Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của hệ Grandient trong không gian vô hạn chiều

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2
HOÀNG THỊ HONG TUYET
Sự TỒN TẠI VÀ TÍNH DUY NHAT NGHIỆM CỦA HỆ
GRADIENT TRONG KHÔNG GIAN
VÔ HẠN CHIỀU
Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60 46 01 02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học
TS. Trần Văn Bằng
Hà Nội, 2014
Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới các thầy cô giáo,
đặc biệt là TS. Trần Văn Bằng, những người đã định hướng chọn đề tài và tận
tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến ban lãnh đạo, các thầy cô giáo,
cán bộ, nhân viên trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong
suốt quá trình học tập tại trường.
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn
động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành
luận văn.
Hà Nội, tháng 7 năm 2014 Tác giả
Lời cam đoan
Luận văn này là kết quả của bản thân tôi đạt được trong quá trình học tập và nghiên cứu,
dưới sự hướng dẫn của TS. Trần Văn Bằng và sự giúp đỡ của các Thầy, Cô trong khoa
Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 và của các Thầy, Cô đã trực tiếp giảng dạy chúng
tôi.
Trong khi nghiên cứu, hoàn thành bản Luận văn này tôi đã tham khảo một số tài liệu đã
ghi trong phần tài liệu tham khảo.
Tôi xin khẳng định kết quả của đề tài “Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của hệ
Gradient trong không gian vô hạn chiều” không có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài
khác.

Hà Nội, tháng 1 năm 2014 Tác giả
Mục lục
Mở đầu Chương 1.
Kiến thức chuẩn bị
1.1.
3
3
6
9
11
21
21
24
27
1.1.1.
1.1.2.
1.1.3.
1.1.3.
1.2.
1.2.1.
1.2.2.
1.3.
Không gian Bochner - Sobolev trên không gian một chiều
Không gian Bochner-Sobolev và Bochner-Lebesgue
Hệ gradient trong không gian hữu hạn chiều
Liên hệ đối với hệ phương trình đại số
Gradient Euclidean của hàm trên M
d
Hệ gradient tổng quát trong R
d

Không gian Bochner - Lebesgue
Hệ gradient Euclidean
Tích phân Bochner
Hoàng Thị Hồng Tuyết
Sự tồn tại và nghiệm của hệ gradient trong không
Hoàng Thị Hồng Tuyết
Chương 2.
31
31
31


3
5
2.1.
2.1.1.
2.1.2.
Hệ Gradient trong không gian vô hạn chiều
Gradient của dạng toàn phương
gian vô hạn chiều
Khái niệm gradient
2.1.3. Không gian Sobolev trên ri
2.1.4. Toán tử Dirichlet Laplace
2.1.5. Toán tử Dirichlet - p -

Laplace
Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm của hệ gradient
Hệ gradient không autonom
Sự tồn tại và duy nhất nghiệm toàn cục của hệ gradient với
năng lượng lồi

Sự tồn tại và duy nhất nghiệm toàn cục của hệ gradient với
năng lượng elliptic
Kết luận
Tài liệu tham khảo
37
40
43
43
2.2.
2.2.1.
2.2.2.
45
2.2.3.
58
73
74
Mở đầu
Phương trình đạo hàm riêng là một bộ môn quan trọng trong ngành Toán.
Cũng như các môn khoa học khác, nó xuất hiện trên cơ sở phát triển của khoa
học kĩ thuật và những yêu cầu của thực tiễn. Nó đóng vai trò là chiếc cầu nối
giữa toán học và ứng dụng. Phương trình đạo hàm riêng được nghiên cứu theo
nhiều hướng khác nhau và gắn liền với tên tuổi của nhiều nhà toán học nổi
tiếng như: Euler, Dalambert, Lagrange, Laplace, Riemann . Các nhà toán học
đã coi nó là một công cụ quan trọng để mô tả các mô hình Vật lý. Trong
chương trình đào tạo thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích tôi đã được giới thiệu
lý thuyết cơ bản về phương trình đạo hàm riêng tuyến tính, một số cách tiếp
cận phương trình đạo hàm riêng phi tuyến trong không gian hữu hạn chiều,
nhưng chưa có điều kiện nghiên cứu về các phương trình trong không gian vô
hạn chiều. Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về lĩnh vực này, dưới sự hướng
dẫn, giúp đỡ tận tình của TS. Trần Văn Bằng, tôi chọn đề tài: “Sự tồn tại và

tính duy nhất nghiệm của hệ gradient trong không gian vô hạn chiều”.
Luận văn tìm hiểu về:
- Hệ gradient trong không gian hữu hạn chiều, trong không gian vô hạn
chiều.
- Khái niệm nghiệm suy rộng của hệ gradient trong không gian vô hạn
chiều.
Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của hệ gradient trong
không gian vô hạn chiều.
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1. Hệ gradient trong không gian hữu hạn chiều
1.1.1. Gradient Euclidean của hàm trên R
d
Kí hiệu R
d
= {u = (ui, ,Ud)\uị

e M, 1 < ỉ < d}.

