Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của hệ grandient trong không gian vô hạn chiều

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2
HOÀNG THỊ HONG TUYET
Sự TỒN TẠI VÀ TÍNH DUY NHAT NGHIỆM CỦA HỆ GRADIENT TRONG KHÔNG
GIAN
VÔ HẠN CHIỀU
Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60 46 01 02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học TS. Trần Văn Bằng
Hà Nội, 2014
Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới các thầy cô giáo, đặc biệt là TS. Trần
Văn Bằng, những người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành
luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến ban lãnh đạo, các thầy cô giáo, cán bộ, nhân viên
trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập tại
trường.
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn động
viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 7 năm 2014 Tác giả
Lời cam đoan
Luận văn này là kết quả của bản thân tôi đạt được trong quá trình học tập và nghiên cứu, dưới sự
hướng dẫn của TS. Trần Văn Bằng và sự giúp đỡ của các Thầy, Cô trong khoa Toán Trường Đại học
Sư phạm Hà Nội 2 và của các Thầy, Cô đã trực tiếp giảng dạy chúng tôi.
Trong khi nghiên cứu, hoàn thành bản Luận văn này tôi đã tham khảo một số tài liệu đã ghi
trong phần tài liệu tham khảo.
Tôi xin khẳng định kết quả của đề tài “Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của hệ Gradient trong
không gian vô hạn chiều” không có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác.
Hà Nội, tháng 1 năm 2014 Tác giả
Hoàng Thị Hồng Tuyết
Mục lục
Mở đầu

Chương 1.
Kiến thức chuẩn bị
Sự tồn tại và nghiệm của hệ gradient trong
không
1.
3
3
6
9
1
1
2
1
2
1.1.1.
1.1.2.
1.1.3.
1.1.3.


1.2.
1.2.1
.
1.
Không gian Bochner - Sobolev trên không gian một chiều
Không gian Bochner-Sobolev và Bochner-Lebesgue
Hệ gradient trong không gian hữu hạn chiều
Liên hệ đối với hệ phương trình đại số
Gradient Euclidean của hàm trên M
d

Hệ gradient tổng quát trong R
d

Không gian Bochner - Lebesgue
Hệ gradient Euclidean
Tích phân Bochner
Chương 2.
3
1
3
1
31


2.1
2.1.1
.
Hệ Gradient trong không gian vô hạn chiều
Gradient của dạng toàn phương
gian vô hạn chiều
Khái niệm gradient
2.1.3. Không gian Sobolev trên ri
2.1.4. Toán tử Dirichlet Laplace
2.1.5. Toán tử Dirichlet - p -

Laplace
Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm của hệ gradient
Hệ gradient không autonom
Sự tồn tại và duy nhất nghiệm toàn cục của hệ gradient với

năng lượng lồi
Sự tồn tại và duy nhất nghiệm toàn cục của hệ gradient với
năng lượng elliptic
Kết luận
Tài liệu tham khảo
3
7
4
0
2.
2.2.
2.2.
4
2.2.
5
8
7
Mở đầu
Phương trình đạo hàm riêng là một bộ môn quan trọng trong ngành Toán. Cũng
như các môn khoa học khác, nó xuất hiện trên cơ sở phát triển của khoa học kĩ thuật
và những yêu cầu của thực tiễn. Nó đóng vai trò là chiếc cầu nối giữa toán học và
ứng dụng. Phương trình đạo hàm riêng được nghiên cứu theo nhiều hướng khác nhau
và gắn liền với tên tuổi của nhiều nhà toán học nổi tiếng như: Euler, Dalambert,
Lagrange, Laplace, Riemann . Các nhà toán học đã coi nó là một công cụ quan
trọng để mô tả các mô hình Vật lý. Trong chương trình đào tạo thạc sĩ chuyên ngành
Toán giải tích tôi đã được giới thiệu lý thuyết cơ bản về phương trình đạo hàm riêng
tuyến tính, một số cách tiếp cận phương trình đạo hàm riêng phi tuyến trong không
gian hữu hạn chiều, nhưng chưa có điều kiện nghiên cứu về các phương trình trong
không gian vô hạn chiều. Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về lĩnh vực này, dưới sự
hướng dẫn, giúp đỡ tận tình của TS. Trần Văn Bằng, tôi chọn đề tài: “Sự tồn tại và

tính duy nhất nghiệm của hệ gradient trong không gian vô hạn chiều”.
Luận văn tìm hiểu về:
- Hệ gradient trong không gian hữu hạn chiều, trong không gian vô hạn
chiều.
- Khái niệm nghiệm suy rộng của hệ gradient trong không gian vô hạn chiều.
Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của hệ gradient trong
không gian vô hạn chiều.
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1. Hệ gradient trong không gian hữu hạn chiều
1.1.1. Gradient Euclidean của hàm trên Rd
Kí hiệu Rd = {u = (ui, ,Ud)\uị

e M, 1 < ỉ < d}.

