Tập hút toàn cục đối với hệ phương trình cray scott

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2




LƯƠNG THỊ HỒNG HẠNH



TẬP HÚT TOÀN CỤC ĐỐI VỚI
HỆ PHƯƠNG TRÌNH GRAY - SCOTT

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC


Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS CUNG THẾ ANH




HÀ NỘI, 2014

Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS. TS. Cung Thế Anh,
người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể
hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau Đại học,

các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại
học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập.
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia
đình, bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho
tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 12 năm 2014
Tác giả
Lương Thị Hồng Hạnh
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của PGS. TS Cung Thế Anh,
luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài "Tập hút toàn
cục đối với hệ phương trình Gray-Scott" được hoàn thành bởi
nhận thức của bản thân tác giả.
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa
những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 12 năm 2014
Tác giả
Lương Thị Hồng Hạnh
Mục lục
Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1. Các không gian hàm . . . . . . . . . . . 5
1.1.1. Các không gian L
p
(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2. Không gian H
1
(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2. Lí thuyết nửa nhóm tuyến tính . . . . . . . . 6
1.3. Tập hút toàn cục . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3.1. Một số định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.2. Một số bổ đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4. Số chiều fractal và số chiều Hausdorff. . . . . . . 13
1.5. Một số bất đẳng thức thường dùng . . . . . . . 14
Chương 2. TẬP HÚT TOÀN CỤC ĐỐI VỚI HỆ PHƯƠNG
TRÌNH GRAY-SCOTT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1. Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . 16
2.2. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm. . . . . . . . . . 18
2.3. Sự tồn tại tập hút toàn cục . . . . . . . 20
2.3.1. Sự tồn tại tập hấp thụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.2. Tính compact tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4. Đánh giá số chiều fractal của tập hút toàn cục . . . . . . 38
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1
Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của các hệ động lực vô
hạn chiều sinh bởi các phương trình đạo hàm riêng phi tuyến hoặc các
phương trình vi phân hàm là một bài toán quan trọng và có nhiều ý
nghĩa thực tiễn. Một trong những cách tiếp cận bài toán này đối với
các hệ động lực tiêu hao vô hạn chiều là nghiên cứu sự tồn tại và các
tính chất của tập hút. Đó là một tập compact, bất biến, hút các tập bị
chặn và chứa đựng nhiều thông tin về dáng điệu tiệm cận của hệ đang
xét. Trong những năm qua, sự tồn tại và tính chất của tập hút, sự tồn
tại và tính ổn định của nghiệm dừng đã được nghiên cứu cho nhiều lớp
phương trình parabolic phi tuyến. Tuy nhiên phần lớn các kết quả đạt
được mới chỉ là cho là cho trường hợp phương trình vô hướng; các kết
quả tương ứng đối với các hệ parabolic phi tuyến xuất hiện trong hóa
sinh và hóa lí vẫn còn ít (xem [1], [14]). Các phương trình parabolic phi

tuyến xuất hiện một cách tự nhiên trong nhiều bài toán hóa sinh và hóa
lí. Một trong những phương trình parabolic phi tuyến thu hút được sự
quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học trong và ngoài nước là hệ
phương trình Gray-Scott. Hệ phương trình Gray-Scott sinh ra từ sự mô
tả sự xúc tác đẳng nhiệt, phản ứng khuếch tán của hai hóa chất U, V
với nồng độ u(t, x), v(t, x).
Trong [3], dưới điều kiện ban đầu không âm và bị chặn và một vài điều
2
kiện khác, sự tồn tại nghiệm toàn cục và tính bị chặn đều của nghiệm
của một số hệ phương trình tương tự đã được chứng minh. Tuy nhiên,
tính compact tiệm cận thì chưa được chứng minh. Hơn nữa, những kết
quả đã biết về tập hút toàn cục của hệ phương trình Gray-Scott trong
không gian ba chiều cũng như trong mô hình số hóa của toán giải tích
vẫn còn ít. Vì vậy, chúng tôi chọn đề tài: "Tập hút toàn cục đối với
hệ phương trình Gray-Scott" làm đề tài nghiên cứu của luận văn.
Các kết quả của luận văn được viết chủ yếu dựa trên bài báo ”Y. You
(2008), Global attractor of the Gray-Scott equations, Comm.Pure Appl.
Anal, 947-970”.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu sự tồn tại và đánh giá số chiều fractal của tập hút toàn
cục của hệ phương trình Gray-Scott xuất hiện trong hóa học.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
• Nghiên cứu sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán.
• Nghiên cứu sự tồn tại tập hút toàn cục của nửa nhóm sinh bởi
nghiệm của bài toán.
• Đánh giá số chiều fractal của tập hút toàn cục.
3
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Đối tượng nghiên cứu: Hệ phương trình Gray-Scott.
• Phạm vi nghiên cứu: Sự tồn tại và đánh giá số chiều fractal của tập

