Tài liệu PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG ppt
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (546.88 KB, 76 trang )
PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
GV: Nguyễn Tất Thu (0942444556) 1
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
I. Tọa độ trong mặt phẳng.
Cho
1122
u(x,y); v(x;y)
rur
và
kR
. Khi đó:
12121212
22
12
1111
12
12121212
1) uv(xx;yy) 2) uv(xx;yy)
xx
3) ku(kx;ky) 4) uxy 5) u=v
yy
6) u.vxxyyuvu.v0xxyy0
rurrur
rrrur
rurrurrur
Hai véc tơ
1122
u(x,y); v(x;y)
rur
cùng phương với nhau
12
12
xkx
yky
Góc giữa hai véc tơ
1122
u(x,y); v(x;y)
rur
:
1212
2222
1122
u.v
xxyy
cos(u,v)
uv
xyxy
rur
rur
rur
.
Cho
AABB
A(x;y) ; B(x;y)
. Khi đó :
22
BABABABA
1) AB(xx;yy) 2) AB=AB(xx)(yy
)
uuuruuur
22
25
(C):(x2)(y4)
9
trong đó
d:5x2y110.
là trung điểm của
A(1;2),B(3;2).
.
ABCDAB.CD0
uuuruuur
Cho tam giác
ABC
với
AABBCC
A(x;y), B(x;y), C(x;y)
. Khi đó trọng tâm
GG
Gx;y
của tam giác ABC là :
ABC
G
ABC
G
xxx
x
3
yyy
y
3
.
II. Phương trình đường thẳng
1. Phương trình đường thẳng
1.1. Véc tơ chỉ phương (VTCP), véc tơ pháp tuyến (VTPT) của đường thẳng :
Cho đường thẳng d.
22
xy
(E):1
94
A(3;2),
gọi là véc tơ pháp tuyến của d nếu giá của nó vuông với d.
PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
GV: Nguyễn Tất Thu (0942444556) 2
B(3;2)
A2;1,B4;3
gọi là véc tơ chỉ phương của d nếu giá của nó trùng hoặc song
song với đường thẳng d.
Một đường thẳng có vô số VTPT và vô số VTCP ( Các véc tơ này luôn cùng phương với
nhau)
:xy50
Mối quan hệ giữa VTPT và VTCP:
A0;5,B2;3
.
R10
Nếu
A1;0,B2;0
là một VTPT của đường thẳng
d
thì
u(b;a)
r
là một
VTCP của đường thẳng
d
.
d:xy120
Đường thẳng
A1;1
có
A,O
là VTCP.
1.2. Phương trình đường thẳng
1.2.1. Phương trình tổng quát của đường thẳng :
Cho đường thẳng
22
(C):xy1
đi qua điểm
I2;2
và có
AB2
là VTPT, khi đó
phương trình tổng quát của
M(2;3)
có dạng:
22
4
(C):(x2)y
5
.
1.2.2. Phương trình tham số của đường thẳng :
Cho đường thẳng
12
:xy0, :x7y0
đi qua điểm
22
1
C:xy10x0
và
có
22
2
C:xy4x2y200
là VTCP, khi đó phương trình tham số của đường
thẳng
d
là:
0
0
xxat
yybt
,
22
xy2x6y60
.
2. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng.
Cho hai đường thẳng
M(3;1)
12
T,T
. Khi đó vị trí tương đối giữa chúng phụ thuộc vào
số nghiệm của hệ :
(C)
(I)
12
T,T
Nếu (I) vô nghiệm thì
1
d:mx(m1)ym0
.
2
d:(2m2)x2my10
Nếu (I) vô số nghiệm thì
22
C:xy2x4y0
d:xy0
Nếu (I) có nghiệm duy nhất thì
1
d
và
2
d
cắt nhau và nghiệm của hệ là tọa
độ giao điểm.
3. Góc giữa hai đường thẳng.
Cho hai đường thẳng
1111
d:axbyc0;
2222
d:axbyc0
. Gọi
là góc nhọn
tạo bởi hai đường thẳng
1
d
và
2
d
. Ta có :
1212
2222
1122
aabb
cos
abab
.
PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
GV: Nguyễn Tất Thu (0942444556) 3
4. Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng.
Cho đường thẳng
:axbyc0
và điểm
00
M(x;y)
. Khi đó khoảng cách từ
M
đến
được tính bởi công thức:
00
22
axbyc
d(M,())
ab
.
5. Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng
1111
d:axbyc0
và
2222
d:axbyc0
Phương trình
phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng là:
111222
2222
1122
axbycaxbyc
abab
.
III. Phương trình đường tròn.
1. Phương trình đường tròn :
Cho đường tròn (C) tâm
I(a;b)
, bán kính
R
, khi đó phương trình của (C) là :
222
(xa)(yb)R
.
Ngoài ra phương trình :
22
xy2ax2byc0
với
22
abc0
cũng là phương
trình của đường tròn có tâm
I(a;b)
, bán kính
22
Rabc
.
2. Phương trình tiếp tuyến :
Cho đường tròn (C) :
222
(xa)(yb)R
.
Tiếp tuyến
của (C) tại điểm
M
là đường thẳng đi qua M và vuông góc với IM .
Đường thẳng
:AxByC0
là tiếp tuyến của (C)
d(I,)R
Đường tròn (C) :
222
(xa)(yb)R
có hai tiếp tuyến cùng phương với Oy là
xaR
. Ngoài hai tiếp tuyến này các tiếp tuyến còn lại đều có dạng :
ykxm
.