Phần tử của M
d

được kí hiệu là u

hoặc (Uị

) hoặc (Wj)i<j<d hoặc (ui, ,Uđ).
Tích vô hướng Euclidean trên M
d
được xác định bởi

d
( u , V ) = { u , v )
e u c
= ^2 U ị V ị , u = ( U i ) , V = ( V ị ) e R
d
.
i=

1
Chuẩn sinh bởi tích vô hướng ||w|| := {u,uỶ ■
Kí hiệu (M
d
y là không gian đối ngẫu của R
d
, tức là không gian tất cả các
phiếm hàm tuyến tính liên tục từ M
d
—>

M. Với u'

G (M
d
)', ta viết
u'(ù) hoặc u'u hoặc (u',u) hay {u
1
, u)(
Rđ
y
R

d
là giá trị của u'

tại điểm u.

Không gian đối ngẫu (M
d
y được trang bị chuẩn
6
Đôi khi ta sử dụng II • II cho cả chuẩn trong và trong (M
d
y. Tương tự (•, •) vừa là
tích vô hướng trong R
d
vừa là cặp đối ngẫu giữa một phần tử của (M
d
y và một phần
tử của
Tính liên tục của hàm từ R
d
hoặc (R
d
y vào R
d
hoặc (R
d
y luôn được hiểu theo các
tôpô sinh bởi chuẩn.
BỔ đề 1.1 (BỔ đề biểu diễn, xem [2j, Định lí 2.13). Với mọi phiếm hàm tuyến
tính u' £ (M

d
y đều có duy nhất một phần tử и E M
d
sao cho:
Theo định nghĩa, nếu 8

là khả vi thì
S(u + h) = s(u) + {u
1
, h) + o(||/i||).
Nói cách khác, hàm h

—»• £{u

+ h)

được xấp xỉ bởi hàm afine h

—»• £{ù) +
(u',h

) với sai số o{\\h\\).

Phiếm hàm v!

biểu diễn số hạng tuyến tính được xác
định một cách duy nhất.
Đạo hàm của £

là hàm S' :

и

—>

(M
d
y cho tương ứng mỗi и

£

и

với
phiếm hàm tuyến tính u'

G (K
d
y xác định bởi (1.2). Ta kí hiệu đạo hàm của £

tại
điểm и

là E'(ù).
Ta nói rằng 8

khả vi liên tục nếu £

là khả vi và đạo hàm 8'

liên tục từ u vào
(K
d
y. Tập tất cả các hàm khả vi liên tục từ и

—>• M là không gian vectơ và được
kí hiệu là c
l
(u).
Với u

€ u, ta nói hàm s có đạo hàm theo hướng h € nếu tồn tại
giới hạn
Nếu h =

e* là vectơ cơ sở chính tắc thì ta goi =: và goi
de ị ƠU ị
là đạo hàm riêng của s

theo U ị . Rõ ràng nếu s

khả vi thì s

có đạo hàm theo mọi
hướng h

G R
d
tại u và:
7

!^(u) = E'(u)h.
Định nghĩa 1.3 (Gradient Euclidean). Cho u c R

d

là tập mở, £:[/—>■ M là hàm
khả vi. Gradient Euclidean của £

là hàm V
euc
£ cho tương ứng mỗi điểm u

G u

với
một phần tử duy nhất V

eu c

E(ù)

€ sao cho
S'(u)v = <v
euc
£(u),v)
cuc
, Vv e ra*. (1.3)
Theo Bố đề biếu diễn (Bố đề 1.1), gradient Euclidean V
eu c

£

xác định
và duy nhất. Nhớ rằng gradient Euclidean của s

tại u

là một phần tử của M
d
(một
véc tơ) khác với đạo hàm £'{u

) là một phần tử của không gian đối ngẫu (M
d
y.
Các bổ đề sau đây là những kết quả quen thuộc của Giải tích cổ điển.
Bổ đề 1.4 (Gradient Euclidean và các đạo hàm riêng). Với mỗi u

€ u,
„ , (dS, , ds . A
Bổ đề 1.5 (Gradient Euclidean và hướng tăng mạnh nhất). Giả sử rằng s là khả
vi tại u G u và £'{ù) Ỷ 0- -^2 tồn tại duy nhất một hướng tăng mạnh
nhất, tức là tồn tại duy nhất một vectơ V e R
d
với IIVII = 1
và:
||£'(u)|| = sup E'(ù)w

= £'{ù)v.
|M|-1

Giả sử V là hướng tăng mạnh nhất, ta có:
v

eu c

£{u)

= ||£'(u)||v.
Bổ đề 1.6. Cho u CI
á
lầ một tập mở và cho £ : u —> M ỉà một hàm khả vi.
Khi đó s là khả vi liên tục nếu và chỉ nếu gradient Euclidean V
e u c
£ :
u —> M
d
là liên tục.
1.1.2. Hệ gradient Euclidean
Định nghĩa 1.7 (Hệ gradient Euclidean). Hệ gradient Euclidean là
8
hệ phương trình vi phân thường có dạng:
ù + v
eu c
£{ù) = 0, (1.4)
trong đó s

là một hàm thực khả vi liên tục đã cho trênmột tập mở
u c R
d
.

