Mở rộng định lý forell cho ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
NGUYỄN THỊ THẮM
MỞ RỘNG ĐỊNH LÝ FORELLI CHO
ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH VÀO KHÔNG GIAN PHỨC
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02
Người hướng dẫn khoa học
TS. Lê Tài Thu
HÀ NỘI, 2014
Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Lê Tài Thu, người đã định
hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận
văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, các
thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học
Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi trong suốt quá
trình học tập.
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,
bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi
trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 12 năm 2014
Tác giả
Nguyễn Thị Thắm
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của TS. Lê Tài Thu, luận văn Thạc
sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài: “Mở rộng định lý Forelli
cho ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức” được hoàn thành
bởi nhận thức của bản thân tác giả.
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những

thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 12 năm 2014
Tác giả
Nguyễn Thị Thắm
Mục lục
Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Chương 1. Định lý Hartogs cho hàm chỉnh hình . 5
1.1. Hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. Định lý Hartogs cho hàm chỉnh hình. . . . . . . . . . 12
Chương 2. Định lý Forelli đối với ánh xạ chỉnh hình vào không
gian phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1. Hàm đa điều hòa dưới và tập đa cực. . . . . . . . . . . . 20
2.1.1. Hàm đa điều hòa dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.2. Tập đa cực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2. Định lý Forelli đối với hàm chỉnh hình và ánh xạ chỉnh hình vào
không gian phức kiểu Stein . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3. Định lý Forelli đối với ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức.
33
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Như chúng ta đã biết định lý cổ điển của Hartogs nói rằng nếu một hàm
xác định trên một miền trong C
n
, chỉnh hình theo từng biến riêng rẽ thì
chỉnh hình trên cả miền đó. Về trực giác hình học, điều này có nghĩa là
nếu một hàm chỉnh hình trên giao của miền với từng đường thẳng song
song với trục tọa độ thì sẽ chỉnh hình trên cả miền đó. Một vấn đề rất
tự nhiên được đặt ra là nếu chúng ta thay họ đường thẳng song song

với trục tọa độ bởi họ đường thẳng kiểu khác thì định lý Hartogs có còn
đúng không? Nói cách khác có hay không những định lý Hartogs đối với
những họ đường thẳng không nhất thiết song song với trục tọa độ?
Xuất phát từ những ý tưởng trên vào cuối những năm bảy mươi của thế
kỷ hai mươi F. Forelli đã chứng minh một định lý đẹp đẽ nói rằng định
lý Hartogs vẫn còn đúng đối với họ đường thẳng đi qua gốc tọa độ. Cụ
thể ông đã chứng minh định lý sau: Giả sử f : B
n
→ C là hàm sao cho
f chỉnh hình ở trên giao của B
n
với mỗi đường thẳng phức  đi qua gốc
tọa độ, và f là hàm lớp C
∞
trong một lân cận của điểm gốc. Thế thì f
chỉnh hình trong B
n
. Lưu ý một điều rằng điều kiện f là nhẵn trong một
lân cận của điểm gốc là không thể bỏ được.
Một vấn đề được đặt ra là xem xét định lý Forelli nói trên cho lớp ánh
xạ chỉnh hình vào không gian phức. Thật vậy vấn đề này là hoàn toàn
1
2
rất tự nhiên bởi lẽ đã có nhiều kết quả của các nhà toán học trên thế giới
đề cập đến việc mở rộng định lý Hartogs cổ điển cho lớp ánh xạ chỉnh
hình vào không gian phức. Năm 2003 Đỗ Đức Thái và Phạm Ngọc Mai
đã chứng tỏ định lý Forelli vẫn còn đúng đối với lớp ánh xạ chỉnh hình
vào không gian phức kiểu Stein.
Với những lý do trên và mong muốn tìm hiểu sâu hơn về định lý Forelli
được sự định hướng của người hướng dẫn tôi đã chọn đề tài: “Mở rộng

