bài tập cao học phân tích định lượng

Bài1.1
Người chủ chính của Công ty là Kenneth ra quyết định có tính lạc quan vì thế lựa chọn theo tiêu
chuẩn cực đại
Khả năng lựa chọn Thị trường tốt (USD) Thị trường xấu(USD) Số cực đại của dòng
SUB100 300.000 -200.000 300.000
OILERJ 250.000 -100.000 250.000
TEXAN 75.000 18.000 75.000
Như vậy Kenneth sẽ quyết định chọn mua hệ thống SUB100
Bài 1.2
Bob ra quyết định có tính bi quan vì thế lựa chọn theo tiêu chuẩn cực đại số cực tiểu của dòng
Khả năng lựa chọn Thị trường tốt (USD) Thị trường xấu(USD) Số cực tiểu của dòng
SUB100 300.000 -200.000 -200.000
OILERJ 250.000 -100.000 -100.000
TEXAN 75.000 18.000 18.000
Như vậy Kenneth sẽ quyết định chọn mua hệ thống TEXAN
Bài 1.3
Kenneth sẽ ra quyết định dựa trên tiêu chuẩn hiện thực với α = 0,7
Công thức tính: Thị trường tốt × α + thị trường xấu × (1-α)
Khả năng lựa
chọn
Thị trường tốt (USD) Thị trường xấu(USD) Tiêu chuẩn hiện thực α = 0,7
SUB100 300.000 -200.000 150.000
OILERJ 250.000 -100.000 145.000
TEXAN 75.000 18.000 47.100
Kenneth sẽ ra quyết định chọn hệ thống SUB100 vì α = 0,7 gần 1 thì quy định nghiêng về phía lạc
quan
Bài 1.4
a) Bảng 1.4.1: Lựa chọn quyết định theo tiêu chuẩn Maximax
Tầm cỡ của trạm Thị trường tốt
(USD)
Thị trường trung

bình (USD)
Thị trường xấu
(USD)
Số cực đại của
dòng
Nhỏ 50.000 20.000 -10.000 50.000
Trung bình 80.000 30.000 -20.000 80.000
Lớn 100.000 30.000 -40.000 100.000
Rất lớn 300.000 25.000 -160.000 300.000
Quyết định maximax là trạm xăng có quy mô rất lớn
b) Bảng 1.4.2: Lựa chọn quyết định theo tiêu chuẩn Maximin
Tầm cỡ của trạm Thị trường tốt
(USD)
Thị trường trung
bình (USD)
Thị trường xấu
(USD)
Số cực tiểu của
dòng
Nhỏ 50.000 20.000 -10.000 -10.000
Trung bình 80.000 30.000 -20.000 -20.000
1
Lớn 100.000 30.000 -40.000 -40.000
Rất lớn 300.000 25.000 -160.000 -160.000
Quyết định maximin là trạm xăng có quy mô nhỏ
c) Bảng 1.4.3: Lựa chọn quyết định theo tiêu chuẩn cực đại giá trị trung bình các dòng
Công thức tính:
Thị trường tốt + thị trường xấu
số thị trường
Bài tập có 3 loại thị trường

Tầm cỡ của trạm Thị trường tốt
(USD)
Thị trường trung
bình (USD)
Thị trường xấu
(USD)
Giá trị trung bình
của dòng
Nhỏ 50.000 20.000 -10.000 20.000
Trung bình 80.000 30.000 -20.000 30.000
Lớn 100.000 30.000 -40.000 30.000
Rất lớn 300.000 25.000 -160.000 55.000
Quyết định theo cực đại giá trị trung bình của các khả năng thì chọn phương án quy mô rất lớn
d)Bảng 1.4.4: Lựa chọn quyết định theo tiêu chuẩn hiện thực
Công thức tính: Thị trường tốt × α + thị trường trung bình × β + thị trường xấu × γ
Tầm cỡ của trạm Thị trường tốt
(USD)
Thị trường trung
bình (USD)
Thị trường
xấu
(USD)
Tiêu chuẩn hiện thực
α = 0,8; β=0,1;γ=0,1
Nhỏ 50.000 20.000 -10.000 41.000
Trung bình 80.000 30.000 -20.000 65.000
Lớn 100.000 30.000 -40.000 79.000
Rất lớn 300.000 25.000 -160.000 226.500
Quyết định theo tiêu chuẩn hiện thực thì chọn phương án rất lớn
e) Bảng 1.4.5: Lỗ khi bỏ lỡ cơ hội đầu tư

Tầm cỡ của trạm Thị trường tốt (USD) Thị trường trung bình
(USD)
Thị trường xấu (USD)
Nhỏ 300.000-50.000=250.000 30.000-20.000=10.000 0-(-10.000)=10.000
Trung bình 300.000-80.000=220.000 30.000-30.000=0 0-(-20.000)=20.000
Lớn 300.000-100.000=200.000 30.000-30.000=0 0-(-40.000)=40.000
Rất lớn 300.000-300.000=0 30.000-25.000=5.000 0-(-160.000)=160.000
Bài 2.1
Gọi S
1
là chiến lược có điều tra trước khi quyết định cho vay, S
2
là chiến lược không điều tra. S
3
là
chiến lược quyết định cho vay, S
4
là chiến lược từ chối không cho vay.
Các biến cố là T
1
,T
2
và E
1
và E
2
Ghi chú: - Lợi nhuận từ việc cho vay: 80.000× 12%=9.600
2
- Lãi suất mua công trái: 80.000× 5%=4.000
Ta có: P(E

