Tìm hiểu về hàm mật độ có điều kiện, hàm đặc tính, chuẩn hóa và áp dụng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (574.56 KB, 20 trang )
1
ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
VIỆN CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG
BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN QUÁ
TRÌNH NGẪU NHIÊN ỨNG DỤNG
NHÓM 3
-
Đ
Ề
TÀI: TÌM HI
Ể
U V
Ề
HÀM M
Ậ
T Đ
Ộ
CÓ ĐI
Ề
U
KIỆN, HÀM ĐẶC TÍNH, CHUẨN HÓA VÀ ÁP DỤNG
Giảng viên: PGS.TS.Nguyễn Thị Hoàng Lan
HÀ NÔI 2011
Sinh viên thực hiện SHSV
Đỗ Quang Minh 20091772
Trần Bảo Long
20091667
Hoàng Doãn Quân
20093579
Bùi Tuấn Sơn
20092230
Lê Tự Quân 20093793
Nguyến Văn An 20093792
2
MỤC LỤC
Lời nói đầu………………………………………………………………………….3
Tổng quan về việc thực hiện đề tài…………………………………………….… 4
I.Hàm mật độ có điều kiện và kì vọng có điều kiên……………… …… ………5
I.1.Hàm mật độ có điều kiện……………………………….…….….…………5
I.2.Kì vọng có điều kiện……………………………….…………….…… 7
II.Hàm đặc tính và chuẩn hóa………………………………………………………8
II.1.Hàm đặc tính……………………………….………………………… 8
II.2.Vector chuẩn……………………………….………………………… …9
II.3.Vector chuẩn phức……………………………….……………… … 10
II.4.Dạng chuẩn bậc 2……………………………… …………………… 12
III.Ứng dụng……………………………….……………………………… ……15
III.1.Bài tập…………… ………….……………………………………… 15
III.2.Matlab………… …………….……………………………………… 16
Tài liệu tham khảo……………………………………………………………… 20
3
LỜI NÓI ĐẦU
Chúng ta đang sống trong kỉ nguyên khoa học kĩ thuật hiện đại. Sự bùng nổ của ngành
công nghệ thông tin đã mang lại những bước đột phá to lớn.Đóng góp quan trọng vào sự
phát triển bùng nổ đó là vai trò vô cùng to lớn của toán học nói chung và xác suất nói
riêng, đây chính là nền tảng của ngành công nghệ thông tin. Được giao đề tài “Tìm hiểu
về hàm mật độ có điều kiện, hàm đặc tính, chuẩn hóa và áp dụng”, chúng em cảm thấy
đây là một đề tài rất thú vị. Trong quá trình làm bài chúng em đã thu được nhiều điều bổ
ích như rèn luyện kĩ năng nghiên cứu, kĩ năng tìm kiếm thông tin, kĩ năng làm việc
nhóm ,ôn luyện các phần kiến thức liên quan…. Chúng em xin trân trọng gửi lời cảm ơn
cô, sự chỉ dẫn tận tình của cô đã giúp chúng em rất nhiều trong quá trình thực hiện đề tài
này.
4
TỔNG QUAN VỀ VIỆC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
Phân công nhiệm vụ các thành viên:
Các thành viên được phân công từng phần riêng biệt để nghiên cứu và trao đổi với nhau.
Tuy nhiên, do nhóm đông người nên việc phân chia gặp một số khó khăn và còn chưa
được đều về khối lượng kiến thức.
Phần I: Hàm mật độ có điều kiện và kì vọng có điều kiện-Hoàng Doãn Quân
Phần II: Hàm đặc tính, chuẩn hóa
II.1 Hàm đặc tính - Nguyễn Văn An
II.2 Vector chuẩn- Lê Tự Quân.
II.3 Vector chuẩn phức- Bùi Tuấn Sơn.
