Rèn luyện kỹ năng giải phương trình lượng giác cho học sinh trung học phổ thông
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (792.71 KB, 98 trang )
ĐẠIHỌCQUỐCGIAHÀNỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC
NGUYỄN THỊ HIỀN
RÈN LUYỆN KỸ NĂNG
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN
HÀ NỘI - 2014
ĐẠIHỌCQUỐCGIAHÀNỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC
NGUYỄN THỊ HIỀN
RÈN LUYỆN KỸ NĂNG
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN
CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC
(BỘ MÔN TOÁN)
Mã số: 60 14 01 11
Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Thành Văn
HÀ NỘI - 2014
i
LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình làm luận văn “Rèn luyện kỹ năng giải phương trình lượng
giácchohọcsinhtrunghọcphổthông”emđãnhậnđượcsựgiúpđỡchiasẻtậntình
từthầycô,giađìnhvàbạnbè.
EmxinbàytỏlòngbiếtơnchânthànhvàsâusắcđếnPhógiáosư,Tiếnsĩ
NguyễnThànhVănđãnhiệttìnhgiúpđỡemtrongquátrìnhlàmluậnvăn.Thầy
đãhướngdẫnvàgópýrấtnhiềuđểluậnvăncủaemđượchoànthiệnhơn.
Kếtquảcủaluậnvăncũnggắnliềnvớisựgiúpđỡvàdạybảotậntìnhcủacác
thầycôgiáotrongtrườngĐạihọcGiáoDụctrongsuốtquátrìnhhọctập.Bangiám
hiệu,cácthầygiáo,côgiáocũngnhưcácemhọcsinhtrườngTrunghọcphổthông
VânNộiđãtạođiềukiệnthuậnlợichoemhoànthànhluậnvăn.Trongquátrình
họctậpvàlàmluậnvăn,emcũngnhậnđượcsựgiúpđỡ,độngviêntừgiađình,bạn
bè,đồngnghiệpvàtậpthểlớpLýluậnvàphươngphápdạyhọcbộmôntoánK8.
Emxinbàytỏlòngbiếtơnvềtấtcảnhữngsựgiúpđỡquýbáuđó.
Tuyđãcốgắngtrongquátrìnhlàmluậnvănnhưngluậnvănkhôngthểtránh
khỏinhữngthiếusótvàhạnchế,kínhmongquýthầycôvàcácbạnđọcgiảgópý.
HàNội,tháng11năm2014
Tácgiả
NguyễnThịHiền
ii
MỤC LỤC
Lời cảm ơn i
Mục lục ii
Danh mục các bảng iv
MỞ ĐẦU 1
Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 4
1.1.Dạyhọcgiảibàitậptoán 4
1.1.1.Mụcđích 4
1.1.2.Vaitrò 4
1.1.3.Ýnghĩa 5
1.2.Kỹnăngvàkỹnănggiảitoán 6
1.2.1.Quanniệmvềkỹnăng,kỹnănggiảitoán 6
1.2.2.Sựhìnhthànhkỹnăng 6
1.2.3.Điềukiệnđểcókỹnăng 8
1.2.4.Cácmứcđộcủakỹnănggiảitoán 8
1.3.Nhiệmvụrènluyệnkỹnănggiảitoánchohọcsinh 8
1.3.1.Mụctiêudạymôntoán 8
1.3.2.Yêucầurènluyệnkỹnănggiảitoánchohọcsinhtrunghọcphổthông 9
1.4.Giảipháprènluyệnkỹnănggiảitoánchohọcsinh 9
1.4.1.Tổchứccáchoạtđộnghọctậpđảmbảotínhchủđộng,tíchcực,độclập
củahọcsinhtrongquátrìnhchiếmlĩnhtrithứcvàrènluệnkỹnăng 9
1.4.2.Trangbịcáctrithứcvềphươngphápgiảitoánchohọcsinh 10
1.4.3.Quytrìnhhìnhthànhkỹnănggiảiphươngtrìnhlượnggiácchohọcsinh 11
1.5.Thựctrạngdạyvàhọcphươngtrìnhlượnggiácởtrườngtrunghọcphổ
thông 11
1.5.1.Thựctrạnghọcphươngtrìnhlượnggiácởtrườngtrunghọcphổthông 11
1.5.2.Thựctrạngdạyphươngtrìnhlượnggiácởtrườngtrunghọcphổthông 12
Kếtluậnchương1 14
CHƯƠNG 2: RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG
GIÁC CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 15
2.1.Cấutrúcnộidungphầnphươngtrìnhlượnggiác 15
iii
2.1.1.Mụctiêuchung 15
2.1.2.Cấutrúcnộidung 16
2.2.Cácphươngphápgiảiphươngtrìnhlượnggiác 16
2.2.1.Phươngphápđặtẩnphụ 16
2.2.2.Sửdụngcáccôngthứclượnggiácđểgiảiphươngtrìnhlượnggiác 37
2.2.3.Phươngphápđưavềdạngtích 44
2.2.4.Phươngphápđánhgiá 49
2.2.5.Mộtsốbàitoángiảiphươngtrìnhlượnggiáckhác 55
2.3.Mộtsốgiáoánminhhọa 57
2.3.1.Giáoán1 58
2.3.2.Giáoán2 67
2.3.3.Giáoán3 73
Kếtluậnchương2 81
CHƯƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 82
3.1Mụcđíchvànhiệmvụthựcnghiệm 82
3.1.1.Mụcđíchthựcnghiệm 82
3.1.2.Nhiệmvụthựcnghiệm 82
3.2.Nộidungthựcnghiệm 82
3.3.Tổchứcthựcnghiệm 82
3.3.1.Kếhoạch 82
3.3.2.Tiếnhànhthựcnghiệmsưphạm 83
3.4.Kếtquảthựcnghiệmsưphạm 83
3.4.1.Kếtquảthựcnghiệmsưphạm 83
3.4.2.Xửlýkếtquảthựcnghiệmsưphạm 84
3.4.3.Phântíchkếtquảthựcnghiệmsưphạm 86
Kếtluậnchương3 88
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 89
TÀI LIỆU THAM KHẢO 91
PHỤ LỤC 92
iv
DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng3.1.Kếtquảbabàikiểmtra 84
Bảng 3.2. Bảng
tổng hợp các tham số
của
hai nhóm ĐC và
TN
(Bàikiểmtrathứ
nhất) 85
Bảng 3.3. Bảng
tổng hợp các tham số
của
hai nhóm ĐC và
TN(Bài
kiểm
trathứ
hai)
85
Bảng 3.4. Bảng
tổng hợp các tham số
của
hai nhóm ĐC và
TN(Bài
kiểm
trathứ
ba)
85
Bảng3.5.Bảngtổnghợpđạilượngkiểmđịnhcủacácbàikiểmtra 86
1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trongnềnkinhtếthếkỷ21cùngvớisựbùngnổcủatrithức,sựbùngnổcủa
khoahọccôngnghệthìviệcđổimớiGiáodụclàmộtđiểutấtyếu.Vàđểnângcao
chấtlượngnguồnnhânlực,đổimớitoàndiệnvàpháttriểnnhanhgiáodụcvàđào
tạoĐảngtađãđặtramụctiêupháttriểngiáodụclàquốcsáchhàngđầu.Pháttriển
conngườiViệtNamtoàndiệnvớitưcáchlàđộnglựccủasựnghiệpxâydựngxã
hộimớiđồngthờilàmụctiêucủachủnghĩaxãhội.Đólà“conngườipháttriểncao
vềtrítuệ,cườngtrángvềthểchất,phongphúvềtinhthần,trongsángvềđạođức”.