IV. E líp
1. Định nghĩa : Trong mặt phẳng cho hai điểm cố định
12
F,F
có
12
FF2c
. Tập hợp các
điểm
M
của mặt phẳng sao cho
12
MFMF2a
(
2a
không đổi và
ac0
) là một
đường elíp.
12
F,F
: là hai tiêu điểm và
2c
là tiêu cự của elíp.
12
MF,MF
: là các bán kính qua tiêu.
2. Phương trình chính tắc của elíp:
PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
GV: Nguyễn Tất Thu (0942444556) 4
22
22
xy
1
ab
với
222
b= ac
.
Vậy điểm
22
00
00
22
xy
M(x;y)(E)1
ab
và
00
xa ; yb
.
3. Tính chất và hình dạng của elíp: Cho
22
22
xy
(E):1
ab
,
ab
.
Trục đối xứng
Ox,Oy
. Tâm đối xứng
O
.
Đỉnh:
121
A(a;0), Aa;0, B(0;b)
và
2
B0; b
.
12
AA2a
gọi là độ dài trục lớn,
12
BB2b
gọi là độ dài trục bé.
Tiêu điểm:
12
F(c;0), F(c;0)
.
Nội tiếp trong hình chữ nhật cơ sở PQRS có kích thước 2a và 2b với
222
b= ac
.
Tâm sai:
22
cab
e1
aa
Hai đường chuẩn:
2
aa
x
ec
0010
Mx;yE: MFaex
và
20
MFaex
.
x
y
P
Q
RS
B
2
A
2
A
1
O
V. Hypebol
1. Định nghĩa : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
Oxy
cho hai điểm
12
F,F
có
12
FF2c
.
Tập hợp các điểm
M
của mặt phẳng sao cho
12
MFMF2a
(
2a
không đổi và
ca0
) là một Hypebol.
12
F, F
: là 2 tiêu điểm và
12
FF2c
là tiêu cự.
12
MF,MF
: là các bán kính qua tiêu.
2. Phương trình chính tắc của hypebol:
22
22
xy
1
ab
với
222
b= ca
.
PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
GV: Nguyễn Tất Thu (0942444556) 5
3. Tính chất và hình dạng của hypebol (H):
Trục đối xứng
Ox
(trục thực),
Oy
(trục ảo). Tâm đối xứng
O
.
Đỉnh:
12
A(a;0),Aa;0
. Độ dài trục thực:
2a
và độ dài trục ảo:
2b
.
Tiêu điểm
12
F(c; 0), F c; 0
.
Hai tiệm cận:
b
yx
a
Hình chữ nhật cơ sở PQRS có kích thước
2a,2b
với
222
bca
.
Tâm sai:
22
cab
e
aa
Hai đường chuẩn:
2
aa
x
ec
Độ dài các bán kính qua tiêu của
00
Mx;yH
:
+)
10
MF ex a
và
20
MF exa
khi
0
x0
.
+)
10
MFexa
và
20
MFex a
khi
0
x0
.
22
00
22
xy
M(x;y)(E):1
ab
22
00
22
xy
1
ab
và ta luôn có
0
xa
.
VI. Parabol
1. Định nghĩa:
Parabol là tập hợp các điểm
M
của mặt phẳng cách đều một đường thẳng
cố định và
một điểm
F
cố định không thuộc
.
: đường chuẩn;
F
: tiêu điểm và
d(F,)p 0
là tham số tiêu.
2. Phương trình chính tắc của Parabol:
2
y2px
3. Hình dạng của Parabol (P) :
Trục Ox là trục đối xứng, đỉnh O. Tiêu điểm
p
F(;0)
2
.
Đường chuẩn
p
:x
2
p
Mx;yP: MFx
2
với
x0
.
B. CÁC VẤN ĐỀ TRỌNG ĐIỂM
PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
GV: Nguyễn Tất Thu (0942444556) 6
Vấn đề 1. CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN
1. Lập phương trình đường thẳng.
Để lập phương trình đường thẳng
ta thường dùng các cách sau
Tìm điểm
00
M(x;y)
mà
đi qua và một VTPT
n(a;b)
ur
. Khi đó phương trình
đường thẳng cần lập là:
00
a(xx)b(yy)0
.
Giả sử đường thẳng cần lập
:axbyc0
. Dựa vào điều kiện bài toán ta tìm
được
amb,cnb
. Khi đó phương trình
:mxyn0
. Phương pháp này ta thường
áp dụng đối với bài toán liên quan đến khoảng cách và góc
Phương pháp quỹ tích:
0000
M(x;y):axbyc0axbyc0
.
Ví dụ 1.1.1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn
22
(C):(x1)(y2)25
.
1) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm
M(4;6)
,
2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) xuất phát từ điểm
N(6;1)
3) Từ
E(6;3)
vẽ hai tiếp tuyến
EA,EB
(
A,B
là tiếp điểm) đến (C). Viết phương trình
đường thẳng
AB
.
Lời giải.
Đường tròn (C) có tâm
I(1;2)
, bán kính
R5
.
1) Tiếp tuyến đi qua
M
và vuông góc với
IM
nên nhận
IM(3;4)
uuur
làm VTPT
Nên phương trình tiếp tuyến là:
3(x4)4(y6)03x4y360
.
2) Gọi
là tiếp tuyến cần tìm.
Do
đi qua
N
nên phương trình có dạng
:a(x6)b(y1)0axby6ab0
,
22
ab0
(*)
Ta có:
22222
22
7ab
d(I,)R57ab5ab(7ab)25(ab)
ab
2
22
3
ab
aa
4
24a14ab24b02412240
bb
4
ab
3
.
PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
GV: Nguyễn Tất Thu (0942444556) 7
3
ab
4
thay vào (*) ta có:
37
bxbyb03x4y140
42
.
4
ab
3
thay vào (*) ta có:
4
bxby9b04x3y270
3
.
Vậy có hai tiếp tuyến thỏa yêu cầu bài toán là:
3x4y140
và
4x3y270
.
3) Gọi
A(a;b)
. Ta có:
22
22
22
A(C)
ab2a4b200
(a1)(b2)25
IA.NA0(a1)(a6)(b2)(b3)0
ab5a5b0
uuruuur
7ab200
Từ đó ta suy ra được
A:7xy200
.
Tương tự ta cũng có được
BABAB:7xy200
.
2. Các lập phương trình đường tròn.
Để lập phương trình đường tròn (C) ta thường sử dụng các cách sau
Cách 1: Tìm tâm
I(a;b)
và bán kính của đường tròn. Khi đó phương trình đường tròn
có dạng:
222
(xa)(yb)R
.
Cách 2: Giả sử phương trình đường tròn có dạng:
22
xy2ax2byc0
.
Dựa vào giả thiết của bài toán ta tìm được
a,b,c
. Cách này ta thương áp dụng khi yêu
cầu viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm.
Ví dụ 1.1.2. Lập phương trình đường tròn (C), biết
1) (C) đi qua
A(3;4)
và các hình chiếu của A lên các trục tọa độ.
2) (C) có tâm nằm trên đường tròn
22
1
4
(C):(x2)y
5
và tiếp xúc với hai đường
thẳng
1
:xy0
và
2
:x7y0
.
Lời giải.
1) Gọi
12
A,A
lần lượt là hình chiếu của A lên hai trục Ox, Oy, suy ra
12
A(3;0), A(0;4)
.
Giả sử
22
(C):xy2ax2byc0
.
Do
12
A,A,A(C)
nên ta có hệ:
3
a
6a8bc25
2
6ac9b2
8bc16c0
.
PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
GV: Nguyễn Tất Thu (0942444556) 8
Vậy phương trình (C):
22
xy3x4y0
.
2) Gọi
I(a;b)
là tâm của đường tròn (C), vì
1
I(C)
nên:
22
4
(a2)b
5
(1)
Do (C) tiếp xúc với hai đường thẳng
12
,
nên
12
d(I,)d(I,)
aba7b
b2a,a2b
252
b2a
thay vào (1) ta có được:
222
416
(a2)4a5a4a0
55
phương trình
này
vô nghiệm
a2b
thay vào (1) ta có:
22
448
(2b2)bb,a
555
. Suy ra
1
4
RD(I,)
52
.
Vậy phương trình
22
848
(C):xy
5525
.
3. Các điểm đặc biệt trong tam giác.
Cho tam giác
ABC
. Khi đó:
Trọng tâm
ABCABC
xxxyyy
G;
33
Trực tâm
AH.BC0
H:
BH.AC0
uuuruuur
uuuruuur
Tâm đường tròn ngoại tiếp
22
22
IAIB
I:
IAIC
Tâm đường tròn nội tiếp
AB.AKAC.AK
ABAC
K:
BC.BKBA.BK
BCAB
uuuruuuruuuruuur
uuuruuuruuuruuur
Chú ý: Có thể tìm
K
theo cách sau:
* Gọi D là chân đường phân giác trong góc A, ta có:
AB
BDDC
AC
uuuruuur
, từ đây suy ra D
* Ta có
AB
AKKD
BD
uuuruuur
từ đây ta có K.
PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
GV: Nguyễn Tất Thu (0942444556) 9
Tâm đường tròn bàng tiếp (góc A)
AB.AJAC.AJ
ABAC
J:
BJ.BCAB.BJ
BCAB
uuuruuuruuuruuur
uuruuuruuuruur
.
Ví dụ 1.1.3. Cho tam giác
ABC
có
53
A(1;3),B(2;0),C;
88
.
1) Tìm tọa độ trực tâm
H
, tâm đường tròn ngoại tiếp
I
và trọng tâm
G
của tam giác
ABC
. Từ đó suy ra
I,G,H
thẳng hàng;
2) Tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp và tâm đường tròn bàng tiếp góc A của tam giác
ABC
.
Lời giải.
1) Ta có
ABC
G
ABC
G
xxx
1
x
19
38
G;
88
yyy
9
y
38
.
Gọi
H(x;y)
, suy ra
213321
AHx1;y3,BHx2;y,BC;,AC;
8888
uuuruuuruuuruuur
Mà
AH.BC0
BH.AC0
uuuruuur
uuuruuur
nên ta có
3
x
7(x1)(y3)07xy100
2
(x2)7y0x7y201
y
2
Suy ra
31
H;
22
.
Gọi
I(x;y)
, ta có:
2222
22
22
22
22
(x1)(y3)(x2)y
IAIB
53
(x2)yxy
IBIC
88
15
xy1
x
1531
16
I;
213111
1616
31
xy
y
4432
16
.
Ta có
13131313
GH;, GI;GH2GI
881616
uuuruuruuuruur
. Suy ra
I,G,H
thẳng hàng.