Phần tử của Md được kí
hiệu là u

hoặc (Uị

) hoặc (Wj)i<j<d hoặc (ui, ,Uđ).
Tích vô hướng Euclidean trên Md được xác định bởi
d
(u, V ) = {u, v) euc = ^2 U ịVị, u = (Ui), V = ( Vị) e R d.
i=

1
Chuẩn sinh bởi tích vô hướng ||w|| := {u,uỶ ■
Kí hiệu (Mdy là không gian đối ngẫu của Rd, tức là không gian tất cả các
phiếm hàm tuyến tính liên tục từ Md —>

M. Với u'

G (Md)', ta viết
u'(ù) hoặc u'u hoặc (u',u) hay {u1, u)(Rđy
R
d
là giá trị của u'

tại điểm u.

Không gian đối ngẫu (Mdy được trang bị chuẩn
6
Đôi khi ta sử dụng II • II cho cả chuẩn trong và trong (Mdy. Tương tự (•, •) vừa là tích vô
hướng trong Rd vừa là cặp đối ngẫu giữa một phần tử của (Mdy và một phần tử của
Tính liên tục của hàm từ Rd hoặc (Rdy vào Rd hoặc (Rdy luôn được hiểu theo các tôpô
sinh bởi chuẩn.
BỔ đề 1.1 (BỔ đề biểu diễn, xem [2j, Định lí 2.13). Với mọi phiếm hàm tuyến tính
u' £ (M
d
y đều có duy nhất một phần tử и E M
d
sao cho:
Theo định nghĩa, nếu 8

là khả vi thì
S(u + h) = s(u) + {u1, h) + o(||/i||).
Nói cách khác, hàm h

—»• £{u

+ h)

được xấp xỉ bởi hàm afine h

—»• £{ù) + (u',h

)
với sai số o{\\h\\).

Phiếm hàm v!

biểu diễn số hạng tuyến tính được xác định một cách
duy nhất.
Đạo hàm của £

là hàm S' :

и

—>

(Mdy cho tương ứng mỗi и

£

и

với
phiếm hàm tuyến tính u'

G (Kdy xác định bởi (1.2). Ta kí hiệu đạo hàm của £

tại điểm и
là E'(ù).
Ta nói rằng 8

khả vi liên tục nếu £

là khả vi và đạo hàm 8'

liên tục từ u vào (Kdy. Tập
tất cả các hàm khả vi liên tục từ и

—>• M là không gian vectơ và được kí hiệu là c
l
(u).
Với u

€ u, ta nói hàm s có đạo hàm theo hướng h € nếu tồn tại
giới hạn
Nếu h =

e* là vectơ cơ sở chính tắc thì ta goi =: và goi
deị ƠUị
là đạo hàm riêng của s

theo Uị. Rõ ràng nếu s

khả vi thì s

có đạo hàm theo mọi hướng h
G Rd tại u và:
!^(u) = E'(u)h.
Định nghĩa 1.3 (Gradient Euclidean). Cho u c R

d

là tập mở, £:[/—>■ M là hàm khả vi.
7
Gradient Euclidean của £

là hàm Veuc£ cho tương ứng mỗi điểm u

G u

với một phần tử
duy nhất V

eu c

E(ù)

€ sao cho
S'(u)v = <v
euc
£(u),v)c u c, Vv e ra*. (1.3)
Theo Bố đề biếu diễn (Bố đề 1.1), gradient Euclidean V
eu c

£

xác định
và duy nhất. Nhớ rằng gradient Euclidean của s

tại u

là một phần tử của Md (một véc tơ)
khác với đạo hàm £'{u

) là một phần tử của không gian đối ngẫu (Mdy.
Các bổ đề sau đây là những kết quả quen thuộc của Giải tích cổ điển.
Bổ đề 1.4 (Gradient Euclidean và các đạo hàm riêng). Với mỗi u

€ u,
„ , (dS, , ds . A
Bổ đề 1.5 (Gradient Euclidean và hướng tăng mạnh nhất). Giả sử rằng s là khả vi
tại u G u và £'{ù) Ỷ 0- -^2 tồn tại duy nhất một hướng tăng mạnh nhất, tức
là tồn tại duy nhất một vectơ V e R
d
với IIVII = 1
và:
||£'(u)|| = sup E'(ù)w

= £'{ù)v.
|M|-1
Giả sử V là hướng tăng mạnh nhất, ta có:
v

eu c

£{u)

