Một ước lượng về số các giá trị riêng theo chuẩn schatten và áp dụng vào toán tử schrodinger

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2




NGUYỄN HƯƠNG GIANG




MỘT ƯỚC LƯỢNG VỀ SỐ CÁC GIÁ TRỊ RIÊNG
THEO CHUẨN SCHATTEN VÀ ÁP DỤNG
VÀO TOÁN TỬ SCHRÖDINGER


Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 60 46 01 02


LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. TẠ NGỌC TRÍ

HÀ NỘI, 2014

Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Tạ Ngọc Trí, người đã giúp
đỡ tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau đại học, các
thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học
Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập.
Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn
bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong
quá trình học tập để hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 8 năm 2014
Nguyễn Hương Giang
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Tạ Ngọc Trí, luận văn
Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Một ước lượng về số
các giá trị riêng theo chuẩn Schatten và áp dụng vào toán tử
Schr¨odinger” được hoàn thành bởi nhận thức của bản thân tác giả.
Trong quá trình nghiên cứu viết luận văn, tác giả đã kế thừa những
thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 8 năm 2014
Nguyễn Hương Giang
3
Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1. Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2. Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3. Toán tử tự liên hợp trong không gian Hilbert . . . . . . 7
1.4. Toán tử tuyến tính bị chặn . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5. Phổ của toán tử tuyến tính bị chặn. . . . . . . . . . 13
1.6. Toán tử tuyến tính không bị chặn . . . . . . . . . . 16
1.7. Phổ của toán tử tuyến tính không bị chặn. . . . . . . . 19
Chương 2. Toán tử Schr¨odinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1. Định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.1. Phép biển đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.2. Toán tử Schr¨odinger tự do. . . . . . . . . . . . 28
2.2. Phổ của toán tử Schr¨odinger trong một số trường hợp . 31
2.2.1. Toán tử Schr¨odinger dạng H
0
+ V . . . . . . . . . . . 31
2.2.2. Toán tử Schr¨odinger dạng −∆ −
λ
|x|
. . . . . . . . . . 32
2.2.3. Toán tử Schr¨odinger dạng −
N

j=1
∆
j
+
N

j<k
V
j,k

(x
j
− x
k
) 36
Chương 3. Một ước lượng về số các giá trị riêng theo chuẩn
Schatten và áp dụng vào toán tử Schr¨odinger . . . . . . . . . . . . 46
3.1. Bất đẳng thức giá trị riêng dưới dạng chuẩn vết trên nửa nhóm
sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2. Bất đẳng thức giá trị riêng dưới dạng chuẩn Hilbert-Schmidt trên
nửa nhóm sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3. Áp dụng vào toán tử Schr¨odinger. . . . . . . . . . . 60
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
1
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Nghiên cứu về phổ của toán tử Schr¨odinger đã và đang thu hút được sự
quan tâm của nhiều nhà toán học. Việc nghiên cứu này sử dụng nhiều
kết quả khác nhau trong giải tích hàm và lý thuyết phổ.
Luận văn này tìm hiểu bài toán như sau: Giả sử A là một toán tử tự
liên hợp với phổ không âm, giả sử B là một toán tử tự liên hợp khác sao
cho hiệu của các D
t
= e
tA
− e
tB
là các toán tử thuộc lớp vết. Vấn đề ở
đây là đi xác định cận trên của số các giá trị riêng âm của toán tử tự

liên hợp B dưới dạng chuẩn Schatten của D
t
. Khi có được các ước lượng
với cận trên đó chúng ta có thể nghiên cứu trường hợp khi mà A = −∆
và B = −∆ + V hay nói cách khác cận trên của các ước lượng về số các
giá trị riêng âm của toán tử Schr¨odinger.
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về lý thuyết phổ, đặc biệt là về bất
đẳng thức giá trị riêng dưới dạng chuẩn Schatten, cùng với sự giúp đỡ
tận tình của TS. Tạ Ngọc Trí tôi đã chọn nghiên cứu đề tài:
“Một ước lượng về số các giá trị riêng theo chuẩn Schatten và
áp dụng vào toán tử Schr¨odinger”
Nội dung của các nghiên cứu trên cũng là nội dung chính được trình bày
trong bài báo: [5] Michael Demuth and Guy Katriel (2008), “Eigenvalue
Inequalities in Terms of Shatten Norm Bounds on Differences of Semi-
groups, and Application to Schr¨odinger Operators”, Ann. Henri Poincaré
2
9, 817 - 834.
2. Mục đích nghiên cứu
• Tìm hiểu về một số kết quả liên quan đến toán tử Schr¨odinger, phổ
của toán tử Schr¨odinger trong một số trường hợp.
• Chứng minh các bất đẳng thức giá trị riêng dưới dạng chuẩn Schat-
ten và áp dụng kết quả vào toán tử Schr¨odinger.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
• Trình bày các định nghĩa, các ví dụ cụ thể về toán tử Schr¨odinger,
phổ của toán tử Schr¨odinger.
• Chỉ ra một số các kết quả liên quan đến phổ của toán tử Schr¨odinger.
• Phát biểu và chứng minh các bất đẳng thức giá trị riêng dưới dạng
chuẩn Schatten.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Đối tượng nghiên cứu: Toán tử Schr¨odinger, phổ của toán tử Schr¨odinger

