MỐT SỐ ĐỊNH LYA DUY NHẤT CHO HỌ CÁC ÁNH XẠ PHÂN HÌNH VÀO KHÔNG GIA XẠ ẢNH PHỨC LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

1
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan những kết quả được trình bày trong luận án là mới,
đã được công bố trên các tạp chí Toán học nước ngo ài. Các kết quả viết
chung với Trần Văn Tấn, Sĩ Đức Quang và Vũ Đức Việt đã được sự đồng
ý của các đồng tác gi ả khi đưa vào luận án. Các kết quả nêu trong luận
án là trung thực và chưa từng được công bố trong bất kỳ công tr ình nào
khác.
Nghiên cứu sinh: Bùi Khánh Trình
2
LỜI CẢM ƠN
Luận án được hoàn thành dưới sự quan tâm và hướng dẫn tận tình
của GS.TSKH Đỗ Đức Thái. Nhân dịp này, tôi xin được gửi tới thầy
lời cảm ơn châ n thành và sâu sắc nhất. Tôi cũng xin được bày tỏ lòng
biết ơn đến PGS.TSKH Trần Văn Tấn, TS Sĩ Đức Quang và CN Vũ Đức
Việt, những người đã giúp đỡ và cho tôi nhiều ý kiến quý báu để tôi có
thể hoàn thành tốt hơn bản luận án này.
Tôi xin được bày tỏ lòng cảm ơn đến Ban Giám hiệu của Trường
ĐHSP Hà Nộ i, Ban chủ nhiệm Khoa Toán - Tin, Phòng Sau đại học và
Phòng Khoa Học và Công N ghệ của trường đã tạo mọi điều kiện thuậ n
lợi để tôi có thể hoàn thà nh luận án của mình
Cuối cùng, tôi cũng xin được bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy cô
trong Khoa Toán-Tin thuộc Trường ĐHSP Hà Nội, B ộ Môn Toán thuộc
Trường ĐH Xây Dựng, các thành viên của Seminar Hình học phức thuộc
Khoa Toán - Tin, cùng các bạn đồng nghiệp về sự động viên khích lệ
cũng như những trao đổi hữu ích trong suốt quá trình học tập và công
tác.
Tác giả
Mục lục
Lời cam đoan 1
Lời cảm ơn 2

Một số quy ước và kí hiệu 5
1 ĐỊNH LÝ DUY NHẤT CHO CÁC ÁNH XẠ PHÂN
HÌNH TRONG TRƯỜNG HỢP MỤC TIÊU CỐ ĐỊNH 18
1.1 Một số khá i niệm và kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . 19
1.2 Định lý duy nhất cho các ánh xạ phân hình với bộ i bị
chặn và tập đồng nhất nhỏ . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2 VẤN ĐỀ DUY NHẤT CHO CÁC ÁNH XẠ PHÂN
HÌNH TRONG TRƯỜNG HỢP MỤC TIÊU DI ĐỘNG 35
2.1 Một số khá i niệm và kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . 36
2.2 Bổ đề về hàm bổ trợ C artan . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3 Vấ n đề duy nhất cho các ánh xạ phân hình trong trường
hợp mục tiêu di động m à không đếm bội . . . . . . . . . 47
3
4
3 ĐỊNH LÝ DUY NHẤT CHO CÁC ĐƯỜNG CONG ĐẠI
SỐ TỪ DIỆN RIEMANN COMPACT VÀO P
n
(C) VỚI
CÁC MỤC TIÊU SIÊU MẶT 54
3.1 Định lý cơ bản thứ hai cho các đường cong đại số . . . . 55
3.2 Một mở rộng của định lý duy nhất của Ru và Xu cho
trường hợp các siêu mặt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 70
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Kiến nghị về những nghiên cứu tiếp theo . . . . . . . . . . . . 71
DANH M ỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ LIÊN
QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 72
TÀI LIỆU THAM KHẢO 72
5
MỘT SỐ QUY ƯỚC VÀ KÍ HIỆU

Trong toàn bộ luận án, ta thống nhất một số kí hiệu như sau.
• P
n
(C): không gian xạ ảnh phức n− chiều.
• z =

|z
1
|
2
+ ··· + |z
m
|
2

1/2
với z = (z
1
, . . . , z
m
) ∈ C
m
• B(r) := {z ∈ C
m
: z < r} là hình cầu mở bán kính r trong C
m
• S(r) : = {z ∈ C
m
: z = r} là mặt cầu bán kính r trong C
m

• d = ∂ +
∂, d
c
:=
√
−1
4π
(
∂ − ∂): các toán tử vi phân.
• υ := (dd
c
z
2
)
m−1
, σ := d
c
logz
2
∧ (dd
c
logz
2
)
m−1
: các dạng vi
phân.
• O(1): hàm bị chặn đối với r.
• O(r): vô cùng lớn cùng bậc với r khi r → +∞.
• o(r): vô cùng bé bậc cao hơn r khi r → +∞.

