tổng hợp bài giảng, bài tập kinh tế lượng

KINH TẾ LƯỢNG - ECONOMETRICS
Tài liệu
[1]. Nguyễn Quang Dong, (2002), Bài giảng Kinh tế lượng, NXB Thống kê.
(Tái bản các năm 2000, 2001, 2002, 2003).
[2]. Vũ Thiếu, Nguyễn Quang Dong (2001), Kinh tế lượng - Bài tập & Hướng dẫn thực hành Mfit3,
NXB KHKT.
Tham khảo và nâng cao
[3]. Nguyễn Cao Văn, Trần Thái Ninh, (1998), Lý thuyết Xác suất và Thống kê toán, NXB GD.
( Tái bản các năm 2002, 2005)
[4]. Nguyễn Quang Dong, (2002), Kinh tế lượng - Chương trình nâng cao, NXB KHKT.
[5]. Nguyễn Quang Dong, (2002), Bài tập Kinh tế lượng với sự trợ giúp của phần mềm Eviews,
NXB KHKT.
[6]. Nguyễn Khắc Minh, (2002), Các phương pháp Phân tích & Dự báo trong Kinh tế, NXB
KHKT.
[7]. Graham Smith, (1996), Econometric Analysis and Applications, London University.
[8] D. Gujarati. Basic Econometrics. Third Edition. McGraw-Hill,Inc 1996.
[9] Maddala. Introduction to Econometrics . New york 1992.
____________________________________________
BÀI MỞ ĐẦU
1. Khái niệm về Kinh tế lượng (Econometrics)
- Nhiều định nghĩa, tùy theo quan niệm của mỗi tác giả.
- Econo + Metric
Khái niệm: KTL nghiên cứu những mối quan hệ Kinh tế Xã hội; thông qua việc xây dựng, phân
tích, đánh giá các mô hình để cho ra lời giải bằng số, hỗ trợ việc ra quyết đinh
Econometrics – Pragmatic Economics
- KTL sử dụng kết quả của :
+ Lý thuyết kinh tế
+ Mô hình toán kinh tế
+ Thống kê, xác suất
2. Phương pháp luận (các bước tiến hành)
2.1. Đặt luận thuyết về vấn đề nghiên cứu

- Xác định phạm vi, bản chất, tính chất của các đối tượng và mối quan hệ giữa chúng.
- Xác định mô hình lý thuyết kinh tế hợp lý.
2.2. Xây dựng mô hình kinh tế toán:
+ Mỗi đối tượng đại diện bởi một hoặc một số biến số.
+ Mỗi mối quan hệ: Phương trình, hàm số, bất phương trình…
+ Giá trị các tham số : cho biết bản chất mối quan hệ.
2.3. Xây dựng mô hình kinh tế lượng tương ứng
Mô hình kinh tế toán: phụ thuộc hàm số
Mô hình kinhtế lượng: phụ thuộc tương quan và hồi quy
2.4. Thu thập số liệu
- Số liệu được dùng : từ thống kê.
2.5. Uớc lượng các tham số của mô hình.
mô hình
Với bộ số liệu xác định và phương pháp cụ thể, kết quả ước lượng là những con số cụ thể.
2.6. Kiểm định của mô hình.
mô hình
.
- Bằng phương pháp kiểm định thống kê: kiểm định giá trị các tham số, bản chất mối quan hệ
- Kiểm định tính chính xác của mô hình.
- Nếu không phù hợp : quay lại các bước trên.
Biến đổi, xây dựng mô hình mới để có kết quả tốt nhất.
2.7. Dự báo
- Dựa trên kết quả được cho là tốt : dự báo về mối quan hệ, về các đối tượng trong những điều kiện
xác định.
2.8.Kiểm soát và Đề xuất chính sách.
Dựa vào kết quả phân tích của mô hình mà đề xuất chính sách kinh tế.
Ví dụ: Nghiên cứu tính quy luật của tiêu dùng.
Xây dựng một luận thuyết kinh tế về tiêu dùng.
Trong tác phẩm: Lý thuyết về việc làm, lãi suất và tiền tệ, Keynes viết:” Luật tâm lý cơ bản . . . là
một người sẽ tăng tiêu dùng khi thu nhập của người đó tăng lên, song không thể tăng nhiều bằng mức

tăng của thu nhập”
Xây dựng mô hình kinh tế toán tương ứng.
Ký hiệu: Y là tiêu dùng
X là thu nhập
Và giả sử Y phụ thuộc tuyến tính vào X. Ta có mô hình kinh tế toán sau đây:
Y =
β
1
+
β
2
X
Mô hình trên thường được gọi là Hàm tiêu dùng của Keynes và phải thoả mãn điều kiện:
0
<

β
2
< 1
Xây dựng mô hình kinh tế lượng tương ứng.
Mô hình kinh tế lượng tương ứng có dạng:
Y
i
=
β
1
+
β
2
X

i
+ u
i
Trong đó u
i
là sai số ngẫu nhiên.
Thu thập số liệu thống kê.
Có số liệu sau về tổng mức tiêu dùng cá nhân ( Y ) và tổng thu nhập gộp GDP ( X ) của Mỹ giai
đoạn 1980 – 1991 ( đơn vị: tỷ USD ) tính theo giá cố định năm 1987:
Năm Y X
1980 2447.1 3776.3
1981 2476.9 3843.1
1982 2503.7 3760.3
1983 2619.4 3906.6
1984 2746.1 4148.5
1985 2865.8 4279.8
1986 2969.1 4404.5
1987 3052.2 4539.9
1988 3162.4 4718.6
1989 3223.3 4838.0
1990 3260.4 4877.5
1991 3240.8 4821.0
Nguồn: Báo cáo kinh tế của tổng thống Mỹ, 1993.
Ước lượng mô hình.
Dùng phương pháp bình phương nhỏ nhất, tìm được các uoc lượng sau:

β
ˆ
1
= -231,8

β
ˆ
2
= 0,7194
Như vậy ước lượng của hàm tiêu dùng là:
Y
ˆ
i
= -231,8 + 0,7194X
i
Kiểm định mô hình:
H
0
:
β
2
= 0
H
1
:
β
2
> 0
H
0
:
β
2
= 1
H

1
:
β
2
< 1 . . .
Dự báo.
Chẳng hạn có cơ sở để cho rằng GDP của Mỹ vào năm 1994 là 6000 tỷ USD. Lúc đó có thể tìm
được một dự báo điểm cho Tổng mức tiêu dùng cá nhân của Mỹ vào năm đó là:
Y
ˆ
1994
≈ -231,8 + 0,7194*6000 = 4084,6 tỷ USD
Từ đó có thể xây dưng tiếp các dự báo bằng khoảng tin cậy.
Kiểm soát hoặc đề xuất chính sách.
Chẳng hạn chính phủ Mỹ tin rằng nếu có được tổng mức tiêu dùng cá nhân là 4000 tỷ USD thì sẽ
duy trì được tỷ lệ thất nghiệp ở mức 6,5%. Từ đó để duy trì được tỷ lệ thất nghiệp nói trên cần phải có
được GDP là:
GDP ≈ ( 4000 + 231,8 )/ 0,7194 ≈ 5882 tỷ USD.
3. Số liệu dùng trong KTL
3.1. Phân loại
- Số liệu theo thời gian.
- Số liệu theo không gian.
- Số liệu chéo
3.1. Nguồn gốc
- Điều tra
- Mua
- Từ nguồn được phát hành : Niên giám thống kê
3.2. Tính chất của số liệu
- Số liệu ngẫu nhiên phi thực nghiệm.
Phù hợp mục đích nghiên cứu.

Chú ý: Đặc điểm chung của các số liệu kinh tế xã hội là kém tin cậy
Chương 1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1. Phân tích hồi qui – Regression Analysis
1.1. Định nghĩa
Phân tích hồi qui là phân tích mối liên hệ phụ thuộc giữa một biến gọi là biến phụ thuộc (biến
được giải thích, biến nội sinh) phụ thuộc vào một hoặc một số biến khác gọi là (các) biến giải thích
(biến độc lập, biến ngoại sinh, biến hồi qui).
1.2. Ví dụ Tiêu dùng và Thu nhập.