hút toàn cục.
5. Phương pháp nghiên cứu
• Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm: phương pháp nửa nhóm.
• Nghiên cứu sự tồn tại và đánh giá số chiều fractal của tập hút toàn
cục: các phương pháp của lí thuyết hệ động lực.
6. Kết quả chính của luận văn
• Chứng minh được sự tồn tại duy nhất và sự phụ thuộc liên tục của
nghiệm vào dữ kiện ban đầu.
• Chứng minh được sự tồn tại tập hút toàn cục của nửa nhóm sinh
bởi nghiệm của bài toán.
• Đánh giá được số chiều fractal của tập hút toàn cục nhận được.
4
Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này, chúng tôi trình bày các kiến thức cơ bản về các
không gian hàm, tập hút toàn cục, các bất bất đẳng thức thường dùng, liên
quan đến nội dung chính của luận văn. Các kết quả của chương này dựa
trên [1], [14].
1.1. Các không gian hàm
Trong mục này ta giới thiệu các không gian hàm thường dùng khi
nghiên cứu hệ phương trình Gray-Scott.
1.1.1. Các không gian L
p
(Ω)
Định nghĩa 1.1. L
p
(Ω) , 1 ≤ p < ∞, là không gian Banach bao gồm tất
cả các hàm khả tích Lebesgue bậc p trên Ω với chuẩn được định nghĩa
như sau:
u

L
p
(Ω)
:=


Ω
|u|
p
dx

1/p
.
Chú ý rằng L
p
(Ω) là không gian Banach phản xạ khi 1 < p < +∞.
Định nghĩa 1.2. L
∞
(Ω) là không gian Banach bao gồm tất cả các hàm
đo được và bị chặn hầu khắp nơi trên Ω với chuẩn
u
L
∞
(Ω)
:= ess sup
x∈Ω
|u (x)|.
5
1.1.2. Không gian H
1

(Ω)
Định nghĩa 1.3. Cho Ω là một tập mở con của R
n
có biên là ∂ (Ω).
Không gian H
1
(Ω) được định nghĩa
H
1
(Ω) =

u ∈ L
2
(Ω) :
∂u
∂x
i
∈ L
2
(Ω), ∀i = 1, , n

là tập hợp tất cả các hàm thuộc L
2
(Ω) có đạo hàm suy rộng thuộc L
2
(Ω),
với chuẩn được định nghĩa như sau.
u
H
1

(Ω)
=

Ω

|u|
2
+ |∇u|
2

dx, với hàm u ∈ H
1
(Ω).
1.2. Lí thuyết nửa nhóm tuyến tính
Giả sử X là một không gian Banach, ta có các định nghĩa sau:
Định nghĩa 1.4. Họ ánh xạ {S(t)}, t ≥ 0, gọi là một nửa nhóm tuyến
tính liên tục mạnh (hoặc đơn giản là C
0
−nửa nhóm) nếu S(t) ∈ L(X)
và:
1) S(0) = I;
2) S(t + s) = S(t)S(s), ∀t, s ∈ [0; ∞);
3) ∀x ∈ X, t → S(t)x ∈ C
0
([0, +∞), X)
S(t) gọi là một C
0
−nhóm nếu trong định nghĩa trên [0, +∞) được thay
thế bởi R. Khi đó S(t)
−1