= ||£'(u)||v.
Bổ đề 1.6. Cho u CI
á
lầ một tập mở và cho £ : u —> M ỉà một hàm khả vi. Khi
đó s là khả vi liên tục nếu và chỉ nếu gradient Euclidean V
e u c
£ : u —> M
d


là liên tục.
1.1.2. Hệ gradient Euclidean
Định nghĩa 1.7 (Hệ gradient Euclidean). Hệ gradient Euclidean là
hệ phương trình vi phân thường có dạng:
8
ù + veuc£{ù) = 0, (1.4)
trong đó s

là một hàm thực khả vi liên tục đã cho trênmột tập mở
u c Rd.
Ân hàm u

của phương trình này là một hàm giá trị, xác định trên một khoảng I

c R. Nói
chung I

cũng chưa xác định cụ thể.
Hệ gradient Euclidean là một trường hợp đặc biệt của phương trình vi phân thường
ủ + F(t, u) = 0, (1.5)
trong đó F : D

Rd là một hàm xác định trên tập mở D

CM1+d khi
F(t,u ) = Veuciu) với (t, ù) G D = R X u.
Khi viết đầy đủ, hệ gradient có dạng:
ủ(t) + veuc£(u(t)) = 0.
Ta gọi hàm u : I —>

IRd là một nghiệm của phương trình vi phân
(1.5) nếu u

liên tục, F(-,u(-))

khả tích địa phương và nếu
1 lựu, r Ự,UỰJJ

KiiiA Iiun UỊa, pnuung va, nt
í
u(t) = U(S)-ỊF (r,u(r))dr, Vs,tel.
s
Nói riêng, nghiệm của hệ gradient (1.4) là một hàm liên tục u : I —>

Rd sao cho:
í
u(t) = u(s) - I veuc£(u(r))dr, Vs,t G I.

s
Nếu u

là một nghiệm của hệ gradient (1.4), thì đạo hàm theo biến
thời gian của u

luôn luôn bằng — V£{u)

và do đó nó chỉ lượng giảm sâu
nhất (Bổ đề L5). Vì thế, một cách tự nhiên ta kì vọng rằng năng lượng s

luôn giảm dọc
theo nghiệm bất kỳ của hệ gradient.
Bổ đề 1.8. Nếu u ỉà một nghiệm của hệ gradient (1.4) và s là khả vi
liên tục thì hàm hợp £(u) = s o u là hàm giảm. Hơn nữa, nếu hàm hợp £
(u) không đổi thì nghiệm u cũng không đổi.
Chứng minh.

Vì hàm s

và nghiệm u

là khả vi liên tục, nên hàm hợp S{ù)

cũng khả
9
vi liên tục. Ta chỉ cần chứng minh đạo hàm của S{ù)

không dương. Thật vậy:
J

t

£{u)

= £'{u)ù

= (Ve„c£(u),ủ}elịC = - (ù,ù)euc <

°- Chứng tỏ S(u)

là
giảm (theo t

), hơn nữa nếu S(u)

không đổi thì {ủ, ủ)

=
0 nên ủ =

0, vì vậy u

không đổi. □
Định nghĩa 1.9. Giả sử u c M
d
là tập mở, F : u —>• R
d
liên tục. Ta gọi s : u —>

M
là một hàm năng lượng của phương trình vi phân thường
ủ

+ F(u

) = 0, (1.6)
1
nếu với mỗi nghiệm u

của phương trình đó, hàm hợp £(u)

= £ o u

giảm (theo t

).
Theo Bổ đề 1.8, £

là hàm năng lượng của hệ grtadient (1.4).
Hàm năng lượng cũng được gọi là hàm Lyapunov và trong một số tài liệu về tối ưu nó
còn có tên là hàm chi phí (cost function). Các phương trình vi phân có hàm năng lượng
được gọi là hệ tiêu tán.
Bổ đề 1.10. Mọi điểm giới hạn của một nghiệm toàn cục của hệ gradient
Euclidean (1.4) đều là một điểm căn bằng của s. Nói cách khác, nếu
u : R
+
—»• R
d
là một nghiệm, và nếu ip = lim u(t

n
) với một dãy số (tn /* 00) và
nếu ip G u, thì VeucS(tp) = 0.
Chứng minh.

Theo Bổ đề 1.8, hàm hợp £{u

) giảm. Do lim £{u{t

n

))

=
___ n—¥00
S(tp)

nên £{ù)

bị chặn dưới. Tích phân của đẳng thức —S{ù)

= — Ị|w|Ị2
~b 00 £+1
ta có f

||m||2 hữu hạn. Từ đó suy ra lim f

||ủ||2 = 0. Do vậy,
0 *->0° t
tn

H- ®
lim u(t

n

+ s)

= lim (u(t

n) + / ủ) = ự)