• log
+
r = max{log r, 0}, x  0.
•
′′
|| P
′′
: có nghĩa là mệnh đề P đúng với mọi r ∈ [0, +∞) nằm ngoài
một tập co n Borel E của [0, +∞) thoả mãn

E
dr < +∞.
• ♯ S: l ực lượng của tập hợ p S.
• Zero(F ): là tập không điểm của hàm chỉnh hình F .
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Nghiên cứu về các định lý duy nhất đối với ánh xạ phân hình vào
không gian xạ ảnh là ứng dụng quan trọng và đẹp đẽ của Lý thuyết
phân bố giá trị hay còn gọi là Lý thuyết Nevanlinna. Cho đến nay, các
định lý duy nhất đối với các ánh xạ phân hình đã tạo thành lý thuyết
với nhiều kết quả sâu sắc và thu hút được sự quan tâm nghiên cứu của
nhiều nhà toán học trong và ngoài nước. Chúng ta điểm lại một số nét
chính trong lịch sử phát triển gần mộ t thế k ỷ của lý thuyết này.
Năm 1926, R. Nevanlinna [33] đã chứng minh được rằng nếu hai hàm
phân hình khác hằng f và g trên mặt phẳng phức C có cùng ảnh ngược
của 5 giá trị phân biệt thì f = g. Ngoài ra, g là phép biến đổi phân
tuyến tính của f nếu chúng có cùng ảnh ngược tính cả b ội của bốn giá
trị phân biệt .
Năm mươi năm sa u kết quả trên của Nevanlinna, vào năm 1975, H.
Fujimoto [5] tổng quát kết quả của Nevanlinna cho trường hợ p các ánh

xạ phân hình từ C
m
vào P
n
(C). Ông đã chứng minh được rằng hai ánh
xạ phân hình f và g từ C
m
vào P
n
(C), nếu một trong hai ánh xạ f hoặc
g là không suy biến tuyến tính và chúng có cùng ảnh ngược tính cả bộ i
6
7
của (3n + 2) siêu phẳng ở vị trí tổng quát trong P
n
(C) thì f ≡ g. Hơn
nữa, nếu hai ánh xạ phân hình f và g từ C
m
vào P
n
(C) là khác hằng và
có cùng ảnh ng ược tính cả bội của (3n + 1) siêu phẳng ở vị trí tổng quát
trong P
n
(C) thì tồn tại một biến đổi xạ ảnh L từ P
n
(C) vào chính nó
thỏa mãn g = L(f). Kể từ đó, vấn đề duy nhất đã được nghiên cứu một
cách mạ nh mẽ, sâu sắc bởi H. Fujimoto [6],[ 7],[8],[9], ., W. Sto ll [23],
L. Smiley [24], N. Steinmezt [25], S. Ji [12], M. Ru [17], Z-H. Tu [31],

Đỗ Đức Thái [26, 27, 30], Trần Văn Tấn [28, 3, 4, 30], Sĩ Đức Quang
[26, 27, 1 5, 16] và những người khác.
Để hình thành các kết quả của những tác giả trên, chúng ta đưa vào
một số khái niệm và định nghĩa sau:
Giả sử f là ánh xạ phân hình không suy biến tuyến tính từ C
m
vào
P
n
(C). Với m ỗi siêu phẳng H trong không gian xạ ảnh P
n
(C), chúng t a
kí hiệu ν
(f,H)
(z), z ∈ C
m
là bội giao của ảnh của f với H tại f(z).
Cho q siêu phẳng H
1
, ··· , H
q
ở vị trí tổng quát trong không gian P
n
(C)
thỏa mãn:
a) dim{z : ν
(f,H
i
)
> 0 và ν

(f,H
j
)
> 0}  m −2 với mọ i 1 ≤ i < j ≤ q.
Giả sử M là một số nguyên dương hoặc là +∞. Chúng ta kí hiệu
F

{H
j
}
q
j=1
, f, M) là tập tất cả các ánh xạ phân hình không suy biến
tuyến tính g từ C
m
vào P
n
(C) thỏa m ãn hai điều kiện:
b) min{ν
(g,H
j
)
(z), M} = min{ ν
(f,H
j
)
(z), M}, j ∈ {1, ··· , q}
(ta nói rằng bội được ngắt bởi M) và
c) g = f trên
q


j=1
{z : ν
(f,H
j
)
(z) > 0}.
Vấn đề duy nhất của các ánh xạ phân hình từ C
m
vào P
n
(C) là bài toán
8
chúng ta cần phải tìm điều ki ện của q và M sao cho tập F

{H
j
}
q
j=1
, f, M)
chỉ chứa một ánh xạ (định lý duy nhất), hoặc theo nghĩa rộng hơn là
chúng ta nghiên cứu lực lượng của tập F

{H
j
}
q
j=1
, f, M) và tìm ra các

mối quan hệ giữa cá c ánh xạ trong tập hợp này.
Có hai đối tượng được quan tâm trước hết t rong việc nghiên cứu vấn
đề duy nhất đó là:
+ Số lượng q các siêu phẳng càng bé càng tố t.
+ Giá trị bội bị chặn M cũng càng bé càng tốt.
Năm 198 3, L. Smiley [24] đã chứng minh được rằng:
Định lý 1. Nếu q ≥ 3n + 2, thì ♯ F

{H
j
}
q
j=1
, f, 1) = 1.
Năm 198 8, S. Ji [12] đã chứng minh được định lý sa u:
Định lý 2. Nếu q = 3n + 1, thì với ba ánh xạ bất kì f
0
, f
1
, f
2
∈
F

{H
j
}
q
j=1
, f, 1), án h xạ F = (f

0
, f
1
, f
2
) : C
m
→ P
n
(C)×P
n
(C)×P
n
(C)
là suy biến đại số, tức là F (C
m
) được chứa trong một đ a t ạp con thực sự
của P
n
(C) × P
n
(C) × P
n
(C).
Năm 199 8, H. Fujimoto [5] đã chứng minh được định lý :
Định lý 3. Nếu q = 3n + 1, thì ♯ F

{H
j
}

q
j=1
, f, 2) ≤ 2.
Bằng cách tiếp cận mới có tính đột phá về mặt kỹ thuật, năm 2006,
Đỗ Đức Thái, Sĩ Đức Quang [ 27] đã chứng minh được rằng:
Định lý 4. 1. Nếu n ≥ 2, thì ♯ F