Ân hàm u

của phương trình này là một hàm giá trị, xác định trên một khoảng I

c R.
Nói chung I

cũng chưa xác định cụ thể.
Hệ gradient Euclidean là một trường hợp đặc biệt của phương trình vi phân
thường
ủ + F(t, u) = 0, (1.5)
trong đó F : D

R
d
là một hàm xác định trên tập mở D

CM
1+d
khi
F ( t , u ) = Ve u c i u ) với ( t , ù ) G D = R X u .
Khi viết đầy đủ, hệ gradient có dạng:
ủ(t) + v
eu c
£(u(t)) = 0.
Ta gọi hàm u : I —>

IR
d
là một nghiệm của phương trình vi phân

(1.5) nếu u

liên tục, F(-,u(-))

khả tích địa phương và nếu
1 lựu, r Ự,UỰJJ

KiiiA Iiun UỊa, pnuung va, nt
í
u(t) = U(S)-ỊF (r,u(r))dr, Vs,tel.
s
Nói riêng, nghiệm của hệ gradient (1.4) là một hàm liên tục u : I —>

R
d
sao
cho:
í
u(t) = u(s) - I v
eu c
£(u(r))dr, Vs,t G I.
s
Nếu u

là một nghiệm của hệ gradient (1.4), thì đạo hàm theo biến
thời gian của u

luôn luôn bằng — V£{u)

và do đó nó chỉ lượng giảm sâu

nhất (Bổ đề L5). Vì thế, một cách tự nhiên ta kì vọng rằng năng lượng s

luôn
giảm dọc theo nghiệm bất kỳ của hệ gradient.
Bổ đề 1.8. Nếu u ỉà một nghiệm của hệ gradient (1.4) và s là khả vi
9
liên tục thì hàm hợp £(u) = s o u là hàm giảm. Hơn nữa, nếu hàm
hợp £(u) không đổi thì nghiệm u cũng không đổi.
Chứng minh.

Vì hàm s

và nghiệm u

là khả vi liên tục, nên hàm hợp S{ù)
cũng khả vi liên tục. Ta chỉ cần chứng minh đạo hàm của S{ù)

không dương.
Thật vậy:
J

t

£{u)

= £'{u)ù

= (Ve„c£(u),ủ}
elịC
= - (ù,ù)euc <

°- Chứng tỏ S(u)
là giảm (theo t

), hơn nữa nếu S(u)

không đổi thì {ủ, ủ)

=
0 nên ủ =

0, vì vậy u

không đổi. □
Định nghĩa 1.9. Giả sử u c M
d
là tập mở, F : u —>• R
d
liên tục. Ta gọi s : u
—>

M là một hàm năng lượng của phương trình vi phân thường
ủ

+ F(u

) = 0, (1.6)
nếu với mỗi nghiệm u

của phương trình đó, hàm hợp £(u)

= £ o u

giảm (theo t

).
Theo Bổ đề 1.8, £

là hàm năng lượng của hệ grtadient (1.4).
Hàm năng lượng cũng được gọi là hàm Lyapunov và trong một số tài liệu về tối
ưu nó còn có tên là hàm chi phí (cost function). Các phương trình vi phân có hàm
năng lượng được gọi là hệ tiêu tán.
Bổ đề 1.10. Mọi điểm giới hạn của một nghiệm toàn cục của hệ gradient
Euclidean (1.4) đều là một điểm căn bằng của s. Nói cách khác, nếu
u : R
+
—»• R
d
là một nghiệm, và nếu ip = lim u(t
n
) với một dãy
số (t
n
/* 00) và nếu ip G u, thì V
eu c
S(tp) = 0.
Chứng minh.

Theo Bổ đề 1.8, hàm hợp £{u

) giảm. Do lim £{u{t

n

))

=
_____ n—¥00
S(tp)

nên £{ù)

bị chặn dưới. Tích phân của đẳng thức —S{ù)

= — Ị|w|Ị
2
~b 00 £+1
ta có f

||m||
2
hữu hạn. Từ đó suy ra lim f

||ủ||
2
= 0. Do vậy,
0 *-
>0
° t
1

0
n—>oo
tn

H
-
®
lim u(t

n

+ s)

= lim (u(t

n
) + / ủ) = ự)

đều theo s

€ [0,1],
n—>00 n—>00 J
tn
vì theo Bất đẳng thức Holder:
t
n
+ s
tn “I” ® t
n
+ s

/
ủ II < sup I ||ủ|| < ( / ||ủ||
2
)2 —y 0 khi n —> 00.
se [0,1] J J
tn t
n
t
n
1
1
sup
se [0,1]
Do tính liên tục của V
eu c