= S(−t) ∈ L(X).
Định nghĩa 1.5. Ta gọi toán tử sinh của một nửa nhóm {S(t)}
t≥0
là
6
một toán tử tuyến tính A : D(A) ⊂ X → X định nghĩa bởi
D(A) =

x ∈ X : lim
t→0
+
S(t)x −x
t
tồn tại trong X

,
Ax = lim
t→0
+
S(t)x −x
t
, x ∈ D(A).
Bây giờ ta xét một trường hợp đặc biệt: nửa nhóm giải tích. Giả sử
ϕ ∈ (0, π) , kí hiệu
∆
ϕ
= {z ∈ C \ (−∞, 0] : |arg (z)| < ϕ};
∆
ϕ
= ∆

ϕ
∪ {0}.
Định nghĩa 1.6. Giả sử ϕ ∈

0,
π
2

. Ánh xạ S : ∆
ϕ
−→ L(X) gọi là
một nửa nhóm giải tích nếu
1) S (0) = Id;
2) S (z
1
+ z
2
) = S (z
1
) S (z
2
) , ∀z
1
, z
2
∈ ∆
ϕ
;
3) z → S (z) là một hàm giải tích trong ∆
ϕ

(với giá trị trong L(X));
4) ∀u ∈ X, lim
z→0
z∈∆
ϕ
S (z) u = u.
Định nghĩa 1.7. Giả sử X
1
, X
2
là hai không gian Banach. Ta nói rằng
ánh xạ f : X
1
−→ X
2
là liên tục Lipschitz trên các tập bị chặn của X
1
nếu ∀r ≥ 0 tồn tại L (r) ≥ 0 sao cho
f (u) − f (v)
X
2
≤ L (r) u − v
X
1
,
trong đó, ∀u, v ∈ X
1
, u
X
1

≤ r, v
X
1
≤ r.
Xét phương trình tiến hóa nửa tuyến tính ôtônôm sau
du
dt
= Au (t) + f (u (t)) , t > 0, u (0) = u
0
. (1.1)
7
Định nghĩa 1.8. 1) u (t) gọi là một nghiệm cổ điển của (1.1) nếu
u ∈ C
0
([0, T] ; X) ∩ C
1
((0, T] ; X) ∩ C ((0, T] ; D (A))
và u thỏa mãn (1.1) với mọi t ∈ [0, T ].
2) u (t) gọi là một nghiệm tích phân của (1.1) nếu u ∈ C
0
([0, T] ; X)
và thỏa mãn
u (t) = S (t) u
0
+

t
0
S (t − s) f (u (s))ds, t ∈ [0, T] .
Giả sử S (t) là một nửa nhóm giải tích trong X với toán tử sinh

A = −B, ở đó B : D (B) → X là một toán tử quạt thỏa mãn
Reσ (B) > 0.
Định lý 1.1. Giả sử α ∈ [0, 1) và f : X
α
−→ X là Lipschitz trên các
tập bị chặn của X
α
. Khi đó với mọi r > 0, tồn tại
˜
T (r) > 0 sao cho
∀u
0
∈ X
α
, u
0

X
α
≤ r, phương trình (1.1) có một nghiệm tích phân duy
nhất u ∈ C
0
([0,
˜
T ]; X
α
). Hơn nữa, u ∈ C
1
((0,
˜

T ]; X) ∩ C
0
([0,
˜
T ); D(A))
là một nghiệm cổ điển của (1.1).
1.3. Tập hút toàn cục
1.3.1. Một số định nghĩa
Giả sử X là một không gian Banach, ta có các định nghĩa sau:
Định nghĩa 1.9. Một nửa nhóm (liên tục) trên X là một họ các ánh
xạ S(t) : X −→ X, t ≥ 0, thỏa mãn:
1) S(0) = I, I là phép đồng nhất;
8
2) S (t) S (s) = S (s) S (t) = S (t + s) , ∀t, s ≥ 0;
3) S (t) u
0
liên tục đối với (t, u
0
) ∈ [0; +∞) × X.
Định nghĩa 1.10. Giả sử {S (t)}
t≥0
là một nửa nhóm.
Phần tử u
0
∈ X gọi là một điểm cân bằng (điểm dừng, điểm cố định)
của nửa nhóm S(t) nếu
S (t) u
0
= u
0