{H
j
}
3n+1
j=1
, f, 1) = 1
2. Nếu n ≥ 4, thì ♯ F

{H
j
}
3n−1
j=1
, f, 2) ≤ 2.
Năm 2009, Z. H. Chen và Q. M. Yan [2] đã chứng minh được kết quả
9
sau:
Định lý 5. Nếu q ≥ 2n + 3, thì ♯ F

{H
j
}
q

j=1
, f, 1) = 1
Năm 2011, Sĩ Đức Quang [15] đã chứng m inh được kết quả sau:
Định lý 6. Giả sử f là ánh xạ phân hình không suy biến tuyến tính
từ C
m
vào P
n
(C) và H
1
, ··· , H
2n+2
là 2n + 2 siêu phẳng ở vị trí tổng
quát trong P
n
(C) thỏa mã n
dim f
−1
(H
i
∩ H
j
)  m − 2 với mọi 1 ≤ i < j ≤ q
Giả sử g là ánh xạ phân hình khô ng suy biến tuyến tính từ C
m
vào P
n
(C)
thỏa mãn:
i) min{

≤n
ν
(f,H
j
)
, 1} = min{
≤n
ν
(g,H
j
)
, 1}
min{
≥n
ν
(f,H
j
)
, 1} = min{
≥n
ν
(g,H
j
)
, 1}, j ∈ {1 , ··· , q} và
ii) g(z) = f(z) trên
2n+2

j=1
f

−1
(H
j
).
Nếu n ≥ 2, thì f = g.
Năm 2012, Phạm Hoàng Hà và Sĩ Đức Quang [11] đã chứng minh đượ c
kết quả sau:
Định lý 7. Giả sử f
1
, f
2
là hai ánh xạ phân hình không suy biến
tuyến tính từ C
m
vào P
n
(C) và H
1
, ··· , H
2n+2
là 2n + 2 siêu p hẳng ở vị
trí tổng quát trong P
n
(C) thỏa mãn
dim{z ∈ C
m
: ν
(f
1
,H

i
)
(z) > 0 và ν
(f
1
,H
j
)
(z) > 0}  m−2 với mọi 1 ≤ i < j ≤ 2n+2
Giả sử k là số nguyên dương th ỏa mãn
k >

2n + 2
n + 1

2n + 2
n + 1

− 2

10
Giả sử các đi ề u kiện sau thỏa mãn:
a) min{ν
(f
1
,H
j
)
, 1} = min{ν
(f

2
,H
j
)
, 1}, (j ∈ {1, ··· , 2n + 2})
b) f
1
(z) = f
2
(z) trên
2n+2

j=1
{z ∈ C
m
: ν
(f
1
,H
j
)
(z) > 0},
c) min{ν
(f
1
,H
j
)
(z), ν
(f

2
,H
j
)
(z)} > n hoặc ν
(f
1
,H
j
)
(z) = ν
(f
2
,H
j
)
(z)(mod k)
với mọi z ∈ (f
1
, H
j
)
−1
(0), (j ∈ {1, ··· , 2n + 2})
Khi đó, f
1
= f
2
.
Trong các kết quả trên (Định lý 6,7), số mục tiêu cố đị nh được đưa về

con số tối thiểu q = 2n + 2, nhưng điều kiện (i), các không điểm của các
hàm (f, H
j
) và (g, H
j
) được xem xét đến bội n . Trong cùng năm 2012,
Sĩ Đức Quang [16] chứng minh được kết quả sau:
Định lý 8. Nếu n ≥ 2, thì ♯ F

{H
j
}
2n+2
j=1
, f, 1) ≤ 2
Trong tất cả các kết quả về vấn đề duy nhất trên (Định lý 1-8) của
các ánh xạ phân hình vào P
n
(C) với bội bị chặn thì đều phải có điều kiện
(c) : g = f t rên
q

j=1
{z : ν
(f,H
j
)
(z) > 0}− điều kiện về tập đồng nhất.
Đây là một đòi hỏi khá mạnh. Do đó , việc thiết lập định lý duy nhất với
tập đồ ng nhất bé hoặc không có điều kiện về tập đồng nhất luôn luôn

được các nhà toán học quan tâm nghiên cứu.
Tiếp tục luồng nghiên cứu trên, vấn đề đầu tiên được nghiên cứu trong
luận án đó là chỉ ra định lý duy nhất cho các ánh xạ phân hình từ C
m
vào P
n
(C) với bội bị chặn và tập đồ ng nhất nhỏ hơn, đặc biệt số các siêu
phẳng xuất hiện trong điều kiện (c) sẽ chỉ là (n + 1). Do điều kiện (c)
chỉ là (n + 1), nên chúng tôi không thể sử dụng trực tiếp Định lý cơ bản
thứ hai cho (n + 1) siêu phẳng t ương ứng này. Đây chính là khó khăn
11
chủ yếu trong chứng minh của chúng tôi.
Vào những năm bảy mươi của thế kỷ trước, W. Stoll đã nghiên cứu
Lý thuyết Nevanlinna cho tình huố ng tổng quá t hơn, đó là thay thế các
siêu phẳng cố định trong không gia n xạ ảnh bằ ng các mục tiêu di động
chậm.
Năm 1991, W. Stoll và M. Ru [19] đã chứng minh được Định lý cơ
bản thứ ha i cho trường hợp các mục ti êu di động. Từ đó đã mở ra một
hướng nghiên cứu mạnh mẽ vấn đề duy nhất cho các ánh xạ phân hình
từ C
m
vào P
n
(C) với các mục tiêu di động. Trước hết, chúng tôi cũng sẽ
lược sử lại những kết quả tốt nhấ t cho đến nay cho hướng nghiên cứu
này.
Giả sử f : C
m
→ P
n

