Luận văn: Vận dụng dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề vào nội dung phương trình lượng giác ở trường Trung học phổ thông




MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Chúng ta đang tiến hành sự nghiệp công nghiệp hóa hiện đại hóa đất
nƣớc, do đó tất cả các ngành nghề hiện nay đều có sự đổi mới phù hợp với
yêu cầu của sự phát triển xã hội. Trong đó giáo dục, với sản phẩm đặc biệt là
con ngƣời thì càng phải đổi mới để tạo ra những con ngƣời lao động có trình
độ cao, học vấn cao, có năng lực, có bản lĩnh, đáp ứng đƣợc mọi yêu cầu của
cuộc sống hiện đại. Đổi mới giáo dục phải đƣợc hiểu là đổi mới toàn diện, đổi
mới từ mục tiêu, nội dung đến phƣơng pháp và hình thức tổ chức dạy học.
Trong xu thế đó, sự đổi mới về phƣơng pháp dạy học đƣợc coi là vấn đề nóng
bỏng, mang tính chất thời đại, thu hút đƣợc sự quan tâm của các nhà nghiên
cứu, các nhà quản lý giáo dục cũng nhƣ giáo viên trực tiếp đứng lớp. Đổi mới
phƣơng pháp dạy học phải phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của
ngƣời học.
Đổi mới phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh phù
hợp với lứa tuổi, từng môn học. Môn Toán là một môn học quan trọng trong
chƣơng trình trung học phổ thông. Để thực hiện mục tiêu này đòi hỏi hoạt
động tổ chức hƣớng dẫn của giáo viên phải hƣớng tới hoạt động chiếm lĩnh
kiến thức và hình thành kĩ năng học tập của học sinh. Học sinh phải đƣợc hoạt
động học tập, đƣợc bộc lộ mình và đƣợc phát triển một cách tối đa thông qua
hoạt động học tập. Mục tiêu này đòi hỏi thầy giáo, cô giáo khi tổ chức cho
học sinh học tập phải sử dụng phối hợp linh hoạt các phƣơng pháp dạy học có
tác dụng phát huy tích cực chủ động của ngƣời học nhƣ phƣơng pháp phát


hiện và giải quyết vấn đề, phƣơng pháp thảo luận nhóm, phƣơng pháp trò

chơi học tập.
Phƣơng pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề đƣợc coi là một
trong những phƣơng pháp dạy học tích cực. Phƣơng pháp này đƣợc sử
dụng phổ biến để tổ chức cho học sinh học tập có hiệu quả ở nhiều môn
học ở các bậc học.
Sử dụng phƣơng pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề trong dạy
học không phải là vấn đề hoàn toàn mới. Cho đến nay, đã có nhiều bài viết,
nhiều công trình nghiên cứu đề cập đến vấn đề này. Thực tế nhiều giáo viên
đứng lớp đã có nhiều kinh nghiệm quý báu về việc sử dụng phƣơng pháp dạy
học phát hiện và giải quyết vấn đề đem lại hiệu quả cao trong giờ học.
Phƣơng pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề đã đƣợc nhiều chuyên
gia nghiên cứu và không ai phủ nhận đƣợc mặt tích cực mà phƣơng pháp này
mang lại sau một tiết học nhằm nâng cao hiệu quả dạy học môn Toán nói
chung, dạy học phƣơng trình lƣợng giác nói riêng.
Để nâng cao vốn hiếu biết của mình và góp phần nâng cao chất lƣợng
dạy học phƣơng trình lƣợng giác cho học sinh trung học phổ thông tôi đã lựa
chọn đề tài “
 để nghiên cứu.
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Trên cơ sở nghiên cứu lý luận về phƣơng pháp dạy học phát hiện và
giải quyết vấn đề, nghiên cứu nội dung dạy học phƣơng trình lƣợng giác, đề
ra phƣơng án dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề dạy học phƣơng trình
lƣợng giác nhằm nâng cao hiệu quả dạy và học ở trƣờng THPT.
3. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
+ Nghiên cứu cơ sở lý luận về dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề.
+ Tìm hiểu thực trạng dạy học nội dung phƣơng trình lƣợng giác một số
trƣờng THPT.


+ Đề ra một số biện pháp tổ chức dạy học phƣơng trình lƣợng giác theo

hƣớng phát hiện và giải quyết vấn đề.
+ Vận dụng dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề vào dạy học một số
tình huống điển hình: khái niệm, quy tắc, giải toán thuộc nội dung phƣơng
trình lƣợng giác, góp phần nâng cao chất lƣợng dạy học phƣơng trình lƣợng
giác ở lớp 11 trƣờng trung học phổ thông.
+ Lựa chọn và xây dựng một hệ thống bài tập phƣơng trình lƣợng giác
để sử dụng trong việc tổ chức dạy học giải phƣơng trình lƣợng giác ở lớp 11
theo hƣớng phát hiện và giải quyết vấn đề.
+ Tổ chức thực nghiệm sƣ phạm để xem xét tính khả thi của các đề xuất
và đánh giá kết quả thực nghiệm.
4. PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
4.1. Phƣơng pháp nghiên cứu lí luận
+ Nghiên cứu các giáo trình, các tạp chí trong nƣớc và quốc tế về
phƣơng pháp dạy học PH và GQVĐ.
+ Nghiên cứu các giáo trình tâm lý học lứa tuổi trung học cơ sở.
+ Nghiên cứu các luận văn có nội dung phù hợp với hƣớng nghiên cứu
của đề tài.
4.2. Phƣơng pháp điều tra - quan sát
Điều tra thực trạng về dạy học nội dung phƣơng trình lƣợng giác ở
trƣờng trung học phổ thông. Tham khảo ý kiến của những giáo viên giỏi, giáo
viên có nhiều kinh nghiệm trong giảng dạy về nội dung phƣơng trình lƣợng
giác trung học phổ thông.
4.3. Phƣơng pháp thực nghiệm sƣ phạm
Tiến hành thực nghiệm sƣ phạm về việc vận dụng dạy học phát hiện và
giải quyết vấn đề vào nội dung phƣơng trình lƣợng giác ở trƣờng trung học
phổ thông để xem xét tính khả thi và hiệu quả của đề tài.


5. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC
Từ việc nghiên cứu lí luận dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề, nếu

đề xuất đƣợc một số biện pháp tổ chức dạy học phƣơng trình lƣợng giác theo
hƣớng phát hiện và giải quyết vấn đề trong dạy học phƣơng trình lƣợng giác ở
trƣờng THPT thì có thể nâng cao hiệu quả dạy và học ở trƣờng THPT ở nội
dung phƣơng trình lƣợng giác.
6. ĐỐI TƢỢNG VÀ KHÁCH THỂ NGHIÊN CỨU
+ Đối tƣợng nghiên cứu: Quá trình dạy học nội dung “ Phƣơng trình
lƣợng giác ”_Giải tích 11_Chƣơng trình chuẩn.
+ Khách thể nghiên cứu: Học sinh 11 và giáo viên dạy Toán 11.
7. CẤU TRÚC LUẬN VĂN
Ngoài mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo luận văn gồm 3 chƣơng:
Chƣơng 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn
Chƣơng 2: Vận dụng phƣơng pháp phát hiện và giải quyết vấn đề vào
dạy học phƣơng trình lƣợng giác ở trƣờng THPT
Chƣơng 3: Thực nghiệm sƣ phạm



CHƢƠNG 1 - CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1. MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ DẠY HỌC PHÁT HIỆN VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1.1.1. 
a) Về thuật ngữ
Trong hệ thống các phƣơng pháp dạy học không truyền thống có một
phƣơng pháp mà một số tác giả gọi là “dạy học gợi vấn đề” vì vậy cần có sự
giải thích về vấn đề này. Theo Nguyễn Bá Kim ([17]) “Dạy học phát hiện và
giải quyết vấn đề” nói lên bản chất của phƣơng pháp này rõ hơn so với các
thuật ngữ khác. Vì vậy, chúng tôi đồng quan điểm chon thuật ngữ này là
“Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề” .
b) Về lịch sử
Theo I.IA Lecne thì thuật ngữ “dạy học nêu vấn đề” ra đời chƣa đƣợc

bao lâu, nhƣng các tƣ tƣởng đó, dƣới các tên gọi khác nhau đã tồn tại trong
giáo dục hàng trăm năm nay. Thậm trí từ thời Xô-crat (469-399 TCN) hiện
tƣợng nêu vấn đề đã đƣợc ông sử dụng trong các cuộc tọa đàm và tranh luận.
Trong những thập niên 60- 70 của thế kỉ XX, phƣơng pháp dạy học
này đƣợc nhiều nhà khoa học giáo dục trên thế giới quan tâm, trên cả bình
diện thực nghiệm rộng rãi ở nhiều môn học khác nhau cho nhiều lứa tuổi HS
trung học phổ thông. Nhà giáo dục Ba Lan Ôkô.V đã đƣa ra một hệ thống lí
thuyết hoàn chỉnh về dạy học nêu vấn đề. Sau đó các nhà sƣ phạm học, tâm lý
học Châu Âu đã có công trình nghiên cứu về PP dạy học này: Lernen.Ia;
Ddaanhilov M.A; Rubinstein; Kudricvsev Ở Việt Nam, phƣơng phát dạy
học phát hiện và giải quyết vấn đề đã đƣợc nghiên cứu ở nhiều góc độ khác
nhau tiêu biểu là các công trình của các tác giả Phạm Văn Hoàn. Đặc biệt, từ
khi diễn ra việc đổi mới phƣơng pháp dạy học ở nƣớc ta, dạy học phát hiện và
giải quyết vấn đề đã và đang đƣợc nhiều nhà sƣ phạm quan tâm nghiên cứu,
chẳng hạn: Nguyễn Bá Kim, Vũ Dƣơng Thụy, Trần Kiều, Nguyễn Hữu


Châu, Các tác giả đã nghiên cứu, tổng hợp và đề xuất những định hƣớng
vận dụng phƣơng pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề trong nhiều
công trình nghiên cứu khoa học giáo dục giáo dục.
Qua đây có thể thấy rằng: dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề đã có
lịch sử hình thành khá sớm và phát triển tƣơng đối hoàn thiện về lý luận. Ngày
nay, với môn Toán ở trƣơng phổ thông, dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề
không chỉ có ý nghĩa phƣơng tiện- là PPDH có nhiều ƣu điểm phù hợp với đổi
mới dạy học môn Toán mà còn có ý nghĩa “mục tiêu dạy Toán”. Cụ thể là đối
với học sinh, việc phát hiện và giải quyết vấn đề trong môn Toán.
1.1.2. 
Theo Nguyễn Bá Kim ([17], tr.183- 185), phƣơng pháp dạy học phát
hiện và giải quyết vấn đề đƣợc xây dựng dựa trên các cơ sở sau:
a) Cơ sở triết học

Theo triết học duy vật biện chứng: ”mâu thuẫn là động lực của sự phát
triển”. Một vấn đề gợi ra cho học sinh học tập chính là một mâu thuẫn giữa
yêu cầu nhiệm vụ nhận thức với tri thức và nhiệm vụ sẵn có. Tình huống này
phản ánh một cách logic và biện chứng quan hệ bên trong giữa các tri thức cũ,
kĩ năng cũ và kinh nghiệm cũ đối với yêu cầu giải thích sự kiện mới hoặc đổi
mới tình thế.
b) Cơ sở tâm lý học
Theo các nhà tâm lý học, con ngƣời chỉ bắt đầu tƣ duy tích cực khi nảy
sinh nhu cầu tƣ duy. “Tư duy sáng tạo luôn bắt đầu bằng một tình huống gợi
vấn đề” (Rubinstein 1960, tr. 435).
Theo tâm lý học kiến tạo, học tập chủ yếu là một quá trình trong đó
ngƣời học xây dựng tri thức cho mình bằng cách liên hệ những cảm nghiệm
mới với những tri thức đã có. Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề phù hợp
với quan điểm này.


