Tìm hiểu chung về biến vecto ngẫu nhiên, các đặc trưng thống kê, độc lập, tương quan đối với các biến vecto ngẫu nhiên và áp dụng làm bài tập 8 2 , 8 3, và thử nghiệm dùng phần mềm matlab

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
VIỆN CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG
──────── * ───────
BÀI TẬP LỚN
QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNG
Đề Số 2 : Tìm hiểu chung về biến vecto ngẫu nhiên, các đặc trưng
thống kê, độc lập, tương quan đối với các biến vecto ngẫu nhiên và áp
dụng làm bài tập 8.2 , 8.3, và thử nghiệm dùng phần mềm Matlab.
Giáo viên hướng dẫn : PGS.TS Nguyễn Thị Hoàng Lan
Hà Nội, tháng 11 năm 2011
1
MỤC LỤC
MỤC LỤC
2
LỜI NÓI ĐẦU
4
I. Giới thiệu chungvề biến vecto ngẫu nhiên
1. Định nghĩa biến vecto ngẫu nhiên.

5
2. Hàm phân bố đồng thời của biến vecto ngẫu nhiên.

5
3. Hàm mật độ của biến vecto ngẫu nhiên liên tục.

6
4. Bảng phân bố xác suất cho biến vecto ngẫu nhiên rời rạc 2 chiều.

a)Bảng phân bố xác suất đồng thời.

6

b)Bảng phân bố xác suất biên.

7
5. Hàm của các biến vecto ngẫu nhiên

8
II. Các tham số đặc trưng của biến vecto ngẫu nhiên

2
1. Kỳ vọng

10
2. Ma trận hiệp phương sai.

11
3. Độc lập và Sự tương quan.

12
III. Một số phân phối của biến vecto ngẫu nhiên liên tục

1. Phân phối chuẩn

15
2. Phân phối có diều kiện

18
3. Phân phối mẫu

20
4. Phân phối Wishtart

22
IV. Bài tập và thử nghiệm dùng phần mềm Matlab

24
PHÂN CÔNG

32
3
Tài Liệu Tham Khảo
33
4
LỜI NÓI ĐẦU
Véc-tơ ngẫu nhiên là một bộ có thứ tự bao gồm nhiều biến ngẫu nhiên .
Mỗi biến ngẫu nhiên là một phần của véc-tơ ngẫu nhiên, số biến ngẫu nhiên
thành phần gọi là chiều của véc-tơ ngẫu nhiên.
Tương tự biến ngẫu nhiên,quy luật biến ngẫu nhiên nhiều chiều được
khảo sát thông qua hàm phân bố. Trường hợp biến véc-tơ ngẫu nhiên có các
biến ngẫu nhiên thành phần rời rạc được gọi là biến véc-tơ ngẫu nhiên rời
rạc. Nếu tất cả các biến ngẫu nhiên thành phần liên tục thì biến ngẫu nhiên
nhiều chiều tương ứng gọi là liên tục. Biến véc-tơ ngẫu nhiên rời rạc được
xác định bởi bảng phân bố xác suất đồng thời, còn biến véc-tơ ngẫu nhiên
liên tục được định bởi hàm mật độ xác suất đồng thời.
Ngoài những đặc trưng kỳ vọng, phương sai của các biến ngẫu nhiên
thành phần , các véc-tơ ngẫu nhiên còn được đặc trưng bởi các khái niệm mới
như Ma trận hiệp phương sai, Hiệp phương sai, hệ số tương quan, Ma trận
tương quan. Hệ số tương quan đo mức độ phụ thuộc tuyến tính của hai biến
ngẫu nhiên thành phần , hệ số tương quan càng gần 1 thì mức độ phụ thuộc
tuyến tính càng chặt.
Mục tiêu của bài tập lớn nhằm giúp sinh viên rèn luyện kiến thức cơ

bản đã được học trước đó. Do đã được học về các môn như xác suất thống kê
nên cách tiếp cận vấn đề dễ dàng hơn, mang tính mở rộng kiến thức cũ.
Trong quá trình thực hiện chúng em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới
PGS.TS Nguyễn Thị Hoàng Lan đã hướng dẫn và cho chúng em những lời
khuyên bổ ích!
5
I. Giới thiệu chung về biến vecto ngẫu nhiên
1. Định nghĩa về biến vecto ngẫu nhiên:
Một véc-tơ ngẫu nhiên n chiều là một bộ có thứ tự (X
1
, X
2
,…,X
n
) với các
thành phần X
1
, X
2
,…,X
n
là các biến ngẫu nhiên.
Véc-tơ ngẫu nhiên n chiều (X
1
, X
2
,…,X
n
) là liên tục hay rời rạc nếu tất cả
các biến ngẫu nhiên thành phần X