1
/T
1
) =
142
140
; khi đó P(E
2
/T
1
) =
142
2
. Vậy E(S
3
) =
338.8
142
2
)000.80(
142
140
600.9
=×−+×
Ở nhánh thứ 2:
P(E
1
/T
2
) =

58
48
; khi đó P(E
2
/T
2
) =
58
10
. Vậy E(S
3
) =
848.5
58
10
)000.80(
58
48
600.9
−=×−+×
Ở nhánh cuối cùng P(E
1
) = 0,95; P(E
2
) = 0,05
Vậy E(S
3
) = 9.600 × 0,95 + (-80.000) × 0,05 = 5.120
Vì P(T
1

) =
200
142
và P(T
2
) =
200
58

Nên E(S
1
) =
080.7
200
58
000.4
200
142
338.8
=×+×
Nếu trừ đi 400 chi phí điều tra thì ta có:
E(S
1
) = 7.080 - 400 = 6.680 lớn hơn 5.120
vậy chiến lược của ngân hàng là tiến hành điều tra trước khi quyết định cho vay
a) Nếu kết quả điều tra là T
1
thì quyết định cho vay
b) Nếu kết quả điều tra là T
2

thì từ chối không cho vay và số tiền 80.000$ dùng để mua công tráiKhi
đó lợi nhuận trung bình của mỗi khoản tiền 80.000$ mà ngân hàng đạt được một năm là 7.080
3
Chọn S
1
S
2
S
1

7.080

P(T
2
) P(T
1
)
T
2
T
1
S
3

S
4
S
3
S
3

S
4
S
4
5.120 - -5.848 8.338
P(E
2)
E
1
P(E
2
/T
2
) E
1
P(E
2
/T
1
) E
1
E
2
P(E
1
) E
2
P(E
1
/T

2
) E
2
P(E
1
/T
1
)
4.000 -80.000 9.600 4.000 -80.000 9.600 4.000 -80.000 9.600
Sơ đồ cây biểu diễn quan hệ giữa các chiến lược cho vay của ngân hàng và các biến cố có liên quan
4
8.338
4.000
5.120
5
Bài 2.2 (ĐVT: 1000đ)
Gọi S
1
là chiến lược có điều tra trước khi quyết định cho vay, S
2
là chiến lược không điều tra. S
3
là
chiến lược quyết định cho vay, S
4
là chiến lược từ chối không cho vay.
Các biến cố là T
1
,T
2

và E
1
và E
2
Ghi chú: - Lợi nhuận từ việc cho vay: 500.000× 15%=75.000
- Lãi suất chuyển tiết kiệm: 500.000× 6%=30.000
Ta có: P(E
1
/T
1
) =
167
165
; khi đó P(E
2
/T
1
) =
167
2
. Vậy E(S
3
) =
114.68
167
2
)000.500(
167
165
000.75

=×−+×
Ở nhánh thứ 2:
P(E
1
/T
2
) =
33
26
; khi đó P(E
2
/T
2
) =
33
7
. Vậy E(S
3
) =
969.46
33
7
)000.500(
33
26
000.75
−=×−+×
Ở nhánh cuối cùng P(E
1
) = 0,95; P(E

2
) = 0,05
Vậy E(S
3
) = 75.000 × 0,95 + (-500.000) × 0,05 = 46.250
Vì P(T
1
) =
200
167
và P(T
2
) =
200
33

Nên E(S
1
) =
825.61
200
33
000.30
200
167
114.68
=×+×
E(S
1
) =61.825 > 46.250

Vậy chiến lược của ngân hàng là tiến hành điều tra trước khi quyết định cho vay
a) Nếu kết quả điều tra là T
1
thì quyết định cho vay
b) Nếu kết quả điều tra là T
2
thì từ chối không cho vay và số tiền 500 triệu đồng chuyển vào tiết
kiệm
Khi đó lợi nhuận trung bình của mỗi khoản tiền 500 triệu đồng mà ngân hàng đạt được một năm là
61.825 nghìn đồng
6
7
Chọn S
1
S
2
S
1
61.825

P(T
2
) P(T
1
)
T
2
T
1
S

3
S
3
S
3
S
4
46.250 -46.969 68.114
S
4
S
4
P(E
2
) E
1
P(E
2
/T
2
) E
1
P(E
2
/T
1
) E
1
E
2

P(E
1
) E
2
P(E
1
/T
2
) E
2
P(E
1
/T
1
)
30.000 500.000 75.000 30.000 500.000 75.000 30.000 500.000 75.000
8
46.250
68.114
30.000
Sơ đồ biểu diễn quan hệ giữa các chiến lược cho vay của ngân hàng và các biến cố liên quan
9
Bài 3.1
a) Phương pháp loại trừ bằng cách lập biểu tiêu chuẩn chấp nhận được của từng thuộc tính
Bảng 3.1: Tiêu chuẩn chấp nhận được của từng thuộc tính
Các thuộc tính
Các khả năng lựa chọn Tiêu chuẩn chấp nhận được
Hệ thống A Hệ thống B Hệ thống C Tối thiểu Tối đa
Chi phí ban đầu 140.000$ 180.000$ 100.000$ 180.000$
Độ bền vững Tốt Tuyệt vời Trung bình Tốt