c) Cơ sở giáo dục học
Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề phù hợp với nguyên tắc tính tự
giác và tích cực, vì nó khêu gợi đƣợc hoạt động học tập mà chủ thể đƣợc
hƣớng đích, gợi động cơ trong quá trình phát hiện và giải quyết vấn đề.
Dạy học hiện và giải quyết vấn đề cũng biểu hiện sự thống nhất giữa
kiến tạo tri thức, phát triển năng lực trí tuệ và bồi dƣỡng phẩm chất. Những tri
thức mới (đối với học sinh) đƣợc kiến tạo nhờ quá trình phát hiện và giải
quyết vấn đề. Tác dụng phát triển năng lức trí tuệ của kiểu dạy học này là ở
chỗ học sinh đƣợc học cách khám phá, tức là rèn luyện cho họ cách phát hiện,
tiếp cận và giải quyết một cách khoa học. Đồng thời, dạy học phát hiện và
giải quyết vấn đề cũng góp phần bồi dƣỡng cho ngƣời học những đức tính cần
thiết của ngƣời lao động sáng tạo nhƣ tính chủ động, tích cực, tính kiên trì
vƣợt khó, tính kế hoạch và tính tự kiểm tra
1.1.3. 

a) 
Để hiểu đúng thế nào là một vấn đề và đòng thời làm rõ khái niệm có
liên quan, ta bắt đầu từ khái niệm hệ thống.
Hệ thống đƣợc hiểu là một tập hợp những phần tử cùng với những quan
hệ giữa những phần tử của tập hợp đó.
Một tình huống đƣợc hiểu là một hệ thống phức tạp gồm chủ thể và
khách thể, trong đó chủ thể có thể là ngƣời, còn khách thể có thể là một hệ
thống nào đó.
Nếu trong một tình huống, chủ thể còn chƣa biết ít nhất một phần tử
của khách thể thì tình huống này đƣợc gọi là một tình huống bài toán đối
với chủ thể.
Trong một tình huống bài toán, nếu trƣớc chủ thể đặt ra mục tiêu tìm
phần tử chƣa biết nào đó dựa vào một số những phần tử cho trƣớc trong khách
thể thì ta có một bài toán.


Một bài toán đƣợc gọi đƣợc gọi là vấn đề nếu chủ thể chƣa biết một
thuật giải nào có thể áp dụng để tìm ra phần tử chƣa biết của bài toán.
Sau đây là một vài lƣu ý:
Thứ nhất, hiểu nhƣ trên thì vấn đề không đồng nghĩa với bài toán.
Những bài toán nếu chỉ yêu cầu học sinh đơn thuần trực tiếp áp dụng một
thuật giải, chẳng hạn bài toán giải phƣơng trình
2
2
42
2( os ) 9( cos ) 1 0
os cos
c x x
c x x
    

không trở thành vấn đề nếu học sinh đã biết phƣơng pháp đặt ẩn phụ để giải
bài toán.
Thứ hai, khái niệm vấn đề nhƣ trên thƣờng đƣợc dùng trong giáo dục.
Ta cần phân biệt vấn đề trong giáo dục với vấn đề trong nghiên cứu khoa học.
Sự khác nhau là ở chỗ đối với vấn đề trong nghiên cứu khoa học, việc chƣa
biết một phần tử và chƣa biết thuật giải có thể áp dụng để tìm phần tử chƣa
biết là mang tính khách quan chứ không phụ thuộc vào chủ thể, tức là nhân
loại chƣa biết chứ không phải chỉ là học sinh nào đó chƣa biết.
Thứ ba, hiểu theo nghĩa đƣợc dùng trong giáo dục thì các khái niệm
vấn đề mang tính tƣơng đối. Bài toán yêu cầu giải phƣơng trình lƣợng giác cơ
bản
2
sin
3
x 
không phải là một vấn đề khi học sinh đã biết đƣợc cách giải
nhƣng lại là vấn đề khi họ chƣa đƣợc học cách giải.
b) 
Theo Nguyễn Bá Kim ([17], tr. 186), tình huống gợi vấn đề, còn gọi là
tình huống vấn đề, là một tình huống gợi ra cho học sinh khó khăn về mặt lý
luận hay thực tiễn mà họ thấy cần thiết và có khả năng vƣợt qua, nhƣng
không phải ngay tức khắc nhờ một thuật giải mà phải trải qua một quá trình
tích cƣc suy nghĩ,hoạt động đẻ biến đổi đối tƣợng hoạt động hoặc điều chỉnh
kiến thức sẵn có.


Nhƣ vậy, một tình huống gợi vấn đề là một tình huống thỏa mãn
các yêu cầu sau:
 Tồn tại một vấn đề

Tình huống phải bộc lộ mâu thuẫn giữa thực tiễn với trình độ nhận thức,
chủ thể phải ý thức đƣợc một khó khăn trong tƣ duy hoặc hành động mà vốn
hiểu biết sẵn có chƣa đủ để vƣợt qua. Nói cách khác phải tồn tại một vấn đề,
tức là có ít nhất một phần tử của khách thể mà học sinh chƣa biết và cũng
chƣa có trong tay thuật giải để tìm phần tử đó.
 Gợi nhu cầu về nhận thức
Nếu một tình huống tuy có vấn đề và vấn đề hấp dẫn, nhƣng vì lý do nào
đó học sinh không thấy có nhu cầu tìm hiểu, giải quyết, chẳng hạn họ thấy
vấn đề xa lạ, không liên quan gì tới mình thì cũng chƣa phải là một tình
huống gợi vấn đề. Điều quan trọng là tình huống phải gợi nhu cầu nhận thức,
chẳng hạn phải làm bộc lộ sự khiếm khuyêt về kiến thức và kĩ năng của học
sinh để họ cảm thấy cần thiết phải bổ sung, điều chỉnh hoàn thiện tri thức, kĩ
năng bằng cách tham gia giải quyết vấn đề nảy sinh.
 Khơi dậy niềm tin ở khả năng bản thân
Nếu một tình huống tuy có vấn đề và học sinh có nhu cầu giải quyết vấn
đề, nhƣng nếu họ cảm thấy vấn đề vƣợt quá so với khả năng của mình thì họ
cũng không sẵn sang tham gia giải quyết vấn đề. Tình huống cần khơi dạy ở
học sinh cảm nghĩ là tuy họ chƣa có ngay lời giải, nhƣng đã có một số tri
thức, kĩ năng liêm quan đến vấn đề đặt ra và nếu họ tích cực suy nghĩ thì có
nhiều hy vọng giải quyết đƣợc vấn đề đó. Nhƣ vậy, học sinh có đƣợc niềm tin
ở khả năng huy động tri thức và kĩ năng sẵn có để giải quyết hoặc tham gia
giải quyết vấn đề



