Tuyển chọn 30 bài tập phương pháp tọa độ trong mặt phẳng hay có đáp án chi tiết

TUYỂN TẬP CÁC BÀI HÌNH GIẢI TÍCH PHẲNG OXY TRONG
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC
PHẦN THỨ NHẤT : NĂM 2013 - 2014
Bài toán 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy, cho hình vuông ABCD có các đỉnh
A(−1; 2) ; C(3; −2). Gọi E là trung điểm cạnh AD ; BM là đường thẳng vuông góc với CE tại M
; N là trung điểm cạnh BM và P là giao điểm của AN và DM. Biết phương trình đường thẳng
BM : 2x − y − 4 = 0 .Tìm tọa độ đỉnh P .
Lời giải:
A B
C
D
E
M
N
P
I
- Phương trình EC đi qua C vuông góc với BM là: x + 2y + 1 = 0
- Tọa độ điểm M = EC ∩BM là nghiệm của hệ

2x − y − 4 = 0
x + 2y + 1 = 0
⇐⇒





x =
7
5
y = −

6
5
=⇒ M

7
5
; −
6
5

- Do N là trung điểm BM suy ra N

11
5
;
2
5

- Phương trình AN qua hai điểm A và N là x + 2y − 3 = 0
- Gọi I là tâm hình vuông suy ra I(1; 0). Phương trình BD qua I vuông góc với AC là x − y − 1 = 0
- Tọa độ B là nghiệm của hệ

2x − y − 4 = 0
x − y − 1 = 0
⇐⇒

x = 3
y = 2
=⇒ B (3; 2)
- Do I là trung điểm BD suy ra tọa độ D (−1; −2)

- Phương trình DM qua D và M là x − 3y − 5 = 0
- Tọa độ P = DM ∩ AN là nghiệm của hệ

x − 3y − 5 = 0
x + 2y − 3 = 0
⇐⇒





x =
19
5
y = −
2
5
=⇒ P

19
5
; −
2
5

Kết luận: Tọa độ điểm P

19
5
; −

2
5

thỏa mãn yêu cầu bài toán. 
1
Bài toán 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy, tam giác ABC vuông tại A ngoại tiếp
hình chữ nhật M NP Q. Biết các điểm M(−3; −1) và N(2; −1) thuộc cạnh BC; Q thuộc cạnh AB và
P thuộc cạnh AC. Đường thẳng AB có phương trình x −y + 5 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác
ABC
Lời giải:
A
C
B
M
N
P
Q
- Phương trình đường thẳng BC qua M và N là y + 1 = 0
- Tọa độ điểm B = AB ∩ BC là nghiệm của hệ

x − y + 5 = 0
y + 1 = 0
⇐⇒

x = −6
y = −1
=⇒ B (−6; −1)
- Đường thẳng QM qua M vuông góc với BC có phương trình là x + 3 = 0
- Tọa độ Q = QM ∩ AB là nghiệm của hệ


x + 3 = 0
x − y + 5 = 0
⇐⇒

x = −3
y = 2
=⇒ Q (−3; 2)
- Ta có
−−→
MN = (5; 0) ;
−−→
QP = (x
P
+ 3; y
P
− 2) =⇒
−−→
MN =
−−→
QP ⇐⇒

x
P
= 2
y
P
= 2
=⇒ P (2; 2)
- Đường thẳng AC qua P vuông góc với AB là x + y − 4 = 0
- Tọa độ C = AC ∩BC là nghiệm của hệ


x + y − 4 = 0
y + 1 = 0
⇐⇒

x = 5
y = −1
=⇒ C (5; −1)
- Tọa độ A = AB ∩AC là nghiệm của hệ

x + y − 4 = 0
x − y + 5 = 0
⇐⇒





x = −
1
2
y =
9
2
=⇒ A

−
1
2
;

9
2

Kết luận: Tọa độ các điểm A

−
1
2
;
9
2

; B(−6; −1) ; C(5; −1) .
Bài toán 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy,cho đường tròn (C) : x
2
+ y
2
− 4x +
2y −11 = 0 và đường thẳng (d) : 4x −3y + 9 = 0. Gọi A; B lần lượt là hai điểm thuộc (d) và C là điểm
thuộc đường tròn (C). Biết điểm H

22
5
;
11
5

là một giao điểm của AC và (C) ( C = H) và điểm
K


−
6
5
;
7
5

là trung điểm của AB. Tìm tọa độ các đỉnh A; B; C.
Lời giải:
2
S
AKIH
= 24
A
d : 4x − 3y = −9
K
B
H
I
C
- Đường tròn (C) có tâm I(2; −1); bán kính R = 4.
- Tọa độ (d) ∩ (C) thỏa

x
2
+ y
2
− 4x + 2y − 11 = 0
4x − 3y + 9 = 0
⇐⇒






x = −
6
5
y =
7
5
=⇒ (d) ∩ (C) = K

−
6
5
;
7
5

- Ta có HK = 4
√
2 =⇒ HK
2
= IH
2
+ IK
2
= R
2

+ R
2
=⇒ ∆IHK vuông tại I suy ra tứ giác AHIK là
hình thang vuông tại I và K.
=⇒ S
AHIK
=
(AH + IK) IH
2
= 24 ⇐⇒
(AH + R) R
2
= 24 =⇒ AH = 8
- Gọi A

a;
3a + 9
3

∈ (d) =⇒ B

−
12
5
− a;
14
5
−
3a + 9
3


.Ta có


a +
6
5

2
+

4a
3
+ 3 −
7
5

2
= 8
⇐⇒ 5a
2
+12a−180 = 0 ⇐⇒

a =
18
5
a = −6
=⇒





A

18
5
;
39
5

→ B (−6; −5)
A (−6; −5) → B

18
5
;
39
5

(Loại do A; B khác phía với IK)
- Phương trình AC qua A và H là 7x + y − 33 = 0
- Tọa độ C = (C) ∩ AC thỏa

x
2
+ y
2
− 4x + 2y − 11 = 0
7x + y − 33 = 0
⇐⇒






x =
26
5
y = −
17
5
=⇒ C

26
5
; −
17
5

Kết luận: Tọa độ các điểm A

18
5
;
39
5

; B (−6; −5) ; C

26

5
; −
17
5

. 
Bài toán 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy cho điểm A (1; 0) và các đường tròn
(C
1
) : x
2
+ y
2
= 2; (C
2
) : x
2
+ y
2
= 5 . Tìm tọa độ các điểm B và C lần lượt nằm trên (C
1
) và (C
2
)
để tam giác ABC có diện tích lớn nhất.
Lời giải:
3
A
B
C

H
* Đầu tiên ta có nhận xét: để tam giác ABC có diện tích lớn nhất thì O phải là trực tâm của tam giác ABC.
Chứng minh:
Giả sử CO không ⊥ AB thì ta luôn tìm được điểm C