, ∀t ≥ 0.
Định nghĩa 1.11. Nửa nhóm {S (t)}
t≥0
gọi là tiêu hao điểm (tương
ứng, tiêu hao bị chặn) nếu tồn tại một tập bị chặn B
0
⊂ X hút các điểm
(tương ứng, hút các tập bị chặn) của X.
Dễ thấy một nửa nhóm tiêu hao bị chặn thì tiêu hao điểm. Điều ngược
lại nói chung không đúng, nhưng nó đúng với các nửa nhóm trong không
gian hữu hạn chiều.
Định nghĩa 1.12. Nếu S(t) là tiêu hao bị chặn thì tồn tại một tập
B
0
⊂ X sao cho với mọi tập bị chặn B ⊂ X, tồn tại T = T (B) ≥ 0 sao
cho S(t)B ⊂ B
0
, ∀t ≥ T. Tập B
0
như vậy được gọi là một tập hấp thụ
đối với nửa nhóm S(t).
Định nghĩa 1.13. Nửa nhóm {S (t)}
t≥0
trong không gian metric đầy đủ
X được gọi là κ-co nếu với mọi tập con bị chặn B của X, ta có
lim
t→∞
κ (S (t) B) = 0.
Nửa nhóm {S (t)}
t≥0

trong không gian metric đầy đủ X được gọi là ω-
compact giới hạn, nếu với mọi tập con bị chặn B của X, ta có
lim
t→∞
κ


τ≥t
S (τ) B

= 0.
9
Tiếp theo ta định nghĩa tính compact tiệm cận
Định nghĩa 1.14. Giả sử X là một không gian Banach. Hệ động lực
(X, S(t)) gọi là compact tiệm cận nếu với mọi t > 0, S(t) có thể biểu
diễn dưới dạng
S (t) = S
(1)
(t) + S
(2)
(t) , (1.2)
ở đó S
(1)
(t) và S
(2)
(t) thỏa mãn các tính chất sau:
1) Với bất kì tập bị chặn B ⊂ X,
r
B
(t) = sup

y∈B
S
(1)
(t) y
X
→ 0, t → +∞;
2) Với bất kì tập bị chặn B ⊂ X, tồn tại t
0
sao cho tập hợp

γ
(2)
(t
0
) B

=


t≥t
0
S
(2)
(t) B

(1.3)
là compact trong X, ở đây [γ] là bao đóng của tập γ.
Một hệ động lực gọi là compact nếu nó là compact tiệm cận và ta có
thể lấy S
(1)

(t) ≡ 0 trong biểu diễn (1.2). Rõ ràng rằng bất kì hệ động
lực tiêu hao hữu hạn chiều nào cũng là compact.
Dễ dàng thấy rằng điều kiện (1.3) được thỏa mãn nếu tồn tại một
tập compact K trong X sao cho với bất kì tập bị chặn B ⊂ X, tồn tại
t
0
(B) sao cho S
(2)
(t) B ⊂ K, ∀t ≥ t
0
(B) . Nói riêng, một hệ tiêu hao
là compact nếu nó có một tập hấp thụ compact. Cuối cùng, chúng tôi
trình bày định nghĩa tập hút toàn cục. Tập hút toàn cục là đối tượng
trung tâm của lí thuyết các hệ động lực tiêu hao vô hạn chiều.
Định nghĩa 1.15. Một tập con khác rỗng A của X gọi là một tập hút
toàn cục đối với nửa nhóm S(t) nếu:
10
1) A là một tập đóng và bị chặn;
2) A là bất biến, tức là S (t) A = A, ∀t > 0;
3) A hút mọi tập con bị chặn B của X, tức là
lim
t→+∞
dist (S (t) B, A) = 0,
ở đó dist (E, F) = sup
a∈E
inf
b∈F
d (a, b) là nửa khoảng cách Hausdorff giữa hai
tập con E và F của X.
1.3.2. Một số bổ đề

