Luận văn các điều kiện tối ưu cấp 2 cho những bài toán ràng buộc bất đẳng thức

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐẠO TÀO
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
TRẦN ĐỨC THỊNH
CÁC ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP HAI
CHO NHỮNG BÀI TOÁN VỚI
RÀNG BUỘC BẤT ĐẲNG THỨC
Chuyên ngành: Giải Tích
Mã số: 60 46 01 02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học
PGS-TS. PHAN NHẬT TĨNH
HUẾ 2014
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu
của riêng tôi, các số liệu và kết quả nghiên
cứu ghi trong luận văn là trung thực, được các
đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng
được công bố trong bất kì một công trình nào
khác.
Trần Đức Thịnh
ii
LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên của luận văn này em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo
hướng dẫn của mình, PGS-TS Phan Nhật Tĩnh. Thầy đã chọn đề tài, cung cấp
tài liệu và tận tình hướng dẫn em trong quá trình hoàn thành luận văn này.
Nhân đây em xin gửi lời cám ơn của mình tời toàn bộ các thầy cô giáo trong
khoa Toán học đã giảng dạy và giúp đỡ chúng em trong suốt quá trình học tập
tại khoa.
Đồng thời, tôi xin cảm ơn các bạn, các anh chị trong lớp Giải Tích K21,
khoa Toán đã nhiệt tình giúp đỡ tôi trong quá trình học tập tại lớp cũng như

quá trình soạn thảo luận văn này.
Trân trọng và chân thành cảm ơn!
Huế, 2014
Trần Đức Thịnh
iii
MỤC LỤC
Trang phụ bìa i
Lời cam đoan ii
Lời cảm ơn iii
Mục lục 1
Lời nói đầu 3
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 5
1.1. Bài toán tối ưu và các khái niệm cực tiểu . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1. Bài toán tối ưu. . 5
1.1.2. Các khái niệm cực tiểu 6
1.2. Hàm thực khả vi và định lý giá trị trung bình. . . . . . . . . . . 7
1.3. Gradient suy rộng trong không gian Banach. . . . . . . . . . . . . 7
1.3.1. Đạo hàm theo hướng suy rộng. . . 7
1.3.2. Gradient suy rộng. 8
1.4. Jacobi suy rộng trên R
n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5. Đạo hàm theo hướng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5.1. Đạo hàm theo hướng Dini. 9
1.5.2. Đạo hàm theo hướng Hardamard . 10
1.6. Hàm tựa lồi, hàm giả lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6.1. Hàm tựa lồi. 11
1.6.2. Hàm giả lồi . 12
1.6.3. Một số ví dụ 13
1.7. Một số khái niệm và tính chất cơ bản khác. . . . . . . . . . . . . 14

1
Chương 2. Điều kiện tối ưu cấp hai cho bài toán với ràng buộc bất
đẳng thức trong trường hợp khả vi liên tục 15
2.1. Điều kiện đủ cho cực tiểu toàn cục. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2. Điều kiện cần cho cực tiểu địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.1. Một số khái niệm và tính chất liên quan. . 22
2.2.2. Điều kiện cần cơ bản cấp 2. 23
2.2.3. Điều kiện cần đối ngẫu cấp 2. . 25
2.2.4. Trường hợp nhân tử Lagrange không phụ thuộc vào hướng. 26
2.3. Điều kiện đủ cho cực tiểu địa phương cô lập cấp 2 . . . 33
2.3.1. Điều kiện đủ đối ngẫu cấp 2. . 35
2.3.2. Điều kiện đủ cơ bản cấp 2. 37
2.4. Điều kiện tối ưu cho cực tiểu địa phương parabol. . . . . . . 41
2.4.1. Cực tiểu địa phương parabol . 41
2.4.2. Cực tiểu địa phương parabol cô lập cấp 2. 42
Chương 3. Điều kiện tối ưu cấp hai cho bài toán với ràng buộc bất
đẳng thức trong trường hợp Lipschitz địa phương 45
3.1. Điều kiện tối ưu cho cực tiểu địa phương. . . . . . . . . . . . . . . 45
3.1.1. Điều kiện cần cơ bản cấp 2. 45
3.1.2. Điều kiện cần đối ngẫu cấp 2. . 48
3.2. Điều kiện tối ưu cho cực tiểu toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.3. Điều kiện cho cực tiểu địa phương cô lập cấp 2. 51
3.3.1. Điều kiện đủ đối ngẫu cấp 2. . 51
3.3.2. Ví dụ . 53
3.3.3. Điều kiện đủ cơ bản cấp 2. 53
3.3.4. Điều kiện cần cơ bản cấp 2. 55
Kết luận 58
Tài liệu tham khảo 59
2
LỜI NÓI ĐẦU

Tối ưu hóa là một ngành toán học ứng dụng đã và đang được nhiều người
quan tâm, nghiên cứu, tìm hiểu và ứng dụng vào thực tiễn. Bài toán tối ưu là kết
quả của việc mô hình hóa những vấn đề nảy sinh từ thực tế, chúng có thể được
diễn đạt dưới dạng toán học là tìm biến số thỏa mãn những điều kiện nhất định
đồng thời làm cho một hàm số cho trước đạt giá trị cực tiểu (hay cực đại). Năm
1965, A. Ya. Dubovitskii và A. A. Mylyutin đã đưa ra lý thuyết các điều kiện
tối ưu dưới ngôn ngữ giải tích hàm và cho ta phương pháp giải tích hàm hiệu
quả để nghiên cứu các bài toán tối ưu và điều khiển. Công trình nổi tiếng của
Dubovitskii- Mylyutin đánh dấu một bước phát triển quan trọng của lý thuyết
tối ưu hóa. Do nhu cầu của kinh tế và kĩ thuật, lý thuyết tối ưu hóa phát triển
ngày càng mạnh mẽ và thu được nhiều kết quả quan trọng.
Người ta thường quan tâm nghiên cứu các điều kiện tối ưu cấp 1, cấp 2, và
cấp cao hơn. Nếu các điều kiện cần cấp 1 được dùng cho việc tìm ra tập tất cả
các điểm dừng thì các điều kiện cần cấp 2 lại rất hiệu quả trong việc loại bỏ các
điểm dừng không tối ưu. Chúng giúp ta xác định được điểm đã cho là một cực
tiểu (hay là một cực đại). Cuối cùng nhờ vào điều kiện đủ ta tìm được nghiệm
của bài toán tối ưu. Do đó điều kiện tối ưu cấp 2 tỏ ra rất hữu ích trong việc
tìm nghiệm của bài toán tối ưu. Sau các điều kiện tối ưu cấp 2 kiểu Fritz John
và Kuhn-Tucker thì lý thuyết các điều kiện tối ưu cấp 2 được mở rộng ra rất
nhiều hướng khác nhau đặc biệt là các bài toán với ràng buộc bất đẳng thức và
ràng buộc tập hợp.
Với mong muốn được tìm hiểu, nghiên cứu thêm về các điều kiện tối ưu và
được sự gợi ý, hướng dẫn của PGS.TS Phan Nhật Tĩnh, tôi chọn đề tài: Các
điều kiện tối ưu cấp 2 cho những bài toán với ràng buộc bất đẳng thức làm đề
tài nghiên cứu cho luận văn.
Về mặt cấu trúc, luận văn được chia làm 3 chương:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.
Trong chương này tác giả trích dẫn một số khái niệm, định lý, tính chất tổng
hợp lại từ các tài liệu tham khảo [1], [4], [6], [7], [8], [9], [10], [11]. Tất cả đều là
3