Độ an toàn Tốt Tốt Tốt Tốt
Kiểu dáng Tốt Tuyệt vời Trung bình Trung bình
Chất lượng sản phẩm Tốt Tốt Trung bình Tốt
Căn cứ vào biểu tiêu chuẩn chấp nhận được của từng thuộc tính ta nhận thấy hệ thống A và B là đáp
ứng được yêu cầu, tuy nhiên hệ thống B có tiêu chuẩn bền vững và kiểu dáng lại vượt hơn lên chọn
phương án B là hợp lý nhất.
b) Theo phương pháp sắp xếp theo lối tự điển
Bảng 3.2: Sắp xếp thứ tự của các thuộc tính theo tầm quan trọng
Thuộc tính So
sánh
Thuộc tính Thuộc tính So
sánh
Thuộc tính
Độ an toàn > Độ bền vững Độ bền vững > Chi phí ban đầu
Độ an toàn > Chất lượng sản phẩm Độ bền vững > Kiểu dáng
Độ an toàn > Chi phí ban đầu Chất lượng sản phẩm > Chi phí ban đầu
Độ an toàn > Kiểu dáng Chất lượng sản phẩm > Kiểu dáng
Độ bền vững > Chất lượng sản phẩm Chi phí ban đầu > Kiểu dáng
Căn cứ vào bảng 3.1 ta thấy độ an toàn được 4 điểm, độ bền vững được 3 điểm, chất lượng sản phẩm
được 2 điểm, chi phí ban đầu được 1 điểm, kiểu dáng được 0 điểm.
Bảng 3.3: Thứ tự các khả năng (phương án) lựa chọn
STT Các thuộc tính Điểm số Sắp xếp thứ tự các phương án lựa chọn
1 Độ an toàn 4 A=B=C
2 Độ bền vững 3 B>A>C
3 Chất lượng sản phẩm 2 A=B>C
4 Chi phí ban đầu 1 B>A>C
5 Kiểu dáng 0 B>A>C
Như vậy bằng phương pháp tự điển thì phương án B là phương án được lựa chọn
c) Theo phương pháp trọng số
B1: Cho điểm từng thuộc tính

- Chi phí ban đầu: 180.000-100.000=80.000
Công thức:
180.000-CPBĐ
i
80.000
Bảng tính điểm về chi phí ban đầu của các phương án
Tiền Điểm
10
Phương án A 140.000
5,0
000.80
000.140000.180
=
−
Phương án B 180.000
0
000.80
000.180000.180
=
−
Phương án C 100.000
1
000.80
000.100000.180
=
−
- Độ bền vững: ta xếp hạng độ bền vững trung bình là 1, tốt là 2, tuyệt vời là 3. Lấy 3 - 1 = 2
Công thức:
HangcuaPA
i

- 1
2
Bảng tính điểm về độ bền vững của các phương án
Độ bền vững Xếp hạng Điểm
Phương án A Tốt 2
5,0
2
12
=
−
Phương án B Tuyệt vời 3
1
2
13
=
−
Phương án C Trung bình 1
0
2
11
=
−
- Kiểu dáng: ta xếp hạng kiểu dáng trung bình là 1, tốt là 2, tuyệt vời là 3. Lấy 3 - 1 = 2
Công thức:
HangcuaPA
i
- 1
2
Bảng tính điểm về kiểu dáng của các phương án
Kiểu dáng Xếp hạng Điểm

Phương án A Tốt 2
5,0
2
12
=
−
Phương án B Tuyệt vời 3
1
2
13
=
−
Phương án C Trung bình 1
0
2
11
=
−
- Chất lượng sản phẩm: ta xếp hạng chất lượng sản phẩm trung bình là 1, tốt là 2. Lấy 2 - 1 = 1
Công thức:
HangcuaPA
i
- 1
1
11
Bảng tính điểm về kiểu dáng của các phương án
Kiểu dáng Xếp hạng Điểm
Phương án A Tốt 2
1
1

12
=
−
Phương án B Tốt 2
1
1
12
=
−
Phương án C Trung bình 1
0
1
11
=
−
Bảng 3.4: Bảng tính điểm cho các thuộc tính của các phương án đầu tư
STT Các thuộc tính
Điểm cho các phương án đầu tư
Hệ thống A Hệ thống B Hệ thống C
1 Chi phí ban đầu 0,5 0 1
2 Độ bền vững 0,5 1 0
3 Kiểu dáng 0,5 1 0
4 Chất lượng sản phẩm 1 1 0
B2: Gắn các trọng số cho các thuộc tính
Sắp xếp theo tính quan trọng của các thuộc tính: Độ an toàn>độ bền vững > chất lượng sản phẩm >
chi phí ban đầu > kiểu dáng. Ta gắn chúng theo thứ tự các số 5>4>3>2>1. Khi đó: 1+2+3+4+5=15
Như vậy trọng số của độ an toàn là
15
5
; độ bền vững

