Cơ lượng tử biến dạng

CƠ LƯỢNG TỬ BIẾN DẠNG
Nguyễn Thị Hà Loan
1
, Vũ Thị Nga
2

Tóm tắt: Chúng tôi xây dựng đại số lượng tử (q, R), đưa ra biểu diễn của chúng
trong không gian Fock, đồng thời xây dựng cơ lượng tử biến dạng theo ngôn ngữ
của dao động biến dạng (q, R).

1. MỞ ĐẦU
Đại số lượng tử (hay còn gọi là nhóm lượng tử) là một kiểu biến dạng của đại số
Lie thông thường [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]. Khi các thông số biến dạng tiến đến 1 thì đại số
biển dạng trở về đại số Lie thông thường. Đại số lượng tử có nhiều ứng dụng trong
việc giải quyết các vấn đề của Vật lí như giải các phương trình Yâng - Baxter lượng
tử, mẫu hòa tan chính xác trong cơ học thống kê, quang lượng tử, sự quay và rung
động của các hạt nhân…
Sự hữu ích của đại số lượng tử trong Vật lí đã trở thành phổ biến với việc đưa
vào dao động điều hòa biến dạng - q [1, 2, 3, 4]. Trong bài báo này chúng tôi đưa ra
đại số biến dạng - q, đại số biến dạng - (q, R), biểu diễn của chúng trong không gian
Fock, xây dựng cơ lượng tử biến dạng -q, cơ lượng tử biến dạng -(q, R).
2. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
2.1. Đại số biến dạng - q
2.1.1. Đại số biến dạng - q
Đại số biến dạng - q được sinh ra bởi những toán tử sinh, hủy dao động và
chúng thỏa mãn các hệ thức giao hoán sau:
1 N
aa q a a q
  


(1)
N là toán tử số dao động được định nghĩa sao cho:
 
,N a a

 
q
N a a


(2)
Ở đây dùng kí hiệu:
 
1
xx
q
qq
x
qq





(3)
Vectơ cơ sở của không gian Fock mà là vectơ riêng của toán tử số dao động N

1
PGS.TS, Trường ĐHSP Hà Nội 2
2

Học viên Cao học, K16, rường ĐHSP Hà Nội 2
và đã trực chuẩn
q
n
có dạng
 
 
1
0
!
n
q
q
na
n


(4)
00a 

qq
N n n n
(5)
2.1.2. Cơ lượng tử biến dạng - q
Toán tử tọa độ và toán tử xưng lượng được định nghĩa như sau:
 
1
2
2
m

p i a a







 
1
2
2
x a a
m






(6)
Hàm Hamilton của dao động - q có dạng:
   
 
1
2
qq
H N N

  

(7)
Hệ thức bất định biến dạng - q được biểu diễn dưới dạng:
 
   
 
,1
qq
p x i aa a a i N N


     

(8)
Phổ năng lượng của hệ được tìm từ phương trình:
n
qq
H n E n

Trong đó:

   
 
1
2
n
qq
E n n

  
(9)

2.2. Đại số biến dạng - (q, R)
2.2.1. Đại số Heisenberg biến dạng - (q, R)
Đại số biến dạng - (q, R)được sinh bởi những toán từ sinh dao động (a
+
), hủy
dao động (a) và toán tử phản xạ R thỏa mãn những hệ thức giao hoán:
1
2
1
0
N
aa q a a q R
R
Ra a R Ra aR

  

  

   
(10)
Ở đây

, qlà những thông số biến dạng thực.
N là toán tử số dao động thỏa mãn những hệ thức giao hoán:
 
,a N a

,a N a





(11)
Đưa vào cơ sở của không gian Fock:
 
0
m
m
m C a


(12)
Ở đây C
m
là hằng số chuẩn hóa.
0
là trạng thái nền (hay còn gọi là trạng thái chân không) thỏa mãn các điều
kiện:
00
0 0 1
00
0 0 1
a
N
R r r



 