những kiến thức bổ trợ cho chương 2 và chương 3. Cụ thể chương này trình bày
những nội dung sau.
1.1: Bài toán tối ưu và các khái niệm cực tiểu.
1.2: Hàm số khả vi và định lý giá trị trung bình.
1.3: Garadient suy rộng trong không gian Banach.
1.4: Jacobi suy rộng trên R
n
.
1.5: Đạo hàm theo hướng.
1.6: Hàm tựa lồi, hàm giả lồi.
1.7: Một số khái niệm và tính chất cơ bản khác.
Chương 2: Điều kiện tối ưu cấp 2 cho bài toán với ràng buộc bất
đẳng thức trong trường hợp khả vi liên tục.
Trong chương này, dựa trên cơ sở các tài liệu tham khảo [2], [4], [5], [6], [7], [9],
[10], tác giả nghiên cứu những nội dung cụ thể sau.
2.1: Điều kiện đủ cho cực tiểu toàn cục.
2.2: Điều kiện cần cho cực tiểu địa phương.
2.3: Điều kiện đủ cho cực tiểu địa phương cô lập cấp 2.
2.4: Điều kiện tối ưu cho cực tiểu địa phương parabol.
Chương 3: Điều kiện tối ưu cấp 2 cho bài toán với ràng buộc bất
đẳng thức trong trường hợp Lipschitz địa phương.
Những nội dung được nghiên cứu trong chương này chủ yếu dựa trên cơ sở các
tài liệu tham khảo [12], [3] cụ thể nghiên cứu những vấn đề sau.
3.1: Điều kiện tối ưu cho cực tiểu địa phương.
3.2: Điều kiện tối ưu cho cực tiểu toàn cục.
3.3: Điều kiện cho cực tiểu địa phương cô lập cấp 2.
Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian và khả năng có hạn nên các vấn
đề trong khóa luận vẫn chưa được trình bày sâu sắc và không thể tránh khỏi có
những sai sót trong cách trình bày. Mong được sự góp ý xây dựng của thầy cô
và các bạn. Em xin chân thành cảm ơn!

4
Chương 1.
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ.
1.1 Bài toán tối ưu và các khái niệm cực tiểu.
1.1.1 Bài toán tối ưu.
Xét bài toán tối ưu với ràng buộc bất đẳng thức, đẳng thức và ràng buộc tập
sau
(P) :













f
0
(x) −→ min
x ∈ X
f
i
(x) ≤ 0, i = 1, 2, . . . , m
h
j

(x) = 0, j = 1, 2, . . . , q
trong đó hàm f
0
: X → R được gọi là hàm mục tiêu, hàm f
i
: X → R, i =
1, 2, . . . , m và h
j
: X → R, j = 1, 2, . . . , q gọi là hàm ràng buộc. "x ∈ X" gọi là
ràng buộc tập, "f
i
(x) ≤ 0, i = 1, 2, . . . , m" gọi là ràng buộc bất đẳng thức, và
"h
j
(x) = 0, j = 1, 2, . . . , q" gọi là ràng buộc đẳng thức. Lúc này tập chấp nhận
được là
C =

x ∈ X


f
i
(x) ≤ 0, i = 1, 2, . . . , m; h
j
(x) = 0, j = 1, 2, . . . , q

Với mỗi x ∈ C, tập chỉ số tích cực I(x), tập chỉ số không tích cực J(x) được định
nghĩa tương ứng như sau
I(x) =


i ∈ {1, 2, . . . , m}


f
i
(x) = 0

J(x) =

i ∈ {1, 2, . . . , m}


f
i
(x) < 0

Hàm Lagarange tổng quát của bài toán là L : X × R
m+1
+
× R
q
−→ R, được định
nghĩa bởi
L(x, λ
0
, λ, µ) = λ
0
f
0

(x) +
m

i=1
λ
i
f
i
(x) +
q

j=1
µ
j
h
j
(x)
5
Trong trường hợp bài toán (P) không có ràng buộc đẳng thức ta kí hiệu bài
toán là (P ).
Ta nói bộ

x, λ
1
, λ
2
, . . . , λ
m
, µ
1

, µ
2
, . . . , µ
q

là một điểm dừng (kiểu Kuhn Tucker)
của bài toán (P) nếu thõa mãn điều kiện sau





x ∈ C; λ
i
f
i
(x) = 0, i = 1, 2, . . . , m
∇f(x) +
m

i=1
λ
i
∇f
i
(x) +
q

j=1
µ

j
∇h
j
(x) = 0
1.1.2 Các khái niệm cực tiểu.
Xét bài toán (P) và x ∈ C là điểm chấp nhận được. Ta có các định nghĩa sau
Định nghĩa 1.1.
a) Điểm chấp nhận được x được gọi là cực tiểu địa phương của bài toán (P)
nến tồn tại lân cận U của x sao cho f
0
(x) ≥ f
0
(x), ∀x ∈ C ∩ U.
b) Điểm chấp nhận được x được gọi là cực tiểu địa phương chặt của bài toán
(P) nến tồn tại lân cận U của x sao cho f
0
(x) > f
0
(x), ∀x = x, x ∈ C ∩U.
c) Điểm chấp nhận được x được gọi là cực tiểu toàn cục của bài toán (P ) nếu
f
0
(x) ≥ f
0
(x), ∀x ∈ C.
d) Điểm chấp nhận được x được gọi là cực tiểu toàn cục chặt của bài toán (P)
nếu f
0
(x) > f
0

(x), ∀x = x, x ∈ C.
e) Điểm chấp nhận được x được gọi là cực tiểu địa phương cô lập cấp 2 của
bài toán (P) nếu tồn tại một lân cận U của x và hằng số K > 0 sao cho
f
0
(x) ≥ f
0
(x) + Kx − x
2
, ∀x ∈ U ∩C.
f) Điểm chấp nhận được x được gọi là cực tiểu địa phương prabol (gọi tắt là
pl-cực tiểu) của bài toán (P ) nếu với mỗi d, z ∈ R
n
tồn tại ε = ε(d, z) > 0
sao cho
f
0
(x + td + 0.5t
2
z) ≥ f
0
(x), ∀t ∈ [0, ε)
trong đó x + td + 0.5t
2
z là một điểm chấp nhận được.
g) Điểm chấp nhận được x được gọi là cực tiểu địa phương parabol cô lập cấp
2 của bài toán (P) nếu với mỗi d, z ∈ R
n
tồn tại số thực dương A = A(d, z)
và ε = ε(d, z) sao cho

f
0
(x + td + 0.5t
2
z) ≥ f
0
(x) + Atd + 0.5t
2
z
2
, ∀t ∈ [0, ε)
trong đó x + td + 0.5t
2
z là một điểm chấp nhận được.
6
1.2 Hàm thực khả vi và định lý giá trị trung bình.
Định nghĩa 1.2 ([7] Tr. 200). Cho X ⊂ R
n
là tập mở và f là một hàm nhận
giá trị thực xác định trên X (tức là f : X → R, sau này để đơn giản ta nói f là
hàm thực xác định trên X). Hàm f được gọi là khả vi tại x ∈ X nếu với mọi
x ∈ R
n
sao cho x + x ∈ X ta có
f(x + x) = f(x) + t(x), x + α(x, x) x
trong đó t(x) là một véc tơ n chiều, và α là một hàm thực của x sao cho
lim
x→0
α(x, x) = 0.
Véc tơ t(x) trong Định nghĩa này gọi là Gradient của f tại x và được kí hiệu là