định lý Forelli cho ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức”
để thực hiện luận văn tốt nghiệp chương trình đào tạo Thạc sĩ chuyên
ngành Toán giải tích.
Nội dung chính của luận văn là mở rộng định lý Forelli cho lớp ánh xạ
chỉnh hình vào không gian phức tùy ý.
Đề tài đã chỉ ra được rằng trong trường hợp tổng quát thì ánh xạ f là
chỉnh hình ngoài một tập đa cực trên mặt cầu. Trong đề tài này, chúng
tôi đưa vào lớp không gian phức có tính chất Forelli và chứng tỏ rằng
những không gian phức kiểu Hartogs đều có tính chất Forelli. Đồng thời
khẳng định ngược lại cũng đúng đối với lớp không gian phức K¨ahler lồi
chỉnh hình. Một phản ví dụ được cho sau đó chỉ ra rằng điều kiện K¨ahler
là không thể bỏ được.
Cuối cùng, chúng tôi muốn bình luận đôi điều về sự so sánh giữa hai
định lý Hartogs và định lý Forelli. Chúng ta thấy, trong định lý Hartogs
thì hàm đã cho chỉnh hình trên họ các đường thẳng song song với trục
tọa độ. Ta cũng có thể xem họ đường thẳng này cùng đi qua điểm vô
3
cùng. Điều này cũng tương đồng với giả thiết về tính chỉnh hình của
hàm trên họ đường thẳng đi qua gốc tọa độ trong định lý Forelli. Mặt
khác khó khăn cơ bản trong chứng minh định lý Hartogs là ta không có
được tính liên tục của hàm đã cho. Bù lại họ các đường thẳng song song
với trục tọa độ là rất nhiều. Trong định lý Forelli thì ngược lại, tính liên
tục tại gốc tọa độ của hàm đã được giả thiết nhưng họ đường thẳng đi
qua gốc tọa độ thì không nhiều. Trong định lý Forelli nhờ vào tính nhẵn
của hàm tại gốc nên cách chứng minh là không khó như trong định lý
Hartogs.
Đề tài này gồm hai chương:
Chương 1 dành cho việc nhắc lại một số khái niệm cơ bản và các kết
quả đã biết về hàm biến số phức và các kết quả có liên quan tới đề tài.
Phần cuối của chương dành cho việc nhắc lại một số kết quả đã biết về

định lý cổ điển của Hartogs.
Chương 2 dành cho việc mở rộng định lý Forelli từ lớp hàm chỉnh hình
lên lớp ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức tùy ý.
2. Mục đích nghiên cứu
Mở rộng định lý Forelli cho lớp ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức
tùy ý.
4
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu định lý Hartogs cổ điển;
- Nghiên cứu định lý Forelli cho hàm chỉnh hình;
- Mở rộng định lý Forelli cho ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức
tùy ý.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là định lý Hartogs cổ điển và mở rộng định lý Forelli
cho ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức tùy ý. Phạm vi nghiên cứu
của luận án là lớp ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức tùy ý.
5. Phương pháp nghiên cứu
Để giải quyết nhiệm vụ của đề tài chúng tôi đã vận dụng một cách linh
hoạt các kết quả của hình học giải tích phức, giải tích phức nhiều biến.
6. Đóng góp mới của luận văn
Hệ thống lại cách chứng minh định lý Hartogs cổ điển. Mở rộng định lý
Forelli cho lớp ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức tùy ý. Luận văn
chỉ ra được rằng trong trường hợp tổng quát thì ánh xạ f là chỉnh hình
ngoài một tập đa cực trên mặt cầu. Chúng tôi đưa vào lớp không gian
phức có tính chất Forelli và chứng tỏ rằng những không gian phức kiểu
Hartogs đều có tính chất Forelli.
Chương 1
Định lý Hartogs cho hàm chỉnh
hình
Trong chương này trình bày một số kiến thức chuẩn bị nhằm phục vụ

cho chương sau. Nội dung của chương trình bày một số kiến thức về hàm
chỉnh hình, tiếp sau trình bày về định lý Hartogs cổ điển, hàm đa điều
hòa dưới và tập đa cực trong mặt phẳng phức.
1.1. Hàm chỉnh hình
Cho z = (z
1
, z
2
, . . . , z
n
) ∈ C
n
. Với mỗi z ∈ C
n
hai chuẩn trên C
n
thường
được sử dụng là chuẩn Euclide
z = (z
1
¯z
1
+ ···+ z
n
¯z
n
)
1
2
và chuẩn max

|z| = max{|z
1
|, . . . , |z
n
|}.
Dễ thấy rằng hai chuẩn này là tương đương vì ta có
|z| ≤ z ≤
√
n|z| ∀z ∈ C
n
.
Cho a ∈ C
n
và r > 0. Một đa đĩa mở tâm tại a bán kính r là tập hợp
D(a, r) = {z ∈ C
n
: |z −a| < r}.
5
6
Đa đĩa đóng tâm a bán kính r là tập hợp
¯
D(a, r) = {z ∈ C
n
: |z −a| < r}.
Trước tiên, chúng tôi nhắc lại định nghĩa hàm R
2n
-khả vi.
Định nghĩa 1.1. Giả sử Ω là tập mở trong C
n
và cho điểm a ∈ Ω. Hàm

f : Ω −→ C gọi là R
2n
-khả vi (hay khả vi) tại điểm a ∈ Ω nếu tồn tại vi
phân
df =
∂f
∂x
1
dx
1
+ ···+
∂f
∂x
n
dx
2n
. (1.1)
Nếu hàm f là R
2n
-khả vi tại mọi điểm a ∈ Ω thì hàm f được gọi là
R
2n
-khả vi trong Ω.
Với các số phức z
ν
, ¯z
ν
ta đặt
x
ν