- Biến phụ thuộc (dependent variable) ký hiệu là Y
- Biến giải thích / hồi qui (regressor(s)) ký hiệu là X, hoặc X
2
, X
3
….
- Biến giải thích nhận những giá trị xác định, trong điều kiện đó biến phụ thuộc là một biến ngẫu
nhiên.
Phân tích hồi qui nghiên cứu mối liên hệ phụ thuộc giữa biến phụ thuộc Y mà thực chất là một
biến ngẫu nhiên, phụ thuộc vào các giá trị xác định của (các) biến giải thích như thế nào.
X = X
i
→ (Y/X
i
)
1.3. Mục đích hồi qui
- Ước lượng trung bình biến phụ thuộc trong những điều kiện xác định của biến giải thích.
- Ước lượng các tham số.
- Kiểm định về mối quan hệ.
- Dự báo giá trị biến phụ thuộc khi biến giải thích thay đổi.
(*)

Hồi qui : qui về trung bình
1.4. So sánh với các quan hệ toán khác
- Quan hệ hàm số : x ↔ y
- Quan hệ tương quan
ρ
xy
- Quan hệ nhân quả X → Y
→
X
2. Mô hình hồi qui Tổng thể
- Tổng thể : toàn bộ những cá thể mang dấu hiệu nghiên cứu
- Phân tích hồi qui dựa trên toàn bộ tổng thể
Giả sử biến phụ thuộc Y chỉ phụ thuộc một biến giải thích X
2.1. Hàm hồi qui tổng thể (PRF : Population Regression Function).
Xét quan hệ hồi qui:
X = X
i

→
(Y/X
i
)
Biến ngẫu nhiên Y trong điều kiện X
= X
i
(i =1÷n)
→
∃ F(Y/X
i
)

Tồn tại Phân phối xác suất có điều
kiện
→ ∃ E(Y/X
i
)
Tồn tại duy nhất giá trị Kì vọng có
điều kiện
X
i

→
E(Y/X
i
)
Quan hệ hàm số
E(Y/X
i
) = f(X
i
) hoặc
E(Y/X) = f(X)
Hàm hồi qui tổng thể (PRF)
Nếu: hàm hồi qui tổng thể có dạng tuyến tính
E(Y/X
i
) =
β
1
+
β

2
X
i


β
1
và
β
2
được gọi là các hệ số hồi quy ( regression coefficient)
Trong đó:
β
1
= E(Y/X
i
= 0): hệ số chặn (INPT : intercep term)

β
2
=
i
i
X
XYE
∂
∂ )/(
: hệ số góc (slope coefficient)
→ Hàm hồi qui tổng thể cho biết mối quan hệ giữa biến phụ thuộc và biến giải thích về mặt trung
bình trong tổng thể.

2.2. Phân loại
Hàm hồi qui tổng thể được gọi là tuyến tính nếu nó tuyến tính với tham số.
2.3. Sai sè ngẫu nhiên.
- Xét giá trị cụ thể Y
i

∈
(Y/X
i
), thông thường Y
i
≠ E(Y/X
i
)
- Đặt u
i
= Y
i
– E(Y/X
i
) : là sai số ngẫu nhiên (nhiễu, yếu tố ngẫu nhiên: random errors)
- Tính chất của SSNN : + Nhận những giá trị dương và âm.
+ Kì vọng bằng 0: E(u
i
) = 0 ∀ i
Bản chất của SSNN : đại diện cho tất cả những yếu tố không phải biến giải thích nhưng cũng tác
động tới biến phụ thuộc:
+ Những yếu tố không biết.
+ Những yếu tố không có số liệu.
+ Những yếu tố không ảnh hưởng nhiều đến biến phụ thuộc.

+ Sai số của số liệu thống kê.
+ Sai lệch do chọn dạng hàm số.
+ Những yếu tố mà tác động của nó quá nhỏ không mang tính hệ thống.
2.4. Mô hình hồi quy tổng thể – ( PRM: Population regression model )
Y
i
=
β
1
+
β
2
X
i
+ u
i

1;i N=
3. Mô hình hồi qui mẫu
- Không biết toàn bộ Tổng thể, nên dạng của PRF có thể biết nhưng giá trị
β
j
thì không biết.
- Mẫu : một bộ phận mang thông tin của tổng thể.
- W = {(X
i
, Y
i
), i = 1÷ n} được gọi là một mẫu kích thước n, có n quan sát (observation).
3.1. Hàm hồi qui mẫu (SRF : Sample Regression Function)

- Trong mẫu W, tồn tại một hàm số mô tả xu thế biến động của biến phụ thuộc theo biến giải thích
về mặt trung bình,
Y
ˆ
=
)(
ˆ
Xf
gọi là hàm hồi qui mẫu (SRF).
- Hàm hồi qui mẫu có dạng giống hàm hồi qui tổng thể
Nếu PRF có dạng E(Y/X
i
) =
β
1
+
β
2
X
i

Thì SRF có dạng
i
Y
ˆ
=
1
ˆ
β
+

2
ˆ
β
X
i

- Vì có vô số mẫu ngẫu nhiên, nên có vô số giá trị của
1
ˆ
β
và
2
ˆ
β
→
j
β
ˆ
là biến ngẫu nhiên.
- Với một mẫu cụ thể w kích thước n,
j
β
ˆ
sẽ là con số cụ thể.
3.2. Phần dư
- Thông thường Y
i
≠
i
Y

ˆ
, đặt e
i
= Y
i
–
i
Y
ˆ
và gọi là phần dư (residual).
- Bản chất của phần dư e
i
giống sai số ngẫu nhiên u
i
i
Y
ˆ
,
1
ˆ
β
,
2
ˆ
β
, e
i
là ước lượng điểm tương ứng của E(Y/X
i
),

β
1
,
β
2
, u
i
.
3.3. Mô hình hồi quy mầu – ( SRM: Sample regression model )

Y
ˆ
i
=
β
ˆ
1
+
β
ˆ
2
X
i
+ e
i
Chương 2. ƯỚC LƯỢNG VÀ KIỂM ĐỊNH MÔ HÌNH HỒI QUI ĐƠN
1. Mô hình
- Mô hình hồi qui đơn ( Simple regression ) là mô hình một phương trình gồm một biến phụ thuộc
(Y) và một biến giải thích (X).
- Mô hình có dạng: PRF E(Y/X

i
)=
β
1
+
β
2
X
i
PRM Y
i
=
β
1
+
β
2
X
i
+ u
i
- Với mẫu W = {(X
i
, Y
i
), i = 1÷ n}, tìm
1
ˆ
β
,

2
ˆ
β
sao cho SRF:
i
Y
ˆ
=
1
ˆ
β
+
2
ˆ
β
X
i
phản ánh xu thế biến
động về mặt trung bình của mẫu.
2. Phương pháp bình phương nhỏ nhất( Ordinary least squares -OLS)
2.1. Phương pháp
- Tìm
1
ˆ
β
,
2
ˆ
β
sao cho Q =

∑∑
==
=−
n
i
i
n
i
ii
eYY
1
2
1
2
)
ˆ
(
→ min
Lấy đạo hàm riêng của Q theo
β
ˆ
1
và
β
ˆ
2
và cho bằng 0:
∂Q/∂
β
ˆ

1
= -2 ∑(Y
i
-
β
ˆ
1
-
β
ˆ
2
X
i
) = 0
∂Q/∂
β
ˆ
2
= -2 ∑X
i
(Y
i
-
β
ˆ
1
-
β
ˆ
2

X
i
) = 0
⇒
β
ˆ
1
n +
β
ˆ
2
∑X
i
= ∑Y
i

β
ˆ
1
∑X
i
+
β
ˆ
2
∑X
i
2
= ∑X
i

Y
i
Đặt:
X
= (∑X
i
)/n ;
Y
= (∑Y
i
)/n ;
YX
= (∑X
i
Y
i
)/n ;
2
X
= (∑X
i
2
)/n

⇒

2
ˆ
β
=

22
)(XX
YXXY
−
−
;
1
ˆ
β
=
XY
2
ˆ
β
−

Đặt x
i
= X
i
–

X
; y
i
= Y
i
–

Y ;

y
ˆ
i
=
Y
ˆ
i
–
Y
→
2
ˆ
β
=
∑
∑
=
=
n
i
i
n
i
ii
x
yx
1
2
1
→

y
ˆ
i
=
β
ˆ
2
x
i
gọi là hàm hồi quy mẫu đi qua gốc toạ độ.
1
ˆ
β
,
2
ˆ
β
ước lượng bằng phương pháp bình phương nhỏ nhất, gọi là các ước lượng bình phương nhỏ
nhất (OLS) của
β
1
và
β
2
.
2.2.Phương pháp OLS có các tính chất sau:
SRF đi qua điểm trung bình mẫu (
YX ,
)
Trung bình của các giá trị ước lượng bằng trung bình mẫu

YY =
ˆ
Tổng các phần dư bằng không
0
1
=∑
=
i
n
i
e
Các phần dư không tương quan với các giá trị của biến giải thích
0
1
=∑
=
ii
n
i
Xe
Các phần dư không tương quan với các giá trị ước lượng của biến phụ thuộc Y
∑
=
n
i
iYei
1
ˆ
= 0
3. Các giả thiết cơ bản của OLS

Một ước lượng sẽ dùng được khi nó là tốt nhất. Để ước lượng OLS là tốt nhất thì tổng thể phải thỏa
mãn một số giả thiết sau:
Giả thiết 1: Mô hình hồi quy có dạng tuyến tính đối với tham số.
Giả thiết 2: Biến giải thích là phi ngẫu nhiên
Giả thiết 3: Trung bình của các sai số ngẫu nhiên bằng 0 E(u
i
) = 0
∀
i
Giả thiết 4: Phương sai sai số ngẫu nhiên bằng nhau Var(u
i
) =
σ
2

∀
i
Giả thiết 5: Các sai số ngẫu nhiên không tuơng quan Cov(u
i
, u
j
) = 0
∀
i ≠ j
Giả thiết 6: SSNN và biến giải thích không tương quan Cov(u
i
, X
i
) = 0
∀

i
Giả thiết 7: Các giá trị của biến giải thích phải khác nhau càng nhiều càng tốt Var(X) > 0
Giả thiết 8: Kích thước mẫu phải lớn hơn số tham số cần ước lượng của mô hình.
Giả thiết 9: Mô hình được chỉ định đúng.
Giả thiết 10: Không có đa cộng tuyến giữa các biến giải thích của mô hình hồi quy bội.
Định lý: Nếu tổng thể thỏa mãn các giả thiết trên thì ước lượng OLS sẽ là ước lượng tuyến tính,
không chệch, tốt nhất (trong số các ước lượng không chệch) của các tham số.

4. Các tham số của ước lượng OLS
Các ước lượng
j
β
ˆ
là biến ngẫu nhiên tùy thuộc mẫu, nên có các tham số đặc trưng
Kì vọng : E(
1
ˆ
β
) =
β
1
E(
2
ˆ
β
) =
β
2

Phương sai : Var(

1
ˆ
β
) =
2
1
2
1
2
σ
∑
∑
=
=
n
i
i
n
i
i
xn
X
Var(
2
ˆ
β
) =
2
1
2

1
σ
∑
=
n
i
i
x
Độ lệch chuẩn : SD(
j
β
ˆ
) =
)
ˆ
(
j
Var
β
(j = 1;2)
Thường thì
σ
2
là phương sai của sai số ngẫu nhiên chưa biết, được ước lượng bởi
2
ˆ
σ
2
ˆ
σ

=
2
2
1
−
∑
=
n
e
i
n
i
với 2 là số tham số cần phải ước lượng của mô hình.
σ
ˆ
=
2
ˆ
σ
là độ lệch chuẩn của đường hồi qui : (Se of Regression)
Lúc đó ta thu được:
Se(
1
ˆ
β
) =
∑
∑
=
=

n
i
i
n
i
i
xn
X
1
2
1
2
ˆ
σ
Se(
2
ˆ
β
) =
∑
=
n
i
i
x
1
2
ˆ
σ
Cov(

β
ˆ
1
,
β
ˆ
2
) = -
X
Var(
β
ˆ
2
)
Hiệp phương sai phản ánh mối quan hệ giữa
β
ˆ
1
và
β
ˆ
2
.
5. Sự phù hợp của hàm hồi qui- Hệ số xác định R
2






−=
−=
−=
YYe
YYy
YYy
ii
ii
ii
ˆ
ˆ
ˆ
y
i
=
i
y
ˆ
+ e
i
; Và chứng minh được
∑∑∑
===
+=
n
i
n
i
n
i

iii
eyy
1
2
1
2
1
2
ˆ
TSS = ESS + RSS
TSS (Total Sum of Squares) : đo tổng biến động của biến phụ thuộc
ESS (Explained Sum of Squares): tổng biển động của biến phụ thuộc được giải thích bởi MH – biến
giải thích.
RSS (Residual Sum of Squares) : tổng biến động của biến phụ thuộc được giải thích bởi các yếu tố
nằm ngoài mô hình – Sai số ngẫu nhiên.
Đặt R
2
=
TSS
RSS
TSS
ESS
−= 1
gọi là hệ số xác định, 0 ≤ R
2
≤ 1
Ý nghĩa: Hệ số xác định R
2
là tỉ lệ (hoặc tỉ lệ %) sự biến động của biến phụ thuộc được giải thích
bởi biến giải thích (theo mô hình, trong mẫu).

6. Hệ số tương quan R :
Là căn bậc hai của hệ số xác định và đo mức độ tương quan tuyến tính giữa Y và X

7. Phân phối xác suất của sai số ngẫu nhiên.
Muốn tiến hành các suy diễn thống kê, thì phải biết phân phối xác suất của các ước lượng, phân
phối đó tùy thuộc phân phối xác suất của SSNN.
Giả thiết 11: Các SSNN u
i
có phân phối chuẩn.
Cơ sở của giả thiết này là:
+ Do u
i
thường là sự tổng hợp của một số lớn các nhân tố ngấu nhiên độc lập và ảnh hưởng bế đều
như nhau nên theo hệ quả của định lý giới hạn trung tâm thì có thể xem là u
i
phân phối chuẩn.
+ Phân phối chuẩn chỉ có hai tham số là µ và σ
2
nên dễ sử dụng.
+ Phân phối chuẩn có tính chất là nếu u
i
phân phối chuẩn thì mọi hàm tuyến tính của nó cũng phân
phối chuẩn.
+ Phân phối chuẩn có tính chất là tính độc lập và không tương quan là đồng nhất.
Kết hợp các giả thiết 3,4,5 và 11 ta có giả thiết chung là: u
i
∼n.i.d (0,
σ
2
) Mô hình thoả mãn các giả

thiết trên gọi là mô hình hồi quy tuyến tính cổ điển ( CLRM ).
8. Các tính chất của các ước lượng OLS.
Các ước lượng của CLRM là các ước lượng không chệch.
Các ước lượng của CLRM là các ước lượng vững
Các ước lương của CLRM là các ước lượng hiệu quả nhất.
β
ˆ
1

∼
N(
β
1
, var(
β
ˆ
1
))
β
ˆ
2

∼
N(
β
2
, var(
β
ˆ
2

))
χ
2
=
2
2
ˆ
)2(
σ
σ
−n
∼ χ
2
(n-2)
Các ước lượng của CLRM đều là BLUE hoặc BUE
Y
i

∼
N (
β
1
+
β
2
X
i
,
σ
2

) i = 1, 2, . . . N.
9. Suy diễn thống kê.
9.1. Ước lượng khoảng
Với độ tin cậy 1 -
α
cho trước, khoảng tin cậy của các hệ số hồi quy:
j
β
ˆ
– Se(
j
β
ˆ
)t
α
/2
(n – 2) <
β
j
<
j
β
ˆ
+ Se(
j
β
ˆ
)t
α
/2

(n – 2)
j
β
ˆ
– Se(
j
β
ˆ
)t
α
(n – 2) <
β
j


β
j
<
j
β
ˆ
+ Se(
j
β
ˆ
)t
α
(n – 2) (j = 1,2)

)2(

)2(
ˆ
2
2/
2
−
−
n
n
α
χ
σ
<
σ
2
<
)2(
)2(
ˆ
2
2/1
2
−
−
−
n
n
α
χ
σ

)2(2
2
)2(
ˆ
−
−
n
n
α
χ
σ
< σ
2
σ
2
<
)2(2
1
2
)2(
ˆ
−
−
−
n
n
α
χ
σ

9.2. Kiểm định giả thuyết
Với mức ý nghĩa
α
cho trước, kiểm định mối quan hệ thứ tự của hệ số với các số thực cho trước
i. Cặp giả thuyết





≠
=
*
1
*
0
:H
:H
jj
jj
ββ
ββ
j = 1;2
Tiêu chuẩn kiểm định : T
qs
=
)
ˆ
(
ˆ

*
j
jj
Se
β
ββ
−
Nếu T
qs
> t
α
/2
(n – 2) thì bác bỏ H
0
, ngược lại : chưa có cơ sở bác bỏ H
0
.
ii. Cặp giả thuyết





>
=
*
1
*
0
:H

:H
jj
jj
ββ
ββ
Nếu T
qs
> t
α

(n – 2) : bác bỏ H
0
iii. Cặp giả thuyết





<
=
*
1
*
0
:H
:H
jj
jj
ββ
ββ

Nếu T
qs
< – t
α

(n – 2) : bác bỏ H
0
Trường hợp đặc biệt



≠
=
0:H
0:H
1
0
j
j
β
β
→ T
qs
=
)
ˆ
(
ˆ
j
j

Se
β
β

10. Kiểm định về sự thích hợp của mô hình.
Cặp giả thuyết



≠
=
0:H
0:H
2
1
2
0
R
R

Biến giải thích không giải thích
cho Y
Biến giải thích có giải thích cho
Y
⇔



≠
=

0:H
0:H
21
20
β
β
Kiểm định F: F
qs
=
)2/(1
1/
)2/(
1/
2
2
−−
=
−
nR
R
nRSS
ESS
- Nếu F
qs
> F
α
( 1; n - 2) thì bác bỏ H
0
: biến giải thích giải thích được cho sự biến động của biến
phụ thuộc, hàm hồi qui được gọi là phù hợp.

- Ngược lại, Y không phụ thuộc vào biến giải thích, hàm hồi qui không phù hợp.
Vì hai cặp giả thiết tương đương, kiểm định F tương đương kiểm định T, F
qs
= (T
qs
)
2
.