∇f(x).
Định lý 1.1 (Định lý giá trị trung bình - [7] Tr. 204). Cho f là một hàm thực
khả vi trên tập lồi mở X ⊂ R
n
và x, y ∈ X. Khi đó tồn tại số thực t ∈ (0, 1) sao
cho
f(y) − f(x) = ∇f (x + t(y −x)) , y −x
1.3 Gradient suy rộng trong không gian Banach.
1.3.1 Đạo hàm theo hướng suy rộng.
Cho X là không gian Banach trên trường số thực với chuẩn kí hiệu là ·. Ta có
các khái niệm và tính chất sau.
Định nghĩa 1.3. Hàm f : X → R được gọi là Lipschitz địa phương tại x ∈ X
nếu tồn tại lân cận U của x và hằng số L > 0 sao cho
|f(x
1
) − f(x
2
)| ≤ Lx
1
− x
2
, ∀x
1
, x
2
∈ U (1.1)
Nếu bất đẳng thức (1.1) đúng với mọi phần tử của tập V ⊂ X và L độc lập với
biến x thì ta nói f Lipschitz trên V .
Định nghĩa 1.4. [3] Giả sử f : X → R là hàm Lipschitz địa phương tại x ∈ X
với hằng số K (lúc đó để đơn giản ta sẽ nói f Lipschitz gần x với hằng số K).

Với mỗi v ∈ X, ta gọi đạo hàm theo hướng suy rộng của f tại x theo hướng v, kí
hiệu f
0
(x, v), được định nghĩa như sau
f
0
(x, v) = lim sup
y→x,t→0
+
f(y + tv) − f(y)
t
Do tính Lipschitz địa phương của hàm f nên giới hạn này luôn luôn tồn tại.
7
Mệnh đề 1.1. [1] Cho hàm f Lipschitz gần x với hằng số K, khi đó ta có
a) Hàm f
0
(x, ·) hữu hạn, lồi, thuần nhất dương trên X, hơn nữa,


f
0
(x, v)


≤ K v, ∀v ∈ X.
b) Hàm hai biến f
0
(·, ·) là nửa liên tục trên tại (x, v), hàm một biến f
0
(x, ·)

Lipschitz với chính hằng số K trên X.
c) f
0
(x, −v) = (−f)
0
(x, v), ∀v ∈ X.
1.3.2 Gradient suy rộng.
Cho X là một tập mở trong không gian Bannach E và f : X → R . Kí hiệu E
∗
là không gian tôpô đối ngẫu của E, ·, · là tích vô hướng giữa E
∗
và E,  · 
∗
là
chuẩn tôpô yếu
∗
, cụ thể
ξ
∗
= sup

ξ, v


v ∈ E, v ≤ 1

.
Định nghĩa 1.5. [3] Dưới vi phân Clarke (hay Gradient suy rộng Clarke), của
f tại x, kí hiệu ∂
C

f(x), là một tập con của X
∗
xác định bởi
∂
C
f(x) =

ξ ∈ X
∗


f
0
(x, v) ≥ ξ, v, ∀v ∈ X

Mệnh đề 1.2 ([3] Proposition 2.1.2). Nếu f Lipschitz gần x với hằng số K thì
a) ∂
C
f(x) khác rỗng, lồi, compact yếu
∗
và ξ
∗
≤ K với mọi ξ ∈ ∂
C
f(x).
b) Với mọi v ∈ X ta có f
0
(x, v) = max

ξ, v



ξ ∈ ∂
C
f(x)

.
Định lý 1.2 (Định lý trung bình Lebourg, [3] Theorem 2.3.7). Cho x, y ∈ X
sao cho f Lipschitz trên tập mở U ⊇ [x, y] = {z |z = x + t(y −x), t ∈ [0, 1]}. Lúc
đó tồn tại u ∈ (x, y) = [x, y] \{x, y} và ξ ∈ ∂
C
f(u) sao cho
f(y) − f(x) = ξ, y − x
Định lý 1.3 (Banach Alaoglu, [11] Section 3.15). Cho E là không gian véc tơ
định chuẩn và E
∗
là không gian đối ngẫu của nó. Khi đó hình cầu đơn vị đóng
B

=

ξ ∈ E
∗


ξ
∗
≤ 1

là compact trong tôpô yếu

∗
.
1.4 Jacobi suy rộng trên R
n
.
Định lý 1.4 (Rademacher). Cho hàm f xác định trên R
n
nếu f Lipschitz địa
phương thì f khả vi hầu khắp nơi (theo độ đo Lebesgue).
8
Định nghĩa 1.6 ([10] Tr. 15). Cho f : R
n
→ R
n
là hàm véc tơ Lipschitz địa
phương tại x. Jacobi suy rộng Clarke của hàm véc tơ f tại x, kí hiệu ∂f(x) được
định nghĩa như sau
∂f (x) = co

lim
i→∞
∇f(x
i
) |x
i
∈ Ω, x
i
→ x

,

trong đó Ω là tập các điểm mà tại đó f khả vi.
Định nghĩa 1.7 ([6] Definition 2.1). Cho f : R
n
→ R khả vi sao cho ∇f Lipschitz
địa phương trên R
n
và x ∈ R
n
. Ma trận Hessian suy rộng của f tại x, kí hiệu là
∂
2
f(x) được định nghĩa như sau
∂
2
f(x) = co

lim ∇
2
f(x
i
)


x
i
∈ Ω, x
i
→ x

,

trong đó Ω là tập các điểm mà tại đó f khả vi 2 lần. Nói cách khác nó là Jacobi
suy rộng Clarke của ∇f tại x.
Tính chất 1.1. [6]
a) ∂
2
f(x) khác rỗng, lồi và compact.
b) Tập ánh xạ đa trị x ⇒ ∂
2
f(x) là bị chặn địa phương, tức là tồn tại một lân
cận V của x và hằng số K sao cho
sup

M|M ∈ ∂
2
f(x), x ∈ V

≤ K.
c) ∂
2
f là nửa liên tục trên (hoặc đóng), nghĩa là nếu x
k
→ x và M
k
→ M,
M
k
∈ ∂
2
f(x
k

