tính tồn tại và duy nhất nghiệm của hệ phương trình navier-stokes

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM





NGÔ VĂN GIANG




TÍNH TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM CỦA HỆ
PHƯƠNG TRÌNH NAVIER-STOKES


LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC


Chuyên ngành : Toán giải tích
Mã số : 60 46 01

Thái Nguyên, năm 2011
H
−1

L
p
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
• R = (−∞; +∞)
• R
+
= [0; +∞)
• R
n
< ., . > ||. ||
• C([a; b], R
n
) [a; b]
R
n
• C(U) = {u : U → R | u
• C(
¯
U) = {u ∈ C(U) | u
• C

k
(U) = {u : U → R | u
• C
k
(
¯
U) = {u ∈ C
k
(U) | D
α
u |α| ≤ k
u ∈ C
k
(
¯
U) D
α
u
¯
U
α, |α| ≤ k
• L
2
([a, b], R
m
) [a, b]
R
m
• C
∞

(U) = {u : U → R | u = ∩
∞
k=0
C
k
(U) C
∞
(
¯
U) =
∩
∞
k=0
C
k
(
¯
U)
• C
c
(U), C
k
c
(U), , C(U), C
k
(U), ,
• L
p
(U) = {u : U → R | u u
L

p
(U)
< ∞
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
u
L
p
(U)
= (

U
|u|
p
dx)
1
p
(1 ≤ p < ∞)
• L
∞
(U) = {u : U → R | u u < ∞
u
L
p
(U)
= ess sup
U
|u|.
• L
p
loc

(U) = {u : U → R | u ∈ L
p
(V ) V ⊂⊂ U
• H
k
(U), W
k
p
(k = 1, 2, 3 )
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
R
n
n = 2 n = 3
R
n
u(x, t) = (u
i
(x, t)), i =
1, 2, , n p(x, t) x ∈ R
n
t > 0
∂u
i
∂t
+
n

j=1
u
j

∂u
i
∂x
j
= νu
i
−
∂p
∂x
i
+ f
i
(x, t)
(x ∈ R
n
, t > 0, i = 1, 2, , n), u = (u
1
, u
2
, , u
n
),
div u =
n

i=1
∂u
i
∂x
i

= 0 (x ∈ R, t > 0).
u(x, 0) = u
o
(x).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
u
o
(x) div u
o
= 0, f
i
(x, t)
ν
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
u, v ∈ L
1
loc
(U) α
v α u

U
uD
α
φdx = (−1)
|α|

U
vφdx
φ ∈ C
∞

c
(U).
D
α
u = v.
α u
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1 ≤ p ≤ ∞
W
k
p
u : U → R α, |α| ≤ k D
α
u
L
p
(U)
p = 2
H
k
(U) = W
k
2
(U) (k = 1, 2, )
H
0
(U) = L
2
(U)
u ∈ W

k
p
(U)
u
W
k
p
:= (

|α|≤k

U
|D
α
u|
p
dx)
1/p
(1 ≤ p < ∞)
u
W
k
p
:=

|α|≤k
ess sup
U
|D
α

u| (p = ∞).
C
∞
c
(U) H
k
(U)
H
k
0
(U)
H
k
0
(U) u ∈ H
k
(U) D
α
u = 0
∂U |α| ≤ k −1
|u| = u
L
2
(Ω)
∇u
L
2
(Ω)
= (


Ω
n

i=1
|D
i
u|
2
dx)
1/2
u.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
H
−1
H
1
0
(U)
H
−1
(U) f ∈ H
−1
(U) f
H
1
0
(U)
f ∈ H
−1
(U)

f
H
−1
(U)
= sup{< f, u > |u ∈ H
1
0
(U), u
H
1
0
(U)
≤ 1}.
<, > f ∈ H
−1
(U) u ∈ H
1
0
(U)
H
−1
f ∈ H
−1
(U) f
0
, f
1
, , f
n
L

2
(U)
< f, v >=

U
f
0
v +
n

i=1
f
i
v
x
i
dx (v ∈ H
1
0
(U)).
f
H
−1
(U)
= inf{(

U
n

i=0

|f
i
|
2
dx)
1/2
|f
f
0
, , f
n
∈ L
2
(U)}.
L
p
(0, T ; X)
u : [0, T ] → X
u
L
p
(0,T ;X)
:= (

