Toán tử giả lõm trong không gian các hàm số khả tích

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
LÊ THỊ DUÂN
TOÁN TỬ GIẢ LÕM TRONG
KHÔNG GIAN CÁC HÀM SỐ
KHẢ TÍCH
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
HÀ NỘI-2014
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
LÊ THỊ DUÂN
TOÁN TỬ GIẢ LÕM TRONG
KHÔNG GIAN CÁC HÀM SỐ
KHẢ TÍCH
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02
Người hướng dẫn: PGS.TS.GVCC NGUYỄN PHỤ HY
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
HÀ NỘI-2014
Lời cảm ơn
Luận văn này được hoàn thành tại Trường Đại học sư phạm Hà Nội
2, dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS. Nguyễn Phụ Hy. Qua đây
tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy cô giáo trong Trường, đặc biệt
là PGS. TS. Nguyễn Phụ Hy, người luôn quan tam động viên, giúp đỡ
tôi trong quá trình làm luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu Trường ĐHSP Hà Nội 2,
Phòng Sau đại học đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình
học tập và nghiên cứu vừa qua.
Hà Nội, tháng 7 - 2014
Học viên
Lê Thị Duân

2
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, dưới sự
hướng dẫn khoa học của PGS. TS. Nguyễn Phụ Hy. Các kết quả trong
luận văn được trích dẫn rõ ràng, trung thực và luận văn không trùng
lặp với những luận văn khác.
Hà Nội, tháng 7 - 2014
Học viên
Lê Thị Duân
3
Mục lục
Lời cảm ơn 2
Lời cam đoan 3
Mở đầu 6
1 Tích Descartes hai không gian Banach thực nửa sắp thứ
tự 9
1.1 Khái niệm không gian Banach thực nửa sắp thứ tự . . . 9
1.1.1 Khái niệm không gian Banach thực . . . . . . . . 9
1.1.2 Khái niệm nón trong không gian Banach thực . . 16
1.1.3 Quan hệ sắp thứ tự trong không gian Banach thực 21
1.1.4 Các phần tử u
0
- đo được và không gian E
u
0
. . . 24
1.1.5 Các phần tử thông ước và tập K(u
0
) . . . . . . . 30
1.2 Khái niệm tích Descartes hai không gian

Banach thực nửa sắp thứ tự . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.3 Nón trong không gian tích . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.4 Quan hệ thứ tự trên không gian tích . . . . . . . . . . . 39
1.5 Bình phương Descartes không gian các hàm số khả tích . 43
1.5.1 Không gian định chuẩn thực L
[a,b]
. . . . . . . . . 43
1.5.2 L
[a,b]
là không gian Banach thực . . . . . . . . . . 46
1.5.3 Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự L
[a,b]
. . 49
1.5.4 Không gian E
u
0
và tập K(u
0
) . . . . . . . . . . . 51
4
1.5.5 Không gian L
2
[a,b]
= L
[a,b]
× L
[a,b]
. . . . . . . . . . . 52
2 Toán tử giả lõm
trong không gian L

2
53
2.1 Toán tử lõm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.1.1 Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.1.2 Một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.2 Toán tử giả lõm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.2.1 Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.2.2 Định lý về sự tồn tại điểm bất động của toán tử
giả lõm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.3 Ví dụ về toán tử lõm và toán tử giả lõm . . . . . . . . . 60
2.3.1 Toán tử u
0
- lõm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.3.2 Toán tử w
0
- giả lõm . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Kết luận 65
Tài liệu tham khảo 66
5
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Nhà toán học Nga Kraxnoxelki M.A đã nghiên cứu lớp toán tử phi
tuyến: Toán tử lõm [8]. Sau đó Bakhtin Y.A tiếp tục nghiên cứu lớp toán
tử lõm và toán tử lõm đều [7] và Opoixev V.I đã mở rộng các kết quả
sang lớp toán tử giả lõm [9]. Bakhtin Y.A đã thể hiện các kết quả trong
công trình của Opoixev V.I trên lớp không gian các hàm số liên tục [10].
Các luận văn thạc sĩ toán học [3,6] đã áp dụng các kết quả của nhà
toán học trên đây trong không gian các dãy số bị chặn m.
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về lớp toán tử phi tuyến này, nhờ sự
giúp đỡ, hướng dẫn tận tình của PGS. TS.Nguyễn Phụ Hy tôi đã nghiên

