tìm hiểu về random walk (bước ngẫu nhiên) và ứng dụng

Bài tập lớn quá trình ngẫu nhiên
Đề 9: tìm hiểu về Random Walk (bước ngẫu nhiên) và ứng
dụng
mục lục
 Random Walk (Nguyễn Trí Quân)
 Chuyển động Brown
 Brown motion (Nguyễn Anh Tuấn)
 Quá trình Winer (Phí Bá Thành)
 nhiễu nhiệt
 tổng quan ( Việt Hà )
 Định lý NYQUYT (Nguyễn Tiến Đông)
1. Random Walk, Brownian motion,Thermal noise
a) Định nghĩa.
Ta tung một đồng xu cân đối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung chúng
ta ngay lập tức được một bước của đường cần vẽ trên đồ thị, lên trên
nếu tung được mặt ngửa (h)), đi xuống nếu được mặt sấp(t). Quá trình
bắt đầu từ t = 0 và vị trí của chúng ta ở thời điểm t là một hàm bậc
thang với các điểm gián đoạn ở thời điểm t = nT. (Figure 11.1).
Do đó chúng ta đã tạo được một quá trình ngẫu nhiên rời rạc x(t) mà
có các mẫu x(t, ζ ) phụ thuộc vào trình tự cụ thể của mặt sấp và ngửa.
Quá trình này được gọi là random walk(Bước ngẫu nhiên).
Định nghĩa: Bước ngẫu nhiên là quá trình ngẫu nhiên rời rạc mà có các
mẫu độc lập với nhau.
Giả sử rằng ở n lần tung đầu tiên chúng ta quan sát được k mặt
ngửa và n-k mặt sấp. Trong trường hợp này, bước đi của chúng ta bao

gồm k bước lên trên và n-k bước xuống dưới. Do đó vị trí của chúng ta
ở thời điểm t = nT là :
x(nT) = ks – (n-k)s = ms m= 2k –n
Do đó x(nT) là một RV (Radom Variable) tamg giá trị ms, với m = n, n-2,
…, -n. Hơn thế nữa:

Đó là xác suất của k mặt heads trong n lần tung.
Chúng ta để ý rằng x(nT) có thể được viết lại như là một tổng:
x(nT) = x
1
+ … + x
n
trong đó x
i
là kích thước ở bước thứ i. Do đó biến ngẫu nhiên x
i
là
không phụ thuộc vào việc mang giá trị +- s và E(x
i
2
) = s
2
. Từ đó ta có:
E{x(nT)} = 0 E{x
2
(nT)} = ns
2
(11-2)
Large t. Như chúng ta biết, nếu n lớn và k nằm trong khoảng và lân
cận np,ta có:
Từ điều này và (11-1) chỉ ra rằng với p = q = 0.5 và m= 2k-n thì

Do đó ta có:
Trong đó G(x) là một phân phối chuẩn N(0,1)
Chú ý rằng nếu thì các gia số x(n
4

T) – x(n
3
T) và
x(n
2
T) – x(n
1
T) là độc lập
b) Quá trình Winner:
Chúng ta se xét giới hạn của bước ngẫu nhiên khi n tiến tới vô cùng hay
tương đương với T-> 0. Như chúng ta đã biết:
Do đó để kết quả có nghĩa chúng ta giả sử s hội tụ về 0 tương đương
với
Giới hạn của hàm x(t) khi T-> 0 là một quá trình liên tục (Fig 11.1 b)
được gọi là quá trình Winner.
Chúng ta sẽ chỉ ra rằng hàm mật độ f(w, t) của w (t) là thông
thường với nghĩa 0 và không đúng

(11-4)
c)Tổng quát về bước ngẫu nhiên:

Bước ngẫu nhiên có thể viết thành một tổng:
Trong đó biến ngẫu nhiên mang giá trị s hoặc –s với xác suất như nhau.
Trong trường hợp tổng quát thì biến ngẫu nhiên c
k
nhận giá trị s hoặc
–s với xác suất tương ứng là p và q. Trong trường hợp này thì:
Từ đó ta có:
Với n lớn và quá trình x(t) là không thông thường với
2. Chuyển động Brown

