Đề thi Đại số tuyến tính Đh Công NghệĐHQG

Đề thi giữa kỳ đại số tuyến tính
Kỳ II năm học 2014-2015
(Lã Đức Việt)
Thời gian: 3 tiết
Bài 1: Định nghĩa ma trận của ánh xạ tuyến tính?
Bài 2: Định nghĩa không gian nhân và không gian ảnh?
Bài 3: Chứng minh không gian nhân và không gian nhân là các không gian con.
Bài 4: Cho T(x,y,z,t) = ( x + 2y + 3z +4t, y +2z +3t, x +3y +5z +7t, x+ y +z +t) . Xác định một cơ sở của Im(m),
Ker(T)
Bài 5 : Cho a
1
=(1,0,0) a
2
= (1,1,0) a
3
= (1,1,1) ; b
1
= (1,0,1)

b
2
= (3,1,4) b
3
= (6,3,10) . T là toán tử tuyến
tính sao cho T(a
i
) = b
i
. Tìm ma trận của T ?
Bài 6 : Cho T là toán tử tuyến tính và {u
i

} là một cở sở. Chứng minh nếu {T(u
i
)} độc lập tuyến tính thì
Ker(T) =θ .
Bài 7 : Trong R
2
định nghĩa phép cộng và phép nhân như sau :
(x, y) + (u,v) = (x+u, y.v)
a(x, y) = (a.x, y
1/a
)
Kiểm tra 10 tính chất của không gian vector.
Bài 8: Nêu ba định nghĩa của cơ sở.
Bài 9: Cho v, u là hai không gian con dim(u) > dim (v), dim(u + v) = dim(u ᴖ v) + 1 . Chứng minh u+ v = u,
u +v = v .
Bài 10 : Chứng minh các ma trận đối xứng 3×3 tạo thành không gian con, tìm cở sở của không gian đó
Bài 11 : Chứng minh Tr(A×B) = Tr(B×A) với Tr là “vết” của ma trận.
Bài 12 : Tính định thức ma trận A :
A =



    
    
    
    
    




Câu 13 : A =

  
  
  

xác định trị riêng, vector riêng của A và tính A
n
.
Câu 14: Cho {u
i
} là một hệ trực chuẩn vsaf T là toán tử tuyến tính cho x,y là hai vector
a, Chứng minh {u
i
} độc lập tuyến tính.
b, Chứng minh nếu {T(u
i
)} trực chuẩn thì T là toán tử trực giao.
c, Chứng minh <x,y> =