£

, từ trên suyra lim V
eu c

£(u(t

n

+ s)) = 0 đềutheo s

€ [0,1],
và do đó:
v,„

c
£(v) = I v
eu c
£(tp)
0
1
= lim / V
eílc
£ (u(t

n

+ s))ds
n—>00 J 0
1
= — lim / ủ(t

n

+ s)ds —

0.
n— > 0 0 J
0
Vậy ta có điều phải chứng minh. □
1.1.3. Liên hệ đối với hệ phương trình đại số
Giả sử u C R

d

là một tập mở và cho F

: u —>

là hàm khả vi liên tục. Xét bài
toán tìm nghiệm ũ

G u

của phương trình đại số
F(ũ) = 0.
Có một cách để giải bài toán này là xét hàm s : u —>

M xác định bởi £{ù)

=
-||F(w)||
2
, trong đó II • II là chuẩn Euclidean. Khi đó, ta có F(ũ) =

0 <=> £{ũ)

=
0. Vì £

là hàm dương nên bài toán trở thành tìm một điểm cực tiểu của s trong u.
Nếu s đạt cực tiểu ta hi vọng rằng cực tiểu bằng 0. Cực tiểu của s

được tìm nhờ
phương pháp gradient giảm. Dễ thấy

£'(u)v = (F(u), F'(u)v) với mọi u £ u,v £
Ta định nghĩa liên hợp của F'iu

) đối với tích vô hướng Euclidean là ánh xạ
tuyến tính F'{uỴ

: M
d
—»• R
d
cho bởi:
(F
1
(uỴV, w) = (v, F'(u)w), Vv,w e M
d
.
1
2
Với khái niệm này thì gradient Euclidean của hàm £

cho bởi
V£(u) = F'(uỴF(u),

và hệ gradient
Euclidean gắn với £

là phương trình vi phân
ù + F'(u)*F(u) = 0.
Mệnh đề 1.11. Giả sử rằng F'{y) khả nghịch với mọi V G u và tồn tại
một nghiệm (toàn cục) u : M

+
—> của (1/7) với tập giá trị compact
tương đối trong u. Khi đó tồn tại ũ e Ư sao cho F(ũ) = 0.
Chứng minh.

Vì u

có tập giá trị compact tương đối trong u nên tồn tại
một dãy (t

n

/*

00) và một phần tử ũ

G u sao cho lim u(t

n
) = ũ.

Theo
ĩl

—>00
chứng minh trên, phương trình vi phân (1.7) là hệ gradient Euclidean
1
gắn với hàm: £(u

) = -||F(ií)ỊỊ

2
. Theo Bổ đề (1.10), u

€ u là điểm tới
Ái
hạn của £

nên F'{uỴF{ù)

= 0. Vì F'{u

) khả nghịch nên F'{uỴ

cũng khả nghịch.
Do vậy F(ũ

) = 0. □
Từ chứng minh trên ta thấy, mọi điểm giới hạn của nghiệm toàn cục
bất kì của hệ gradient Euclidean (1.7) có tập giá trị compact tương đối
trong u đều là nghiệm của phương trình đại số F(ũ) —

0. Nói cách khác, bài toán
tìm nghiệm của phương trình đại số có thể chuyển thành bài toán tìm nghiệm toàn
cục của hệ gradient có tập giá trị compact tương đối.
Vì thế chúng ta sẽ nghiên cứu bài toán tìm nghiệm toàn cục của hệ gradient
Euclidean. Trước hết chúng ta sẽ khái quát hóa khái niệm gradient theo một tích vô
hướng bất kỳ trong M
d
.
(1.7)

1
3
1.1.4. Hệ gradient tổng quát trong M
d
Ta nhắc lại rằng, tích vô hướng trên R
d
là một dạng song tuyến tính, đối
xứng, xác định dương bất kì trên R
d
.
Kí hiệu: £
2
(I^
d
;®0 là không gian tất cả các dạng song tuyến tính a

: M
d
X
M
d
—► R. Không gian này là không gian vecto với phép cộng và phép nhân
với vô hướng thông thường và nó là không gian Banach với chuẩn
||a|| := sup \\a(u,

f)||.
ỊHỊ< 1
ÌMỈ<1
Kí hiệu Inner(R
d

) là tập tất cả các tích vô hướng trên R
d
thì Inner(M
d
) c
£
2
(I^
d
; và nó là không gian metric với metric cảm sinh bởi chuẩn trên
£

2

{R

d

-,R).
Bổ đề 1.12 (Bố đề biểu diễn, xem PJ, Định lý 2.13). Giả sử (•, •) là một tích
vô hướng trên Khi đó với mọi phiếm hàm, tuyến tính u' e (M
d
y đều
tồn tại duy nhất một vectơ u £ sao cho
v!{v) = (u,v), G M
d
. (1-8)
Ta nói phiếm hàm u'

được biểu diễn bởi phần tử M G l

d
đối với tích vô
hướng (•,•).
Bổ đề 1.13. Cho (•, •) là một tích vô hướng trên M
d
. Khi đó tồn tại
một ánh xạ tuyến tính Q : —»• R
d
có các tính chất sau:
(i) Đối xứng, tức là với mọi v,w € R
d
ta có {Qv,w)
eu c
= {v,Qw)
eu c
,
(iỉ) Dương, tức là với mọi V E ta có (Qv,v) > 0;
(iii) Xác định, tức là nếu (Qv,w)
eu c
= 0 với mọi w € thì V = 0, và
1
4
(iv) Vói mọi v,w eR
d
ta có
(v,w)

= (Qv,w)
eu c
.