∈ (C
2
) sao cho d(C

, AB) lớn hơn d(C, AB), hay
S
∆ABC

lớn hơn S
∆ABC
→ không thỏa mãn yêu cầu bài toán. Do đó CO ⊥ AB
-Tương tự ta cũng có BO ⊥ AC
Vậy O là trực tâm của tam giác ABC.Suy ra AO ⊥ BC ⇐⇒ x
B
= x
C
Và ta giả sử B(t; b) ∈ (C
1
), C(t; c) ∈ (C
2
) (t, b, c ∈ R) thì ta có

t
2
+ b

2
= 2
t
2
+ c
2
= 5
⇐⇒

b
2
= 2 − t
2
c
2
= 5 − t
2
Mà CO ⊥ AB nên
−−→
CO.
−−→
AB = 0 hay t(t − 1) + bc = 0 suy ra b
2
c
2
= t
4
− 2t
3
+ t

2
Do đó (2 − t
2
)(5 − t
2
) = t
4
− 2t
3
+ t
2
⇐⇒ (t + 1)(2t
2
− 10t + 10) ⇐⇒ t = −1; t =
5 +
√
5
2
; t =
5 −
√
5
2
Tới đây ta có: S
∆ABC
=
1
2
BC.d(A, BC) =
1

2
|x
A
− x
B
||y
B
− y
C
| =
1
2
|1 − t||b − c|
Suy ra S
2
∆ABC
=
1
4
(1 − t)
2
(b
2
+ c
2
− 2bc) =
1
4
(1 − t)
2

((2 − t
2
) + (5 − t
2
) − 2(t − t
2
)) =
1
4
(1 − t)
2
(7 − 2t)
* Nếu t = −1 thì ta suy ra S
2
∆ABC
= 9 hay S
∆ABC
= 3
* Nếu t =
5 +
√
5
2
thì ta dễ thấy điều vô lí vì t
2
+ b
2
= 2.
* Nếu t =
5 −

√
5
2
thì ta có S
2
∆ABC
=
√
5 − 1
8
< 9 → Loại.
Suy ra với t = −1 thì S
∆ABC
lớn nhất.
Và ta có



bc = −2
b
2
= 1
c
2
= 4
⇐⇒

b = 1
c = −2
∨


b = −1
c = 2
=⇒

B(−1; 1)
C(−1; −2)
∨

B(−1; −2)
C(−1; 2)
Kết luận: Với

B(−1; 1)
C(−1; −2)
∨

B(−1; −2)
C(−1; 2)
thì tam giác ABC có diện tích lớn nhất 
Bài toán 5: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy cho hình thoi ABCD có

A = 60
0
.Trên
các cạnh AB, BC lấy các điểm M, N sao cho MB + NB = AB.Biết P (
√
3; 1) thuộc đường thẳng DN
và đường phân giác trong của góc


MDN có phương trình là d : x − y
√
3 + 6 = 0.Tìm toạ độ đỉnh D
của hình thoi ABCD.
Lời giải:
Từ giả thiết

A = 60
0
=⇒ tam giác ABD, CBD là các tam giác đều.Theo đề bài ta có AM = BN, BM = CN .
Xét hai tam giác ADM và BDN ta có:

DAM =

DBN = 60
0
,AD = BD, AM = BN ⇐⇒ hai tam giác
bằng nhau ⇐⇒

ADM =

BDN (1).
Xét hai tam giác BM D và CN D ta có:

DBM =

DCN = 60
0
,CD = BD,CN = BM ⇐⇒ hai tam giác
bằng nhau ⇐⇒


NDC =

MDB (2).
Từ (1) và (2) ⇐⇒

MDN = 60
0
.
Gọi P

là điểm đối xứng của P qua đường phân giác d =⇒ P

thuộc đường thẳng DM
=⇒ tam giác P DP

là tam giác đều. =⇒ DP = P P

= 2d
(P/d)
= 6.
4
Gọi D có tọa độ D

a;
a + 6
√
3

. Ta có: P D

2
= (a −
√
3)
2
+

a + 6 −
√
3
√
3

2
= 36
⇐⇒ a = 3 +
√
3 ∨ a = −6 +
√
3 ⇐⇒ D(3 +
√
3; 1 + 3
√
3) ∨ D(−6 +
√
3; 1).
Kết luận: Tọa độ D(3 +
√
3; 1 + 3
√

3) ∨ D(−6 +
√
3; 1) thỏa mãn bài toán. 
Bài toán 6: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy, cho hình chữ nhật ABCD , đỉnh B
thuộc đường thẳng d
1
: 2x − y + 2 = 0, đỉnh C thuộc đường thẳng d
2
: x − y − 5 = 0 .Gọi H là hình
chiếu của B xuống đường chéo AC . BiếtM

9
5
;
2
5

; K (9; 2) lần lượt là trung điểm của AH và CD .
Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD biết hoành độ đỉnh C lớn hơn 4.
Lời giải:
A
B
C
D
H
K
M
Gọi B(b; 2b + 2), C(c; c − 5), (c > 4) và E là điểm đối xứng với B qua C. Suy ra E(2c − b; 2c − 2b −12).
Dễ dàng chứng minh được K là trung điểm của AE. Do đó,
−−→

HE = 2
−−→
MK =

72
5
;
16
5

=⇒ H

2c − b −
72
5
; 2c − 2b −
76
5

.
Thiết lập tọa độ các vector
−−→
CK = (9 − c; 7 + c),
−−→
BC = (c − b; c −2b −7),
−−→
BH =

2c − 2b −
72

5
; 2c − 4b −
86
5

,
−−→
MC =

c −
9
5
; c −
27
5

.
Với giả thiết bài toán ta có hệ phương trình

−−→
CK.
−−→
BC = 0
−−→
BH.
−−→
MC = 0
⇐⇒

−2c

2
+ 3bc + 23c − 23b − 49 = 0
4c
2
− 6bc +
126
5
b − 46c +
594
5
= 0
⇐⇒

b = 1
c = 9 hoặc c = 4(loại)
Từ đó ta có B(1; 4), C(9; 4) . Vì K là trung điểm của CD nên suy ra D(9; 0) . Lại có C là trung điểm của
BE nên suy ra E(17; 4), và K là trung điểm của AE nên suy ra A(1; 0) .
Bài toán 7: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc Oxy, cho đường tròn (C) :

x −
5
4

2
+ (y − 1)
2
= 2 .Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết các đỉnh B và C
thuộc đường tròn (C), các đỉnh A và D thuộc trục Ox.
Lời giải:
5

A
B
C
D
(x − 1.25)
2
+ (y − 1)
2
= 2
Đường tròn (C) có tâm I

5
4
; 1

=⇒ ABCD nhận đường thẳng x =
5
4
là một trục đối xứng.
C ∈ Ox =⇒ C = (a; 0) =⇒ D = (
5
2
− a; 0) ; AD ⊥ Ox =⇒ A = (
5
2
− a; b) =⇒ B = (a; b)
=⇒ CD = |2a −
5
2
|; AD = |b| =⇒ |2a −