) với mọi k thì M ∈ ∂
2
f(x).
1.5 Đạo hàm theo hướng.
1.5.1 Đạo hàm theo hướng Dini.
Với R là tập các số thực, ta kí hiệu R = R ∪ {+∞} ∪ {−∞}. Bên cạnh các phép
toán thông thường ta thừa nhận 0.(±∞) = (±∞).0 = 0.
Định nghĩa 1.8. [10] Cho X ⊂ R
n
và f : X → R. Đạo hàm theo hướng (Dini)
trên và dưới của hàm f tại x ∈ X theo hướng u ∈ R
n
, kí hiệu f

+
(x, d) và f

−
(x, d),
là phần tử thuộc R, được định nghĩa như sau
f

+
(x, u) = lim sup
t→0
+
f(x + tu) −f(x)
t
,
f


−
(x, u) = lim inf
t→0
+
f(x + tu) −f(x)
t
.
9
Định nghĩa 1.9 ([12] Definition 2). Cho X ⊂ R
n
và f : X → R. Đạo hàm theo
hướng (Dini) của f tại x ∈ X theo hướng u ∈ R
n
, kí hiệu f

(x, u), là phần tử
thuộc R, được định nghĩa như sau
f

(x, u) = lim
t→0
+
f(x + tu) −f(x)
t
(1.2)
Hàm f được gọi là khả vi theo hướng (Dini) trên X nếu f

(x, u) tồn tại với mọi
x ∈ X và mọi u ∈ R

n
. Nếu giới hạn (1.2) tồn tại với mọi t ∈ R, không nhất thiết
dương, và có một toán tử tuyến tính liên tục ∇
G
f(x) sao cho f

(x, u) = ∇
G
f(x)u
với mọi u ∈ R
n
thì f được gọi là khả vi Gâteaux tại x ∈ X. Ta thường kí hiệu
∇
G
f(x)u bằng ∇
G
f(x), u.
Định nghĩa 1.10. [4] Giả sử hàm f : X → R với X là tập mở trong R
n
khả vi
tại điểm x ∈ X. Đạo hàm cấp 2 theo hướng (Dini) của f tại x ∈ X theo hướng
u ∈ R
n
, kí hiệu f

(x, u), là phần tử thuộc R được định nghĩa như sau.
f

(x, u) = lim
t→0

+
2
t
2

f(x + tu) −f(x) − t ∇f(x), u

Hàm f được gọi là khả vi cấp 2 theo hướng (Dini) trên X nếu f

(x, u) tồn tại
với mọi x ∈ X và bất kì hướng u ∈ R
n
.
1.5.2 Đạo hàm theo hướng Hardamard .
Định nghĩa 1.11 ([12] Definition 4). Cho X là một tập mở trong không gian
Banach E. Giả sử f : X → R là hàm Lipschitz địa phương. Đạo hàm cấp 2 theo
hướng Hadamard dưới của f tại x theo hướng d ∈ E, kí hiệu f

H
−
(x, d), là phần
tử thuộc R được định nghĩa như sau
f

H
−
(x, d) = lim inf
(t,d

)→(0

+
,d)
2
t
2

f(x + td

) − f(x) − tf
0
(x, d)

ở đây f
0
(x, d) là đạo hàm theo hướng suy rộng của f tại x theo hướng d, t ⊂
(0, +∞), t → 0
+
và d

∈ E sao cho d

− d → 0
Định nghĩa 1.12. [12] Cho X là một tập mở trong không gian Banach E. Giả
sử f : X → R là hàm Lipschitz địa phương. Đạo hàm cấp 2 theo hướng Hadamard
của f tại x theo hướng d ∈ E, kí hiệu f

H
(x, d), là phần tử thuộc R được định
nghĩa như sau
f


H
(x, d) = lim
(t,d

)→(0
+
,d)
2
t
2

f(x + td

) − f(x) − tf
0
(x, d)

.
Hàm f được gọi là khả vi cấp 2 theo hướng Hadamard tại x theo hướng d ∈ E
nếu f

H
(x, d) tồn tại với mọi x ∈ X và bất kì hướng d ∈ E.
10
1.6 Hàm tựa lồi, hàm giả lồi.
1.6.1 Hàm tựa lồi.
Định nghĩa 1.13. [7] Một hàm thực f xác định trên tập X ⊂ R
n
được gọi là

tựa lồi tại điểm x ∈ X nếu
∀y ∈ X
f(y) ≤ f(x)
∀t ∈ [0, 1]
(1 − t)x + ty ∈ X











=⇒ f

(1 − t)x + ty

≤ f(x).
Hàm f được gọi là tựa lồi trên X nếu nó tựa lồi tại mọi x ∈ X.
Định nghĩa 1.14. [7] Cho X ⊂ R
n
là tập lồi và f : X → R. Hàm f được gọi là
tựa lồi trên X khi và chỉ khi
∀x, y ∈ X
f(y) ≤ f(x)
∀t ∈ [0, 1]








=⇒ f

(1 − t)x + ty

≤ f(x).
hoặc
∀x, y ∈ X
∀t ∈ [0, 1]

=⇒ f

(1 − t)x + ty

≤ max

f(x), f(y)

.
Định nghĩa 1.15. [7] Một hàm thực f xác định trên tập X ⊂ R
n
được gọi là
tựa lồi chặt tại điểm x ∈ X nếu
∀y ∈ X
f(y) < f(x)

∀t ∈ (0, 1)
(1 − t)x + ty ∈ X











=⇒ f

(1 − t)x + ty

< f(x).
Hàm f được gọi là tựa lồi chặt trên X nếu nó tựa lồi tại mọi x ∈ X.
Định nghĩa 1.16. [7] Cho X ⊂ R
n
là tập lồi và f : X → R. Hàm f được gọi là
tựa lồi chặt trên X khi và chỉ khi
∀x, y ∈ X
f(y) < f(x)
∀t ∈ (0, 1)








=⇒ f

(1 − t)x + ty

< f(x).
11
hoặc
∀x, y ∈ X
∀t ∈ (0, 1)

=⇒ f

(1 − t)x + ty

< max

f(x), f(y)

.
1.6.2 Hàm giả lồi.
Định nghĩa 1.17. [7] Cho hàm f : X → R với X là tập mở trong R
n
. Hàm f
được gọi là giả lồi tại x ∈ X nếu nó khả vi tại x và
∀y ∈ X
∇f(x), y −x ≥ 0


=⇒ f (y) ≥ f(x)
hoặc
∀y ∈ X
f(y) < f(x)

=⇒ ∇f (x), y −x < 0
Hàm f được gọi là giả lồi trên X nếu f giả lồi tại mọi x ∈ X.
Định nghĩa 1.18. [4] Xét hàm f : X → R với X là tập mở trong R
n
, khả vi
tại x ∈ X và khả vi cấp 2 theo hướng tại x ∈ X theo mọi hướng y − x sao cho
y ∈ X, f(y) < f(x), ∇f(x), y −x = 0. Ta gọi f là giả lồi cấp 2 (gọi tắt 2-giả lồi)
tại x ∈ X nếu với mọi y ∈ X ta có:
f(y) < f(x) =⇒ ∇f(x), y − x ≤ 0
f(y) < f(x), ∇f(x), y −x = 0 =⇒ f