T
0
u(t)
p
dt)
1/p

< ∞
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1 ≤ p < ∞,
u
L
∞
(0,T ;X)
:= ess sup
0≤t≤T
u(t) < ∞.
L
p
(0, T ; L
q
)
u : [0, T ] → L
q
u
L
p
(0,T ;L
q
)
:= (

T
0
u(t, x)
p
dt)

1/p
= (

T
0
(

Ω
|u(t, x)|
q
dx)
p/q
dt)
1/p
< ∞
1 ≤ p < ∞,
u
L
∞
(0,T ;L
q
)
:= ess sup
0≤t≤T
u(t)
L
q
(Ω)
< ∞.
C([0, T ]; X)

u : [0, T ] → X
u
C([0,T ];X)
:= max
0≤t≤T
u(t) < ∞.
u ∈ W
1
p
(0, T ; X) 1 ≤ p ≤ ∞.
u ∈ C([0, T ]; X)
u(t) = u(s) +

t
s
u

(τ)dτ
0 ≤ s ≤ t ≤ T
max
0≤t≤T
u(t) ≤ Cu
W
1
p
(0,T ;X)
,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
u ∈ L
2

(0, T ; H
1
0
(U)), u

∈ L
2
(0, T ; H
−1
(U)).
u ∈ C([0, T ]; L
2
(U)).
t → u(t)
2
L
2
(U)
d
dt
u(t)
2
L
2
(U)
= 2 < u

(t), u(t) > 0 ≤ t ≤ T h.k.n.
max
0≤t≤T

u(t)
L
2
(U)
≤ C(u
L
2
(0,T ;H
1
0
(U))
+ u


L
2
(0,T ;H
−1
(U))
),
U ∂U
u ∈ L
2
(0, T ; H
m+2
(U)), u

∈ L
2
(0, T ; H

m
(U)).
u ∈ C([0, T ]; H
m+1
(U)).
max
0≤t≤T
u(t)
H
m+1
(U)
≤ C(u
L
2
(0,T ;H
m+2
(U))
+ u


L
2
(0,T ;H
m
(U))
),

ab ≤ a
2
+

b
2
4
(a, b > 0,  > 0).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1 ≤ p, q ≤ ∞,
1
p
+
1
q
= 1 u ∈ L
p
(U) v ∈ L
q
(U)

U
|uv|dx ≤ u
L
p
(U)
v
L
q
(U)
.
L
p
1 ≤ s ≤ r ≤ t ≤ ∞

1
r
=
θ
s
+
1−θ
t
u ∈ L
s
(U)∩L
t
(U)
u ∈ L
r
(U)
u
L
r
(U)
≤ u
θ
L
s
(U)
u
1−θ
L
t
(U)

.
η(.) [0, T ]
η

(t) ≤ φ(t)η(t) + ψ(t)
φ(t), ψ(t) [0, T ]
η(t) ≤ e

t
0
φ(s)ds
[η(0) +

t
0
ψ(s)ds]
∀0 ≤ t ≤ T.
1 ≤ p < n
1
p
∗
=
1
p
−
1
n
u
L
p

∗
≤ CDu
L
p
(R
n
)
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Ω R
n
f ∈ L
2
(Ω)
n
u = (u
1
, u
2
, u
n
) f ν > 0
−ν∆u + grad p = f trong Ω.
div u = 0 trong Ω.
u = 0 trong ∂Ω.
u, p
ν((u, v)) = (f, v), ∀v ∈ V.
((u, v))
((u, v)) =
n


i=1
D
i
uD
i
v.
u ∈ V
ν((u, v)) = (f, v), ∀v ∈ V.
Ω f ∈ L
2
(Ω)
n
, ν >
0
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Ω C
2
f ∈ L
2
(Ω)
n
, ν > 0 u ∈ H
2
(Ω) ∩ V, p ∈ H
1
(Ω)
u
H
2

(Ω)
+ p
H
1
(Ω)/R
≤ cf
L
2
(Ω)
.
V = {ϕ ∈ (C
∞
0
(Ω))
n
| divϕ = 0}.
V L
2
(Ω)
n
V H
1
0
(Ω)
n
V ⊂ H
1
0
(Ω)
n

⊂ L
2
(Ω)
n
→ V ⊂ V ⊂ H.
Ω R, ∂Ω C
2
f ∈
L
2
(Ω)
n
P : L
2
(Ω)
n
→ H
A : D(A) ⊂ H → H, A = −P
∆
, D(A) = H
2
(Ω) ∩ V.
(Au, v) = (u, Av), ∀u, v ∈ D(A).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
u, v ∈ (C
∞
0
(Ω))
n
div u = div v = 0