15
4
; chất lượng sản phẩm
15
3
;chi phí ban đầu
15
2
;
kiểu dáng
15
1
B3: Tính điểm trung bình tổng thể theo trọng số của từng phương án lựa chọn
Bảng 3.5: Bảng tính điểm trung bình theo trọng số của các phương án đầu tư
ST
T
Các thuộc tính
Trọng
số
Điểm cho các phương án đầu tư
Hệ thống A Hệ thống B Hệ thống C
1
Chi phí ban đầu
15
2
1,0
15
2
75,0
=×

1666,0
15
2
25,1
=×
0333,0
15
2
25,0
=×
2
Độ bền vững
15
4
1333,0
15
4
5,0
=×
2666,0
15
4
1
=×
0
15
4
0
=×
3

Độ an toàn
15
5
0
15
5
0
=×
0
15
5
0
=×
0
15
5
0
=×
4
Kiểu dáng
15
1
0333,0
15
1
5,0
=×
0666,0
15
1

1
=×
0
15
1
0
=×
5
Chất lượng sản phẩm
15
3
2,0
15
3
1
=×
2,0
15
3
1
=×
0
15
3
0
=×
12
Giá trị trung bình theo trọng số
0,4666 0,6998 0,3333
Như vậy điểm trung bình theo trọng số của phương án B là cao nhất. Có nghĩa là nên trang bị hệ

thống máy mới cho nhà máy theo phương án B.
Bài 4.1
α = [0,25; 0,25; 0,25; 0,25]
P =












8,01,005,005,0
08,01,01,0
1,02,07,00
1,01,02,06,0
a) Các phần phân chia thị trường của 4 công ty năm sau:
α
1
= α × P = [0,25; 0,25; 0,25; 0,25] ×













8,01,005,005,0
08,01,01,0
1,02,07,00
1,01,02,06,0
= [0,25×0,6+0,25×0,1+0,25×0,05; 0,25×0,2+0,25×0,7+0,25×0,1+0,25×0,05;
0,25×0,1+0,25×0,2+0,25×0,8+0,25×0,1; 0,25×0,1+0,25×0,1+0,25×0,8]
= [0,1875; 0,2625; 0,3; 0,25]
b) Các phần phân chia thị trường của 4 công ty trong năm thứ 4:
α
2
= α
1
× P = [0,1875; 0,2625; 0,3; 0,25]×













8,01,005,005,0
08,01,01,0
1,02,07,00
1,01,02,06,0
= [0,1875×0,6+0,3×0,1+0,25×0,05; 0,1875×0,2+0,2625×0,7+0,3×0,1+0,25×0,05;
0,1875×0,1+0,2625×0,2+0,3×0,8+0,25×0,1; 0,1875×0,1+0,2625×0,1+0,25×0,8]
= [0,155; 0,26375; 0,33625; 0,245]
α
3
= α
2
× P = [0,155; 0,26375; 0,33625; 0,245]×












8,01,005,005,0
08,01,01,0
1,02,07,00
1,01,02,06,0
= [0,155×0,6+0,33625×0,1+0,245×0,05;

0,155×0,2+0,26375×0,7+0,33625×0,1+0,245×0,05;
0,155×0,1+0,26375×0,2+0,33625×0,8+0,245×0,1; 0,155×0,1+0,26375×0,1+0,245×0,8]
= [0,138875; 0,2615; 0,36175; 0,237875]
Vậy phần phân chia thị trường của 4 công ty trong năm thứ 4 biểu diễn bởi véctơ
α
3
= [0,138875; 0,2615; 0,36175; 0,237875]
Bài 4.2
13
a) ô tô có 2 trạng thái hoạt động:
Trạng thái 1: ô tô nổ máy được
Trạng thái 2: ô tô không nổ máy được
Nếu hôm trước ô tô nổ máy được thì khả năng để sáng hôm sau cũng nổ máy được là 0,9 (P
11
= 0,9),
do đó xác suất để hôm sau không nổ máy được là 0,1 (P
12
= 0,1).
Tương tự ta có: P
21
= 0,3; P
22
= 0,7
Vậy ma trận các xác suất chuyển đổi trạng thái là: P =







7,03,0
1,09,0
b) - Nếu ngày hôm nay (ngày thứ 2) ô tô nổ máy (ở trạng thái 1) thì xác suất ở trạng thái 1 là 1, ở
trạng thái 2 là 0. Vậy tình trạng hoạt động ngày thứ 2 của ô tô biểu diễn bởi véctơ α
1
= [1;0].
Với ma trận P đã biết ta dự đoán được khả năng nổ máy của ôtô ở ngày thứ 3 là:
α
2
= α
1
. P = [1;0] .






7,03,0
1,09,0
α
2
= [1×0,9; 1×0,1] = [0,9;0,1].
Ngày thứ 4 là:
α
3
= α
2
. P = [0,9;0,1] .







7,03,0
1,09,0
α
3
= [0,9×0,9+ 0,1×0,3 ; 0,9×0,1+0,1×0,7] = [0,84;0,16].
Ngày thứ 5 là:
α
4
= α
3
. P = [0,84;0,16] .






7,03,0
1,09,0
α
4
= [0,84×0,9+ 0,16×0,3 ; 0,84×0,1+0,16×0,7] = [0,81;0,19].
Ngày thứ 6 là:
α
5

= α
4
. P = [0,81;0,19] .






7,03,0
1,09,0
α
5
= [0,81×0,9+ 0,19×0,3 ; 0,81×0,1+0,19×0,7] = [0,79;0,21].
Vậy ngày thứ 6 xác suất ông A được cuộc (xe ôtô nổ máy) là 0,79, không được cuộc (xe ôtô không
nổ máy) là 0,21.
- Nếu ngày hôm nay (ngày thứ 2) ô tô không nổ máy (ở trạng thái 2) thì xác suất ở trạng thái 1 là 0, ở
trạng thái 2 là 1. Vậy tình trạng hoạt động ngày thứ 2 của ô tô biểu diễn bởi véctơ β
1
= [0;1].
Với ma trận P đã biết ta dự đoán được khả năng nổ máy của ôtô ở ngày thứ 3 là:
β
2
= β
1
. P = [0;1] .







7,03,0
1,09,0
β
2
= [1×0,3; 1×0,7] = [0,3 ; 0,7].
Ngày thứ 4 là:
14
β
3
= β
2
. P = [0,3;0,7] .






7,03,0
1,09,0
β
3
= [0,3×0,9+ 0,7×0,3 ; 0,3×0,1+0,7×0,7] = [0,48;0,52].
Ngày thứ 5 là:
β
4
= β
3

. P = [0,48;0,52] .






7,03,0
1,09,0
β
4
= [0,48×0,9+ 0,52×0,3 ; 0,48×0,1+0,52×0,7] = [0,59;0,41].
Ngày thứ 6 là:
β
5
= β
4
. P = [0,59;0,41] .






7,03,0
1,09,0
β
5
= [0,59×0,9+ 0,41×0,3 ; 0,59×0,1+0,41×0,7] = [0,65;0,35].
Vậy ngày thứ 6 xác suất ông A được cuộc (xe ôtô nổ máy) là 0,65, không được cuộc (xe ôtô không

nổ máy) là 0,35.
Bài 5.2
b)
Y
1
Y
2
X
1
21 116
X
2
89 3
Số nhỏ nhất của dòng 1 là 21, ở dòng 2 là 3, theo tiêu chuẩn maximin ta chọn được số 21
Số lớn nhất của cột 1 là số 89, số lớn nhất của cột 2 là số 116, theo tiêu chuẩn minimax ta chọn được
số 89.
Hai số được chọn không trùng nhau nên không tồn tại điểm yên ngựa. Ta lập bảng X’s Payoff matrix
Bảng X’s Payoff matrix
Y
1
:P Y
2
:1-P
X
1
:Q 21 116
X
2
:1-Q 89 3
Ta có phương trình với X : 21Q + 89(1-Q) = 116Q + 3(1-Q)

Giải phương trình: 21Q + 89 - 89Q = 116Q + 3 - 3Q
181Q = 86⇒
181
86
=
Q
; do đó
181
95
181
86
11
=−=−
Q
Tương tự ta có phương trình với Y: 21P + 116(1-P) = 89P + 3(1-P)
Giải phương trình: 21P + 116 – 116P = 89P + 3 – 3P
181P = 113⇒
181
113
=
P
do đó
181
68
181
113
11
=−=−
P
Ta có kết quả bảng X’s Payoff matrix mới như sau:

15
Y
1
:
181
113
=
P
Y
2
:
181
68
1
=−
P
X
1
:
181
86
=
Q
21 116
X
2
:
181
95
1

=−
Q
89 3
Bảng phân phối xác suất giá trị của trò chơi
Z 21 116 89 3
P(Z
)
761.32
718.9
181
113
181
86
=×
181
68
181
86
×
=
761.32
848.5
181
113
181
95
×
=
761.32
735.10

761.32
460.6
181
68
181
95
=×
Vậy ta có giá trị trung bình của trò chơi là:
E(Z) =
69,56
761.32
460.6
3
761.32
735.10
89
761.32
848.5
116
761.32
718.9
21
=×+×+×+×
Nói cách khác nếu chơi nhiều lần thì số điểm thắng trung bình bên X là 56,69 còn điểm thua trung
bình bên Y là 56,69.
c)
Y
1
Y
2

X
1
-5 -10
X
2
12 8
X
3
4 12
X
4
-40 -5
Ta thấy ngay là X sẽ không bao giờ chơi 2 chiến lược X
1
và X
4
vì đối với X thì 2 chiến lược X
2
và X
3
có thế trội hơn hẳn. Do đó ta có thể rút gọn ma trận về dạng ma trận cấp 2x2 sau đây:
Y
1
Y
2
X
2
12 8
X
3

4 12
Số nhỏ nhất của dòng 1 là 8, ở dòng 2 là 4, theo tiêu chuẩn maximin ta chọn được số 8
Số lớn nhất của cột 1 là số 12, số lớn nhất của cột 2 là số 12, theo tiêu chuẩn minimax ta chọn được
số 12.
Hai số được chọn không trùng nhau nên không tồn tại điểm yên ngựa. Ta lập bảng X’s Payoff matrix
Bảng X’s Payoff matrix
Y
1
:P Y
2
:1-P
16
X
1
:Q 12 8
X
2
:1-Q 4 12
Ta có phương trình với X : 12Q + 4(1-Q) = 8Q + 12(1-Q)
Giải phương trình: 12Q + 4 - 4Q = 8Q + 12 - 12Q
12Q =8⇒
3
2
12
8
==
Q
; do đó
3
1