5
2
| = |b| ⇐⇒ b
2
= 4(a −
5
4
)
2
, (1)
Lại có A, B thuộc (C) =⇒ (a −
5
4
)
2
+ (b − 1)
2
= 2 , (2)
Từ (1) và (2) =⇒ 5b
2
− 8b − 4 = 0 ⇐⇒

b = 2
b = −
2
5
Với b = 2 =⇒ Bốn đỉnh của hình vuông ABCD có tọa độ lần lượt là:

1
4

; 2

;

9
4
; 2

;

9
4
; 0

;

1
4
; 0

.
Với b = −
2
5
=⇒ Bốn đỉnh của hình vuông ABCD có tọa độ lần lượt là:

21
20
; −
2

5

;

29
20
; −
2
5

;

29
20
; 0

;

21
20
; 0

.
Bài toán 8: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc Oxy, cho hình thoi ABCD ngoại
tiếp đường tròn (I) : (x − 5)
2
+ (y − 6)
2
=
32

5
. Biết rằng các đường thẳng AC và AB lần lượt đi qua
các điểm M(7; 8) và N (6; 9). Tìm tọa độ các đỉnh của hình thoi ABCD.
Lời giải:
A
B
C
D
I
M
N
Do là đường tròn nội tiếp hình thoi suy ra tâm trung với giao của hai đường chéo.
Dễ dàng suy raAC : 1 −y + 1 = 0. Gọi phương trình AB có hệ số góc k dạng y = k(x −6) + 9.
Có d (I, AB) =
|3 − k|
√
k
2
+ 1
=
4
√
10
5
=⇒



k =
1

3
k = −
13
9
=⇒


AB : y =
x
3
+ 7
AB : y = −
13x
9
+
53
9
=⇒

A (9; 10) , C(1; 2)
A (2; 3) , C(8; 9)
6
Ta có BD : x + y −11 = 0 =⇒


B (3; 8)
B

−
23

2
;
45
2

=⇒


D (7; 4)
D

43
2
; −
21
2

Kết luận: Tọa độ các đỉnh cần tìm là


A (9; 10) ; B (3; 8) ; C (1; 2) ; D (7; 4)
A (2; 3) ; B

−
23
2
;
45
2


; C (8; 9) ; D

43
2
; −
21
2


Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc Oxy, cho hai đường tròn (O
1
) và (O
2
) có bán
kính bằng nhau và cắt nhau tại A(4; 2) và B. Một đường thẳng đi qua A và N(7; 3) cắt các đường tròn
(O
1
) và (O
2
) lần lượt tại D và C . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác BCD biết rằng đường thẳng nối
tâm O
1
, O
2
có phương trình x − y − 3 = 0 và diện tích tam giác BCD bằng
24
5
.
Lời giải:
Phương trình (AN) : x − 3y + 2 = 0.

Có O
1
O
2
⊥ AB =⇒ (AB) : x + y −6 = 0 =⇒ I

9
2
;
3
2

=⇒ B(5; 1) ( với I là giao điểm của AB va O
1
O
2
)
Do 2 đường tròn bán kính bằng nhau nên

BDC =

BCA( cùng chắn 1 cung AB)
Nên tam giác BDC cân.Kẻ BM vuông góc với DC suy ra (BM ) : 3x + y − 16 = 0 hay M

23
5
;
11
5


Gọi D(3t − 2; t) =⇒ C

56
5
− 3t;
22
5
− t

Có S
BCD
=
1
2
.d(B; (CD)).DC suy ra t = 1 ∨ t =
17
5
Với t = 1 thì D(1; 1); C

41
5
;
17
5

Với t =
17
5
thì C(1; 1); D


41
5
;
17
5

Kết luận: Tọa độ các đỉnh cần tìm là




B (5; 1) ; C

41
5
;
17
5

; D (1; 1)
B (5; 1) ; C (1; 1) ; D

41
5
;
17
5


Bài toán 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Elip có phương trình:

x
2
8
+
y
2
4
= 1 và điểm I(1; −1).
Một đường thẳng ∆ qua I cắt Elip tại hai điểm phân biệt A, B .Tìm tọa độ các điểm A, B sao cho độ
lớn của tích IA.IB đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải:
c
I
A
B
a
b
Gọi I

, A

, B

lần lượt là hình chiếu của I, A, B xuống trục hoành, khi đó theo tính chất của hình chiếu ta
suy ra IA.IB ≥ I

A

.I


B

, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi AB song song với trục hoành. Tương tự hạ hình
chiếu xuống trục tung, lập luận tương tự suy ra AB song song với trục tung.
Nhưng trong hai trường hợp này chỉ có một trường hợp thỏa mãn bài toán. Nhưng để ý I (1; −1) nằm trong
7
Elip do
1
2
8
+
(−1)
2
4
− 1 < 0 nên các hình chiếu trên đều nằm trong trục lớn hoặc trục bé của Elip, để ý
là trục lớn có độ dài lớn hơn nên đường thẳng AB cần tìm sẽ song song với trục bé, tức song song với trục tung.
Do AB song song với trục tung và qua I (1; −1) nên có phương trình là: x = 1 =⇒ A

1; −

7
2

, B

1;

7
2


.
Vậy hai điểm cần tìm là A

1; −

7
2

, B

1;

7
2

hoặc A

1;

7
2

, B

1; −

7
2

.

Bài toán 11: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC với A (3; 5), B (1; 2),
C (6; 3). Gọi ∆ là đường thẳng đi qua A cắt BC sao cho tổng khoảng cách từ hai điểm B, C đến ∆
là lớn nhất. Hãy lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm E (−1; 1) đồng thời cắt cả hai đường
thẳng ∆ và d
1
: x − y + 14 = 0 lần lượt tại hai điểm H, K sao cho 3HK = IH
√
10 với I là giao điểm
của ∆ và d
1
.
Lời giải:
−8. −6. −4. −2. 2. 4. 6.
−2.
2.
4.
6.
8.
0
A
B
C
E
d
f
Delta : 5x + y = 20
H
K
K


H

Hướng 1: Bằng phương pháp dựng hình cộng hưởng với việc tham số hóa đưa về giải tích. Ta có :
−−→
BA = (2; 3),
−−→
BC = (5; 1) =⇒
−−→
BA ·
−−→
BC = 2 · 5 + 1 ·3 = 13 > 0
Do đó : cos B > 0 =⇒

B nhọn.
Có :
−→
CA = (−3; 2),
−−→
CB = (−5; −1) =⇒
−−→
BA ·
−−→
BC = 15 − 2 = 13 > 0 Do đó : cos C > 0 =⇒

C nhọn. Kẻ
BP ⊥∆, CQ⊥∆. Khi đó ta có : d
(B,∆)
= BP, d
(C,∆)
= CQ.