VìvậyđổimớitrongGiáodụcphùhợpvớimụctiêutrênchínhlàđổimớinộidung,
chươngtrìnhvàkhôngthểkhôngđổimớiphươngpháphọcnhưthếnàovàdạynhư
thếnào?
Trongcácmônhọcởbậctrunghọcphổthông,môntoáncóvaitròquantrọng
trongviệcpháttriểntrítuệchohọcsinh,cungcấpchocácemkiếnthứccơbản,cần
thiếtđểhọctậpcácmônhọckhácvàgiảiquyếtmộtsốbàitoánthựctiễn.Kỹnăng
giảitoáncómộtvịtríđặcbiệtquantrọng,bởivìkhôngcókỹnăngthìkhôngthể
pháttriểnđượctưduyvàlốithoátchobàitoán.Vìvậyviệcrènluyệnkỹnănggiải
toánchohọcsinhlàmộtyêucầucủaviệcđổimớiphươngphápdạyhọchiệnnay.
Phương trình là mảng kiến thức cơ bản, quan trọng và xuyên suốt trong
chươngtrìnhToánphổthông,trongđócóphươngtrìnhlượnggiác.Cácbàitoán
vềphươngtrìnhlượnggiácthườngxuấthiệntrongcáckìthituyểnsinhđạihọc,
caođẳng vàcác kì thi họcsinhgiỏi.Để giải được thành thạocác phươngtrình
lượnggiáckhôngnhữngcácemphảinắmvữngcácphươngtrìnhlượnggiáccơ
bản mà còn phải biết nhận dạng, vận dụng linh hoạt các phương pháp giải cho
từngphươngtrìnhlượnggiác.Vìvậybêncạnhyếutốquantrọngđểgiảiphương
trìnhlượnggiáclàkhảnăngsángtạobẩmsinhcủacácemthìviệcgiáoviênhệ
thốngcácdạngbàitậpnhằmrènluyệnkỹnănggiảiphươngtrìnhlượnggiáccho
họcsinhlàrấtcầnthiết.
Từnhữnglýdonóitrênvớimongmuốngópphầnnângcaochấtlượngdạyvà
họcnộidungphươngtrìnhlượnggiác,tôichọnđềtàinghiêncứuluậnvănlà“Rèn
luyệnkỹnănggiảiphươngtrìnhlượnggiácchohọcsinhtrunghọcphổthông”.
2
2. Mục đích nghiên cứu
Xácđịnhnộidungvàphươngpháprènluyệnkỹnănggiảiphươngtrìnhlượng
giácchochọsinhtrêncơsở trìnhbàycácphươngphápgiảiphương trìnhlượng
giácnhằmgópphầnnângcaochấtlượngdạyvàhọcmôntoán.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
-Nhiệmvụ1.Nghiêncứulýluậnvềdạyhọcgiảibàitậptoán,kỹnănggiảitoán.
-Nhiệmvụ2.Nghiêncứuthựctrạngdạyvàhọcgiảiphươngtrìnhlượnggiác
ởtrườngtrunghọcphổthông,cấutrúcnộidungchươngtrìnhphầnphươngtrình
lượnggiác.
-Nhiệmvụ3.Xâydựngcácbàitậpvàgiáoánnhằmrènluyệnkỹnănggiải
phươngtrìnhlượnggiácchohọcsinh.
-Nhiệmvụ4.Thựcnghiệmsưphạmnhằmkiểmnghiệmtínhkhảthivàhiệu
quảcủađềtài.
4. Khách thể và đối tượng nghiên cứu
4.1. Khách thể nghiên cứu
Là quá trình dạy học giải phương trình lượng giác ở trường trung học phổ
thông.
4.2. Đối tượng nghiên cứu
Làcácbiệnphápsưphạmnhằmrènluyệnkỹnănggiảiphươngtrìnhlượng
giáccủahọcsinh.
5. Phạm vi nghiên cứu
-Mẫukhảosát:Họcsinhlớp11nămhọc2013-2014trườngTHPTVânNội–
ĐôngAnh–HàNội.
-Phạmvi vềthờigian: Từtháng1/2014đến12/2014và kinh nghiệmthực
giảngởtrườngtrunghọcphổthôngVânNội–ĐôngAnh–HàNội.
-Phạmvivềnộidung:Cácphươngphápgiảiphươngtrìnhlượnggiácvàvídụ.
6. Vấn đề nghiên cứu
Làmthếnàođểrènluyệnkỹnănggiảiphươngtrìnhlượnggiácchochọsinh
trunghọcphổthông?
7. Giả thuyết nghiên cứu
Nếuhệthốngđượccáckỹnăngnhậndạngvàgiảimộtsốloạiphươngtrình
3
lượnggiác,lựachọnđượccácvídụ,cácbàitậpvàcóbiệnpháprènluyệnkỹnăng
giảiphươngtrìnhlượnggiácthìsẽgiúpcácemhọcsinhhọctốtnộidungphương
trìnhlượnggiácvàtạođượchứngthúđểhọcmôntoán.
8. Ý nghĩa lý luận và thực tiễn của đề tài
8.1. Ý nghĩa lý luận
Cungcấpmộtcáchhệthốngvàrõràngcơsởlýluậnvềkỹnănggiảitoán.
8.2. Ý nghĩa thực tiễn
Nhữngphươngphápgiảiphươngtrìnhlượnggiácđưaratrongđềtàigiúprèn
luyệnđượckỹnănggiảiphươngtrìnhlượnggiácchohọcsinh.
9. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiêncứulýluậnvàphântíchtổnghợp:Thựchiệnnhiệmvụ1,3.Đọcsách,
thamkhảotàiliệu,cácbàibáo,bàinghiêncứutrướcđểtìmhiểuvềkỹnănggiảitoán,
vềdạyhọcgiảibàitậptoán.Đồngthờitìmhiểucácbiệnphápđượcđềxuấtđểrèn
luyệnkỹnănggiảiphươngtrìnhlượnggiácchohọcsinh.
-Phươngphápnghiêncứuthựctiễn:Thựchiệnnhiệmvụ2,3.Sửdụngphiếu
điềutravềtìnhhìnhdạyvàhọcphươngtrìnhlượnggiác.Phỏngvấntrựctiếpgiáo
viênvàhọcsinhvềcácbiệnpháprènluyệnkỹgiảiphươngtrìnhlượnggiác.
-Phươngphápthựcnghiệmsưphạm:Thựchiệnnhiệmvụ4.Soạnvàdạythực
nghiệmmộtsốgiáoánvềgiảiphươngtrìnhlượnggiác,sauđóphátphiếuđiềutra
lấythôngtinphảnhồitừngườihọcđểđánhgiátínhkhảthivàhiệuquảcủađềtài.
10. Cấu trúc luận văn
Ngoàiphầnmởđầu,kếtluận,luậnvănđượctrìnhbàytrong3chương
Chương1.Cơsởlýluậnvàthựctiễn
Chương2.Rènluyệnkỹnănggiảiphươngtrìnhlượnggiácchohọcsinh
Chương3.Thựcnghiệmsưphạm.
4
Chương 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Dạy học giải bài tập toán
Ở truờngphổthông,dạytoán là dạyhoạt động toán học. Đốivới học sinh
có thể xem giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toánhọc.Cácbàitập
toánởtrừơngphổthônglàmộtphươngtiệnrấtcóhiệuquảvàkhôngthểthaythế
đượctrongviệcgiúphọcsinhnắmvữngtrithức,pháttriểntưduy,hìnhthànhkỹ
năngkĩxảo,ứngdụngtoánhọcvàothựctiễn.Hoạtđộnggiảibàitậptoánlàđiều
kiệnđểthực hiệntốt các nhiệmvụ dạy họctoánởtrườngphổthông.Vìvậy,tổ
chứccóhiệuquảviệcdạygiảibàitậptoánhọccóvaitròquyếtđịnhđốivớichất
lượngdạyhọctoán.
1.1.1. Mục đích
Mộttrongnhữngmụcđíchdạytoánởtrườngphổthônglà:
Pháttriểnởhọcsinhnhữngnănglựcvàphẩmchấttrítuệ,giúphọcsinhbiến
nhữngtrithứckhoahọccủanhânloạiđượctiếpthuthànhkiếnthứccủabảnthân,
thànhcôngcụđểnhậnthứcvàhànhđộngđúngđắntrongcáclĩnhvựchoạtđộng
cũngnhưtronghọctậphiệnnayvàsaunày.
Làmchohọcsinhnắmđượcmộtcáchchínhxác,vữngchắcvàcóhệthống
nhữngkiếnthứcvàkỹnăngtoánhọcphổthôngcơbản,hiệnđại,phùhợpvớithực
tiễnvàcónănglựcvậndụngnhữngtrithứcđóvàonhữngtìnhhuốngcụthể,vào
đờisống,vàolaođộngsảnxuất,vàoviệchọctậpcácbộmônkhoahọckhác.
1.1.2. Vai trò
Ởtrườngphổthông,dạytoán là dạyhoạtđộng toánhọc. Đốivới học sinh
có thể xem giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toánhọc.Cácbàitập
toánởtrừơngphổthônglàmộtphươngtiệnrấtcóhiệuquảvàkhôngthểthaythế
đượctrongviệcgiúphọcsinhnắmvữngtrithức,pháttriểntưduy,hìnhthànhkỹ
năngkĩxảo,ứngdụngtoánhọcvàothựctiễn.Hoạtđộnggiảibàitậptoánlàđiều
kiệnđểthực hiệntốt các nhiệmvụ dạy họctoánởtrườngphổthông.Vìvậy,tổ
chứccóhiệuquảviệcdạygiảibàitậptoánhọccóvaitròquyếtđịnhđốivớichất
lượngdạyhọctoán.
5
Toán học có vai trò lớn trong đời sống, trong khoa học vàcôngnghệhiện
đại,kiếnthứctoánhọclàcôngcụđểhọcsinhhọctốtcácmônhọckhác,giúphọc
sinhhoạtđộngcó hiệu quả trong mọi lĩnh vực. Các-Mácnói“Mộtkhoahọcchỉ
thựcsựpháttriểnnếunócóthểsửdụngđượcphươngphápcủatoánhọc”.
Môntoáncókhảnăngtolớngiúphọcsinhpháttriểncácnănglựctrítuệnhư:
phân tích, tổng hợp, so sánh, đặc biệt hóa, khái quát hóa Rèn luyệnnhững
phẩmchất,đứctínhcủangườilaođộngmớinhư:tínhcẩnthận,chínhxác,tínhkỷ
luật,khoahọc,sángtạo
1.1.3. Ý nghĩa
Ở trường phổ thông giải bài tập toán là hình thức tốt nhất để củng cố, hệ
thốnghóakiếnthức và rèn luyện kỹ năng, là một hình thức vận dụng kiếnthức
đãhọcvàonhữngvấnđềcụthể,vàothựctế,vàonhữngvấnđềmới, làhìnhthức
tốt nhất để giáo viên kiểm tra về năng lực, về mức độ tiếp thu vàkhảnăngvận
dụngkiếnthứcđãhọc.Việcgiảibàitậptoáncótácdụnglớntrongviệcgâyhứng
thú học tậpcho học sinh nhằm phát triển trí tuệ và góp phần giáo dục, rèn
luyện conngườihọcsinhvềnhiềumặt.
Mỗibàitậptoánđặtraởmộtthờiđiểmnàođócủaquátrìnhdạyhọcđềuchứa
đựng một cách tường minh hay ẩn tàng những chức năng khác nhau.Cácchức
năngđólà:
- Chức năng dạy học: Bài tập toán nhằm hình thành củng cố cho học sinh
nhữngtrithức,kỹnăng,kĩxảoởcácgiaiđoạnkhácnhaucủaquátrìnhdạyhọc.