(C) là ánh xạ phân hình khác hằng và {a
j
}
q
j=1
(q  n + 1) là q ánh xạ phân hình từ C
m
vào P
n
(C) ở vị t rí tổng quát
và là "nhỏ" so với f (tức là T
a
j
(r) = o(T
f
(r) )). Giả sử f là không suy
biến tuyến tính trên R({a
j
}
q
j=1
) và dim{z : ν
(f,a
i
)
(z) > 0 và ν
(f,a
j
)
(z) >

0} ≤ m − 2 với mọi 1  i = j  q. Với mỗi số nguyên dương p, chúng
ta kí hiệu F({ a
j
}
q
j=1
, f, p) là tập tất cả các ánh xạ phân hình từ C
m
vào
P
n
(C) không suy biến tuyến tính trên R({a
j
}
q
j=1
) thỏa mãn:
a) min{ν
(g,a
j
)
, p} = min{ν
(f,a
j
)
, p} với mọi 1  j  q.
(ta nói rằng bội bị chặn bởi p) và
b) g = f trên

q

j=1
{z : ν
(f,a
j
)
(z) > 0}.
Năm 200 1, M. Ru [17] đã chứng minh được định lý duy nhất sau:
Định lý 9. Giả sử f, g l à hai hàm phân hình khác hằng trên C, giả
sử tồn t ại 7 hà m phân hình đôi một p hân biệt a
1
, . . . , a
7
thỏa mãn
12
T
a
j
(r) = o(max{T
f
(r) , T
g
(r) }), 1 ≤ j ≤ 7 và thỏa mãn f( z) = a
j
(z) ⇔
g(z) = a
j
(z) với 1 ≤ j ≤ 7. Khi đó, f = g
Năm 200 2, Z. H. Tu [31] đã chứng minh được kết q uả sau:
Định lý 10. Nếu q = 3n + 2, t h ì ♯ F({a
j

}
q
j=1
, f, ∞) = 1.
Trong trường hợp một chiều, năm 2005, Đỗ Đức Thái và Trần Văn
Tấn [3 0] đã chứng minh được kết quả:
Định lý 11. Giả sử f
1
, f
2
, f
3
là ba hàm phân hình trên C và {a
j
}
4
j=1
là 4
hàm phân hình phân biệ t là nhỏ so với f
1
, f
2
, f
3
. Giả sử min{
≤k
ν
(f
1
,a

j
)
, 2} =
min{
≤k
ν
(f
2
,a
j
)
, 2} = min{
≤k
ν
(f
3
,a
j
)
, 2}, 1 ≤ j ≤ 4. Khi đó f
1
= f
2
hoặc
f
2
= f
3
hoặc f
3

= f
1
với k ≥ 23.
Năm 2005, bằ ng cách chuyển từ trường hợp mục tiêu di động sang các
siêu phẳng tọa độ, Đỗ Đức Thái và Sĩ Đức Quang [26] đã chứng minh
được Định lý cơ bản thứ hai cho trường hợp mục tiêu di động và có chặn
bội (Định lý 3.1 [26]). Từ đó, các tác giả đã chứng minh được định lý về
vấn đề duy nhất sa u:
Định lý 12. Nế u n  2 và q 
(3n + 1)(n + 2)
2
thì ♯F({a
j
}
q
j=1
, f, 2) ≤ 2.
Độc lập với các tác gi ả trên, năm 2006 Z. Chen và M. Ru [1] đã chứng
minh được kết quả sau.
Định lý 13. Nếu q  2n(n + 2), thì ♯ F({a
j
}
q
j=1
, f, 2) ≤ 2.
Chúng tôi muốn nhấn mạnh rằng trong các định lý 3,11,12,13 ở trên,
các tá c giả chỉ xét tình huống bội bị chặn bởi 2 và điều kiện này đóng
một vai trò quan trọng tr ong chứng minh của họ.
Một câu hỏi được đặt ra một cá ch tự nhiên từ tình huống này l à: Liệ u
13

có hay không một định lý về vấn đề duy nhất mà bội bị chặn bởi 1 khi
n  2? (Đây cũng là câu hỏi mở 1.7 trong [26]).
Vấn đề thứ hai trong luận án là trả lời câu hỏi trên. Cụ thể, chúng
tôi tổng quát các định lý 11,13 tới tr ường hợp bội bị chặn bởi 1 (tức là
không đếm bội) và số các mục tiêu di động q được giảm đi.
Một cách t ự nhiên, Lý thuyết phân bố giá trị cũng đã được nghiên
cứu cho các ánh xạ giữa hai đa tạp đại số, trong đó có lớp các ánh xạ
phân hình từ diện Riemann compact vào k hông gian xạ ảnh phức. V ì
thế, một vài định lý duy nhất cho các ánh xạ phân hình từ diện Riemann
compact vào không gian xạ ảnh phức P
n
(C) cũng đã được chứng minh
bởi một số nhà toán học trên thế giới.
Năm 2001, A. Sauer [2 1] chứng minh được kết quả:
Định lý 14. Giả sử S là một diện Riemann compact có giống g > 0, và
giả sử f, g : S → P
1
(C) là hai hàm phân hình khác hằng và phâ n biệt.
Khi đó, f, g không thể có cùng ảnh ngược của nhiều hơn 2 + 2

g giá trị.
Năm 20 07, Y. Xu và M. Ru [32] đã chứng minh được kết quả thú vị
sau.
Định lý 15. Giả sử S là một diện Riemann compact có giống g. Giả
sử f, g : S → P
n
(C) là h ai đường cong đại số không suy biến tuyến tính
và H
1
, H