P u = u, P v = v (Au, v) = (u, Av)
−

Ω
(∆u
i
)v
i
dx =

Ω
∂u
i
∂x
j
∂v
i
∂x
j
dx.
u, v ∈ D(A)
H
1
(Ω)
n
V u ∈ D(A) v ∈ V
−

Ω
(∆u

i
)v
i
dx =

Ω
∂u
i
∂x
j
∂v
i
∂x
j
dx
(Au, v) = ((u, v)), ∀u, v ∈ D(A).
((u, v))
(Au, v) = ((u, v)) u ∈ D(A), v ∈ V.
A
−1
f ∈ H, A
−1
f = u
H
2
(Ω) ∩V = D(A)
A
−1
: H → V K = A
−1

< A
−1
f, g >=< A
−1
f, AA
−1
g >=< AA
−1
f, A
−1
g >=< f, A
−1
g > .
µ
j
> 0, µ
j+1
≤ µ
j
(w
j
) Kw
j
= µ
j
w
j
λ
j
= µ

−1
j
Aw
j
= λ
j
w
j
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
0 < λ
1
≤ ≤ λ
j
≤ λ
j+1
≤
lim
j→∞
λ
j
= ∞
(w
j
)
j=1,2,
Ω C
l+2
, l ≥ 0 w
j
∈

H
l+2
(Ω)
n
.
α > 0
A
α
A
α
(u) =
∞

j=1
λ
α
j
u
j
w
j
, u =
∞

j=1
u
j
w
j
, u ∈ D(A

α
).
D(A
α
) = {u ∈ H | u =
∞

j=1
u
j
w
j
,
∞

j=1
λ
2α
j
|u
j
|
2
< ∞, u
j
∈ R}.
b(u, v, w) =

Ω
u

j
∂v
i
∂x
j
w
j
dx =

Ω
< u · ∇v, w > dx
Ω C
l
l u, v, w ∈ C
∞
(
¯
Ω)
n
Ω ⊂ R
n
C
l
s
1
, s
2
, s
3
0 ≤ s

1
≤ l, 0 ≤ s
2
≤ l − 1, 0 ≤ s
3
≤ l.
s
1
+ s
2
+ s
3
≥
n
2
(s
1
, s
2
, s
3
) = (0, 0,
n
2
), (0,
n
2
, 0), (
n
2

, 0, 0)
s
1
, s
2
, s
3
, Ω
|b(u, v, w)| ≤ c|Ω|
s
1
+s
2
+s
3
n
−
1
2
 u 
1+[s
1
]−s
1
[s
1
],Ω
 u 
s
1

−[s
1
]
[s
1
]+1,Ω
 v 
1+[s
2
]−s
2
[s
2
]+1,Ω
×
×  v 
s
2
−[s
2
]
[s
2
]+2,Ω
 w 
1+[s
3
]−s
3
[s

3
],Ω
 w 
s
3
−[s
3
]
[s
3
]+1,Ω
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
u, v, w ∈ C
∞
(
¯
Ω)
n
|b(u, v, w)| ≤ c|Ω|
s
1
+s
2
+s
3
n
−
1
2

 u 
s
1
,Ω
 v 
s
2
+1,Ω
 u 
s
3
,Ω
.
(s
1
, s
2
, s
3
) (0, 0,
n
2
)
(0,
n
2
, 0) (
n
2
, 0, 0) L

∞
|b(u, v, w)| ≤ cu
L
∞
v
1,Ω
w
0,Ω
≤ cu
1−t
l

,Ω
u
t
l,Ω
v
1,Ω
w
1−t
0,Ω
.
n
2
= (1 − t)l

+ tl, t ∈ (0, 1), Ω C
l
|b(u, v, w)| ≤ cu
0,Ω

v
1,Ω
w
L
∞
≤ cu
0,Ω
v
1,Ω
w
1−t
l

,Ω
|w
t
l,Ω
.
|b(u, v, w)| ≤ cu
0,Ω
w
0,Ω
∇v
L
∞
≤ cu
0,Ω
w
0,Ω
v

1−t
l

+1,Ω
v
t
l+1,Ω
.
u, v, w ∈ V
b(u, v, w) = −b(u, w, v),
b(u, v, v) = 0.
b(u, v, v) =
3