- Chức năng giáo dục: Bài tập toán nhằmhình thành cho học sinh thếgiới
quanduyvậtbiệnchứng,hứngthúhọctập,sángtạo,cóniềntinvàphẩmchấtđạo
đứccủangườilaođộngmới.
-Chứcnăngpháttriển:Bàitậptoánnhằmpháttriểnnănglựctưduychohọc
sinh,đặcbiệtlàrènluyệnnhữngthaotáctrítụê hìnhthànhnhữngphẩmchấtcủa
tưduykhoahọc.
-Chứcnăngkiểmtra:Bàitậptoánnhằmđánhgiámứcđộkếtquảdạyvàhọc,
đánh giá khả năng độc lập học toán, khả năng tiếp thu, vận dụng kiếnthứcvà
trìnhđộpháttriểncủahọcsinh.
Hiệuquảcủaviệcdạytoánởtrườngphổthôngphầnlớnphụthuộcvàoviệc
6
khaithácvàthựchiệnmộtcáchđầyđủcácchứcnăngcóthểcócủacáctácgiảviết
sáchgiáokhoađãcódụngýđưavàochươngtrình.Ngườigiáoviênphảicónhiệm
vụkhámphávàthựchiệndụngýcủatácgiảbằngnănglựcsưphạmcủamình.
Việc giảimột bài toáncụthểkhôngnhữngnhằmmộtdụng ýđơn nhấtnào
đómàthườngbaohàmýnghĩanhiềumặtnhưđãnêuởtrên.
1.2. Kỹ năng và kỹ năng giải toán
1.2.1. Quan niệm về kỹ năng, kỹ năng giải toán
Kháiniệm“kỹnăng”đượcsửdụngnhiềutrongmôntoáncũngnhưtrongđời
sống.Vậykỹnănglàgì?
Theo[12]“Kỹ nănglànănglựcsửdụngcácdữkiện,cáctri thứchaycác
kháiniệmđãcó,nănglựcvậndụngchúngđểpháthiệnnhữngthuộctính,bảnchất
củacácsựvậtvàgiảiquyếtthànhcôngnhiệmvụlíluậnhaythựchànhxácđịnh”.
Theo[12]“Kỹ nănglàkhảnăngvậndụngtrithứckhoahọcvàothựctiễn”.
Trongđókhảnăngđượchiểulàsứcđãcóvềmặtnàođóđểcóthểlàmtốtviệcgì.
Theo[9]“Kỹ nănglàmộtnghệthuật,làkhảnăngvậndụngnhữnghiểubiết
cóđượcởbạnđểđạtđượcmụcđíchcủamình,kỹ năngcòncóthểđặctrưngnhư
toànbộcácthóiquennhấtđịnh,kỹ nănglàkhảnănglàmviệccóphươngpháp”.
Theo[8]“Trongtoánhọckỹ nănglàkhả nănggiảibàitoán,thực hiện các
chứngminhcũngnhưphântíchcóphêpháncáclờigiảivàchứngminhnhậnđược”.
Từnhữngquanniệmtrênvềkỹnăngtôichorằng:Kỹnănggiảitoánlàkhả
năng vận dụng những kiến thức trong nội dung môn toán bao gồm: Địnhnghĩa,
khái niệm, định lý, thuật giải, phương pháp
và kiến thức một số môn học khác
cũngnhưkiếnthứcthựctếđểgiảiquyếtnhữngbàitoán.
1.2.2. Sự hình thành kỹ năng
Theotừđiểngiáodụchọc,đểhìnhthànhđượckỹnăngtrướchếtcầncókiến
thức làm cơ sở cho việc hiểu biết, luyện tập từng thao tác riêng rẽ chođến khi
thực hiện được hành động theo đúng mục đích, yêu cầu…Do kiếnthứclàcơsở
củakỹnăngchonêntùytheokiếnthứchọcsinhcầnnắmđượcmàcónhữngyêu
cầurènluyệnkỹnăngtươngứng.
Kỹ năngchỉđược hình thành thông qua quá trình tư duy để giải quyết các
nhiệmvụđặtra.Khitiếnhànhtưduytrêncácsựvậtthìchủthểthườngphảibiến
7
đổi, phân tích đối tượng để tách ra các khía cạnh và những thuộc tínhmới.Quá
trìnhtưduydiễnranhờcácthaotácphân tích,tổnghợptrừutượnghóavàkhái
quáthóacho tớikhihìnhthành đượcmôhình vềmột mặtnàođócủađốitượng
mangýnghĩabảnchấtđốivớiviệcgiảibàitoánđãcho.
Conđườnghìnhthànhkỹnăngrấtphongphúvànóphụthuộcvàocácthamsố
như:Kiếnthứcxácđịnhkỹnăng,yêucầurènluyệnkỹnăng,mứcđộtíchcực,chủ
độngcủahọcsinh.Cóhaiconđườngđểhìnhthànhkỹnăngchohọcsinhdólà:
-Truyềnthụchohọcsinhnhữngtrithứccầnthiết,rồisauđóđềrachohọc
sinhnhữngbàitoánvậndụngnhữngtrithứcđó.Từđóhọcsinhsẽphảitìmtòicách
giải,bằngnhữngconđườngthửnghiệmđúngđắnhoặcsailầm(Thửcácphương
pháprồitìmraphươngpháptốiưu),quađópháthiệnracácmốcđịnhhướngtương
ứng,nhữngphươngthứccảibiếnthôngtin,nhữngthủthuậthoạtđộng.
-Dạychohọcsinhnhậnbiếtnhữngdấuhiệumàtừđócóthểxácđịnhđược
đườnglốigiảichomộtdạngbàitoánvàvậndụngđườnglốigiảiđóvàobàitoán
cụthể.
Thựcchấtcủasựhìnhthànhkỹnănglàtạodựngchohọcsinhkhảnăngnắm
vữngmộthệthốngphứctạpcácthaotácnhằmlàmbiếnđổivàsángtỏcácthôngtin
chứađựngtrongbàitoán.
Khihìnhthànhkỹnăngchohọcsinhcầntiếnhành:
-Giúphọcsinhbiếtcáchtìmtòiđểnhậnracácyếutốđãcho,yếutốphảitìm
vàmốiquanhệgiữachúng.
-Giúpchohọcsinhhìnhthành mộtmôhìnhkháiquátđểgiảicácbàitoán
cùngloại.
-Xáclậpđượcmốiliênquangiữabàitoánmôhìnhkháiquátvàkiếnthức
tươngứng.