=
z
ν
+ ¯z
ν
2
, x
n+ν
=
z
ν
+ ¯z
ν
2i
.
Khi đó, ta có thể viết lại (1.1) dưới dạng
df =
∂f
∂z
1
dz
1
+ ···+
∂f
∂z
n
dz
n
+
∂f

∂¯z
1
dz
1
+ ···+
∂f
∂¯z
n
d¯z
n
,
trong đó, với ν = 1, . . . , n ta đặt
∂f
∂z
ν
=
1
2
(
∂f
∂x
ν
− i
∂f
∂x
n+ν
),
∂f
∂¯z
ν

=
1
2
(
∂f
∂x
ν
+ i
∂f
∂x
n+ν
).
Sau đây, chúng tôi nhắc lại định nghĩa hàm C
n
-khả vi.
Định nghĩa 1.2. Giả sử Ω là tập mở trong C
n
và cho điểm a ∈ Ω. Hàm
f : Ω −→ C gọi là C
n
-khả vi tại điểm a nếu f là hàm R
2n
-khả vi tại a
và tại điểm này
∂f
∂¯z
ν
= 0, ν = 1, . . . , n, (1.2)
7
tức là vi phân có dạng

df =
∂f
∂z
1
dz
1
+ ···+
∂f
∂z
n
dz
n
.
Nếu hàm f là C
n
-khả vi tại mọi điểm a ∈ Ω thì hàm f được gọi là C
n
-khả
vi trong Ω.
Ta cũng nhớ lại khái niệm hàm chỉnh hình qua định nghĩa dưới đây.
Định nghĩa 1.3. Hàm C
n
-khả vi tại mỗi điểm của lân cận nào đó của
điểm z
0
∈ C
n
, được gọi là hàm chỉnh hình tại điểm z
0
. Hàm chỉnh hình

tại mỗi điểm của tập mở Ω nào đó được gọi là chỉnh hình trên Ω.
Trước hết, chúng tôi nhắc lại một số tính chất cơ bản của hàm chỉnh
hình nhiều biến.
Kí hiệu:
Hàm f liên tục trong miền D ⊂ C
n
theo tập hợp các biến và tại mỗi
điểm z
0
∈ D hàm f chỉnh hình theo từng tọa độ. (*)
Chú ý rằng, sau khi chứng minh định lý Hartogs cổ điển thì tính chất
liên tục của hàm f được suy ra từ tính chỉnh hình theo mỗi biến.
Mệnh đề 1.1. Nếu hàm f thỏa mãn điều kiện (*) trong U = {z ∈ C
n
:
|z
ν
−a
ν
| ≤ r
ν
}, thì tại mỗi điểm z ∈ U hàm f được biểu diễn dưới dạng
tích phân bội Cauchy
f(z) =
1
(2πi)
n

Γ
f(ζ)

(ζ
1
− z
1
) . . . (ζ
n
− z
n
)
dζ
1
. . . dζ
n
, (1.3)
trong đó trong đó Γ là khung của đa tròn, tức là tích của các vòng tròn
biên γ
ν
= {|ζ
ν
− a
ν
| = r
ν
}.
8
Chứng minh. Với bất kì z ∈ U gọi

z và

U tương ứng là hình chiếu trong

không gian C
n−1
của z và U, ta có

z ∈

U.
Hàm f(z) = f(

z, z
n
) chỉnh hình theo biến z
n
trong hình tròn {|z
n
−
a
n
| ≤ r}. Do đó, áp dụng công thức tích phân đối với hàm một biến ta
thu được
f(z) =
1
2πi

γ
n
f(

z, ζ
n

)
(ζ
n
− z
n
)
dζ
n
.
Với ζ
n
∈ γ
n
và

z ∈

U tùy ý, hàm dưới dấu tích phân có thể biểu diễn
bởi tích phân Cauchy theo biến z
n−1
. Hơn nữa, do f liên tục theo tập
hợp biến, nên tích phân lặp có thể biểu diễn như tích phân bội theo tích
γ
n−1
× γ
n
. Tiếp tục lặp lại lý luận như trên cho tới biến z
1
ta thu được
công thức (1.3).