(x, y −x) < 0.
Giả sử f khả vi trên X và khả vi cấp 2 theo hướng tại mọi x ∈ X theo mọi hướng
y − x sao cho y ∈ X, f (y) < f(x), ∇f (x), y −x = 0. Ta gọi f là 2-giả lồi trên X
nếu nó 2-giả lồi tại mọi x ∈ X. Từ định nghĩa này ta có mọi hàm giả lồi khả vi
đều là 2-giả lồi. Điều ngược lại không đúng (Ví dụ 1.1).
Định nghĩa 1.19. [4] Cho X ⊂ R
n
là tập mở, hàm f : X → R khả vi tại x ∈ X
và khả vi cấp 2 theo hướng tại x ∈ X theo mọi hướng y − x sao cho y ∈ X,
f(y) < f(x), ∇f(x), y − x = 0. Ta gọi f là 2-giả lồi chặt tại x ∈ X nếu với mọi
y ∈ X, y = x, ta có
f(y) ≤ f(x) =⇒ ∇f(x), y − x ≤ 0
f(y) ≤ f(x), ∇f(x), y −x = 0 =⇒ f


(x, y −x) < 0.
Mỗi hàm 2-giả lồi chặt là 2- giả lồi.
12
Định nghĩa 1.20 ([8] Definition 1 - Tr. 249). Cho X ⊂ R
n
là tập mở, f : X → R
và n là một số nguyên dương. Hàm f được gọi là giả lồi cấp n trên X (gọi tắt
là n-giả lồi) nếu với mọi x, y ∈ X mà f(y) < f(x) thì tồn tại một số nguyên
dương m ≤ n sao cho f
(i)
−
(x, y − x) = 0 với mọi số nguyên dương i < m và
f
(m)
−
(x, y −x) < 0.
Trong đó f
(m)
−
(x, y − x) = lim inf
t→0
+
m!
t
m

f

x + t(y − x)


−
m−1

k=0
t
k
k!
f
(k)
−
(x, y −x)

tồn
tại và quy ước f
0
−
(x, y −x) = f(x).
Định nghĩa 1.21 ([12] Definition 7). Cho X là tập mở và f : X → R Lipschitz
địa phương tại x ∈ X. Hàm f được gọi là giả lồi cấp 2 (gọi tắt là 2-giả lồi) tại
x ∈ X nếu với mọi y ∈ X ta có
f(y) < f(x) =⇒ f
0
(x, y −x) ≤ 0,
f(y) < f(x), f
0
(x, y −x) = 0 =⇒ f

H
−
(x, y −x) < 0.

Hàm f được gọi là giả lồi cấp 2 trên X nếu f giả lồi cấp 2 tại mọi x ∈ X.
1.6.3 Một số ví dụ.
Từ Định nghĩa 1.20, ta có mỗi hàm n-giả lồi là (n + 1)-giả lồi. Ví dụ 1.1 sau cho
thấy điều ngược lại không đúng.
Ví dụ 1.1 ([8] Example 1 - Tr. 249). Xét hàm f
n
: R → R với n ≥ 2 là số nguyên
dương, được định nghĩa như sau
f
n
(x) =



x
n
, x ≥ 0
(−1)
n−1
x
n
, x < 0
.
Tại x = 0 ta có f là n-giả lồi nhưng không (n − 1)-giả lồi.
Ví dụ 1.2.
a) Hàm f : R → R, f(x) = x
3
là khả vi, tựa lồi chặt nhưng không giả lồi. Nói
riêng tại x = 0 ta có f là 3-giả lồi nhưng không 2-giả lồi.
b) Hàm f : R → R đồng biến, hoặc nghịch biến trên tập xác định là tựa lồi.

c) Hàm hằng là tựa lồi nhưng không tựa lồi chặt.
d) Hàm f : R → R, f(x) =







x
3
, x ≥ 0
0, x ∈ (−1, 0)
−(x + 1)
2
, x ≤ −1
khả vi, tựa lồi nhưng
không lồi, không tựa lồi chặt, và không giả lồi.
13
1.7 Một số khái niệm và tính chất cơ bản khác.
Kí hiệu E
∗
là không gian tôpô đối ngẫu của E, ·, · là tích vô hướng giữa E
∗
và
E,  · 
∗
là chuẩn tôpô yếu
∗
, cụ thể

ξ
∗
= sup

ξ, v


v ∈ E, v ≤ 1

.
Định nghĩa 1.22. Cho X là không gian tuyến tính định chuẩn và µ
n
, µ ∈ X
∗
.
Ta nói rằng µ
n
hội tụ yếu
∗
đến µ, và viết µ
n
w∗
//
µ , nếu
∀x ∈ X, lim
n→∞
µ
n
, x = µ, x
Định nghĩa 1.23. Giả sử X là một không gian tôpô, f : X → R là hàm thực mở

rộng. Hàm f được gọi là nửa liên tục trên (u.s.c) tại x nếu với mọi dãy {x
k
} ⊂ X
mà x
k
→ x thì
lim sup
x
k
→x
f(x
k
) ≤ f (x)
Hàm f được gọi là nửa liên tục trên nếu nó nửa liên tục trên tại mọi x ∈ X.
Định nghĩa 1.24. [12] Xét X là tập mở. Ta nói một hàm f : X → R là chính
quy tại x ∈ X nếu f Lipschitz gần x, tồn tại đạo hàm f

(x, d) theo mọi hướng
d ∈ X và
f

(x, d) = f
0
(x, d), ∀d ∈ X
14
Chương 2.
ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP HAI CHO BÀI
TOÁN VỚI RÀNG BUỘC BẤT ĐẲNG
THỨC TRONG TRƯỜNG HỢP KHẢ VI
LIÊN TỤC.

Xét bài toán tối ưu với ràng buộc bất đẳng thức và ràng buộc tập sau
(P ) :







f
0
(x) −→ min
x ∈ X
f
i
(x) ≤ 0, i = 1, 2, . . . , m
trong đó X ⊂ R
n
và f
i
, i = 0, 1, . . . , m, là các hàm thực xác định trên X. Các kết
quả đưa ra ở đây đều thu được từ bài toán không trơn dựa trên đạo hàm cấp 2
theo hướng. Để có được điều kiện tốt hơn, ta thừa nhận rằng nhân tử Lagrange
phụ thuộc vào hướng.
Tập chấp nhận được là S =

x ∈ X


f

i
(x) ≤ 0, i = 1, 2, . . . , m

.
Định nghĩa 2.1. Xét bài toán (P ) với f
i
, i = 0, 1, . . . , m, là các hàm thực khả vi
tại x ∈ S. Một hướng d ∈ R
n
được gọi là tới hạn tại điểm x ∈ S nếu thỏa mãn
∇f
0
(x), d ≤ 0 và ∇f
i
(x), d ≤ 0, ∀i ∈ I(x).
Với mỗi véc tơ cố định x ∈ S và mỗi hướng tới hạn d ∈ R
n
ta đặt
I
0
(x, d) =

i ∈ {0}∪ I(x)


∇f
i
(x), d = 0

.

2.1 Điều kiện đủ cho cực tiểu toàn cục.
Trong mục này ta giả sử rằng f
i
, i = 0, 1, . . . , m, là các hàm thực xác định trên
không gian Euclide hữu hạn chiều R
n
.
15
Bổ đề 2.1 ([7] Theorem 9.1.4). Cho X là tập mở trong R
n
, f là hàm thực xác
định trên X, f khả vi và tựa lồi tại điểm x ∈ X. Khi đó ta có
∀y ∈ X, f(y) ≤ f (x) =⇒ ∇f(x), y −x ≤ 0 (2.1)
Chứng minh. Lấy y ∈ X tùy ý. Nếu x = y thì rõ ràng (2.1) đúng. Nếu x = y, vì
X là tập mở nên có hình cầu mở B
δ
(x) = {z|z −x < δ} trong X. Với mỗi µ sao
cho µ ∈ (0, 1) và µ <
δ
y − x
, xét x = x + µ(y − x) = (1 −µ)x + µy, ta có
x − x = µ y − x < δ ⇒ x = (1 − µ)x + µy ∈ B
δ
(x) ⊂ X
Do f tựa lồi tại điểm x ∈ X nên
y ∈ X
f(y) ≤ f(x)
µ ∈ (0, 1), µ <
δ
y − x

(1 − µ)x + µy ∈ X















=⇒ f

(1 − µ)x + µy

≤ f(x).
Hay f(x) ≤ f(x). Mặt khác B
δ
(x) là tập lồi nên với x, x ∈ B
δ
(x), ∀t ∈ (0, 1] ta có
(1 − t)x + tx ∈ B
δ
(x) ⇒ (1 −t)x + tx ∈ X. Lại sử dụng f tựa lồi tại x ta có
x ∈ X

f(x) ≤ f(x)
∀t ∈ (0, 1]
(1 − t)x + tx ∈ X











=⇒ f

(1 − t)x + tx

≤ f(x).
Suy ra f

(1 − t)x + tx

− f(x) ≤ 0. Do f khả vi tại x nên với mọi t ∈ (0, 1] ta có
t ∇f(x), x − x + α

x, t(x −x)

tx − x = f


(1 − t)x + tx

− f(x) ≤ 0 (2.2)
trong đó lim
t→0
α

x, t(x−x)

= 0. Chia 2 vế của (2.2) cho t rồi lấy giới hạn khi t → 0
ta được
∇f(x), x − x ≤ 0
=⇒ ∇f (x), x + µ(y −x) − x ≤ 0
=⇒ ∇f (x), µ(y −x) ≤ 0
=⇒ ∇f (x), y −x ≤ 0 (do µ > 0)
Định lý 2.1. Cho X ⊂ R
n
là tập mở, f
i
(i = 0, 1, . . . , m) là các hàm thực xác
định trên X và x là điểm chấp nhận được. Giả sử f
i
(i ∈ {0}∪ I(x)) khả vi tại x
16
và khả vi cấp 2 theo hướng tại x theo mọi hướng tới hạn d ∈ R
n
, f
0
là 2-giả lồi
tại x, f

i
(i ∈ I(x)) là tựa lồi tại x. Nếu mỗi hướng tới hạn d ∈ R
n
tồn tại nhân
tử Lagrange không âm λ
1
, λ
2
, . . . , λ
m
sao cho
λ
i
f
i
(x) = 0, i = 1, 2, . . . , m,
∇L(x) = 0,
L

(x, d) ≥ 0
trong đó L(x) = f
0
(x) +
m

i=1
λ
i
f
i

(x) là hàm Lagrange thì x là một cực tiểu toàn
cục của bài toán (P ).
Chứng minh. Giả sử x không phải là cực tiểu toàn cục của bài toán (P), khi
đó tồn tại x ∈ S mà f
0
(x) < f
0
(x). Ta chứng minh x − x là một hướng tới hạn
tại x. Do f
0
2-giả lồi tại x nên ta có ∇f
0
(x), x −x ≤ 0. Do f
i
(i ∈ I(x)) khả
vi và tựa lồi tại x nên theo Bổ đề 2.1 ta có với f
i
(x) ≤ 0 = f
i
(x), ∀i ∈ I(x) thì
∇f
i
(x), x −x ≤ 0, ∀i ∈ I(x). Vậy x − x là hướng tới hạn tại x.
Theo giả thiết của định lí ta có tồn tại nhân tử Lagrange không âm λ
1
, λ
2
, . . . , λ
m
sao cho

λ
i
f
i
(x) = 0, i = 1, 2, . . . , m, (2.3)
∇L(x) = 0 (2.4)
L

(x, d) ≥ 0. (2.5)
Với mỗi i ∈ J(x) ta có f
i
(x) < 0 nên từ (2.3) suy ra λ
i
= 0, ∀i ∈ J(x). Từ giả
thiết (2.4) ta có
0 = ∇L(x), x − x
= ∇f
0
(x), x −x +
m

i=1
λ
i
∇f
i
(x), x −x
= ∇f
0
(x), x −x +


i∈I(x)
λ
i
∇f
i
(x), x −x (2.6)
Vì ∇f
0
(x), x −x ≤ 0 và

i∈I(x)
λ
i
∇f
i
(x), x −x ≤ 0 nên từ (2.6), ta có ∇f
0
(x), x−
x = 0 và ∇f
i
(x), x −x = 0, ∀i ∈ I(x). Do đó ∇f
i
(x), x −x = 0 khi i ∈ I(x), λ
i
>
0. Mặt khác f
0
là 2-giả lồi tại x nên f


0
(x, x −x) < 0. Do đó
L

(x, x −x) = f

0
(x, x −x) +

i∈I(x)
λ
i
f

i
(x, x −x)
<

i∈I(x)
λ
i
f

i
(x, x −x)
17
=

i∈I(x),λ
i

>0
λ
i
lim
t→0
+
f
i
(x + t(x − x)) − f
i
(x) − t ∇f
i
(x), x −x
t
2
/2
=

i∈I(x),λ
i
>0
λ
i
lim
t→0
+
f
i
(x + t(x − x)) − f
i

(x)
t
2
/2
Do f
i
, i ∈ I(x) tựa lồi tại x nên f
i
(x + t(x − x)) ≤ f
i
(x) = 0 với mọi i ∈ I(x) và
với mọi t ∈ [0; 1] đủ nhỏ. Từ đây suy ra L