Chứng minh.

Với mỗi V € ánh xạ v ' : —>

M xác định bởi v ' ( w ) =

(V

, w

), w

€ tuyến tính, liên tục. Theo Bổ đề biểu diễn, Bổ đề
áp dụng với tích vô hướng Euclide, tồn tại Qv

e M
d
sao cho v'(w) = (Qv,
w)

eu c

với mọi w

G Vậy Q thỏa mãn tính chất (iv). Từ tính song tuyến tính của (•,
•), ta có Q là tuyến tính. Theo định nghĩa của Q và tính đối xứng của các tích vô
hướng,
(Qv,w}
eu c
= (v,w) = (w,v) = (Qw,v}

eu c
= {v,Qw}
eu c
, \/v,w e
hay Q

đối xứng. Hơn nữa, với mọi V

G {Qv,v)

eu c

= (v,v)

eu c

>

0.
Cuối cùng, (Qv,w)

eu c

=

0 với mọi w

G M
d
=>• (v, w)

= 0 với mọi w e R

d

=>
V = 0.

Vậy Q

xác định. □
Định nghĩa 1.14 (Metric Rieman). Cho u

C M
d
là một tập mở. Mỗi hàm liên tục g :
u —»■ Inner(M
d
) được gọi là một metric Rieman trên u.

Nếu g

là một metric
Rieman trên u,

ta kí hiệu (-,-)
5
(
u
) là tích vô hướng g{u)

và II • ||
s
(
u
) là chuẩn sinh
bởi tích vô hướng g(u)

trên R
d
.
Bổ đề 1.15. Giả sử g : u —> Inner(M
d
) là một metric Rieman và Q : u —
>• £(K
d
) là hàm cho bởi
(Q(u)v, w)
eu c
= (V, w)
g{u)
, Vu£U, v,w £R

d



.
Khi đó Q liên tục.
1.12

1
5
Chứng minh.

Với mọi U I , U
2
£

и

ta có
IIQ{uị) - Q{U
2
)II = sup \\Я{щ)у - Q{U
2
)VII
IMI — 1
= sup I (Q(ui)v - Q(U
2
)V, w)

eu c

I
IMI—1
||ги||<1
= s ụ p I <« .»>„ ( ., ) - < « .“ >
г
ы1
1I«1I<1

||гу||<1
= \Ì9(ui) -д{щ)\\
Mà g

liên tục nên Q

liên tục. □
Cho u

Ç M
d
là tập mở, £ :

и

—>

R là hàm khả vi liên tục. Ta biết rằng, với
mỗi и

£

u và mọi V e R

ẵ

đạo hàm và gradient Euclide của £

liên hệ với nhau bởi
£'{u)v = (’V

eu c
£(u),v)
eu c
.
Từ đây và Bổ đề biểu diễn 1.12, ta tổng quát hóa khái niệm gradient theo hai
cách như sau:
Cách 1: Với một tích vô hướng bất kì (•, •) trên M
d
, ta định nghĩa gradient của £
đối với tích vô hướng này là hàm V£ cho tương ứng mỗi и

£

и

với phần tử duy
nhất V5(m) € M
d
sao cho
£'{u)v = (V£{u), v), VveR

d



.
Cách 2: Với một metric Rieman g

trên U

:

ta định nghĩa gradient của £

đối với g

là
hàm VgS

cho tương ứng mỗi и

€ и

với phần tử duy nhất Vg£(u)

G M
d
sao cho:
£'{u)v

= (Vg£

(u), v

)
g{u)
, Mv

G R

d

.
1
6
Nếu metric g

đã rõ ràng thì ta có thể bỏ qua chữ g

trong kí hiệu gradient.
Rõ ràng, sự khái quát hóa thứ hai chứa sự khái quát hóa thứ nhất vì cách thứ
nhất tương ứng với trường hợp metric Rieman không đổi trong cách thứ hai.
Bổ đề 1.16. Nếu £ : u —»• M khả vi liên tục, và g là một metric Rieman
trên u, thì gradient Vg£ : u —¥ ỉỉên tục.
Chứng minh.

Gọi Q là hàm xác định trong Bổ đề 1.15, ta có Vg£(u

) =
Q(u

)
1

V

eu c

£(u).