Cácyếutốảnhhưởngđếnsựhìnhthànhkỹnăng:Sựdễdànghaykhókhăn
trongsựvậndụngkiến thức phụ thuộc ở khả năng nhận dạng kiểunhiệmvụ,
dạngbàitậptứclàtìmkiếmpháthiệnnhữngthuộctínhvàquanhệvốncótrong
nhiệmvụhaybàitậpđểthựchiệnmộtmụcđíchnhấtđịnh.
Sựhìnhthànhkỹnăngbịảnhhưởngbởicácyếutốsauđây:
-Nộidungcủabàitập,nhiệmvụđặtrađượctrừutượnghóahaybịchephủ
8
bởinhữngyếutốphụlàmchênhlệchhướngtưduycóảnhhưởngtớisựhìnhthành
kỹnăng.
-Tâmthếvàthóiquencũngảnhhưởngtớisựhìnhthànhkỹnăng.Vìthếtạo
tâmthếthuậnlợitronghọctậpsẽgiúphọcsinhtrongviệchìnhthànhkỹnăng.
-Cókhảnăngkháiquáthóađốitượngmộtcáchtoànthể.
1.2.3. Điều kiện để có kỹ năng
Muốncókỹnăngvềhànhđộngnàođóchủthểcầnphải:
-Cókiếnthứcđểhiểuđượcmụcđíchcủahành động, biếtđược điềukiện,
cáchthứcđểđếnkếtquả,đểthựchiệnhànhđộng.
-Tiếnhànhhànhđộngđốivớiyêucầuđãđềra.
-Đạtđượckếtquảphùhợpvớimụcđíchđềra.
-Cóthểhànhđộngcóhiệuquảtrongnhữngđiềukiệnkhácnhau.
-Cóthểquabắtchước,rènluyệnđểhìnhthànhkỹnăngnhưngphảitrảiqua
thờigianđủdài.
1.2.4. Các mức độ của kỹ năng giải toán
Kỹnănggiảibàitậptoáncóthểchiathànhbamứcđộ:
-Biếtlàm:Vậndụngđượclýthuyếtđểgiảinhữngbàitậpcơbản,hìnhthành
cácthaotáccơbảnnhư:Viếtcácđạilượngtheongônngữtoánhọc,viếtchínhxác
côngthức,kíhiệu,…giảiđượcnhữngbàitậptươngtựnhưbàimẫu.
-Thànhthạo:Họcsinhcóthểgiảinhanh,ngắngọn,chínhxáccácbài
toántheocáchgiảiđãbiết.
- Mềm dẻo, linh hoạt, sáng tạo: Tìm ra được những cách giải ngắn gọn,
chuyểnhóavấnđềkhéoléo,cáchgiảiquyếtvấnđềđộcđáo.
1.3. Nhiệm vụ rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh
1.3.1. Mục tiêu dạy môn toán
Mụctiêudạymônhọctoánnằmtrongmụctiêugiáodụcnóichung:
“Mụctiêugiáodụcphổthônglàgiúphọcsinhpháttriểntoàndiệnvềđạo
đức,trítuệ,thểchất,thẩmmĩvàcáckỹ năngcơbản,pháttriểnnănglựccánhân,
tínhnăngđộngvàsángtạo,hìnhthànhnhâncáchconngườiviệtnamXHCN,xây
dựngtưcáchvàtráchnhiệmcôngdân.Chuẩnbịchohọcsinhtiếptụchọclênhoặc
đivàocuộcsốnglaođộng,thamgiaxâydựngbảovệtổquốc”(Theoluậtgiáodục
9
ViệtNam(chỉnhsửavàbổxungnăm2005)).Cụthểhóamụctiêunàytacómục
tiêudạyhọcmôntoánlà:
-Trangbịchohọcsinhnhữngtrithức,kỹnăng,phươngpháptoánhọcphổ
thông,cơbản,thiếtthực.
-Pháttriểntrítuệchohọcsinh.
-Rènluyệnkỹnăngứngdụngtoánhọctrongnghiêncứukhoahọcvàthực
tiễnchohọcsinh.
-Traudồinhữngphẩmchất,tìnhcảm,đạođứctốtđẹpchohọcsinh.
-Bảođảmtính phổcập,đồngthờipháthiệnvàbồidưỡngcáchọcsinhcó
năngkhiếutoánhọc.
Cácmụctiêuthểhiệnsựtoàndiện,thốngnhấtvàcóquanhệmậtthiết,hỗtrợ,
bổsungchonhau.Trongcácmụctiêutrên,mụctiêupháttriểntrítuệchohọcsinh
đượcđặtlênhàngđầu.
1.3.2. Yêu cầu rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh trung học phổ thôn
g
Việcrènluyệnkỹnănggiảitoánnhằmđạtđượccácyêucầucầnthiếtsau:
-Giúphọcsinhhìnhthànhvànắmvữngnhữngmạchkiếnthứccơbảntrong
chươngtrình.
-Giúphọcsinhpháttriểncácnănglựctrítuệ.Cụthểlàpháttriển:
+Tưduylogicvàngônngữchínhxác.
+Khảnăngsuyđoán,tưduytrừutượngvàtrítưởngtượngtrongkhônggian.
+Nhữngthaotáctưduynhưphântích,tổnghợp,kháiquáthóa…
+Cácphẩmchấttrítuệnhưtưduyđộclập,tưduylinhhoạtvàsángtạo.
1.4. Biện pháp rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh
Đểrènluyệnđượckỹnănggiảitoánchohọcsinhcầncócácbiệnphápđồng
bộbaogồmcáchoạtđộngsau:
1.4.1. Tổ chức các hoạt động học tập đảm bảo tính chủ động, tích cực, độc lập
của học sinh trong quá trình chiếm lĩnh tri thức và rèn luện kỹ năng
Tổchứccáchoạtđộngnhằmmụcđíchgiúphọcsinhnắmmộtcáchvữngchắc
vàcóhệthốngcáckiếnthứcquiđịnhtrongchươngtrình.Căncứvàochươngtrình,
sáchgiáoviênmàmỗithầycôgiáocầnphảixácđịnhvàchọnlọccáckiếnthứcvà
kỹnăngđểtrangbịchohọcsinh.
10
Đểtổchứcđượccáchoạtđộnghọctậpmàởđóhọcsinhchủđộng,tíchcực
thìgiáoviêncần:
-Tạonhữngtìnhhuốnggợiranhữnghoạtđộngtươngthíchvớinộidungvà
mụctiêudạyhọc.
-Cósựgiaolưugiữahọcsinhvớihọcsinh,giữagiáoviênvớihọcsinh.