cứu đề tài : “Toán tử giả lõm trong không gian các hàm số khả
tích”.
2. Mục đích nghiên cứu
Đề tài này nhằm nghiên cứu toán tử lõm, toán tử giả lõm và điểm bất
động của toán tử này trong không gian các hàm số khả tích.
6
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tìm hiểu về không gian Banach thực nửa sắp thứ tự.
- Tìm hiểu về tích Descartes hai không gian Banach thực, nón trong
không gian tích và quan hệ thứ tự trên không gian tích Descartes hai
không gian Banach thực.
- Tìm hiểu về toán tử lõm và toán tử giả lõm.
- Tìm hiểu về sự tồn tại điểm bất động của toán tử giả lõm trong không
gian L và không gian L
2
.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: các kiến thức cơ sở cần thiết, các kết quả của
toán tử giả lõm, điểm bất động của toán tử giả lõm trong không gian
các hàm số khả tích.
Phạm vi nghiên cứu: các tài liệu, các bài báo trong và ngoài nước có
liên quan đến toán tử lõm, toán tử giả lõm trong không gian các hàm số
khả tích.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Thu thập tài liệu và các bài báo về toán tử lõm, toán tử giả lõm và
điểm bất động về toán tử giả lõm trong không gian các hàm số khả tích.
- Tổng hợp, phân tích, hệ thống các khái niệm tính chất liên quan đến
toán tử giả lõm.
- Tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn.
7

6. Những đóng góp của đề tài
Trình bày hệ thống những kiến thức về không gian Banach thực nửa
sắp thứ tự, tích Descartes hai không gian Banach thực nửa sắp thứ tự,
về toán tử lõm trong không gian các hàm số khả tích, toán tử giả lõm
trong không gian bình phương Descartes không gian các hàm số khả tích
và áp dụng cho các toán tử đó.
8
Chương 1
Tích Descartes hai không gian
Banach thực nửa sắp thứ tự
1.1 Khái niệm không gian Banach thực nửa sắp thứ
tự
1.1.1 Khái niệm không gian Banach thực
1.1.1.1 Các định nghĩa
Định nghĩa 1.1.1.1. Cho không gian tuyến tính thực E. Một chuẩn
trên E là một ánh xạ từ E vào R, kí hiệu là  .  (đọc là chuẩn), thỏa
mãn các tiên đề sau:
1. ∀x ∈ E,  x ≥ 0,  x = 0 ⇔ x = θ, (θ là kí hiệu phần tử không
của không gian E);
2. ∀x ∈ E, ∀α ∈ R,  αx =| α | x ;
3. ∀x, y ∈ E,  x + y ≤ x  +  y  .
Không gian tuyến tính thực E cùng với một chuẩn trên đó được gọi là
một không gian định chuẩn thực, kí hiệu (E,  . )hay đơn giản là E.
Định nghĩa 1.1.1.2. Cho không gian định chuẩn E. Dãy điểm {x
n
}
∞
n=1
⊂
9

E gọi là dãy hội tụ tới điểm x ∈ E, nếu
lim
n→∞
 x
n
− x = 0,
kí hiệu
lim
n→∞
x
n
= x
hay x
n
→ x (n → ∞).
Định nghĩa 1.1.1.3. Cho không gian định chuẩn E. Dãy điểm {x
n
}
∞
n=1
⊂
E gọi là dãy cơ bản trong không gian E nếu
lim
n,m→∞
 x
n
− x
m
= 0
hay (∀ε > 0)(∃n

0
∈ N
∗
) sao cho (∀n, m ≥ n
0
) ta có  x
n
− x
m
< ε.
Định nghĩa 1.1.1.4. Không gian định chuẩn E gọi là không gian Ba-
nach nếu mọi dãy cơ bản trong E đều hội tụ.
1.1.1.2. Ví dụ
Ví dụ 1.1.1.1. Với n ∈ N, n ≥ 2, xét không gian tuyến tính thực
R
n
= {x = (x
1
, , x
n
) : x
i
∈ R, ∀i = 1, , n}
với hai phép toán thông thường
x + y = (x
1
+ y
1
, , x
n

+ y
n
);
αx = (αx
1
, , αx
n
);
trong đó α ∈ R và x = (x
1
, , x
n
); y = (y
1
, , y
n
) ∈ R
n
.
1) R
n
là không gian định chuẩn với chuẩn của phần tử x = (x
1
, x
2
, , x
n
)
cho bởi
 x =





n

i=1
x
2
i
. (1.1)
Thật vậy
c
1
) ∀x ∈ R
n
vế phải của (1.1) hoàn toàn xác định và




n

i=1
x
2
i
≥ 0 nên  x ≥ 0.
10
Hơn nữa  x = 0 ⇔



n
i=1
x
2
i
= 0 ⇔ x
i
= 0, ∀i = 1, , n ⇔ x = θ,
trong đó θ = (0, , 0) là vectơ không trong không gian R
n
.
c
2
) ∀x ∈ R
n
, ∀α ∈ R ta có
 αx =




n

i=1
|αx
i
|
2

= |α|.




n

i=1
|x
i
|
2
= |α|.  x  .
c
3
) ∀x, y ∈ R
n
ta có
 x + y 
2
=
n

i=1
|x
i
+ y
i
|
2

=
n

i=1
(|x
i
|
2
+ 2|x
i
|.|y
i
| + |y
i
|
2
)
≤
n

i=1
|x
i
|
2
+ 2





n

i=1
|x
i
|
2
.




n

i=1
|y
i
|
2
+
n

i=1
|y
i
|
2
= ( x  +  y )
2
.