Bổ đề sau đây rất hữu ích khi chứng minh tính compact tiệm cận.
Bổ đề 1.1. Nửa nhóm S(t) là compact tiệm cận nếu tồn tại một tập
compact K sao cho
lim
t→+∞
dist (S (t) B, K) = 0
với mọi tập B bị chặn trong X.
Chứng minh. Vì K là một tập compact nên với mọi t > 0 và u ∈ X, tồn
tại phần tử v := S
(2)
(t) u ∈ K sao cho
dist (S (t) u, K) = S (t) u − S
(2)
(t) u.
Do đó nếu đặt S
(1)
(t) u = S (t) u − S
(2)
(t) u, dễ thấy sự phân tích (1.2)
thỏa mãn tất cả các yêu cầu trong định nghĩa của tính compact tiệm
cận.
Bổ đề 1.2. Giả sử X là một không gian Banach và κ là độ đo không
compact Kuratowski của các tập bị chặn trong X. Khi đó κ có các tính
11
chất sau:
1) κ (B) = 0 khi và chỉ khi B tiền compact trong X, tức là Cl
X
B là
một tập compact trong X.
2) κ (B

1
+ B
2
) ≤ κ (B
1
) + κ (B
2
) với bất kì tổng tuyến tính B
1
+ B
2
.
3) κ (B
1
) ≤ κ (B
2
) bất cứ khi nào B
1
⊂ B
2
.
4) Giả sử X là tổng trực tiếp của hai không gian con tuyến tính đóng
X
1
và X
2
,
X = X
1
⊕ X

2
với dim X
1
< ∞,
và P : X → X
1
và Q : X → X
2
là phép chiếu chính tắc các toán tử. Giả
sử B là một tập bị chặn của X. Nếu
diam Q (B) < ε,
thì κ (B) < ε.
Bổ đề sau đây cung cấp mối quan hệ của khái niệm κ-co với compact
tiệm cận.
Bổ đề 1.3. Giả sử {S (t)}
t≥0
là nửa nhóm trong một không gian Banach
X. Nếu những điều kiện sau đây được thỏa mãn:
1) {S (t)}
t≥0
có một tập hấp thụ bị chặn trong X, và
2) {S (t)}
t≥0
là κ-co,
khi đó {S (t)}
t≥0
là compact tiệm cận và tồn tại một tập hấp thụ toàn
cục A trong X đối với nửa nhóm đó.
Bổ đề 1.4. Giả sử {S (t)}
t≥0

là một nửa nhóm trong không gian Banach
X, có hai tính chất sau:
1) Tồn tại một tập hấp thụ bị chặn B
0
⊂ X của {S (t)}
t≥0
, và
12
2) {S (t)}
t≥0
là compact tiệm cận trong X.
Khi đó tồn tại một tập hút toàn cục A của {S (t)}
t≥0
, đó là tập ω-giới
hạn của B
0
,
A = ω (B
0
)
def
=

τ≥0
Cl
X

t≥τ
(S (t) B
0

).
1.4. Số chiều fractal và số chiều Hausdorff
Định nghĩa 1.16. Giả sử M là một tập compact trong không gian metric
X. Khi đó số chiều fractal của M được định nghĩa bởi
dim
F
M = lim
→0
log
2
n (M, )
log
2
(1/)
= lim
→0
ln n (M, )
ln (1/)
,
ở đó n (M, ) là số tối thiểu các hình cầu đóng bán kính  cần dùng để
phủ M.
Định nghĩa 1.17. Giả sử M là một tập compact trong X. Với số dương
d và  ta đặt
µ(M, d, ) = inf

(r
j
)
d
,

ở đó inf được lấy trên tất cả các phủ của M bởi các hình cầu có bán kính
r
j
≤ . Rõ ràng µ(M, d, ) là một hàm đơn điệu đối với . Do đó tồn tại
µ(M, d) = lim
→0
µ(M, d, ) = sup
→0
µ(M, d, ).
Số chiều Hausdorff của tập hợp M được định nghĩa bởi
dim
H
M = inf {d : µ(M, d) = 0}.
13
1.5. Một số bất đẳng thức thường dùng
Chúng ta nhắc lại một số bất đẳng thức sơ cấp nhưng rất quan trọng
và thường xuyên được sử dụng:
• Bất đẳng thức Cauchy:
ab ≤
a
2
2
+
b
2
2
.
• Bất đẳng thức Cauchy với :
ab ≤ a
2