(x, x − x) < 0 điều này mâu thuẫn với
(2.5). Vậy x là một cực tiểu toàn cục của bài toán (P ).
• Định lý 2.1 là sự tổng quát hóa kết quả của Định lý 2.2 sau đây do Mangasarian
đưa ra trong [7] vì mọi hàm giả lồi khả vi đều là 2-giả lồi.
Định lý 2.2 ([7] Theorem 10.1.2). Cho X ⊂ R
n
là tập mở, f
i
(i = 0, 1, . . . , m)
là các hàm thực xác định trên X và x là điểm chấp nhận được. Giả sử f
i
(i ∈
{0}∪ I(x)) khả vi tại x, f
0
giả lồi tại x, và f
i
(i ∈ I(x)) tựa lồi tại x. Nếu tồn tại

nhân tử Lagrange không âm λ
1
, λ
2
, . . . , λ
m
sao cho
λ
i
f
i
(x) = 0, i = 1, 2, . . . , m,
∇L(x) = 0
trong đó L(x) = f
0
(x) +
m

i=1
λ
i
f
i
(x) là hàm Lagrange thì x là một cực tiểu toàn
cục của bài toán (P ).
Chứng minh. Nhắc lại
I(x) =

i ∈ {1, 2, . . . , m}



f
i
(x) = 0

; J(x) =

i ∈ {1, 2, . . . , m}


f
i
(x) < 0

Theo giả thiết ta có λ
i
f
i
(x) = 0, ∀i = 1, . . . , m suy ra λ
i
f
i
(x) = 0, ∀i ∈ J(x) mà
f
i
(x) < 0, ∀i ∈ J(x) nên λ
i
= 0, ∀i ∈ J(x). Lấy x ∈ S tùy ý thì f
i
(x) ≤ 0, i =

1, 2, . . . , m. Do đó f
i
(x) ≤ 0 = f
i
(x), ∀i ∈ I(x). Mặt khác vì f
i
, i ∈ I(x) tựa lồi tại
x nên ta có ∇f
i
(x), x −x ≤ 0, ∀i ∈ I(x), suy ra λ
i
∇f
i
(x), x −x ≤ 0, ∀i ∈ I(x)
Hơn nữa λ
i
= 0, ∀i ∈ J(x) nên ta có
m

i=1
λ
i
∇f
i
(x), x −x =

i∈I(x)
λ
i
∇f

i
(x), x −x +

i∈J(x)
λ
i
∇f
i
(x), x −x
=

i∈I(x)
λ
i
∇f
i
(x), x −x ≤ 0
Nhưng theo giả thiết ta có
0 = ∇L(x) = ∇f
0
(x) +
m

i=1
λ
i
∇f
i
(x)
18

=⇒ ∇f
0
(x), x −x +
m

i=1
λ
i
∇f
i
(x), x −x = 0, ∀x ∈ S
=⇒ ∇f
0
(x), x −x = −
m

i=1
λ
i
∇f
i
(x), x −x ≥ 0, ∀x ∈ S.
Vì ∇f
0
(x), x −x ≥ 0, ∀x ∈ S và f
0
giả lồi tại x nên suy ra f
0
(x) ≥ f
0

(x), ∀x ∈ S.
Vậy x là một cực tiểu toàn cục của bài toán (P ).
Ví dụ 2.1. Xét bài toán đơn giản sau



f
0
(x) → min
f
1
(x) ≤ 0
, trong đó các hàm
f
0
: R → R, f
1
: R → R được định nghĩa tương ứng như sau
f
0
(x) =



x
2
nếu x ≥ 0
−x
2
nếu x < 0

; và f
1
(x) = −x.
Xét điểm chấp nhận được
x = 0. Hàm Lagrange là L(x) = f
0
(x) −λx. Điểm dừng
duy nhất là x = 0 với nhân tử Lagrange λ = 0. Tập các hướng tới hạn tại x = 0
là

d ∈ R


∇f
0
(x)d ≤ 0, ∇f
1
(x)d ≤ 0

=

d ∈ R


− d ≤ 0

= {d ∈ R


d ≥ 0}. Ta có

f
0
, f
1
khả vi tại x và khả vi cấp 2 theo mọi hướng hạn d tại x. Hàm mục tiêu
f
0
(x) là 2-giả lồi tại x = 0. Hàm ràng buộc f
1
(x) = −x là tuyến tính nên tựa lồi
tại x. Từ đó với mỗi hướng tới hạn d ta có
λf
1
(x) = 0, ∇L(x) = 0,
L

(x, d) = f

0
(0, d) = lim
t→0
+
2f
0
(td)
t
2
= 2d
2
≥ 0.

Do đó theo Định lí 2.1 suy ra x = 0 là cực tiểu toàn cục của bài toán.
∗ Không thể sử dụng Định lý 2.2 cho bài toán này vì ∀y ∈ R, f
0
(y) < 0 = f
0
(x)
ta có ∇f
0
(x)(y − x) = ∇f
0
(0)y = 0 nên f
0
không giả lồi tại x = 0.
Ví dụ 2.2. Xét bài toán



f
0
(x) = x
3
−→ min
f
1
(x) = x ≤ 0
.
Hàm ràng buộc f
1
(x) = x là tựa lồi tại x = 0. Hàm mục tiêu f
0

(x) = x
3
là tựa
lồi và giả lồi cấp 3 tại x = 0 nhưng không giả lồi cấp 2 tại x = 0. Hàm Lagrange
là L(x) = x
3
+ λx. Tập các hướng tới hạn tại x = 0 là {d ∈ R


d ≤ 0}. Điểm dừng
duy nhất là x = 0 với nhân tử Lagrange λ = 0. Từ đó với mỗi hướng tới hạn d
ta có
λf
1
(0) = 0, ∇L(0) = 0,
19
L

(0, d) = f

0
(0, d) = lim
t→0
+
2f
0
(td)
t
2
= lim

t→0
+
2(td)
3
t
2
= lim
t→0
+
(2td
3
) = 0.
Điều kiện đủ cấp 2 của Định lí 2.1 thỏa mãn nhưng rõ ràng x = 0 không phải là
một cực tiểu toàn cục của bài toán.
∗ Điều này không mâu thuẫn với Định lý 2.1 vì f
0
không giả lồi cấp 2 tại x = 0.
Ta cũng không thể sử dụng Định lý 2.2 cho bài toán này vì f
0
không giả lồi tại
x = 0.
Định lý 2.3. Nếu trong giả thiết của Định lí 2.1 ta thay f
0
là 2-giả lồi tại x
bằng giả thiết f
0
là 2-giả lồi chặt tại x thì x là một cực tiểu toàn cục chặt của
bài toán (P ).
Chứng minh. Giả sử x không phải là cực tiểu toàn cục chặt của bài toán (P ),
khi đó tồn tại x ∈ S, x = x mà f

0
(x) ≤ f
0
(x). Kết hợp với f
0
2-giả lồi chặt tại x
ta được ∇f
0
(x), x −x ≤ 0. Do f
i
(i ∈ I(x)) khả vi và tựa lồi tại x nên theo Bổ
đề 2.1 ta có với f
i
(x) ≤ 0 = f
i
(x), ∀i ∈ I(x) thì ∇f
i
(x), x −x ≤ 0, ∀i ∈ I(x). Từ
đây ta có x − x là hướng tới hạn tại x.
Theo giả thiết của định lí ta có tồn tại nhân tử Lagrange không âm λ
1
, λ
2
, . . . , λ
m
sao cho
λ
i
f
i