Do đó  x + y ≤ x  +  y .
Vậy công thức (1.1) xác định một chuẩn trên R
n
. Không gian định chuẩn
tương ứng kí hiệu là R
n
và gọi là không gian Eukleides.
2) Sự hội tụ trong không gian R
n
tương đương với sự hội tụ theo tọa độ.
Thật vậy, giả sử dãy điểm x
(m)
= (x
(m)
1
, x
(m)
2
, , x
(m)
n
), m = 1, 2, hội
tụ tới x = (x
1
, x
2
, , x
n
) trong R
n

. Theo định nghĩa (∀ε > 0)(∃m
0
∈
N
∗
)(∀m ≥ m
0
) sao cho
 x
(m)
− x =




n

i=1
(x
(m)
i
− x
i
)
2
< ε.
Suy ra
|x
(m)
i

− x
i
| < ε, ∀m ≥ m
0
, ∀i = 1, 2, , n. (1.2)
Các bất đẳng thức (1.2) chứng tỏ rằng với mỗi i = 1, 2, , n, dãy số thực
(x
(m)
i
) hội tụ tới x
i
khi m → ∞. Sự hội tụ đó gọi là sự hội tụ theo tọa
độ.
Ngược lại, giả sử dãy điểm x
(m)
= (x
(m)
1
, x
(m)
2
, , x
(m)
n
), m = 1, 2, hội
11
tụ theo tọa độ tới điểm x = (x
1
, x
2

, , x
n
) trong R
n
. Theo định nghĩa,
∀ε > 0, với mỗi i = 1, 2, , n, ∃m
i
∈ N
∗
(∀m ≥ m
i
), |x
(m)
i
− x
i
| <
ε
√
n
.
Đặt m
0
= max(m
1
, m
2
, , m
n
) thì ∀m ≥ m

0
,
|x
(m)
i
− x
i
| <
ε
√
n
, ∀i = 1, 2, , n
⇔ (x
(m)
i
− x
i
)
2
<
ε
2
n
, ∀i = 1, 2, , n
⇔
n

i=1
(x
(m)

i
− x
i
)
2
< ε
2
, ∀m ≥ m
0
⇔




n

i=1

x
(m)
i
− x
i

2
< ε, ∀m ≥ m
0
(1.3)
⇔  x
(m)

i
− x < ε, ∀m ≥ m
0
.
Do đó dãy điểm đã cho hội tụ theo chuẩn của không gian R
n
.
3) Không gian R
n
(n ≥ 2) là không gian Banach với chuẩn của phần tử
x = (x
1
, x
2
, , x
n
) cho bởi công thức (1.1).
Thật vậy, giả sử {x
(m)
}
∞
m=1
= {x
(m)
1
, x
(m)
2
, , x
(m)

n
}
∞
m=1
là một dãy cơ
bản tùy ý trong không gian R
n
. Khi đó, theo định nghĩa dãy cơ bản
(∀ε > 0) (∃n
0
∈ N
∗
) (∀m, p ≥ n
0
) ta có
 x
(m)
− x
(p)
< ε hay




n

i=1
|x
(m)
i

− x
(p)
i
|
2
< ε.
Từ đây ta suy ra
|x
(m)
− x
(p)
| < ε, ∀m, p ≥ n
0
, ∀i = 1, 2, , n.
Điều này chứng tỏ với mỗi i = 1, , n, dãy {x
(m)
i
}
∞
m=1
là dãy số thực cơ
bản, nên phải tồn tại giới hạn.
lim
m→∞
x
(m)
i
= x
i
(i = 1, , n).

12
Đặt x = (x
1
, , x
n
) ta nhận được dãy {x
(m)
}
∞
m=1
đã cho hội tụ theo tọa
độ tới x. Nhưng sự hội tụ trong không gian R
n
tương đương với sự hội
tụ theo tọa độ, nên dãy đã cho hội tụ tới x trong không gian R
n
. Vậy
R
n
là không gian Banach.
Ví dụ 1.1.1.2. Xét không gian tuyến tính thực
C
[a,b]
= {x = x(t) : x(t) là hàm số liên tục tại mọi t ∈ [a, b]}
với hai phép toán thông thường
(x + y)(t) = x(t) + y(t), ∀t ∈ [a, b],
(αx)(t) = αx(t), ∀t ∈ [a, b].
trong đó α ∈ R, x = x(t), y = y(t) là các hàm thuộc C
[a,b]
.