-Điềuchỉnh hoạtđộnghọc tập:Giúpđỡhọc sinhvượtquakhókhănbằng
cáchphântáchmộthoạtđộngthànhnhữngphầnđơngiảnhơn,đặtmộtsốcâuhỏi
cótínhchấtgợiý,cungcấpchohọcsinhmộtsốtrithứcphươngphápvànóichung
làđiềuchỉnhmứcđộkhókhăncủanhiệmvụ.
-Giúphọcsinhxácnhậnnhữngtrithứcđãđạtđượctrongquátrìnhhoạtđộng,
đưaranhữngnhậnxétcầnthiếtđểhọcsinhhiểutrithứcđómộtcáchsâusắcvàđầy
đủhơn.
Ngoàirađểrènluyệnkỹnănggiảitoánchohọcsinhthìgiáoviêncần:
-Hướngdẫnhọcsinhtìmlờigiảiởbàitậpmẫu,chocácemlàmbàitậptương
tựnhằmgiúpcácemrènluyệnkỹnăng.
-Xácđịnhhệthốngbàitậptoánhọcchủyếuđểhọcsinhrènluyệnkỹnăng
giảicácbàitậpcơbản,bàitậpnângcao.
-Xâydựngsơđồđịnhhướngkháiquát,cácthuậttoángiảimỗidạngbàitập.
-Sửdụnghệthốngbàitậpsaumỗibài,mỗichươngđểgiúphọcsinhluyệntập
theomẫu,khôngtheomẫu,tìmnhiềulờigiảichomộtbàitập
1.4.2. Trang bị các tri thức về phương pháp giải toán cho học sinh
Giáoviêncầnrèn luyệnchohọcsinhgiảitoán theoquitrìnhbốnbướccủa
Polyarồitừđóhìnhthànhkỹnănggiảitoántheoquytrìnhnày.
Bước1:Tìmhiểunộidungbàitoán
-Phátbiểuđềbàidướidạngthứckhácnhauđểhiểurõnộidungbàitoán.
-Phânbiệtcáiđãchovàcáiphảitìm,cáichứngminh.
-Cóthểdùngcôngthức,kíhiệu,hìnhvẽđểhỗtrợchoviệcdiễntảđềbài.
Bước2:Tìmcáchgiải
-Tìmtòi,pháthiệncáchgiảinhờnhữngsuynghĩcótínhchấttiênđoán.Biến
đổicáiđãcho,cáiphảitìmhayphảichứngminh,liênhệcáiđãcho,cáiphảitìmvới
những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với một bài toán tương tự, một
trườnghợpriêng,mộttrườnghợptổngquát,…
11
-Kiểmtralờigiảibằngcáchxemkĩlạitừngbướcthựchiện.
-Tìmnhữngcáchgiảikhác,sosánhchúngđểtìmđượccáchhợplínhất.
Bước3:Trìnhbàylờigiải
Từcáchgiảiđãđượcpháthiện,sắpxếpcácviệcphảilàmthànhmộtchương
trìnhgồmcácbướctheomộttrìnhtựthíchhợpvàthựchiệncácbướcđó.
Bước4:Nghiêncứusâulờigiải
-Nghiêncứukhảnăngứngdụngkếtquảcủalờigiải.
-Nghiêncứugiảinhữngbàitoántươngtự,mởrộnghaylậtngượcvấnđề.
1.4.3. Quy trình hình thành kỹ năng giải phương trình lượng giác cho học sinh
Theotôiquytrìnhhìnhthànhkỹnănggiảiphươngtrìnhlượnggiácchohọc
sinhgồmbabướcsau:
Bước1:Hướngdẫnhọcsinhgiảimộtsốbàitoánmẫuởtrênlớp,có
phântíchphươngphápsuynghĩ,tìmlờigiải,lưuýchohọcsinhnhữngđiểm
cầnthiết.
Bước2:Họcsinhtựrènluyệnkỹnănggiảitoántheohệthốngbàitoáncóchủ
địnhcủagiáoviên,giáoviênphântích,khắcphụcnhữngkhókhăn,thiếusótcho
họcsinh.
Bước3:Rènluyệnkỹnănggiảitoánởmứcđộcaohơn,tổnghợphơn.
1.5. Thực trạng dạy và học phương trình lượng giác ở trường trung học phổ
thông
1.5.1. Thực trạng học phương trình lượng giác ở trường trung học phổ thôn
g
Trongquátrìnhgiảngdạycủamìnhvớinhữngkinhnghiệmvàtraođổivới
giáoviênvàhọcsinhchothấylượnggiáclàmộtchủđềkhákhótrongchươngtrình
toánhọctrunghọcphổthông.Mặcdùsáchgiáokhoamớiđãcónhiềugiảmtảivề
nộidungvàyêucầuđốivớihọcsinhnhưngđểhọctốtphầnlượnggiáchọcsinhvẫn
gặpnhiềukhókhăndo:
Họclýthuyết:
- Côngthứclượnggiáckhánhiềunênhọcsinhhayquênvàdễbịnhầmlẫn.
- Nội dung công thức lượng giác ở cuối chương trình lớp 10 nhưng giải
phươngtrình lượnggiáclạinằmởđầuchươngtrìnhlớp11.Doquátrìnhhọcbị
ngắtquãngnênhọcsinhdễbịquênkiếnthứcvàphảiônlạinhiều.
12
-Mặcdùnắmvữngcáccôngthứclượnggiácnhưngviệcápdụngcôngthức
nàolàphùhợpvớibàitoánthìhọcsinhphảilàmrấtnhiềubàitậpđểvậndụnglinh
hoạtcáccôngthứcđãhọc.
Khilàmbàitập:
- Việctínhtoán,tưduyđốivớiphầnlượnggiáccósựkhácnhausovớiđạisố
nênphầnlớnhọcsinhgặpkhókhănkhibắtđầuhọcvàlàmquen,dođónếukhông
nắmvữngvàcònbỡngỡvớinộidungnàycácemsẽdễchánnảnvàlườihọc.
- Giải phươngtrình lượng giáclà lĩnhvựcmới,khácnhiềusovới việcgiải
phươngtrìnhthôngthườngcácemđượchọcởlớp10nênhọcsinhthườngkhódiễn
đạtvàtrìnhbàylờigiải,nhấtlàđốivớibàitoánlượnggiáccóđiềukiện.
- Khilàmbàitập,họcsinhthườngvậndụngmộtcáchmáymóctheonhững
dạngphươngtrìnhlượnggiáccơbảnthườnggặpnênkhigặpnhữngdạngbàitoán
khôngphảidạngquenthuộccácemthườngkhógiảiquyếtđược.