đều theo s

€ [0,1],
n—>00 n—>00 J
tn
vì theo Bất đẳng thức Holder:
tn + s
tn “I” ® t
n
+ s
/
ủ II < sup I ||ủ|| < ( / ||ủ||
2
)2 —y 0 khi n —> 00.
se [0,1] J
J
tn tn tn
n—

sup
se
Do tính liên tục của V
eu c

£

, từ trên suyra lim V
eu c

£(u(t

n

+ s)) = 0 đềutheo s

€ [0,1], và do
đó:
v,„c£(v) = I veuc£(tp)
0
1
= lim / Veílc£ (u(t

n

+ s))ds
n—>00 J 0
1
= — lim / ủ(t

n

+ s)ds —

0.
n—> 00 J
0
Vậy ta có điều phải chứng minh. □
1.1.3. Liên hệ đối với hệ phương trình đại số
Giả sử u C R

d

là một tập mở và cho F

: u —>

là hàm khả vi liên tục. Xét bài toán
tìm nghiệm ũ

G u

của phương trình đại số
F(ũ) = 0.
Có một cách để giải bài toán này là xét hàm s : u —>

M xác định bởi £{ù)

= -||F(w)||
2, trong đó II • II là chuẩn Euclidean. Khi đó, ta có F(ũ) =

0 <=> £{ũ)

= 0. Vì £

là hàm
dương nên bài toán trở thành tìm một điểm cực tiểu của s trong u. Nếu s đạt cực tiểu ta hi
vọng rằng cực tiểu bằng 0. Cực tiểu của s

được tìm nhờ phương pháp gradient giảm. Dễ
thấy
£'(u)v = (F(u), F'(u)v) với mọi u £ u,v £
Ta định nghĩa liên hợp của F'iu

) đối với tích vô hướng Euclidean là ánh xạ tuyến tính
F'{uỴ

: Md —»• Rd cho bởi:
(F1 (uỴV, w) = (v, F'(u)w), Vv,w e M
d
.
Với khái niệm này thì gradient Euclidean của hàm £

cho bởi
V£(u) = F'(uỴF(u),

và hệ gradient
Euclidean gắn với £

là phương trình vi phân

ù + F'(u)*F(u) = 0.
Mệnh đề 1.11. Giả sử rằng F'{y) khả nghịch với mọi V G u và tồn tại
một nghiệm (toàn cục) u : M
+
—> của (1/7) với tập giá trị compact tương đối
trong u. Khi đó tồn tại ũ e Ư sao cho F(ũ) = 0.
Chứng minh.

Vì u

có tập giá trị compact tương đối trong u nên tồn tại
một dãy (t

n

/*

00) và một phần tử ũ

G u sao cho lim u(t

n) = ũ.

Theo
ĩl

—>00
chứng minh trên, phương trình vi phân (1.7) là hệ gradient Euclidean
1
gắn với hàm: £(u

) = -||F(ií)ỊỊ2. Theo Bổ đề (1.10), u

€ u là điểm tới
Ái
hạn của £

nên F'{uỴF{ù)

= 0. Vì F'{u

) khả nghịch nên F'{uỴ

cũng khả nghịch. Do vậy
F(ũ

) = 0. □
Từ chứng minh trên ta thấy, mọi điểm giới hạn của nghiệm toàn cục
bất kì của hệ gradient Euclidean (1.7) có tập giá trị compact tương đối
trong u đều là nghiệm của phương trình đại số F(ũ) —

0. Nói cách khác, bài toán tìm
nghiệm của phương trình đại số có thể chuyển thành bài toán tìm nghiệm toàn cục của hệ
gradient có tập giá trị compact tương đối.
Vì thế chúng ta sẽ nghiên cứu bài toán tìm nghiệm toàn cục của hệ gradient Euclidean.
Trước hết chúng ta sẽ khái quát hóa khái niệm gradient theo một tích vô hướng bất kỳ
trong Md.
(1.
1
1.1.4. Hệ gradient tổng quát trong Md

Ta nhắc lại rằng, tích vô hướng trên Rd là một dạng song tuyến tính, đối xứng, xác
định dương bất kì trên Rd.
Kí hiệu: £2(I^d;®0 là không gian tất cả các dạng song tuyến tính a

: Md X Md —
► R. Không gian này là không gian vecto với phép cộng và phép nhân với vô hướng
thông thường và nó là không gian Banach với chuẩn
||a|| := sup \\a(u,

f)||.
ỊHỊ<1
ÌMỈ<1
Kí hiệu Inner(Rd) là tập tất cả các tích vô hướng trên Rd thì Inner(Md) c £2(I^d;
và nó là không gian metric với metric cảm sinh bởi chuẩn trên £

2

{R

d

-,R).
Bổ đề 1.12 (Bố đề biểu diễn, xem PJ, Định lý 2.13). Giả sử (•, •) là một tích vô
hướng trên Khi đó với mọi phiếm hàm, tuyến tính u' e (M
d
y đều tồn tại
duy nhất một vectơ u £ sao cho
v!{v) = (u,v), G Md. (1-8)
Ta nói phiếm hàm u'

được biểu diễn bởi phần tử M G ld đối với tích vô hướng
(•,•).
Bổ đề 1.13. Cho (•, •) là một tích vô hướng trên M
d
. Khi đó tồn tại một ánh
xạ tuyến tính Q : —»• R
d
có các tính chất sau:
(i) Đối xứng, tức là với mọi v,w € R
d
ta có {Qv,w)euc = {v,Qw)euc,
(iỉ) Dương, tức là với mọi V E ta có (Qv,v) > 0;
(iii) Xác định, tức là nếu (Qv,w)euc = 0 với mọi w € thì V = 0, và
1
(iv) Vói mọi v,w eRd ta có
(v,w)

= (Qv,w)euc.
Chứng minh.