và các bất đẳng thức giá trị riêng dưới dạng chuẩn Schatten.
• Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, các bài báo liên quan tới toán
tử Schr¨odinger, phổ của toán tử Schr¨odinger, một số bất đẳng thức
giá trị riêng dưới dạng chuẩn Schatten.
3
5. Phương pháp nghiên cứu
• Sử dụng các kiến thức và phương pháp của giải tích hàm để tiếp
cận vấn đề.
• Sử dụng các kiến thức trong lý thuyết phổ, lý thuyết toán tử, toán
tử tuyến tính bị chặn, toán tử trong không gian Hilbert; đại số
Banach.
6. Dự kiến đóng góp
• Nêu các định nghĩa, ví dụ về toán tử Schr¨odinger và phổ của toán
tử Schr¨odinger.
• Chỉ ra các kết quả liên quan đến phổ của toán tử Schr¨odinger.
• Các bất đẳng thức giá trị riêng dưới dạng chuẩn Schatten và áp
dụng vào toán tử Schr¨odinger.
4
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1. Không gian Banach
Định nghĩa 1.1.1. Cho X là một không gian vectơ trên trường số K
(K = R hoặc K = C). Một ánh xạ p : X → R được gọi là một chuẩn
trên X nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau
(i) p(x) ≥ 0 với mọi x ∈ X;
p(x) = 0 ⇔ x = θ (θ là kí hiệu phần tử không trong X);
(ii) p(λx) = |λ|p(x) với mọi số λ ∈ K và mọi x ∈ X;
(iii) p(x + y) ≤ p(x) + p(y) với mọi x, y ∈ X.
Số p(x) được gọi là chuẩn (hay độ dài) của vectơ x, thông thường ta kí
hiệu x thay cho p(x).

Không gian vectơ X cùng với chuẩn · trong nó được gọi là một không
gian định chuẩn, kí hiệu (X, ·).
Mệnh đề 1.1.2. Giả sử X là không gian định chuẩn. Với mọi x, y ∈ X,
đặt
ρ(x, y) = (x −y).
Khi đó, ρ là một metric trên X.
5
Định nghĩa 1.1.3. Dãy (x
n
) trong không gian định chuẩn X được gọi
là hội tụ đến x
0
∈ X nếu
lim
n→∞
x
n
− x
0
 = 0.
Khi đó, ta kí hiệu
lim
n→∞
x
n
= x
0
hoặc x
n
→ x

0
, khi n → ∞.
Mệnh đề 1.1.4. Dãy (x
n
) trong không gian định chuẩn X được gọi là
một dãy cơ bản (hay dãy Cauchy) nếu
lim
m,n→∞
x
m
− x
n
 = 0.
Định nghĩa 1.1.5. Không gian metric được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy
Cauchy đều hội tụ.
Định nghĩa 1.1.6. Giả sử không gian định chuẩn X là không gian
metric đầy đủ (với khoảng cách ρ(x, y) = (x − y)). Khi đó X được gọi
là một không gian định chuẩn đầy đủ, hay còn gọi là không gian Banach.
1.2. Không gian Hilbert
Định nghĩa 1.2.1. Cho H là một không gian vectơ trên trường số C
(gọi tắt là không gian vectơ phức).
Ánh xạ
H × H → C
(x, y) → x, y
được gọi là một tích vô hướng trên H nếu nó thỏa mãn các điều kiện
sau:
6
(i) x, x ≥ 0 với mọi x ∈ H;
x, x = 0 ⇔ x = θ ( θ là kí hiệu phần tử không trong H );
(ii) y, x = x, y với mọi x, y ∈ H;

(iii) x + x

, y = x, y + x

, y với mọi x, x

, y ∈ H;
(iv) λx, y = λ x, y với mọi x ∈ H, mọi số λ ∈ C.
Các phần tử x, x

, y gọi là các nhân tử của tích vô hướng, số x, y gọi
là tích vô hướng của hai nhân tử x và y.
Định nghĩa 1.2.2. Cho H là một không gian vectơ trên trường số C.
Ánh xạ B : H × H → C được gọi là một dạng tuyến tính rưỡi nếu
B(x
0
, ·) là tuyến tính, B(·, y
0
) là liên hợp tuyến tính:
B(x + y, z + w) = B(x, z) + B(x, w) + B(y, z) + B(y, w),
B(ax, by) = a
¯
bB(x, y)
với mọi x, y, z, w ∈ H, a, b ∈ C.
Định nghĩa 1.2.3. Không gian vectơ phức H được trang bị một dạng
tuyến tính rưỡi ·, · thỏa mãn x, x > 0 với mọi x ∈ H \{θ}, được gọi
là không gian có tích vô hướng (θ kí hiệu là phần tử không trong H).
Khi đó, ·, · gọi là tích vô hướng trên H. Không gian có tích vô hướng
còn gọi là không gian tiền Hilbert.
Cho H là không gian tiền Hilbert. Với mỗi x ∈ H, ta đặt x =


x, x.
Khi đó, ta có bất đẳng thức (Cauchy–Schwarz)
|x, y| ≤ xy, ∀x, y ∈ H.
Từ bất đẳng thức trên ta suy ra kết quả sau
7
Mệnh đề 1.2.4. Mọi không gian tiền Hilbert đều là không gian định
chuẩn, với chuẩn
x =

x, x.
Từ đây về sau, nếu không nói khác đi, ta luôn hiểu không gian tiền
Hilbert là không gian định chuẩn, với chuẩn x =

x, x.
Định nghĩa 1.2.5. Nếu không gian tiền Hilbert H với metric cho bởi
ρ(x, y) = (x, y) là một không gian metric đủ, thì H được gọi là không
gian Hilbert.
Từ đây trở đi, H sẽ luôn hiểu là không gian Hilbert.
1.3. Toán tử tự liên hợp trong không gian Hilbert
Định nghĩa 1.3.1. Cho H và K là các không gian Hilbert trên K, kí hiệu
B(H, K) là tập các toán tử bị chặn trên H và K, toán tử A ∈ B(H, K).
Khi đó tồn tại duy nhất toán tử A
∗
∈ B(H, K) sao cho Ah, k
K
=
h, A
∗
k

K
với ∀h ∈ H, k ∈ K.
Toán tử A
∗
được gọi là toán tử liên hợp của toán tử A. Trong trường
hợp H = K và A = A
∗
ta nói A là toán tử tự liên hợp.
1.4. Toán tử tuyến tính bị chặn
Định nghĩa 1.4.1. Cho X, Y là các không gian vectơ định chuẩn trên
trường số K, ánh xạ T : X → Y tuyến tính nếu
T (αx + βy) = α(T x) + β(T y)
8
với mọi x, y ∈ X và α, β ∈ K.
Ta nói rằng ánh xạ tuyến tính T là một toán tử tuyến tính bị chặn nếu
tồn tại hằng số C > 0 sao cho
T x
Y
≤ Cx
X
với mọi x ∈ X.
Số C nhỏ nhất thỏa mãn bất đẳng thức trên được gọi là chuẩn của T ,
kí hiệu là T . Do đó,
T  = sup
x
X
=1
T x
Y
.

Khi X = Y thì T gọi là toán tử trên X. Khi Y = K thì toán tử tuyến
tính T được gọi là phiếm hàm tuyến tính.
Mệnh đề 1.4.2. Cho T là toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn
X vào không gian định chuẩn Y . Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương
(i) T bị chặn;
(ii) T liên tục;
(iii) T liên tục tại điểm gốc θ.
Định nghĩa 1.4.3. Cho hai không gian định chuẩn X và Y . Ta kí hiệu
L(X, Y ) là tập tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian X
vào không gian Y . Xét A, B là hai toán tử thuộc L(X, Y ), khi đó ta đưa
vào L(X, Y ) hai phép toán
• Tổng của hai toán tử A, B ∈ L(X, Y ) là một toán tử, kí hiệu là
A + B và được xác định bởi biểu thức
9
(A + B)(x) = Ax + Bx với mọi x ∈ X;
• Tích vô hướng của α ∈ C với toán tử A ∈ L(X, Y ) là một toán tử,
kí hiệu là αA và được xác định bởi biểu thức
(αA)(x) = α(Ax).
Dễ dàng kiểm tra được rằng A + B ∈ L(X, Y ), αA ∈ L(X, Y ) và hai
phép toán trên thỏa mãn các tiên đề của không gian vectơ. Khi đó, tập
L(X, Y ) trở thành một không gian vectơ trên trường C. Trong trường
hợp Y = C thì L(X, C) được gọi là không gian liên hợp của X, kí hiệu
là X
∗
. Nếu Y = X thì L(X, Y ) được kí hiệu gọn lại là L(X).
Chuẩn T trong L(X, Y ) được xác định bởi
T  = sup
x=θ
T x
Y

x
X
, x ∈ X.
Không gian L(X, Y ) với chuẩn vừa nêu là một không gian định chuẩn.
Từ định nghĩa trên dễ thấy chuẩn của toán tử có các tính chất
(i) T x ≤ T x với mọi x ∈ X;
(ii) Với mọi ε > 0, tồn tại x
ε
∈ X : T  − ε < T x
ε
.
Mệnh đề 1.4.4. Nếu Y là đầy đủ thì L(X, Y ) là không gian Banach.
Từ mệnh đề trên suy ra X
∗
luôn là không gian Banach (vì C là không
gian đầy đủ).
Định lý 1.4.5 ([9], Theorem VI.1, tr. 184). Kí hiệu L(H) là tập các
toán tử bị chặn trên không gian Hilbert H. Cho T
n
là một dãy các toán
tử bị chặn và giả sử (T
n
x, y) hội tụ khi n → ∞ với mọi x, y ∈ H. Khi
đó tồn tại T ∈ L(H) sao cho T
n
w
−→ T (hội tụ yếu).
10
Nếu một dãy các toán tử T
n

trên không gian Hilbert có tính chất T
n
x
hội tụ với mọi x ∈ H, khi đó tồn tại T ∈ L(H) sao cho T
n
s
−→ T (hội tụ
mạnh).
Cho T ∈ L(X, Y ). Tập các vectơ x ∈ X sao cho T x = 0 được gọi là
nhân của T , kí hiệu là Ker(T ) = {x ∈ X|T x = 0}. Tập các vectơ y ∈ Y
sao cho y = T x với x ∈ X được gọi là miền giá trị của T , kí hiệu là
Ran(T ) = {y = T x|x ∈ X}. Ta có Ker(T ) và Ran(T) là các không gian
con.
Định nghĩa 1.4.6. Cho X và Y là hai không gian Banach, T là toán
tử tuyến tính bị chặn từ X vào Y . Toán tử liên hợp (trong không gian
Banach) của T , kí hiệu là T

, là toán tử tuyến tính bị chặn từ Y
∗
tới X
∗
được cho bởi công thức
(T

)(x) = (T x)
với ∀ ∈ Y
∗
, x ∈ X.
Định lý 1.4.7 ([9], Theorem VI.2, tr. 186). Cho X, Y là hai không gian
Banach. Ánh xạ T → T


là một phép đẳng cấu đẳng cự của L(X, Y ) vào
L(Y
∗
, X
∗
).
Đặc biệt, T là phép biến đổi tuyến tính bị chặn từ không gian Hilbert H
vào chính nó. Khi đó liên hợp không gian Banach của T là ánh xạ từ H
∗
tới H
∗
. Cho C : H → H
∗
là ánh xạ ứng với mỗi y ∈ H, là phiếm hàm
tuyến tính bị chặn (y, ·) trong H
∗
. Xét C là một phép đẳng cự tuyến
tính liên hợp và toàn ánh. Ta định nghĩa ánh xạ T
∗
: H → H bởi công
thức
T
∗
= C
−1
T

C.
11

Khi đó T
∗
thỏa mãn
(x, T y) = (Cx)(T y) = (T

Cx)(y) = (C
−1
T

Cx, y) = (T
∗
x, y).
T
∗
được gọi là liên hợp (trong không gian Hilbert) của T nhưng chúng
ta thường gọi là liên hợp và kí hiệu là T
∗
để phân biệt với T

. Chú ý
rằng ánh xạ T → T
∗
là tuyến tính liên hợp nghĩa là αT → αT
∗
, do C là
tuyến tính liên hợp.
Định lý 1.4.8 ([9], Theorem VI.3, tr. 186). Cho L(H) là tập tất cả các
toán tử tuyến tính bị chặn trên H. Với mọi T, S ∈ L(H) ta có
(a) T → T
∗

là phép đẳng cấu đẳng cự tuyến tính liên hợp từ L(H) lên
L(H);
(b) (T S)
∗
= S
∗
T
∗
;
(c) (T
∗
)
∗
= T ;
(d) Nếu T có toán tử ngược bị chặn T
−1
thì T
∗
có toán tử ngược bị chặn
và (T
∗
)
−1
= (T
−1
)
∗
;
(e) Ánh xạ T → T
∗

luôn liên tục trong tôpô toán tử yếu và đều nhưng
nó chỉ liên tục trong tôpô toán tử mạnh nếu H là hữu hạn chiều;
(f) T
∗
T  = T
2
.
Định nghĩa 1.4.9. Toán tử bị chặn T trong không gian Hilbert được
gọi là tự liên hợp nếu T = T
∗
.
Định nghĩa 1.4.10. Nếu P ∈ L(H) và P
2
= P thì P được gọi là một
phép chiếu. Nếu thêm điều kiện P = P
∗
thì P được gọi là phép chiếu
trực giao.
12
Định nghĩa 1.4.11. Cho X là không gian Banach, L(X) tà tập các
toán tử tuyến tính bị chặn trên X. Toán tử A ∈ L(X) được gọi là khả
nghịch nếu tồn tại toán tử B ∈ L(X) sao cho AB = BA = 1 (1 là toán
tử đơn vị trong X). Khi đó, toán tử B được gọi là toán tử ngược của A
và kí hiệu là B = A
−1
.
Định lý 1.4.12. Nếu A ∈ L(X) là một toán tử tuyến tính thỏa mãn
A < 1, thì toán tử (1 −A) là khả nghịch.
Định lý 1.4.13. Nếu toán tử A, B ∈ L(X) là khả nghich thì tích AB
cũng khả nghịch và

(AB)
−1
= B
−1
A
−1
.
Định lý 1.4.14. Nếu toán tử A ∈ L(X) khả nghịch và toán tử B ∈ L(X)
sao cho
A − B <
1
A
−1

thì toán tử B khả nghịch.
Định nghĩa 1.4.15. Toán tử T được gọi là compact nếu nó liên tục và
biến mỗi tập bị chặn thành tập compact tương đối, nghĩa là: Nếu M là
tập bị chặn thì T (M) là compact tương đối (T(M) compact).
Định nghĩa 1.4.16. Toán tử Hilbert–Schmidt T là toán tử trên H thỏa
mãn tính chất
∞

n=1
T e
n

2
< ∞,
với {e
1

, , e
n
, } là một cơ sở trực chuẩn của H.
Toán tử Hilbert–Schmidt không chỉ là toán tử bị chặn mà còn compact.
13
1.5. Phổ của toán tử tuyến tính bị chặn
Định nghĩa 1.5.1. Cho X là không gian Banach trên trường số C,
L(X) là tập các toán tử tuyến tính bị chặn trên X, toán tử T ∈ L(X).
Toán tử T được gọi là khả nghịch nếu tồn tại toán tử T

∈ L(X) sao cho
T T

= T

T = 1. Tập các toán tử khả nghịch của L(X) được ký hiệu là
L(X)
−1
.
Phổ của toán tử T kí hiệu là σ(T ) là tập tất cả các số phức λ sao cho
(T − λ1) /∈ L(X)
−1
, trong đó 1 là toán tử đơn vị trong X.
Định nghĩa 1.5.2. Cho T ∈ L(H). Tập hợp giải được của T xác định
bởi
ρ(T ) =

λ ∈ C|(T −λ1)
−1
∈ L(H)


(1.1)
Chính xác hơn, số phức λ ∈ ρ(T ) khi và chỉ khi (T −λ1) là song ánh với
toán tử ngược bị chặn. Phần bù của tập giải được chính là phổ. Tức là
σ(T ) = C\ρ(T ). (1.2)
Đặc biệt, λ ∈ σ(T ) nếu (T − λ1) có hạt nhân không tầm thường. Một
vectơ ψ ∈ Ker(T − λ1) được gọi là vectơ riêng và λ được gọi là giá trị
riêng trong trường hợp đó.
Hàm
R
T
: ρ(T ) → L(H)
λ → (T − λ1)
−1
được gọi là giải được của T tại λ. Ta có công thức sau
R
T
(λ)
∗
= ((T − λ1)
−1
)
∗
= ((T − λ1)
∗
)
−1
= (T
∗
− λ

∗
)
−1
= R
A
∗
(λ
∗
).
14
Đặc biệt,
ρ(T
∗
) = ρ(T )
∗
.
Định nghĩa 1.5.3. Cho T ∈ L(X).
(a) x = θ, x ∈ X thỏa mãn Tx = λx với λ ∈ C được gọi là vectơ riêng
của T , λ tương ứng được gọi là giá trị riêng. Nếu λ là một giá trị
riêng thì T − λ1 không là đơn ánh do đó λ thuộc phổ của T . Tập
các giá trị riêng được gọi là phổ điểm của T, kí hiệu là σ
p
(T );
(b) Nếu λ không là giá trị riêng và nếu Ran(T − λ1) không trù mật thì
λ thuộc phổ dư;
(c) Phổ rời rạc, kí hiệu σ
d
(T ) là tập các giá trị riêng bị cô lập với số
bội hữu hạn. Khi T là toán tử liên hợp thì
σ

d
(T ) =

λ ∈ σ
p
(T )|rank(P
T
(λ − ε, λ + ε)) < ∞ với mỗi ε > 0

;
(d) Phổ thiết yếu σ
ess
(T ) = σ(T )\σ
d
(T ), khi T là toán tử tự liên hợp
thì
σ
ess
(T ) =

λ ∈ R|rank(P
T
(λ − ε, λ + ε)) = ∞ với mỗi ε > 0

.
Định lý 1.5.4 ([13], Theorem 2.14, tr. 70). Tập giải được ρ(T ) là tập
mở và R
T
: ρ(T ) → L(H) là hàm giải tích, nghĩa là có khai triển chuỗi
lũy thừa hội tụ tuyệt đối quanh điểm λ

0
∈ ρ(T ). Thêm vào đó
R
T
(λ) ≥ disk(λ, σ(T ))
−1
và nếu T bị chặn thì ta có {λ ∈ C||λ| > T} ⊆ ρ(T ).
15
Bổ đề 1.5.5 ([13], Lemma 2.15, tr. 71). Ta có λ ∈ σ(T ) nếu tồn tại dãy
(ψ
n
) ∈ D(T ) thỏa mãn ϕ
n
 = 1 và (T − λ)ψ
n
 → 0. Nếu λ là điểm
biên của ρ(T ) thì điều ngược lại vẫn đúng. Dãy (ψ
n
) có tính chất như
trên được gọi là dãy Weyl.
Một số kết quả về ánh xạ phổ
Bổ đề 1.5.6 ([13], Lemma 2.16, tr. 71). Giả sử T là đơn ánh. Khi đó
σ(T
−1
)\{0} = (σ(T )\{0})
−1
.
Ngoài ra ta có Tψ = λψ khi và chỉ khi T
−1
ψ = λ

−1
ψ, λ = 0.
Định lý 1.5.7 ([13], Theorem 2.17, tr. 71). Cho T là toán tử đối xứng.
Khi đó T là toán tử tự liên hợp khi và chỉ khi σ(T ) ⊆ R và (T −X) ≥ 0,
X ∈ R khi và chỉ khi σ(T ) ⊆ [X, ∞]. Hơn nữa R
T
(λ) ≤ |Im(λ)|
−1
nếu
(T − E)  0; R
T
(λ) ≤ |λ − X|
−1
nếu λ < X.
Định lý 1.5.8 ([13], Theorem 2.18, tr. 72). Cho T là toán tử tự liên
hợp. Khi đó
inf σ(T ) = inf
ψ∈D(T ),ψ=1
ψ, T ψ
và
sup σ(T ) = sup
ψ∈D(T ),ψ=1
ψ, T ψ.
Định lý 1.5.9 ([13], Theorem 2.19, tr. 72). Cho T là toán tử đối xứng.
Khi đó tất cả các giá trị riêng là thực và các vectơ riêng tương ứng với
các giá trị riêng này trực giao.
Định lý 1.5.10 ([13], Theorem 2.20, tr. 72). Giả sử T là toán tử đối
xứng có cơ sở trực chuẩn của các hàm riêng {ϕ
j
}. Khi đó T là toán tử

tự liên hợp thiết yếu. Đặc biệt, nó tự liên hợp thiết yếu trên span(ϕ
j
).
16
1.6. Toán tử tuyến tính không bị chặn
Không phải tất cả toán tử trong vật lí toán học đều bị chặn. Những toán
tử không bị chặn không thể xác định khắp nơi trên toàn bộ không gian.
Định lý 1.6.1 (Hellinger–Toeplitz, [9], tr. 84). Cho T là toán tử tuyến
tính xác định khắp nơi trên không gian Hilbert H thỏa mãn ϕ, Tψ =
T ϕ, ψ, với mọi ϕ, ψ ∈ H. Khi đó T bị chặn.
Như vậy, kết quả trên cho thấy rằng toán tử tuyến tính không bị chặn
T sẽ chỉ xác định trên một tập con tuyến tính trù mật của không gian
Hilbert H. Do đó, một toán tử trên không gian Hilbert H là ánh xạ
tuyến tính từ miền của nó (một không gian con tuyến tính của H) vào
H. Trừ khi ta chỉ định nếu không, ta sẽ luôn giả thiết rằng miền đó là
trù mật. Không gian con đó được kí hiệu là D (T ), gọi là miền của toán
tử T.
Nếu toán tử tuyến tính T : H → H bị chặn thì tồn tại hằng số C > 0
sao cho T x ≤ C x, với mọi x ∈ H.
Toán tử không bị chặn T là một ánh xạ tuyến tính xác định trên miền
D(T ) ⊆ H sao cho tồn tại một dãy số {x
j
}, x
j
∈ D(T ), x
j
 = 1, j =
1, 2, và T x
j
 → ∞. Ta thường xét D(T ) là tập con tuyến tính trù

mật trong H : D(T ) = H.
Định nghĩa 1.6.2. Cho T là toán tử không bị chặn xác định trên
miền D(T ) của không gian Hilbert. Ta nói T đóng nếu với mỗi x
j
∈
D(T ), x
j
→ x và T x
j
→ y, thì x ∈ D(T ) và Tx = y.
Toán tử T

là một mở rộng của T (tức là T ⊂ T

) nếu D(T ) ⊆ D(T

)
17
và T x = T

x với mọi x ∈ D(T ). Hơn nữa, ta nói T là đóng được nếu T
có một mở rộng đóng. Khi đó, mỗi toán tử đóng được có một mở rộng
đóng nhỏ nhất, được gọi là bao đóng của nó và kí hiệu là T . Nếu toán
tử T đóng được, lõi của T là tập con của D(T ) sao cho bao đóng của T
hạn chế trên tập này chính là T .
Định nghĩa 1.6.3. Cho T là toán tử không bị chặn xác định trên D(T )
của không gian Hilbert H. Kí hiệu D(T
∗
) là tập các phần tử y ∈ H mà
tồn tại phần tử z ∈ H sao cho với mọi x ∈ D(T ) ta có

T x, y = x, z.
Với mỗi y ∈ D(T
∗
), ta đặt T
∗
y = z và toán tử T
∗
này được gọi là toán
tử liên hợp của T .
Định lý 1.6.4 ([9],Theorem VIII.1, tr. 252). Cho T là toán tử không bị
chặn xác định trên D(T ) của không gian Hilbert H. Khi đó
(a) T
∗
là đóng;
(b) T đóng được nếu và chỉ nếu D(T
∗
) trù mật trong H, trường hợp
này T = T
∗∗
;
(c) Nếu T đóng được thì (T)
∗
= T
∗
.
Định nghĩa 1.6.5. Toán tử không bị chặn T được gọi là đối xứng nếu
T ⊂ T
∗
, nghĩa là nếu D(T ) ⊂ D(T
∗

) và T ϕ = T
∗
ϕ với mọi ϕ ∈ D(T ).
Tương đương, T là đối xứng khi và chỉ khi T ϕ, ψ = ϕ, T ψ với mọi
ϕ, ψ ∈ D(T ).
18
Định nghĩa 1.6.6. T được gọi là tự liên hợp nếu T đối xứng và D(T ) =
D(T
∗
).
Một toán tử đối xứng luôn luôn đóng được, vì D(T
∗
) ⊃ D(T ) là trù mật
trong H. Nếu T đối xứng, T
∗
mở rộng đóng của T , vậy thì toán tử nhỏ
nhất mở rộng đóng T
∗∗
của T phải chứa trong T
∗
. Do đó, với toán tử
đối xứng ta có
T ⊂ T
∗∗
⊂ T
∗
với toán tử đóng đối xứng
T = T
∗∗
⊂ T

∗
và với toán tử tự liên hợp
T = T
∗∗
= T
∗
Từ đó có thể dễ dàng thấy được một toán tử đối xứng đóng T là tự liên
hợp khi và chỉ khi T
∗
đối xứng.
Định nghĩa 1.6.7. Một toán tử đối xứng T được gọi là tự liên hợp thiết
yếu nếu bao đóng T là tự liên hợp.
Định lý 1.6.8 ([9], Theorem VIII.3, tr. 256). Cho T là toán tử đối xứng
trên không gian Hilbert H. Khi đó ba mệnh đề sau là tương đương
(a) T là tự liên hợp;
(b) T đóng và Ker(T
∗
± i) = {0};
(c) Ran(T ± i) = H.
19
Hệ quả 1.6.9 ([9], Corollary, tr. 257). Cho T là toán tử đối xứng trên
không gian Hilbert. Khi đó các điều sau tương đương
(a) T là tự liên hợp thiết yếu;
(b) Ker(T
∗
± i) = {0};
(c) Ran(T ± i) trù mật.
Định lý 1.6.10 (Kato–Rellich, [14], Theorem 1.11.2, tr. 21). Giả sử T
1
tự liên hợp, T

2
đối xứng với D(T
1
) ⊆ D(T
2
). Giả sử tồn tại a, b với a < 1
thỏa mãn
T
2
x ≤ a T
1
x + b x,
với mọi x ∈ D(T
1
). Khi đó, toán tử T
1
+ T
2
tự liên hợp trên D(T
1
) và tự
liên hợp thiết yếu trên miền lõi bất kỳ của T
1
.
Toán tử T
2
trong định lý Kato–Rellich có thể được coi như toán tử nhiễu
của T
1
.

1.7. Phổ của toán tử tuyến tính không bị chặn
Định nghĩa 1.7.1. Cho T là toán tử không bị chặn trong H. Ta nói
một số phức ρ là một phần tử của tập hợp giải được của T nếu T − ρ1
là song ánh từ D(T ) lên H với phép biến đổi ngược bị chặn, 1 là toán
tử đơn vị.
Định nghĩa 1.7.2. Phổ của toán tử T , kí hiệu bởi σ(T ) là tập các số
phức không thuộc vào tập giải được của T . Mỗi giá trị riêng của T đều
thuộc σ(T ). Phổ rời rạc của T , kí hiệu bởi σ
d
(T ) là tập các giá trị riêng
20
bị cô lập với số bội hữu hạn. Phổ thiết yếu của T , kí hiệu bởi σ
ess
(T ) là
tập σ(T )\σ
d
(T ).
Như ta đã biết tập phổ của một toán tử bị chặn là bị chặn. Tuy nhiên
điều này không đúng trong trường hợp toán tử không bị chặn (xem chi
tiết, [4]).
Có một phương pháp khác để xác định toán tử tự liên hợp mở rộng của
một số loại toán tử không bị chặn. Đó là thông qua dạng toàn phương.
Định nghĩa 1.7.3. Dạng toàn phương là một ánh xạ q : Q(q) ×Q(q) →
C, trong đó Q(q) là tập con tuyến tính trù mật của H, được gọi là miền
hình thức, sao cho q(x, ·) tuyến tính và q(·, y) liên hợp tuyến tính với
mọi x, y ∈ Q(q).
Ta tóm lược cách làm thế nào để liên kết một dạng toàn phương và một
toán tử không bị chặn. Trước hết ta chú ý tới định nghĩa toán tử dương
mở rộng tới toán tử không bị chặn. Ta nói rằng toán tử T dương, kí hiệu
T ≥ 0, nếu T đối xứng và T x, x ≥ 0 với mọi x ∈ D(T ). Với mỗi toán

tử dương T ta có thể xác định một tích vô hướng x, y
T
trên D(T ) bởi
x, y
T
= T x, y + x, y.
Nếu ta kí hiệu Q(T) là mở rộng của D(T ) ứng với chuẩn ·
T
cảm sinh
bởi tích vô hướng trên thì D(T ) ⊆ Q(T ) ⊂ H. Thật vậy, ta thấy rằng
nếu {x
j
} là dãy Cauchy trong D(T ) thì nó cũng là dãy Cauchy trong H
do x ≤ x
T
. Từ đó, ta có thể đồng nhất giới hạn trong Q(T ) với giới
hạn trong H. Do đó dạng toàn phương liên hợp với T kí hiệu bởi q
T
có