+
b
2
4
, ( > 0) .
• Bất đẳng thức Young: Cho 1 < p, q < ∞,
1
p
+
1
q
= 1. Khi đó
ab ≤
a
p
p
+
b
q
q
, (a, b > 0) .
• Bất đẳng thức Young với :
ab ≤ a
p
+ C () b
q
, (a, b,  > 0) ,
với C () = (p)
−q/p
q

−1
.
• Bất đẳng thức H¨older: Giả thiết 1 ≤ p, q ≤ ∞,
1
p
+
1
q
= 1. Khi đó
nếu u ∈ L
p
(Ω) , v ∈ L
q
(Ω) thì ta có:

Ω
|uv|dx ≤ u
L
p
(Ω)
. v
L
q
(Ω)
.
• Bất đẳng thức Gronwall: Giả sử x(t) là một hàm liên tục tuyệt đối
trên [0; T] và thỏa mãn
dx
dt
≤ g (t) x + h (t) , với hầu khắp t,

14
trong đó g (t) và h (t) là các hàm khả tích trên [0; T ]. Khi đó
x (t) ≤ x (0) e
G(t)
+

t
0
e
G(t)−G(s)
h (s) d (s) ,
với 0 ≤ t ≤ T, ở đó
G (t) =

t
0
g (r)dr.
Nói riêng, nếu a và b là các hằng số và
dx
dt
≤ ax + b,
thì
x (t) ≤

x (0) +
b
a

e
at

−
b
a
.
• Bất đẳng thức Gronwall dạng tích phân: Cho ξ (t) là một hàm khả
tích, không âm trên [0; T] và thỏa mãn với hầu khắp t bất đẳng
thức tích phân
ξ (t) ≤ C
1

t
0
ξ (s)ds + C
2
,
với C
1
, C
2
là các hằng số không âm. Khi đó
ξ (t) ≤ C
2

1 + C
1
te
C
1
t


với hầu khắp t, 0 ≤ t ≤ T.
15
Chương 2
TẬP HÚT TOÀN CỤC ĐỐI VỚI
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
GRAY-SCOTT
Trong chương này, chúng ta chứng minh sự tồn tại nghiệm, sự tồn tại
tập hút toàn cục và đánh giá số chiều fractal của tập hút toàn cục của
nửa nhóm sinh bởi nghiệm của bài toán. Kết quả của chương này dựa
trên bài báo [14].
2.1. Đặt bài toán
Hệ phương trình Gray-Scott sinh ra từ mô hình liên tục, đẳng
nhiệt, phản ứng tán xạ giữa hai chất hóa học với nồng độ u(t, x) và
v(t, x). Giả sử Ω là miền bị chặn trong R
n
, n ≤ 3. Ta xét hệ phương
trình Gray-Scott
∂u
∂t
= d
1
∆u − (F + k)u + u
2
v, t > 0, x ∈ Ω, (2.1)
∂v
∂t
= d
2
∆v + F (1 − v) − u
2

v, t > 0, x ∈ Ω, (2.2)
với điều kiện biên Neumann thuần nhất
∂u
∂ν
(t, x) = 0,
∂v
∂ν
(t, x) = 0, t > 0, x ∈ ∂Ω, (2.3)
16
trong đó d
1
, d
2
, F và k là các hằng số dương và
∂
∂ν
là đạo hàm pháp
tuyến ngoài, với điều kiện ban đầu cho trước
u(0, x) = u
0
(x), v(0, x) = v
0
(x), x ∈ Ω. (2.4)
Ta không giả sử điều kiện ban đầu u
0
, v
0
là không âm hoặc bị chặn.
Thực tế nghiệm (u, v) không cần thiết không âm.
Theo định lí Lumer-Phillips và định lí sinh nửa nhóm giải tích, toán tử

tuyến tính
A =


d
1
∆ 0
0 d
2
∆


: D(A) → H, (2.5)
trong đó
D(A) = {(ϕ, ψ) ∈ H
2
(Ω) × H
2
(Ω) :
∂ϕ
∂ν
= 0,
∂ψ
∂ν
= 0},
là phần tử sinh C
0
−nửa nhóm giải tích e
At
, t ≥ 0 trên không gian Hilbert