Với mỗi V € ánh xạ v ' : —>

M xác định bởi v'(w) =

(V

, w

), w

€ tuyến tính, liên tục. Theo Bổ đề biểu diễn, Bổ đề
áp dụng với tích vô hướng Euclide, tồn tại Qv

e Md sao cho v'(w) = (Qv, w)

eu c

với mọi
w

G Vậy Q thỏa mãn tính chất (iv). Từ tính song tuyến tính của (•, •), ta có Q là tuyến
tính. Theo định nghĩa của Q và tính đối xứng của các tích vô hướng,
(Qv,w}euc = (v,w) = (w,v) = (Qw,v}euc = {v,Qw}euc, \/v,w e
hay Q

đối xứng. Hơn nữa, với mọi V

G {Qv,v)

eu c

= (v,v)

eu c

>

0.
Cuối cùng, (Qv,w)

eu c

=

0 với mọi w

G Md =>• (v, w)

= 0 với mọi w e R

d

=> V =
0.

Vậy Q

xác định. □
Định nghĩa 1.14 (Metric Rieman). Cho u

C Md là một tập mở. Mỗi hàm liên tục g :

u
—»■ Inner(Md) được gọi là một metric Rieman trên u.

Nếu g

là một metric Rieman trên
u,

ta kí hiệu (-,-)5(u) là tích vô hướng g{u)

và II • ||s(u) là chuẩn sinh bởi tích vô hướng
g(u)

trên Rd.
Bổ đề 1.15. Giả sử g : u —> Inner(M
d
) là một metric Rieman và Q : u —>• £
(K
d
) là hàm cho bởi
(Q(u)v, w)euc = (V, w)
g{u)
, Vu£U, v,w £R

d



.
Khi đó Q liên tục.
1.
1
Chứng minh.

Với mọi UI ,U
2
£

и

ta có
IIQ{uị) - Q{U
2
)II = sup \\Я{щ)у - Q{U
2
)VII
IMI —1
= sup I (Q(ui)v - Q(U
2
)V, w)

eu c

I
IMI—1
||ги||<1
= s ụ p I < « . » > „ ( . , ) - < « . “ > г ы 1
1I«1I<1
||гу||<1
= \Ì9(ui) -д{ щ )\\
Mà g

liên tục nên Q

liên tục. □
Cho u

Ç Md là tập mở, £ :

и

—>

R là hàm khả vi liên tục. Ta biết rằng, với mỗi и

£
u và mọi V e R

ẵ

đạo hàm và gradient Euclide của £

liên hệ với nhau bởi
£'{u)v = (’Veuc£(u),v)euc.
Từ đây và Bổ đề biểu diễn 1.12, ta tổng quát hóa khái niệm gradient theo hai cách như
sau:
Cách 1: Với một tích vô hướng bất kì (•, •) trên Md, ta định nghĩa gradient của £

đối với
tích vô hướng này là hàm V£ cho tương ứng mỗi и

£

и

với phần tử duy nhất V5(m) € Md
sao cho
£'{u)v = (V£{u), v), VveR

d



.
Cách 2: Với một metric Rieman g

trên U

:

ta định nghĩa gradient của £

đối với g

là hàm
VgS

cho tương ứng mỗi и

€ и

với phần tử duy nhất Vg£(u)

G Md sao cho:
£'{u)v

= (Vg£

(u), v

)g{u), Mv

G R

d

.
1
Nếu metric g

đã rõ ràng thì ta có thể bỏ qua chữ g

trong kí hiệu gradient.
Rõ ràng, sự khái quát hóa thứ hai chứa sự khái quát hóa thứ nhất vì cách thứ nhất
tương ứng với trường hợp metric Rieman không đổi trong cách thứ hai.
Bổ đề 1.16. Nếu £ : u —»• M khả vi liên tục, và g là một metric Rieman trên
u, thì gradient V g£ : u —¥ ỉỉên tục.
Chứng minh.

Gọi Q là hàm xác định trong Bổ đề 1.15, ta có Vg£(u

) =
Q(u

)
1

V

eu c

£(u).

Theo Bổ đề 1.15 và Bổ đề 1.6 ta suy ra VgS

liên tục. □
Định nghĩa 1.17. Hệ gradient (tổng quát) trong là phương
trình vi phân thường có dạng
i 4- Vg£(u) =

0,
trong đó VgS

là gradient của hàm khả vi liên tục £ :

u M đối với metric Rieman g.
Hệ gradient này nhận £ là hàm năng lượng (xem Bổ đề 1.8)
Bổ đề 1.18. Nếu u ỉà một nghiệm của hệ gradient (1.9) và £ khả vi
liên tục thì hàm hợp £(ù) = £ o u là hàm giảm. Hơn nữa, nếu hàm £{ù)
không đổi thì nghiệm u không đổi (theo t).
Chứng minh.