3
2
11
=−=−
Q
Tương tự ta có phương trình với Y: 12P + 8(1-P) = 4P + 12(1-P)
Giải phương trình: 21P + 8– 8P = 4P + 12 – 12P⇒ 21P = 4⇒
21
4
=
P
do đó
21
17
21
4
11
=−=−
P
Ta có kết quả bảng X’s Payoff matrix mới như sau:
Y
1
:
21
4
=
P
Y
2
:

21
17
1
=−
P
X
1
:
3
2
=
Q
12 8
X
2
:
3
1
1
=−
Q
4 12
Bảng phân phối xác suất giá trị của trò chơi
Z 12 8 4 12
P(Z
)
63
8
21
4

3
2
=×
63
34
21
17
3
2
=×
63
4
21
4
3
1
=×
63
17
21
17
3
1
=×
Vậy ta có giá trị trung bình của trò chơi là: E(Z) =
33,9
63
17
12
63

4
4
63
34
8
63
8
12
=×+×+×+×
Nói cách khác nếu chơi nhiều lần thì số điểm thắng trung bình bên X là 9,33 còn điểm thua trung
bình bên Y là 9,33.
Bài 6.1
a) Lập bảng phân phối xác suất, bảng phân phối xác suất tích luỹ và khoảng các số ngẫu nhiên cho
X:
X Tần số (số giờ)n
i
P(X=x) = n
i
/n Xác suất tích luỹ Khoảng các số ngẫu nhiên
X≤3
0 0 0
0
4 20 0,1 0,1 Từ 1 đến 10
5 30 0,15 0,25 Từ 11 đến 25
6 50 0,25 0,5 Từ 26 đến 50
7 60 0,3 0,8 Từ 51 đến 80
8 40 0,2 1 Từ 81 đến 00
X≥9
0 0 1 0
17

Cộng 200
b) Bảng kết quả thử
Lần
thử
Số ngẫu
nhiên
Số xe rửa
được trong
ngày
Lần
thử
Số ngẫu
nhiên
Số xe rửa
được trong
ngày
Lần
thử
Số ngẫu
nhiên
Số xe rửa
được trong
ngày
1 82 8 8 11 5 15 09 4
2 57 7 9 27 6 16 25 5
3 68 7 10 79 7 17 36 6
4 28 6 11 90 8 18 77 7
5 05 4 12 87 8 19 69 7
6 94 8 13 92 8 20 02 4
7 03 4 14 41 6

Như vậy sau 20 lần thử tổng số xe được rửa là 125 vậy trung bình một ngày rửa được 6,25 chiếc xe
Bài 6.2
a) Bảng phân phối xác suất tích luỹ và phân khoảng các số ngẫu nhiên của biến X (số các
chuyến tàu đến mỗi ngày)
X Xác suất Xác suất tích luỹ Khoảng các số ngẫu nhiên
0 0,13 0,13 Từ 01 đến 13
1 0,17 0,3 Từ 14 đến 30
2 0,15 0,45 Từ 31 đến 45
3 0,25 0,7 Từ 46 đến 70
4 0,2 0,9 Từ 71 đến 90
5 0,1 1 Từ 91 đến 00
Bảng phân phối xác suất tích luỹ và phân khoảng các số ngẫu nhiên của biến Y( số tàu được bốc
than trong một ngày)
Y Xác suất Xác suất tích luỹ Khoảng các số ngẫu nhiên
1 0,03 0,03 Từ 01 đến 03
2 0,12 0,15 Từ 04 đến 15
3 0,4 0,55 Từ 16 đến 55
4 0,28 0,83 Từ 56 đến 83
5 0,12 0,95 Từ 84 đến 95
6 0,05 1 Từ 96 đến 00
Bảng kết quả 15 lần thử của biến X và Y
Cách tính:
- Số tàu phải chờ bốc than ngày hôm sau = số tàu phải nằm chờ bốc than + X (số tàu đến
mỗi ngày)
- Số tàu nằm chờ bốc than = số tàu phải bốc than ngày hôm sau – Y (số tàu được bốc
than trong một ngày)
Ghi chú: Y = X khi Y>X, Y = Y khi Y<X
Ngày
Số tàu phải nằm chờ
bốc than

Số ngẫu
nhiên
X
Số tầu phải bốc than
ngày hôm sau
Số ngẫu
nhiên
Y
1 0 37 2 2 69 2
2 0 77 4 4 84 4
3 0 13 0 0 12 0
18
4 0 10 0 0 94 0
5 0 02 0 0 51 0
6 0 18 1 1 36 1
7 0 31 2 2 17 2
8 0 19 1 1 02 1
9 0 32 2 2 15 2
10 0 85 4 4 29 3
11 1 31 2 3 16 3
12 0 94 5 5 52 3
13 2 81 4 6 56 4
14 2 43 2 4 43 3
15 1 31 2 3 26 3
Tổng 6 31 31
Số tàu phải nằm chờ bốc than trung bình một ngày:
4,0
15
6
=