2) Gọi
K(x;y)
là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Ta có:
PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
GV: Nguyễn Tất Thu (0942444556) 10
· ·
·
·
AK,ABAK,ACcosAK,ABcosAK,AC
KABKAC
KBCKBA
BK,BABK,BCcosBK,BAcosBK,BC
uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur
uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur
AK.ABAK.ACAK.ABAK.AC
AK.ABAK.ACABAC
BK.BABK.BCBK.BABK.BC
BK.ABBK.BCABBC
uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur
uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur
(*)
Mà
AKx1;y3,BKx2;y,AB(3;3)
uuuruuuruuur
nên (*) tương đương với
321
(x1)(y3)
3(x1)3(y3)
88
32152
2xy1x0
8
213x2y2y1
(x2)y
3(x2)3y
88
32152
8
. Vậy
K(0;1)
.
Gọi
Ja;b
là tâm đường tròn bàng tiếp góc A của tam giác ABC. Ta có:
AJ.ABAJ.AC
5
a
AJ,ABAJ,AC
2ab1
ABAC
4
2ab43
BJ.BCBJ.AB
BJ,BCBJ,AB
b
2
BCAB
uuuruuuruuuruuur
uuuruuuruuuruuur
uuruuuruuruuur
uuruuuruuruuur
. Vậy
53
J;
42
.
4. Các đường đăch biệt trong tam giác
4.1. Đường trung tuyến của tam giác: Khi gặp đường trung tuyến của tam giác, ta chủ
yếu khai thác tính chất đi qua đỉnh và trung điểm của cạnh đối diện.
4.2. Đường cao của tam giác: Ta khai thác tính chất đi qua đỉnh và vuông góc với cạnh
đối diện.
4.3. Đường trung trực của tam giác: Ta khai thác tính chất đi qua trung điểm và vuông
góc với cạnh đó.
4.4. Đường phân giác trong: Ta khai thác tính chất: Nếu M thuộc AB, M’ đối xứng với M
qua phân giác trong góc A thì M’ thuộc AC.
Ví dụ 1.1.4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
Oxy
, hãy xác định tọa độ đỉnh C của tam
giác ABC biết rằng hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AB là điểm
H(1;1)
,
đường phân giác trong của góc A có phương trình
xy20
và đường cao kẻ từ B
có phương trình
4x3y10
.
PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
GV: Nguyễn Tất Thu (0942444556) 11
Lời giải.
Kí hiệu
12
d:xy20, d:4x3y10
.
Gọi
H'
là điểm đối xứng với H qua
1
d
. Khi đó
H'AC
.
Gọi
là đường thẳng đi qua H và vuông góc với
1
d
. Phương trình của
:xy20
Suy ra
1
xy20
dI:I(2;0)
xy20
Ta có
I
là trung điểm của
HH'
nên
H'(3;1)
.
Đường thẳng
AC
đi qua
H'
và vuông góc với
2
d
nên có phương trình :
3x4y130
.
Nên
1
xy20
ACdA:A(5;7)
3x4y130
.
Vì
CH
đi qua
H
và vuông với
AH
, suy ra phương trình của
CH:3x4y70
Do đó
3x4y70
103
C:C(;)
34
3x4y130
.
Ví dụ 1.1.5. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC biết
A5;2
.
Phương trình đường trung trực cạnh BC, đường trung tuyến CC’ lần lượt là
xy60
và
2xy30
. Tìm tọa độ các đỉnh B,C của tam giác ABC.
Lời giải.
Gọi
d:xy60, CC':2xy30
. Ta có:
C(c;2c3)
Phương trình
BC:xyc30
Gọi
M
là trung điểm của BC, suy ra
3c
x
xy60
2
M:
xyc30c9
y
2
Suy ra
c
B32c;6cC'(4c;4)
2
Mà
C'CC'
nên ta có:
c314
2(4c)(4)30c70c
223
.
Vậy
1941437
B;, C;
3333
.
PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
GV: Nguyễn Tất Thu (0942444556) 12
M
C'
B
A
C
5. Một số bài toán dựng hình cơ bản.
5.1. Hình chiếu vuông góc H của điểm A lên đường thẳng
Lập đường thẳng
d
đi qua A và vuông góc với
Hd
5.2. Dựng
A'
đối xứng với A qua đường thẳng
Dựng hình chiếu vuông góc H của A lên
Lấy
A'
đối xứng với
A
qua H:
A'HA
A'HA
x2xx
y2yy
.
5.3. Dựng đường tròn (C’) đối xứng với (C) (có tâm I, bán kính R) qua đường thẳng
Dựng I’ đối xứng với I qua đường thẳng
Đường tròn (C’) có tâm
I'
, bán kính R.
Chú ý: Giao điểm của (C) và (C’) chính là giao điểm của và
.
5.4. Dựng đường thẳng d’ đối xứng với d qua đường thẳng
.
Lấy hai điểm M,N thuộc d. Dựng
M',N'
lần lượt đối xứng với M, N qua
d'M'N'
.
Ví dụ 1.1.6. Trong mặt phẳng
Oxy
cho đường thẳng
d:x2y30
và hai điểm
A(3;2),
B(1;4)
.
1) Tìm điểm
M
thuộc đường thẳng
d
sao cho
MAMB
nhỏ nhất,
2) Viết phương trình đường thẳng
d'
sao cho đường thẳng
:3x4y10
là đường
phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng
d
và
d'
.
Lời giải.
1) Ta thấy
A
và
B
nằm về một phía so với đường thẳng
d
. Gọi
A'
là điểm đối xứng
với A qua d. Khi đó với mọi điểm M thuộc d, ta luôn có:
MAMA'
PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
GV: Nguyễn Tất Thu (0942444556) 13
Do đó:
MAMBA'MMBA'B
. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
MA'Bd
.