11. Dự báo
Là ước lượng khoảng cho giá trị trung bình và cá biệt của biến phụ thuộc khi biến giải thích nhận
giá trị xác định X = X
0
11.1. Dự báo giá trị trung bình
0
ˆ
Y
– Se(
0
ˆ
Y
)t
α
/2
(n – 2)

< E(Y/X
0
) <
0

ˆ
Y
+ Se(
0
ˆ
Y
)t
α
/2
(n – 2)
Với
0
ˆ
Y
=
1
ˆ
β
+
2
ˆ
β
X
0
và Se(
0
ˆ
Y
) =
2

2
0
)(
1
ˆ
i
x
XX
n
Σ
−
+
σ
11.2. Dự báo giá trị cá biệt
0
ˆ
Y
– Se(
Y
ˆ
0
- Y
0
)t
α
/2
(n – 2)

< Y
0

<
0
ˆ
Y
+ Se(
Y
ˆ
0
- Y
0
) t
α
/2
(n – 2)
Với Se(
Y
ˆ
0
- Y
0
) =
2
2
0
)(
1
1
ˆ
i
x

XX
n
Σ
−
++
σ
Chương 3. MÔ HÌNH HỒI QUI BỘI (Multiple regression)

1. Mô hình hồi qui 3 biến.
MÔ HÌNH:
Mô hình hồi qui trong đó biến phụ thuộc Y phụ thuộc vào 2 biến giải thích X
2
, X
3
có dạng
PRF: E(Y/ X
2i
, X
3i
) =
β
1
+
β
2
X
2i
+
β
3

X
3i
(1) Đồ thị là một mặt phẳng
PRM: Y
i
=
β
1
+
β
2
X
2i
+
β
3
X
3i
+ u
i
Giả sử mọi giả thiết của OLS đều thoả mãn, lúc đó với mẫu kích thước n được lập từ tổng thể sẽ
xác định được:
SRF:
i
Y
ˆ
=
1
ˆ
β

+
2
ˆ
β
X
2i
+
3
ˆ
β
X
3i
(2)
SRM: Y
i
=
β
1
+
β
2
X
2i
+
β
3
X
3i
+ e
i

Tỡm
j
β
ˆ
( j =
3,1
) sao cho Q =
∑∑
==
=−
n
i
i
n
i
ii
eYY
1
2
1
2
)
ˆ
(
→ min

∂
Q/
∂
β

ˆ
1
= 0

∂
Q/
∂
β
ˆ
2
= 0

∂
Q/
∂
β
ˆ
3
= 0
⇒
β
ˆ
1
n +
β
ˆ
2
∑X
2i
+

β
ˆ
3
∑X
3i
= ∑Y
i

β
ˆ
1
∑X
2i
+
β
ˆ
2
∑X
2i
2
+
β
ˆ
3
∑X
3i
= ∑X
2i
Y
i

β
ˆ
1
∑X
3i
+
β
ˆ
2
∑X
2ĩ
X
3i
+
β
ˆ
3
∑X
3i
2
= ∑X
3i
Y
i
Ký hiệu:
Y
= (∑Y
i
)/n

X
2
= (∑X
2i
)/n
X
3
= (∑X
3i
)/n
Y
i
= Y
i
–
Y
x
2i
= X
2i
–
X
2
x
3i
= X
3i
–
X
3

β
ˆ
1
=
Y
-
β
ˆ
2
X
2
-
β
ˆ
3
X
3
∑x
2i
y
i
∑x
3i
2
- ∑x
3i
y
i
∑x
2i

x
3i

β
ˆ
2
=
∑x
2i
2
∑x
3i
2
– (∑x
2i
x
3i
)
2
∑x
3i
y
i
∑x
2i
2
- ∑x
2i
y
i

∑x
2i
x
3i

β
ˆ
3
=
∑x
2i
2
∑x
3i
2
– (∑x
2i
x
3i
)
2
⇒
i
y
ˆ
=
ii
xx
3322
ˆˆ

ββ
+
→ Hàm hồi quy mẫu đi qua gốc toạ độ.

Các tham số của các ước lượng OLS.
E(
β
ˆ
j
) = β
j
j =
3,1
Var(
β
ˆ
1
) =



n
1
+




−
−+

∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑
2
32
2
3
2
2
3232
2
2
2
3
2
3
2
2
)(
2
iiii
iiii
xxxx
xxXXxXxX
σ
2
Var(
β
ˆ
2
) =

∑ ∑ ∑
∑
−
2
32
2
3
2
2
2
3
)(
iiii
i
xxxx
x
σ
2
=
∑
− )1(
2
23
2
2
2
rx
i
σ
Var(

3
ˆ
β
) =
∑ ∑ ∑
∑
−
2
32
2
3
2
2
2
2
)(
iiii
i
xxxx
x
σ
2
=
∑
− )1(
2
23
2
3
2

rx
i
σ
Se(
j
β
ˆ
) =
)
ˆ
var(
j
β
trong đó
22
ˆ
σσ
≈
=
3−n
RSS
Cov(
32
ˆˆ
ββ
) =
2
3
2
2

2
23
2
23
)1(
ii
xxr
r
−
−
σ
Hệ số xác định bội R
2
ESS RSS
R
2
= = 1 -
TSS TSS

Với mô hình ba biến:
R
2
=
∑
∑ ∑
+
2
3322
ˆˆ
i

iiii
y
yxyx
ββ

Hệ số tương quan.
Hệ số tuơng quan bội R: Là căn bậc hai của hệ số xác định bội và đo mức độ tương quan tuyến
tính chung giữa Y, X
2
và X
3
.
Hệ số tương quan cặp r
ij
: Đo mức độ tương quan tuyến tính giữa biến i và biến j của mô hình.

2
12
r
=
∑ ∑
∑
22
2
2
2
)(
ii
ii
yx

yx
2
13
r
=
∑ ∑
∑
22
3
2
3
)(
ii
ii
yx
yx
2
23
r
=
∑ ∑
∑
2
3
2
2
2
32
)(
ii

ii
xx
xx
Hệ số tương quan riêng phần r
ij , k
: Đo mức độ tương quan tuyến tính giữa biến i và biến j của mô
hình với điều kiện biến k không đổi.
r
12,3
=
)1)(1(
2
23
2
13
231312
rr
rrr
−−
−
r
13,2
=
)1()1(
2
23
2
12
231213
rr

rrr
−−
−
r
23,1
=
)1)(1(
2
13
2
12
131223
rr
rrr
−−
−
Ví dụ: Bảng sau đây cho Tỷ lệ lạm phát Y(%), Tỷ lệ thất nghiệp X
2
(%) và Tỷ lệ lạm phát kỳ vọng
X
3
(%) của Mỹ giai đoạn 1970- 1982:
Năm Y X
2
X
3
1970 5.92 4.9 4.78
1971 4.30 5.9 3.84
1972 3.30 5.6 3.13
1973 6.23 4.9 3.44

1974 10.97 5.6 6.84
1975 9.14 8.5 9.47
1976 5.77 7.7 6.51
1977 6.45 7.1 5.92
1978 7.60 6.1 6.08
1979 11.47 5.8 8.09
1980 13.46 7.1 10.01
1981 10.24 7.6 10.81
1982 5.99 9.7 8.00
Hồi quy Y với X
2
và cho nhận xét.
Hồi quy Y với X
2
và X
3
và so sánh với kết quả thu được ở phần a.

2. Mô hình hồi quy tổng quát k biến - Dạng ma trận của mô hình
2.1. Mô hình
Mô hình hồi qui trong đó biến phụ thuộc Y phụ thuộc vào k – 1 biến giải thích X
2
, ,X
k
có dạng
PRF: E(Y
i
) =
β
1

+
β
2
X
2i
+
β
3
X
3i
+ … +
β
k
X
ki
(1)
PRM: Y
i
=
β
1
+
β
2
X
2i
+
β
3
X

3i
+ … +
β
k
X
ki
+ u
i
(2)
Với mẫu W = {(X
2i
, X
3i
,…,X
ki
, Y
i
); i = 1
÷
n}, SRF:
i
Y
ˆ
=
1
ˆ
β
+
2
ˆ

β
X
2i
+
3
ˆ
β
X
3i
+ … +
k
β
ˆ
X
ki
(3)
SRM: Y
i
=
1
ˆ
β
+
2
ˆ
β
X
2i
+
3

ˆ
β
X
3i
+ … +
k
β
ˆ
X
ki
+ e
i
(4)
2.2. Dạng ma trận
Y
1
=
β
1
+
β
2
X
21
+ …+
β
k
X
k1
+ u

1

Y
2
=
β
1
+
β
2
X
22
+ …+
β
k
X
k2
+ u
2

…
Y
n-1
=
β
1
+
β
2
X

2n-1
+ … +
β
k
X
kn-1
+ u
n-1

Y
n
=
β
1
+
β
2
X
2n
+ …+
β
k
X
kn
+ u
n



















+














×

















=

















−−−−
n
n
k
knn
knn
k
k
n
n
u
u
u
u
XX
XX
XX
XX
Y
Y
Y
Y
1
2
1
2
1

2
112
222
121
1
2
1


1
1

1
1

β
β
β
→
Y
(n
×
1)
= X
(n
×
k)
×

β

(k
×
1)
+ U
(n
×
1)
Y = X×β + U → E(Y) = Xβ
Tương tự, đặt
Y
ˆ
=



















−
n
n
Y
Y
Y
Y
ˆ
ˆ

ˆ
ˆ
1
2
1
;
β
ˆ
=















k
β
β
β
ˆ

ˆ
ˆ
2
1
; e =

















−
n
n
e
e
e
e
1
2
1

, thì
Y
ˆ
= X
β
ˆ
Y = X
β
ˆ
+ e

2.3. Phương pháp bình phương nhỏ nhất
Tìm
β
ˆ
sao cho
∑
=
n

i
i
e
1
2
= e’e → min
⇔ (Y - X
β
ˆ
)’ (Y - X
β
ˆ
) → min ⇔ X’X
β
ˆ
= X’Y
Nếu tồn tại (X’X)
-1
thì
β
ˆ
= (X’X)
-1
X’Y
Khi đó
β
ˆ
= (X’X)
-1
X’Y là ước lượng tuyến tính không chệch tốt nhất của β

2.4. Các tham số của ước lượng
Kì vọng : E(
β
ˆ
) = β
Phương sai – hiệp phương sai
Cov(
β
ˆ
) =














)
ˆ
( )
ˆ
,

ˆ
()
ˆ
,
ˆ
(

)
ˆ
,
ˆ
( )
ˆ
()
ˆ
,
ˆ
(
)
ˆ
,
ˆ
( )
ˆ
,
ˆ
()
ˆ
(
21

2212
1211
kkk
k
k
VarCovCov
CovVarCov
CovCovVar
βββββ
βββββ
βββββ
=
σ
2
(X’X)
-1
Với
σ
2
được ước lượng bởi
2
ˆ
σ
=
kn −
ee'
2.5. Sự phù hợp của hàm hồi qui

Hệ số xác định bội.
R

2
=
TSS
ESS
= 1 -
TSS
RSS

Cho biết tỉ lệ sự biến động của biến phụ thuộc được giải thích bởi tất cả các biến giải thích có
trong mô hình.
R
2
có các tính chất sau:
+ 0
≤
R
2
≤ 1
Tính chất này dùng để đánh giá mức độ thích hợp của hàm hồi quy.
+ Giá trị của R
2
đồng biến với số biến giải thích của mô hình. Tuy nhiên không thể lấy
điều đó để xem xét việc đưa thêm biến giải thích vào mô hình.
2.6. Hệ số xác định bội hiệu chỉnh.
R
2
= 1 – (1 – R
2
)
kn

n
−
−1

R
2
có các tính chất sau:
+
R
2
có thể nhận giá trị âm.
+ Khi số biến giải thích của mô hình tăng lên thì
R
2
tăng chậm hơn R
2
.

R
2
≤ R
2
≤ 1

Tính chất này được dùng làm căn cứ xem xét việc đưa thêm biến giải thích vào mô hình.
2.7. Hệ số tương quan.
Hệ số tương quan bội R.
Hệ số tương quan cặp r
ij
(i,j =

k,1
)
Hệ số tương quan riêng phần r
12,34. . . k
. . . r
k-1k,12 . . . k-2
Các hệ số tương quan cặp được gọi là hệ số tương quan riêng phần bậc 0.

3. Suy diễn thống kê.
3.1. Ước lượng khoảng
i. Khoảng tin cậy cho từng hệ số
j
β
ˆ
– Se(
j
β
ˆ
)t
α
2
(n – k) <
β
j
<
j
β
ˆ
+ Se(
j

β
ˆ
)t
α
1
(n – k) (j =
k,1
)
→ Khoảng tin cậy đối xứng, bên phải, bên trái.
ii. Khoảng tin cậy cho hai hệ số
(
ji
ββ
ˆˆ
±
) – Se(
ji
ββ
ˆˆ
±
)t
α
2
(n – k) <
β
i
±
β
j
<(

ji
ββ
ˆˆ
±
) + Se(
ji
ββ
ˆˆ
±
)t
α
1
(n – k)
Với Se(
ji
ββ
ˆˆ
±
) =
)
ˆˆ
(
ji
Var
ββ
±
=
)
ˆ
()

ˆ
,
ˆ
(2)
ˆ
(
jjii
VarCovVar
ββββ
+±
iii. Khoảng tin cậy cho sai số ngẫu nhiên
)(2
2
2
)(
ˆ
kn
kn
−
−
α
χ
σ
<
σ
2
<
)(2
11
2

)(
ˆ
kn
kn
−
−
−
α
χ
σ
Khoảng tin cậy hai phía, bên phải, bên trái.
3.2. Kiểm định giả thuyết
Cặp giả thuyết Tiêu chuẩn kiểm
định
Miền bác bỏ H
0





≠
=
*
1
*
0
:H
:H
jj

jj
ββ
ββ
T
qs
>
)(
2/
kn
t
−
α





>
=
*
1
*
0
:H
:H
jj
jj
ββ
ββ
T

qs
=
)
ˆ
(
ˆ
*
j
jj
Se
β
ββ
−
T
qs
>
)( kn
t
−
α





<
=
*
1
*

0
:H
:H
jj
jj
ββ
ββ
T
qs
< –
)( kn
t
−
α



≠±
=±
a
a
ji
ji
ββ
ββ
:H
:H
1
0
T

qs
=
)
ˆˆ
(
ˆˆ
ji
ji
Se
a
ββ
ββ
±
−±
T
qs
>
)(
2/
kn
t
−
α
4. Kiểm định sự phù hợp của hàm hồi qui



≠
=
0:H

0:H
2
1
2
0
R
R
⇔



≠≠∃
===
)1(:0:H
0 :H
1
20
j
j
k
β
ββ
Tất cả các biến giải thích không giải thích cho Y
Ít nhất một biến giải thích có giải thích cho Y
F
qs
=
)/(1
)1/(
)/(

)1/(
2
2
knR
kR
knRSS
kESS
−−
−
=
−
−
F
qs
> F
α
(k - 1; n - k) thì bác bỏ H
0
: hàm hồi qui là phù hợp
Ví dụ: Với tệp số liệu đã cho, hãy tìm các ước lượng
β
ˆ
bằng phương pháp ma trận và các tham số
tương ứng của mô hình. Hãy tiến hành các ước lượng và kiểm định cần thiết.

5. Kiểm định thu hẹp hồi qui:
5.1. Thủ tục:
Nghi ngờ m biến giải thích X
k-m+1
,…, X

k
không giải thích cho Y



÷+−=≠∃
===
+−+−
)1(:0:H
0 :H
1
210
kmkj
j
kmkmk
β
βββ
Tất cả m biến giải thích không giải thích cho Y
Ít nhất một biến giải thích có giải thích cho Y
E(Y/X
2
, ,X
k - m
, ,X
k
) =
β
1
+
β

2
X
2
+ … +
β
k
X
k
(UR)
E(Y/X
2
,…, X
k - m
) =
β
1
+
β
2
X
2
+ … +
β
k
X
k - m
(R)
F
qs
=

)/(
/)(
knRSSur
mRSSurRSSr
−
−
=
)/()1(
/)(
2
22
knR
mRR
ur
ñur
−−
−
F
qs
> F
α
(m, n – k) bác bỏ H
0
- Trường hợp m = 1: F
qs
= (T
qs
)
2
với T

qs
ứng với hệ số duy nhất cần kiểm định.
- Trường hợp m = k – 1 : F
qs
trong kiểm định thu hẹp chính là F
qs
trong kiểm định sự phù hợp.
Kiểm định thu hẹp hồi qui còn dùng cho những trường hợp khác.
5.2. Các dạng thu hẹp hồi qui
Ví dụ Y
i
=
β
1
+
β
2
X
2i
+
β
3
X
3i
+ u
i
(UR)
H
0
:

β
3
= 1; H
1
:
β
3
≠ 1.
H
0
đúng ⇒ Y
i
=
β
1
+
β
2
X
2i
+ X
3i
+ u
i

⇔ Y
i
– X
3i
=

β
1
+
β
2
X
2i
+ u
i
⇔ Y
i
*
=
β
1
+
β
2
X
2i
+ u
i
(R)
H
0
:
β
2
=
β

3
; H
1
:
β
2
≠
β
3
.
H
0
đúng ⇒ Y
i
=
β
1
+
β
2
X
2i
+
β
2
X
3i
+ u
i

⇔ Y
i
=
β
1
+
β
2
(X
2i
+X
3i
) + u
i
⇔ Y
i
=
β
1
+
β
2
X
i
*
+ u
i
(R)
H
0

:
β
2
+
β
3
= a; H
1
:
β
2
+
β
3
≠ a
H
0
đúng ⇒ Y
i
=
β
1
+
β
2
X
2i
+ (a –
β
2

)X
3i
+ u
i

⇔ Y
i
– aX
3i
=
β
1
+
β
2
(X
2i
–X
3i
) + u
i

⇔
Y
i
*
=
β
1
+

β
2
X
i
*
+ u
i
(R)
6. Dự báo.
6.1. Dự báo giá trị trung bình
0
ˆ
Y
– Se(
0
ˆ
Y
)t
α
/2
(n – k)

< E(Y/X
0
) <
0
ˆ
Y
+ Se(
0

ˆ
Y
)t
α
/2
(n – k)
Với
0
ˆ
Y
= X
0
’
β
ˆ
và Se(
0
ˆ
Y
) =
0
1
0
XX)(X''X
ˆ
−
σ
6.2. Dự báo giá trị cá biệt
0
ˆ

Y
– Se(Y
0
)t
α
/2
(n – k)

< Y
0
<
0
ˆ
Y
+ Se(Y
0
) t
α
/2
(n – k)
Với Se(Y
0
) =
0
1
0
XX)(X''X 1
ˆ
−
+

σ

7. Một số mô hình Kinh tế
7.1. Hàm thu nhập – chi tiêu
Y
i
: Thu nhập
C
i
: Chi tiêu
C
i
=
β
1
+
β
2
Y
i
+ u
i
- C là chi tiêu cho tiêu dùng :
β
1
> 0; 1 >
β
2
> 0
- C là chi tiêu cho hàng hóa thông thường

- C là chi tiêu cho hàng hóa cao cấp
- C là chi tiêu cho hàng hóa thứ cấp
7.2. Hàm cầu
Q
i
: cầu về hàng hóa
P
i
: giá cả hàng hóa
PT
i
: giá hàng hóa thay thế
PB
i
: giá hàng hóa bổ sung
Q
i
=
β
1
+
β
2
P
i
+
β
3
PT
i

+
β
4
PB
i
+ u
i

7.3. Hàm chi phí – sản lượng
Q
i
: sản lượng
TC
i
: tổng chi phí, MC
i
: chi phí cận biên, AC
i
: chi phí trung bình, FC
i
: chi phí cố định
TC
i
=
β
1
+
β
2
Q

i
+
β
3
2
i
Q
+
β
4
3
i
Q

+ u
i

→ FC
i
=
β
1
+ u
i
→ MC
i
=
β
2
+ 2

β
3
Q
i
+ 3
β
4
2
i
Q
+ u
i
→ AC
i
=
i
Q
1
β
+
β
2
+
β
3
Q
i
+
β
4

2
i
Q
+ u
i
7.4. Hàm mũ – Hàm Loga tuyến tính
Mô hình kinh tế có dạng Y
i
=
β
0
X
2i
β
2
X
3i
β
3
⇔ lnY
i
= ln
β
0
+
β
2
lnX
2i
+

β
3
lnX
3i

Xét mô hình LY
i
=
β
1
+
β
2
LX
2i
+
β
3
LX
3i
+ v
i
⇔ E(Y / X
2i
, X
3i
) = e
β
1
X

2i
β
2
X
3i
β
3

β
1
: E(Y/X
2i
= X
3i
= 1) = e
β
1
β
2
=
ε
E(Y)/X2
: Khi X
2
thay đổi 1%, yếu tố khác không đổi, thì E(Y) thay đổi
β
2
%
Ví dụ mô hình : E(Q
i

) = e
β
1
K
i
β
2
L
i
β
3
7.5. Hàm nửa Loga
Mô hình : Y
i
=
β
1
+
β
2
lnX
i
+ u
i
β
1
= E(Y/X = 1)
β
2
: Khi X tăng 1% thì E(Y) thay đổi

β
2
đơn vị.
Mô hình : LnY
i
=
β
1
+
β
2
X
i
+ u
i

2
β
: Khi X tăng 1 đơn vị thì E(Y) thay đổi
2
β
%.
7.6. Hàm chi phí – lợi ích
C
i
: chi phí
U
i
: lợi ích
U

i
=
β
1
+
β
2
C
i
+
β
3
2
i
C
+ u
i
Chương 4. MÔ HÌNH VỚI BIẾN GIẢ

1. Biến định tính – Biến giả
1.1. Biến định tính
- Có những yếu tố mang tính định tính tác động đến biến phụ thuộc
+ Chỉ có một số trạng thái xác định
+ Một cá thể chỉ ở trong một trạng thái, rất khó chuyển sang trạng thái khác
+ Không có đơn vị đo
Miêu tả biến định tính bằng biến giả

1.2. Mô hình có một biến giải thích là định tính.
a. Biến định tính có hai phạm trù.
Lúc đó dùng một biến giả để thay thế cho nó.

VD: Thu nhập có phụ thuộc giới tính ?
Y
i
: thu nhập
D
i
=



0
1
Nếu quan sát là
Nam
Nếu quan sát là
Nữ
Mô hình : Y
i
=
β
1
+
β
2
D
i
+ u
i
Thu nhập trung bình của nam E(Y/D
i

= 1) =
β
1
+
β
2

Thu nhập trung bình của nữ E(Y/D
i
= 0) =
β
1

Nếu
β
2
≠ 0 thì TN trung bình có phụ thuộc giới tính
Biến D đặt như trên là biến giả.
→ Qui tắc đặt biến giả
- Biến giả chỉ nhận giá trị 0 và 1
- Cá thể nào cũng phải có giá trị của biến giả
- Biến giả phân chia tổng thể thành những phần riêng biệt
Biến định tính có k phạm trù.
Lúc đó dùng k-1 biến giả để thay thế cho chúng.
Ví dụ: Chi phí cho văn hoá phẩm có phụ thuộc vào trình độ học vấn?
Y
i
: Chi phí cho văn hoá phẩm.
D
2i

= 1 nếu có trình độ tiểu học
= 0 nếu có trình độ khác

D
3i
= 1 nếu có trình độ trung học
= 0 nếu có trình độ khác
D
4i
= 1 nếu có trình độ đại học
= 0 nếu có trình độ khác
Y
i
=
β
1
+
β
2
D
2i
+
β
3
D
3i
+
β
4
D

4i
+ u
i
1.3. Mô hình có hai biến định tính
VD : Thu nhập trung bình có khác nhau giữa lao động thành thị và nông thôn, nam và nữ?
D
2
=



0
1
Nếu lao động
là nam
Nếu lao động
là nữ
D
3
=



0
1
Nếu lao động thuộc khu vực thành thị
Nếu lao động thuộc khu vực nông thôn
E(Y/D
2i
, D

3i
) =
β
1
+
β
2
D
2i
+
β
3
D
3i
+ u
i
Các chú ý:
Nếu mô hình có k biến giải thích là định tính với số phạm trù tương ứng là n
1
, n
2
, . . . n
k
thì phải
dùng tổng cộng n
1
+ n
2
+ . . . + n
k

– k biến giả.
Biến nhận mọi giá trị bằng 0 gọi là phạm trù cơ sở dùnh để so sánh với các phạm trù khác.
Các hệ số góc riêng phần được gọi là các hệ số chênh lệch.
Việc đưa thêm các biến giải thích là định lượng vào mô hình được làm như thông lệ.
Sự tương tác giữa các biến giả
Khi sử dụng cùng một lúc nhiều biến giả có thể xảy ra sự tương tác giữa chúng. Để tính đến điều
đó ta thêm vào mô hình biến tương tác.
Ví dụ: Chi tiêu cho quần áo có phụ thuộc vào giới tính và tính chất công việc?
Mô hình: Y
i
=
β
1
+
β
2
D
2i
+
β
3
D
3i
+
β
4
D
2i
*D
3i

+
β
5
X
i
+ u
i
Kiểm định H
0
:
β
4
= 0 (không có tương tác)
H
1
:
β
4
≠ 0 (có tương tác)
Lúc đó mức độ tương tác bằng
β
4
.

3. Đánh giá sự tác động dối với biến định lượng
Xét mô hình tuyến tính Y phụ thuộc vào X có hệ số chặn có dạng:
E(Y/X
i
) =
β

1
+
β
2
X
i
Biến định tính có hai trạng thái A
1
và A
2
.
D =



∉
∈
1
1
A sát quan 0
A sát quan 1

3.1. Biến định tính tác động đến hệ số chặn
E(Y/X
i
, D
i
) =
β
1

+
β
2
D
i
+
β
3
X
i
3.2. Biến định tính tác động đến hệ số góc
E(Y/X
i
, D
i
) =
β
1
+
β
2
X
i
+
β
3
D
i
X
i

3.3. Tác động đến cả hai hệ số
E(Y/X
i
, D
i
) =
β
1
+
β
2
X
i
+
β
3
D
i
+
β
4
D
i
X
i
4. Kiểm định sự thay đổi cấu trúc của mô hình.



≠+

==
0:H
0:H
2
4
2
31
430
ββ
ββ
Hàm hồi qui đồng nhất
Hàm hồi qui không đồng nhất
4.1. Kiểm định Chow
Kiểm định về sự đồng nhất của hàm hồi qui.
Toàn bộ tổng thể Y
i
=
β
1
+
β
2
X
i
+ u
i
Trong A
1
: Y
i

=
α
1
+
α
2
X
i
+ u
1i
Trong A
2
: Y
i
=
γ
1
+
γ
2
X
i
+ u
2i



:H
:H
1

0
[
α
1
=
γ
1
=
β
1
] và [
α
2
=
γ
2
=
β
2
]
[
α
1

≠

γ
1
] hoặc [
α

2

≠
γ
2
]
Hàm hồi qui đồng nhất
Hàm hồi qui không đồng nhất
Lấy mẫu W
1
kích thước n
1
trong A
1
, hồi qui MH thu được RSS
1
Lấy mẫu W
2
kích thước n
2
trong A
2
, hồi qui MH thu được RSS
2
Với mẫu W = W
1
∪ W
2
kích thước n
1

+ n
2
, hồi qui thu được RSS
Đặt
RSS
= RSS
1
+ RSS
2
.
F
qs
=
k
knn
RSS
RSSRSS
2
21
−+
×
−
Nếu F
qs
> F
α

(k ; n
1
+ n

2
– 2k) : bác bỏ H
0
4.2. Dùng biến giả để kiểm định sự thay đổi cấu trúc.
Với mẫu W = W
1

∪
W
2
kích thước n
1
+ n
2
hồi quy mô hình:
Y
i
=
β
1
+
β
2
D
i
+
β
3
X
i

+
β
4
D
i
X
i
+ u
i
Và kiểm định thu hẹp hàm hồi quy giả thuyết H
0
:
β
2
=
β
4
= 0.
Ví dụ: Cho số liệu trong bảng dưới đây về tiết kiệm S và thu nhập Y (đầu người) ở Vương quốc Anh
trong giai đoạn 1946 - 1963 (triệu pao). Người ta cho rằng, thời kỳ khôi phục kinh tế sau thế chiến thứ hai
1946 - 1954 và thời kỳ sau đó, hành vi tiết kiệm từ thu nhập khác nhau. Hãy kiểm tra ý kiến này với mức ý
nghĩa 5% bằng kiểm định Chow và bằng thủ tục biến giả.
N
ăm
Tiế
t kiệm
Thu
nhập
N
ăm

Ti
ết kiệm
Th
u nhập
1
946
0,36 8,8 1
955
0,59 15,5
1
947
0,21 9,4 1
956
0,9 16,7
1
948
0,08 10,0 1
957
0,95 17,7
1
949
0,2 10,6 1
958
0,82 18,6
1
950
0,1 11,0 1
959
1,04 19,7
1

951
0,12 11,9 1
960
1,53 21,1
1
952
0,41 12,7 1
961
1,94 22,8
1
953
0,50 13,5 1
962
1,75 23,9
1
954
0,43 14,3 1
963
1,99 25,2
5. Dùng biến giả để phân tích biến động mùa vụ ( season)
Xét mô hình:
Y
i
=
β
1
+
β
2
X

i
+ u
i
Nếu có sự biến động mùa vụ, chẳng hạn theo quý thì dùng 3 biến giả để đặc trưng cho chúng:
D
2
= {1 nếu là quý 2}
{0 nếu là quý khác}
D
3
= {1 nếu là quý 3 }
{0 nếu là quý khác}
D
4
= {1 nếu là quý 4}
{0 nếu là quý khác }
Ta có mô hình Y
t
=
β
1
+
β
2
D
2t
+
β
3
D

3t
+
β
4
D
4t
+
β
5
X
t
+ u
t
Ví dụ: Có số liệu sau về tổng lợi nhuận và tổng doanh số của ngành công nghiệp chế biến Mỹ từ
quý1-1965 đến quý 4-1970:
Năm và quý Lợi nhuận(tr. USD) Doanh số(tr. USD)
1965-1 10503 114862
1965-2 12092 123968
1965-3 10834 121454
1965-4 12201 131917
1966-1 12245 129911
1966-2 14001 140976
1966-3 12213 137828
1966-4 12820 145465
1967-1 11349 136989
1967-2 12615 145126
1967-3 11014 141536
1967-4 12730 151776
1968-1 12539 148862
1968-2 14849 158913

1968-3 13203 155727
1968-4 14947 168409
1969-1 14151 162781
1969-2 15949 176057
1969-3 14024 172419
1969-4 14315 183327
1970-1 12381 170415
1970-2 13991 181313
1970-3 12174 176712
1970-4 10985 180370
Hãy hồi quy lợi nhuận với doanh số và cho nhận xét.
Vẽ đồ thị của lợi nhuận và doanh số theo thời gian và cho nhận xét.
Từ đó hãy tìm cách hoàn thiện mô hình.
6. Hồi qui tuyến tính từng khúc
Hàm hồi qui tuyến tính gấp khúc tại điểm X = X
t0
D =



<
≥
0
0
:0
:1
t
t
XX
XX

E(Y/X
t
, D
t
) =
β
1
+
β
2
X
t
+
β
3
( X
t
– X
t0
)D
t
Chương 5. ĐA CỘNG TUYẾN
1. Bản chất của đa cộng tuyến ( Multicolinearity)
1.1. Hiện tượng :
Xét MH: Y
i
=
β
1
+

β
2
X
2i
+
β
3
X
3i
+ … +
β
k
X
ki
+ u
i
Gt 10: Các biến giải thích không có quan hệ cộng tuyến.
Nếu giả thiết bị vi phạm → hiện tượng đa cộng tuyến.
Có hai dạng đa cộng tuyến:
i. Đa cộng tuyến hoàn hảo( Perfect Multicolinearity) :
∃
λ
j
≠ 0 (j ≠ 1) sao cho:

λ
2
X
2i
+ … +

λ
k
X
ki
= 0 ∀ i
→ Ma trận X là suy biến, không có lời giải duy nhất.
ii. Đa cộng tuyến không hoàn hảo ( Imperfect Multicolinearity) :
∃
λ
j
≠ 0 (j ≠ 1) sao cho:
λ
2
X
2i
+ … +
λ
k
X
ki
+ v
i
= 0
với v
i
là SSNN có phương sai dương → vẫn có lời giải.
1.2. Nguyên nhân
Đa cộng tuyến hoàn hảo gần như không bao giờ xảy ra
Đa cộng tuyến không hoàn hảo thường xuyên xảy ra, do các nguyên nhân:
- Bản chất các biến giải thích có quan hệ tương quan với nhau.

- Do số liệu mẫu không ngẫu nhiên.
- Do kích thước mẫu không đủ.
Do quá trình làm trơn số liệu.

2. Hậu quả
2.1. Đa cộng tuyến hoàn hảo : không giải được
Vì lúc đó
=j
ˆ
β
0
0
∀j và
Var(
j
ˆ
β
) = ∞ ∀j
2.2. Đa cộng tuyến không hoàn hảo:
Các ước lượng có phương sai lớn, là ước lượng không hiệu quả.
Khoảng tin cậy rộng không còn ý nghĩa.
Các kiểm định T có thể sai.
Các kiểm định T và kiểm định F có thể cho kết luận mâu thuẫn nhau.
Các ước lượng có thể sai về dấu.
Mô hình trở nên nhậy cảm với mỗi sự thay đổi của số biến giải thích và của tệp số liệu.

3. Phát hiện đa cộng tuyến.
3.1. Sự mâu thuẫn giữa kiểm định T và F
Có mâu thuẫn: Kiểm định F có ý nghĩa, tất cả các kiểm định T về các hệ số góc không có ý nghĩa.
có đa cộng tuyến.

Điều ngược lại chưa chắc đúng.
3.2. Kiểm định Klein.
Bước 1. Hồi quy mô hình đã cho để tìm hệ số xác định R
2
.
Bước 2. Tìm các hệ số tương quan cặp r
ij
Nếu R
2
<
2
ij
r

∀
i,j thì đó có thể là dấu hiệu của đa cộng tuyến
3.3. Kiểm định Farrar – Glauber.
Bước 1. Tìm D = det( r) trong đó r là ma trận hệ số tương quan cặp.
Bước 2. Tính giá trị của tiêu chuẩn kiểm định sau:

χ
2
= -
[
( n -1) – 1/6( 2k + 5)
]
. Ln D
∼

χ

2
( 1/2k(k-1))
Nếu χ
2
qs
> χ
α
( 1/2k(k-1))
thì bác bỏ H
0
tức là có đa cộng tuyến giữa các biến giải thích.

3.4. Hồi qui phụ
Nghi ngờ biến giải thích X
j
phụ thuộc tuyến tính vào các biến giải thích khác, hồi qui mô hình hồi
qui phụ:
X
j
=
α
1
+
α
2
X
2
+ … +
α
j-1

X
j -1
+
α
j+1
X
j+1
+ … + v
i
(*)



≠
=
0:H
0:H
2
*1
2
*0
R
R
Mô hình ban đầu không có Đa cộng
tuyến
Mô hình ban đầu có Đa cộng tuyến
→ F
qs
=
11

*
*
2
*
2
*
−
−
×
− k
kn
R
R
; F
qs
> F
α
(k
*
– 1, n – k
*
) thì bác bỏ H
0
.


3.5. Độ đo Theil
Dùng để so sánh mức độ đa cộng tuyến không hoàn hảo giữa các mô hình.
Bước 1: Hồi quy mụ hỡnh ban đầu tỡm được R
2

Bước 2: Bỏ biến X
j
ra khỏi mô hình, hồi qui thu được R
2
– j
(j=2,k)
m = R
2
–
)(
2
2
2
j
k
j
RR
−
=
∑
−
được gọi là độ đo Theil
.4. Khắc phục đa cộng tuyến.
4.1. Dùng thông tin tiên nghiệm.
Ví dụ: Xét mô hình TD
i
=
β
1
+

β
2
TN
i
+
β
3
SK
i
+ u
i
Dễ thấy TD
i
có cộng tuyến với SK
i
Nếu có thể cho rằng
β
3
= 0,1
β
2
Thì mô hình trở thành TD
i
=
β
1
+
β
2
( TD

i
+ 0,1SK
i
) + u
i
Và đã khắc phục được đa cộng tuyến.
4.2. Bỏ bớt biến nếu có thể.
Lúc đó việc lựa chọn biến bị loại khỏi mô hình có thể căn cứ vào kết quả của hồi quy phụ.

4.3.Tăng kích thước mẫu hoặc lấy mẫu mới nếu có thể.
. Đổi dạng của mô hình.
Ví dụ thay vì hồi quy mô hình Y
i
=
β
1
+
β
2
X
2i
+
β
3
X
3i
+ u
i
Người ta hồi quy mô hình lnY
i

=
β
1
+
β
2
lnX
2i
+
β
3
lnX
3i
+ u
i
4.5. Dùng sai phân cấp 1.
Xét mô hình Y
t
=
β
1
+
β
2
X
2t
+
β
3
X

3t
+ u
t
Tại thời điểm t-1 mô hình có dạng:
Y
t-1
=
β
1
+
β
2
X
2t-1
+
β
3
X
3t-1
+ u
t-1
Lấy sai phân ta có:
Y
t
- Y
t-1
=
β
2
( X

2t
– X
2t-1
) +
β
3
( X
3t
– X
3t-1
) + ( u
t
– u
t-1
)

4.6. Giảm cộng tuyến trong hồi quy đa thức.
Có thể giảm cộng tuyến trong hồi quy đa thức bằng cách lấy sai phân của các biến trong mô
hình so với giá trị trung bình của chúng.
Chương 6. PHƯƠNG SAI CỦA SAI SỐ THAY ĐỔI

1. Bản chất của hiện tượng phương sai của sai số thay đổi
MH ban đầu: Y
i
=
β
1
+
β
2

X
i
+ u
i
1.1. Hiện tượng
Gt 4: Phương sai các sai số ngẫu nhiên là đồng nhất Var(u
i
) ≡
σ
2
không đổi.
Nếu gt được thỏa mãn → PSSS đồng đều (homoscedasticity).
Gt không thỏa mãn : Var(u
i
) =
σ
i
2
không đồng nhất → PSSS thay đổi (heteroscedasticity).
1.2. Nguyên nhân
- Bản chất hiện tượng Kinh tế xã hội.
- Số liệu không đúng bản chất hiện tượng.
Quá trình xử lý số liệu.