chiếc/ngày
Số tàu đến trung bình trong một đêm:
06,2
15
31
=
chiếc/đêm
Số tàu trung bình được bốc than trong một ngày:
06,2
15
31
=
chiếc/ngày
b) So sánh với kết quả ở bài ví dụ ta thấy số tàu phải nằm chờ bốc than giảm được: 1,33 – 0,4
=0,93 chiếc/ngày.
Số tàu đến trung bình trong một đêm giảm: 2,73 – 2,06 = 0,67 chiếc/đêm
Số tàu trung bình được bốc than trong một ngày giảm: 2,6 - 2,06 = 0,54 chiếc/ngày
c) Nếu mỗi ngày một chiếc tàu phải nằm chờ rót than cảng phải phạt 3.000USD/tàu-ngày, Chi
phí cho một cầu tầu rót than là 200 USD/cầu- ngày:
Khi có 9 cầu tàu:
Số tiền bị phạt do tầu phải chờ tại bến cảng là: 3.000 × 1,33 = 3.990 USD/tàu-ngày
Chi phí cho 9 cầu rót than là: 9 × 200USD = 1.800 USD/cầu-ngày
Tổng chi phí là: 3.990 +1.800 = 5.790 USD/ngày
Khi có 12 cầu tàu:
Số tiền bị phạt do tầu phải chờ tại bến cảng là: 3.000 × 0,4 = 1.200 USD/tàu-ngày
Chi phí cho 12 cầu rót than là: 12 × 200USD = 2.400 USD/cầu-ngày
Tổng chi phí là: 1.200 +2.400 = 3.600 USD
Như vậy việc tăng thêm cầu rót đã mang lại lợi ích cho cảng là 5.790 - 3.600 = 2.190USD/ngày
Bài 7.1
a)Từ giả thiết của bài toán ta có:

n =5; λ = 20tầu/tháng; μ = 5 tầu/tháng
19
013,0
77
1
3
128
3
32
3
32
841
1
2025
25
4
120
1
4
24
1
4
6
1
4
2
1
411
1
2055

55
5
20
!5
1
5
20
!4
1
5
20
!3
1
5
20
!2
1
5
20
!1
1
!0
1
1
!
1
!
1
1
5432

54321
1
0
0
==
+++++
=
−
++++×+
=
−×
×






+






+







+






+






+
=
−








+









=
∑
−
=
n
k
nk
n
n
nk
P
λµ
λ
µ
λ
µ
λ
Xác suất để bến cảng không có tàu bốc dỡ trong một tháng là 0,013
( )
4013,0
5!4
4520
5
20

013,0
)2055(!15
5
20
520
)()!1(
2
5
2
5
0
2
+
×
××
=+
−×−






×
=+
−−









=
µ
λ
λµ
µ
λ
λµ
P
nn
L
n
S
2,64013,0
600
400.102
=+=
tầu biển
2,2
5
20
2,6 =−=−=
µ
λ
Sq
LL
tàu biển

31,0
20
2,6
===
λ
S
S
L
W
tháng
W
q
= W
s
-
µ
1
= 0,31-
5
1
=0,11 tháng
b)Vậy tổng chi phí phải bồi thường cho chủ tầu do tầu phải chờ ở bến cảng là:
20 tầu × 0,11 tháng × 30 ngày đêm × 12.000 USD = 792.000USD/tháng
Tổng chi phí cho 5 dây chuyền bốc dỡ là:5 × 130.000 USD = 650.000 USD
Vậy tổng chi phí của bến cảng trong một tháng là 1.442 nghìn USD
Bài 7.2 Khi cảng có 4 cầu tầu
n =4; λ = 20tầu/tháng; μ = 5 tầu/tháng
04,0
3
71

1
3
32
841
1
04
6
1
4
2
1
411
1
2054
54
5
20
!4
1
5
20
!3
1
5
20
!2
1
5
20
!1

1
!0
1
1
!
1
!
1
1
32
4321
1
0
0
==
+++
=
+++×+
=
−×
×






+







+






+






+
=
−








+









=
∑
−
=
n
k
nk
n
n
nk
P
λµ
λ
µ
λ
µ
λ
Xác suất để bến cảng không có tàu bốc dỡ trong một tháng là 0,04
20
( )
44013,0
0!3

4520
5
20
04,0
)2054(!14
5
20
520
)()!1(
2
4
2
4
0
2
=+
×
××
=+
−×−






×
=+
−−









=
µ
λ
λµ
µ
λ
λµ
P
nn
L
n
S
tàu biển
0
5
20
4 =−=−=
µ
λ
Sq
LL
tàu biển
2,0

20
4
===
λ
S
S
L
W
tháng
W
q
= W
s
-
µ
1
= 0,2 -
5
1
= 0 tháng
Vậy tổng chi phí phải bồi thường cho chủ tầu do tầu phải chờ ở bến cảng là:
20 tầu × 0 tháng × 30 ngày đêm × 12.000 USD = 0 USD/tháng
Tổng chi phí cho 4 dây chuyền bốc dỡ là:4 × 130.000 USD = 520.000 USD
Vậy tổng chi phí của bến cảng trong một tháng là 520 nghìn USD
Khi cảng có 6 cầu tầu
n =6; λ = 20tầu/tháng; μ = 5 tầu/tháng
009,0
15
1677
1

15
512
3
128
3
32
3
32
841
1
2030
30
4
720
1
4
120
1
4
24
1
4
6
1
4
2
1
411
1
2056