Mệnh đề 1.2. Nếu hàm f liên tục trong đa tròn đóng U ⊂ C
n
theo tập
các biến và tại mỗi z
0
∈ U, chỉnh hình theo mỗi tọa độ, thì tại mỗi điểm
z ∈ U hàm f được biểu diễn bởi chuỗi lũy thừa
f(z) =
∞

|k|=0
c
k
(z −a)
k
(1.4)
với các hệ số
c
k
=
1
(2πi)
n

Γ
f(ζ)
(ζ − a)
k+1
dζ,
trong đó Γ là khung của đa tròn, tức là tích của các vòng tròn biên

γ
ν
= {|ζ
ν
−a
ν
| = r
ν
}, k = (k
1
, . . . , k
n
), k
ν
≥ 0, ν = 1, . . . , n và (z −a)
k
=
(z
1
− a
1
)
k
1
. . . (z
n
− a
n
)
k

n
.
Chứng minh. Từ công thức tích phân Cauchy (1.3), ta có thể viết dưới
9
dạng đơn giản hơn
f(z) =
1
(2πi)
n

Γ
f(ζ)
ζ − z
dζ, (1.5)
trong đó dζ = dζ
1
. . . dζ
n
và
1
ζ − z
=
1
(ζ
1
− z
1
) . . . (ζ
n
− z

n
)
. Bây giờ ta
khai triển nhân trong tích phân (1.5) thành tích cấp số nhân bội:
1
ζ − z
=
1
ζ − a
1
(1 −
z
1
−a
1
ζ
1
−a
1
) . . . (1 −
z
n
−a
n
ζ
n
−a
n
)
=

1
ζ − a
∞

|k|=0
(
z −a
ζ − a
)
k
,
trong đó k ∈ N
n
và |k| = k
1
+ . . . + k
n
, và
(
z −a
ζ − a
)
k
= (
z
1
− a
1
ζ
1

− a
1
)
k
1
. . . (
z
n
− a
n
ζ
n
− a
n
)
k
n
. (1.6)
Hay
1
ζ − z
=
∞

|k|=0
(z −a)
k
(ζ − a)
k+1
),

trong đó k + 1 = (k
1
+ 1, . . . , k
n
+ 1). Mặt khác, với bất kì z ∈ U chuỗi
(1.6) hội tụ tuyệt đối và đều trên Γ theo ζ. Nhân chuỗi (1.6) với hàm
f(ζ)
(2πi)
n
, hàm này liên tục trên Γ nên bị chặn trên Γ. Sau đó, lấy tích
phân từng phần ta thu được biểu diễn (1.4).
Mệnh đề 1.3. Nếu hàm f chỉnh hình tại điểm a, được khai triển thành
chuỗi lũy thừa dạng (1.4), thì các hệ số của chuỗi này được xác định
theo công thức Taylor
c
k
=
1
k
1
! . . . k
n
!
∂
k
1
+ +k
n
∂z
k

1
1
. . . ∂z
k
n
n
=
1
k!
∂
|k|
f
∂z
k




z=a
, (1.7)
trong đó k! = k
1
! . . . k
n
!.
10
Mệnh đề 1.4. (Bất đẳng thức Cauchy) Nếu f là hàm chỉnh hình trong
đa tròn đóng U = {|z
ν
− a

ν
| ≤ r
ν
} và |f| ≤ M trên khung Γ của nó,
thì các hệ số trong khai triển Taylor của f tại điểm a thỏa mãn các bất
đẳng thức
|c
k
| ≤
M
r
k
,
trong đó r
k
= r
k
1
1
. . . r
k
n
n
.
Định lý 1.1. Hàm f bất kì chỉnh hình trong tích các vòng tròn

=
{z ∈ C
n
: r

ν
|z
ν
− a
ν
| < R
ν
} có thể biểu dễn trong

dưới dạng chuỗi
Laurent
f(z) =
∞

|k|=−∞
c
k
(z −a)
k
, (1.8)
trong đó tổng được lấy theo mọi k = (k
1
, . . . , k
n
) ∈ N
n
, còn hệ số
c
k
=

1
(2πi)
n

Γ
f(ζ)dζ
(ζ − a)
k+1
trong đó Γ là tích các vòng tròn γ
ν
= {ζ
ν
= a
ν
+ ρ
ν
e
it
} ν = 1, . . . , n;
r
ν
ρ
ν
< R
ν
, 0 ≤ t ≤ 2π.
Chứng minh. Giả sử z
0
là điểm tùy ý của D, khi đó đa tròn
¯

U = {|z
ν
−
a
ν
| ≤ |z
0
ν
−a
ν
|} ⊂ D. Áp dụng Mệnh đề 1.3, hàm f biểu diễn được trong
U bởi khai triển Taylor tâm a. Các hệ số của chuỗi này tính được qua
các đạo hàm của f tại điểm a, tức là trùng với các c
k
. Tức là ta nhận
được khai triển
f(z) =
∞

|k|=−∞
c
k
(z −a)
k
.
11
Định lý 1.2. (Tính duy nhất) Nếu f chỉnh hình trên tập mở liên thông
Ω ⊂ C
n
, và f triệt tiêu cùng với mọi đạo hàm riêng tại điểm z

0
nào đó
của miền Ω, thì f(z) = 0 với mọi điểm z ∈ Ω.
Chứng minh. Giả sử z
0
∈ Ω là điểm tùy ý. Khi đó, mọi hệ số khai triển
Taylor của f tại z
0
bằng 0. Do đó, f ≡ 0 trong lân cận nào đó của điểm
z
0
này. Đặt E = {z ∈ Ω : f(z) = 0} và
o
E là phần trong của E. Tập
o
E
là tập mở và khác rỗng vì nó chứa z
0
. Ta cũng thấy rằng
o
E là tập đóng
trong D và do đó
o
E ≡ 0.
Định lý 1.3. (Liouville) Nếu f chỉnh hình trong C
n
và |f| là hàm bị
chặn thì f là hàm hằng trên C
n
.