Gọi D là giao điểm của ∆ và BC khi đó ta có : BP + CQ ≤ BD + DC = BC.
Do đó : max(BP + CQ) = BC. Dấu đẳng thức xảy ra khi ∆⊥BC.
Vậy ∆ là đường thẳng đi qua A và ⊥BC nên có
−→
n
∆
=
−−→
BC = (5; 1).
Do đó phương trình đường thẳng ∆ là : 5(x − 3) + 1(y − 5) = 0 ⇐⇒ 5x + y −20 = 0.
Vì I = ∆ ∩ d
1
nên tọa độ điểm I thỏa :

5x + y − 20 = 0
x − y + 14 = 0
⇐⇒

x = 1
y = 15
Vậy I(1; 15). Xét điểm
M(4; 0) ∈ ∆, N (a, a + 14) ∈ d
1
thỏa 3MN = IM
√
10.
Ta có :
−−→
MN = (4 − a, −a − 14),
−−→

IM = (−3; 15). Nên từ :3MN = IM
√
10 ⇐⇒ 9 · 234 = 10 ·

(4 − a)
2
+ (a + 14)
2

⇐⇒ 18a
2
+ 180a − 432 = 0 ⇐⇒ a = 2 ∨ a = −12.
Mặt khác từ giả thiết ta có : 3HK = IH
√
10 nên ta có :
HK
IH
=
MN
IM
=⇒ HK  MN.
Do đó đường thẳng d cần tìm đi qua E và song song với MN. Nên :
−→
a
d
=
−−→
MN = (4 − a; −a − 14).
Trường hợp 1 :a = 2 =⇒
−−→

MN = (2; −16). Lúc đó phương trình d :
x + 1
2
=
y − 1
−16
⇐⇒ 8x + y + 7 = 0.
Trường hợp 2 :a = −12 =⇒
−−→
MN = (16; −2).
Lúc đó phương trình d :
x + 1
16
=
y − 1
−2
⇐⇒ x + 8y −7 = 0.
Hướng 2 : Sử dụng dựng hình và đại số hóa bài toán dưới dạng tọa độ các giao điểm.
Ta có :
−−→
BA = (2; 3),
−−→
BC = (5; 1) =⇒
−−→
BA ·
−−→
BC = 2 · 5 + 1 ·3 = 13 > 0
Do đó : cos B > 0 =⇒

B nhọn. Có :

−→
CA = (−3; 2),
−−→
CB = (−5; −1) =⇒
−−→
BA ·
−−→
BC = 15 − 2 = 13 > 0 Do
8
đó : cos C > 0 =⇒

C nhọn.
Kẻ BP ⊥∆, CQ⊥∆. Khi đó ta có : d
(B,∆)
= BP, d
(C,∆)
= CQ.
Gọi D là giao điểm của ∆ và BC khi đó ta có :
BP + CQ ≤ BD + DC = BC
Do đó : max(BP + CQ) = BC. Dấu đẳng thức xảy ra khi ∆⊥BC.
Vậy ∆ là đường thẳng đi qua A và ⊥BC nên có
−→
n
∆
=
−−→
BC = (5; 1).
Do đó phương trình đường thẳng ∆ là : 5(x − 3) + 1(y − 5) = 0 ⇐⇒ 5x + y −20 = 0
Vì I = ∆ ∩d
1

nên tọa độ điểm I là nghiệm của hệ phương trình :

5x + y − 20 = 0
x − y + 14 = 0
⇐⇒

x = 1
y = 15
Vậy
I(1; 15).
Gọi d là đường thẳng đi qua E và có véc tơ pháp tuyến là
−→
n = (a, b). Khi đó phương trình đường thẳng
:d : a(x − 1) + b(y −15) = 0 (a
2
+ b
2
= 0).
Vì H = d ∩ ∆ nên tọa độ điểm H thỏa:

a(x − 1) + b(y − 15) = 0
5x + y − 20 = 0
⇐⇒





x =
19b + a

5b − a
y =
5(5a − b)
a − 5b
(a = 5b).
Lại có K = d∩d
1
nên tọa độ điểm K thỏa :

a(x − 1) + b(y − 15) = 0
x − y + 14 = 0
⇐⇒





x =
−13b − a
b + a
y =
13b + a)
a + b
(a = −b)
Vậy K

−13b − a
b + a
;
13b + a)

a + b

. ;H

19b + a
5b − a
;
5(5a − b)
a − 5b

Từ điều kiện bài toán : 3HK = IH
√
10 ⇐⇒ 9HK
2
= 10IH
⇐⇒
1296(a + 7b)
2
(a
2
+ b
2
)
(a − 5b)
2
(a + b)
2
=
1040(a + 7b)
2

(a − 5b)
2
⇐⇒ (a + 7b)
2
(8a − b)(a − 8b) = 0 ⇐⇒

a = −7b
b = 8a
a = 8b
Trường hợp 1: a = −7b chọn a = 7, b = −1 =⇒ d : 7x −y −8 = 0. Trường hợp này loại vì khi đó ba đường
thẳng d, d
1
, ∆ đều đồng quy tại điểm I.
Trường hợp 2 :a = 8b chọn a = 8, b = 1 =⇒ d : 8x + y + 7 = 0.
Trường hợp 3 : b = 8a chọn a = 1, b = 8 =⇒ d : x + 8y − 7 = 0.
Tóm lại ta có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán : 8x + y + 7 = 0 ; x + 8y − 7 = 0 
Bài toán 12: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C) : x
2
+ y
2
− 2x − 6y − 6 = 0
và hai điểm B(5; 3), C(1; −1). Tìm tọa đọ đỉnh A; D của hình bình hành ABCD biết A thuộc đường
tròn (C) và trực tâm H của tam giác ABC thuộc đường thẳng d : x + 2y + 1 = 0 và x
H
< 2.
Lời giải:
A
BI
C
d

D
Đường tròn (C) có tâm I(1; 3). Nhận thấy ngay B; C đều cùng thuộc đường tròn (C).
Gọi E là giao điểm của AI và (C) suy ra tứ giác BHCE là hình bình hành.
Gọi M là trung điểm của BC suy ra tọa độ điểm M(3; 1).
Tham số hóa tọa độ điểm H(−1 − 2a; a) với a >
−3
2
. Do M là trung điểm của HE suy ra E(7 + 2a; 2 −a).
9
Tọa độ điểm E lại thỏa mãn (C) nên ta có:
(7 + 2a)
2
+ (2 − a)
2
− 2 (7 + 2a) − 6 (2 − a) − 6 = 0
⇐⇒ 5a
2
+ 26a + 21 = 0 =⇒ a = −1 =⇒ E (5; 3)
Do điểm E và A đối xứng nhau qua tâm I nên suy ra A(−3; 3).
Do tứ giác ABCD là hình bình hành nên
−−→
AD =
−−→
BC =⇒ D (−7; −1)
Kết luận: Tọa độ các đỉnh cần tìm là A(−3; 3), D(−7; −1) .
Bài toán 12: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giacs ABC vuông tại A. gọi H là hình
chiếu của A lên BC. Tam giác ABH ngoại tiếp đường tròn (C) :