H. Thật vậy, H
1
(Ω) → L
6
(Ω) là phép nhúng liên tục với n ≤ 3 và bất
đẳng thức H¨older tổng quát hóa,
u
2
v ≤ u
2
L
6
v
L
6
, với u, v ∈ L
6
(Ω),
ta cần kiểm tra rằng ánh xạ phi tuyến
f(u, v) =


−(F + k)u + u
2
v
F (1 − v) − u
2
v



: E → H (2.6)
là ánh xạ liên tục Lipschitz địa phương được định nghĩa trên E. Khi đó
bài toán (2.1)-(2.4) trở thành bài toán giá trị ban đầu của hệ phương
17
trình tiến hóa Gray-Scott
dw
dt
= Aw + f(w), t > 0,
w(0) = w
0
= col (u
0
, v
0
) ∈ H, (2.7)
trong đó w(t) = col (u(t, ·), v(t, ·)) , hoặc viết lại (u(t, ·), v(t, ·)) và tương
tự w
0
= (u
0
, v
0
). Theo định lí về phương trình tiến hóa, ta cần sử dụng
định lí ánh xạ co và bất đẳng thức Gronwall-Henry để chứng minh sự
tồn tại địa phương và tính duy nhất của nghiệm mạnh w(t) của bài toán
(2.7). Nghiệm mạnh này có tính chất
w ∈ C([0, T
max
); H) ∩ C
1

((0, T
max
); H) ∩ L
2
([0, T
max
); E), (2.8)
trong đó [0, T
max
) là khoảng tồn tại cực đại. Sau đây chúng tôi sẽ chứng
minh sự tồn tại nghiệm mạnh của hệ phương trình Gray-Scott
2.2. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm
Để đơn giản ta viết u(t), v(t) hoặc u, v thay cho u(t, x), v(t, x).
Bổ đề 2.1. Với điều kiện ban đầu bất kì w
0
= (u
0
, v
0
) ∈ H, tồn tại
duy nhất nghiệm mạnh, toàn cục w(t) = (u(t), v(t)), t ∈ [0, ∞) của hệ
phương trình Gray-Scott (2.7).
Chứng minh. Lấy tích vô hướng (2.2) với v(t), và từ điều kiện biên Neu-
mann thuần nhất, ta có
1
2

d
dt
v

2
+ 2d
2
∇v
2
+ F v
2

= −
F
2
v − 1
2
− uv
2
+
F
2
|Ω|
≤
F
2
|Ω|. (2.9)
18
Điều này chỉ ra
v(t)
2
≤ e
−F t
v

0

2
+ |Ω|, t ∈ [0, T
max
). (2.10)
Vì vậy, ta có
lim sup
t→∞
v(t)
2
≤ ρ
0
= 2|Ω|. (2.11)
Với mỗi t ≥ 0, (2.9) chỉ ra rằng

t+1
0
∇v(s)
2
ds ≤
1
2d
2
(v(t)
2
+ F |Ω|) ≤
1
2d
2

(e
−F t
v
0

2
+ (F + 1)|Ω|).
(2.12)
Bây giờ ta xử lí u−thành phần theo cách dưới đây. Cộng (2.1) và (2.2)
ta nhận được một phương trình thỏa mãn y(t) = u(t) + v(t), sao cho
y
t
= d
1
∇y − (F + k)y + [(d
2
− d
1
)∇v + kv + F ]. (2.13)
Lấy tích vô hướng (2.13)với y(t) và từ điều kiện biên Neumann, ta có
1
2
d
dt
y
2
+ d
1
∇y
2

+ (F + k)y
2
=

Ω
[(d
2
− d
1
)∇v + kv + F ]ydx
≤
d
1
2
∇y
2
+
|d
1
− d
2
|
2
2d
1
∇v
2
+
k
2

(y
2
+ v
2
) +
F
2
(y
2
+ |Ω|)
(2.14)
Điều này chỉ ra rằng
d
dt
y
2
+ d
1
∇y
2
+ (F + k)y
2
≤
|d
1
− d
2
|
2
d