Chứng minh. Ta chứng minh bằng quy nạp theo n. Với n = 1, định lý
đã được chứng minh cho hàm một biến. Giả sử định lý đúng cho hàm
(n−1) biến. Ta chọn các điểm tùy ý a, b ∈ C
n
, do theo giả thiết quy nạp
nên hàm f(

z, a
n
) là hàm hằng. Do đó, f(a) = f(

b, a
n
). Mặt khác, hàm
f(

b, a
n
) cũng là hằng số, như vậy f(

b, a
n
) = f(b). Do đó f(a) = f(b),
nghĩa là định lý đúng cho hàm n biến.
Định lý 1.4. (Nguyên lý môdun cực đại) Nếu f chỉnh hình trên tập mở
liên thông Ω ⊂ C
n
, và |f| đạt cực đại tại điểm a ∈ D nào đó, thì f là
hàm hằng trong Ω.
Chứng minh. Xét đường thẳng giải tích tùy ý

(ζ) = a + ωζ
đi qua a. Hạn chế của f trên đường thẳng này là hàm
ϕ
ω
(ζ) = f ◦ (ζ),
12
hàm này chỉnh hình trong hình tròn {|ζ| < ρ} nào đó, còn |ϕ
ω
| chỉ đạt
cực đại khi ζ = 0. Theo nguyên lý môdun cực đại đối với hàm một biến
phụ thuộc vào hằng số ω,
ϕ
ω
(ζ) = c(ω).
Mặt khác, ϕ
ω
(0) = f(a) không phụ thuộc vào ω, nên c(ω) =const trong
lân cận của điểm a. Áp dụng Định lý 1.2 ta có f =const trong D.
Định nghĩa 1.4. (Tách chỉnh hình) Giả sử Ω là một tập mở trong
C
n
, n ≥ 2. Hàm f : Ω → C gọi là tách chỉnh hình nếu f chỉnh hình theo
mỗi biến khi ta cố định các biến còn lại.
1.2. Định lý Hartogs cho hàm chỉnh hình
Trong mục này chúng tôi trình bày các kết quả đã biết về định lý cổ
điển của Hartogs. Với mỗi R > 0 ta đặt
B
n
R
= B

n
(0, R) = {z ∈ C
n
: z < R}, B
n
= B
n
1
.
Bổ đề 1.1. Giả sử hàm ϕ chỉnh hình trong hình tròn U
r
= {z ∈ C :
|z| < r} và ϕ = 0 tại z
0
∈ U
r
nào đó và |ϕ| ≤ M trong U
r
. Khi đó trong
U
r
ta có
|ϕ(z)| ≤ Mr
|z −z
0
|
|r
2
− ¯z
0

z|
. (1.9)
Chứng minh. Ta chọn ánh xạ phân tuyến tính U
r
lên vòng tròn đơn vị
U
λ : z → r ·
z −z
0
r
2
− ¯z
0
z
.
13
Với λ
−1
là ánh xạ ngược U → U
r
và xét hàm
ϕ =
1
M
ϕ ◦λ
−1
.
Hàm này thỏa mãn các điều kiện của bổ đề Schwarts thông thường, do
đó
|ϕ(z)| ≤ |z| khắp nơi trong U.

Cuối cùng ta thay z bởi λ(z) ta thu được
|ϕ(z)| ≤ Mr
|z −z
0
|
|r
2
− ¯z
0
z|
.
Bổ đề được chứng minh.
Bổ đề 1.2. Giả sử hàm f chỉnh hình theo mỗi biến z
v
trong đa tròn
U = U(a, r) và giới nội trong U thì nó liên tục tại mỗi điểm của U theo
tập hợp biến.
Chứng minh. Giả sử z
0
, z ∈ U là các điểm tùy ý. Ta viết tách số gia của
f như tổng của các số gia theo các tọa độ riêng biệt
f(z) −f(z
0
) =
n

ν=1
(f(z
0
1

, . . . , z
0
ν−1
, z
ν
, . . . , z
n
)
− f(z
0
ν
, . . . , z
0
ν
, z
ν+1
, . . . , z
n
)). (1.10)
Ta xét số hạng thứ ν như hàm ϕ
ν
của biến z
ν
với các giá trị cố định của
đối số còn lại.
Nếu |f| ≤
M
2
trong U, thì hàm ϕ
ν

thỏa mãn các điều kiện của Bổ đề
1.1.
Áp dụng bất đẳng thức (1.9) cho mỗi số hạng của tổng (1.10) ta có
|f(z) −f(z
0
)| ≤ M
n