Thuật ngữ “Brownian motion” được dùng để mô tả chuyển động của 1
hạt trong 1 chất lỏng, đối tượng đến va chạm với những lực khác.
Trong vĩ mô, vị trí x(t) của hạt có thể mô hình hóa như 1 quá trình
ngẫu nhiên thỏa mãn 1 phương trình vi phân bậc 2:


"( ) '( ) ( ) ( )mx t fx t cx t F t
+ + =

0c
>
(11.9)
F(t) là lực va chạm (tác động), m là khối lượng của hạt, f là hệ số ma
sát, cx(t) là lực bên ngoài mà ta giả sử tỉ lệ với x(t). Trên mô hình vĩ
mô, quá trình F(t) có thể nhìn như 1 quá trình nhiễu trắng chuẩn với
trung bình = 0 và phổ công suất
(11.10)
Trong đó T là nhiệt độ tuyệt đối của môi trường và là hằng số
BoltZman. Chúng ta sẽ xác định các thuộc tính thống kê của x(t) trong
các trường hợp khác nhau.
a) Chuyển động ràng buộc (bound motion):
đầu tiên ta giả sử lực phục hồi cx(t) ≠ 0. Với t đủ lớn, vị trí x(t) của hạt
tiến về 1 trạng thái tĩnh với trung bình =0 và phổ công suất:
(11.11)
Để xác định các thuộc tính thống kê của x(t), nó cũng đủ để tìm hàm tự
tương quan của nó. Chúng ta sẽ làm như vậy theo giả định rằng
nghiệm của phương trình là phức:
Ta đã biết lời giải cho phương trình: có dạng:
Với
thay b, c và q lần lượt bằng , và

(11.12)
Như vậy với 1 t cụ thể, x(t) là một biến ngẫu nhiên chuẩn với trung
bình =0 và phương sai . Do đó hàm mật độ là :
(11.13)
Hàm mật độ có điều kiện của x(t) giả sử là 1 đường cong với trung
bình là và phương sai P, với :
b) Chuyển động tự do:

ta nói 1 hạt chuyển dộng tự do nếu như lực tác động vào nó bằng 0.
Trong trường hợp này thì phương trình trong 11.9 có dạng
(11.14)
Giải pháp cho phương trình này không phải là 1 quá trình tĩnh. Chúng
ta sẽ diễn tả no trong thuật ngữ của vận tôc v(t) của hạt. Với ta có :
(11.15)
Lời giải của phương trình này là 1 quá trình ngẫu nhiên với
(11.16)
Từ đó v(t) là 1 quá trình chuẩn với trung bình bằng 0 và phương sai ,
hàm mật độ là :
(11.17)
Hàm mật độ có điều kiện của v(t) giả sử là chuẩn với trung bình và
phương sai P thỏa mãn :
Trong vật lí (11.15) được gọi là định lí Langevin, lời giải của nó là quá
trình Ornstein-Uhlenbeck, và phổ của nó là Lorenzian.
Vị trí x(t) của hạt là tích phân vận tốc của nó :
(11.18)
Từ đó ta tính được :
Do đó :
(11.19)
Như vậy vị trí của 1 hạt trong chuyên động tự do là 1 quá trình chuẩn
nhưng không tĩnh với trung bình bằng 0 và phương sai là vế phải của

11.19
Với t >> m/f, 11.19 trở thành :
(11.20)
Tham số D là hằng số khuếch tán.
c) Qúa trình Wiener :

Bây giờ chúng ta giả thiết rằng đại lượng mx''(t) của một hạt chuyển
động tự do là nhỏ so với đại lượng ma sát fx'(t), nếu f>>m/t. Bỏ qua đại
lượng mx'' (t) ở mục (11-14), ta kết luận rằng :

Vì F(t) là nhiễu trắng với phổ là 2kTf, từ (10-36) cùng với v(t) = F(t)/f
và q(t)=2kT/f ta có:

Do đó, x(t) là một qúa trình chuẩn tĩnh với mật độ:

Chúng ta thấy rằng đó là một quá trình với gia tốc độc lập.Nó là quá
trình tiêu chuẩn,là quá trình với gia tốc trực giao:
(11-21) với
1 2 3 4
t t t t
< < <
. Thực tế là x(ti) – x(tj) chỉ phụ thuộc vào giá trị của F(t)
trong khoảng
( , )
i j
t t
và F(t) là nhiễu trắng. Sử dụng nó ta thấy rằng:

1 2 1 2
( , ) min( , )

x
R t t t t
α
=
(11-22)
Từ (11-22), nếu
1 2
t t
<
thì:

Do đó vị trí của một hạt chuyển động với gia tốc không đáng kể có các
thuộc tính sau đây:
+ Nó là quá trình chuẩn với trung bình bằng 0, phương sai
t
α
và tự
tương quan
1 2
min( , )t t
. Đó là một quá trình với gia số độc lập.
+ Một quá trình với các đặc tính như vậy gọi là quá trình Wiener. Như
vậy, nó là mẫu giới hạn vị trí của một hạt trong chuyển động tự do khi

t
→ ∞
,và là mẫu giới hạn của quá trình chuyển động ngẫu nhiên khi
n
→ ∞
.

+ Cuối cùng, chú ý rằng mật độ có điều kiện của x(t) ,giả định x(t)= x(
0
t
), là chuẩn tắc với
0
ax
và phương sai P ở ( 8-11):

Do đó:
(11-23)
Phương trình khuếch tán:
Vế phải của công thức(11-23) là một hàm phụ thuộc vào 4 biến x, x
0,
t
và t
0.
Biểu thị hàm này bởi π(x,x
0
; t,t
0
) ta rút ra được bằng cách lấy vi
phân liên tiếp của:
= D
2
= -D
2
(11-24)
tại D
2
=α/2.

Phương trình này được gọi là phương trình khuếch tán.
Nó được thiết lập lại ở Sec. 16-4 trong phạm vi quá trình Markoff.
3. nhiễu nhiệt (Thermals noise)
a) tổng quan
nhiễu nhiệt là loại nhiễu gây ra bởi hiện tượng chuyển động của các
electron do nhiệt độ trong vật dẫn. Loại nhiễu này có trong mọi thiết bị
điện tử và các môi trường truyền dẫn. Nó là một hàm của nhiệt độ.
Nhiễu nhiệt được phân bố một cách đồng đều trên toàn bộ trải phổ tần
số và do đó người ta gọi nó là “nhiễu trắng” (white noise).
Không thể nào loại trừ hay hạn chế được loại nhiễu này và do đó nó
nằm phía ngoài biên của hiệu năng của các hệ thống truyền thông.
Lượng nhiễu nhiệt có trong 1 Hz dải thông của bất kỳ một vật dẫn nào
đều được tính theo công thức: N0 = kT
Trong đó:
N0 là độ đo cường độ nhiễu, đơn vị: watts/hertz.

k là hằng số Boltzmann = 1.3803 x 10-23 J/0K
T là nhiệt độ, tính bằng độ đo Kelvin.
Theo công thức trên, ta thấy nhiễu nhiệt phụ thuộc vào tần số. Do đó,
đối với một tín hiệu có dải thông là W (Hz) thì cường độ nhiễu nhiệt tác
động vào tín hiệu sẽ là:
N=k T W (watts/Hz)
Nếu tính theo đơn vị decibel-watts thì:
N = 10log k +10logT +10logW = −228.6 dBW+10logT +10logW
Tiếp theo ta thảo luận về các đặc tính thống kê của nhiễu nhiệt bỏ qua
các tính chất vật lý cơ bản. Phân tích được dựa trên một mô hình bao
gồm các phần tử phản kháng không có nhiễu và các điện trở có nhiễu.
Một điện trở có nhiễu được mô hình hóa bởi một dãy điện trở không
nhiễu R mắc nối tiếp với một nguồn điện áp n
e

(t) hoặc mắc song song
với nguồn hiện tại n
i
(t)=n
e
(t)/R như trong hình 11-2. Nó được giả
định rằng n
e
(t) là một quá trình bình thường không định nghĩa và phổ
dẹt(không đổi).
S
ne
()=2kTR S
ni
( S
ne
()/R
2
=2kTG (11-25)
Với k là hằng số Botlzmann( k = 1,38(24).10
-23
J/K = 8,617(15).10
-5
eV/K). T là nhiệt độ tuyệt đối của điện trở và G=1/R là độ dẫn của nhiệt
của nó. Hơn nữa, nguồn nhiễu của các mạng lưới điện trở khác nhau là
những quá trình độc lập với nhau. Lưu ý sự giống nhau giữa phổ (11-
25) của nhiễu nhiệt và phổ (11-10) của các lực va chạm trong chuyển
động Brown.
Sử dụng những điều trên và các thuộc tính của hệ thống tuyến tính,
chúng ta sẽ lấy được phổ các thuộc tính của đáp ứng hệ thống bắt đầu

với một ví dụ
Ví dụ: Mạch điện trong hình dưới đây bao gồm một điện trở và một tụ
điện. Chúng ta sẽ quan tâm đến phổ của điện áp v(t) trên tụ điện gây
bởi nhiễu nhiệt. Điện áp v(t) được xem như đầu ra của một hệ thống
với đầu vào là điện áp nhiễu n
e
(t) và hàm hệ thống:
H(s)=

Áp dụng công thức (10-136) ta có
222
2
1
2
|)(|)()(
TR
kTR
HSS
e
nv
ω
ωωω
+
==
RC
v
e
C
KT
R

/||
)(
τ
τ
−
=
(11-26)
Kết quả tiếp theo đây là minh họa của định lý Nyquist sẽ được thảo
luận ngay sau đây: chúng ta biểu thị Z(s) là trở kháng trên các thiết bị
đầu cuối a, b và z(t) là phép biến đổi nghịch đảo của nó
RCs
R
sZ
+
=
1
)(

)(
1
)(
/1
tUe
C
tz
RC
−
=
Hàm Z(t) là điện áp trên tụ C gây ra bởi một dòng điện xung trong hình
(11-3). So sánh với công thức (11-26), ta có:

)(Re2)(
ωω
jZkTS
v
=

222
1
)(Re
CR
R
jZ
ω
ω
+
=
)()(
ττ
kTzR
v
=

0
>
τ

)0()0(
+
=
kTzR

v
{ }
C
kT
RtvE
v
==
)0()(
2

)(
1
lim
ωω
ω
jZj
C
∞→
=

Đưa ra một thiết bị thu phát, mạng nghịch đảo, ta biểu thị v(t) là điện
áp trên 2 thiết bị đầu cuối a,b tùy ý; và Z(s) là trở kháng từ a đến b.
( hình 11-4)
b) ĐỊNH LÝ NYQUIST:
Phổ năng lượng của v(t) bằng:
)(Re2)(
ωω
jZkTS
v
=

(11-27)
(Hình 11-5)
R
kT
S
i
n
2
)(
=
ω

)(
)(
)(
ω
ω
ω
I
V
H
=

R
H
jZ
2
|)(|
)(Re
ω

ω
=
Chứng minh: chúng ta sẽ giả sử rằng chỉ có 1 điện trở trong mạch.
Trường hợp tổng quát có thể được thiết lập tương tự nếu chúng ta sử
dụng một nguồn nhiễu độc lập. Điện trở được biểu diễn bởi một điện
trở không nhiễu mắc song song với một nguồn điện n
i
(t) và các mạch
còn lại chỉ bao gồm các phần tử phản kháng( Hình 11-5a). Do đó v(t)

là đầu ra của hệ thống với đầu vào n
i
(t) và hàm hệ thống H(I(là biên độ
của một sóng dạng sin từ a tới b ( hình 11-5b) và V( là biên độ của
điện áp qua R. Năng lượng vào bằng Re|Z(j và năng lượng truyền cho
giá trị điện trở bằng /R. Giả định rằng việc kết nối mạng lưới là không
tổn hao năng lượng, ta kết luận rằng:
R
V
jZI
2
2
|)(|
)(Re|)(|
ω
ωω
=
Do đó:
)(Re
|)(|

|)(|
|)(|
2
2
2
ω
ω
ω
ω
jZR
I
V
H
==
Và (11-27) là kết quả, bởi vì:
2
|)(|)()(
ωωω
HSS
i
nv
=

R
kT
S
i
n
2
)( =

ω
Hệ quả 1: sự tự tương quan của v(t) bằng:
)()(
ττ
kTzR
v
=
với
Với z(t) là biến đổi ngược của Z(s).
Chứng minh: khi Z(-j :
)]()([)(
ωωω
jZjZkTS
v
−+=
Và ta được kết quả là (11-28) bởi vì nghịch đảo của
Z(-j z(-t) và z(-t)=0 với t>0.
Hệ quả 2:

Năng lượng trung bình của v(t) bằng:
C
kT
tvE
=
)}({
2
với
)(lim
1
ωω

ω
jZj
C
∞→
=
(11-29)
Với C là điện dung đầu vào.
Chứng minh:
Như ta biết ( giá trị định lý ban đầu):
)(lim)0( ssZz
=
+

∞→
s
và công thức (11-29) được suy ra từ (11-28) bởi vì:
)0()0()}({
2
+
==
kTzRtvE
v

Dòng hiện hành: Theo định lý Thévenin, cuối cùng, một mạng lưới bị
nhiễu là tương đương với một mạng không nhiễu với trở kháng Z(s)
mắc nối tiếp với một điện áp nguồn V(t). Phổ năng lượng S
v
( của v(t) là
vế phải trong công thức (11-27). Điều này dẫn tới biến thể của định lý
Nyquist:

Phổ năng lượng của dòng i(t) ngắn mạch từ a đến b gây ra bởi nhiễu
nhiệt bằng:
)(Re2)(
ωω
jkTS
i
Υ=

)(
1
)(
sZ
s
=Υ
(11-30)
Chứng minh: Từ định lý Thévenin :
2
2
|)(|
)(Re2
|)(|)()(
ω
ω
ωωω
jZ
jZkT
jSS
vi
=Υ=
Và ta thu được kết quả là (11-30)

 Mô phỏng với Mathlab

Phần này ta sẽ mô phỏng dao động của 1 hạt trong chuyển động
Brown
 Chuyển động Brown 1 chiều:
ta chỉ giới hạn xét chuyển động của hạt trên tọa độ 1 chiều không
gian 1 chiều thời gian. Hình dưới cho kết quả độ dời của hạt so với
vị trí trước đó. Code:
N = 1000;
% N là số lượng mẫu
displacement = randn(1,N);
% displacement: vector
chuyển vị
% ngẫu nhiên kích thước 1*N
plot(displacement);
•  !"#$!%!&!'()*+(
hist(displacement, 25);

• )$!,-*.!,/0(1,+*'++!2$!,-
,/0#3&!4/05#36!7!8'9$1
:%*;#3<.',/0"2=,-7!8
'9$#,+(*+(
x = cumsum(displacement);
plot(x);
ylabel('position'); %nhãn của Oy
xlabel('time step'); %nhãn của Ox
title('Position of 1D Particle versus Time'); %tiêu đề

 Mở rộng ra chuyển động 2 chiều:
2>?!$!%!-#.(@A!@A!,B

$!%!-CD5E!',+$!,/!F!&!C
:,+!$@G'@!'D'H'+3,
H'+$<,+!F!&!@G'@!+IJJ
',+KI*+(
particle = struct();
particle.x = cumsum( randn(N, 1) );
particle.y = cumsum( randn(N, 1) );
plot(particle.x, particle.y);
ylabel('Y Position');
xlabel('X Position');
title('position versus time in 2D');