Do s

và u

khả vi liên tục, nên £(u)

cũng khả vi liên tục. Vì thế, ta chỉ cần
chứng tỏ đạo hàm của £{u

) là không dương. Thật vậy
Jt£{u) = £'{u)ù = (Vg£{u),ủ)g{u] = - (ủ:ủ}g{u) < 0
nên £(u

) giảm. Nếu £(u

) không đổi, thì {ù, ù)

(u )

= 0 nên ủ =

0 hay u
không đổi.
1
(1.
u
□
Sự tồn tại nghiệm địa phương của hệ gradient được khẳng định nhờ Định lý Caratheodory
cho phương trình vi phân tổng quát hơn sau đây.
Định lý 1.19 (Caratheodory, xem [|3Ịj, Định lý 2.6). Cho D

c R X Rd là tập mở, F

: D

—»■ (t,u

) = F(t,u

) là hàm thỏa mãn các điều kiện

Caratheodory sau:
F(-,u

) đo được với mỗi u, (1-10)
F(t,

•) liên tục với mỗi t và (1-11)
Với mỗi (í
0
,w
0
) ẽ D tồn tại a > 0, r > 0 và m €E L
1
(í
0
,ío + a) sao cho ||F(í, w)|| <
m(t) với mọi t £ (tũ, tũ + ot), u £ B(uo, r). (1-12)
Khi đó, với mỗi (t0,u
0
) e D bài toán Cauchy
ù + F(t, ù) = 0, u( t 0) = «0
có một nghiệm địa phương. Tức là tồn tại một khoảng I = [tữ, t0+a\ c tồn
tại một hàm liên tục u : I —> M
d

sao cho với mọi t € I
(1.14)
Ví dụ 1.20. a) Hàm u(t

) = —-—,t

€ [0,1), là nghiệm của
1 t
ủ

— u

2

=

0,
nhưng không thể thác triển thành nghiệm toàn cục (xác định trên
[0,oo)).
1
(1.1
Có thể thấy, cả hai phương trình trên đều là hệ gradient.
Nghiệm u : [t

0

, t

0

+ a\

—»■ Rd của phương trình vi phân
thường (1.13) được gọi là nghiệm cực đại nếu nó không thể
thác triển thành một nghiệm trên khoảng [t

ữ

,t

ữ

+

ß

] với ß

>
a.

Sự tồn tại của nghiệm địa phương luôn suy ra sự tồn tại
của nghiệm cực đại. Chứng minh điều này dựa trên Bổ đề
Zorn.
Hệ quả 1.22 (Sự tồn tại nghiệm địa phương của hệ gradient không autonom). Cho u
c R d là tập mở, £ : u —> K là hàm khả vi liên tục, g : u Inner(M
d
) là một
metric Rieman trên u. Giả sử I c M là khoảng mở, và f G Khỉđó,vớimọi
t0 E I vàmọiu0E u bài

toán
ũ + Vg£{u

) = /,
u(tQ) = UQ
b) Hàm
u(t)
bài toán
0 và u(t) = -t
2
, t € M+ là hai nghiệm phân biệt của
1
1
Hệ quả 1.21. Với các giả thiết của Định lý
tồn tại một nghiệm cực đại của bài toán (1.13)
Chứng minh. Xem [3J, Hệ quả 2.8.
Từ Định lý 1.19 ta có hệ quả sau:
với mỗi (t
0
,u
0
) e D
1.1
□
(1.1
CÓ nghiệm địa phương. Nghĩa là tồn tại một khoảng không suy biến J
= [tữ,tữ + a\ c I và tồn tại một hàm liên tục u \ J —¥ R
d
sao cho với
mọi

t e J
u(t) — uQ+ / 'Vg£(u(s))ds = / f(s)ds.
Jt0 J to
Chứng minh.

Ta chỉ cần kiểm tra các điều kiện Caratheodory. □
Nghiệm cực đại của hệ gradient (|1.15D được định nghĩa như đối với
L2ĨI hê
phương trình vi phân thường tống quát (1.13). Theo Hệ quả
gradient (1.15) luôn có một nghiệm cực đại. Đối với phương trình (1.13)
cũng như hệ gradient chúng ta cần: xác định khoảng tồn tại nghiệm cực
đại hoặc chứng minh nghiệm cực đại là nghiệm toàn cục. Ví dụ 1.20 (a)
cho thấy không phải phương trình (1.13) hay hệ gradient nào cũng có
nghiệm toàn cục. Nhưng dưới giả thiết tự nhiên về năng lượng, sự tồn tại nghiệm
toàn cục của hệ gradient có thể chỉ ra nhờ các đánh giá tiên nghiệm.
Hàm £

: Md —»• R là bức nếu với mỗi c e R tập mức dưới
K

c

:= {m € R

d

: S{u) < c

}
bị chặn.