Vì
A'Ad
nên
AA'
có phương trình:
2xy80
Gọi
19
x
2xy80
192
5
HdAA'H:H;
55
x2y302
y
5
.
Vì
H
là trung điểm của
AA'
nên
A'HA
A'HA
23
x2xx
236
5
A';
55
6
y2yy
5
.
Suy ra
2826
A'B;
55
uuuur
, do đó phương trình
A'B:13x14y430
Nên
16
x
x2y30
161
5
M:M;
510
13x14y4301
y
10
.
Δ
M
A'
A
B
M
2) Xét hệ phương trình
x2y30x1
3x4y10y1
, suy ra
dI(1;1)
Vì
là phân giác của góc hợp bởi giữa hai đường thẳng
d
và
d'
nên
d
và
d'
đối xứng
nhau qua
, do đó
Id'
.
Lấy
E(3;0)d
, ta tìm được
316
F;
55
là điểm đối xứng với E qua
, ta có
Fd'
Suy ra
211
FI;
55
uur
, do đó phương trình
d':11x2y130
.
Bài tập
Bài 1.1.1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có
A(4;1),B(1;5);C(4;5)
PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
GV: Nguyễn Tất Thu (0942444556) 14
Viết phương trình các đường thẳng sau:
1) Đường cao AD
2) Các đường trung tuyến
BM,CN
3) Các đường phân giác trong
BD,CE
.
Bài 1.1.2. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có
A(2;1), B(4;3), C(3;1)
1) Tìm tọa độ trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
2) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Bài 1.1.3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có
A(3;2)
và phương trình hai
đường trung tuyến
BM:3x4y30,CN:3x10y170
. Tính tọa độ các điểm B,
C.
Bài 1.1.4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có
A(3;0)
và phương trình
hai đường phân giác trong
BD:xy10,CE:x2y170
. Tính tọa độ các điểm
B, C.
Bài 1.1.5.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có
C(5;3)
và phương trình
đường cao
AA':xy20
, đường trung tuyến
BM:2x5y130
.Tính tọa độ các
điểm A, B.
Bài 1.1.6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có
B(1;3)
và phương trình
đường cao
AD:2xy10
, đường phân giác
CE:xy20
.Tính tọa độ các
điểm A, C.
Bài 1.1.7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có M (2; 0) là trung
điểm của cạnh AB. Đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương
trình là
7x2y30
và
6xy40
. Viết phương trình đường thẳng AC.
Bài 1.1.8. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn
22
(C):(x2)(y1)25
.
1) Lập phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đi qua
A(3;6)
2) Từ điểm
D(4;5)
vẽ đến (C) hai tiếp tuyến DM, DN (M, N là tiếp điểm). Viết phương
trình đường thẳng MN.
PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
GV: Nguyễn Tất Thu (0942444556) 15
Vấn đề 2. XÁC ĐỊNH TỌA ĐỘ CỦA MỘT ĐIỂM
Bài toán cơ bản của phương pháp tọa độ trong mặt phẳng là bài toán xác định tọa độ
của một điểm. Chẳng hạn, để lập phương trình đường thẳng cần tìm một điểm đi qua
và VTPT, với phương trình đường tròn thì ta cần xác định tâm và bán kính….Chúng ta
có thể gặp bài toán tìm tọa độ của điểm được hỏi trực tiếp hoặc gián tiếp.
Về phương diện hình học tổng hợp thì để xác định tọa độ một điểm, ta thường chứng
minh điểm đó thuộc hai hình (H) và (H’). Khi đó điểm cần tìm chính là giao điểm của
(H) và (H’).
Về phương diện đại số, để xác định tọa độ của một điểm (gồm hai tọa độ) là bài toán
đi tìm hai ẩn. Do đó, chúng ta cần xác định được hai phương trình chứa hai ẩn và giải
hệ phương trình này ta tìm được tọa độ điểm cần tìm. Khi thiết lập phương trình chúng
ta cần lưu ý:
+) Tích vô hướng của hai véc tơ cho ta một phương trình,
+) Hai đoạn thẳng bằng nhau cho ta một phương trình,
+) Hai véc tơ bằng nhau cho ta hai phương trình,
+) Nếu điểm
M:axbyc0,a0
thì
bmc
M;m
a
, lức này tọa độ của
M
chỉ
còn một ẩn và ta chỉ cần tìm một phương trình.
Ví dụ 1.2.1. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn
22
(C):(x1)(y1)4
và đường
thẳng
:x3y60
. Tìm tọa độ điểm
M
nằm trên
, sao cho từ M vẽ được hai tiếp
tuyến
MA,MB
(A,B là tiếp điểm) thỏa
ABM
là tam giác vuông.
Lời giải.
PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
GV: Nguyễn Tất Thu (0942444556) 16
B
M
A
I
Đường tròn (C) có tâm
I(1;1)
, bán kính
R2
.
Vì
AMB
vuông và IM là đường phân giác của góc
·
AMB
nên
·
0
AMI45
Trong tam giác vuông
IAM
, ta có:
IM22
, suy ra M thuộc đường tròn tâm I bán
kính
R'22
.
Mặt khác
M
nên
M
là giao điểm của
và
(I,R')
. Suy ra tọa độ của M là nghiệm
của hệ
22222
y1,x3
x3y60x3y6x3y6
93
y,x
(x1)(y1)8(3y5)(y1)85y14y90
55
.
Vậy có hai điểm
1
M3;1
và
2
39
M;
55
thỏa yêu cầu bài toán.