x −
16

5

2
+

y −
33
5

2
=
36
25
. Tâm
đường tròn nội tiếp tam giác ACH là I

26
5
;
23
5

. Tìm tọa độ trọng tâm G cua tam giác ABC.
Lời giải:
(C) có tâm K

16
5
;
33

5

và bán kính R =
6
5
. Trung điểm của IK là M

21
5
;
28
5

. Gọi D và L là hình chiếu
của K lên BC và AH.
Do AH⊥BC nên KDHL là hình vuông. Suy ra KH = R
√
2 =
6
√
2
5
.
Từ đó suy ra H thuộc đường tròn tâm K bán kính KH có phương trình:

x −
16
5

2

+

y −
33
5

2
=
72
25
.
Mà

AHK =

AHI = 45
o
=⇒

IHK = 90
o
. Nên H thuộc đường tròn tâm M bán kính
KM =


21
5
−
16
5


2
+

28
5
−
33
5

2
=
√
2 có phương trình (C

) :

x −
21
5

2
+

y −
28
5

2
= 2

.
Từ đó tìm được hai tọa độ điểm H thỏa mãn là H

74
25
;
123
25

và H


122
25
;
171
25

.
+) Trường hợp 1: H

74
25
;
123
25

. Phương trình tiếp tuyến của (C) qua điểm H là (d) : a

x −

74
25

+
b

y −
123
25

= 0 với (a
2
+ b
2
= 1).
d (K, d) = R ⇐⇒




a

16
5
−
74
25

+ b


33
5
−
123
25





=
6
5
⇐⇒




6a
25
+
42b
25




=
6
5

⇐⇒




a
5
+
7b
5




= 1 ⇐⇒

a + 7b = 5
a + 7b = −5
Kết hợp a
2
+ b
2
= 1 ta được



b =
4
5
=⇒ a = −

3
5
b =
3
5
=⇒ a =
4
5
Vậy có hai tiếp tuyến là




d
1
: −
3
5

x −
74
25

+
4
5

y −
123
25


= 0 ⇐⇒ 15x − 20y + 54 = 0
d
2
:
4
5

x −
74
25

+
3
5

y −
123
25

= 0 ⇐⇒ 20x + 15y + 133 = 0
Dễ thấy d
1
cắt đoạn IK nên phương trình AH chính là phương trình của d
1
;
phương trình BC là phương trình của d
2
.
A thuộc d

1
: 15x + 30 = 20y − 24 ⇐⇒
x + 2
4
=
y −
6
5
3
nên A

−2 + 4t;
6
5
+ 3t

.
−−→
AK =

16
5
+ 2 − 4t;
33
5
−
6
5
− 3t


=

26
5
− 4t;
27
5
− 3t

,
−→
AI =

26
5
+ 2 − 4t;
23
5
−
6
5
− 3t

=

36
5
− 4t;
17
5

− 3t

.
Dễ thấy

IAK =
1
2

BAC = 45
o
nên
−−→
AK.
−→
AI =



−−→
AK



.



−→
AI




cos 45
o
⇐⇒

26
5
− 4t

36
5
− 4t

+

27
5
− 3t

17
5
− 3t

=


26
5

− 4t

2
+

27
5
− 3t

2
.


36
5
− 4t

2
+

17
5
− 3t

2
.
√
2
2
10

Suy ra tìm được tọa độ A (sao cho A, H nằm khác phía so với IK) Lại có ACH đồng dạng BAH nên
CH
AH
=
d (I, d)
R
= . . . suy ra tìm được CH.
Dùng hệ thức lượng để tính BH. Sau đó tìm các điểm B, C cuối cùng G.
+) Trường hợp 2: H


122
25
;
171
25

làm tương tự kết quả ra đẹp hơn. A(2; 3), B(2; 9), C(10; 3), G

14
3
; 5

Bài toán 14: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp đường tròn
(C) tâm I(1; 2). Tiếp tuyến của (C) tại B; C; D cắt nhau tại M, N. Giả sử H(1; −1) là trực tâm tam
giác AMN. Tìm tọa độ các điểm A; M ; N biết chu vi tam giác AMN bằng 18 + 4
√
10 và x
M
> 5.

Lời giải:
A
I
C
H
N
M
D

B

Đường tròn (C) có tâm I là giao điểm của AC và BD suy ra AC vuông góc MN suy ra H thuộc AC.
Phương trình AC qua I và H là: x − 1 = 0, phương trình M N : y − c = 0.
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau thì IN là phân giác góc

DIC và IM là phân giác góc

CIB.
Mặt khác

DIC +

CIB = 180
o
=⇒ IN ⊥ IM .
Gọi tọa độ các điểm M(m; c); N(n; c), A(1; a). Theo bài ra ta có hệ phương trình sau:

−−→
AM.
−−→

NH = 0
−→
IN.
−−→
IM = 0
⇐⇒

(m − 1) (1 − n) + (c − a) (−1 −c) = 0
(m − 1) (n − 1) + (c − 2)
2
= 0
=⇒ (c −2)
2
+ (c − a) (−1 − c) = 0
Tham số hóa C(1; c) ∈ MN suy ra A(1; 4 − c) =⇒ a + c = 4. Từ đó suy ra:
(c − 2)
2
+ (c − 4 + c) (−1 − c) = 0 =⇒ c = −4, a = 8 =⇒ C (1; −4) ; A (1; 8) ; M (m; −4) ; N (n; −4)
Mà ta lai có chu vi tam giác AMN bằng 18 + 4
√
10 nên

(m − 1) (1 − n) = 36

(m − 1)
2
+ 144 +

[(m − 1) − (1 − n)]
2

+

(1 − n)
2
+ 144 = 28 + 4
√
10
⇐⇒

m − 1 = ±9; 1 − n = ∓4
m − 1 = ∓4; 1 − n = ±9
=⇒ M (10; −4) ; N (−3; −4)
Kết luận: Tọa độ các điểm cần tìm là A(1; 8); M (10; −4); N (−3; −4) .
Bài toán 15: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C) : (x − 4)
2
+

y −
9
2

=
25
4
và
hai điểm A(2; 3), B(6; 6). Gọi M ; N là hai điểm khác nhau nằm trên đường tròn (C) sao cho các đường
thẳng AM và BN cắt nhau tại H, AN và BM cắt nhau tại C. Tìm tọa độ điểm C biết H

4;
5

2

.
Lời giải:
11
H
C
A
B
M
N
I
Nhận thấy ngay A, B đề thuộc đường tròn (C) và AB = R =
5
2
nên AB là đường kính của đường tròn (C).
Từ đó ta suy ra được AH⊥BC, BH⊥AC suy ra H la trực tâm của tam giác ABC.
Đường thẳng AC qua A vuông góc với HB là 4x + 7y −29 = 0.
Đường thẳng BC qua A vuông góc với AH là: −4x + y + 18 = 0.
Tọa độ điểm C thỏa mãn hệ phương trình

