Tìm hiểu về quá trình điểm poisson và áp dụng

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN
Quá trình ngẫu nhiên và ứng dụng

Đề 10: Tìm hiểu về quá trình điểm
Poisson và áp dụng
Hà Nội tháng 11 năm 2011
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
VIỆN CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG

PGS.TS. Nguyễn Thị Hoàng Lan


Nguyễn Anh Tuấn 20092993
Trịnh Duy Khuê 20091492
Nguyễn Hữu Anh 20090109
Lê Vinh Hiển 20091059
Nguyễn Lê Khôi 20091485
Vũ Minh Thảo 20092488



ӿ
ng dng


2


Mục lục

M u 3
Ni dung 4
1 Gii thiu chung 4
1.1 m 4
1.2 m poisson 5
1.3 c chn ci poisson 5
2 t c 6
2.1 t 2.1 (Construction) 7
2.2 t 2.2 (Restriction) 8
2.3 n t 8
3 n c 9
3.1 Hi t tuyi 9
3.2 K v 9
3.3  10
4 belled Poisson Point Process) 11
4.1  11
4.2 t 12
5 p 13
6 ng bng MATLAB 14
6.1 Gii thiu v phn mm MATLAB 14
6.2 i poisson 15
6.2.1 POISSPDF 15
6.2.2 POISSCDF 15
6.2.3 POISSRND 15
6.2.4 POISSINV 15
6.3 Mt s  minh ha 15
Kt lun 18
u tham kho 19

ng dng


3


Mở đầu
Trong nhc ng dng rt nhi
, tin hc, vic bi u khin t
c bit ci thc.
m la chn thc hin  : Tìm hiểu về quá trình điểm Poisson và áp
dụngm mu nhng v c bit
ng l Matlab, m   khng dng trong
vii s
p ln v : Quá trình điểm Poisson khng v n sau:
 i thiu chung
 
 
 
 p
 ng Matlab
 p li li c ti PGS.TS.Nguyễn
Thị Hoàng Lan Gi  ng dn,
tu kin thun li, gngu 
gic mc c.
Chúng em xin chân thành cảm ơn !

ng dng

4


Nội dung
1 Giới thiệu chung
 c
s d  hic mt chun c xut
hin theo thi gian.
 t sut hin c
thi gian chim dng thit ca mi cuc gn t
  m s ln xut hin bin c n
thi gian t  quan tr kh
c ng dng nhi phc
vn m
1.1 Quá trình đếm
 Định nghĩa quá trình đếm:
Gi s n c  ln bin c A xut hin trong
khong thi gian t c gm.
 Tính chất:
 N(0) = 0;
 N(t) ch nh  t 
 N(s) < 
 N(s,t) = N(t)   ln bin c A xy ra trong khong thi gian
( s , t ];
Ta gm vi {X(t) 
VD: n c c gn mt t cuc gn
tn thm t.
c g gia số độc lập nn c xy ra trong
ng thi gian ng
VD :  in c xy ra trong thi gian tc lp v

bin c xy ra trong khong thi gian t n 15 [hay N(15)  N(10)].
c ggia số dừng nu s  n c xy
ng thi gian ng ch ph thung thi gian
xy ra bin c gia số dừng nu s  n
c xy ra trong khong (s +t
1
, s + t
2
) t + t
2
)  N(s +t
1
)} ch ph thu
 n c trong khong (t
1
, t
2
) hay {N(t
2
)  N(t
1
)} vi mi t
1
< t
2

ng dng


5

1.2 Quá trình điểm poisson
 Đinh nghĩa quá trình điểm poison
s xut
hin c trong khoc thi gian.
Mđiểm poisson với tỉ lệ λ nu :
 N(0) =0,
 N(t) ch nh t  ;
 i s c lp.
 S n c xy ra trong hai khong con   c
lp
 t ca s bin c trong mt khong [t,t  c cho b
thc




+ 





= 

=


()


!
= 0, 1, 
rate
parameter N(t  N(t) 
    [t,t        Poisson  
 
gia số dừng  E[N(t)] = t.
     m   t tp ng   c ca 1
  c  b ra lut s
m cp kim th
i
(B
i
t -p thu
kic) trong S).
S  ca nh duy nht b  hu hn chi-
a (N(B
1
), ,N(B
n
)), vi 