1.1.4.      

a) 
Theo Nguyễn Bá Kim ([17], tr. 188), trong dạy học phát hiện và Giáo
viên tạo ra những tình huống gợi vấn đề, điều khiển học sinh phát hiện vấn

đề hoạt động tự giác tích cực, chủ động, sáng tạo để giải quyết vấn đề, thông
qua đó mà kiến tạo tri thức, rèn luyện kĩ năng và đạt đƣợc những mục tiêu
hoạt động khác. Chính vì vậy dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề có
những đặc điểm sau:
 Học sinh đƣợc đặt vào một tình huống gợi vấn đề chứ không thông
thông báo dƣới dạng tri thức có sẵn.
 Học sinh hoạt động tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo,tận lực huy
động tri thức và khả năng của mình để phát hiện và giải quyết vấn đề chứ
không phải nghe thầy giảng một cách thụ động.
 Mục tiêu dạy học không phải chỉ làm cho học sinh lĩnh hội kết quả
của quá trình phát hiện và giải quyết vấn đề, mà còn ở chỗ làm cho họ phát
triển khả năng tiến hành những quá trình nhƣ vậy. Nói cách khác, học sinh
đƣợc học bản thân việc học.
Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề đƣa học sinh về gần với quá trình
tìm tòi, phát minh tri thức của các nhà khoa học. Vì vậy, để việc vận dụng dạy
học phát hiện và giải quyết vấn đề có hiệu quả thì nhất thiết phải lắm đƣợc
các con đƣờng hình thành nên kiến thức, các con đƣờng hình thành nên khái
niệm, các con đƣờng tìm ra các quy tắc và các phƣơng pháp, đắc biệt là quy
trình, đặc biệt là quy trình tìm tòi lời giải cho bài toán,…và lắm đƣợc các
nguyên tắc, phƣơng pháp chung khi dạy họcạy những tình huống toán học
điển hình này. Nhƣ vậy thì khoảng cách giữa quá trình tìm tòi kiến thức với
quá trình phát minh kiến thức đƣợc rút ngắn lại và là cơ sở để giáo viên tạo ra
các tình huống gợi vấn đề một cách phù hợp.


 Hạn chế
Không có phƣơng pháp dạy học nào là vạn năng. Điều đó cũng thật dễ
hiểu khi ta nói phƣơng pháp phát hiện và giải quyết vấn đề là điều kiện và
phƣơng tiện tốt để đạt tới các mục đích quan trọng của nhà trƣờng, phƣơng
pháp dạy học này đòi hỏi phải có sự vận dụng thật sự sáng tạo trong điều kiện

dạy học cụ thể với những nội dung dạy học nào đó, với đối tƣơng học sinh và
môi trƣờng sƣ phạm cụ thể. Nhƣng không phải nội dung dạy học nào cũng
thực hiện đƣợc theo phƣơng pháp dạy học này.
Thật vậy, tuy có những ƣu điểm đƣợc thừa nhận không chỉ trên bình
diện những thƣc nghiệm cụ thể mà còn ở những cơ sở lý luận vững chắc,
nhƣng phƣơng pháp dạy học này vẫn còn có những hạn chế sau:
 Khó áp dụng một cách hiệu quả khi dạy học nhƣng nội dung tài liệu có
tính chất mô tả.
 Đòi hỏi sự chuẩn bị hết sức công phu, tốn nhiều công sức và thời gian
của giáo viên. Đặc biệt là việc xây dựng tình huống gợi vấn đề.
 Nếu môi trƣờng học tập chất lƣợng thấp (đối tƣợng học sinh, điều kiện
phƣơng tiện vật chất, ) mà cứ áp đặt dạy học theo phƣơng pháp phát hiện và
giải quyết vấn đề thì dẫn đến không khí tích cực giả tạo, không thích hợp, làm
lãng phí sức lao động và thời gian của giáo viên và học sinh.
b) 
Theo Đặng Vũ Hoạt ([10]), dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề có
những chức năng chung và những chức năng đặc thù sau:
 Những chức năng chung
 Giúp cho học sinh nắm hệ thống tri thức và các cách hành động thực tiễn.
 Phát triển trí tuệ học sinh đặc biệt là tính độc lập và năng lực sáng tạo,…
 Hình thành và phát triển tƣ duy biện chứng duy vật nhƣ là những cơ
sở của thế giới quan khoa học cho học sinh.


 Hình thành nhân cách phát triển toàn diện và hài hòa cho học sinh.
 Những chức năng đặc thù
 Rèn luyện cho học sinh kĩ năng, kĩ xảo vận dụng sáng tạo những tri
thức đã thu lƣợm đƣợc vào tình huống mới.
 Giúp học sinh hình thành và tích lũy kinh nghiệm hoạt động sáng tạo
(các phƣơng pháp nghiên cứu khoa học , giải quyết các vấn đề thực tiễn).

 Giúp học sinh hình thành đông cơ học tập, nhu cầu nhận thức,…
c) 

Theo Nguyễn Bá Kim ([17], tr.189- 191), dạy học phát hiện và giải
quyết vấn đề đƣợc thực hiện dƣới những hình thức sau đây:
- Ngƣời học độc lập phát hiện và giải quyết vấn đề
- Ngƣời học hợp tác phát hiện và giải quyết vấn đề
- Thầy trò vấn đáp phát hiện và giải quyết vấn đề
- Giáo viên thuyết trình phát hiện và giải quyết vấn đề
1.1.5. 
 
a) 
Nguyễn Bá Kim ([17], tr. 192- 196), đƣa ra bốn bƣớc nhƣ sau:
Bước 1: Phát hiện và thâm nhập vấn đề
- Phát hiện vấn đề từ một tình huống gợi vấn đề, thƣờng là do thầy tạo ra.
- Giải thích và chính xác hóa tình huống (khi cần thiết ), để hiểu đúng
đƣợc vấn đề đặt ra.
- Phát hiện vấn đề và đặt ra mục tiêu giải quyết vấn đề đó.
Buớc 2: Tìm giải pháp
- Tìm một cách giải quyết vấn đề, việc này thƣờng tri thứcực hiện theo
sơ đồ sau:

+


- Khi phân tích vấn đề, cần làm rõ những cái đã biết và cái cần tìm.
- Khi đề xuất và thực hiện hương giải quyết vấn đề, bên cạnh việc thu
thập số liệu, huy động tri thức thì cần phải sử dụng các thao tác tƣ duy nhƣ:
trừu tƣơng hóa, khái quát hóa, đặc biệt hóa, các kĩ năng suy luận quy lạ về
quen…để tìm hƣớng giải quyết. Tuy nhiên hƣớng giải quyết không phải là bất
biến mà trái lại nó có thể điều chỉnh, bổ sung, thậm trí bác bỏ và chuyển
hƣớng khác cho đến khi tìm ra hƣớng hợp lý.
- Kết quả của hoạt động này là hình thành một giải pháp.
- Tiếp theo là kiểm tra giải pháp, nếu giải pháp đúng thì kết thúc, nếu
giải pháp sai thì quay lại từ khâu phân tích vấn đề.
Bắt đầu
Phân tích vấn đề
Đề xuất và thực hiện hƣớng giải quyết

Giải pháp đúng
Kết thúc
Hình thành giải pháp


- Sau khi tìm đƣợc giải pháp đúng có thể tìm thêm những giải pháp khác

rồi so sánh chúng với nhau để tìm ra giải pháp hợp lý nhất.
Bước 3: Trình bày giải pháp
Khi giải quyết đƣợc vấn đề đặt ra, ngƣời học trình bày lại toàn bộ từ việc
phát biểu vấn đề cho tới giải pháp. Nếu vấn đề là một bài toán thì không cần
phát biểu lại vấn đề. Trong khi trình bày, cần tuân thủ các chuẩn mực ðề ra
trong nhà trýờng.
Bước 4: Nghiên cứu sâu giải pháp
- Tìm hiểu khả năng ứng dụng kết quả.
- Đề xuất những vấn đề có lien quan nhờ xét tƣơng tự, khái quát hóa, lật
ngƣợc vấn đề…và giải quyết nếu có thể.
b)     -        

 Hoạt động của giáo viên
Bước 1: Căn cứ vào khả năng hiện có của học sinh và tri thức cần lĩnh
hội mà đƣa vào tình huống gợi vấn đề một cách tự nhiên, không áp đặt để học
sinh dễ dàng phát hiện đƣợc vấn đề.
Bước 2: Chỉ dẫn cho học sinh tập hợp và lựa chon kiến thức cũ, phƣơng
thức hoạt động đã biết cần thiết cho việc giải quyết vấn đề.
Bước 3: Định hƣớng cho học sinh giải quyết đƣợc vấn đề chủ yếu bằng
hệ thống câu hỏi đƣợc chuẩn bị trƣớc (có thể thay đổi trƣớc mọi tình huống sƣ
phạm đa dạng, phong phú ) sao cho thỏa mãn điều kiện:
- Mỗi câu hỏi phải đƣợc suy ra từ những câu hỏi cho trƣớc.
- Đa số những câu hỏi phải là những bài toán nhỏ đƣợc chia ra từ bài toán
chính, tức là mỗi câu hỏi phải đặt học sinh vào một tình huống gợi vấn đề.
- Tập hợp những câu trả lời phải là lời giải quyết cho vấn đề ban đầu.


Bước 4: Kiểm tra từng bƣớc nhận thức của học sinh nhằm đánh giá sự
thông hiểu tri thức cũ và mới, đề ra các biện pháp thích hợp để uốn nắn, củng
cố nội dung tri thức mới.

 Hoạt động của học sinh
Bước 1: Quan sát nghiên cứu các sự kiện và phát hiện vấn đề trong tình
huống gợi vấn đề giáo viên nêu r.
Bước 2: Căn cứ vào kiến thức cũ, phƣơng thức hoạt động đã biết và sự
định hƣớng của giáo viên, tự nêu ra giả thuyết và lập kế hoạch nghiên cứu
tình huống.
Bước 3: Thực hiện kế hoạch và phát triển lời giải đáp cho tình huống.
Bước 4: Kiểm tra lời giải (theo sự hƣớng dẫn của giáo viên ).
1.1.6. 
Điểm xuất phát thực hiện dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề là tạo ra
tình huống gợi vấn đề. Chúng ta có thể tạo ra những tình huống gợi vấn đề
theo các cách thông dụng sau:
a) Dự đoán nhờ nhận xét trực quan hay thực nghiệm (tính toán, đo đạc…)
Ví dụ: Cho các phƣơng trình:
sin cos 1
3sin cos 1
3sin 2cos 5
2sin 5 cos 3
xx
xx
xx
xx



  

(?) Đặc điểm chung của những phƣơng trình này là gì?
b) Lật ngược vấn đề
Khi ta biết góc θ, ta sẽ tính đƣợc

sin

. Ngƣợc lại, nếu biết đƣợc
sin

ta
có tim đƣợc θ ?
c) Xem xét tương tự
Ví dụ: Sau khi học sinh đƣợc học thuật giải phƣơng trình
sin xm
tƣơng
tự nhƣ trên có thể yêu cầu học sinh tìm ra thuật giải phƣơng trình
cosxm
.


d) Khái quát hóa
e) Giải bài tập mà người học chưa biết thuật giải
Ví dụ: Giải phƣơng trình sau: sinx + sin2x + sin3x = 0.
Hƣớng dẫn:
Bƣớc 1: Đây là phƣơng trình chƣa có thuật giải. Ta cần biến đổi để đƣa
về phƣơng trình đã có thuật giải.
Bƣớc 2: Áp dụng công thức lƣợng giác để biến đổi đƣa về phƣơng trình
quen thuộc ( dạng phƣơng trình tích ) theo các cách sau:
Cách 1: Nhóm sin3x với sinx sau đó áp dụng công thức biến đổi tổng
thành tích để xuất hiện thừa số chung 2x, từ đó đƣa phƣơng trình về dạng tích.
Giải phƣơng trình dạng tích quy về giải phƣơng trình cơ bản.
Cách 2: Làm xuất hiện thừa số chung sinx bằng cách sử dụng công thức
nhân đôi và nhân ba. Chuyển về giải phƣơng trình cơ bản.
Bƣớc 3: Cho HS Giải phƣơng trình theo 2 cách.