Theo Bổ đề 1.15 và Bổ đề 1.6 ta suy ra VgS

liên tục. □
Định nghĩa 1.17. Hệ gradient (tổng quát) trong là phương
trình vi phân thường có dạng
i 4- Vg£(u) =

0,
trong đó VgS

là gradient của hàm khả vi liên tục £ :

u M đối với metric Rieman
g.
Hệ gradient này nhận £ là hàm năng lượng (xem Bổ đề 1.8)
Bổ đề 1.18. Nếu u ỉà một nghiệm của hệ gradient (1.9) và £ khả vi
liên tục thì hàm hợp £(ù) = £ o u là hàm giảm. Hơn nữa, nếu hàm £
{ù) không đổi thì nghiệm u không đổi (theo t).
Chứng minh.

Do s

và u

khả vi liên tục, nên £(u)

cũng khả vi liên tục. Vì thế, ta
chỉ cần chứng tỏ đạo hàm của £{u

) là không dương. Thật vậy

J
t
£{u) = £'{u)ù = (V
g
£{u),ủ)
g { u]
= - (ủ
:
ủ}
g{ u)
< 0
nên £(u

) giảm. Nếu £(u

) không đổi, thì {ù, ù)

(u )

= 0 nên ủ =

0 hay u
không đổi.
1
7
(1.9)
u
□
Sự
tồn

tại nghiệm địa
phương của hệ
gradient được khẳng định nhờ Định lý Caratheodory cho phương trình vi phân
tổng quát hơn sau đây.
Định lý 1.19 (Caratheodory, xem [|3Ịj, Định lý 2.6). Cho D

c R X R
d
là tập mở,
F

: D

—»■ (t,u

) = F(t,u

) là hàm thỏa mãn các điều kiện

Caratheodory sau:
F(-,u

) đo được với mỗi u, (1-10)
F(t,

•) liên tục với mỗi t và (1-11)
Với mỗi (í
0
,w
0

) ẽ D tồn tại a > 0, r > 0 và m €E L
1
(í
0
,ío +
a
)
sao cho ||F(í, w)|| < m(t) với mọi t £ (tũ, tũ + ot), u £ B(uo, r). (1-12)
Khi đó, với mỗi (t
0
,u
0
) e D bài toán
Cauchy
ù + F ( t , ù ) = 0, u ( t
0
) = «0
có một nghiệm địa phương. Tức là tồn tại một khoảng I = [t
ữ
, t
0
+a\ c
tồn tại một hàm liên tục u : I —> M
d
sao cho với mọi t € I
(1.14)
Ví dụ 1.20. a) Hàm u(t

) = —-—,t

€ [0,1), là nghiệm của
1 t
ủ

— u

2

=

0,
1
8
(1.13)
b) Hàm u(t)
bài toán
0 và u(t) = -t
2
, t € M+ là hai nghiệm phân biệt của
triển thành một nghiệm trên khoảng [t

ữ

,t

ữ

+

ß

] với ß

> a.

Sự
tồn tại của nghiệm địa phương luôn suy ra sự tồn tại của
nghiệm cực đại. Chứng minh điều này dựa trên Bổ đề Zorn.
Hệ quả 1.22 (Sự tồn tại nghiệm địa phương của hệ gradient không autonom). Cho
u c R
d
là tập mở, £ : u —> K là hàm khả vi liên tục, g : u Inner(M
d
) là
một metric Rieman trên u. Giả sử I c M là khoảng mở, và f G Khỉđó,
vớimọi t
0
E Ivàmọiu
0
E ubài
toán
ũ + Vg£{u

) = /, u(t
Q
)
= UQ
1
9
Hệ quả 1.21. Với các giả thiết của Định lý

tồn tại một nghiệm cực đại của bài toán (1.13)
Chứng minh. Xem [3J, Hệ quả 2.8.
Từ Định lý 1.19 ta có hệ quả sau:
với mỗi (t
0
,u
0
) e D
1.19
□
(1.15)
CÓ nghiệm địa phương. Nghĩa là tồn tại một khoảng không suy biến J
= [t
ữ
,t
ữ
+ a\ c I và tồn tại một hàm liên tục u \ J —¥ R
d
sao cho với mọi
t e J
u(t) — u
Q
+ / 'Vg£(u(s))ds = / f(s)ds.
Jt
0
J to
Chứng minh.

Ta chỉ cần kiểm tra các điều kiện Caratheodory. □
Nghiệm cực đại của hệ gradient (|1.15D được định nghĩa như đối với

L2ĨI hê
phương trình vi phân thường tống quát (1.13). Theo Hệ quả
gradient (1.15) luôn có một nghiệm cực đại. Đối với phương trình (1.13)
cũng như hệ gradient chúng ta cần: xác định khoảng tồn tại nghiệm cực
đại hoặc chứng minh nghiệm cực đại là nghiệm toàn cục. Ví dụ 1.20 (a)
cho thấy không phải phương trình (1.13) hay hệ gradient nào cũng có
nghiệm toàn cục. Nhưng dưới giả thiết tự nhiên về năng lượng, sự tồn tại nghiệm
toàn cục của hệ gradient có thể chỉ ra nhờ các đánh giá tiên nghiệm.
Hàm £