4x + 7y − 29 = 0
−4x + y + 18 = 0
⇐⇒





x =

155
32
y =
11
8
=⇒ C

155
32
;
11
8

Kết luận: Tọa độ điểm càn tìm là C

155
32
;
11
8


Bài toán 16: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có điểm M(3; 2) thuộc
BD. Từ M kẻ các đường thẳng ME; MF lần lượt vuông góc với AB tại E(3; 4) và AD tại F (−1; 2).Xác
định tọa độ điểm C của hình vuông.
Lời giải:
C
F
M
E

K
A B
D
Gọi K = F M ∩BC. Ta có ME = 2; M F = 4 và F ME = CKM suy ra CK = F M = 4; MK = M E = 2
Gọi K (x
K
; y
K
) ; C (x
C
; y
C
). ta có
−−→
MK =
MK
MF
−−→
F M =
1
2
−−→
F M =⇒ K (5; 2)
Lại có
−−→
KC =
KC
ME
−−→
EM =

1
2
−−→
EM =⇒ C (5; −2).
Kết luận: Tọa độ điểm cần tìm là C(5; −2) .
12
Bài toán 17: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C
1
) :
(x − 2)
2
+ (y − 3)
2
= 45 tâm I. Đường tròn (C
2
) có tâm K(−1; −3) cắt đường tròn (C
1
) theo một dây
cung song song với AC. Biết S
AICK
= 30
√
2 và chu vi tam giác ABC là 10
√
10. Tìm tọa độ A;B; C
biết điểm B có hoành độ âm.
Lời giải:
A
B
C

I
K
E
A

Đường tròn (C
1
) có tâm I(2; 3). Nhận thấy R
C
1
= IK = 3
√
5 và K ∈ (C
1
).
Gọi MN = (C
1
) ∩ (C
2
) suy ra MN⊥IK. Mà ACMN =⇒ AC⊥IK.
Do đó ta có: S
AICK
= 30
√
2 =⇒ AC = 4
√
10. Lại có AB + BC + CA = 10
√
10 =⇒ AC + BC = 6
√

10. (1)
Gọi AA

là đường kính của (C
1
), E = IK ∩ AC suy ra IE =
1
2
A

C =
1
2
√
AA
2
− AC
2
=
√
5
Từ đó suy ra
−→
IK = 3
−→
IE =⇒ E (1; 1)
Phương trình AC qua E vuông góc IK là x + 2y − 3 = 0.
Tọa độ A và C là giao điểm của hệ gồm AC và (C
1
), suy ra A


1 − 4
√
2; 1 + 2
√
2

; C

1 + 4
√
2; 1 − 2
√
2

Tọa độ B thỏa mãn hệ gồm (1) và (C
1
), suy ra B

7
2
− 3
√
3;
12 + 3
√
3
2

Kết luận: Tọa độ các đỉnh A


1 − 4
√
2; 1 + 2
√
2

; C

1 + 4
√
2; 1 − 2
√
2

, B

7
2
− 3
√
3;
12 + 3
√
3
2

.
Bài toán 18: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A, phương trình cạnh
AC : x + y −3 = 0. Trên tia đổi của CA lấy điểm E. Phân giác trong góc


BAC cắt BE tại D. Đường
thẳng d đi qua D song song với AB cắt BC tại F . Tìm tọa độ giao điểm M của AF và BE biết
AF : 2x + y − 5 = 0 và I(−1; −3) là trung điểm của DF
Lời giải:
Gọi P là trung điểm của BC, thực hiện dãy suy luận, ta có:
DF  AB =⇒
AM
MF
=
P B
P F
=⇒
AM
MF
=
P C
P F
=⇒
AF
MF
=
F C
P F
=⇒ P M  AC =⇒ P M  EC =⇒ MB = ME
Kẻ đường thẳng MP ∩ AB = J, cắt (d) tại I

. Ta có
I


F
IB
=
I

D
JA
=⇒ I

trùng J
Từ đó, ta có P M qua trung điểm I của DF và M là giao điểm của P I và AF .
Kết luận: Tọa độ giao điểm cần tìm là M (9; −13). 
Bài toán 19: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có B(2; 3), C(2; 7). Tìm điểm
A sao cho đường cao AH = 3r với r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
13
Lời giải:
B
C
A
Do độ dài đường cao gấp ba lần bán kính đường tròn nội tiếp nên ta có:
2S
a
= 3
2S
a + b + c
=⇒ b + c = 2a
Gọi tọa độ điểm A(x; y). Như vậy thì

(x − 2)
2

+ (y − 3)
2
+

(x − 2)
2
+ (y − 7)
2
= 8
⇐⇒ 2


(x − 2)
2
+ (y − 3)
2

.

(x − 2)
2
+ (y − 7)
2

= 64 − (x − 2)
2
− (y − 7)
2
− (x − 2)
2

− (y − 3)
2
⇐⇒ 4

(x − 2)
2
+ (y − 3)
2

.

(x − 2)
2
+ (y − 7)
2

=

(x − 2)
2
+ y
2
− 10y − 3

⇐⇒ 12x
2
+ 16y
2
= 192 ⇐⇒
x

2
16
+
y
2
12
= 1
Kết luận: Vậy với mọi A ∈ (E) :
x
2
16
+
y
2
12
= 1 thì thỏa mãn yêu cầu 
Bài toán 20: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm A(4; 5), B(3; 0); C(2; 2). Gọi H; I lần
lượt là trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, trung trực của AH cắt AB; AC tại
M; N. Phân giác trong góc

IMN cắt AC tại P . Tính diện tích tam giác MN P biết y
B
> 0.
Lời giải:
A
B
C
H
N
M

I
F
E
Viết phương trình đường cao kẻ từ 2 đỉnh bất kì và lấy giao, ta tìm được tọa độ trực tâm là H

−
6
7
;
18
7

Phương trình trung trực của AH là 2x + y −
97
14
= 0
Viết phương trình AB, AC ta tìm được tọa độ M

307
98
;
65
98

, N

111
49
;
235

98

14
Gọi F là trung điểm của BC là F

5
2
; 1

. Theo
−−→
AH = 2
−−→
IM =⇒ I

69
14
;
31
14

Nhận thấy phương trình phân giác góc

IMN trùng với AB nên ta sẽ đi tính diện tích tam giác AMN.
Ta có: S
AMN
=
1
2
MN.d (A, M N) =

1
2


111
49
−
307
98

2
+

235
98
−
65
98

2
.