 



 
p B
i


1.3 Tính chắc chắn của phân phối poisson
Định nghĩa 3.1u hn ( non-atomic ian (S,B). Tp con ng
c gi t l 
u:
n ng
1
), ,N (B
n
c lp vp con ngc lp vi
nhau B
1

n
 B
ii) Vi mi B
i
 B bin ng
i
i Poisson v
i
)
Nhc li rc g  (non-atomic) ni mi x
ch cho vio
m r phm.

ng dng


6


-hu hn nu tn ti 
1

2
 


1
=   (

) < ∞ vi mi i.
 Tính chắc chắn của phân phối poisson
c chn nu thi 
Gi s ta chn mn dy (hu hn)
:
i. 





= 1

= 




= 




ii. m):






= 0

= 

1 




= exp








= exp 









= exp














= 

=

1
!
 


1

(
2
) 

1 




{
1,,

}
1
,,


=
()
!
exp







, 
 quay li chng minh s tn ti cu kin (ii)
n vi s c lp cu kin (i)
 ng: Vi 2 bin ng c lp B
1

2
:



1

2

= 


1

+  (
2
) = (B
1
) + (B
2

)
Hệ quả: Tng cn ngc lp  i Poisson ph
phi Poisson.
Kt qu i dung ca b  
2 Các tính chất của quá trình poisson
  chng minh cho mt s t s   n thit:
Bổ đề 1:
Gi X
i
vn ngi Poisson v
i





=1

phi poisson v



.

=1

Chứng minh:
 chng minh b          i Poissons  
moment ci X: 




= 




=




(

)

=1
.

ng dng


7






= 







!

=1
= 


(

)

 !

=1
= 


e
t
= 
(e
t
1)

Gn nga x:









=1

= (

)


=1
= 

i
(e
t
1)

=1
= 


i
(e
t

1)

=1

 







=1

= 


i
(e
t
1)

=1
. Ta th




=1
i poisson.

2.1 Tính chất 2.1 (Construction)
Tính chất 2.1 :
i tham s . Gi N
i
 kin loi i
xy ra  th
i
i tham s : 



()

= 



()

0

Ví dụ:  i nhn khu vn thi
poisson vt tun. Bit s i nh
1/12. Gi N
1

2
(t) lm s i nhc Anh 
phi g  n th     
1

  
2
     i tham s 

1
=
1
12
4 10 =
10
3

1
=
11
12
4 10 =
110
3
.
Chứng minh:
ng thi P(N
i
(t) = n
i
i n
i
 ln xy ra s kin i, tng s 
ki





=1
. L
i
 :



1



= 
1
, , 




= 


= 


1




= 
1
, , 




= 

|



= 







= 


M d thy:
 


1




= 
1
, , 




= 

|



= 

=
!

1
! 

!

1

1





, vi P
i
t xy
ra s kin loi i.
 





= 

= 

()

!
=




(

)



!

=1
(do




=1
= 1).
 



1



= 
1
, , 




= 


=
!


1
!. . . 

!

1

1






()

!
= 



(

)




!


=1

Vy: {




} =



(

)




!
, suy ra N
i
(t) i tham s 



ng dng


8

2.2 Tính chất 2.2 (Restriction)
Tính chất 2.2 :
N
i
       c lp v   
i
. Gi =




=1
 




=



()

=1
i tham s .
Chứng minh:
 Do N
i

    
i
 



=



()

=1
 :


0

=



(0)

=1
= 0. (1)
 L
i
c lc lp. (2)
 N

i
(t) 
i
(t+)-N
i
(i poisson vi tham s 
i
t  ,
t : 




+ 






= 

=




(

)


!
.
D thy 



+ 





= 

=





(

)

!

=1
=



()

!
. TN(t+)-N() 
i poisson. (3)
T (1)(2)(3) i tham s .
2.3 Định lý tồn tại và ánh xạ
Định lý tồn tại:
n ti: Gi    tn ti m
i tham s .
Chứng minh:
Gi 
1

2
 




<   

      .
Gi 


= 

\




1
=1
,  1
D thy




=1
=





=1
vi mi j  1. t 2.1 ta  ng 


() 
mi tham s (


)


() = 



()

=1

i tham s:


= (


)

=1
= (

)

=1
= 
Định lý ánh xạ:
ng dng


9


G. Gi f: S - 
t i f = f( m

.
3 Các đặc trưng cơ bản của quá trình Poisson
 ng

()


v
:  
n: hi t tuy
n =







=1
vi 


tc 

1 ng nht chu
  m rng kt qu v chung.  



sut xy ra s kin loi B

i
.
  f: SR 
c:

3.1 Hội tụ tuyệt đối
Nu f  


()


= 

1 





(dz)








< 


=

1 

min

1, 






dz

< 


0  


3.2 Kỳ vọng và phương sai
Nc


()







<   k v:


()


=

()






Chứng minh:
=







=1
vi 


0 



=     :
ng dng


10


( )

= 




()

=1
= 




()


=1

= 

(

)

=1




()


= 



(

)

=1

=



(


)

=1
=
 













=1

=

()






.

Nu


()






<  sai :


()


=


2
()






Chứng minh:



()


= 







=1
()

=











=




2

=1

=1





=


2
()






3.3 Hàm Laplace
quá trình Poisson gia số dừng  vng:
[()] = .

n
(t) = P {N(t) = n}, n = 0,1,2…

 :




+ 

=  {( + ) = } =






= 0, 

+ 





= 

+ 





= 1, 

+ 






= 1

+ 





= , 

+ 





= 

2

= 
0









+ 
1




1



+



()
2

 :

0



= 1 


1



= 
Suy ra :



+ 

=

1 






+ 
1



+ 



= 





+








+ 
1



+ 




lim
h0



+








= 

′



=  




+ 
1















= {




}
ng dng


11




′





= 




= 





+ 
1








=

+ 

1









= 

+ 




0



=


(+ )
+1






= 
1



(+ )
+1

=


!






Vi Poisson P() hay E[N(t)] = t (đpcm)
4 Quá trình điểm Poisson có nhãn (Labelled Poisson
Point Process)
4.1 Định nghĩa
Cho = {

} m Poisson. Gn mm 

v


ph ph thu

c lp vi



, 


, .
 




, 




m Poisson.
Định lí 4.1 :
Cho   . Cho = {

: } vi


,  c lp vi (

, ). 




, 





′ v 





 





, 


Chứng minh:
Bng, ch cng hp () < ∞. Ta s dng ca
 
= {

: 1 }
vn ngi Poisson()  

là c lng nht vi
i /() c lp vi N
i /() u kin L vi {= }  (, )
p (X,L) i /()
y
= {



, 


1 }

ng dng


12


vi Poisson v




=







, 


=

()



, 


= (

)


 (
,


), 1 c lng nht vi

()
=

(

)

4.2 Tính chất
4.2.1 Nu  ( )  u h 




, 

tm Poi 
( )
4.2.2 Vc 


′
′, vm v
trong 

′
,



′
= 

′
, 1
c lp v ( 

′
)
Chứng minh:
 4.2.1:
S d v bin 



.
′ = {

: }  


S d 

= ( )
 4.2.2:
S dm cm Poisson.
i hn vi 1 tp ngc 

′
′

′

m Poisson v 



′
= 



′
 

= ( 

′
)
Mt trong nhng hp c th ca nhc nh


Cho  là 1 quá trình điểm Poisson trên S với độ đo trung bình . Tô màu các điểm của
 độc lập (với nhau và với vị trí của chúng) với k màu khác nhau. Với mỗi j cho 

là
tập các điểm màu j. Khi đó 

, 1  là các quá trình điểm Poisson độc lập trên
S với cường độ đo 

= 

 với p
j
là xác suất điểm đó được tô màu j.
 thng hp ctp
c g
ng dng


13


5 Bài tập
Bài tập 1 (  ci h):
c l ng 
1 ,  2. su c khi X2 (t) = 1.
Lời giải :
 Gi 

1

n th n c
1
(t)


2
n th m c
2
(t)
 t c : P{
1
1
< 
1
2
}
  ca 












=




1

 1

!

t
( t  0 )
 P{ 
1
1
< 
1
1
} =



1
1






. 


1
2






 
=
 

1
∞

∞
0


1
x
. 
2


2
y

=



1


1
x
∞
0



2
y


∞

 =


1


1
x
∞
0
. 


2
y

= 
1


(
1
+
2
)x
∞
0
 = 

1

1
+ 
2

(
1
+
2
)x
|
∞
0

=

1

1
+ 
2


V X
1
c X
2
 :

1

1
+ 
2

Bài tập 2 ( ci h) :
i c i mt gi
 trong
gi  
Lời giải:
G

(t)s i ti ci gian t.


1
(t), X
2
(t) l i ti c
 Theo gi thi X

i Poisson vi = 10
X
1
i Poisson vi
1
= 0,3  = 3
ng dng


14


X
2
i Poisson vi
2
= 0,7  = 7
t c :

X
1



t

; X
2


t

 =

X
1


1

 .

X
2


1



 Theo t :
Vm Poisson X

i X

1
(t), X
2

n
n s
1, 2,
,
n
ng ; X
i
, X
j
c lp
 : 

X



t

= n


=
(

.)


!



.



X
1


1

= 3; X
2


1

= 6


=
3
3
3!

3
7

6
6!

7
=
3
3
7
6
3!6!

10


6 Mô phỏng bằng MATLAB
6.1 Giới thiệu về phần mềm MATLAB
MATLAB  phn mm ni ting c hi
 thuc vit trong logo ca phn m
n th  ng d s dng du ca
MATLAB bao gm:
 H tr 
 n thu
 ng
 n th s liu
  ha khoa h thut
 n ng dng v ha.
a phn mm MATLAB bt ngun t thut ng 
c vit b cung cp truy nhp d i phn mm ma trc
n b c vit b 
s n  c c

ng dng k thut.
n v   cp sau, phn
mc trang b  
c ng dng r u, nhn dng h thng, x nh, m
ron, logic m
tp h  n vit b        i, hu hi 
 chnh sa hoc b i.
ng dng


15


c thit k  ging s ch m m

c nh 
6.2 Các hàm của matlab liên quan đến phân phối poisson
6.2.1 POISSPDF
 t ti poisson vi
tham s   t s, mt ma trn, mt vector, mt
m
6.2.2 POISSCDF
t ti poisson vi
tham s   t s, mt ma trn, mt vector, mt
m
6.2.3 POISSRND
POISSRND(LAMBDA): tr v mt i poisson vi
tham s 
 v mt mn t
ca mc sinh ra t i poisson vi tham s LAMBDA.

6.2.4 POISSINV
X=POISSINV(P,LAMBDA): tr v  nh nh c
ph bng hoc l n, hoc
u.
 i poisson

6.3 Một số ví dụ minh họa
      i poisson v    lambda sau: lambda1=5;
lambda2=10.
Các câu lệnh thực hiện:
lambda1=5;
lambda2=10;
x=0:20;
y=poisspdf(x,lambda1);
z=poisspdf(x,lambda2);
hold on
plot(x,y);
ng dng


16


plot(x,z);
xlabel('x'); ylabel('pdf'); title('Probability Density Function');
hold off


Kết quả thực hiện chương trình

      i poisson v    lambda sau: lambda1=5;
lambda2=10.
Các câu lệnh thực hiện:
lambda1=5;
lambda2=10;
x=0:20;
y=poisscdf(x,lambda1);
z=poisscdf(x,lambda2);
hold on
plot(x,y);
plot(x,z);
ng dng


17


xlabel('x'); ylabel('cdf'); title ('Cumulative Density Function');
hold off


Kết quả thực hiện chương trình


ng dng


18

Kết luận
 nhng v u c v m
poisson. Qua vic thc hip ln l hic nhng ni dung
n v t c m, 
  bn c 
i
quyt mt s ng th nghi
c tr 
t s 
ng d

ng dng


19


Tài liệu tham khảo
[1] Jochen Geiger. Applied Stochastic Processes. July 18, 2007.
[2] Athanasios Papoulis. Probability, Random Variables and Stochastic Processes.
Mcgraw-Hill, 3
rd
edition, February 1, 1991.
[3] Sheldon M. Ross. Introduction to Probability Models. Academic Press, 9
th
edition,
December 5, 2006.
[4] Toán chuyên ngành. May 2006.