56
5
20
!6
1
5
20
!5
1
5
20
!4
1
5
20
!3
1
5
20
!2
1
5
20
!1
1
!0
1
1
!
1

!
1
1
65432
654321
1
0
0
==
++++++
=
−
+++++×+
=
−×
×






+






+







+






+






+






+
=
−









+








=
∑
−
=
n
k
nk
n
n
nk
P
λµ
λ

µ
λ
µ
λ
Xác suất để bến cảng không có tàu bốc dỡ trong một tháng là 0,009
( )
4009,0
10!5
4520
5
20
009,0
)2056(!16
5
20
520
)()!1(
2
6
2
6
0
2
+
×
××
=+
−×−







×
=+
−−








=
µ
λ
λµ
µ
λ
λµ
P
nn
L
n
S
3,44009,0
000.12
600.409

=+=
tầu biển
3,0
5
20
3,4
=−=−=
µ
λ
Sq
LL
tàu biển
215,0
20
3,4
===
λ
S
S
L
W
tháng
W
q
= W
s
-
µ
1
= 0,215-

5
1
=0,015 tháng
21
b)Vậy tổng chi phí phải bồi thường cho chủ tầu do tầu phải chờ ở bến cảng là:
20 tầu × 0,015 tháng × 30 ngày đêm × 12.000 USD = 108.000USD/tháng
Tổng chi phí cho 6 dây chuyền bốc dỡ là: 6 × 130.000 USD = 780.000 USD
Vậy tổng chi phí của bến cảng trong một tháng là 888 nghìn USD
Khi cảng có 7 cầu tầu
n =7; λ = 20tầu/tháng; μ = 5 tầu/tháng
∑
−
=
−








+









=
1
0
0
!
1
!
1
1
n
k
nk
n
n
nk
P
λµ
λ
µ
λ
µ
λ
2057
57
5
20
!7
1
5

20
!6
1
5
20
!5
1
5
20
!4
1
5
20
!3
1
5
20
!2
1
5
20
!1
1
!0
1
1
7654321
−×
×







+






+






+






+







+






+






+
=
2035
35
4
5040
1
4
720
1
4
120
1

4
24
1
4
6
1
4
2
1
411
1
765432
−
++++++×+
=
006,0
135
22939
1
135
1024
45
256
3
128
3
32
3
32
841

1
==
+++++++
=
Xác suất để bến cảng không có tàu bốc dỡ trong một tháng là 0,006
( )
6,44006,0
15!6
4520
5
20
006,0
)2057(!17
5
20
520
)()!1(
2
7
2
7
0
2
=+
×
××
=+
−×−







×
=+
−−








=
µ
λ
λµ
µ
λ
λµ
P
nn
L
n
S
tầu biển
6,0
5

20
6,4 =−=−=
µ
λ
Sq
LL
tàu biển
23,0
20
6,4
===
λ
S
S
L
W
tháng
W
q
= W
s
-
µ
1
= 0,23 -
5
1
=0,03 tháng
Vậy tổng chi phí phải bồi thường cho chủ tầu do tầu phải chờ ở bến cảng là:
20 tầu × 0,03 tháng × 30 ngày đêm × 12.000 USD = 216.000USD/tháng

Tổng chi phí cho 7 dây chuyền bốc dỡ là:7 × 130.000 USD = 910.000 USD
Vậy tổng chi phí của bến cảng trong một tháng là 1.126 nghìn USD
Bài 7.3 cảng biển nên có 4 cầu tầu thì chi phí là thấp nhất
22
Bài 7.4
a) Tính
µλ
;
Số tàu cần được phục vụ trung bình một ngày:
4,0
15
6
==
λ
chiếc/ ngày
Số tàu được bốc than trung bình một ngày:
13,3
15
47
==
µ
chiếc/ ngày
b)
87,0
13,3
4,0
11
0
=−=−=
µ

λ
P

15,0
4,013,3
4,0
=
−
=
−
=
λµ
λ
S
L

( ) ( )
019,0
4,013,313,3
4,0
22
=
−
=
−
=
λµµ
λ
q
L

375,0
4,0
15,0
W
S
===
λ
S
L

0475,0
4,0
019,0
W
q
===
λ
q
L
c) Mỗi ngày một chiếc tàu phải nằm chờ rót than cảng phải phạt 3.000USD/tàu-ngày, Chi phí cho
một cầu tầu rót than là 200 USD/cầu- ngày:
Khi có 9 cầu tàu:
Số tiền bị phạt do tầu phải chờ tại bến cảng là: 3.000 × 1,33 = 3.990 USD/tàu-ngày
Chi phí cho 9 cầu rót than là: 9 × 200USD = 1.800 USD/cầu-ngày
Tổng chi phí trung bình một ngày là: 3.990 +1.800 = 5.790 USD/ngày
Khi có 12 cầu tàu:
Số tiền bị phạt do tầu phải chờ tại bến cảng là: 3.000 × 0,4 = 1.200 USD/tàu-ngày
Chi phí cho 12 cầu rót than là: 12 × 200USD = 2.400 USD/cầu-ngày
Tổng chi phí trung bình một ngày là: 1.200 +2.400 = 3.600 USD

Như vậy việc tăng thêm cầu rót đã mang lại lợi ích cho cảng là 5.790 - 3.600 = 2.190USD/ngày
23