2
, . . . , H
q
là q siêu phẳng ở v ị trí tổng quát trong P
n
(C). Giả sử
rằng
(i) f
−1
(H
i
) = g
−1
(H
i
) với mỗi 1 ≤ i ≤ q,
(ii) f = g trên

q
i=1
f
−1
(H
i
).
14
Khi đó f = g với mỗi q > q
0
, tron g đó
q

0
=
1
2

(n + 1)
2
+

(n + 1)
4
+ 4n
2
(n + 1)(g − 1)

.
Trước hết, chúng tôi muốn lưu ý rằng có một lỗi trong chứng minh
của họ. Thực tế, theo cách chứng minh của họ thì q
0
được cho bởi
q
0
=
1
2

(n + 1)
2
+


(n + 1)
4
+ 8n
2
(n + 1)(g − 1)

.
Vấn đề cuối cùng được xét trong luận án là nghiên cứu, mở rộng Định
lý 15 cho trường hợp f và g có thể là suy bi ến và các siêu phẳng cố định
(mục tiêu cố đị nh) được thay bằng các siêu mặt.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích chính của luận án là nghiên cứu vấn đề duy nhất cho các
ánh xạ phân hình từ C
m
vào P
n
(C) đối với các trường hợp siêu phẳ ng cố
định, siêu phẳng di độ ng và có bội bị chặn. Ngoài ra, luận án còn chứng
minh định l ý duy nhất cho các đường cong đại số trên diện Riemann
compact với mục tiêu là các siêu mặt trong P
n
(C).
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Như đã trình bày ở phần lý do chọn đề tài, đố i tượng nghiên cứu của
luận án là vấn đề duy nhất cho các ánh xạ phân hình từ C
m
vào P
n
(C)
và cá c đường cong đại số từ diện Riemann compact vào P

n
(C). Trong
luận án, tư t ưởng chính xuyên suốt là đưa ra các điều kiện "yếu hơn"
nhằm thu được các định lý duy nhất và định lý hữu hạn tốt hơn.
4. Phương p háp n ghiên cứu
15
Để giải quyết những vấn đề đặt ra trong luận án, chúng tôi sử dụng
các phương pháp nghiên cứu của Lý thuyết phân bố g iá trị, Giải tích
phức, đồng t hời chúng tôi cũng đưa ra những kĩ t huật mới.
5. Các kết quả đạt được của đề tài
• Kết quả đầu tiên chúng tôi trình bày tro ng chương I là định lý duy
nhất cho các ánh xạ phân hình từ C
m
vào P
n
(C) cho trường hợp
siêu phẳng cố định, có chặn b ội và tập đồng nhất là bé. C ụ thể,
chúng tôi sẽ chứng minh định l ý sau:
Định lý A. Giả sử f, g là hai ánh xạ phân hình khác hằng từ C
m
vào P
n
(C). Giả sử {H
j
}
q
j=1
(q ≥ 3n + 2) là q siêu phẳng ở vị trí
tổng quát tron g P
n

(C) thỏa mãn
dim

f
−1
(H
i
) ∩ f
−1
(H
j
)

≤ m − 2 với mọi (1 ≤ i < j ≤ q ).
Giả sử rằng f và g là khô ng suy biến t uyến tính trên R
f
thỏa mãn
(a) min{ν
(f,H
j
)
, n} = min{ν
(g,H
j
)
, n}, với mọi n + 2 ≤ j ≤ q,
và
(b) f = g trên

n+1

j=1

f
−1
(H
j
) ∪ g
−1
(H
j
)

.
Khi đó f = g.
• Trong chương II của luận án, chúng tôi nghiên cứu vấn đề duy nhất
cho các á nh xạ phân hình từ C
m
vào P
n
(C) với các siêu phẳng di
động m à bội bị chặn bởi 1. Cụ thể, chúng tôi chứng minh định lý
sau:
16
Định lý B. Giả sử n, q l à các số nguyên dương và n  2. Giả sử
tồn tại số nguyên dương t < n thỏa mãn
(∗)
2q + t − 2
n(n + 2 )
> 3 +
3(t + 3 )

q − 3n

3n
2(n − t)
−
q − 1
(n − t)(n + 2)

.
Khi đó, F({a
j
}
q
j=1
, f, 1) chứa nhiều nhất là hai á nh xạ.
• Trong chương cuối của luận án, chúng tôi mở rộng định lý duy nhất
của Ru và Xu cho các ánh xạ phân hình từ diện Riemann compact
vào không gian xạ ảnh P
n
(C). Cụ thể, chúng t ôi chứng minh định
lý sau:
Định lý C. Giả sử S là một diện Riemann compact có giống g
và f
1
, f
2
: S → P
n
(C) là hai đường cong đại số khác hằng. Giả sử
D

1
, D
2
, . . . , D
q
là các siêu mặt ở vị trí t ổng quát t rong P
n
(C) thỏa
mãn f
1
(S) ⊂ D
i
và f
2
(S) ⊂ D
i
với mọi 1 ≤ i ≤ q. Giả sử n
1
(n
2
tương ứng) là số chiều của không gian con tuyến tính nhỏ nhất chứa
ảnh f
1
(S)(f
2
(S) tương ứng). Giả thiết th êm rằng siêu mặt D
i
xác
định bởi đa thức thuần nhất có g i ao chuẩn tắc và bậc l
i

với mỗi
1 ≤ i ≤ q. Đặt k
i
= m(n −n
i
+ 1), trong đó m = max(l
1
, l
2
, . . . , l
q
).
Giả sử rằng
(i) f
−1
1
(D
i
) = f
−1
2
(D
i
) với mỗi 1 ≤ i ≤ q,
(ii) f
1
= f
2
trên


q
i=1
f
−1
1
(D
i
).
Khi đó, nếu q > q
0
, tron g đó
q
0
=
1
2
· max
i=1,2

k
i
(n
i
+ 1)
2
+

k
2
i

(n
i
+ 1)
4
+ 8n
i
n(n
i
+ 1)k
i
(g − 1)

thì f
1
= f
2
.
17
6. Cấu trúc luận án
Bố cục của luận án ngoài phần mở đầu và phần phụ lục gồm ba chương
được viết theo tư tưởng kế thừa. Ba chương của l uận án được viết dựa
trên ba công trình t rong đó hai công trình đã đượ c đăng và một công
trình đã được gửi đi công bố.
Chương I: Định lý duy nhất cho các ánh xạ phân hình trong trường hợp
mục tiêu cố đị nh
Chương II: Vấn đề duy nhất cho các ánh xạ phân hình trong trường hợp
mục tiêu di độ ng
Chương III: Định lý duy nhất cho các đường cong đại số từ diện Riemann
compact vào P
n

(C) với các mục tiêu siêu mặt.
Chương 1
Định lý duy nhất cho các ánh xạ
phân hình trong trường hợp mục
tiêu cố định
Như đã trình bày trong phần mở đầu, mục đích của chương 1 là chỉ
ra định lý duy nhất cho các ánh xạ phân hình từ C
m
vào P
n
(C) với điều
kiện bộ i bị chặn, đồng thời điều k iện về tính chặn bội cũng như điều kiện
về tậ p đồng nhất đều được làm yếu đi nhiều. T hông thường, điều kiện
về chặn bội được đặt lên tất cả q si êu phẳng, nhưng ở tình huống được
xét trong chương này, điều kiện chặn bội chỉ được đặt ra cho q − n − 1
siêu phẳng. Tương tự như thế, thay vì tập đồng nhất được đòi hỏi cho
tất cả q siêu phẳng thì chúng tôi chỉ đòi hỏi điều kiện về tập đồng nhất
là n + 1 siêu phẳng trong chúng. Những điều kiện hạn chế đó đã tạo
ra những k hó khăn thực chất về mặt kỹ thuật. Chúng tôi đã vượt qua
khó khăn này bằng cách đếm bội một cách chặt chẽ trên những lớp hàm
phân hình thích hợp và tìm cách chuyển bài toán sang mục tiêu di động
18
19
để sử dụng định lý cơ bản t hứ hai cho mục tiêu di động có chặn bội.
Chương 1 gồm hai mục. Mục thứ nhất được dành để trình bày một số
kiến thức chuẩn bị cần thiết cho toàn bộ luận án. Mục thứ hai nhằm
trình bày các bổ đề phục vụ cho chứng minh định lý chính.
Chương 1 được viết dựa trên bài báo [1] (trong mục các công trì nh đã
công bố liên qua n đến luận án).
1.1 Một số khái niệm và kết quả bổ trợ

Trong mục này, chúng ta nhắc lại khái niệm các hàm đếm của một
divisor, hàm đặc trưng của một ánh xạ phân hình và hàm xấp xỉ của
một hàm phân hình. Từ đó trình bày lại hai định lý quan t rọng của Lý
thuyết Nevanlinna là Định lý cơ bản thứ nhất và thứ hai.
Giả sử F là hàm chỉnh hình không đồng nhất bằng không trên miền
Ω trong C
m
. Với mỗi bộ chỉ số α = (α
1
, , α
m
) các số nguyên không âm,
ta đặt |α| = α
1
+ + α
m
và D
α
F =
∂
|α|
F
∂z
α
1
1
∂z
α
m
m

.
Xét ánh xạ ν
F
: Ω → Z xác định bởi
ν
F
(z) := max {n : D
α
F (z) = 0 với mọi α thoả mãn |α| < n}, z ∈ Ω
Định nghĩa 1.1.1. Một divisor trên miền Ω trong C
m
là một ánh xạ
ν : Ω → Z thoả mãn với mỗi a ∈ Ω, tồn tại các hàm chỉnh hình khác
không F và G xác định trên một lân cận mở liên thông U ⊂ Ω của a sao
cho ν(z) = ν
F
(z) −ν
G
(z) với mỗi z ∈ U, bên ngoài một tập con giải tích
có chiều  m − 2.
Hai divisor được xem là giống nhau nếu chúng đồng nhất với nhau
20
bên ngoài một tập giải tích có chiều  m − 2. Vớ i mỗi divisor ν trên Ω
ta đặt |ν| :=
{z : ν( z) = 0}. Khi đó, |ν| là một tập con giải tích có chiều
thuần tuý (m − 1) của Ω hoặc l à một tập rỗng.
Giả sử ϕ là hàm phân hình khác khô ng trên miền Ω trong C
m
. Với
mỗi a ∈ Ω, chúng ta chọn các hàm chỉnh hình khá c không F và G

xác định trên một lân cận U ⊂ Ω của a sao cho ϕ =
F
G
trên U và
dim(F
−1
(0) ∩ G
−1
(0))  m − 2. Khi đó chúng ta định nghĩa divisor ν
ϕ
bởi ν
ϕ
(z) := ν
F
(z) với mọi z ∈ U. Dễ thấy khái niệm trên không phụ
thuộc vào việc chọn các hàm F và G. Do vậy, nó hoàn toàn được xác
định trên toàn bộ Ω.
Giả sử ν là một divi sor tr ong C
m
và k, M là các số nguyên dương
hoặc +∞. Đặt
≤M
ν
[k]
(z) =






0 nếu ν(z) > M
min{ν(z), k} nếu ν(z) ≤ M
>M
ν
[k]
(z) =





0 nếu ν(z) ≤ M
min{ν(z), k} nếu ν(z) > M
Khi đó, các hàm đếm của divisor ν được định nghĩ a như sau:
Định nghĩa 1.1.2.
≤M
N
[k]
(r, ν) :=
r

1
≤M
n(t)
t
2m−1
dt
21
và
>M

N
[k]
(r, ν) :=
r

1
>M
n(t)
t
2m−1
dt (1 ≤ r < +∞)
trong đó
≤M
n(t) :=










|ν|∩B(r)
≤M
ν
[k]
.υ với m ≥ 2


|z|≤t
≤M
ν
[k]
(z) với m = 1
>M
n(t) :=










|ν|∩B(r)
>M
ν
[k]
.υ với m ≥ 2

|z|≤t
>M
ν
[k]
(z) với m = 1.
Giả sử ϕ là hà m phân hình k hác không t rên C
m

, ta đặt
≤M
N
[k]
ϕ
(r) :=
≤M
N
[k]
(r, ν
ϕ
) và
>M
N
[k]
ϕ
(r) :=
>M
N
[k]
(r, ν
ϕ
).
Để cho thuận tiện chúng ta sẽ bỏ kí hiệu
[k]
(tương tự
≤M
) trong các
hàm đếm và trong các divisor nếu k = +∞ (tương tự M = +∞).
Trong P

n
(C) cố đị nh một t ọa độ thuần nhất (w
0
: ··· : w
n
). Giả
sử f : C
m
−→ P
n
(C) là một ánh xạ phân hình có một biểu diễn rút
gọn f = (f
0
: ··· : f
n
) của f, tức là các f
i
là những hàm chỉnh hình
trên C
m
thỏa mãn f(z) =

f
0
(z) : ··· : f
n
(z)

bên ngoài tập giải tích
I(f ) = {z ∈ C

m
: f
0
(z) = ··· = f
n
(z) = 0} có đối chiều  2. Đặt
f =

|f
0
|
2
+ ··· + |f
n
|
2

1/2
.
Định nghĩa 1.1.3. Hàm đặc trưng của f được định nghĩa bởi:
T
f
(r) =

S(r)
logfσ −

S(1)
logfσ, 1 ≤ r < +∞.
22

Giả sử ϕ : C
m
−→
C là hàm phân hình, ta định nghĩa hàm xấp xỉ của
ϕ (tương ứng với điểm +∞) bởi
m(r, ϕ) =

S(r)
log
+
|ϕ|σ
Hàm đặc trưng Nevanlinna của ϕ được định nghĩa bởi
T (r, ϕ) = N
1
ϕ
(r) + m(r, ϕ).
Ta coi ϕ là ánh xạ phân hình từ C
m
vào P
1
(C) có biểu diễn rút g ọn
ϕ = (ϕ
0
: ϕ
1
), với ϕ
0
, ϕ
1
là những hàm chỉnh hình t hỏa mãn tập

{z ∈ C
m
: ϕ
0
= ϕ
1
= 0} là tập giải tích có đối chiều  2. Khi đó
ta dễ dàng chứng minh được T
ϕ
(r) = T (r, ϕ) + O(1)
Chúng ta nói rằng ϕ là "nhỏ" so với f nếu T
ϕ
(r) = ◦(T
f
(r) ) khi
r → ∞. Và kí hiệu R
f
là trường tất cả các hàm ("nhỏ" so với f) trên
C
m
.
Giả sử f, a : C
m
−→ P
n
(C) là hai ánh xạ phâ n hình có các biểu
diễn rút gọn f = (f
0
: ··· : f
n

), a = (a
0
: ··· : a
n
). Đặt (f, a) =
n

i=0
a
i
f
i
, ng hĩa là (f, a)(z) =
n

i=0
a
i
(z)f
i
(z). Ánh xạ a cũng được gọi là
"nhỏ" so với f nếu T
a
(r) = o( T
f
(r) ) khi r → ∞. Ta nói rằng f là không
suy biến tuyến tính trên R
f
nếu các hàm f
0

, ··· , f
n
là độc lập tuyến
tính trên R
f
.
Định nghĩa 1.1.4. Giả sử a
1
, . . . , a
q
(q ≥ n + 1) là q ánh xạ phân
hình từ C
m
vào P
n
(C) với các biểu diễn rút gọn a
j
= (a
j0
: ··· : a
jn
),
j = 1, . . . , q. Ta nói rằng các

a
j

q
j=1
ở vị trí tổng quát nế u với bất kì

1 ≤ j
0
< ··· < j
n
≤ q thì det(a
j
k
i
, 0 ≤ k, i ≤ n) ≡ 0.
23
Trong không gian xạ ảnh P
n
(C), cho siêu phẳng H được xác định
bởi phương trình thuần nhấ t H = {w : a
0
w
0
+ ··· + a
n
w
n
= 0}, với
a
0
, . . . , a
n
∈ C không đồng thời bằng không. Chúng ta đặt (f, H) =
a
0
f

0
+ ··· + a
n
f
n
. Nếu f (C
m
)  H hay (f, H) ≡ 0 thì divisor không
điểm của hàm (f, H) là không phụ thuộc vào biểu diễn rút gọn của f
và các hệ số a
i
. Ta kí hiệu divisor này là (f, H) nếu không có gì nhầm
lẫn. Chúng ta có thể xem divisor (f, H) là bội giao ảnh của f với H tại
f(z)).
Định nghĩa 1.1.5. Giả sử H
1
, . . . , H
q
(q ≥ n + 1) là q s i êu phẳng cố
định trong không gian xạ ảnh P
n
(C). Ta nói họ {H
j
}
q
j=1
ở vị trí tổng
quát trong P
n
(C) nếu với bất kì 1 ≤ j

0
< ··· < j
n
≤ q thì

n
k=0
H
j
k
= ∅
Bây giờ chúng tôi xin nhắc lại Định lý cơ bản thứ nhất cho trường hợp
mục tiêu di động và Định lý cơ bản thứ hai cho trường hợp mục tiêu cố
định trong l ý thuyết phân bố giá trị.
Định lý cơ bản thứ nhất. (xem trong [18] và [19]) Giả sử f, a là
ánh xạ phân hình từ C
m
vào P
n
(C) thỏa mãn (f, a) ≡ 0. Khi đó
N
(f,a)
(r) ≤ T
f
(r) + T
a
(r) với mọi r ≥ 1.
Định lý cơ bản thứ hai. (xem trong [14]) Cho f là một ánh xạ
phân hình không suy biến tuyến tính từ C
m

vào P
n
(C) (tức là f(C
m
)
không được chứa tron g bất kỳ một siêu phẳng nào của P
n
(C)) và q siêu
phẳng cố định H
1
, . . . , H
q
(q ≥ n+1) ở vị trí tổn g quát trong P
n
(C). Khi
đó
||(q − n −1)T
f
(r) ≤
q

j=1
N
[n]
(f,H
j
)
(r) + o(T
f
(r) )

24
1.2 Định lý duy n hất cho các ánh xạ phân hình vớ i
bội bị chặn và tập đồng nhất nhỏ
Trong mục này, chúng tôi sẽ chứng m inh định lý sau. Đây là kết quả
chính thứ nhất của luận án.
Định lý 1.2.1. Giả sử f, g là hai ánh xạ phâ n hình khác hằng từ C
m
vào P
n
(C). Giả sử {H
j
}
q
j=1
(q ≥ 3n + 2) là q siêu phẳng ở vị trí tổng
quát trong P
n
(C) thỏa mã n
dim

f
−1
(H
i
) ∩ f
−1
(H
j
)


≤ m − 2 với mọi (1 ≤ i < j ≤ q).
Giả sử rằng f và g là không suy bi ến tuyến tính trê n R
f
thỏa mãn
(a) min{ν
(f,H
j
)
, n} = min{ν
(g,H
j
)
, n}, với mọi n + 2 ≤ j ≤ q, và
(b) f = g trên

n+1
j=1

f
−1
(H
j
) ∪ g
−1
(H
j
)

.
Khi đó f = g.

Để chứng minh định lý trên, chúng ta cần các Bổ đề sa u.
Bổ đề 1.2.2. Giả sử f : C
m
→ P
n
(C) là một ánh xạ phân hình khác
hằng và {a
j
}
q
j=1
(q  n + 2) là q án h xạ phân hình từ C
m
vào P
n
(C) (là
"nhỏ" so với f) ở vị trí tổng quá t . Giả sử f là không suy biến tuyến tín h
trên R
f
. Khi đó
||
q
n + 2
T
f
(r) 
q

j=1
N

[n]
(f,a
j
)
(r) + o(T
f
(r) )
25
Chứng minh. Xem trong ([26], Theorem 3.1), hoặc ([17], Theorem
2.3).
Bổ đề 1.2.3. Giả sử f, g : C
m
→ P
n
(C) là hai ánh xạ phân hình khác
hằng và không suy biến t uyến tính t rên R
f
. Giả sử {a
j
}
q
j=1
(q  2n + 3)
là q ánh xạ phân hì nh từ C
m
vào P
n
(C) (là "nhỏ" s o v ới f) ở vị trí tổng
quát, thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) ||N

[1]
(f,a
i
)
(r) = o(T
f
(r) ) và ||N
[1]
(g,a
i
)
(r) = o(T
f
(r) ) , với mọi i ∈
{1, ··· , n + 1}.
(ii) min{ν
(f,a
i
)
, n} = min{ν
(g,a
i
)
, n} với mọi i ∈ {n + 2, ··· , q}.
(iii) dim{z ∈ C
m
: ν
(f,a
i
)

(z) > 0 và ν
(f,a
j
)
(z) > 0}  m − 2, với mọi
n + 2  i < j  q.
Khi đó f ≡ g.
Chứng minh. Theo giả thiết i), chúng ta có
||N
[n]
(f,a
i
)
(r) = o(T
f
(r) ) và ||N
[n]
(g,a
i
)
(r) = o(T
f
(r) ), với mọi i ∈ {1, ··· , n + 1}.
Vì vậy, áp dụng Bổ đề 1.2.2 vớ i q = 2n + 3, chúng ta thu được
2n + 3
n + 2
T
f
(r) 
2n+3


i=1
N
[n]
(f,a
i
)
(r) + o(T
f
(r) )
=
2n+3

i=n+2
N
[n]
(f,a
i
)
(r) + o(T
f
(r) )
=
2n+3

i=n+2
N
[n]
(g,a
i

)
(r) + o(T
f
(r) ) (theo giả thiết ii))
≤ (n + 2)T
g
(r) + o(T
f
(r) ) (theo Định lý cơ bả n thứ nhất).