Định lý 1.23 (Sự tồn tại nghiệm toàn cục của hệ gradient). Cho s : R
d
—> M là
hàm bức, khả vi liên tục, và g là một metric Rieman trên R
d
sao cho
\\v\\g{u) < C\\v\\eucì Vu,v e Rd, trong đó c > 0. Khỉ đó, với mọi u0 G và
với mỗi hàm f : [0,T] —>
1
2
M
d
(T > 0), hệ gradient không autonom
ủ + Vg£{u) = /,
u(0) = Mo
luôn có nghiệm cực đại trên [0,T]. Hơn nữa,
{u(t):t£[0,T]}CK
c
,
c
T
trong đó c = £(u
0
) -ị f II f lleĩic chỉ phụ thuộc vào dữ liệu u
ữ
, f và
hằng
2 0
số nhúng c.
kì của hệ gradient không autonom (1.16); sự tồn tại của nghiệm cực đại

Do V gS{ù) và / là các hàm liên
tục, nên nghiệm (cực đại) bất kì của (1.16) đều khả vi liên tục và thỏa mãn phương

trình (1.16) theo nghĩa cổ điển. Ta sẽ chứng minh rằng
T =T
Nhân phương trình (1.16) với ù theo tích vô hướng (■,■)<,(«)>
r
ồi lấy tích phân
trên [0,t] với (0 < t < T
max
< T), áp dụng bất đẳng thức
Cauchy- Schwarz và giả thiết về metric g ta có:
í
í í í
/ IMIỈM + / (V„£(u), «>,(„) = J (/>«>,(„)
0 0 0
1 1
s
ị J
ll/llỉí.)
+ ị J
ll*llĩt-)
0 0
T 1
< 1 / I I / I I L
+ ị j
I H I Ỉ O O
(1.16
được bảo đảm bởi Hệ quả
1.2

v
Theo định nghĩa của gradient và quy tắc đạo hàm hàm hợp, ta có (V

g

£{u),ủ}

g{ u )

=
£'{u)ũ = J

t

£{u).
Điều này và bất đẳng trên suy ra
t T
ị Ị IMIỈ(„) + í («(í)) < £(«o) + I / II/IIL =:
0 0
Vế phải của bất đẳng thức trên độc lập với t

e [0,Tmax), và số hạng thứ nhất ở vế
trái dương. Do đó tập giá trị {u(t

) : t

e [0, Tmax)} là một tập con của tập mức dưới
K

c

.

Do tính bức và tính liên tục của £

ta có K

c

bị chặn và đóng trong hay K

c

là
compact.
Vì gradient Vg£

liên tục trên K

c

(Bổ đề 1.16) và do tập giá trị của
u

chứa trong K

c

,

nên sup ||Vg£(M(í))||eílc < oo. Do đó, phương trình
íe[0,Tlax)
vi phân (1.16) suy ra HủỊỊeuc bị chặn và khả tích trên [0,Tmax). Vì thế, u

thác triển
thành một hàm liên tục trên khoảng đóng [0,Tmax].
Nếu Tmax < T

thì ta có thể thác triển nghiệm u

lên một khoảng lớn hơn bằng
cách giải hệ gradient ũ +

Vg£(ù)

= / với thời điểm ban đầu ^max và giá trị ban đầu
w(Tmax). Điều này mâu thuẫn với giả thiết u

là nghiệm cực đại. Vậy Tmax < T

là
không thể xảy ra hay Tmax = T

và u

là nghiệm toàn cục. □
Ta có thể sử dụng kết quả về sự tồn tại nghiệm của hệ gradient trong việc nghiên
cứu tìm nghiệm của phương trình đại số như sau.
Cho u

c R

là tập mở, và cho F : u —> R

d

là hàm khả vi liên tục. Xét bài toán
tìm một nghiệm ũ

ẽ u

của phương trình đại số
F(ũ) = 0.
c < oo.
Xét hàm 8

: u —>

M xác định bởi £(u)

= -||F(w)||2, trong đó II • II là chuẩn
Euclide trên Rd. Khi đó ta có F(ũ)

= 00 £(ũ)

= 0. Bây giờ ta cố gắng giải phương
trình £(ũ) =

0 bằng cách xét hệ gradient gắn với E.
Trong trường hợp này, ta giả sử đạo hàm F'{ù)

khả nghịch với mọi u

€ t/, và ta
định nghĩa g ■. u

Inner(Rd) bởi
w)9(u) = (-F'(wK F\u)w)
euc
, u e u, V, w e Rd
Rõ ràng, với mỗi u

G u

thì ánh xạ (•, xác định như trên là song
tuyến tính và đối xứng. Hơn nữa, với mỗi u