(13)
Cho toán tử
aa

tác dụng lên trạng thái
 
0
n
a


 
 
 
0 1 0 , 0,1,2,3,
nn
q
aa a n a n

  
  
(14)
Ở đây dùng kí hiệu:
   
 
1
1
n
n
qq

q
nn
qq







 
1 3 1
1

nn
n n n
q
qq
n q q q
qq

   


    

(15)
Ở đây r = +1
Hệ đầy đủ các véc tơ trực chuẩn
 

 
1
0
!
m
q
mm
ma
m
mm







(16)
Trong đó:
       
! 1 1
q q q q
m m m
   


Từ những phương trình (10), (11) và (16) ta có:
N m m m
(17)
2.2.2. Cơ lượng tử biến dạng - (q, R)

với
Trong phần này chúng ta xây dựng dao động điều hòa biến dạng (q, R) cho
trường hợp một chiều rồi tổng quát hóa cho N chiều.
Toán tử tọa độ suy rộng, xung lượng suy rộng được định nghĩa:
 
1
2
X a a



 
2
q
i
P a a



(18)
Hamintơn của dao động điều hòa biến dạng - (q, R) có dạng:
 
22
11
,
22
qq
H P X a a



  
(19)
Trong đó
 
1
2
q
a X iP


(20)
 
1
2
q
a X iP



(21)
Hệ thức bất định biến dạng - (q, R) có thể được biểu diễn như sau:
,
qq
P X X P i a a





(22)

Phổ năng lượng của hệ như trên có dạng:
 
qq
H m E m m


(23)
Trong đó:
 
   
 
1
1
2
q
qq
E m m m


  
(24)
   
 
11
m
m
qq
m q m q




    
(25)
Như vậy:
   
 
 
 
1
11
2
m
m
q
q
E m q m q




    
(26)
Hàm Haminton của dao động điều hòa biến dạng - (q, R) trong không gian N chiều.
 
1
N
qq
n
n
HH






(27)
Phổ năng lượng có dạng:
 
 
   
 
 

     

1
12
1 2 1 2
2
1
, , , 1
2
1 1 1
N
N
q N N
qq
q
m m m
m

mm
E m m m q m m m
q q q






     

         


(28)
Trạngthái
12
, , ,
N
m m m
thu được bằng cách cho các toán tử sinh tác dụng lên
trạng thái chân không
0,0,0 ,

   
   
 
1
1
12

12

, , , 0,0,0,
! ! !
N
mm
N
N
N
qq
q
aa
m m m
m m m





(29)
3. KẾT LUẬN
Trong bài báo này chúng tôi đã xây dựng cơ lượng tử biến dạng - (q, R), giải
phương trình để tìm phổ năng lượng của dao động biến dạng (q, R) cho
trường hợp một chiều và mở rộng cho trường hợp nhiều chiều, phổ năng
lượng phụ thuộc vào cơ chế biến dạng.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. N. Aizawa and R. Sato, Phis.Lett B256, 185, 1991.
2. Brink,T. H. Hansson, and M. A. Vasiliev, Phis.Lett, B286, 109, 1992.
3. L. Brink, T. H. Hansson, S. Konstein, and M. A. Vasiliev, Nucl.phis, B401, 591, 1993.
4. M. Chichian, P. Kulish, and J. Lukierski, Phis.Lett, D.237 401 C. R. Devchand

and M. V. Saveliev.Phis.Lett, B258, 364, 1991.
5. E. H. E. Kinam and M. Zaklmsi, Phis.Lett, B357, 105, 1995.
6. M. Jimbo, Lett.Math.Phis.10, 63,11 78, 1985, 1986.
7. M. Leinaas and J. Myshein, Phis.Rev B37, 9286, 1988.
THE (Q, R) - DEFORMED QUANTUM MECHANICS
Nguyen Thi Ha Loan, Vu Thi Nga
Abstract: We contruct a (q, R) quantum algebra, consider their representation in
the Fock space and construct a deformed quantum mechanics for the (q, R)
deformed oscillator.