1
, X
2
,…,X
n
đều là liên tục hay rời rạc.
2. Hàm phân bố đồng thời của biến vecto ngẫu nhiên :
Hàm n biến F(x
1
,x
2
,…,x
n
) xác định bởi :
F(x
1
,x
2
,…,x
n
) = P{ X
1
<x
1
, X
2
<x
2
,…, X
n

<x
n
} được gọi là hàm phân bố của
véctơ ngẫu nhiên X=(X
1
, X
2
,…,X
n
) .Hay đgl phân bố đồng thời của các biến ngẫu
nhiên X
1
, X
2
,…,X
n
.
Ký hiệu véctơ ngẫu nhiên 2 chiều là (X,Y) , trong đó X là biến ngẫu nhiên
thành phần thứ nhất và Y là biến ngẫu nhiên thành phần thứ 2.
 Hàm phân bố đồng thời có nh chất :
• 0 ≤ F(x
1
,x
2
,…,x
n
) ≤ 1
• với k thuộc {1,…,n}
•
• F(x

1
,x
2
,…,x
n
) không giảm theo từng biến
• F(x
1
,x
2
,…,x
n
) =P{X
1
<x
1
,…, X
k
<x
k
,…, X
n
<x
n
}
• Đặc biệt F(x,y) là hàm phân bố của biến ngẫu nhiên 2 chiều (X,Y)
thì :
lim
x->∞
F(x,y)= P(Y<y) = F

Y
(y)
lim
y->∞
F(x,y)= P(X<x) = F
X
(x)
F
X
(x) , F
Y
(y) là các hàm phân bố thành phần của véctơ
3.Hàm mật độ của biến véc-tơ ngẫu nhiên liên tục :
6
Định nghĩa : Hàm mật độ của véctơ NNLT X=(X
1
, X
2
,…, X
n
) là hàm n
biến f(x
1
,x
2
,…,x
n
) ≥ 0 thỏa mãn :
F(x
1

,x
2
,…,x
n
) = P{X
1
<x
1
,…, X
k
<x
k
,…, X
n
<x
n
} =
f(x
1
,x
2
,…,x
n
) còn được gọi là hàm mật độ đồng thời của X
1
, X
2
,…, X
n
.

Tính chất (để đơn giản cho cách biểu diễn ta xét trường hợp véctơ ngẫu
nhiên 2 chiều (X,Y) có hàm mật độ f(x,y).
1. f(x,y) ≥0 với mọi (x,y) và =1
2. P{(X,Y) A } = với A R
2
.
3. f(x,y)=
4. hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X
hàm mật độ của biến ngẫu nhiên Y
4. Bảng phân bố xác suất cho biến vecto ngẫu nhiên rời rạc 2 chiều:
a) Bảng phân bố xác suất đồng thời.
Bảng phân bố xác suất đồng thời của biến ngẫu nhiên rời rạc hai chiều (X,Y)
là bảng liệt kê tất cả các giá trị của X theo hàng , Y theo cột và các xác suất tương
ứng.
Y
X
y
1
y
2
… y
j
… y
m
⅀
j
x
1
p(x
2,

y
1
) p(x
1,
y
2
) … p(x
1,
y
j
) … p(x
1,
y
m
) p(x
1
)
x
2
…
.
.
.
… …
x
j
p(x
i,
y
1

