trình đẳng cấp:

Ví dụ 7: Giải phương trình
32
10 8 3( 6)x x x   
(5)
Giải: Đk:
2x 

Phương trình
22
10 ( 2)( 2 4) 3 ( 2 4) ( 2)x x x x x x

        

Sáng kiến kinh nghiệm Trang 9
Đặt
2
2; 2 4; 0; 3u x v x x u v      
. Phương trình (5) trở thành
22
10 3( )uv u v
. Đây là phương trình đẳng cấp bậc 2 đã biết cách giải
Nhận xét: Với phương trình (5) việc biến đổi tương tương bằng cách bình
phương hai vế là không thực hiện được, vì phương trình thu được bậc 4
nhưng không đặc biệt. Dấu hiệu để nhận biết cách phân tích và đặt như trên là
dựa vào biểu thức
32
8 ( 2)( 2 4)x x x x    
mà trong đó
22
( 2) ( 2 4) 6x x x x x      

* Dạng tổng quát:
P(x)+ Q(x)+ P(x).Q(x) 0
  

(phương trình đẳng cấp)
e) Đặt ẩn phụ “không hoàn toàn” đưa về phương trình bậc hai:
Đặt ẩn phụ “không hoàn toàn” là dùng một ẩn phụ t, đồng thời ẩn cũ vẫn còn
tồn tại trong phương trình mà ta coi nó như là một tham số, để phương trình
thu được có dạng quên thuộc.
Ví dụ 8: Giải phương trình:
2
4 1 1 3 2 1 1x x x x      
(6)
Giải: Điều kiện:
11x  

Phương trình
4 1 2 2 (1 ) 2 1 1 . 1x x x x x x          
Đặt
1 , 0 2t x t   
.
Khi đó ta được phương trình:
   
2
2 1 2 1 2 1 0t x t x x       
(6’)
Ta coi phương trình (6) là phương trình bậc 2 với ẩn t còn x coi như tham số,
phương trình này có biệt thức
 

2
3 1 2x   
Khi đó (6’)
21
21
tx
tx




  


. Tới đây tiếp tục thay
1tx
ta giải phương
trình chứa căn thức dạng quen thuộc.
Nhận xét: Với phương trình này, nếu giải theo cách thông thường, đặt
1tx
, rồi biểu diễn các biểu thức còn lại của x theo t, thì sẽ dẫn đến một
phương trình còn phức tạp hơn phương trình ban đầu. Vì vậy việc thừa nhận
Sáng kiến kinh nghiệm Trang 10
đồng thời hai biến lại giúp ta đưa phương trình về dạng quen thuộc. Tuy nhiên
cũng lưu ý rằng, nếu biệt thức

không biểu diễn được dưới dạng
2
A
thì bài

toán vẫn chưa giải quyết được, cần phải tìm hướng giải quyết khác.
Đôi khi ý tưởng trên còn được vận dụng vào việc giải hệ phương trình
Chẳng hạn, giải hệ phương trình:
2
3
( 3) 4 3
2 2 3
y y x y
yx

    


   


(IV)
Với hệ này, chúng ta phải bắt đầu biến đổi từ phương trình thứ nhất, tất nhiên
là cần tìm mối liên hệ bậc nhất giữa x và y. Tuy nhiên việc phân tích phương
trình thứ nhất thành nhân tử không phải là việc làm đơn giản. Với ý tưởng coi
phương trình
2
( 3) 4 3y y x y    
là phương trình bậc 2 theo y, ta viết lại
thành
2
( 4) 3 3 0y x y x    
, có biệt thức
2
( 2)x  

. Vì vậy ta tìm được
31y y x   
. Tới đây việc giải quyết hệ (IV) dễ dàng (xem lại ví dụ 6).
* Sau đây là một số bài tập tương tự để vận dụng phương pháp:
Bài tập 1: Giải các phương trình sau
1)
32
3
3 3 3 5 1 3x x x x    
Đặt y + 1 =
3
35x 
2)
3
3
1 2 2 1xx  

3)
2
55xx  

4)
2
2 2 2 1x x x  
Đặt y – 1 =
21x 

5)
33xx  
Đặt y =

3 x
6)
22
16 8 3 3 4x x x x    
Đặt y =
2
34xx

7)
2
4 3 1 5 13x x x   
Đặt
3 1 (2 3)xy   
8)
2
32 32 2 15 20x x x   
Đặt
2 15 4 2xy  

9)
2
2 1 3 1 0x x x    
(THTT 8/2011) Đặt
2 1 ( 1)xy   
10)
2
3
24
2
x

xx


(HSG lớp12 tỉnh Quảng Ngãi năm 2008-2009)
Sáng kiến kinh nghiệm Trang 11
11)
32
3
8 53 36 3 5 25x x x x    
Đặt 2y - 3 =
3
35x 
12)
44
1 5 2xx   
13)
33
1 2 1 1xx   

14)
3 3 3
1 2 2 3x x x    
15)
3
1 2 6 2xx   

16)
3
3 6 5 2 3 2 8 0xx    
(Đề thi Đại học khối A năm 2009)

17)
6 2 6 2 8
3
55
xx
xx



Bài tập2: Giải các phương trình sau:
18)
2 2 2 3
2( 1) 7( 1) 13( 1)x x x x     

19)
22
3( 1) 2( 1) 7 ( 1)( 1)x x x x x x       
20)
23
2 5 1 7 1x x x   

21)
22
5 14 9 20 5 1x x x x x      

(HSG lớp11 tỉnh Quảng Ngãi năm 2011-2012)
22)
23
2( 2) 5 1xx  

23)
23
2 4 3 4x x x x   
24)
2
2 2 2 4 2 2x x x x      

25)
1 3 ( 1)(3 ) 2x x x x      

26)
2
3 2 3( 1 )x x x x    

27)
2
2 3 1 3 2 5 3 16x x x x x       

28)
2
12 1 36x x x   
Đặt t =
1 x
29)
2
4 1 1 3 2 1 1x x x x      
Đặt t =
1 x
Sáng kiến kinh nghiệm Trang 12
30)

22
1 2 4 1 2 1x x x x     
Đặt
21tx
(Học sinh giỏi lớp12 tỉnh Quảng Ngãi năm 2002-2003)
31)
2
2 1 5 ( 4)( 24)x x x x    

(Học sinh giỏi lớp 12 tỉnh Quảng Ngãi năm 2003-2004)
2.1 KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC:
Qua hai năm triển khai thực hiện thử nghiệm đề tài, tôi nhận thấy: sau
khi áp dụng phương pháp nói trên để bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi dự thi
cấp tỉnh, phần lớn các em trong đội tuyển đều nắm được phương pháp và vận
dụng tốt trong kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh. Kết quả cụ thể như sau:
Qua khảo sát học sinh về khả năng vận dụng phương pháp đặt ẩn phụ để
giải phương trình và hệ phương trình trong các kì thi học sinh giỏi cấp trường
và cấp tỉnh trong hai năm học 2010-2011 và 2011-2012 tôi thu được mẫu số
liệu sau:
Kì thi HSG cấp
trường
Kì thi HSG cấp
tỉnh
Thành tích đạt
được ở cấp tỉnh
Kết quả đạt được
Năm 2010-2011
12/20
5/6
Đạt 1 giải Ba

2 giải KK
Kết quả đạt được
Năm 2011-2012
7/10
6/6
Đạt 1 giải Ba
1 giải KK
2.1 TIỂU KẾT:
Trong các đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng và các đề thi học sinh giỏi
các cấp, bài toán phương trình và hệ phương trình thường xuyên xuất hiện mà
phương pháp đặt ẩn phụ vẫn là phương pháp giải chủ yếu. Việc trang bị cho
học sinh một cách có hệ thống các kĩ thuật cơ bản của phương pháp đặt ẩn
phụ là rất cần thiết và có một ý nghĩa to lớn; giúp các em không những giải
quyết được những bài toán về phương trình, hệ phương trình và kể cả những
Sáng kiến kinh nghiệm Trang 13
bài toán khác như: bất phương trình, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
hàm số, bài toán tính tích phân, bất đẳng thức,… Việc sử dụng ẩn phụ để giải
các bài toán về phương trình và hệ phương trình giúp cho ta có được lời giải
rõ ràng, tính linh hoạt cao, có khả năng đưa một bài toán lạ về dạng quen
thuộc một cách dễ dàng, có khả năng sáng tạo được nhiều bài toán mới hay và
độc đáo từ những bài toán quen thuộc ban đầu.
Sáng kiến kinh nghiệm Trang 14
CHƯƠNG 2
PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
2.1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT:
Tính đơn điệu của hàm số:
a. Định nghĩa:
- Hàm số f được gọi là đồng biến (tăng) trên khoảng (a;b) khi và chỉ khi
1 2 1 2 1 2
, ( , ), ( ) ( )x x a b x x f x f x    

.
- Hàm số f được gọi là nghịch biến (giảm) trên khoảng (a;b) khi và chỉ
khi
1 2 1 2 1 2
, ( , ), ( ) ( )x x a b x x f x f x    
.
b. Tính chất:
Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì
1 1 1 2 1 2
( ) ( ) , , ( , )f x f x x x x x a b    
(suy ra từ định nghĩa).
Tính chất 2: Nếu hàm số f chỉ tăng ( hoặc giảm ) trên khoảng (a;b) thì
phương trình
( ) 0fx
có không quá một nghiệm trong khoảng (a;b).
Chứng minh:
a) Trường hợp hàm số f tăng trong khoảng (a;b)
Giả sử có hai số
1 2 1 2
, ( )x x x x
sao cho
12
( ) ( ) 0 (*)f x f x
. Điều (*)
này gặp phải mâu thuẫn, vì
1 2 1 2 1 2
( ) ( ), , ( , )x x f x f x x x a b    
(do hàm số
f tăng trong khoảng (a;b)).
b) Trường hợp hàm số f giảm trong khoảng (a;b).

Lập luận tương tự a) , ta cũng gặp mâu thuẫn.
Vậy phương trình f(x) = 0 không thể có nhiều hơn một nghiệm trên
khoảng (a;b).
Sáng kiến kinh nghiệm Trang 15
2.2 THỰC TRẠNG:
Trong những năm gần đây, trong các đề thi tuyển sinh đại học và các đề
thi học sinh giỏi thường xuất hiện bài toán về phương trình và hệ phương
trình mà đối với học sinh là những bài toán khó và lạ, phần lớn học sinh đều
lúng túng khi sử dụng các phương pháp giải đã biết như phương pháp biến đổi
tương đương, hay phương pháp đặt ẩn phụ. Chẳng hạn, với hệ phương trình
(I) đã đề cập trong phần lý do chọn đề tài, thì việc sử dụng phương pháp đặt
ẩn phụ, chúng ta không thể phát hiện được cách chọn ẩn phụ để đưa hệ
phương trình về dạng quen thuộc, còn sử dụng phép biến đổi tương đương,
hay phương pháp thế thì bài toán càng trở nên phức tạp hơn. Với hệ (I), chúng
ta dễ dàng phát hiện ra dạng của phương trình thứ nhất trong hệ như sau
 
3
3
(2 ) 2 5 2 5 2x x y y    
, từ đó nhận ra dạng
(2 ) ( 5 2 )f x f y
,
với
3
()f t t t
. Vì thế chọn giải pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số là tự
nhiên và hợp lí.
Qua khảo sát, đánh giá học sinh khối 11, 12 của trường về khả năng vận
dụng các kiến thức đã học trong chương trình sách giáo khoa để giải các bài
tập phương trình và hệ phương trình trong kì thi học sinh giỏi cấp trường năm

học 2009-2010, tôi thu được mẫu số liệu sau:
Số học sinh giải được
Số học sinh không giải được
Khối 11
3/10
7/10
Khối 12
4/10
6/10
2.3 NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP:
Ví dụ 9: Giải hệ phương trình:
2
22
(4 1) ( 3) 5 2 0 ( )
4 2 3 4 7 ( )
x x y y a
x y x b

    


   


(I)
(Đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2010)
Giải: Điều kiện:
35
;
42

xy
Sáng kiến kinh nghiệm Trang 16
Ta có phương trình (a)
 
3
8 2 1 5 2 5 2x x y y     
 
 
3
3
2 2 5 2 5 2x x y y     
(*)
Đến đây ta thấy, nếu đặt
3
()f t t t
thì phương trình trên viết lại thành
(2 ) ( 5 2 )f x f y
. Ta chứng minh được f(t) là hàm số tăng trên R vì
2
'( ) 3 1 0,f t t t R    
. Do đó suy ra
2
0
2 5 2
54
2
x
xy
x
y




  





Thế vào phương trình (b) ta được
2
22
5
4 2 2 3 4 7 0
2
x x x

     


(c)
Dễ thấy x =0 và x =
3
4
không là nghiệm của phương trình (c)
Xét hàm số
2
22
53
( ) 4 2 2 3 4 7, (0, )

24
g x x x x x

      


.Ta có
22
5 4 4 3
'( ) 8 8 2 4 (4 3) 0 (0, )
24
3 4 3 4
g x x x x x x x
xx

         



nên hàm số g(x) giảm trên
3
(0, )
4
, mặt khác
1
( ) 0
2
g 
nên phương trình (c ) có
duy nhất 1 nghiệm

1
2
x 
, suy ra y = 2. Vậy hệ (I) có 1 nghiệm
1
( ,2)
2

Nhận xét: Với hệ trên học sinh gặp những khó khăn sau: một là không thể
biểu diễn được x qua y hay y qua x (theo quan hệ bậc nhất) nên việc sử dụng
phương pháp thế là không thể; hai là hệ trên chưa có dạng đặc biệt và có chứa
căn thức nên khả năng sử dụng ẩn phụ cũng khó. Việc biến đổi phương trình
(a) để đưa về dạng (*) là nên nghĩ đến, khi đó nhận dạng ngay ra phương pháp
giải sử dụng tính đơn điệu của hàm số. Ngoài ra, khi giải phương trình (c )
cũng nên chọn lựa phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số vì phương
trình này khá phức tạp không thể sử dụng phương pháp biến đổi tương đương
hay đặt ẩn phụ được.
Sáng kiến kinh nghiệm Trang 17
Ví dụ 10: Giải hệ phương trình
3
(3 ) 2 2 2 1 0 ( )
2 2 (2 1) 0 ( )
x x y y a
x y b

    


   



(V)
(Đề học sinh giỏi lớp 12 tỉnh Quảng Ngãi năm 2010-2011)
Giải: Điều kiện:
1
2;
2
xy
Ta có (a)
   
22
1 2 2 1 2 1 2 1x x y y
   
       
   
   
(c )
Xét hàm số
23
( ) (1 ) , 0f t t t t t t    
, khi đó phương trình (c ) trở thành
( 2 ) ( 2 1)f x f y  
. Ta có
2
'( ) 3 1 0, 0f t t t    
nên f(t) là hàm số
tăng trên
[0;+ )
. Do đó
2 2 1 2 2 1x y x y      

Thay vào phương trình (b) ta được:
3
0
2 2 (2 ) 0
2
x
xx
x


    



Với x = 0 suy ra y =
3
2
(thõa điều kiện)
Với x = 2 suy ra y =
1
2
(thõa điều kiện)
Vậy hệ phương trình (V) có 2 nghiệm
31
(0, );(2; )
22

Ví dụ 11: Giải phương trình:
22

2 2 4 1 1x x x x     
(7)
Giải: Phương trình (7)
22
( 1) 1 ( 1) (2 ) 1 2x x x x       
(*)
Xét hàm số f(t) =
2
1tt
, khi đó (*) trở thành f(x-1) = f(2x).
Ta có f’(t) =
2
22
1
1 0,
11
t t t
tR
tt