1
∇v
2
+ kv
2
+ F |Ω|
≤
|d
1
− d
2
|
2
d
1
∇v
2
+ ke
−F t
v
0

2
+ (F + k)|Ω|. (2.15)
Tích phân bất đẳng thức (2.15) chỉ ra rằng nghiệm mạnh y(t) của phương
trình (2.13) thỏa mãn
y(t)
2
≤ u
0

+ v
0

2
+
|d
1
− d
2
|
2
d
1

t
0
∇v(s)
2
ds+
k
F
v
0

2
+t(F +k)|Ω|.
19
Hơn nữa, từ (2.9) ta thấy
2d
2


t
0
∇v(s)
2
ds ≤ v
0

2
+ F |Ω|t.
Vì vậy, với t ∈ [0, T
max
), điều đó chỉ ra rằng
y(t)
2
≤ u
0
+ v
0

2
+

k
F
+
|d
1
− d
2

|
2
2d
1
d
2

v
0

2
+

F + k + F
|d
1
− d
2
|
2
2d
1
d
2

|Ω|t. (2.16)
Chú ý rằng w(t)
2
= u(t)
2

+ v(t)|
2
và u(t) ≤ y(t) + v(t). Vì
vậy, từ (2.10) và (2.16) nghiệm w(t) = (u(t), v(t)) của (2.7) không bao
giờ mất đi trong không gian H tại thời gian bất kì. Thật vậy, ta chỉ ra
rằng tồn tại tập hút toàn cục của nghiệm mạnh của hệ phương trình
Gray-Scott (2.7), vì vậy T
max
= +∞ với mọi nghiệm.
Do Bổ đề 2.1, họ nghiệm mạnh toàn cục {w(t; w
0
) : t ≥ 0, w
0
∈ H}
của hệ phương trình Gray-Scott (2.7) được định nghĩa là một nửa nhóm
trên H
S(t) : w
0
→ w(t; w
0
), t ≥ 0, w
0
∈ H,
được gọi là nửa nhóm Gray-scott hoặc nghiệm nửa nhóm sinh bởi hệ
phương trình Gray-Scott.
2.3. Sự tồn tại tập hút toàn cục
Định lý 2.1. (Định lí chính) Với các tham số dương bất kì d
1
, d
2

, F, k,
tồn tại tập hút toàn cục A trong H của nửa nhóm {S(t)}
t≥0
sinh bởi
nghiệm của hệ phương trình Gray-Scott (2.1)− (2.2) với điều kiện biên
Neumann (2.3).
20
Để chứng minh Định lí 2.1 ta phải chứng minh nửa nhóm Gray-Scott
có một tập hấp thụ bị chặn và có tính chất κ−co. Đầu tiên ta xét sự tồn
tại tập hấp thụ
2.3.1. Sự tồn tại tập hấp thụ
Bổ đề 2.2. Tồn tại tập hấp thụ bị chặn B
0
⊂ H cho nửa nhóm Gray-
Scott {S(t)}
t≥0
,
B
0
= {w ∈ H : w
2
≤ K
0
}, (2.17)
trong đó K
0
là hằng số dương độc lập với dữ kiện ban đầu.
Chứng minh. Nhân (2.15) với e
(F +k)t
, ta được

d
dt

e
(F +k)t
y(t)
2

≤
|d
1
− d
2
|
2
d
1
e
(F +k)t
∇v(t)
2
+ (ke
−F t
v
0

2
+ (F + k)|Ω|)e
(F +k)t
.

Tích phân bất đẳng thức trên ta được
y(t)
2
≤ e
−(F +k)t
u
0
+ v
0

2
+
|d
1
− d
2
|
2
d
1

t
0
e
−(F +k)(t−τ )
∇v(τ)
2
dτ
(2.18)
+


t
0
e
−(F +k)t+kτ
kv
0

2
dτ +

t
0
(F + k)|Ω|e
−(F +k)(t−τ )
dτ
≤ e
−(F +k)t
u
0
+ v
0

2
+
|d
1
− d
2
|

2
d
1

t
0
e
−(F +k)(t−τ )
∇v(τ)
2
dτ
+ e
−F t
v
0

2
+ |Ω|.
Xử lí số hạng

t
0
e
−(F +k)(t−τ )
∇v(τ)
2
dτ,
21