2.4 + 5 −
97
14





√
2
2
+ 1
=
7225
2744
(đơn vị dt)
Kết luận: Diện tích tam giác MNP là S
MNP
=
7225
2744

Bài toán 21: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có phương trình đường cao
AH : 3x+ 2y −1 = 0, phân giác trong CK : 2x −y + 5 = 0 và trung điểm M (2; −1) của cạnh AC. Gọi
C
ABC
, S
ABC
lần lượt là chu vi và diện tích tam giác ABC. Tính giá trị của 30C
ABC
+
2013
3
√
S
ABC

Lời giải:
Diện tích của ABC = 101.43
A
C
B
22.68
18.03
11.37
Đặt C(c; 2c + 5); A

a;
1 − 3a
2

. Ta có M(2; -1) là trung điểm của AC.
Dễ dàng tìm được a =
31
7
; c = −
3
7
=⇒ A

31
7
; −
43
7

; C


−3
7
;
29
7

.
Phương trình BC qua C và vuông góc với AH là 12x −21y + 93 = 0.
Gọi B

b;
2
3
b +
93
21

. Theo bài ta có d
B;(CK)
= d
A;(CK)
và A, B khác phía so với (CK). Ta tìm ra B

102
7
;
99
7


Bây giờ thì khá ổn rồi, bữa ăn cũng sắp xong rồi, có điều "món gà" "dai quá".
BC = 5
√
13; AB =
√
25205
3
; AC =
2
√
1585
3
; SABC =
710
7
.
Từ đó ta có biểu thức cần tính có giá trị là
476410
7
+ 710
√
5 + 150
√
13 + 20
√
1585 
Bài toán 22: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C) : x
2
+ y
2

+ 4y + 6y −3 = 0 và
điểm M(2; 1). Gọi A;B lần lượt là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M đến (C). Tìm trực tâm
H của tam giác M AB.
Lời giải:
Gọi I là tâm của đường tròn (C). Từ đó ta có I(−2; −3), R = 4.
Ta có MI = 4
√
2. Từ đó suy ra MA = M B = 4 suy ra IAMB là hình vuông.
Khi đó ta có trực tâm H trùng với điểm M.
15
Kết luận: Trực tâm tam giác ABC là H(2; 1). 
Bài toán 23: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng d : x − y + 2 = 0 và hai đường
tròn có phương trình lần lượt là (C
1
) : (x − 1)
2
+ (y −1)
2
= 1; (C
2
) : (x + 3)
2
+ (y −4)
2
= 4. Hãy tìm
điểm M trên đường thẳng d sao cho từ M kẻ được lần lượt hai tiếp tuyến MA; M B (với A; B là tiếp
điểm) đến đường tròn (C
1
)và đường tròn (C
2

) đồng thời đường thẳng d là phân giác trong góc

AMB.
Lời giải:
d
M
I
1
I
2
B

A

B
A
Tâm các đường tròn lần lượt là I
1
(1; 1), I
2
(−3; 4). Lấy đối xứng của đường thẳng MA qua OI
1
thì dễ thấy
nó tiếp xúc với (C
1
) tại C.
Do tính chất đối xứng thì


CM, d


=


BM, d

, do đó MB tiếp xúc với (C
1
) tại C và (C
2
) tại B.
Chứng minh tương tự với M A, ta suy ra được M là tâm phép vị tự biến (C
1
) thành (C
2
) suy ra M ∈ I
1
I
2
.
Phương trình I
1
I
2
là :3x + 4y − 7 = 0.
Tọa độ điểm M thỏa mãn hệ phương trình

3x + 4y − 7 = 0
x − y + 2 = 0
⇐⇒






x = −
1
7
y =
13
7
=⇒ M

−
1
7
;
13
7

Kết luận: Tọa độ điểm cần tìm là M

−
1
7
;
13
7

. 

Bài toán 23: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tứ giác ABCD có
A(1; 7), B(6; 2), C(2; −4), D(1; 1). Hãy viết phương trình đường thẳng đi qua C và chia tứ giác
thành hai phần có diện tích bằng nhau.
Lời giải:
S
AHCD
= 14
S
HBC
= 14
A
B
C
D
H
16
Từ giả thiết bài toán ta tính được S
ABCD
= 28; S
ACD
= 3; BC = 2
√
13 và phương trình AB : x + y −8 = 0,
phương trình BC : 3x − 2y − 14 = 0.
*Trường hợp 1: Đường thẳng qua C cắt AD tại K suy ra S
DCK
≤ S
ADC
= 3 < 14 =
S

ABCD
2
Do đó trường hợp này không thỏa mãn.
*Trường hợp 2: Đường thẳng qua C cắt AB tại H, ta có S
BCH
=
1
2
BC.d (H; BC) = 14 =⇒ d (H; BC) =
14
√
13
Tham số hóa H(t; 8 − t), suy ra
|5t − 30|
√
13
=
14
√
13
=⇒



t =
44
5
t =
16
5

=⇒ t =
16
5
=⇒ H

16
5
;
24
5

(Do H thuộc đoạn AB)
Kết luận: Phương trình cần tìm đi qua C và H là 22x − 3y − 56 = 0. 
Bài toán 25: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường tròn (C
1
) : (x −2)
2
+ (y − 1)
2
=
9; (C
2
) : (x + 1)
2
+ (y −5)
2
= 4 tiếp xúc ngoài tại A. Tìm điểm B ∈ (C
1
) và C ∈ (C
2

) sao cho tam
giác ABC vuông tại A và có diện tích lớn nhất.
Lời giải:
S
ACB
= 6
S
AB

C

= 6
A
B
C
B

C

D
E
45
o
45
o
Gọi D, E lần lượt là tâm của (C
1
), (C
2
). Khi đó R

1
= 3; R
2
= 2. Có S
ABC
=
1
2
AB.AC.
Xét

AB = 2AD cos

BAD = 2AD cos α
AC = 2AE cos

EAC = 2AE cos

π
2
− α

= 2AE sin α
=⇒ S
ABC
= 6 sin 2α ≤ 6 =⇒ S
ABC
Max
= 6 ⇐⇒ α =
π

4
=⇒ BD⊥AD
Phương trình AD : 4x + 3y −11 = 0 suy ra AB : 7x −y + 2 = 0 suy ra B

−
2
5
; −
4
5

∨ B

22
5
;
14
5

Với B

−
2
5
; −
4
5

ta được AB : 7x − y + 2 = 0 suy ra AC : x + 7y −24 = 0 suy ra C


−13
5
;
19
5

Với B

22
5
;
14
5

ta được AB : x + 7y −24 = 0 suy ra AD : 7x −y + 2 = 0 suy ra C

3
5
;
31
5

.
Kết luận Vậy tọa độ các đỉnh cần tìm là B

−
2
5
; −
4

5

, C

−
13
5
;
19
5

∨ B

22
5
;
14
5

, C

3
5
;
31
5

. 
Bài toán 26: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C) : x
2

+ y
2
= 25 và
B

−
5
2
;
5
√
3
2

. Điểm C có hoành độ dương thuộc (C) sao cho

BOC = 120
o
. Tìm M thuộc cung
nhỏ BC sao cho
1
MB
+
1
MC
đạt giá trị nhỏ nhất (M = B, C).
17
Lời giải:
c
O