i,j=1

Ω
u
i
∂v
j
∂x
i
v
j
ds
=
1
2
3


i,j=1

Ω
u
i
∂
∂x
i
(v
j
)
2
ds
= −
1
2
3

i,j=1

Ω
∂u
i
∂x
i
(v
j
)
2

ds
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
= −
1
2
3

j=1
(

Ω
(
3

i=1
∂u
i
∂x
i
)v
2
j
)ds = 0.
3

i=1
∂u
i
∂x
i

= div u = 0.
b(u, v, w) + b(u, w, v) = b(u, v + w, v + w) = 0.
u, v ∈ C
∞
(
¯
Ω)
n
B(u, v)
B(u, v) = P (u · ∇v)
Ω ⊂ R
n
C
l
s
1
, s
2
, s
3
0 ≤ s
1
≤ l 0 ≤ s
2
≤ l − 1 0 ≤
s
3
≤ l s
1
+ s

2
+ s
3
≥ n/2 (s
1
, s
2
, s
3
) (n/2, 0, 0)
(0, n/2, 0) (0, 0, n/2) c = c(s
1
, s
2
, s
3
, Ω)
∀u, v ∈ C
∞
(
¯
Ω)
n
|A
−s
3
/2
B(u, v)| ≤ c|Ω|
s
1

+s
2
+s
3
2
−
1
2
u
1+[s
1
]−s
1
[s
1
],Ω
u
s
1
−[s
1
]
[s
1
]+1,Ω
×
×v
1+[s
2
]−s

2
[s
2
]+1,Ω
v
s
2
−[s
2
]
[s
2
]+2,Ω
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Ω ⊂ R
d
, d = 2 d = 3
C
l
, l ≥ 2
du
dt
+ νAu + B(u, u) = f
u(0) = u
0
.
w
1
, w

2
, , w
m
p
m
: H −→ span(H).
P
m
d
dt
P
m
u = νA(P
m
u) + P
m
B(u, u) = P
m
f.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
du
m
dt
+ νAu
m
+ P
m
B(u
m
, u

m
) = g
m
u
m
(0) = u
0
m
u
m
(t) ∈ P
m
H
ξ
i
= ξ
j
(t) ξ
j
(t) = (u
m
(t), w
j
)
η
j
(t) = (g
m
(t), w
j

)
w
j
d
dt
(u
m
, w
j
) + ν(Au
m
, w
j
) + (P
m
B(u
m
, u
m
), w
j
) = (g
m
, w
j
)
⇔
dξ
j
dt

+ ν(u
m
, Aw
j
) + b(u
m
, u
m
, w
j
) = η
j
.
u
m
(t) =
m

j=1
ξ
j
w
j
Aw
j
= λ
j
w
j
dξ

j
dt
+ νλ
j
ξ
j
+
m

k,l=1
b(w
k
, w
l
, w
j
)ξ
k
ξ
j
= η
j
, j = 1, m.
(u
0
m
, w
j
) = ξ
0

j
ξ
j
(0) = ξ
0
j
, j = 1, m.
T > 0 g
m
(t)
V

w
j
∈ V
η : [0, T] → R
n
ξ(t)
t = 0
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
b(w
k
, w
l
, w
j
)
b(w
k
, w

l
, w
j
) = −b(w
k
, w
j
, w
l
).
ξ(t)
η η
ξ
ξ
j
1
2
d|ξ(t)|
2
dt
+ ν
m

j=1
λ
j
ξ
2
j
(t) =< η(t), ξ(t) > .


k,l,j
b(w
k
, w
l
, w
j
)ξ
k
ξ
l
ξ
j
= 0.
t > 0 λ
j+1
> λ
j
> 0
1
2
d|ξ(t)|
2
dt
+νλ
1
m

j=1

ξ
2
j
(t) ≤< η(t), ξ(t) >≤ |η(t)||ξ(t)| ≤
νλ
1
2
|ξ(t)|
2
+
|η(t)|
2
2νλ
1
.
d|ξ(t)|
2
dt
≤ −νλ
1
|ξ(t)|
2
+
|η(t)|
2
νλ
1
.
|ξ|
2