: M
d
—»• R là bức nếu với mỗi c e R tập mức dưới
K

c

:= {m € R

d

: S{u) < c

}
bị chặn.
Định lý 1.23 (Sự tồn tại nghiệm toàn cục của hệ gradient). Cho s : R
d
—> M là
hàm bức, khả vi liên tục, và g là một metric Rieman trên R
d

sao cho
\\v\\
g{ u)
< C\\v\\
eu cì
Vu,v e R
d
, trong đó c > 0. Khỉ đó, với mọi u
0
G và
với mỗi hàm f : [0,T] —>
2
0
M
d
(T > 0), hệ gradient không autonom
ủ + Vg£{u) = /, u(0)
= Mo
luôn có nghiệm cực đại trên [0,T]. Hơn nữa,
{u(t):t£[0,T]}CK
c
,
c
T
trong đó c = £(u
0
) -ị f II f lleĩic chỉ phụ thuộc vào dữ liệu u
ữ
, f và hằng
2 0

số nhúng c.
Chứng minh. Cho u : [0, T
max
) —»■ R
d
(T
max
< T) là nghiệm cực đại bất
kì của hệ gradient không autonom (1.16); sự tồn tại của nghiệm cực đại
Do VgS{ù) và / là các hàm liên
1.22
tục, nên nghiệm (cực đại) bất kì của (1.16) đều khả vi liên tục và thỏa mãn phương
trình (1.16) theo nghĩa cổ điển. Ta sẽ chứng minh rằng
T =T
-
L
max ■
Nhân phương trình (1.16) với ù theo tích vô hướng (■,■)<,(«)>
r
ồi lấy tích phân trên
[0,t] với (0 < t < T
max
< T), áp dụng bất đẳng thức
Cauchy- Schwarz và giả thiết về metric g ta có:
í
í í í
/ IMIỈM + / (V„£(u), «>,(„) = J (/>«>,(„)
0 0 0
1 1
s

ị J
ll/llỉí.)
+ị J

ll*llĩt-)
0 0
T 1
< 1 / I I / I I L
+ ị j
I H I Ỉ O O
0 0
(1.16)
được bảo đảm bởi Hệ quả
1.21
và
Theo định nghĩa của gradient và quy tắc đạo hàm hàm hợp, ta có (V

g

£
{u),ủ}

g{ u)

= £'{u)ũ = J

t

£{u).
Điều này và bất đẳng trên suy ra

t T
ị Ị IMIỈ(„) + í («(í)) < £(«o) + I / II/IIL =:
0 0
Vế phải của bất đẳng thức trên độc lập với t

e [0,T
max
), và số hạng thứ nhất
ở vế trái dương. Do đó tập giá trị {u(t

) : t

e [0, T
max
)} là một tập con của tập
mức dưới K

c

.

Do tính bức và tính liên tục của £

ta có K

c

bị chặn và đóng trong
hay K

c

là compact.
Vì gradient Vg£

liên tục trên K

c

(Bổ đề 1.16) và do tập giá trị của
u

chứa trong K

c

,

nên sup ||Vg£(M(í))||
eílc
< oo. Do đó, phương trình
íe[0,Tl
ax
)
vi phân (1.16) suy ra HủỊỊeuc bị chặn và khả tích trên [0,T
max
). Vì thế, u

thác
triển thành một hàm liên tục trên khoảng đóng [0,T

max
].
Nếu T
max
< T

thì ta có thể thác triển nghiệm u

lên một khoảng lớn hơn bằng
cách giải hệ gradient ũ +

Vg£(ù)

= / với thời điểm ban đầu ^max và giá trị
ban đầu w(T
max
). Điều này mâu thuẫn với giả thiết u

là nghiệm cực đại. Vậy
T
max
< T

là không thể xảy ra hay T
max
= T

và u

là nghiệm toàn cục. □

Ta có thể sử dụng kết quả về sự tồn tại nghiệm của hệ gradient trong việc
nghiên cứu tìm nghiệm của phương trình đại số như sau.
Cho u

c R

là tập mở, và cho F : u —> R

d

là hàm khả vi liên tục. Xét bài
toán tìm một nghiệm ũ

ẽ u

của phương trình đại số
F(ũ) = 0.
c < oo.
Xét hàm 8

: u —>

M xác định bởi £(u)

= -||F(w)||
2
, trong đó II • II là
chuẩn Euclide trên R
d
. Khi đó ta có F(ũ)

= 00 £(ũ)

= 0. Bây giờ ta cố gắng
giải phương trình £(ũ) =

0 bằng cách xét hệ gradient gắn với E.
Trong trường hợp này, ta giả sử đạo hàm F'{ù)

khả nghịch với mọi u

€ t/,
và ta định nghĩa g ■. u

Inner(R
d
) bởi
w
)
9
(u) = (-F'(wK F\u)w)
euc
, u e u, V, w e R
d
Rõ ràng, với mỗi u

G u

thì ánh xạ (•, xác định như trên là song
tuyến tính và đối xứng. Hơn nữa, với mỗi u

€ u, V € M
d
,
M

g{ u)

= {F'{u)v,F>{u)v)
eu c
= \\F'(u)v\\l
c
> 0,
ha
y (■) ')g(u)

là nửa xác định dương. Nếu (v,v}

g { u)

=

0, thì \\F'(u)v\\

2

eu c

= 0
nên F'{ù)v

= 0. Do F'(u

) khả nghịch nên V

= 0 hay (•, ■)<,(«) là xác định.
Do F'

liên tục nên g

liên tục. Chứng tỏ g

là metric Rieman trên u.
Đối với gradient của s

với metric g

ta có
(VgS(u),v)

£ J = s'{u)v

(định nghĩacủa gradient)
= (F(u),F'(u)v)

eu c

(tính£')
= ự{u)F>{u)-
l

F{u),F>{u)v)
eu c
= (F

/

(u)~

1

F(u),v

) ^ ^ (định nghĩa của mêtric g

).
Vậy
V

g

£(u)

= F'{u)-
l
F{u).
Do vậy, phương trình vi phân
ủ + F ' { u ) ~
l
F { u ) = 0 (1.17)
là một hệ gradient gắn với năng lượng s.

Mệnh đề 1.24. Giả sử rằng F'{v)

khả nghịch với mỗi V € u, phương
trình (1.17) có nghiệm (toàn cục) u : K
+
—^M

d



vàu có tập giá trị
compact tương đối trong u. Khỉ đó tồn tại u £ u sao cho
F(ũ) = 0.
1.2. Không gian Bochner-Sobolev và Bochner-Lebesgue
Mục này giới thiệu ngắn gọn về tích phân Bochner của các hàm giá trị
Banach và về các không gian Bochner - Lebesgue, không gian Bochner -
Sobolev. Đó là những khái niệm cần thiết để nghiên cứu các phương trình vi
phân trừu tượng trong không gian Banach, đặc biệt là hệ gradient trong không
gian Banach; nghiệm của các phương trình vi phân trừu tượng được tìm trong
không gian Bochner - Lebesgue hoặc không gian Bochner - Sobolev các hàm
giá trị Banach.
Trong cả mục này, ta chỉ xét tập con mở trong với độ đo Lebesgue. Nhưng
hầu hết các kết quả về tích phân Bochner và không gian Bochner
- Lebesgue vẫn đúng cho các không gian đo tổng quát.
1.2.1. Tích phân Bochner
Định nghĩa 1.25. Cho X là một không gian Banach thực với chuẩn
II • II, cho íì

c K

d
là một tập mở và kí hiệu A

là ơ -

đại số Lebesgue các tập
con của ri, nghĩa là, ơ -

đại số nhỏ nhất chứa ơ -

đại số Borel (là ơ

đại số
sinh bởi các tập mở) và tất cả các tập con có độ đo Lebesgue bằng không.
Độ đo Lebesgue trên Q

được kí hiệu là ịi.
Hàm / : íì

—»• X

được gọi là hàm bậc thang, nếu tồn tại một dãy {A

n

)

ç A

các tập

đo được Lebesgue đôi một rời nhau và một dãy (x

n

)

С X

sao cho f = Ỵ2

x

nt

trong đó
\A là hàm đặc trưng của tập A.
Hàm / : ri X

là đo được nếu tồn tại một dãy (/
n
) các hàm bậc thang f

n

:

—> X

sao
cho /n —>• / hầu khắp nơi.

Lưu ý rằng trong trường hợp X

= M, định nghĩa này tương đương với cách định
nghĩa "nghịch ảnh của mọi tập đo được đều đo được". Từ định nghĩa ta có Bổ đề sau
đây:
Bổ đề 1.26 (Xem [3] Bổ đề 5.1). Cho X,Y

là hai không gian Banach thực:
a) Mọi hàmliên tục f : ri —> X đều là hàm đo được.
b) Nếu / : —> X đo được thì 11/11 : —> M cũng đo
được.
c) Nếu f : n X đo được và g : X —>■ Y liên tục thì hàm hợp g о / : íỉ
— »■ Y đo được.
d) Nếu f : ri —>■ X và g : ri —)■ R đođược thì tích
f g : Q — ^ X đo được.
e) Nếu f : —> X và g : Q —> X' đođược thì tích (g,
f )

x

,


x
: Q — »• M đo
được.
f) Nếu ( f
n
) là một dẫy các hàm đo được từ— »• X sao cho f
n

—>• / hầu
khắp nơi thì Ị đo được.
Định lý 1.27 (Pettis, xem [3J, Định lý 5.2). Hàm f : íĩ —> X là đo được nếu và
chỉ nếu ( x

f



,

/) là đo được với mọi x' € X' (khi đó ta nói f là đo được yếu)
và tồn tại một tập có độ đo Lebesgue không N £ A sao cho f ( í ì \ N )

là
tách được.