) p(x
i,
y
2
) p(x
i,
y
j
) … p(x
i,
y
m
) p(x
i
)
.
.
.
… …
x
n
p(x
n,
y
1
) p(x
n,
y
2
) … p(x

n,
y
j
) … p(x
n,
y
m
) p(x
n
)
7
⅀
i
P(y
1
) P(y
2
) … P(y
j
) … P(y
m
) 1

Trong đó x
i
(i=1,n ) là các giá trị có thể có của thành phần X; y
j
(j=1,m) là các
giá trị có thể có của thành phần Y. P(x
i

,y
j
) là xác suất dông thời của biến ngẫu
nhiên hai chiều (X,Y) nhận giá trị (x
i
,y
j
), nghĩa là :
P(x
i
,y
j
) =P{X=x
i
,Y=y
j
},
Xác suất này thỏa mãn
b) Bảng phân bố xác suất biên
Áp dụng công thức xác suất đầy đủ cho hệ {X=x
1
},{X=x
2
}, ,{X=x
n
} ta có:
P(y
j
)=P{Y=y
j

}=
Tương tự
P(x
i
)=P{X=x
i
}=
Như vậy từ bảng phân bố xác suất đông thời của (X,Y), nếu ta cộng xác suất
theo cột thì ta được các xác suất tương ứng với các giá trị của X. Từ đó nhận được
phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên thành phần Y và biến ngẫu nhiên thành phần
X
X x
1
x
2
x
i
x
n
P P(x
1
) P(x
2
) P(x
i
) P(x
n
)
Y y
1

y
2
y
j
y
m
P P(y
1
) P(y
2
) P(y
j
) P(y
m
)
5.Hàm của biến vecto ngẫu nhiên:
8
Xét vector ngẫu nhiên X= ( có hàm mật độ xác định đồng thời f) và p hàm
thực
) i=1,…,n
Giả sử ánh xạ : là song ánh, ta có thể đổi ngược
) i=1,…,n
Xét các biến ngẫu nhiên được định nghĩa bởi
) i=1,…,n
Thì hàm mật độ xác suất đồng thời của Y = () là
) = abs ( f []
Với J là ma trận Jacobian
J =
Tổng quát, nếu Y=AX+b thì biến đổi ngược là
X =

Khi đó J =
g
Y
( y) = abs (
Với ) và)
Ví dụ: Xét X = (có hàm mật độ đồng thời
f (=
Xét và xác định bởi
Tìm hàm mật độ đồng thời g( ) của
9
II. Các tham số đặc trưng của biến vecto ngẫu nhiên
1. Kỳ vọng
Xét X là một véc-tơ ngẫu nhiên n-chiều thì kỳ vọng của X là
E(X) = = µ
- Trường hợp X rời rạc
Thì E(X
i
) = =, với i = 1, …, m.
- Trường hợp X liên tục
X có hàm mật độ xác suất đồng thời f(x
1
, …, x
n
)
Thì E(X
i
) = f(x
1
, …, x
n

) dx
1
… dx
n
, với i = 1, …, n.
Một số nh chất :
Với Y là véc-tơ ngẫu nhiên n-chiều và α, β là các hằng số
E(αX +βY) = α E (X) + β E(Y)
Nếu A
m x n
(R) thì
E(AX)=AE(X)
Nếu X và Y là 2 biến véc-tơ ngẫu nhiên độc lập :
E(XY)=E(X).E(Y)
2. Ma Trận hiệp phương sai
Phương sai của X :
Var(X) = E[(X-µ)(X-µ)
t
] = Cov(X , X
t
) =Ʃ
Ʃ gọi là ma trận hiệp phương sai.
10
Nếu đặt Cov(X
i
, X
j
) =E [(X
i
–E(X

i
))(X
j
– E(X
j
))] = ϭ
ij
là hiệp phương sai
của biến ngẫu nhiên X
i
, X
j
thành phần , với i,j =1,…,p
Ma trận hiệp phương sai :
Ʃ =
Nếu véc-tơ X có kỳ vọng là µ và Ma Trận hiệp phương sai Ʃ, ta ký hiệu X
(µ, Ʃ) .
Xét X (µ, Ʃ) và Y (, Ʃ) , Ma trận hiệp phương sai giữa X và Y
Cov(X, Y
t
) =E[(X –E(X))(Y – E(Y))
t
]= E(XY
t
) - µ
t
- Tính chất của Ma Trận hiệp phương sai Ʃ:
Với a
t
=(a