1) C
[a,b]
là một không gian định chuẩn với chuẩn của phần tử x = x(t)
cho bởi
 x = max
a≤t≤b
| x(t) | . (1.4)
Thật vậy vế phải của (1.4) xác định. Vì x(t) là hàm số liên tục trên [a, b]
nên
∃ max
a≤t≤b
|x(t)|.
Ta đi kiểm tra sự thỏa mãn 3 tiên đề về chuẩn đối với (1.4).
c
1
) ∀x = x(t) ∈ C
[a,b]
ta đều có
 x = max
a≤t≤b
| x(t) |≥ 0.
Hơn nữa
 x = 0 ⇔ max
a≤t≤b
| x(t) |= 0 ⇔ x(t) = 0, ∀t ∈ [a, b] ⇔ x = θ
trong đó θ là vectơ không trong C
[a,b]
.
c
2

) ∀x ∈ C
[a,b]
, ∀α ∈ R ta có
 αx = max
a≤t≤b
| αx(t) |= |α|. max
a≤t≤b
| x(t) |= α|.  x  .
13
c
3
) ∀x, y ∈ C
[a,b]
ta có
 (x + y) = max
a≤t≤b
| x(t) + y(t) |
≤ max
a≤t≤b
(| x(t) | + | y(t) |)
≤ max
a≤t≤b
| x(t) | + max
a≤t≤b
| y(t) |= x  +  y  .
Vậy công thức (1.4) xác định một chuẩn trên C
[a,b]
.
2) Sự hội tụ trong không gian C
[a,b]

tương đương với sự hội tụ đều của
dãy hàm liên tục trên [a, b].
Thật vậy, giả sử dãy hàm {x
n
}
∞
n=1
⊂ C
[a,b]
hội tụ tới x(t) trong không
gian C
[a,b]
. Ta có
lim
n→∞
 x
n
− x = 0,
hay
(∀ε > 0) (∃n
0
∈ N
∗
) (∀n ≥ n
0
) : x
n
− x < ε
⇒ max
a≤t≤b

| x
n
(t) − x(t) |< ε, ∀n ≥ n
0
⇒ | x
n
(t) − x(t) |< ε, ∀n ≥ n
0
, ∀t ∈ [a, b]
⇒ x
n
(t) hội tụ đều đến x(t) trên [a, b].
Ngược lại, giả sử dãy hàm {x
n
}
∞
n=1
⊂ C
[a,b]
hội tụ đều về x. Khi đó
x ∈ C
[a,b]
. Theo định nghĩa sự hội tụ đều của dãy hàm: (∀ε > 0) (∃n
0
∈
N
∗
) (∀n ≥ n
0
) (∀t ∈ [a, b]) thì

| x
n
(t) − x(t) |< ε.
Theo tính chất của sự hội tụ đều của dãy hàm liên tục trên [a, b], x ∈ C
[a,b]
⇒ max
a≤t≤b
| x
n
(t) − x(t) |< ε
hay
 x
n
− x < ε, ∀n ≥ n
0
.
14
Vậy (x
n
(t)) hội tụ về x(t) trong không gian C
[a,b]
.
3) Không gian C
[a,b]
là không gian Banach với chuẩn của phần tử x = x(t)
cho bởi công thức (1.4).
Thật vậy, giả sử {x
n
}
∞

n=1
= {x
n
(t)}
∞
n=1
là một dãy cơ bản tùy ý trong
C
[a,b]
. Theo định nghĩa dãy cơ bản
(∀ε > 0) (∃n
0
∈ N
∗
) (∀n, m ≥ n
0
),
ta có
 x
n
− x
m
<
ε
2
hay max
a≤t≤b
| x
n
(t) − x

m
(t) |<
ε
2
.
Từ đây ra suy ra
| x
n
(t) − x
m
(t) |<
ε
2
, ∀n, m ≥ n
0
, ∀t ∈ [a, b]. (1.5)
Điều này chứng tỏ với mỗi t ∈ [a, b] cố định, dãy {x
n
(t)}
∞
n=1
là dãy số
thực cơ bản, nên phải tồn tại giới hạn
lim
n→∞
x
n
(t) = x(t), t ∈ [a, b].
Ta nhận được hàm x(t) xác định trên [a, b]. Vì biểu thức (1.5) đúng với
mọi t nên cho qua giới hạn trong các bất đẳng thức đó khi m → ∞ ta

nhận được
| x
n
(t) − x(t) |<
ε
2
< ε, ∀n ≥ n
0
, ∀t ∈ [a, b].
Do đó dãy hàm {x
n
(t)}
∞
n=1
hội tụ đều tới hàm số x(t) trên [a, b] nên
x ∈ C
[a,b]
. Nhưng sự hội tụ trong C
[a,b]
tương đương với sự hội tụ đều
của dãy hàm trên [a, b], nên dãy đã cho hội tụ tới x trong không gian
C
[a,b]
. Vậy C
[a,b]
là không gian Banach.
15
1.1.2 Khái niệm nón trong không gian Banach thực
1.1.2.1. Các định nghĩa và tính chất
Định nghĩa 1.1.2.1. Giả sử E là không gian định chuẩn thực. Tập

K ⊂ E, K = ∅ được gọi là một nón, nếu tập K thỏa mãn các điều kiện
sau:
C
1
) K là tập đóng trong không gian E;
C
2
) (∀x, y ∈ K) x + y = K;
C
3
) (∀x ∈ K) (∀t ∈ R, t ≥ 0) tx ∈ K;
C
4
) (∀x ∈ K, x = θ) − x /∈ K.
Nhận xét 1.1.2.2. Nếu K là một nón trong không gian định chuẩn thực
E thì θ ∈ K và K là tập lồi. Thật vậy:
+) ∀x ∈ K, t ∈ R, t ≥ 0 ta có tx ∈ K, do đó với t = 0 ta có θ = 0.x ∈ K.
+) ∀x, y ∈ K, ∀t ∈ [0, 1] ta có tx ∈ K, (1−t)y ∈ K nên tx+(1−t)y ∈ K.
Định nghĩa 1.1.2.3. Giả sử K là một nón trong không gian định chuẩn
thực E. Nón K được gọi là chuẩn tắc nếu
∃δ > 0, ∀e
1
, e
2
∈ K : e
1

E
= e
2


E
= 1
đều có
 e
1
+ e
2

E
≥ δ.
Định lý 1.1.2.4. Giả sử K là một nón trong không gian Banach thực
E. Khi đó K là nón chuẩn tắc khi và chỉ khi
(∃N > 0) (∀x, y ∈ K : y −x ∈ K)  x ≤ N.  y  . (1.6)
Chứng minh
Điều kiện cần. Giả sử K là nón chuẩn tắc nhưng điều kiện (1.6) không
xảy ra, nghĩa là
(∀n ∈ N
∗
) (∃x
n
, y
n
∈ K : y
n
− x
n
∈ K)  x
n
> n.  y

n
 . (1.7)
16
Các hệ thức (1.7) chứng tỏ x
n
= θ, y
n
= θ và
 x
n

n.  y
n

> 1, 0 <
n.  y
n

 x
n

< 1, ∀n ∈ N
∗
.
Đặt
 x
n

n.  y
n


= 1 + c
n
,
n.  y
n

 x
n

= 1 − d
n
,
trong đó c
n
> 0, 0 < d
n
< 1, n = 1, 2,
Xét phần tử
g
n
=
x
n
 x
n

+
y
n

n.  y
n

,
h
n
=
−x
n
 x
n

+
y
n
n.  y
n

, n = 1, 2,
Ta có
 g
n
 ≥









x
n
 x
n









−








y
n
n  y
n










= 1 −
1
n
> 0, ∀n ≥ 2,
 h
n
 ≥








−
x
n
 x
n










−








y
n
n  y
n









= 1 −
1
n

> 0, ∀n ≥ 2
nên g
n
= θ, h
n
= θ, ∀n ≥ 2.
Hiển nhiên, g
n
∈ K, ∀n ∈ N
∗
.
Ta có h
n
∈ K, ∀n ∈ N
∗
. Thật vậy
h
n
= −
x
n
 x
n

+
y
n
n.  y
n


=
1
n.  x
n
 .  y
n


−
n  y
n

 x
n

.x
n
+
 x
n

n.  y
n

.y
n

=
1
n.  x

n
 .  y
n


(d
n
− 1)x
n
+ (1 + c
n
)y
n

=
1
n.  x
n
 .  y
n


(d
n
x
n
+ c
n
y
n

) + (y
n
− x
n
)

∈ K, ∀n ∈ N
∗
Mặt khác
 g
n
 ≤








x
n
 x
n










+








y
n
n  y
n









= 1 +
1
n
, ∀x ∈ N
∗

,
 h
n
 ≤








−x
n
 x
n









+









y
n
n  y
n









= 1 +
1
n
, ∀n ∈ N
∗
17
nên ∀n ≥ 2 ta có
g
n
 g
n

+

h
n
 h
n

=
g
n
 g
n

+
h
n
 g
n

−
h
n
 g
n

+
h
n
 h
n

=

2y
n
n.  y
n
 .  g
n

+
 g
n
 −  h
n

 g
n
 .  h
n

.h
n
⇒








g

n
 g
n

+
h
n
 h
n









≤
2
n  g
n

+
1 +
1
n
− (1 −
1
n

)
 g
n

≤
4
n − 1
, ∀n ≥ 2.
⇒ lim
n→∞








g
n
 g
n

+
h
n
 h
n










= 0.
Mâu thuẫn với tính chuẩn tắc của nón K. Vậy, nếu K là nón chuẩn tắc
thì điều kiện (1.6) được thỏa mãn.
Điều kiện đủ. Giả sử điều kiện (1.6) được thỏa mãn và x, y ∈ K sao cho
 x = y = 1.
Ta có (x + y) − x ∈ K nên 1 = x ≤ N.  x + y 
⇒ x + y >
1
N
.
Đặt
1
N
= δ, ta được số dương δ không phụ thuộc vào x, y và  x+y > δ.
Vậy K là nón chuẩn tắc.

1.1.2.2. Ví dụ
Ví dụ 1.1.2.1. Cho không gian định chuẩn thực R
n
với chuẩn xác định
bởi công thức (1.1), hơn nữa R
n
là không gian Banach.

1) Tập K = {x = (x
j
)
n
j=1
∈ R
n
; x
j
≥ 0, ∀j = 1, n} là một nón.
Hiển nhiên K ⊂ R
n
, K = ∅ vì θ ∈ K và K là tập đóng trong R
n
.
Thật vậy, giả sử

x
(k)

∞
k=1
=

x
(k)
1
, , x
(k)
n


∞
k=1
⊂ K
18
là một dãy hội tụ và
lim
k→∞
x
k
= x = (x
1
, , x
n
) trong R
n
.
Khi đó, do sự hội tụ trong R
n
là sự hội tụ theo tọa độ, nên ta có với mỗi
j = 1, , n cố định
lim
k→∞
x
(k)
j
= x
j
.
Vì x

(k)
j
≥ 0 nên x
j
≥ 0, ∀j = 1, 2, , n. Chứng tỏ x ∈ K. Vì vậy K là
tập đóng.
+) ∀x, y ∈ K : x = (x
j
)
n
j=1
∈ R
n
, ∀j = 1, 2, , n; y = y
j
)
n
j=1
∈ R
n
, ∀j =
1, 2, , n ta có
x + y = (x
j
+ y
j
)
n
j=1
∈ R

n
.
Vì x
j
≥ 0, y
j
≥ 0 nên x
j
+ y
j
≥ 0, ∀j = 1, n. Do đó x + y ∈ K.
+) ∀x ∈ K : x = (x
j
)
n
j=1
∈ R
n
, x
j
≥ 0, ∀j = 1, n, ∀t ≥ 0
⇒ tx = (tx
j
)
n
j=1
∈ R
n
.
Vì x

j
≥ 0 : ∀j = 1, n ta có tx
j
≥ 0, ∀j = 1, n.
Do đó tx ∈ K.
+) ∀x ∈ K, x = θ ⇒ x = (x
j
)
n
j=1
∈ R
n
, x
j
≥ 0, ∀j = 1, n và
(∃n
0
)x
n
0
> 0. Suy ra ⇒ −x
n
0
< 0. Do đó −x /∈ K.
Tập K thỏa mãn 4 điều kiện về nón, nên K là một nón trong không gian
Banach thực R
n
.
2) K = {x = (x
j

)
n
j=1
∈ R
n
; x
j
≥ 0, ∀j = 1, n} là một nón chuẩn tắc.
Thật vậy, ∀e
1
, e
2
∈ K, e
1
= (x
1
, , x
n
), e
2
= (y
1
, , y
n
), x
j
≥ 0, y
j
≥
0, ∀j = 1, n thì

 e
1

E
= e
2

E
= 1
⇔




n

j=1
|x
j
|
2
=




n

j=1
|y

j
|
2
= 1.
19
Ta có
 e
1
+ e
2

E
=




n

j=1
|x
j
+ y
j
|
2
≥





n

j=1
|x
j
|
2
= 1 = δ.
Ví dụ 1.1.2.2. Xét không gian C
[a,b]
.
1) K = {x = x(t) ∈ C
[a,b]
; x(t) ≥ 0, ∀t =∈ [a, b]} là một nón trong
không gian C
[a,b]
.
Thật vậy, hiển nhiên K ⊂ C
[a,b]
và K = ∅ vì θ ∈ K. Ta đi chứng minh
K thỏa mãn 4 điều kiện về nón.
+) K là tập đóng trong không gian C
[a,b]
. Thật vậy, giả sử (x
n
)
∞
n=1
⊂ K

hội tụ tới x trong C
[a,b]
ta phải chứng minh x ∈ K. Với mỗi t ∈ [a, b] cố
định, x
n
(t) ≥ 0, ∀n. Do sự hội tụ trong C
[a,b]
là sự hội tụ đều của dãy
hàm liên tục trên [a, b] nên x ∈ C
[a,b]
và dãy hàm x
n
(t) cũng hội tụ về
hàm x(t) với mỗi t ∈ [a, b] khi n → ∞. Do đó x(t) ≥ 0 ∀t ∈ [a, b] hay
x ∈ K. Suy ra K là tập đóng.
+) (∀x, y ∈ K) x + y ∈ K. Thật vậy, với x = x(t), y = y(t) ∈ K ta có
x(t) ≥ 0, y(t) ≥ 0, ∀t ∈ [a, b].
Từ đó x(t) + y(t) ≥ 0, ∀t ∈ [a, b] và x + y ∈ C
[a,b]
nên x + y ∈ K.
+) (∀x ∈ K) (∀α ∈ R, α ≥ 0)αx ∈ K. Thật vậy, với x = x(t) ∈ K ta
có x(t) ≥ 0, ∀t ∈ [a, b]. Từ đó
αx = αx(t) ≥ 0, ∀t và αx ∈ C
[a,b]
nên αx ∈ K.
+) (∀x ∈ K, x = θ) − x /∈ K. Thật vậy, với x = x(t) ∈ K, x(t) = 0 ⇒
(∃t
0
∈ [a, b])x(t
0

) > 0. Suy ra
⇒ −x(t
0
) < 0, ∀t
0
∈ [a, b] ⇒ −x /∈ K.
Vậy K là một nón trong không gian C
[a,b]
2) Nếu K = {x = x(t) ∈ C
[a,b]
; x(t) ≥ 0, ∀t ∈ [a, b]} thì K là một nón
20
chuẩn tắc.
Thật vậy, giả sử x, y ∈ K sao cho  x = 1,  y = 1. Suy ra x =
x(t) ≥ 0, y = y(t) ≥ 0, t ∈ [a, b] và  x = max
a≤t≤b
| x(t) |= 1,
 y = max
a≤t≤b
| y(t) |= 1
⇒ x + y  = max
a≤t≤b
|(x + y)(t)| = max
a≤t≤b
| x(t) + y(t) |
≥ max
a≤t≤b
| x(t) |= x = 1 = δ.
1.1.3 Quan hệ sắp thứ tự trong không gian Banach thực
1.1.3.1. Định nghĩa và tính chất

Định lý 1.1.3.1 Giả sử E là không gian Banach thực, K là một nón
trong không gian E. Ta đưa quan hệ sắp thứ tự vào không gian như sau:
Với x, y ∈ E, ta viết x ≤ y, nếu y −x ∈ K. Khi đó, quan hệ "≤" là một
quan hệ sắp thứ tự trên E.
Chứng minh. Thật vậy
+) (∀x ∈ E) x ≤ x, vì x −x = θ ∈ K. Suy ra quan hệ "≤" có tính chất
phản xạ.
+) (∀x, y, z ∈ E : x ≤ y, y ≤ z) ⇒ y − x ∈ K, z −y ∈ K.
Ta có z − x = (z − y) + (y − x) ∈ K ⇒ x ≤ z. Suy ra quan hệ "≤" có
tính chất bắc cầu.
+) (∀x, y ∈ E : x ≤ y, y ≤ x) x = y, vì nếu x = y thì y −x = θ.
Do y − x ∈ K nên x − y /∈ K mâu thuẫn giả thiết y ≤ x. Suy ra quan
hệ "≤" có tính chất phản đối xứng.
Do đó, quan hệ "≤" là quan hệ sắp thứ tự trên không gian E với nón
K.
Định nghĩa 1.1.3.2. Không gian định chuẩn E cùng với quan hệ sắp
thứ tự theo nón K được gọi là không gian định chuẩn nửa sắp thứ tự
(hay không gian định chuẩn sắp thứ tự bộ phận) theo nón K.
Một không gian định chuẩn nửa sắp thứ tự E theo nón K ⊂ E đồng
21
thời là không gian Banach thì E được gọi là không gian Banach nửa sắp
thứ tự theo nón K.
Mệnh đề 1.1.3.3. Cho E là không gian Banach nửa sắp thứ tự theo
nón K.
i) Nếu (x
n
)
∞
n=1
⊂ E, (y

n
)
∞
n=1
⊂ E, x
n
≤ y
n
, ∀n = 1, 2, và
lim
n→∞
x
n
= x; lim
n→∞
y
n
= y
thì x ≤ y.
ii) Giả sử u
0
∈ K, x ∈ E. Khi đó, nếu x ≤ t.u
0
thì x ≤ γ.u
0
, ∀γ > t.
iii) Giả sử u
0
∈ K, x ∈ E, nếu x ≤ tu
0

với t ∈ R nào đó, thì ∃α
0
nhỏ
nhất để x ≤ α
0
u
0
.
Chứng minh. Xét không gian Banach thực E nửa sắp thứ tự theo nón
K.
i) Ta có x
n
≤ y
n
, ∀n = 1, 2, , y
n
− x
n
∈ K, ∀n = 1, 2,
Từ
lim
n→∞
x
n
= x, lim
n→∞
y
n
= y
suy ra

lim
n→∞
(y
n
− x
n
) = y − x.
Do K là tập đóng nên y − x ∈ K ⇒ x ≤ y.
ii) Ta có t.u
0
∈ K, (γ − t)u
0
∈ K
⇒ γ.u
0
− x = γu
0
− tu
0
+ tu
0
− x
= (γ − t)u
0
+ (tu
0
− x).
Vì γ − t > 0 nên (γ − t)u
0
∈ K, hơn nữa x ≤ tu

0
suy ra tu
0
− x ∈ K.
Từ đó ta có
γu
0
− x ∈ K ⇒ x ≤ γu
0
.
iii) Xét
f : R → E
t → f(t) = tu
0
− x.
22
Vì f là hàm liên tục nên f
−1
(K) là tập đóng. Giả sử inf f
−1
(K) =
−∞ ⇒ ∃(t
n
) ⊂ R, t
n
u
0
− x ∈ K,
lim
n→∞

t
n
= −∞.
Khi đó, −
1
t
n
(t
n
u
0
− x) ∈ K hay −u
0
+
x
t
n
∈ K. Cho n → ∞ ta được
−u
0
∈ K trái với tính chất của K.
Vậy ∃α
0
= inf{t : tu
0
− x ∈ K} ∈ f
−1
(K) hay
α
0

u
0
− x ∈ K ⇒ x ≤ α
0
u
0
.
1.1.3.2. Ví dụ
Ví dụ 1.1.3.1. Xét quan hệ ” ≤ ” trong không gian R
n
.
Quan hệ ” ≤ ” được định nghĩa như sau: với x, y ∈ R
n
ta viết x ≤ y nếu
y − x ∈ K.
Giả sử x = (x
1
, , x
n
), y = (y
1
, , y
n
) ∈ R
n
: x ≤ y thì x
j
≤ y
j
, ∀j =

1, 2, , n.
Thật vậy, ta có
x ≤ y ⇒ y − x ∈ K ⇒ y
j
− x
j
≥ 0, ∀j = 1, 2, , n
⇒ x
j
≤ y
j
, ∀j = 1, n.
Khi đó quan hệ ” ≤ ” là một quan hệ sắp thứ tự trong không gian R
n
.
Khi n = 1, tập K = {x ∈ R
1
: x ≥ 0} nên quan hệ thứ tự trong R theo
nón K này là quan hệ thứ tự tuyến tính tức là ∀x, y ∈ R
1
ta luôn có
x − y ∈ K hoặc y − x ∈ K, do đó ta có x ≤ y hoặc y ≤ x.
Khi n ≥ 2 thì quan hệ thứ tự trên R
n
không phải là quan hệ thứ
tự tuyến tính vì với x = (1, 0, , 0), y = (0, 1, 0, , 0) ∈ R
n
ta có
x−y = (1, −1, 0, , 0) /∈ K và y −x = (−1, 1, 0, , 0) /∈ K. Do đó không
có x ≤ y và cũng không có y ≤ x.

Không gian Banach thực R
n
, n ≥ 1 cùng với quan hệ sắp thứ tự được
23
định nghĩa ở trên trở thành không gian Banach nửa sắp thứ tự theo nón
K.
Ví dụ 1.1.3.2. Xét quan hệ ” ≤ ” trong không gian C
[a,b]
.
Quan hệ ” ≤ ” được định nghĩa như sau: với x, y ∈ C
[a,b]
ta viết x ≤ y
nếu y − x ∈ K.
Ta có x ≤ y suy ra y − x ∈ K hay (y − x)(t) ≥ 0, ∀t ∈ [a, b]. Suy ra
x(t) ≤ y(t), ∀t ∈ [a, b]. Khi đó, quan hệ ” ≤ ” là một quan hệ sắp thứ
tự trong không gian C
[a,b]
.
Mặt khác, với hai phần tử tùy ý của không gian C
[a,b]
có thể không có
quan hệ ” ≤ ”, chẳng hạn x(t) = t − a, y(t) = b − t, ∀t ∈ [a, b] ta có
x−y /∈ K vì (x−y)(a) = a−b < 0 và y −x /∈ K vì (y −x)(b) = a−b < 0
do vậy ta không có x ≤ y và không có y ≤ x.
Không gian Banach thực C
[a,b]
cùng với quan hệ sắp thứ tự được định
nghĩa ở trên trở thành không gian Banach nửa sắp thứ tự theo nón K.
1.1.4 Các phần tử u
0

- đo được và không gian E
u
0
1.1.4.1. Định nghĩa và tính chất
Định nghĩa 1.1.4.1. Giả sử E là một không gian Banach nửa sắp thứ
tự theo nón K, u
0
∈ K\{θ}. Phần tử x ∈ E được gọi là u
0
- đo được
nếu tồn tại số không âm t sao cho −tu
0
≤ x ≤ tu
0
. Tập hợp các phần tử
u
0
- đo được trong E kí hiệu là E
u
0
.
Định lý 1.1.4.2. Giả sử E là không gian Banach nửa sắp thứ tự theo
nón K, u
0
∈ K\{θ}. Khi đó E
u
0
là không gian tuyến tính thực con của
không gian E.
Chứng minh. ∀x, y ∈ E

u
0
, tồn tại các số không âm t, t

sao cho
tu
0
≤ x ≤ tu
0
và − t

u
0
≤ y ≤ t

u
0
.
Khi đó có
−(t + t

)u
0
≤ x + y ≤ (t + t

)u
0
.
24