    

nên f(t) đồng biến trên R
Do đó f(x-1) = f(2x)
1 2 1x x x     
. Vậy (7) có 1 nghiệm
1x 

Ví dụ 12: Giải phương trình:
32

16 4 4 1 2(4 1) 4 1x x x x x     
(8)
(Đề học sinh giỏi lớp 12 tỉnh Quảng Ngãi năm 2010 – 2011)
Sáng kiến kinh nghiệm Trang 18
Giải: Điều kiện:
1
4
x 
Đặt
2
4 1, 0 4 1 (*)y x y x y     
Thay
41yx
vào (8) ta được:
3 2 3
16 4 4 1 2 (**)x x x y   

Lấy (*) cộng (**) vế theo vế ta được
3 2 3 2
16 4 2x x y y  
3 2 3 2
2(2 ) (2 ) 2x x y y   
(***)
Xét hàm số
32
( ) 2 , 0f t t t t  
, khi đó (***) trở thành
(2 ) ( )f x f y

Ta có

2
'( ) 6 2 0, 0f t t t t    
nên hàm số f(t) tăng trên
[0,+ )
Do đó
(2 ) ( ) 2f x f y y x  
. Thay vào (*) ta có
2
20
1
2
4 1 4
x
x
xx






Vậy phương trình (8) có một nghiệm
1
2
x 
* Sau đây là một số bài tập tương tự để vận dụng phương pháp:
Bài tập 1. Giải các phương trình sau:
1)
3 1 7 2 5x x x    
2)

3
3
5 1 2 1 4x x x    
3)
5 7 16 14x x x x      
4)
22
15 2 3 8x x x    
Bài tập 2. Giải các phương trình sau:
5)
22
33
33
2 1 2 2 1x x x x     
(
1
1;
2
xx  
)
6)
22
(2 1)(2 4 4 4) 3 (2 9 3) 0x x x x x       
(
1
5
x 
)
(Tạp chí Toán học và tuổi trẻ tháng 5/2007)
7)

2
2 1 3 1 0x x x    
(Tạp chí THTT tháng 8/2011)
8)
22
3 (2 9 3) (4 2)( 1 1) 0x x x x x       
(
1
5
x 
)
9)
3 2 3 2
3
6 12 7 9 19 11x x x x x x       
Đặt
32
3
Sáng kiến kinh nghiệm Trang 19
10)
3 2 2
3
4 5 6 7 9 4x x x x x     
Đặt
2
3
7 9 4y x x  
11)
32
3 4 2 (3 2) 3 1x x x x x     

Đặt y =
31x 

(Đề học sinh giỏi lớp 12 tỉnh Quảng Bình năm 2010)
12)
32
3
27 27 13 2 2 2 1x x x x    

(Đề học sinh giỏi lớp 12 thành phố Hải Phòng năm 2010)
Bài tập 3: Giải các hệ phương trình sau:
13)
3 3 2 2 2
1 2 1 2 (1)
2 2 3 3 (2)
y x x x
x y x y xy x y

      


    


(Đề học sinh giỏi lớp 12 tỉnh Quảng Ngãi năm 2011 – 2012 )
14)

   



     


x x y y
x y x y
3
2 1 (4 2) 2 0
1 2 3 2 9 2
15)
32
32
32
6 12 8 0
6 12 8 0
6 12 8 0
y x x
z y y
x z z

   

   


   


(Đề học sinh giỏi lớp 12 tỉnh Quảng Ngãi năm 1995 – 1996 )
16)
32

32
32
2 7 8 2
2 7 8 2
2 7 8 2
x x x y
y y y z
z z z x

   

   


   

2.4 KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC:
Qua hai năm triển khai thực hiện thử nghiệm đề tài, tôi nhận thấy: sau
khi áp dụng phương pháp nói trên để bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi dự thi
cấp tỉnh, phần lớn các em trong đội tuyển đều nắm được phương pháp và vận
dụng tốt trong kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh. Kết quả cụ thể như sau:
Qua khảo sát học sinh về khả năng vận dụng phương pháp sử dụng tính
đơn điệu của hàm số để giải phương trình và hệ phương trình trong các kì thi
Sáng kiến kinh nghiệm Trang 20
học sinh giỏi cấp trường và cấp tỉnh trong hai năm học 2010-2011 và 2011-
2012 tôi thu được mẫu số liệu sau:
Kì thi HSG cấp
trường
Kì thi HSG cấp
tỉnh

Thành tích đạt
được ở cấp tỉnh
Kết quả đạt được
Năm 2010-2011
10/20
4/6
Đạt 1 giải Ba
2 giải KK
Kết quả đạt được
Năm 2011-2012
7/10
5/6
Đạt 1 giải Ba
1 giải KK
2.5 TIỂU KẾT:
Những năm gần đây, trong quá trình xây dựng và biên soạn các đề thi
tuyển sinh đại học cao đẳng, đề thi học sinh giỏi các cấp, người ta thường chú
tâm đến phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải quyết các bài
toán về phương trình và hệ phương trình, và một số bài toán khác như bất
đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số, Nên việc trang
bị cho các em học sinh một số kĩ thuật sử dụng phương pháp này có ý nghĩa
rất lớn, giúp các em có cái nhìn mới và đầy đủ hơn về ý nghĩa phần hàm số
trong chương trình toán phổ thông, giúp các em có khả năng vận dụng linh
hoạt “phương pháp hàm số” trong việc giải phương trình và hệ phương trình
nói riêng và giải toán nói chung.
Sáng kiến kinh nghiệm Trang 21
PHẦN III: KẾT LUẬN
Phương pháp đặt ẩn phụ và phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm
số là hai phương pháp chủ đạo và khá phổ biến trong việc giải các dạng toán
về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình nói riêng và hầu hết các

dạng toán khác nói chung trong chương trình toán phổ thông. Vì vậy việc
trang bị cho các em học sinh khả năng vận dụng linh hoạt và thành thạo hai
phương pháp này có ý nghĩa rất lớn trong việc bồi dưỡng năng lực môn toán
cho học sinh, tạo cho học sinh khả năng tư duy sáng tạo.
Sáng kiến kinh nghiệm này là kết quả của một quá trình tự tìm tòi, nghiên
cứu, đúc kết và rút kinh nghiệm trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi cấp
trường và cấp tỉnh ở cả hai khối 11 và khối 12 trong hai năm học 2010 – 2011
và 2011 – 2012. Qua hai năm triển khai thực hiện đề tài này, tôi thấy tính hiệu
quả của đề tài rất cao, đã đạt được những thành tích nhất định trong kì thi học
sinh giỏi cấp tỉnh, có thể áp dụng để giảng dạy luyện thi đại học, cao đẳng,
bồi dưỡng học sinh giỏi dự thi cấp tỉnh cho những năm tiếp theo. Trong năm
học tới, tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu và bổ sung để đề tài này được hoàn thiện
hơn, đáp ứng được nhu cầu bồi dưỡng cho học sinh để dự thi học sinh giỏi
cấp tỉnh đạt kết quả.
Tôi rất mong được hội đồng chuyên môn Nhà trường góp ý, bổ sung để
đề tài này hoàn thiện hơn, và khả thể triển khai áp dụng để dạy bồi dưỡng học
sinh giỏi các cấp cho những năm tiếp theo trong Nhà trường đạt hiệu quả cao.
Trong quá trình biên soạn đề tài tôi đã có nhiều cố gắng, tuy nhiên cũng
không tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận được sự góp ý chân thành
của các thầy cô giáo đồng nghiệp và Hội đồng chuyên môn Nhà trường để đề
tài của tôi được hoàn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn!
Quảng Ngãi tháng 05 năm 2012.
Sáng kiến kinh nghiệm Trang 22
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Nguyễn Thái Hòe, Dùng ẩn phụ để giải toán, Nhà xuất bản Giáo dục
(2003)
[2] Tạp chí toán học tuổi trẻ, Việt Nam