Ví dụ 1.2.2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
Oxy
cho các đường thẳng
1
d:xy30,
23
d:xy40, d:x2y0
. Tìm tọa độ điểm
M
nằm trên đường thẳng
3
d
sao cho
khoảng cách từ
M
đến đường thẳng
1
d
bằng hai lần khoảng cách từ
M
đến đường
thẳng
2
d
.
Lời giải.
Ta có
3
Md
, suy ra
M(2y;y)
. Suy ra
12
3y3y4
d(M,d);d(M,d)
22
Theo giả thiết ta có:
12
3y3y4
d(M,d)2d(M,d)2.
22
3y32y8
y11;y1
3y32y8
.
PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
GV: Nguyễn Tất Thu (0942444556) 17
Với
y11M(22;11)
.
Với
y1M(2;1)
.
Ví dụ 1.2.3. Trong hệ tọa độ
Oxy
, cho điểm
A(0;2)
và đường thẳng
d:x2y20
.
Tìm trên đường thẳng d hai điểm
B,C
sao cho tam giác
ABC
vuông ở B và
AB2BC
.
Lời giải.
Ta có
ABd
nên AB có phương trình :
2xy20
.
Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ :
x2y20
26
B;
55
2xy20
.
Suy ra
25AB5
ABBC
525
.
Phương trình đường tròn tâm B, bán kính
5
BC
5
là:
22
261
xy
555
.
Vậy tọa độ điểm C là nghiệm của hệ :
22
x2y20
x0,y1
47
261
x,y
xy
55
555
Vậy có hai bộ điểm thỏa yêu cầu bài toán là:
26
B;
55
,
C0;1
và
26
B;
55
,
47
C;
55
.
Ví dụ 1.2.4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
Oxy
, cho điểm
A(2;2)
và hai đường thẳng:
12
d:xy20,d:xy80
. Tìm tọa độ điểm
B,C
lần lượt thuộc
12
d,d
sao cho
tam giác
ABC
vuông tại A.
Lời giải.
Vì
12
BdB(b;2b);CdC(c;c8)
.
Theo đề bài ta có hệ:
22
b1c42
AB.AC0
ABAC
b1c43
uuuruuur
Đặt
xb1;yc4
ta có :
22
xy2
x2x2
v
y1y1
xy3
Vậy
B(3;1);C(5;3)
hoặc
B(1;3),C(3;5)
.
PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
GV: Nguyễn Tất Thu (0942444556) 18
Ví dụ 1.2.5. Cho parabol
2
(P):yx
và hai điểm
A(9;3),B(1;1)
thuộc
(P)
. Gọi M là
điểm thuộc cung
AB
của
(P)
( phần của
(P)
bị chắn bởi dây
AB
). Xác định tọa độ điểm
M nằm trên cung
AB
sao cho tam giác
MAB
có diện tích lớn nhất.
Lời giải.
Phương trình
AB:x2y30
Vì
2
M(P)M(t;t)
từ giả thiết suy ra
1t3
tam giác MAB có diện tích lớn nhất
d(M,AB)
lớn nhất
Mà
2
t2t3
d(M;AB),
5
t(1;3)
.
Suy ra
4
maxd(M,AB)
5
đạt được khi
t1M(1;1)
.
Bài 1.2.6. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn
2
2
(C):x1y2
và hai điểm
A(1;1)
,
B(2;2)
. Tìm tọa điểm M thuộc đường tròn (C) sao cho diện tích tam giác MAB
bằng
1
2
.
Lời giải.
Ta có
AB10
và
MAB
111
Sd(M,AB).ABd(M,AB)
22
10
Lại có
AB(1;3)
uuur
nên
n(3;1)
ur
là VTPT của đường thẳng AB
Suy ra phương trình
AB: 3x1y10
hay
3xy40
.
Gọi
2
2
Ma; bCa1b2
Khi đó
3ab4
11
d(M;AB)3ab41
101010
Ta có hệ phương trình:
22
2222
(a1)b2
(a1)b2(a1)b2
hoaëc
3ab41
3ab413ab41
PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
GV: Nguyễn Tất Thu (0942444556) 19
2222
(a1)b2(a1)b2
hoaëc
b3a5b3a3
2222
(a1)(3a5)2(a1)(3a3)2
hoaëc
b3a5b3a3
22
5a16a1205a10a40
hoaëc
b3a5b3a3
124
55
a,a
a
hoaëc
55
5
b3a5
b3a3
Vậy có bốn điểm thỏa điều kiện bài toán là:
1234
121141355355535
M(;), M(;), M(;) và M(;)
55555555
.
Bài tập
Bài 1.2.1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
Oxy
, cho điểm
A(2;2)
và hai đường thẳng:
1
d:xy20,
2
d:xy80
. Tìm tọa độ điểm
B,C
lần lượt thuộc
12
d,d
sao cho
tam giác
ABC
vuông tại A.
Bài 1.2.2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình :
22
(x1)y1
. Gọi I là tâm của (C). Xác định tọa độ điểm M thuộc (C) sao cho
·
0
IMO30
.
Bài 1.2.3. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxy, cho parabol (P) có
phương trình
2
yx
và điểm
I(0;2)
. Tìm toạ độ hai điểm M, N thuộc (P) sao cho
IM4IN
uuuruur
.
Bài 1.2.4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm
A(3;2)
, các đường thẳng
1
d:xy30
và:
2
d:xy90
. Tìm tọa độ điểm
1
Bd
, và
2
Cd
sao cho tam
giác ABC vuông cân tại A.