II.4 Dạng chuẩn bậc 2- Trần Bảo Long
Ứng dung: bài tập và matlab: Đỗ Quang Minh (trưởng nhóm)
Vấn đề viết báo cáo:
Mỗi thành viên viết báo cáo phần việc của mình, trưởng nhóm thu gom các báo cáo và
tổng hợp thành 1 báo cáo hoàn chỉnh
Báo cáo chủ yếu dựa theo cuốn Probability, Random Variables and Stochastic Processes
-3
rd
của Athanansios Papoulis, để ngắn gọn khi cần tham chiếu đến 1 vấn đề trong cuốn
này thay vì ghi tên sách ta chỉ ghi là text book vd: xem (5-71-text book)
Các công thức quan trọng sẽ được kí hiệu trong ngoặc vd: (II.1.2) để tiện nhắc đến ở các
phần liên quan
5
I. Hàm mật độ có điều kiện và kì vọng có điều kiên
I.1. HÀM MẬT ĐỘ CÓ ĐIỀU KIỆN
Với hai biến ngẫu nhiên X và Y phân phối xác suất có điều kiện của Y cho X là phân bố
xác suất của Y khi X được biết đến là giá trị cụ thể.Nếu phân phối xác suất của Y cho X
là phân phối liên tục thì hàm mật độ chức năng được gọi là hàm mật độ có điều
kiện.Chúng ta sẽ mở rộng công thức f(x|y)=f(x,y)/f(x) (hàm mật độ xác suất cho biến
đơn).
Cho n véc tơ ngẫu nhiên ( RVs) x
n
…x
k
……x
1
ta có hàm mật độ xác suất cho biến
nhiều chiều sau đây
(I.1)
Từ hàm mật độ xác suất trên ta có thể suy ra hàm phân phối xác suất
(I.2)
Ví dụ 1:
Theo công thức hàm mật độ ta suy ra được quy tắc chuỗi
(I.3)
Các quy tắc loại bỏ biến ra khỏi hàm mật độ:
ví dụ:
6
Qua hai ví dụ ta thấy có hai trường hợp xảy ra
Trường hợp 1: biến cần loại bỏ nằm bên trái (trên) của biểu thức điều kiện
Để loại bỏ một biến ta chỉ cần tích phân hàm mật độ với chính biến ấy.
Trường hợp 2:biến cần loại nằm bên phải(dưới) cảu biểu thức điều kiện
Để loại bỏ một hay nhiều biến ta nhân hàm mật độ ban đầu với một hàm mật độ mới của
các biến ở bên phải hàm mật độ ban đầu mà hàm mật độ mới đó có các biến cần loại bỏ ở
bên trái, các biến không cần loại bỏ ở bên phải. Sau đó cũng lấy tích phân với chính các
biến cần loại đó.
Giờ ta đi chứng minh hai ví dụ trên :
(
|
)=
∫
(
,
|
)
∞
∞
dx
2
(
|
) .(
) =
∫
f(
,
|
)
+∞
-∞
.f(
) dx
2
(nhân cả 2 vế với (
) )
Vt =
(
,
)
(
)
(
)=(
,
)
Vp=
∫
(
,
,
)
(
)
∞
∞
(
)
dx
2
=
∫
(
,
,
)
∞
∞
dx
2
=(
,
) = vt (dpcm)
(
|
)=
∬
(
|
,
,
)
∞
∞
(
,
|
)dx
2
dx
3
(
|
).(
) =
∬
(
|
,
,
)
∞
∞
(
,
|
)
(
)dx
2
dx
3
(nhân cả hai vế với
(
))
Vế trái =
(
,
)
(
)
(
)=(
,
)
Vế phải =
∬
(
,
,
,
)
(
,
,
)
∞
∞
(
,
,
)
(
)
(
)dx
2
dx
3
=
∬
(
,
,
,
)
∞
∞
dx
2
dx
3
=
=(
,
) =vt (dpcm)
7
Những công thức ở trên áp dụng cho trường hợp liên tục trong trường hợp rời rạc ta có
công thức sau:
Cho các biến ngẫu nhiên x
1
,x
2
,x
3
2.KÌ VỌNG CÓ ĐIỀU KIỆN
ta đã có công thức(xem 7.57-text book):
Mở rộng hơn ta có:
{
|
,
………
} =
∫
(
|
,
………
)
∞
∞
dx
1
(I.4)
{
|
,
………
} có thể được coi như là 1 biến ngẫu nhiên. Do đó nhân công thức
trên với (
,
,………,
) và lấy tích phân ta có kết luân sau đây
{
{
|
,
………
}
}={
}
Chứng minh:
{
{
|
,
………
}
}=
∫
…
∫
{
|
,
………
}
∞
∞
∞
∞
=
∫
…
∫
{
|
,
………
}
∞
∞
∞
∞
(
,
,…
)dx
2
… dx
n
=
={
} (dpcm)
Với kì vọng có điều kiên, ta có quy tắc loại bỏ biến bên phải của biểu thức điều kiện:
Để loại bỏ một hay nhiều biến ở bên phải ta nhân kì vọng ban đầu với một hàm mật độ
của các biến ở bên phải biểu thức điều kiện của kì vọng ban đầu mà hàm mật độ mới đó
có các biến cần loại bỏ ở bên trái, các biến không cần loại bỏ ở bên phải. Sau đó cũng lấy
tích phân với chính các biến cần loại đó.
Ví dụ:
8
{
|
,
}={{
|
,,
}}=
∫
{
|
,
}
∞
∞
(
|
,
)dx
4
Ở trên là trong trường hợp liên tục trong trường hợp rời rạc ta có công thức sau
{
|
}=
∑
{
|
,
}
(
=
|
)
II.Hàm đặc tính và chuẩn hóa
II.1.Hàm đặc tính
Hàm đặc tính của một vector ngẫu nhiên được định nghĩa bởi hàm Ф(Ω):
Ф(Ω) = E{
Ω
} = E{
(ω
⋯ω
)
} = Ф(jΩ) (II.1.1)
Ф(jΩ) là hàm momen.
Điều kiện:
X = [x
1
,. . . .x
n
] Ω =[ω
1
,. . . .ω
n
]
Ứng dụng : nếu các biến ngẫu nhiên
x
i
độc lập với hàm mật độ tương ứng ƒ
i
(x
i
), khi
đó mật độ ƒ
z
(z) của biến ngẫu nhiên z =x
1
+ … +x
n
là:
ƒ
z
(z) = ƒ
1
(x
1
)
*
…
*
ƒ
n
(x
n
) (II.1.2)
Chứng minh:
Khi RVs x
i
độc lập và
ω
chỉ phụ thuộc vào x
i
ta kết luận :
E{
(ω
⋯ω
)
}=E{
ω
}
. . .
E{
ω
}
Do đó:
Ф(ω) = E{
(
⋯
)
} = Ф
1
(ω)
. . .
Ф
n
(ω) (II.1.3)
Ф
i
(ω) là hàm đặc tính của x
i
. Áp dụng cho phép biến đổi Fourier ngược ta thu được
(II.1.2).
Ta xét thêm 1 ví dụ nữa để minh họa cho ứng dụng của hàm đặc tính trong chứng minh.
Ví dụ: (phép thử Bernoulli)
9
ta có các biến ngẫu nhiên x
i
, biến x
i
đại điên cho lần tung đồng xu thứ i ,x
i
=1 nếu mặt
đồng xu ngửa và x
i
= 0 nếu mặt đồng xu sấp.ta có:
P{x
i
= 1} =P{h} = p P{x
i
= 0} = P{t} = q , p=1-q
Ta sẽ chứng minh lại công thức bernoulli bằng cách áp dụng (II.1.3)
Dễ thấy: Ф
i
(ω) = p
ω
+ q (II.1.4)
Biến ngẫu nhiên z = x
1
+
. . .
+x
n
nhận các giá trị 0,1,…,n và {z = k} là sự kiện {k mặt
ngửa trong n lần reo }.Hơn nữa ta có :
Ф
z
(ω) = E{
ω
} =
∑
{ = }
ω
(II.1.5)
Các biến ngẫu nhiên x
i
độc lập vì x
i
chỉ phụ thuộc vào lần thử thứ i và mỗi lần thử là độc
lập với nhau.Từ (II.1.3) và (II.1.4) :
Ф
z
(ω) = (p
ω
+ q)
n
=
∑
p
k
ω
q
n-k
(II.1.6)
Đồng nhất thức (II.1.6) với (II.1.5) ta được điều phải chứng minh-công thức bernoulli:
P{z = k} =
p
k
q
n-k
(II.1.7)
II.2. Vector chuẩn.
Định nghĩa: các biến ngẫu nhiên x
i
là biến ngẫu nhiên chuẩn đồng thời nếu tổng :
a
1
x
1
+ a
2
x
2
+ … +a
n
x
n
=AX
t
(II.2.1)
Là 1biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với A bất kì A=[a
1
,…,a
n
]
Từ định nghĩa chúng ta có những kết luận sau: Nếu các biến ngẫu nhiên x
i
có kì vọng
bằng 0 và hiệp phương sai ma trận C, thì hàm đặc tính đồng thời của chúng là:
Ф(Ω)=exp (−
ΩC Ω
t
) (II.2.2)
Và hàm mật độ đồng thời bằng
(
)
=
(π)
∆
exp (
) (II.2.3)
Trong đó là định thức của ma trận C.
10
Chứng minh II.2.2:
W=
+
+ ⋯ +
= Ω
(II.2.4)
Giả địnhE{x
i
}=0 ta thuđược
E{w}=0
{
}
=
∑
,,
=
Thay =0 và =1 vào công thức (5-65-text book) ta có:
{
}
= exp [−
2
]
Dẫn đến
Ф(Ω)=
Ω
=exp {
∑
,,
} (II.2.5)
Từ (II.2.2) bằng phép biến đổi fourier ngược ta suy ra (II.2.3).
II.3 Vector chuẩn phức
Định nghĩa:
Một vector ngẫu nhiên ở dạng chuẩn phức là vector Z=X+jY=[z
1
, z
2
, z
n
] trong đó mỗi
thành phần z
i
là một biến ngẫu nhiên phức : z
i
=x
i
+jy
i
(j là đơn vị ảo). Chúng ta giả định
rằng E{z
i
}=0.Khi đó đặc trưng thống kê của vector Z được xác định thông qua hàm mật
độ xác suất:
F
z
(Z)=f(x
1
, x
n
,y
1
, y
n
).
hàm f
Z
là hàm của 2n biến ngẫu nhiên x
i
và y
i
. Đây là mở rộng của (II.2.3) , được xác
định thông qua một ma trận kích thước 2n X 2n :
D=
C
XX
C
YY
C
XY
C
YX
D bao gồm 2n
2
+n tham số( 4n
2
tham số của toàn ma trận nhưng bị trùng) E{x
i
,x
j
}, E{y
i
,
y
j
} và E{x
i
, y
j
}. Hàm đặc tính của vector Z được xác định như sau:
Φ
z
(Ω)= E{exp( j( u
1
x
1
+ + u
n
x
n
+ v
1
y
1
+ + v
n
y
n
) )}
Mở rộng (II.2.5) ta có :
11
Φ
z
(Ω)=exp{-
1
2
Q} Q=
( )
u
v
C
XX
C
YX
C
XY
C
YY
U
t
V
t
Ở đây : U=[ u
1
, ,u
n
], V=[v
1
, ,v
n
] và Ω=U+jV
Ma trận hiệp phương sai của vector chuẩn phức Z là một ma trận vuông kích thước
n X n :
C
ZZ
= E{ Z
t
Z
*
} = C
XX
+ C
YY
- j(C
XY
- C
YX
)
C
ZZ
được xác định với n
2
tham số.Không giống như trường hợp vector chuẩn thực, hàm
mật độ xác suất f
Z
(Z) của vector Z không thể xác định thông qua ma trận hiệp phương sai
C
ZZ
do C
ZZ
chỉ có n
2
tham số trong khi D có 2n
2
+ n tham số mà như trên ta đã biết f
Z
(Z)
được xác định thông qua D tức là để xác định f
Z
(Z) thì cần phải có
2n
2
+ n tham số.
Ví dụ với trường hơp n=1 khi đó Z=z=x+jy là một vector vô hướng
và Czz=E{|z|
2
} do đó Czz xác đinh thông qua một tham số duy nhất δ
2
z
= E{X
2
+Y
2
}
Trong khi f
Z
(Z) là một hàm mật độ chuẩn chứa 3 tham số δ
x
, δ
y
và E{xy}.
Định lý Goodman ( Good man’s Theorem).
Trong một số trường hợp đặc biệt ta vẫn có thể xác định được hàm mật độ xác suất f
Z
(Z)
và hàm đặc tính Φ
z
(Ω) của vector chuẩn phức Z thông qua ma trận hiệp phương sai C
ZZ.
Và định lí Goodman chính là một trường hợp như thế:
Đinh lý:
Nếu 2 vector X và Y thỏa mãn điều kiện sau:
Điều kiện 1: C
XX =
C
YY
Điều kiện 2 : C
XY
- C
YX
Với Z=X+jY khi đó:
C
ZZ
= 2( C
XX
- jC
XY
)
f
Z
(Z) =
1
π
n
|C
ZZ
|
exp{-Z*C
ZZ
-1
Z
t
} ( II.3.1)
12
Φ
z
(Ω) = exp{
-1
4
Ω*C
ZZ
Ω
t
} ( II.3.2 )
Chứng minh: ta chỉ cần chứng minh công thức (II.3.2), việc biến đổi Fourier ngược (
II.3.2 ) sẽ cho ta (II.3.1). Theo giả thiết đã cho ta có:
Q =
( )
U
V
C
XX
-C
XY
C
XY
C
XX
U
t
V
t
= UC
XY
U
t
+ VC
XY
U
t
- UC
XY
V
t
+VC
XX
V
t
mặt khác : C
XX
t
= C
XX
và C
XY
t
= -C
XY
điều này dẫn chúng ta đến kết quả sau:
VC
XX
U
t
= UC
XX
V
t
UC
XY
U
t
= VC
XY
V
t
= 0
Từ đó:
1
2
Ω*C
ZZ
Ω
t
= (U - jV)(C
XX
- jC
XY
)(U
t
+ jV
t
) = Q
Và ta nhận được kết quả là ( 2 ) => đ.p.c.m
II.4. Dạng chuẩn bậc 2 :
1.phân phối chi bình phương:
Cho n biến ngẫu nhiên độc lập z
i
theo phân phối chuẩn N(0,1), x là tổng bình phương
của n biến đó:
Ta sẽ chứng minh rằng biến ngẫu nhiên x có phân phối chi bình phương với n bậc tự do,
f
x
(x)= χ
2
(n)= (II.4.1)
CM:
Ta có biến ngẫu nhiên z
i
2
có phân phối chi bình phương bậc tự do bằng 1 χ
2
(1) ( xem
trang 96-text book). Theo(5-71-text book) với m=1 ta chỉ ra được hàm momen của phân
phối này :
13
Tương tự như hàm đặc tính trong (II.1.3), hàm momen có tính chất:
Các biến ngẫu nhiên z
i
độc lập, suy ra:
Theo (5-71-text book) đây chính là phân phối χ
2
(1) => ta có điều phải chứng mình
Ta có:
Từ (II.4.1) và (II.4.2) ta dẫn đến kết luận sau: với 2 biến ngẫu nhiên độc lập x,y với x
theo phân phối χ
2
(m), y theo phân phối: χ
2
(n) thì:
X= x+y tuân theo phân phối χ
2
(m+n)) (II.4.3)
Ngược lai: nếu ta có biến ngẫu nhiên z = x+y theo phân phối χ
2
(m+n) . x,y độc lập, x
theo phân phối χ
2
(m) thì y sẽ theo phân phối χ
2
(n). (II.4.4)
Sau đây sẽ là một ứng dụng quan trọng của tính chất trên.
2.Phương sai mẫu:
Trên nhiều tình huống thực tế, giá trị chính xác của phương sai của một tổng thể, kí hiệu
bởi σ
2
( thông thường ta chỉ gọi là phương sai) là rất khó xác định trước được. Phương
pháp chung để ước lượng phương sai của một tổng thể (hữu hạn hoặc vô hạn) là ta sẽ lấy
một mẫu hữu hạn các cá thể từ quần thể. Giả sử rằng mẫu thu được có các giá trị đo được
là (x
1
,…,x
n
), Phương sai mẫu của (x
1
,…,x
n
) bằng:
14
Vậy tại sao lại chia cho (n-1) mà không phải chia cho n như cách tinh phương sai thông
thường thường?
Giải thích: do phương sai mẫu dùng để xác định giá trị của phương sai tổng thể nên ta cần
chọn giá trị phương sai mẫu sao cho nó là một ước lượng không chệch của phương sai
tổng thể.Hay nói cách khác:
E(s
2
) = σ
2
(II.4.6)
Không quá khó khăn để chứng minh (II.4.6) bằng các phép biến đổi đại số và xác suất cơ
bản.
Tuy nhiên trong phạm vi đề tài này ta sẽ chỉ xét trường hợp giá trị của phép thử thứ i: x
i
là biến ngẫu nhiên theo phân phối chuẩn N(η, σ), trong trường hợp riêng này ta có thêm
cách chứng minh khác cho (II.4.6) và một số kết quả mở rộng.
Xét phương sai mẫu đối với phân phối chuẩn:
Chưng minh (II.4.7):
Ta có:
Dễ thấy vế trái của (II.4.8) là 1 biến ngẫu nhiên tuân theo phân phối χ2(n)
Xét vế phải cuả (II.4.8) là 1 tổng của 2 biến ngẫu nhiên độc lập:
15
Ta có:
Là 1 biến ngẫu nhiên độc lập theo phân phối χ2(1) vì theo phân phối chuẩn N(N(η,
σ/
√
).
Từ những kết quả trên kết hợp với (II.4.4) ta có:
(II.4.7) đã được chứng minh
Từ II.4.7 kết hợp với (5.71-text book) ta có 2 kết quả sau:
Đây chính là kết quả II.4.6 trong trường hợp phân phối chuẩn
và:
III.Ứng Dụng
III.1.Bài tập:
8-32: Cho 2 biến ngẫu nhiên x,y là không tương quan với kì vọng bằng 0 và σ
x
= σ
y =
σ.
Chứng minh rằng nếu z= x+jy, thì:
16
Với Ω=u+jv. Đây là dạng vô hướng của định lý Goodman.
Chứng minh:
Theo đề bài mỗi ma trận C
xx
, C
xy
, C
yx
chỉ có 1 tham số.
Ta có C
xx
= E(x
2
) = σ
x
2
= σ
2
= σ
y
2
=E(y
2
)=C
yy
=> thỏa mãn điều kiện 1
C
xy
= C
yx
= E( (x-Ex)(y-E(y) ) = E
xy
- E
x
- E
xy
=0 ( vì x,y không tương quan)
C
xy
=- C
yx
(vì cùng bằng 0) => Thỏa mãn điều kiện 2
Do đó bài tập này chính là trường hợp vô hướng(n=1) của đinhk lý Goodman.
Thêm nữa C
zz
=σ
z
2
=E(|z|
2
)=E(x
2
+y
2
)=2 σ
2
Thay n=1,C
zz
=2 σ
2
vào (II.3.1) và (II.3.2) ta được điều phải chứng minh.
III.2.Matlab:
Sử dụng bản matlab 2008b
Ta có bảng hàm matlab: ( lấy trên trang www.mathworks.com)
Loại Phân phối Tạo số ngẫu nhiên Hàm phân phối Hàm mật độ
Chuẩn mvnrnd(MU,SIGMA,cases) mvncdf(X,MU,SIGMA) mvnpdf(X,MU,SIGMA)
Vector X
Kì vọng MU, trong đề tài này ta xét MU = 0
Ma trận hiệp phương sai SIGMA
Cases là số trường hợp được sinh ngẫu nhiên
Ví dụ minh họa với biến ngẫu nhiên X có 2 chiều:
17
Tạo 100 số ngẫu nhiên và biểu diễn trên đồ thị:
mu = [0 0];
SIGMA = [1 1.5; 1.5 3];
r = mvnrnd(mu,SIGMA,100);
plot(r(:,1),r(:,2),'*')
Hình III.1: số ngẫu nhiên
18
Tạo và vẽ hàm phân phối:
mu = [0 0]; SIGMA = [2 3; 3 6];
[X1,X2] = meshgrid(linspace(-3,3,50)',linspace(-3,3,50)');
X = [X1(:) X2(:)];
p = mvncdf(X,mu,SIGMA);
surf(X1,X2,reshape(p,50,50));
Hình III.2: Hàm phân phối
19
Tạo và vẽ hàm mật độ:
mu = [0 0]; SIGMA = [2 3; 3 6];
[X1,X2] = meshgrid(linspace(-3,3,50)',linspace(-3,3,50)');
X = [X1(:) X2(:)];
p = mvnpdf(X,mu,SIGMA);
surf(X1,X2,reshape(p,50,50));
Hình III.3: hàm mật độ
20
Tài liệu tham khảo
Probability, Random Variables and Stochastic Processes -3
rd
, Athanansios
Papoulis
Giáo trình xác suất thống kê . Tống Đình Quỳ , NXB Đại học Quốc gia Hà Nội
Stochastic Signals and Systems. Gleb V.Tcheslavski