€ u, V € M
d
,
M

g{ u )

= {F'{u)v,F>{u)v)euc = \\F'(u)v\\lc > 0,
hay (■) ')g(u)

là nửa xác định dương. Nếu (v,v}

g { u )

=

0, thì \\F'(u)v\\

2

eu c

= 0 nên
F'{ù)v

= 0. Do F'(u

) khả nghịch nên V

= 0 hay (•, ■)<,(«) là xác định.
Do F'

liên tục nên g

liên tục. Chứng tỏ g

là metric Rieman trên u.
Đối với gradient của s

với metric g

ta có
(VgS(u),v)

£ J = s'{u)v

(định nghĩacủa gradient)
= (F(u),F'(u)v)

eu c

(tính£')
= ự{u)F>{u)-lF{u),F>{u)v)euc
= (F

/

(u)~

1

F(u),v

) ^ ^ (định nghĩa của mêtric g

).
Vậy
V

g

£(u)

= F'{u)-lF{u).
Do vậy, phương trình vi phân
ủ + F' { u)~lF{u ) = 0 (1.17)
là một hệ gradient gắn với năng lượng s.
Mệnh đề 1.24. Giả sử rằng F'{v)

khả nghịch với mỗi V € u, phương
trình (1.17) có nghiệm (toàn cục) u : K
+
—^M

d



vàu có tập giá trị
compact tương đối trong u. Khỉ đó tồn tại u £ u sao cho
F(ũ) = 0.
1.2. Không gian Bochner-Sobolev và Bochner-Lebesgue
Mục này giới thiệu ngắn gọn về tích phân Bochner của các hàm giá trị Banach và
về các không gian Bochner - Lebesgue, không gian Bochner - Sobolev. Đó là những
khái niệm cần thiết để nghiên cứu các phương trình vi phân trừu tượng trong không
gian Banach, đặc biệt là hệ gradient trong không gian Banach; nghiệm của các phương
trình vi phân trừu tượng được tìm trong không gian Bochner - Lebesgue hoặc không
gian Bochner - Sobolev các hàm giá trị Banach.
Trong cả mục này, ta chỉ xét tập con mở trong với độ đo Lebesgue. Nhưng hầu hết
các kết quả về tích phân Bochner và không gian Bochner
- Lebesgue vẫn đúng cho các không gian đo tổng quát.
1.2.1. Tích phân Bochner
Định nghĩa 1.25. Cho X là một không gian Banach thực với chuẩn

II • II, cho íì

c Kd là một tập mở và kí hiệu A

là ơ -

đại số Lebesgue các tập con của ri,
nghĩa là, ơ -

đại số nhỏ nhất chứa ơ -

đại số Borel (là ơ

đại số sinh bởi các tập mở) và
tất cả các tập con có độ đo Lebesgue bằng không. Độ đo Lebesgue trên Q

được kí hiệu
là ịi.
Hàm / : íì

—»• X

được gọi là hàm bậc thang, nếu tồn tại một dãy {A

n

)

ç A

các tập đo được
Lebesgue đôi một rời nhau và một dãy (x

n

)

С X

sao cho f = Ỵ2

x

nt

trong đó \A là hàm đặc
trưng của tập A.
Hàm / : ri X

là đo được nếu tồn tại một dãy (/n) các hàm bậc thang f

n

:

—> X

sao cho /n
—>• / hầu khắp nơi.
Lưu ý rằng trong trường hợp X

= M, định nghĩa này tương đương với cách định nghĩa
"nghịch ảnh của mọi tập đo được đều đo được". Từ định nghĩa ta có Bổ đề sau đây:
Bổ đề 1.26 (Xem [3] Bổ đề 5.1). Cho X,Y

là hai không gian Banach thực:
a) Mọi hàmliên tục f : ri —> X đều là hàm đo được.
b) Nếu / : —> X
đo được thì 11/11 : —> M cũng đo được.
c) Nếu f : n X đo được và g : X —>■ Y liên tục thì hàm hợp g о / : íỉ — »■ Y đo
được.
d) Nếu f : ri —>■ X và g : ri —)■ R đođược thì tích f g : Q — ^ X đo được.
e) Nếu f : —> X
và g : Q —> X' đo được thì tích (g, f )

x

,

x: Q — »• M đo
được.
f) Nếu ( f
n
) là một dẫy các hàm đo được từ— »• X sao cho fn —>• / hầu khắp nơi
thì Ị đo được.
Định lý 1.27 (Pettis, xem [3J, Định lý 5.2). Hàm f : íĩ —> X là đo được nếu và chỉ nếu
( x

f

,

/) là đo được với mọi x' € X' (khi đó ta nói f là đo được yếu) và tồn tại một
tập có độ đo Lebesgue không N £ A sao cho f ( í ì \ N )

là tách được.