ν=1
r
ν
|z
0
− z
0
ν
|
|r
2
ν
− ¯z
0
ν
z
ν
|
→ 0
14
khi z → z
0

. Do đó f liên tục tại z
0
và do z
0
tùy ý trong U nên ta có
khẳng định của bổ đề.
Bổ đề 1.3. Biểu diễn đa tròn U = {z ∈ C
n
: |z
v
| < R} như tích của

U = {

z ∈ C
n−1
: |z
v
| < R} với hình tròn U
n
= {z
n
∈ C : |z
n
| < R}. Nếu
hàm f(

z, z
n
) liên tục theo


z trong

U đối với z
n
∈ U
n
tùy ý và liên tục
theo z
n
trong U
n
đối với

z ∈

U tùy ý thì tồn tại đa tròn W =

W ×U
n
trong U, trong đó f giới nội.
Chứng minh. Với

z ∈

U cố định, ta kí hiệu
M(

z) = max
z

n
∈U
n
|f(

z, z
n
)|
và xét các tập hợp
E
m
= {

z ∈

U : M(

z) ≤ m}.
Các tập E
m
là các tập đóng. Thật vậy, nếu

z
µ
∈ E
m
, µ = 1, 2, . . . và

z
µ

→

z thì f(

z
λ
, z
n
) ≤ m với z
n
∈
U
n
tùy ý, điều này có được do tính
liên tục của f theo

z, do đó |f(

z, z
n
)| ≤ m đối với z
n
∈ U
n
tùy ý, hay
M(

z) ≤ m, hay

z ∈ E

m
.
Hiển nhiên, các E
m
lập thành một dãy tăng, và điểm

z ∈

U là tùy ý
thuộc mọi E
m
từ m nào đó.
Ta thấy rằng, tồn tại E
m
chứa miền

G ⊂

U nào đó. Thật vậy, giả
sử trái lại, mọi E
m
là không đâu trù mật, nhưng khi đó trong

U tồn tại
hình cầu
¯
B

⊂
¯

C
n−1
không chứa các điểm của E
1
, trong B
1
tồn tại hình
cầu
¯
B
2
không chứa các điểm của E
2
, . . . , cứ tiếp tục lập luận như trên
ta xây dựng được dãy các hình cầu
¯
B
k
⊂ C
n−1
và chúng có điểm chung
là

z
0
∈

U và điểm này không thuộc vào bất kì một E
m
nào.

15
Như vậy, tồn tại miền

G trong đó |f(

z, z
n
)| ≤ M đối với z
n
∈ U
n
tùy
ý. Bây giờ ta chọn trong

G đa tròn

W = {

z : |z
ν
− z
0
ν
| < r}, và khi đó
trong W =

W ×U
n
ta có |f| ≤ M.
Bây giờ ta sử dụng các kí hiệu


V = U(

a, R),

W = U(

a, r), r < R,
U
n
= {|z
n
| < R}, V =

V ×U
n
, W =

W ×U
n
.
Bổ đề 1.4. Giả sử hàm f(

z, z
n
) chỉnh hình theo

z trong

V với z

n
∈ U
n
tùy ý và chỉnh hình theo z trong W thì nó chỉnh hình trong toàn đa tròn
V .
Chứng minh. Không mất tính tổng quát ta coi

a =

0. Đối với z
n
∈ U
n
cố định tùy ý và

z ∈

V tùy ý, do hàm f chỉnh hình theo biến

z nên f
biểu diễn được bởi chuỗi lũy thừa hội tụ
f(z) =
∞

|k|=0
c
k
(z
n
)(


z)
k
, (1.11)
trong đó k = (k
1
, . . . , k
n−1
). Các hệ số của chuỗi này là
c
k
(z
n
) =
1
k!
∂
|k|
f(

0, z
n
)
(∂

z)
k
chỉnh hình trong hình tròn U
n
, vì c

k
là đạo hàm của hàm chỉnh hình
theo z
n
với điểm (

0, z
n
) ∈ W. Do đó, các hàm
1
|k|
ln |c
k
(z
n
)|
điều hòa dưới trong U
n
.
Chọn số ρ < R tùy ý, với z
n
∈ U
n
tùy ý ta có
|c
k
(z
n
)|ρ
|k|