- Đểnắmđượccácphươngphápgiảiphươngtrìnhlượnggiácmộtcáchvững
chắc,nhuầnnhuyễnphảimấtmộtthờigiandài.Trongkhiđóthờilượngởlớp11
dànhchhophầnnàychỉ17tiếtnênviệchọcsinhmởrộngtưduylinhhoạtđốivới
dạngbàitoánkháclàkhákhó.Dođó,đểhọcsinhlàmtốtcácbàitậplượnggiáckhi
đithiđạihọcthìgiáoviêncầncóphươngpháp,chiếnlượcgiảngdạytốt.
- Tínhbịđộngcủahọcsinhkhálớnnêngiáoviênvấtvảtrongquátrìnhgiảng
dạynếuyêucầucaođốivớihọcsinh.
1.5.2. Thực trạng dạy phương trình lượng giác ở trường trung học phổ thông
Đểhiểusâusắcvàthấyđượccáihaycủacácbàitoánlượnggiácthìgiáoviên
và học sinh đều phải bỏ rất nhiều thời gian và công sức. Giáo viêncầncókinh
nghiệmgiảngdạycũngnhưchuyênmônvữngvàngđể cóphương phápdạyphù
hợpvớitừngnộidungtrongphầnlượnggiác.Họcsinhphảidànhnhiềuthờigian,
cósựnỗlựcvàcóhứngthú,saymêmớihọctốtđượcphầnnày.
Từkinhnghiệmgiảngdạycủabảnthânvàýkiếnđónggópcủanhiềugiáo
viên,họcsinhtôithấyrằng:
- Muốngiảiđượcphươngtrìnhlượnggiáctrướctiênhọcsinhphảinắmvững
cáccôngthứclượnggiác.Đểcủngcốkiếnthứcvàgiúphọcsinhnắmvững,không
bịquênvànhớlầmcáccôngthứclượnggiác,giáoviênnênyêucầuhọcsinhchứng
13
minhcáccôngthứclượnggiác.
- Cácdạngbàitậpởphầnnàyrấtphongphúvàđadạngnêngiáoviênphải
dànhnhiềuthờigianchọnlọc,tổnghợp,kháiquáthóathànhcácdạngbàitập,các
phươngphápgiảiphùhợpvớitrìnhđộnhậnthứccủahọcsinh.
- Thời gian chữa bài tập không nhiều nhưng giáo viên vẫn phải đưa ra hệ
thốngbàitậptheophươngphápgiảicụthểđểhọcsinhnắmvữngcáchgiảiphương
trìnhlượnggiác.Đồngthời,giáoviênyêucầuhọcsinhvềnhàtìmhiểuthêmđểhọc
tốtphầnnày.
Theotôi,mộtbàigiảngcủanhàgiáocótrìnhđộvàlươngtâm,trongmỗitiết
họcphảimanglạichongườihọcmộtkhốilượngkiếnthứchoànchỉnhkèmtheo
phươngphápvàtàiliệutracứumàtựhọcsinhcóthểkhôngcóđược.Nhưvậycó
thểtiếtkiệmđược thờigiangiảngdạytrên lớp vàtạođiềukiệncho họcsinh tự
nghiêncứu,traudồikiếnthứcbằngvốnthờigiantựhọcởnhà.
14
Kết luận chương 1
Địnhhướngđổimớiphươngphápdạyhọccủanướctahiệnnaylà“Hoạtđộng
hóangườihọc” nhằmmục đíchnângcaohiệuquảgiáodục vàđàotạo.Vớinội
dung đã trình bày ở chương 1: Dạy học phương pháp tìm lời giải bài toán, bồi
dưỡngnănglựcgiảitoán,rènluyệnkỹnănggiảitoánchohọcsinhtathấydạyhọc
giảibàitậptoánchohọcsinhtrunghọcphổthônglàrènluyệnkhảnăngtìmlờigiải
bàitoántheobốnbướccủaPôlya.Trongthựctếhiệnnay,kỹnănggiảitoáncủahọc
sinhtrunghọcphổthôngcònnhiềuhạnchế.Đểgópphầnkhắcphụctìnhtrạngđó,
trongchương2củaluậnvăn,chúngtôisẽđưaramộtsốphươngphápgiảiphương
trình lượng giác và các giáo án mẫu nhằm rèn luyện kỹ năng giải phương trình
lượnggiácchohọcsinhtrunghọcphổthông.
15
Chương 2
RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHO HỌC
SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
2.1. Cấu trúc nội dung phần phương trình lượng giác
2.1.1. Mục tiêu chung
Kiếnthức
- Biếtđượccácphươngtrìnhlượnggiáccơbảnvàcôngthứcnghiệm.
- Biếtđượcdạng vàcáchgiảimộtsốphươngtrìnhlượnggiácthườnggặp:
bậcnhất, bậchaiđốivớimột hàmsốlượnggiác,bậcnhất đốivớisinxvàcosx,
thuầnnhấtbậchaiđốivớisinxvàcosx.
- Nhậndạngvàbiếtđượcmộtsốphươngphápgiảiphươngtrìnhlượnggiác.
Kỹnăng
- Giảiđượcphươngtrình lượnggiáccơbảnvàmộtsốphươngtrìnhlượng
giácthườnggặp.
- Nhận dạng và biến đổi được môtsố phương trình lượng giác về phương
trìnhlượnggiácthườnggặp.
- Vậndụngthànhthạo,linhhoạtcácphươngphápgiảiphươngtrìnhlượng
giác.
Tháiđộ
- Rènkhảnăngtưduylogic,tưduythuậttoántínhnhạybén,sángtạo.
- Giáodụcchohọcsinhtínhtựgiác,tíchcực,độclậpvàchủđộngpháthiện
cũngnhưlĩnhhộikiếnthức.
16
2.1.2. Cấu trúc nội dung
STT Nộidung Lý thuyết
Bài tập
Tổng
1
Hàm số lượng giác
3 1 4
2
Phương trình lượng giác cơ bản
3 2 5
3
Phương trình lượng giác thường gặp
4 2 6
4
Chuyên
đề phương
trình
lượng giác
Phươngphápđặtẩnphụ 1 1 2
Phươngphápsửdụng
côngthứclượnggiác
1 1 2
Phươngphápđưavề
dạngtích
1 1 2
Phươngphápđánhgiá 1 1 2
Phươngphápkhác 1 1
5
Kiểm tra
1 1
6
Tổng
14 11 25
2.2. Các phương pháp giải phương trình lượng giác
2.2.1. Phương pháp đặt ẩn phụ
Phươngphápđặtẩnphụthườnggặptronglượnggiácvàđạisố.Giảiphương
trìnhbằngphươngphápnàyrấtcóhiệuquảvìnóchuyểntừmộtphươngtrìnhkhó
giảivềmộtphươngtrìnhcơbảndễgiảihơn.