B
C
120
o
A
M
Theo đề bài ta có ngay C(5; 0) và B ∈ (C). gọi A đối xứng với B qua trục Ox thì A

−
5
2
; −
−5
√
3
2

.
Không khó để ta nhận thấy tam giác ABC đều. Áp dụng bất đẳng thức AM − GM ta có:
1
MB
+
1
MC
≥
4
MB + MC
Mà theo định lí P toleme cho tứ giác nội tiếp, ta được: MA.BC = M B.CA + AB + M C
Vì AB = BC = CA và M thuộc cung nhỏ BC nên: MB + M C = M A.
Do đó biểu thức đã cho nhỏ nhất khi M A lớn nhất, khi đó thì M là điểm chính giữa cung nhỏ BC thỏa mãn

MB = MC.
Từ đó suy ra M đối xứng với A qua O nên suy ra M

5
2
;
5
√
3
2

Kết luận: Tọa độ điểm cần tìm là M

5
2
;
5
√
3
2


Bài toán 27: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có I

3
2
;
1
16


và E(1; 0) lần
lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC. Đường tròn (T ) tiếp xúc với BC và các
cạnh AB; AC kéo sài có tâm là F (2; −8). Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết y
A
< 0.
Lời giải:
A
B
C
I
E
F
J
18
Gọi J là giao của EF và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .Khi đó có BJ=EJ và ∆BEF vuông tại B suy
ra J là trung điểm EF.
Pt đường tròn ngoại tiếp ABC và EBC là







(I) :

x −
3
2


2
+

y −
1
16
2

=
65
2
16
2
(J) :

x −
3
2

2
+ (y + 4)
2
=
65
4
Suy ra phương trình BC : y = −2 do đó B (5, −2) , C (−2, −2) và ngược lại.
Phương trình EF : 8x + y − 8 = 0 suy ra A

1
2

, 4

Kết luận: Tọa độ các đỉnh của tam giác là A

1
2
, 4

; B (5, −2) , C (−2, −2) hoặc A

1
2
, 4

; C (5, −2) , B (−2, −2)

Bài toán 28: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho elip (E) thỏa mãn khoảng cách giữa hai đường
chuẩn của (E) bằng
8
√
3
3
, điểm M có tọa độ dương thuộc (E) sao cho độ lớn hai bán kính qua tiêu là
5
2
VÀ
3
2
. Tìm điểm N ∈ (E) sao cho MN =
√

37
6
và x
N
> 0.
Lời giải:
Giả sử (E) :
x
2
a
2
+
y
2
b
2
= 1, a > b > 0. Khoảng cách hai đường chuẩn là :
2a
2
c
=
8
√
3
3
=⇒
a
2
c
=

4
√
3
3
.
mathbf Ta có. M F
1
= a +
c
a
x
M
> a −
c
a
x
M
= MF
2
(x
M
> 0)
Suy ra





a +
c

a
x
M
=
5
2
a −
c
a
x
M
=
3
2
=⇒ a = 2 =⇒ c =
√
3, b = 1. Phương trình (E) : x
2
+ 4y
2
= 4, M(
1
√
3
;

11
12
)
Gọi N(a; b) ∈ E. Khi đó ta có :






a
2
+ 4b
2
= 4

a −
1
√
3

2
+

b +

11
12

2
=
37
36
=⇒






a =
8
3
√
3
b = −
√
33
9
=⇒ N

8
3
√
3
; −
√
33
9

Kết luận: Vậy tọa độ điểm cần tìm là N

8
3
√
3

; −
√
33
9


Bài toán 29: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho các đường thẳng ∆
1
: x − y + 2 = 0; ∆
2
:
2x −y −2 = 0; ∆
3
: 2x + y −2 = 0 và điểm E(4; 3). Viết phương trình đường tròn có tâm I thuộc ∆
1
,
cắt ∆
2
tại A; B và ∆
3
tại C; D sao cho AB + CD =
16
√
5
và tâm I thỏa mãn IO = 2IE, x
I
∈ Z.
Lời giải:
Delta
1

Delta
2
Delta
3
I
E
O
A
B
C
D
19
Tham số hóa I(a; a + 2) ∈ ∆
1
. Ta có:
IO = 2IE =⇒ a
2
+(a + 2)
2
= 4

(a − 4)
2
+ (a − 1)
2

⇐⇒ 6a
2
−44a+54 = 0 ⇐⇒


a = 2
a =
16
3
=⇒ I (2; 4)
Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB; CD suy ra IH = d (I; ∆
2
) =
2
√
5
; IK = (I; ∆
3
) =
6
√
5
Ta có: AB + CD =
16
√
5
⇐⇒ BH + CK =
8
√
5
⇐⇒

R
2
−

36
5
+

R
2
−
4
6
=
8
√
5
⇐⇒ R
2
= 8
Kết luận: Phương trình đường tròn cần lập là (x −2)
2
+ (y − 4)
2
= 8. 
Bài toán 30: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình thang ABCD có đáy AB. Biết hai đỉnh
B(3; 3), C(5; −3). Giao điểm I của hai đường chéo thuộc 2x + y −3 = 0. Gọi K là trung điểm của CD.
Tìm tọa độ các đỉnh A, D biết rằng IC = 2BI, tam giác IDK có diện tích rằng

8
5
và các điểm I, A
có hoành độ dương.
Lời giải:

S
IKD
= 1.6
B
C
D
I
A
K
2x + y = 3
Gọi I (a; 3 −2a) ∈ ∆. Theo bài ra ta có:
IC = 2IB ⇐ (a − 5)
2
+(6 − 2a)
2
= 4(a − 3)
2
+16a
2
⇐⇒ 15a
2
+10a−25 = 0 ⇐⇒

a = 1
a = −
5
3
=⇒ I (1; 1)
Phương trình đường thẳng BI : x − y = 0 và CI x + y − 2 = 0, IC = 4
√

2.
K là trung điểm của CD suy ra S
ICD
= 2S
IDK
=
16
5
=
1
2
IC.d (D; IC) =⇒ d (D; IC) =
8
5
√
2
Tham số hóa D(d; d) ∈ BI. Suy ra
|2d − 2|
√
2
=
8
5
√
2
=⇒



d =

9
5
d =
1
5
=⇒




D

9
5
;
9
5

D

1
5
;
1
5

Với D

1
5

;
1
5

, phương trình AB : 16x + 24y − 120 = 0. Tọa độ A là giao của CI và AB suy ra A(−9, 11)
Với trường hợp còn lại, tương tự ta thấy không thỏa mãn.
Kết luận: Tọa độ các đỉnh cần tìm là D

9
5
;
9
5

; A(−9, 11) 
Trong quá trình tổng hợp, chắc hẳn không tránh được sai xót, mong nhận được sự phản biện và góp ý thêm
của bạn đọc để có thể hoàn thiện hơn tài liệu này.
20