Cách 1:

 
 
 
sinx sin2 sin3 0
sinx sin3 sin 2 0
2sin2 cos sin 2 0 sin2 2cos 1 0
sin 2 0
2
1
2
cos
2
2
3
xx
xx
x x x x x
x
xk
kZ
x
xk




   
     







  




  




Cách 2:
   
   
3
22
sinx sin2 sin3 0
sinx 2sin cos 3sin 4sin 0
sinx 4 4sin 2cos 0 sinx 4cos 2cos 0
sin 2 0
2
2sin cos 2cos 1 0
1
2
cos

2
2
3
xx
x x x x
x x x x
x
xk
x x x k Z
x
xk




    
      






     




  







Vậy nghiệm của phƣơng trình là
2
xk


và
2
2
3
xk


  
, k
f) Tìm sai lầm trong lời giải
Ví dụ: Giải phƣơng trình
tan tan2 1
4
xx


  



Một bạn giải nhƣ sau:
 
2
2
2
tan tan
tan 2
4
tan tan 2 1 1
4 1 tan
tan tan
4
1 tan tan 2tan 1 1
tan
1
1 tan 1 tan 2
tan
2
x
x
xx
x
x
xk
x x x
x k Z
xx








     






  

     






Bài toán này giải có đúng không ?
Nhận xét: Ta thấy
2
x


là nghiệm của phƣơng trình đã cho vì vậy lời giải
trên là không đúng.
g) Phát hiện nguyên nhân sai lầm và sửa chữa sai lầm
Ví dụ:

Giải phƣơng trình:
 
2
sinx 4cos 2cos 0xx

Một bạn có lời giải nhƣ sau:
 
 
 
2
sinx 4cos 2cos 0
sinx 0
2sin cos 2cos 1 0 cos 0
1
cos
2
2
2
2
3
xx
x x x x
x
xk
x k k Z
xk










    










  



  




Vậy nghiệm của phƣơng trình là
xk


,

2
xk


và
2
2
3
xk


  
,
kZ
.
Em có đồng tình với cách giải trên hay không, nếu không thì hãy chỉ ra
sai lầm và khắc phục cách giải đó?
Sai lầm của lời giải là HS đã không kết hợp nghiệm của phƣơng trình.
Trong 3 họ nghiệm trên, họ nghiệm thứ 2 bao hàm họ nghiệm thứ nhất.
1.1.7. 
Một câu hỏi đặt ra là: “Có nên đặt vấn đề để học sinh tự khám phá lại tất
cả các tri thức của môn học hay không ? ”
Ta thấy rằng điều đó là không thể bởi lẽ một mặt không thể có đủ thời
gian và phƣơng tiện, mặt khác không phải mọi ngƣời đều có khả năng làm
đƣợc điều đó, đều có trở thành nhà bác học hơn nữa lại là bác học trên tất cả
mọi lĩnh vực. Vì vậy, ta không yêu cầu học sinh tự khám phá tất cả các tri
thức quy định trong chƣơng trình mà thực hiện nhƣ sau:
 Cho học sinh phát hiện và giải quyết vấn đề đối với một bộ phận nội
dung học tập, có thể có sự giúp đỡ của giáo viên với mức độ ít nhiều khác nhau.
 Học sinh học không chỉ kết quả mà điều quan trọng hơn là quá trình

phát hiện và giải quyết vấn đề.
 Học sinh chỉnh đốn lại, cấu trúc lại cách nhìn đối với bộ phận tri thức
còn lại mà họ đã lĩnh hội không phải bằng con đƣờng tự phát hiện và giải
quyết vấn đề, thậm trí cũng không phải bằng cách đƣợc nghe giáo viên thuyết
trình phát hiện và giải quyết vấn đề.
1.2. THỰC TRẠNG VIỆC DẠY VÀ HỌC PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC CHO
HỌC SINH Ở TRƢỜNG THPT
1.2.1.           

 Thuận lợi
 Các em đã đƣợc làm quen với các khái niệm sin, cos, tan, cotan từ THCS.


 Nội dung chƣơng phƣơng trình lƣợng giác đóng vai trò quan trọng với
học sinh, giáo viên phải thấy đƣợc tầm quan trọng của nội dung chƣơng học
này, không chỉ phục vụ cho các em trong kì thi tốt nghiệp mà trong cả kì thi
tuyển sinh đại học.
 Nội dung chƣơng trình sách giáo khoa tƣơng đối hợp lý, yêu cầu không
quá cao.
 Khó khăn
Qua thời gian giảng dạy cùng các đồng nghiệp trong những năm qua tại
địa phƣơng, chúng tôi nhận thấy việc giảng dạy môn toán ở địa phƣơng còn
gặp nhiều khó khăn. Đặc biệt với phân môn lƣợng giác, là một phân môn khó
trong chƣơng trình phổ thông. Việc tiếp cận phân môn này là tƣơng đối mới
mẻ với học sinh, do đó khi giảng dạy giáo viên cũng không tránh khỏi những
sai sót, lúng túng và đặc biệt là chƣa có phƣơng pháp phù hợp với việc giảng
dạy lƣợng giác hiệu quả. Học sinh khi học phần này thƣờng học một cách
máy móc rập khuôn, không hiểu bản chất của vấn đề, riêng đối với phƣơng
trình lƣợng giác (là những phƣơng trình siêu việt đầu tiên mà học sinh gặp
trong phƣơng trình phổ thông) , là cầu nối giữa phƣơng trình đại số ( phƣơng

trình vô tỉ, phƣơng trình chứa ẩn ở mẫu…) với các phƣơng trình khác nhƣ
phƣơng trình mũ, phƣơng trình logarit.
Giải phƣơng trình lƣợng giác cần rất nhiều kiến thức về phƣơng trình
nhƣ miền xác định của phƣơng trình, biến đổi phƣơng trình tƣơng đƣơng,
phƣơng trình hệ quả, ngoài ra học sinh còn phải biết các phép biến đổi lƣợng
giác, tính đơn điệu, tính tuần hoàn…
Mặt khác , trình độ nhận thức của học sinh trƣờng THPT ở địa phƣơng
không đồng đều, kĩ năng tính toán biến đổi, vận dụng công thức của học sinh
còn yếu. Khi giải các phƣơng trình lƣợng giác còn xảy ra tình trạng nhầm
nghiệm, chƣa biết kết hợp nghiệm của phƣơng trình trên đƣờng tròn lƣợng
giác dẫn đến thiếu nghiệm hoặc chƣa biết loại nghiệm.


Do khả năng tƣ duy và kĩ năng biến đổi phƣơng trình của học sinh còn
kém nên nhiều em chƣa phân biệt đƣợc các loại phƣơng trình, áp dụng cách giải
còn dập khuôn chƣa linh hoạt do đó nó có những điểm mới cần đòi hỏi ngƣời
giáo viên phải nghiên cứu tìm tòi, đƣa ra những phƣơng pháp dạy học thích hợp
nhất nhằm giúp học sinh hiểu một cách sâu sắc về phân môn lƣợng giác.
Lƣợng tiết học của chƣơng còn hạn chế.
1.2.2. 

Hiện nay, việc áp dụng các phƣơng pháp mới vào dạy học ở trƣờng phổ
thông chƣa thực sự hiệu quả, đổi mới phƣơng pháp dạy học chƣa đƣợc tiến
hành với phần đông giáo viên đang trực tiếp giảng dạy trên lớp hiện nay.
Giáo viên khi dạy học phƣơng trình lƣợng giác theo hƣớng phát hiện và giải
quyết vấn đề còn gặp rất nhiều khó khăn, lúng túng…
Về phía học sinh, đa số các em vẫn chƣa thích nghi với phƣơng pháp dạy
học mới, học sinh vẫn học một cách thụ động: Đợi giáo viên giảng giải và các
em ghi chép…Do đó gây khó khăn cho giáo viên khi đƣa phƣơng pháp mới
vào dạy học, cụ thể là dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề .

Ngoài ra, kiến thức và phân phối thời gian của phần chƣơng trình lƣợng
giác trong chƣơng trình lớp 11 THPT rất ít nên cũng tạo khó khăn cho giáo
viên khi thiết kế tình huống gợi vấn đề.
Bên cạnh đó, một số giáo viên chƣa chịu khó tìm tòi học hỏi và đầu tƣ
thời gian công sức vào việc vận dụng phƣơng pháp mới, đặc biệt là phát hiện
và giải quyết vấn đề, giáo viên chƣa chịu khó đầu tƣ xây dựng những tình
huống gợi vấn hay những câu hỏi chứa vấn đề …
Đối với nội dung phƣơng trình lƣợng giác, hầu nhu giáo viên chỉ nêu các
khái niệm, đƣa ra phƣơng pháp giải một số loại phƣơng trình lƣợng giác đơn
giản, sau đó cho các em làm theo mẫu.


Cũng có những giáo viên đã cố gắng thực hiện dạy học phƣơng trình lƣợng
giác theo hƣớng phát hiện và giải quyết vấn đề nhƣng chƣa thật sự hiệu quả,
chƣa tích cực hóa và khơi dạy đƣợc năng lực học tập của tất cả các đối tƣợng
học sinh. Đôi khi dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề còn bị nhầm lẫn với
phƣơng pháp đàm thoại thông thƣờng: thầy trò tiến hành vấn đáp tuy thầy đặt
nhiều câu hỏi nhƣng các câu hỏi này chỉ đòi hỏi việc tái hiện kiến thức.
Ngoài ra, do chƣa nắm vững lí luận về kiểu dạy học này, nên không có ít
giáo viên gặp khó khăn khi thiết kế tình huống gợi vấn đề, chƣa đƣa ra đƣợc
những tình huống gợi nhu cầu tìm tòi học hỏi của học sinh và trong quá trình
thực hiện dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề giáo viên chƣa làm tốt điều
khiển học sinh tự thực hiện hoặc hòa nhập vào quá trình nghiên cứu vấn đề,
và trong quá trình nghiên cứu vấn đề học sinh rất hay bỏ qua hoặc lẫn lộ giữa
các bƣớc: phát hiện hoặc thâm nhập vấn đề, tìm giải phát, trình bày giải pháp,
nghiên cứu sâu vấn đề.
1.3. KẾT LUẬN CHƢƠNG 1
Trong chƣơng này, luận văn đã nghiên cứu cơ sở lí luận trình bày một số
vấn đề về phƣơng pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề và đƣa ra một số
cách thông dụng để tạo tình huống gợi vấn đề. Qua đó thấy đƣợc rằng phƣơng

pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề là phƣơng pháp mang tính hiện đại,
nó đáp ứng một số yêu cầu về dạy học và tích cực hóa hoạt động của học sinh.
Luận văn đi tìm hiểu thực trạng của việc dạy và học môn Toán ở trƣờng
THPT, nêu ra đƣợc những thuận lợi và khó khăn khi dạy phƣơng trình lƣợng
giác, thực tiễn việc vận dụng phƣơng pháp phát hiện và giải quyết vấn đề vào
dạy nội dung phƣơng trình lƣợng giác.
Từ đó cho thấy sự cần thiết và có thể xây dựng phƣơng án dạy học nội
dung phương trình lượng giác bằng phƣơng pháp phát hiện và giải quyết vấn
đề ở lớp 11 trƣờng THPT. Trên cơ sở lí luận và thực tiễn này, chúng tôi đề ra
giải pháp cụ thể ở chƣơng 2.


CHƢƠNG 2- VẬN DỤNG PHƢƠNG PHÁP PHÁT HIỆN
VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ VÀO DẠY HỌC PHƢƠNGTRÌNH LƢỢNG
GIÁC Ở TRƢỜNG THPT

2.1. NỘI DUNG PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC
Các phƣơng trình lƣợng giác đƣợc nghiên cứu trong chƣơng trình phổ
thông rất đa dạng về thể loại, phong phú về phƣơng pháp giải, vì vậy một
trong những yêu cầu quan trọng mà giáo viên phải đạt đƣợc là giúp học sinh
nhận dạng đƣợc các phƣơng trình lƣợng giác khác nhau và thể hiện đƣợc các
phƣơng pháp giải của chúng. Có nhiều cách phân phƣơng trình lƣợng giác,
chẳng hạn nhƣ trong sách giáo khoa Đại số và giải tích lớp 11 thì các phƣơng
trình lƣợng giác đƣợc phân thành:
 Phƣơng trình lƣợng giác cơ bản.
 Một số phƣơng trình lƣợng giác thƣờng gặp (phƣơng trình bậc nhất
đối với một hàm lƣợng giác, phƣơng trình bậc hai đối với một hàm lƣợng
giác, phƣơng trình bậc nhất đối với sin x và cos x). (Đối với ban cơ bản)
Hoặc với ban nâng cao cách phân chia nhƣ sau
 Phƣơng trình lƣợng giác cơ bản.

 Một số phƣơng trình lƣợng giác đơn giản (Phƣơng trình bậc nhất và
bậc hai đối với một hàm lƣợng giác, phƣơng trình đối xứng với sin x và cos x;
phƣơng trình đối xứng thuần nhất bậc hai đối với sin x và cos x).
Cách phân chia nhƣ vậy có ƣu điểm là chi tiết, cụ thể và có tính truyền
thống. Tuy nhiên, chƣa nhấn mạnh đến các đặc điểm về dạng thức và phƣơng
pháp giải. Do đó cần thiết phải sử dụng hệ thống phân dạng trên với một sự thay
đổi thích hợp về cách sắp sếp tổ chức lại,để có một hệ thống phân dạng đầy đủ,
chi tiết đảm bảo truyền thống, nhƣng cũng tao điều kiện giúp học sinh nhận dạng
phƣơng trình và tìm chọn đƣợc giải pháp thể hiện phƣơng pháp giải nhanh chóng.



Chi tiết hơn, chúng ta có thể phân dạng các phƣơng trình lƣợng giác nhƣ sau:
1. Phƣơng trình lƣợng giác cơ bản
2. Phƣơng trình bậc nhất đối với sin x và cos x.
3. Một số dạng phƣơng trình lƣợng giác giải bằng cách đặt ẩn phụ
 Phƣơng trình đa thức với một hàm số lƣợng giác.
 Phƣơng trình đối xứng với sin x và cos x.
 Phƣơng trình đẳng cấp đối với sin x và cos x.
4. Các phƣơng trình lƣợng giác có thể biến đổi về dạng tích.
5. Các phƣơng trình lƣợng giác với điều kiện ràng buộc về ẩn.
6. Các phƣơng trình lƣợng giác không mẫu mực
Các phƣơng trình không mẫu mực giải đƣợc dựa vào các tính chất của
hàm số, dựa vào đồ thị hàm số.
2.1.1. 
Dạng
sin ;cos ;tan ;cot .x m x m x m x m   

Đây là lớp phƣơng trình đơn giản nhất nhƣng quan trọng nhất vì việc
giải phƣơng trình lƣợng giác nào cũng dẫn tới giải một trong những phƣơng

trình dạng này.
Điều kiện có nhiệm và công thức nghiệm của phƣơng trình lƣợng giác cơ
bản đƣợc thể hiện ở bảng sau:







TT
Loại phƣơng
trình
Điều kiện có nghiệm
Công thức nghiệm
1
sin xm

1m 

 
2
2
xk
kZ
xk

  





  


(α là cung sao cho sin α=m)
2
cosxm

1m 

 
2x k k Z

   

(α là cung sao cho cos α=m)
3
tanxm

m¡

 
2
xk
kZ
xk













(α là cung sao cho tan α=m)
4
cot xm

m¡

 
xk
kZ
xk









(α là cung sao cho cot α=m)

Các phƣơng trình lƣợng giác cơ bản còn có dạng tƣơng đƣơng:
sin 0; cos 0; tan 0; cot 0.a x b a x b a x b a x b       

(Với
, ; 0a b a¡
)
Hoặc
sin sin ;cos cos ;tan tan ;cot cot .x x x x
   
   
(với α là góc đã cho).
Các phƣơng trình lƣợng giác gần cơ bản, chữ gần để chỉ các phƣơng
trình dạng:
sin (x) m;cos (x) m;tan (x) m;cot (x) ;cos (x) cos (x);sin (x) sin (x);
tan (x) tan (x);cot (x) cot (x).
f f f f m f g f g
f g f g
     


2.1.2. 
sin x
và
cos x

Là phƣơng trình dạng
cos sin (a,b,c )a x b x c  ¡

 Nếu một trong ba hệ số a, b, c bằng 0, phƣơng trình thành phƣơng
trình bậc nhất đối với một hàm lƣợng giác.

 Nếu a, b, c khác 0 thì phƣơng trình đƣợc giải bằng cách sau:


Chia cả hai vế của phƣơng trình cho
22
ab
ta đƣợc:
2 2 2 2 2 2
cos sin
a b c
xx
a b a b a b

  

Vì
22
2 2 2 2
1
ab
a b a b
   

   

   
nên ta có thể đặt
 
 
2 2 2 2

cos 0,2 sin
ab
a b a b
   
   


Ta có
 
2 2 2 2 2 2
22
22
cos sin
cos sin
cos cos sin .sin
os
a x b x c
a b c
xx
a b a b a b
c
xx
ab
c
cx
ab



  

  
  

  


Điều kiện để phƣơng trình có nghiệm là
2 2 2
22
1
c
a b c
ab
   

.
2.1.3. Các dạng phƣơng trình lƣợng giác giải bằng cách đặt ẩn phụ
Các phƣơng trình lƣợng giác có thể đại số hóa gồm:
a) Phƣơng trình đa thức với một hàm số lƣợng giác là các phƣơng
trình dạng
       
sin 0; cos 0; tan 0; cot 0f x f x f x f x   
trong đó
 
0fu
là một đa
thức chƣa biến u.
b) Phƣơng trình đối xứng (hay gần đối xứng ) đối với
sin x
và

cos x
: là
phƣơng trình dạng
 
f sin os x, sin x. cos x 0xc
, trong đó f(u,v) là một đa thức
của hai biến số u, v. Để học sinh để quan niệm thế nào là một phƣơng trình
lƣợng giác đối xứng với sin x và cos x có thể sử dụng một trong 2 cách diễn
đạt khác, kém chính xác hơn, nhƣng dễ hiểu hơn: phƣơng trình đối xứng với
sin x và cos x là những phƣơng trình trong đó có sự tham gia của sinx và