Bài 1.2.5. Trong hệ trục tọa độ Oxy cho
ABC
với
A(2,3),B(2,1),C(6,3)
. Gọi D là giao
điểm của đường phân giác trong góc
·
BAC
với BC. Tìm tất cả các điểm M thuộc đường
tròn
22
(C):(x3)(y1)25
sao cho :
MDCADB
S2S
.
Bài 1.2.6. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng
d:x3y40
và đường tròn
22
(C):xy4y0
. Tìm M thuộc d và N thuộc (C) sao cho chúng đối
xứng qua
A(3;1)
.
PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
GV: Nguyễn Tất Thu (0942444556) 20
Bài 1.2.7. Trong mặt phẳng Oxy cho điểm
A(1;4)
. Tìm hai điểm
M,N
lần lượt năm trên
hai đường tròn
22
1
(C):(x2)(y5)13
và
22
2
(C):(x1)(y2)25
sao cho tam
giác
MAN
vuông cân tại A.
Bài 1.2.8. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn
22
25
(C):(x2)(y4)
9
và đường
thẳng
d:5x2y110.
Tìm điểm C trên d sao cho tam giác ABC có trọng tâm G
nằm trên đường tròn (C) biết
A(1;2),B(3;2).
Bài 1.2.9. Trong hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng
xy
:
1
d
0
và đường tròn (C) có
phương trình
22
xy2x4y0
. Tìm điểm M thuộc đường thẳng d sao cho từ M kẻ
được hai đường thẳng tiếp xúc với đường tròn tại A và B, sao cho
·
0
AMB60
.
Bài 1.2.10. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho điểm
C(2;5)
và đường thẳng
:3x4y40
.Tìm trên
hai điểm A và B đối xứng nhau qua
5
I(2;)
2
sao cho diện
tích tam giác ABC bằng15.
Bài 1.2.11. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho elíp
22
xy
(E):1
94
và hai điểm
A(3;2),
B(3;2)
. Tìm trên (E) điểm C có hoành độ và tung độ dương sao cho tam giác
ABC có diện tích lớn nhất.
Vấn đề 3. NHÓM CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH BÌNH HÀNH
PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
GV: Nguyễn Tất Thu (0942444556) 21
Khi giải các bài toán về hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật và hình vuông,
chúng ta cần chú ý đến tính chất đối xứng. Chẳng hạn, giao điểm hai đường chéo là tâm
đối xứng cảu hình bình hành; hai đường chéo của hình thoi là trục đối xứng….
Ví dụ 1.3.1. Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng
12
d:x2y10,d:2x3y0
. Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD, biết
A thuộc đường thẳng
1
d
, C thuộc đường thẳng
2
d
và hai điểm B,D thuộc trục Ox.
Lời giải.
Vì
12
Ad,Cd
nên
A(2a1;a),C(3c;2c)
, suy ra
2a3c1a2c
I;
22
là trung điểm
AC
Do ABCD là hình vuông nên I là trung điểm của BD, hay
IOx
. Do đó
a2c
.
Mặt khác
ACBDOx
nên suy ra
2a13cc1
.
Từ đó, ta tìm được
A(3;2), C(3;2), I(3;0)
.
Vì
BOxB(b;0)
, mà
IBIA2b32b5,b1
.
Vậy tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD là:
A(3;2), B(1;0), C(3;2), D(5;0)
hoặc
A(3;2), B(5;0), C(3;2), D(1;0)
.
Ví dụ 1.3.2. Trong mặt phẳng Oxy cho ba điểm
I(1;1), J(2;2),
K(2;2)
. Tìm tọa độ các
đỉnh của hình vuông ABCD sao cho
I
là tâm hình vuông,
J
thuộc cạnh AB và
K
thuộc
cạnh CD.
Lời giải.
Gọi
J'
đối xứng với
J
qua I, ta có
J'4;0
và
J'CD
.
Ta có:
KJ'2;2
uuur
, suy ra phương trình
CD:xy40
.
Vì
AB//CD
nên phương trình
AB:xy40
.
Do
d(I,AB)22
nên suy ra
AB42IA4
AABA(a;4a)
, do đó
222
IA4(a1)(a3)16a2a30a1,a3
a1
, ta có
A(1;3), B(3;1), C(1;1), D(5;1)
a3
, ta có
A(3;1), B(1;3), C(5;1), D(1;1)
.
PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
GV: Nguyễn Tất Thu (0942444556) 22
J'
I
B
C
A
D
J
K
Ví dụ 1.3.3. Trong mặt phẳng
Oxy
cho đường tròn (C):
22
(x2)(y1)10
. Tìm tọa
độ các đỉnh của hình vuông
MNPQ
, biết
M
trùng với tâm của đường tròn (C); hai đỉnh
N,Q
thuộc đường tròn (C); đường thẳng
PQ
đi qua
E(3;6)
và
Q
x0
.
Lời giải.
Ta có
M(2;1)
và
EQ
là tiếp tuyến của
(C)
.
Phương trình
EQ
có dạng:
a(x3)b(y6)0axby3a6b0
Vì
d(M,EQ)10
nên ta có:
22
5a5b
10
ab
22222
(5a5b)10(ab)3a10ab3b0a3b,b3a
.
a3b
, ta có phương trình
EQ:3xy30
. Khi đó tọa độ Q là nghiệm của hệ
22
x1
(x2)(y1)10
y0
3xy30
. Trường hợp này ta loại vì
Q
x0
.
b3a
, ta có phương trình
EQ:x3y150
. Khi đó tọa độ Q là nghiệm của hệ
22
x3
(x2)(y1)10
Q(3;4)
y4
3xy30
.