→ 0
16
khi |k| → ∞, nên với z
n
∈ U
n
tùy ý, ta tìm được |k| bắt đầu từ nó ta có
1
|k|
ln |c
k
(z
n
)| + ln ρ ≤ 0,
tức là
lim sup
|k|→∞
1
|k|
ln |c
k
(z
n
)| ≤ ln
1
ρ
. (1.12)
Hơn nữa, do f chỉnh hình trong W ta có f bị chặn trong W , giả sử
|f| ≤ M và có bất đẳng thức
|c

k
(z
n
)|r
|k|
≤ M
đối với z
n
∈ U
n
tùy ý. Như vây, đối với z
n
∈ U
n
tùy ý và |k| tùy ý
1
|k|
ln |c
k
(z
n
)| ≤ ln
M
1/|k|
r
≤ A. (1.13)
Do đó, với σ < ρ tùy ý có thể tìm được số k
0
sao cho với mọi |k| > k
0

và mọi z
n
, |z
n
| ≤ σ, ta có
1
|k|
ln |c
k
(z
n
)| ≤ ln
1
σ
,
tức là
|c
k
(z
n
)|σ
|k|
≤ 1.
Như vậy, chuỗi (1.11) hội tụ đều trong đa tròn tùy ý U(0, σ

), σ

< σ,
nhưng các số hạng của chuỗi này liên tục theo z nên cả tổng f của nó
cũng liên tục, và do đó f bị chặn trong U(0, σ


). Đa tròn này có thể gần
V tùy ý nên f bị chặn, tức là f chỉnh hình trong V .
Định lý 1.5. (Hartogs) Giả sử hàm f chỉnh hình tại mọi điểm của miền
D ⊂ C
n
theo mỗi biến z
v
thì nó chỉnh hình trong D.
17
Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh tính chỉnh hình của f tại điểm
z
0
∈ D tùy ý, đồng thời không mất tính tổng quát ta có thể giả sử
z
0
= 0. Như vậy, giả sử f chỉnh hình theo mỗi biến trong đa tròn U(0, R)
đòi hỏi chứng minh nó chỉnh hình trong đa tròn nào đó tâm 0.
Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo biến số.
Trường hợp một biến là hiển nhiên.
Giả thiết định lý đúng với các hàm (n − 1) biến, và kí hiệu

U =
U(

0,
R
3
). Từ giả thiết suy ra rằng, hàm f(


z, z
n
) liên tục theo

z trong

U đối với z
n
∈ U
n
= {|z
n
| ≤ R} tùy ý và theo z
n
trong U
n
đối với

z ∈

U tùy ý. Theo Bổ đề 1.3, f bị chặn, tức là f chỉnh hình trong đa
tròn nào đó
¯
W =
¯

W ×U
n
trong đó


W (

a, r) ⊂

U.
Bây giờ ta xét đa tròn V =

V × U
n
, trong đó

V = U(

a,
2
3
R). Rõ
ràng V ⊂ U(0, R), do đó f chỉnh hình theo

z trong

V đối với z
n
∈ U
n
tùy ý, mà theo điều vừa chứng minh, nó chỉ chỉnh hình theo z trong W.
Từ đó f chỉnh hình theo z trong đa tròn V chứa điểm z = 0. Như vậy,
khẳng định đã được chứng minh với hàm n biến.
Định lý 1.6. (Hartogs, [2, Định lý 2.10.1 p. 75]) Giả sử Ω là một lân
cận mở của đa giác đóng K trong C

n
với n ≥ 2. Nếu f ∈ Hol(Ω \ K)
thì tồn tại một hàm chỉnh hình
˜
f trên Ω sao cho
˜
f|
Ω\K
= f.
Chứng minh. Ta kí hiệu z = (z
1
, . . . , z
n
) ∈ C
n
khi z

= (z
1
, . . . , z
n−1
).
Không mất tính tổng quát ta giả sử rằng K =
¯
P (0, 1). Chọn r > 1 sao
cho
¯
P (0, r) ⊂ Ω. Ta chỉ cần tìm hàm
˜
f ∈ Hol(P (0, r)) mà mở rộng f. Ta

chú ý rằng, nếu ta cố định z

∈
¯
P (0

, r) thì hàm z
n
−→ f(z

, z
n
) chỉnh
hình trong một lân cận của hình vành khăn
¯
D(0
n
, r) \
¯
D(0, 1). Do đó,
18
các hệ số c
j
của chuỗi Laurent
f(z) =
∞