(x) = 0, i = 1, . . . , m, (2.7)
∇L(x) = 0, (2.8)
L

(x, d) ≥ 0. (2.9)
Với mỗi i ∈ J(x) ta có f
i
(x) < 0 nên từ (2.7) suy ra λ
i
= 0, ∀i ∈ J(x). Theo giả
thiết (2.8) ta có
0 = ∇L(x), x − x
= ∇f
0
(x), x −x +
m

i=1
λ
i
∇f
i
(x), x −x
= ∇f
0
(x), x −x +

i∈I(x)
λ
i

∇f
i
(x), x −x (2.10)
Vì ∇f
0
(x), x −x ≤ 0 và

i∈I(x)
λ
i
∇f
i
(x), x −x ≤ 0 nên từ (2.10), ta có ∇f
0
(x),
x−x = 0 và ∇f
i
(x), x −x = 0, ∀i ∈ I(x) hay ∇f
i
(x), x −x = 0, ∀i ∈ I(x), λ
i
> 0.
Mặt khác f
0
là 2-giả lồi chặt tại x nên f

0
(x, x −x) < 0. Do đó
L


(x, x −x) = f

0
(x, x −x) +

i∈I(x)
λ
i
f

i
(x, x −x)
20
<

i∈I(x)
λ
i
f

i
(x, x −x)
=

i∈I(x),λ
i
>0
λ
i
lim

t→0
+
f
i
(x + t(x − x)) − f
i
(x) − t ∇f
i
(x), x −x
t
2
/2
=

i∈I(x),λ
i
>0
λ
i
lim
t→0
+
f
i
(x + t(x − x)) − f
i
(x)
t
2
/2

Do f
i
, i ∈ I(x) tựa lồi tại x nên f
i
(x + t(x − x)) ≤ f
i
(x) = 0 với mọi i ∈ I(x) và
mọi t ∈ [0; 1] đủ nhỏ. Từ đây suy ra L

(x, x −x) < 0 điều này mâu thuẫn. Vậy x
là một cực tiểu toàn cục chặt của bài toán (P ).
Định lý 2.4. [4] Cho X ⊂ R
n
là tập mở, f
i
(i = 0, 1, . . . , m) là các hàm thực
xác định trên X và x là điểm chấp nhận được. Giả sử rằng tất cả các hàm
f
i
(i ∈ {0} ∪ I(x)) khả vi tại x, khả vi cấp 2 theo hướng tại x theo mọi hướng tới
hạn d ∈ R
n
, và 2-giả lồi chặt tại x. Nếu mỗi hướng tới hạn d tồn tại nhân tử
không âm λ
0
, λ
1
, . . . , λ
m
với (λ

0
, λ
1
, . . . , λ
m
) = 0 và
λ
i
f
i
(x) = 0, i = 1, 2, . . . , m,
∇L(x) = 0,
L

(x, d) ≥ 0
ở đây L(x) =
m

i=0
λ
i
f
i
(x) thì x là một cực tiểu toàn cục chặt của bài toán (P ).
Chứng minh. Giả sử x không phải là cực tiểu toàn cục chặt của bài toán (P ), khi
đó tồn tại x ∈ S, x = x mà f
0
(x) ≤ f
0
(x). Với mọi i ∈ I(x) ta có f

i
(x) ≤ 0 = f
i
(x).
Vì f
i
(i ∈ {0}∪ I(x)) là 2-giả lồi chặt tại x nên ta có
∇f
i
(x), x −x ≤ 0, ∀i ∈ {0}∪ I(x).
Suy ra x − x là một hướng tới hạn tại x, do đó ta có L

(x, x −x) ≥ 0.
Mặt khác theo giả thiết của Định lí tồn tại nhân tử Lagrange λ
0
, λ
1
, . . . , λ
m
không
âm không đồng thời bằng 0 sao cho λ
i
f
i
(x) = 0, i = 1, . . . , m, và L(x) = 0. Với
mỗi i ∈ J(x) = {1, 2, . . . , m}\I(x) ta có f
i
(x) < 0 nên suy ra λ
i
= 0, ∀i ∈ J(x). Từ

đó suy ra được
0 =
m

i=0
λ
i
∇f
i
(x), x −x =

i∈{0}∪I(x)
λ
i
∇f
i
(x), x −x ≤ 0 (2.11)
Vì λ
i
∇f
i
(x), x −x ≤ 0 với mọi i ∈ {0}∪I(x) nên từ (2.11) suy ra λ
i
∇f
i
(x), x −x
= 0 với mọi i ∈ {0}∪I(x). Do đó với mọi i ∈ {0}∪I(x), λ
i
> 0 ta có ∇f
i

(x), x −x =
21
0. Mặt khác do f
i
(i ∈ {0}∪ I(x)) là 2-giả lồi chặt tại x nên f

i
(x, x −x) < 0, ∀i ∈
{0} ∪ I(x), λ
i
> 0. Vì λ
0
, λ
1
, . . . , λ
m
không âm và không đồng thời bằng 0 nên
L

(x, x −x) =

i∈{0}∪I(x),λ
i
>0
λ
i
f

i
(x, x −x) < 0

điều này mâu thuẫn. Vậy x là một cực tiểu toàn cục chặt của bài toán (P ).
2.2 Điều kiện cần cho cực tiểu địa phương.
Trong mục này ta xây dựng điều kiện cần cho cực tiểu địa phương của bài toán
(P ) với giả thiết các hàm khả vi liên tục.
2.2.1 Một số khái niệm và tính chất liên quan.
Xét bài toán (P ). Lấy x ∈ S là điểm chấp nhận được. Ta có các khái niệm sau:
Định nghĩa 2.2. Ta gọi v ∈ R
n
là véc tơ tiếp xúc với S tại x nếu tồn tại một
dãy {x
k
} ⊂ S và một dãy số dương {t
k
} hội tụ về 0 sao cho
v = lim
k→∞
x
k
− x
t
k
.
Định nghĩa 2.3. Tập hợp các véc tơ tiếp xúc với S tại x, được kí hiệu là T (S, x),
gọi là nón tiếp xúc với S tại x. Vậy
T (S, x) =

lim
k→∞
x
k

− x
t
k


∃{x
k
} ⊂ S; ∃{t
k
} : t
k
→ 0
+

=

d ∈ R
n


∃{d
k
} → d, ∃{t
k
} → 0
+
: x + t
k
d
k

∈ S, ∀k

Xét M(R
n
, R
n
) là không gian các ma trận vuông n ×n. Xét f : R
n
→ R
n
là hàm
véc tơ liên tục, f = (f
1
, f
2
, . . . , f
m
). Với mỗi v = (v
1
, v
2
, . . . , v
n
) ∈ R
n
ta xét hàm
hợp (vf): R
n
→ R được định nghĩa như sau
(vf)(x) = v, f(x) =

n

i=1
v
i
f
i
(x)
Định nghĩa 2.4 ([9] Definition 2.1). Cho f : R
n
→ R
n
là hàm véc tơ liên tục.
Ta nói rằng một tập con đóng và bị chặn ∂
∗
f(x) ⊆ M(R
n
, R
n
) là một giả Jacobi
của f tại x ∈ R
n
nếu với mỗi v ∈ R
n
ta có
(vf)

+
(x, u) ≤ max
M∈∂

∗
f(x)
Mv, u, ∀u ∈ R
n
Khi đó ta nói rằng hàm f có giả Jacobi ∂
∗
f(x) tại x.
22