2. Hậu quả
- Các ước lượng là không chệch, nhưng không hiệu quả → không phải là tốt nhất.
- Các kiểm định T, F có thể sai, khoảng tin cậy rộng.

3. Phát hiện
Var(u

i
) =
σ
i
2
là không biết. Dùng ước lượng của nó là e
i
2
để phân tích đánh giá.
3.1. Đồ thị phần dư
Dùng đồ thị của e
i
,  e
i
 hoặc e
i
2
để đánh giá.
3.2. Kiểm định Park
Giả thiết:
σ
i
2
=
σ
2
X
i
α
2

Trong đó σ
2
là một hằng số
→ MH hồi qui phụ lne
i
2
=
α
1
+
α
2
lnX
i
+ v
i
(*)
Bước 1. Hồi quy mô hình ban đầu tìm được e
i
Bước 2. Hồi quy mô hình (*)
Bước 3. Kiểm định cặp giả thuyết H
0
: α
2
= 0; H
1
: α
2
≠ 0

3.3. Kiểm định Glejer
Tùy vào giả thiết mà thực hiện hồi qui phụ để kiểm định
Gt :
σ
i
2
=
σ
2
X
i
, do đó hồi qui mô hình hồi qui phụ
e
i
2
=
α
1
+
α
2
X
i
+ v
i
(*)



≠≠

==
0:0:H
0:0:H
2
*21
2
*20
R
R
α
α
Mô hình đầu có PSSS đồng đều
Mô hình đầu có PSSS thay đổi
Dùng kiểm định T hoặc F để kiểm định
Tương tự
Gt :
σ
i
2
=
σ
2
X
i
2
→ MH hồi qui phụ e
i
2
=
α

1
+
α
2
X
i
2
+ v
i

Gt :
σ
i
2
=
σ
2
i
X
→ MH hồi qui phụ e
i
2
=
α
1
+
α
2
i
X

+ v
i

Gt :
σ
i
2
=
σ
2
i
X
1
→ MH hồi qui phụ e
i
2
=
α
1
+
α
2
i
X
1
+ v
i

Có thể sử dụng  e
i

 để đại diện cho Se(u
i
), mô hình hồi qui phụ sẽ có thay đổi tương ứng.
3.4. Kiểm định White
Dùng cho mô hình nhiều biến giải thích. Hồi qui bình phương phần dư theo tổ hợp bậc cao dần của
các biến giải thích.
VD : MH ban đầu Y
i
=
β
1
+
β
2
X
2i
+
β
3
X
3i
+ u
i
→ MH hồi qui phụ : e
2
=
α
1
+
α

2
X
2
+
α
3
X3 +
α
4
X
2
2
+
α
5
X
3
2
+
α
6
X
2
X
3
(+…+) + v
i
(*)




≠
=
0:H
0:H
2
*1
2
*0
R
R
Kiểm định χ
2
:
2
*
2
nR
qs
=
χ
, nếu
)1(
*
22
−> k
qs
α
χχ
thì bác bỏ H

0
3.5. Kiểm định dựa trên biến phụ thuộc
Gt :
σ
i
2
=
σ
2
E(Yi)
2

B1: Hồi qui mô hình gốc thu được phần dư e
i
và giá trị ước lượng
i
Y
ˆ
B2 : Hồi qui mô hình hồi qui phụ e
i
2
=
α
1
+
α
2
2
ˆ
i

Y
+ v
i
(*)
Kiểm định:



≠
=



⇔
≠
=
0:H
0:H
0:H
0:H
2
*1
2
*0
21
20
R
R
α
α

Dùng kiểm định χ
2
:
2
*
2
nR
qs
=
χ
, nếu
)1(
22
α
χχ
>
qs
thì bác bỏ H
0
Dùng Kiểm định F : F
qs
= ( α
2
/Se(α
2
))
2
, nếu F
qs
> F

α
( 1, n-2)
thì bác bỏ H
0

3. Khắc phục
Dựa trên giả thiết về sự thay đổi của PSSS thay đổi mà khắc phục
3.1. Nếu biết
σ
i
2
– Dùng WLS- Phương pháp bình phương nhỏ nhất có trọng số.
Chia hai vế mô hình cho
σ
i
i
i
i
i
ii
i
uXY
σσ
β
σ
β
σ
++=
21
1

⇔ Y
i
’ =
β
1
X
0i
+
β
2
X
i
’ + u
i
’
Var(u
i
’) = 1 không đổi
3.2. Nếu chưa biết
σ
i
2
– Dùng GLS – Phương pháp bình phương nhỏ nhất tổng quát.
Tuỳ thuộc vào tính chất của σ
i
2
mà biến đổi mô hình gốc sao cho phương sai của sai số ngẫu
nhiên trở nên đồng đều.
Gt 1 :
σ

i
2
=
σ
2
X
i

Lúc đó chia hai vế cho
i
X

i
i
i
ii
i
X
u
X
XX
Y
++=
21
1
ββ

PSSS sẽ bằng
σ
2

Gt 2 :
σ
i
2
=
σ
2
X
i
2

Lúc đó chia hai vế cho X
i
Gt 3 :
σ
i
2
=
σ
2
E(Yi)
2

Lúc đó chia hai vế cho
i
Y
ˆ
Chú ý: Có thể thay đổi dạng hàm để khắc phục phương sai của sai số thay đổi.
lnY
i

=
β
1
+
β
2
lnX
i
+ u
i
lnY
i
=
β
1
+
β
2
X
i
+ u
i
Y
i
=
β
1
+
β
2

lnX
i
+ u
i
Chương 7. TỰ TƯƠNG QUAN

1. Hiện tượng tự tương quan ( Autocorrelation or Serial correlation)

1.1. Hiện tượng
MH ban đầu: Y
t
=
β
1
+
β
2
X
t
+ u
t
Gt 5: Các sai số ngẫu nhiên không tương quan
Cov(u
i
, u
j
) = 0 (i ≠ j) hoặc Cov(u
t
, u
t - p

) = 0 (p ≠ 0)
Nếu gt bị vi phạm : hiện tượng tự tương quan bậc p
Xét trường hợp p = 1
u
t
và u
t-1
có cùng trung bình và phương sai
→ u
t
=
ρ
u
t - 1
+
ε
t


( - 1 ≤
ρ
≤ 1,
ε
t
thỏa mãn các giả thiết của OLS)
•
ρ
= - 1 tự tương quan âm hoàn hảo
• - 1 <
ρ

< 0 tự tương quan âm
•
ρ
= 0 không có tự tương quan
• 0 <
ρ
< 1 tự tương quan dương
•
ρ
= 1 tự tương quan dương hoàn hảo
⇒ Lược đồ AR(1)
Tổng quát : tự tương quan bậc p : u
t
=
ρ
1
u
t - 1
+
ρ
2
u
t - 2
+ … +
ρ
p
u
t - p
+

ε
t
với
ρ
p
≠ 0
⇒ Lược đồ AR(p) : Autoregresseve Procedure order p.

1.2. Nguyên nhân
- Bản chất, tính quán tính trong hiện tượng kinh tế xã hội
- Hiện tượng mạng nhện trong kinh tế
- Quá trình xử lý, nội suy số liệu
Mô hình thiếu biến hoặc dạng hàm sai

2. Hậu quả
Các ước lượng là không chệch nhưng không còn là ước lượng tốt nhất.

3. Phát hiện
3.1. Quan sát đồ thị của e
t
theo e
t-1
Bứơc 1. Hồi quy mô hình gốc để tìm e
t
và e
t-1
Bước 2. Vẽ đồ thị của e
t
theo e
t-1

và nhận xét.
3.2. Kiểm định Durbin – Watson
Kiểm định Durbin – Watson dựa trên thống kê
d =
∑
∑
=
=
−
−
n
t
t
n
t
tt
e
ee
1
2
2
2
1
)(
≅ 2( 1 -
ρ
ˆ
) với
∑
∑

=
=
−
=
n
i
t
n
i
tt
e
ee
1
2
1
1
ˆ
ρ
là ước lượng cho
ρ
Chú ý: Kiểm định DW sẽ chỉ áp dụng được nếu thoả mãn các điều kiện sau:
+ Mô hình phải có hệ số chặn.
+ Biến giải thích phải là phi ngẫu nhiên.
+ Nếu có hiện tượng tự tương quan thì đó chỉ là lược đồ AR(1).
+ Mô hình không chứa biến trễ của biển phụ thuộc làm biến giải thích.
+ Không có quan sát nào bị mất trong tệp số liệu.
Do không tìm được chính xác phân phối xác suất của d nên dựa vào tính chất của nó để kết
luận.