−∞
c
j

(z

)z
j
n
(1.14)
chỉnh hình trong P(0

, r). Thật vậy, ta có
c
j
(z

) =
1
2πi

|ζ|=r
f(z

, ζ)
ζ
j+1
. (1.15)
Nếu 1 < |z

| < r, hàm z
n
−→ f(z


, z
n
) là chỉnh hình trong đĩa D(0
n
, r).
Từ đó c
j
(z

) = 0 với j < 0. Theo nguyên lý đồng nhất (Định lý 1.2) ta
có c
i
≡= 0 với j < 0. Định nghĩa
˜
f(z) =
∞

j=0
c
j
(z

)z
j
n
z ∈ P(0, r).
Do (1.15) và theo Bổ đề Abel (theo một biến z
n
) chuỗi này hội tụ tuyệt
đối. Hơn nữa, chuỗi này hội tụ đều địa phương trong P(0, r). Thật vậy,

theo ước lượng Cauchy, nếu z ∈ P (0, r) và j ≥ 0 khi đó
|c
j
(z

)z
j
n
| ≤ M

|z
n
|
r

j
,
trong đó M = f
¯
P (0

,r)×∂D(0
n
,r)
. Do đó chuỗi hội tụ đều địa phương.
Do đó, theo Định lý Weierstrass hàm
˜
f là chỉnh hình. Vì
˜
f trùng

với hàm f trên một tập con mở không rỗng của P (0, r) \
¯
P (0, 1), theo
nguyên lý đồng nhất ta thu được
˜
f là mở rộng của hàm f.
Từ định lý Hartogs cổ điển, chúng ta thấy ngay các khái niệm hàm
chỉnh hình theo nghĩa Riemann và Weierstrass là tương đương. Trong
đó
19
Định nghĩa 1.5. i) Hàm f chỉnh hình tại một điểm a ∈ C
n
theo nghĩa
Riemann, nếu f chỉnh hình theo mỗi biến z
ν
trong đa tròn U(a, r) nào
đó;
ii) Hàm f chỉnh hình tại một điểm a ∈ C
n
theo nghĩa Weierstrass,
nếu f có thể khai triển trong một đa tròn U(a, r) nào đó thành chuỗi lũy
thừa
f(z) =
∞

|k|=0
c
k
(z −a)
k

.
Chương 2
Định lý Forelli đối với ánh xạ chỉnh
hình vào không gian phức
Nội dung chính của chương này là trình bày mở rộng định lý Forelli cho
lớp ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức tùy ý. Chúng tôi đã chỉ ra
được rằng, trong trường hợp tổng quát thì ánh xạ f chỉnh hình ngoài
một tập đa cực trên mặt cầu (Định lý 2.9). Chúng tôi cũng đưa vào lớp
không gian có tính chất Forelli và chứng tỏ rằng những không gian phức
kiểu Hartogs đều có tính chất Forelli (Định lý 2.12). Đồng thời khẳng
định ngược lại cũng đúng đối với lớp không gian phức K¨ahler lồi chỉnh
hình (Định lý 2.13). Một phản ví dụ được đưa ra sau đó chỉ ra rằng điều
kiện K¨ahler là không thể bỏ được (Mệnh đề 2.3).
2.1. Hàm đa điều hòa dưới và tập đa cực
2.1.1. Hàm đa điều hòa dưới
Trước hết, chúng tôi nhắc lại khái niệm hàm điều hòa dưới.
Định nghĩa 2.1. Giả sử Ω là tập mở trong C. Hàm u : Ω −→ [−∞, +∞)
gọi là điều hòa dưới trên Ω nếu hàm u nửa liên tục trên trên Ω, u = −∞
trên bất kì một thành phần liên thông của Ω và thỏa mãn bất đẳng thức
dưới trung bình trên Ω, nghĩa là với mọi w ∈ Ω tồn tại ς > 0 sao cho
20
21
với mọi 0 ≤ r < ς ta có
u(w) ≤
1
2π
2π

0
u(w + re

it
)dt. (2.1)
Ta kí hiệu tập tất cả các hàm điều hòa dưới trên Ω là SH(Ω).
Ta có kết quả sau đây.
Mệnh đề 2.1. Giả sử u, v là các hàm điều hòa dưới trên tập mở Ω trong
C. Khi đó:
i) max(u, v) là hàm điều hòa dưới trên Ω;
ii) Tập các hàm điều hòa dưới trên Ω là một nón, tức là nếu u, v ∈
SH(Ω) và λ, µ > 0 thì λu + µv cũng thuộc SH(Ω).
Bây giờ ta trình bày nguyên lý cực đại của các hàm điều hòa dưới,
nguyên lý này nói rằng giá trị cực đại của hàm điều hòa dưới trên tập
mở chỉ đạt trên biên của tập hợp đó.
Định lý 2.1. Giả sử u là hàm điều hòa dưới trên miền bị chặn Ω trong
C. Khi đó:
i) Nếu u đạt cực đại toàn cục tại một điểm trên Ω thì u là hằng số
trên Ω;
ii) Nếu lim sup
z→ζ
u(z) ≤ 0 đối với mọi ζ ∈ ∂Ω thì u ≤ 0 trên Ω.
Chứng minh. (i) Giả sử u nhận giá trị cực đại M tại điểm z
0
∈ Ω. Ta
đặt
A = {z ∈ Ω : u(z) < M} và B = {z ∈ Ω : u(z) = M}.