1
, …., a
n
) và A, B
m x n
(R)
Var(a
t
X) =a
t
Var (X)a = a
i
a
jij
=a
t
Ʃ a
Var (AX +a)= AVar(X) A
t
Cov(X+Y,Z)=Cov(X, Z) + Cov(Y, Z)
Var(X+Y)=Var(X) + Cov(X,Y) + Cov(Y,X) + Var(Y)
Cov(AX,BY)=Acov(X,Y) B
t
Ví Dụ : Xét biến ngẫu nhiên 2- chiều X = (X
1
, X
2
) có hàm mật độ xác suất
đồng thời
F(x

1
, x
2
) =
Tìm ma trận hiệp phương sai
3. Độc lập và tương quan
a. Độc lập
Các biến ngẫu nhiên x
1
, …., x
n
được gọi là độc lập nếu các sự kiện {x
1
x
1
},
…., {x
n
x
n
} là độc lập.từ đó ta có
F(x
1
, …., x
n
) = F(x
1
) … F(x
n
)

f(x
1
, …., x
n
) = f(x
1
) … f(x
n
)
11
Từ trên ta có, bất kì một tập con nào của tập x
i
đều là một tập hợp của
các biến ngẫu nhiên độc lập.
Ví dụ : f(x
1
, x
2
, x
3
) = f(x
1
) f(x
2
) f(x
3
)
Bỏ đi biến x
3
, ta có được f(x

1
, x
2
) = f(x
1
) f(x
2
) , điều đó cho thấy các biến
ngẫu nhiên x
1
, x
2
là độc lập. Tuy nhiên nếu các biến ngẫu nhiên x
i
là độc lập từng
đôi một thì chúng không nhất thiết phải độc lập toàn thể.
ví dụ:
f(x
1
, x
2
) = f(x
1
) f(x
2
) ; f(x
2
, x
3
) = f(x

2
) f(x
3
) ; f(x
1
, x
3
) = f(x
1
) f(x
3
)
nhưng f(x
1
, x
2
, x
3
) f(x
1
) f(x
2
) f(x
3
)
lập luận thì ta có thể thấy rằng các biến ngẫu nhiên x
i
là độc lập thì
y
1

=g
1
(X), …… , y
n
= g
n
(X) cũng độc lập.
b. Tương quan :
Hiệp biến của các biến ngẫu nhiên x
i
, x
j
được chỉ rõ trong (7-6). Với các
biến ngẫu nhiên phức
C
ij
= E{(x
i
–Ƞ
n
) (x
j
–Ƞ
j
)} = E(x
i
x
j
*) - E{x
i

}E{ x
j
*}
Theo định nghĩa. Phương sai x
i
là
i
2
= C
ij
= E{| x
j
–Ƞ
j
|} = E{|x
i
|
2
} + |E{x
i
}|
2
Các biến ngẫu nhiên x
i
được gọi là không tương quan là nếu C
ij
= 0 với i j
Trong trương hợp đó, nếu x = x
1
+ … + x

n
thì
x
2
=
1
2
+ …. +
n
2
(8-22)
Nếu các biến ngẫu nhiên x
1
, …., x
n
là độc lập thì chúng cũng không tương
quan. Điều này được chứng minh như (7-14) dối với các biến thực. Đối với số
phức thì cũng chứng minh tương tự: Nếu các biến ngẫu nhiên z
1
= x
1
+ jy
1
, …, z
n
=
x
n
+ jy
n

là độc lập thì f(x
1
x
2
y
1
y
2
) = f(x
1
y
1
)f(x
2
y
2
). Từ đó có :
z
1
z
2
*f(x
1
x
2
y
1
y
2
) dx

1
dx
2
dy
1
dy
2
12
= z
1
f(x
1
y
1
) dx
1
dy
1
z
2
*f(x
2
y
2
) dx
2
dy
2
Với kết quả E{ z
1

z
2
*} = E{ z
1
} E{ z
2
*} cho nên z
1
và z
2
là không tương quan
Chú ý : nếu các biến ngẫu nhiên x
i
là độc lập thì
E{ g
1
(x
1
) + .… + g
n
(x
n
)} = E{ g
1
(x
1
) } + … + E{ g
n
(x
n

) }
Tương tự, nếu các nhóm x
1
…. x
n
và y
1
…. y
n
là độc lập thì
E{ g(x
1
…. x
n
) h(y
1
…. y
n
)} = E{ g(x
1
…. x
n
) } + … + E{ h(y
1
…. y
n
) }
c. Ma trận tương quan.
cho các ma trận
R

n
= C
n
=
có
R
ij
= E{ x
i
x
j
*} = R
ij
* (1) C
ij
= R
ij
- Ƞ
i
Ƞ
j
* = C
ij
* (2)
(1) là ma trận tương quan của vector ngẫu nhiên X[x
1
…. x
n
]
và (2) là ma trận hiệp phương sai. Rõ ràng :

R
n
= E{X
t
X*}Với X
t
là chuyển vị của X
Chúng ta sẽ thảo luận về các tính chất của ma trận R
n
và định thức
n
.Các
tính chất của C
n
cũng tương tự.
Ma trận R
n
là xác định không âm. nghĩa là
Q = AR
n
A
+
0
Với A
+
là liên hợp chuyển vị của vector A = [a
1
, …, a
n
]

Các biến ngẫu nhiên x
i
được gọi là độc lập tuyến tính nếu
E {| a
1
x
1
+ …. + a
n
x
n
|
2
} > 0 với mọi A 0
Khi đó ma trận tương quan R
n
được gọi là xác định đương
Các biến vector ngẫu nhiên x
i
được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu
13
a
1
x
1
+ …. + a
n
x
n
= 0 với mọi A 0

khi đó Q = 0, và ma trận R
n
là duy nhất
Từ các ý trên ta có, nếu các biến ngẫu nhiên x
i
là độc lập tuyến tính thì bất
kì tập con nào lấy ra từ x
i
đều độc lập tuyến tính.
III. Một số phân phối của biến vecto ngẫu nhiên liên tục
1. Phân phối chuẩn (GAUSS)
Trong lý thuyết xác suất và thống kê,phân phối chuẩn nhiều chiều, đôi khi
được gọi là phân phối Gauss nhiều chiều, là tổng quát hóa của phân phối chuẩn một
chiều (còn gọi là phân phối Gauss) cho không gian nhiều chiều hơn. Phân phối này
còn có quan hệ gần gũi với phân phôic huẩn ma trận
Một véc tơ ngẫu nhiên X= tuân theo một phân phối chuẩn nhiều chiều nếu
nó thỏa mãn các điều kiện tương đương nhau sau đây:
 Mọi tổ hợp tuyến tính Y=a
1
X
1
+ +a
N
X
N
đều tuân theo phân phối chuẩn
 Tồn tại một véc tơ ngẫu nhiên Z=, trong đó các thành phần của nó là các
biến ngẫu nhiên độc lập tuân theo phân phối chuẩn chuẩn hóa, một véc tơ µ=và
một ma trận kích thước N xM sao cho X=AZ+µ.
 tồn tại một véc tơ μ và một ma trận đối xứng, nửa xác định dương sao

cho hàm đặc trưng của X là
(u;µ,Ʃ)=exp(i
14
Nếu là ma trận không suy biến, thì phân phối này có thể được mô tả
bởi hàm mật độ xác suất sau:
f
X
(x
1
, ,x
N
)=exp
Trong đó |Ʃ| là định thức của . Lưu ý rằng phương trình trên suy biến về
phương trình của phân phối chuẩn một chiều nếu là một giá trị vô hướng (nghĩa
là một ma trận 1x1).
Véc tơ μ trong các điều kiện trên là giá trị kỳ vọng của X và ma trận là ma
trận Ʃ=AA
T
hiệp phương sai của thành phần X
i
.
Cần lưu ý rằng ma trận hiệp phương sai có thể suy biến (và khi đó không
được mô tả bởi các công thức sử dụng ở trên).
Trường hợp này thường xảy ra trong thống kê; ví dụ, trong phân phối của
véc tơ dư trong các bài toán hồi quy tuyến tính thông thường. Cũng lưu ý rằng
các X
i
nói chung là không độc lập; chúng có thể được xem là kết quả của việc áp
dụng biến đổi tuyến tính A cho tập hợp Z gồm các biến ngẫu nhiên Gauss độc lập.
Việc phân phối của một véc tơ ngẫu nhiên X là một phân phối chuẩn nhiều

chiều được ký hiệu bởi công thức sau:
X ~ N(µ,Ʃ)
hoặc viết tường minh rằng X biến trong không gian N-chiều,
X ~ N
N
(µ,Ʃ)
Nếu X và Y có phân phối chuẩn và độc lập thống kê, thì chúng có một phân
phối chuẩn có điều kiện phụ thuộc, nghĩa là cặp (X, Y) phải có phân phối chuẩn 2
15
chiều. Tuy nhiên, một cặp biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn có điều kiện phụ
thuộc không nhất thiết độc lập lẫn nhau.
Điều kiện rằng hai biến ngẫu nhiên X và Y đều có phân phối chuẩn không
kéo theo việc cặp (X, Y) có một phân phối chuẩn có điều kiện phụ thuộc (joint
normal distribution). Một ví dụ đơn giản là: Y =X nếu |X| > 1 và Y = −X nếu |X| < 1.
Điều này cũng đúng cho số biến ngẫu nhiên nhiều hơn 2.
Trường hợp hai chiều
Trong trường hợp 2 chiều không suy biến, hàm mật độ xác suất (với kì vọng
(0,0)) là
f(x,y)=exp
trong đó ρ là tương quan giữa X và Y. Khi đó,
Ʃ=
Biến đổi afin
Nếu Y=c+BX là một biến đổi afin của X ~ N(µ,Ʃ) trong đó là một véc tơ
M x 1 gồm các hằng số và là ma trận M xN, thì có phân phối chuẩn
nhiều chiều với giá trị kỳ vọng c+Bµ và phương sai BƩB
T
nghĩa là, Y ~
N(c+Bµ,BƩB
T
). Đặc biệt, tập con bất kỳ của đều có một phân phối biên duyên

là phân phối chuẩn nhiều chiều. Để minh họa, ta xét ví dụ sau: để tách tập
con (X
1
,X
2
,X
3
)
T
, sử dụng
B=
ma trận này trích lấy các phần tử mong muốn.
16
Một hệ quả khác là phân phối của Z=b.X, trong đó b là một véc tơ có cùng
số chiều với X và dấu chấm ký hiệu phép nhân véc tơ, là phân phối chuẩn một
chiều với Z ~N(b.µ,b
T
Ʃb). Kết quả đó thu được bằng cách sử dụng
B=
và chỉ xét thành phần đầu tiên của tích (hàng đầu của B là véc tơ b). Để ý
tính chất xác định dương của Σ hàm ý rằng phương sai của tích vô hướng phải là số
dương.
2 . Phân phối có điều kiện
Xét biến ngẫu nhiên nhiều chiều X ~ N
n
(µ,;với r<p cố định,ta có thể
chia X,µ và
X=,µ=,Ʃ =
Định lý:Nếu X~N
p

(µ, và Y=AX+b với A
∈
Mmxp(R) và b là véc tơ thực
cỡ mx1,thì Y~Nm(Aµ+b,AƩ
A’)
Với biến ngẫu nhiên X được định nghĩa trong (1) và với 1<r<p,xét biến đổi
Y= CX
Với Y
1
,Y
2
lần lượt là các vector cỡ r x 1 và (p-r) × 1 và B M
r x (p-r)
(R)
Nếu X~N
n
(µ
Y
,Ʃ
Y
),với
µ
Y
=,
Ʃ
Y
=
Nếu Ʃ không suy biến,thì tồn tại Ʃ và Ʃ.Do đó để đơn giản,ta cần chọn ma trận B
sao cho Ʃ
12

-BƩ
22
=0,nếu ta chọn :
B=Ʃ
12
Ʃ
17
Thì Y
1
sẽ độc lập với Y2.
Do vậy ta có
~N
Với
Ѵ
12
=µ
1
=Ʃ
12
Ʃ µ
2
Ʃ
11.2
=Ʃ
11
- Ʃ
12
Ʃ Ʃ
12
Nếu đặt X

11.2
=X
1
- Ʃ
12
Ʃ X
2
thì X
11.2
~N
r
(µ1.2, Ʃ
11.2).
Hàm phân phối của X
11.2
=X
1
-Ʃ
12
Ʃ X2 thìX
11.2
, Ʃ
11.2
Hàm phân phối của X
11.2
là g(x
1
;µ,Ʃ|x2)=
exp
Với f(x1,x2;µ,Ʃ) là hàm mật độ đồng thời của X’=(X

1
,X
2
)
Thì
f
12
(x1;µ, Ʃ|x2)=
với f2(x2;µ,Ʃ)=
exp và
f
1/2
(x
1
;µ,Ʃ|x
2
) là hàm mật độ có điều kiện của X1 cho trước X2=x2;
f
1/2
(x
1
;µ,Ʃ|x
2
)=exp
Ta thấy rằng f
1/2
(x1;µ,Ʃ|x
2
)=g(x
1

;µ,Ʃ|x2) do đó:
(x
1
-µ
1.2
)’| Ʃ
11.2
|
-1
(x
11.2
-µ1.2)=(x
11.2
– v
11.2
)’| Ʃ
11.2
|
-1
(x
11.2
– v
1.2
)
Suy ra
µ
1.2
=µ
1
+Ʃ12 (x2-µ)

định lý 6.Với biến ngẫu nhiên X được định nghĩa trong (25).
Nếu X~N(µ,Ʃ),Ʃ>0 thì với mọi giá trị cố định r>0 ,phân phối có điều kiện của
X1,cho trước X2=x2 là(X1|X2=x2)~N
r
(µ
1,2
,Ʃ
11.2).
18
3. Phân phối mẫu
Xét mẫu ngẫu nhiên cỡ n:X1, ,Xn được chon từ tổng thể có phân phối
N
p
(µ,Ʃ).Gọi
==(, , (2)
S= (3)
Lần lượt là vector trung bình mẫu và ma trần hiệp phương sai mẫu
Với
,
S
ij
=)(X
jt
-)’
Vơi i,j=1, ,p
Nếu ta sắp xếp X
1
,X
n
thành một ma trận có cỡ p x n như sau:

X=(X
1
, . . . ,X
n
)=
Ma trận hiệp phương sai S được biểu diễn như sau
S=( - )
= )
19
Do n=X(X’ nên S được biểu diễn như sau
S=X( I
n
-I
n
)X’
Định lý .Với n.p ,gọi X
1,.
,X
n
~N
p
(µ,Ʃ),Ʃ>0.Với S và được định nghĩa trong
(2),(3),thì và S độc lập với nhau.
Định lý8:Gọi X1, ,X
n
~N
p
(µ,Ʃ),N
p
(µ,(1,Ʃ), Ʃ>0,và được định nghĩa trong

(2),thì có phân phối N
p
(µ,(1,(1/n)Ʃ).
Định lý :Dứoi những điêu kiện được phát biểu trong định lý 8,n()’Ʃ
-1
(-µ) có
phân phối(n)
4. Phân phối WISHTART
Xét Z
1
, ,Z
n
là n biến ngẫu nhiên độc lập cà có phân phối N
p
(0,Ʃ)
Đặt:
U=
Thì U được gọi là véc tơ ngẫu nhiên n-chiều có phân phối Wishart với n bậc
tự do và ma trận hiệp phương sai Ʃ
Ký hiệu :U~W
p
(n,Ʃ).
Định lý.Với X
1
, ,X
n
là mẫu ngẫu nhiên được chọn từ tổng thể có phân phối
20
N
p(µ,

Ʃ) thì:
U=)(X
i
-µ)’~W
p
(n,Ʃ)
Gia sử U~W
p
(n,Ʃ) thì hàm mật độ đồng thời của u là
f
U
(u)=
với ɼ
p
( )là hàm Gama nhiều chiều định nghĩa như sau
ɼ
p
(n/2)=π
p(p-1)/4
ɼ[(n+1-j)/2]
Dễ dàng thấy rằng khi p=1 và Ʃ=1 thì phân phối Wishart trở thành phân phối
Chi bình phương với n bậc tự do
Định lý.Giả sử U ~W
p
(n,Ʃ).Gọi A là ma trận cỡ q x p có hạng bằng q<p .Thi
AUA’~W
p
(n,AƩA’)
Định lý :Giả sử U
1

~W
p
(n
1,
Ʃ) va U
2
~ W
p
(n
2,
Ʃ).Thì
V=U
1
+U
2
~W
p
(n
1
+n
2
,Ʃ)
Định lý .Nếu S là ma trận hiệp phương sai của mẫu ngẫu nhiên đươc chọn từ
N
p
(µ,Ʃ) thì
(n-1)S=~W
p
(n-1,Ʃ).
21

IV . Bài tập và thử nghiệm dùng phần mềm Matlab
1. Bài Tập
BÀI 8.2: Cho các sự kiện A,B,C với P=P(B)=P(C)=0.5
P(AB)=P(BC)=P(AC)=P(ABC)=0.25
Chứng minh rằng các vector liên quan đến các biễn ngẫu nhiên kia là không
độc lập tổng thể nhưng độc lập từng đôi
Bài Giải
Ta có:
P(A)P(B)=0,5*0,5=0,25=P(AB)
P(B)P(C)=0,5*0,5=0,25=P(BC)
P(A)P(C)=0,5*0,5=0,25=P(AC)
 A,B,C độc lập đôi một
P(A)P(B)P(C)=0,5*0,5*0,5=0.0125≠P(ABC)
22
 A,B,C không độc lập.

BÀI 8.3:Cho x,y,z là các biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối chuẩn,đôi
một độc lập.Chứng minh rằng chúng độc lập
Bài Giải
x,y,z tuân theo luật phân phối chuẩn

Công thức tổng quát:
f(x) =
Với x =
Ma trận hiệp phương sai của f(x,y,z):
⅀ =
=
|⅀|=
23
Ta có: (x-�) ==


=
 f(x,y,z) =
=
= f(x)f(y)f(z)
 x,y,z độc lập(ĐPCM)
2. Thử nghiệm công cụ MATLAB
MATLAB là một môi trường tính toán số và lập trình, được thiết kế bởi
công ty MathWorks. Matlab cho phép tính toán số với ma trận, vẽ đồ thị hàm số
hay biểu đồ thông tin, thực hiện thuật toán, tạo các giao diện người dùng và liên
kết với những chương trình máy tính viết trên nhiều ngôn ngữ lập trình khác.
Trong đề tài “Vector ngẫu nhiên”này chúng ta sẽ thử nghiệm các công cụ của
Matlab trong việc tạo các Vector ngẫu nhiên; tính toán các hàm phân phối, mật độ;
vẽ đồ thị các hàm.
Vector ngẫu nhiên 1 chiều:
Bảng các hàm trong matlab:
24
Phân phối Hàm phân phối (PDF) Hàm mật độ (CDF) Tạo số ngẫu nhiên
Chuẩn
Đều
Mũ
normpdf(X,µ, σ)
unifpdf(X,a,b)
exppdf(X, µ)
normcdf(X,µ, σ)
unifcdf(X,a,b)
expcdf(X, µ)
normrnd(X,µ, σ)
unifrnd(X,a,b)
exprnd(X, µ)

Nhị thức
Poison
binopdf(X,N,P)
poisspdf(X, λ)
binocdf(X,N,P)
poisscdf(X, λ)
binornd(N,P,m,n)
poissrnd(λ,m,n)
Ví dụ1: Xét phân phối chuẩn với các tham số như sau:
mu = 100 (µ) ; sigma = 15 (σ) ; xmin = 70; xmax = 130; n = 100; k = 10000;
x = linspace(xmin, xmax, n);
p = normpdf(x, mu, sigma);
c = normcdf(x, mu, sigma);
% Ve do thi ham phan phoi
subplot(1,3,1);
plot(x, p, 'k-');
xlabel('x'); ylabel('pdf'); title('Probability Density Function');

%Ve do thi ham mat do
subplot(1,3,2);
plot(x, c, 'k-');
xlabel('x'); ylabel('cdf'); title('Cumulative Density Function');

25