Khisửdụngphươngphápnàytathườngthựchiệncácbướcsau:
Bước 1.Biếnđổiphươngtrìnhđểcóthểđặtẩnphụ.
Bước 2.Đặt
( )t h x
với
( )h x
làbiểuthứccótrongphươngtrình.
Bước 3.Dựavàotậpxácđịnhcủaxđểtìmđiềukiệnchot.
Bước 4.Biếnđổiđưaphươngtrìnhẩnxvềphươngtrìnhtheoẩnt.
Giảiphươngtrìnhtìmnghiệmtrồisuyrax.
Bước 5.Kếtluậnsốnghiệmcủaphươngtrình.
2.2.1.1. Đặt ẩn phụ đưa phương trình về phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác
a.Phépđặtẩnphụ
1
sin cos sin 2 .
2
t x x x
17
Ví dụ 1. Giảiphươngtrình
4 4
sin cos 1
sin 2 tan cot
x x
x x x
. (1)
Lờigiải
Điềukiện
sin 0
cos 0 sin 2 0.
sin 2 0
x
x x
x
(1)
4 4
sin os 1
sin 2
sin 2 2
x c x
x
x
4 4 2
1
sin os sin 2
2
x c x x
Đặt
sin cos ,( 0)
t x x t
2
4 4 2 2 2 2
sin os sin os 2sin . os
x c x x c x x c x
2
1 2 .t
(1)
2 2
1 2 2
t t
2
1
4
t
(thỏamãnđiềukiện).
Với
1
2
t
sin 2 1 2 2 , .
2 4
x x k x k k
Z
Với
1
2
t
sin2 1 2 2 , .
2 4
x x k x k k
Z
Kếtluậnphươngtrìnhcócácnghiệmlà
, .
4 4
x k x k k
Z
Nhận xét. Phương pháp giải phương trình trên là phép đặt ẩn phụ để đưa
phươngtrìnhvềphươngtrìnhchỉchứamộthàmsốlượnggiáclàsin2x.
Khiđặt
1
sin cos sin2
2
t x x x
mộtsốbiểuthứcđượctínhquat:
2 2 2
cos 2 1 sin 2 1 4 .x x t
2 2
cos4 1 2sin 1 8 .x x t
3 3
sin 6 3sin 2 4sin 2 6 32 .x x x t t
sin cos 1 1
tan cot .
cos sin sin cos
x x
x x
x x x x t
2
4 4 2 2 2 2 2
sin cos sin cos 2sin cos 1 2 .x x x x x x t
3
6 6 2 2 2 2 2 2 2
sin cos sin cos 3sin cos sin cos 1 3 .x x x x x x x x t
18
2
8 8 4 4 4 4 2 2 4
sin cos sin cos 2sin cos (1 2 ) 2x x x x x x t t
2 4
1 4 2 .t t
10 10 2 2 8 8 2 8 8 2
sin cos sin cos sin cos sin cos sin cosx x x x x x x x x x
8 8 2 2 6 6
sin cos sin cos (sin cos )x x x x x x
2 4 2 2
2 4
1 4 2 (1 3 )
1 5 5 .
t t t t
t t
Vậygiáoviêncầnchúýchohọcsinhkhigặpmộtphươngtrìnhlượnggiácchứa
cácbiểuthứctrênthìtacóthểgiảiphươngtrìnhbằngcáchđặt
1
sinx.cos sin 2
2
t x x
rồibiểudiễncácbiểuthứcquatđểđưaphươngtrìnhvềẩnt,giảiphươngtrìnhẩnt
vàtìmnghiệmcủaphươngtrình.Dướiđâylàmộtsốvídụminhhọa.
Ví dụ 2. Giảiphươngtrình
6 6
sin cos cos 4 .
x x x
(2)
Lờigiải
Đặt
sin cost x x
3
6 6 2 2 2 2 2 2
sin cos sin cos 3sin cos sin cosx x x x x x x x
2
1 3t
2 2
cos 4 1 2 sin 2 1 8 .x x t
Khiđó
2 2
(2) 1 3 1 8
t t
2
0
t
0.
t
Suyra
,
sin2 0 2 .
2
k
x x k x k
Z
Kếtluậnphươngtrìnhcónghiệmlà
.
2
k
x k
Z
Ví dụ 3.Giảiphươngtrình
6 6
2(sin cos ) sin cos
0.
2 2sin
x x x x
x
(3)
19
Lờigiải
Điềukiện
2
2
4
sinx
3
2
2 .
4
x n
x m
Đặt
sin cost x x
6 6 2
sin cos 1 3 .
x x t
Vớiđiềukiệntrên
2 2
6 6
(3) 2(sin cos ) sin cos 0
1
2
2(1 3 ) 0 6 2 0
2
.
3
x x x x
t
t t t t
t
Với
1
2
t
thì
sin2 1 2 2 , .
2 4
x x k x k k
Z
Với
2
3
t
thì
4
sin 2
3
x
(loại).
Đốichiếuvớiđiềukiệntacónghiệmcủaphươngtrìnhlà:
5
2 ( )
4
x k k
Nhậnxét:Khigiảiphươngtrìnhtrênhọcsinhthườngquênđặtđiềukiệnhoặc
nếucóđặtđiềukiệnthìhaylúngtúngtrongviệcđốichiếunghiệmvớiđiềukiệnđể
loạinghiệmngoạilai.Trongbàitoántrên,côngthứcnghiệmvàđiềukiệnbiểudiễn
đượctrênđườngtrònlượnggiácvàcóítđiểmcuối.Vìvậymàphươngpháploại
nghiệm ngoại lai của những dạng bài toán này là biểu diễn điểm cuối của cung
lượnggiác(baogồmnghiệmvàđiềukiện)trênđườngtrònlượnggiácvàloạinhững
điểmcuốicủanghiệmtrùngvớiđiềukiện.
VớiđiềukiệnbàitoántaxácđinhđượchaiđiểmM,Ntrênđườngtrònlượng
giác.Nghiệm
x k ;k
4
xác định đượchaiđiểm cuốitrênđường trònlượng
giáclàK,H.TathấyrằngđiểmKtrùngvớiMnênhọnghiệm
x k2 ;k
4
bị