Ta có
P(153x;x)
và
22
QPMQ(123x)(4x)10x3,x5
x3
, ta có
P(6;3)
, suy ra tâm của hình vuông
I(4;2)
nên
N(5;0)
x5
, ta có
P(0;5)
, suy ra tâm của hình vuông
I(1;3)
nên
N(1;2)
.
Vậy có hai bộ điểm thỏa yêu cầu bài toán:
M(2;1),N(5;0),P(6;3),Q(3;4)
và
M(2;1),N(1;2),P(0;5),Q(3;4)
.
PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
GV: Nguyễn Tất Thu (0942444556) 23
P
N
M
Q
E
Ví dụ 1.3.4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật
ABCD
có điểm
I(6;2)
là giao điểm của 2 đường chéo
AC
và
BD
. Điểm
M1; 5
thuộc đường thẳng AB
và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng
d:xy–50
. Viết phương trình
đường thẳng AB.
Lời giải.
E
N
I
B
D
C
A
M
Vì
EdE(a;5a)IE(a6;3a)
uur
.
Gọi
N
là trung điểm của
AB
, suy ra
I
là trung điểm của
EN
nên :
NIE
NIE
x2xx12a
N:N(12a;a1)
y2yya1
MN(11a;a6)
uuuur
.
Vì
EMNMN.IE0
uuuuruur
a6
(11a)(a6)(a6)(3a)0
a7
.
a6MN(5;0)
uuuur
, suy ra phương trình
AB:y50
a7MN(4;1)
uuuur
, suy ra phương trình
AB:x4y190
.
Ví dụ 1.3.5. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện
tích bằng 12, tâm I là giao điểm của đường thẳng
1
d:xy30
và
2
d:xy60
.
Trung điểm của AB là giao điểm của
1
d
với trục Ox. Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ
nhật.
Lời giải.
PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
GV: Nguyễn Tất Thu (0942444556) 24
Ta có
12
xy30
93
ddI:I;
22
xy60
Gọi M là giao của đường thẳng
1
d
với Ox, suy ra
M(3;0)
.
Vì
ABMI
nên suy ra phương trình
AB:xy30
ABCD
S
AD2MI32AB22AM2
AD
Mà
22
AABA(a;3a)AM2(a3)1
a2,a4
, ta chọn
A(2;1),B(4;1)
.
Do I là tâm của hình chữ nhật nên
C(7;2), D(5;4)
.
Vậy tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật là:
A(2;1), B(4;1), C(7;2), D(5;4)
.
Ví dụ 1.3.6. Trong mặt phẳng
Oxy
cho ba đường thẳng
1
d:4xy90,
2
d:2xy60,
3
d:xy20
. Tìm tọa độ các đỉnh của hình
thoi
ABCD
, biết hình thoi
ABCD
có diện tích bằng
15
, các đỉnh
A,C
thuộc
3
d
,
B
thuộc
1
d
và
D
thuộc
2
d
.
Lời giải.
Vì
BDAC
nên phương trình
BD:yxm
1
BBDd
, suy ra
yxm
9m4m9
BB;
33
4xy90
Tương tự
2
m62m6
DBDdD;
33
.
Suy ra tọa độ trung điểm của BD là
12m1
I;
22
.
Vì
12m1
IAC20m3
22
. Suy ra
15
B(2;1),D(1;4),I;
22
Ta có:
2
BADABCD
11515525
SSAIAI
22BD2
2
Mà
2
2
3
1
AdA(a;a2)AI2a
2
nên ta có:
2
125
aa3,a2
24
Vậy tọa độ các đỉnh của hình thoi là:
A(3;5),B(2;1),C(2;0),D(1;4)
hoặc
A(2;0),B(2;1),C(3;5),D(1;4)
.
PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
GV: Nguyễn Tất Thu (0942444556) 25
Ví dụ 1.3.7. Trong mặt phẳng hệ tọa độ
Oxy
, cho hình thoi
ABCD
có tâm
I(2;1)
và
AC2BD
. Điểm
1
M0;
3
thuộc đường thẳng
AB
; điểm
N(0;7)
thuộc đường thẳng
CD
.
Tìm tọa độ đỉnh
B
biết
B
có hoành độ dương.
Lời giải.
Gọi
N
là điểm đối xứng của
N
qua tâm
I
thì ta có
N'(4;5)
và
N'
thuộc cạnh
AB
.
Suy ra
16
MN'4;
3
uuuur
nên phương trình
AB:4x3y10
.
Vì
AC2BD
nên
AI2BI
. Gọi H là hình chiếu của I lên AB, ta có:
831
IHd(I,AB)2
5
và
2222
1115IH5
IB5
2
IHIAIB4IB
Mặt khác
2
2
2
14b4b2
BABB(b;),b0IBb25b1
33
Vậy
B(1;1)
.
N'
H
D
B
I
A
C
N
M
Ví dụ 1.3.8. Trong mặt phẳng
Oxy
cho hai đường thẳng
12
d:xy10,d:3xy50
. Tìm tọa độ các đỉnh của hình bình hành
ABCD
,
biết
I(3;3)
là giao điểm của hai đường chéo; hai cạnh của hình bình hành nằm trên hai
đường thẳng
12
d,d
và giao điểm của hai đường thẳng đó là một đỉnh của hình bình
hành.
Lời giải.
Tọa độ giao điểm của
1
d
và
2
d
là nghiệm của hệ:
xy10x1
3xy50y2
.
Ta giả sử
A(1;2)
và
12
ABd,ADd
, suy ra
C(7;4)
.