≤ |ξ
0
|
2
e
−νλ
1
t
+

t
0
e
−νλ
1
(t−s)
|η(s)|
2
νλ
1
ds.
|η(t)| |ξ(t)|
| < η(t), ξ(t) > | ≤ (
m

j=1
λ
j
ξ
2

j
)
1
2
(
m

j=1
λ
−1
j
η
2
j
)
1
2
.
u
m
(t) =
m

j=1
ξ
j
(t)w
j
, g
m

(t) =
m

j=1
η
j
(t)w
j
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1
2
d
dt
|u
m
|
2
+ νu
m

2
≤ |A
−
1
2
g
m
|u
m

 ≤
ν
2
u
m

2
+
1
2ν
|A
−
1
2
g
m
|
2
.
|u
m
|
2
≤ |u
m
(0)|
2
e
−νλ
1

t
+

t
0
e
−νt(t−s)
|g
m
(s)|
2
v

ν
ds.
|h|
v

= |A
−
1
2
h|
u
0
m
g
m
L
2

(0, T ; V

)
L
p
(I, X), I ⊂ R, 1 ≤ p ≤ +∞
X(t) : I → X
X(t)
X

I
X(t)
p
X
dt, p ≤ +∞
t∈I
sup X(t) < ∞
p < ∞

T
0
|g
m
(s)|
2
V

ds ≤

T

0
|g(s)|
2
V

ds
g ∈ L
2
(0, T ; V

)
|u
m
(0)| ≤ |u
0
|.
u
m
L
∞
(0, T ; H)
t ≤ T
|u
m
(t)|
2
+ ν

t
0

u
m
(s)
2
ds ≤ |u
0
m
|
2
+
1
ν

t
0
|A
−
1
2
g
m
(s)|
2
ds.
ν

T
0
u
m

(s)
2
ds ≤ |u
0
|
2
+
1
ν

T
0
|g(s)|
2
V

ds.
u
m
L
2
(0, T ; V ).
du
m
dt
= −νAu
m
− P
m
B(u

m
, u
m
) + g
m
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
u
m
L
2
(0, T ; V ) Au
m
L
2
(0, T ; V

)

T
0
|Au
m
|
2
V

ds =

T

0
u
m
(s)
2
V
ds.
|P
m
B(u
m
, u
m
)|
V

= |A
−
1
2
P
m
B(u
m
, u
m
)| = |P
m
A
−

1
2
B(u
m
, u
m
)|
≤ |A
−
1
2
B(u
m
, u
m
)|.
|P
m
B(u
m
, u
m
)|
V

≤ c|u
m
|
1
2

u
m

3
2
.
|u
m
| u
m
(s) |P
m
B(u
m
, u
m
)|
V

g
m
L
2
(0, T ; V

)
du
m
dt
L

4
3
(0, T ; V

)
g
m
(t) =
m

j=1
η
j
(t)w
j
, u
0
m
=
m

j=1
ξ
0
j
w
j
.
u
m

(t) =
m

j=1
ξ
j
(t)w
j
[0, T ]
u
m
L
∞
(0, T ; H) L
2
(0, T ; V )
du
m
dt
L
4
3
(0, T ; V

).
u
m

T
0

 u
m
(s) 
2
V
ds ≤ M
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

T
0

d
ds
u
m
(s)
p
V

ds ≤ M
M > 0, p > 1 m = 1, 2, u
m
j
u
m
L
2
(0, T ; H) u ∈ L
2
(0, T ; H)

lim
j→∞

T
0
|u
m
j
(s) − u(s)|
2
H
ds = 0.
V ⊂ H ⊂ V

X
1
→ X
0
→ X
−1
X
1
→ X
0
X
0
→ X
−1
u : [0, T ] → X
0

du/ds ∈ L
p
(0, T ; X
−1
) 1 < p < ∞
v ∈ L
p
(0, T ; X
−1
)
u(t
2
) − u(t
1
) =

t
2
t
1
v(s)ds.
t
1
, t
2
∈ [0, T ]

t
2
t

1
v(s)ds
L(

t
2
t
1
v(s)ds) =

t
2
t
1
L(v(s))ds
∀L ∈ (X
−1
)

X
−1
 > 0 C

> 0 ∀x ∈ X
1
 x 
0
≤ ε  x 
1
+C


 x 
−1
.
x
m
∈ X
1
 x
m

0
≥ ε  x
m

1
+m  x
m

−1
.
y
m
=
x
m
x
m

1

 y
m

0
≥  + m  y
m

−1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên