Đề thi cao học đại số 2006 2009

e0 ctRo DUc
vA DAo
rAo
.{
DAI HOC
HUE
Hq
vd
t€n
thf
sinh
Sd
bdo danh
KV rHr
ruydN
srNH sAU
DAr
Hoc
NAM
2006
Mdn thi: Dai
sd
(ddnh
cho: Cao
hgc)
Thdi
gian
ldm
bdi: 180
phut
Cflu

1.
a. Cho
n1,r2, ,r, id cr{c
vecto
khr{c khOng ctia m6t khOng
gian vecto,
cbn
A
le
mQt
ph6p
bidn
ddi tuydn
tinh
cfia
khOng
gian vectd
d6
sao
cho
Art
-
11, Anp
:
trk
*
rt
-t,
k
:2,3,

)n.
Chtrng
minh rang
cdc
vectd
rr,n2, ,rn dOc
ldp
tuyOn tfnh.
b.
Cho B
lil ma trAn
vuOng
cdp
n
sao
cho
Bk
:0,
vdi
k le
mQt
sd
tu
nhiOn
ndo
d6.
Tim
(E^
-
B)-t, trong d6

E-
ld ma trAn
vuOng
don vr cdp
n.
Chu
2.
Cho
c le nh6m sinh
boi
hai
phdn
tir
r
vd
a
vu
cdc
quan
h€:
tr4:a2:!,ar-r3a.
a.
X6c dinh nhfrng
phdn
tr? cfra
nh6m G.
b.
Tim tdt ca ciic
nh6m con
cfia

nh6m
G.
CAu
3.
Cho n
le
mQt vdnh.
DFtt"
Z(R)
-
{,
e
Rlra:
an,Vo
e
R}.
a.
Chtnrg
minh rang
Z(R)
lh
mOt vdnh con
giao
ho6n
cira
R.
b.
Xdc dinh z(Mt(n)), trong d5 twt(n) lh
vinh
cdc

ma
trQn vuOng
cdp 3 h0
sd thuc.
CAu
4.
Chtnrg
minh rang ndu da
thrlc
13
+
arz
+
br
*
c
c6
3 nghiOm thuc,
phAn
biet
thi da
thrlc
13
+
ar2
+
i@'
+
b)r
+

#
cflng c6 3 nghigm th1rc,
phAn
bigt.
Ghi
chri:
C6n b0 coi
thi khOng
giii
thfch
gi
thOm
f
te"t
l
'\)*-
{.*?e
e0
ctAo DUc vA oao
rAo
DAr
HQC
HU6
Hg ud, t€,n th{ s'inh:
Sd b6,o danh,:
KV
rnr ruyiN
srNH sAU
o4l Hec NAnn zoor
M6n thi:

DAI
SO
(dd,nh,
cho
Cao
hoc)
TlLdi
gian
ld,m bd,i:
180
phrit
Cdu f.
1. Cho nrtfr2t tnn Ib
cri,c
vecto khdc
kh6ng
crla m6t
kh6ng
gian
vecto vh,
A th,
mQt
ph6p
bi6n
ddi
tuydn tfnh cria kh6ng
gian
vectcr
d6
sao

cho
An1
:
11, Ann
:
frk
*
rn-r, k
:
2,3r
rfl.
Chfrng minh
rH,ng
c6c
vecto
nttn2r ,tfrn
dgc
16,p
tuy6n tfnh.
2.
Cho
B
Ie ma
tr$n vu6ng
cdp n x6c
dinh
tr6n
trudng F sao cho
Bk:0,
v6i k

th
mQt
s6 tu
nhi6n ni,o d6.
Tim
(E^
-
B)-1,
trong
d6
En lir,
ma trAn
vu6ng
dsn
vi
cd,p
n.
tl a .12000 / n
g.Tfnr(0
1\
t-:(0
1\
Lnxdcdinhtr6nt.rbnsF.
o
(
_,
0
)
v6i
(

_,
0
)
lb, ma
trdn
xac
dinh
tran
trulng F.
Ciu II.
1.
Cho
p
ve
',h
L
hai
tu dbng cdu tuydn
tfnh
cria
mQt kh6ng
gian
vectcr hfru
han chibu
tr6n
lrubng s6
phirc
C sao
cho
po{s

:
tog.
Chfrng
-Ln
rXng
p
ve
4t
cd chung
mQt
vects
ri€ng,
2. Cho E lb m6t kh6ng
gian
vectcr
Euclid
htru
han chibu vh
(u1
, ,un)
lb, m6t hO
trgc
chudn
trong A CA*ng minh rXng n6u vcri
ngi
u
e
E
tu
dbu

c6'-'
rur'-
iro,,,r'
'i,:L
thi
(u1,.
,
or)
lb
mQt ccr s& a3,a E.
C6.u IU.
Cho G
th
mQt nh6m nh6,n
hfru
hg,o sao
cho
G
c6 mQt
tu
d8ng c6,u
g
th6a
p(a)
#
o,Va
t'
16.
Chfrng minh rB,ng:
1.

vcri
m.oi
a
e
G
tbn tq,i
g
e
G
sao cho
d':
g-Lp(g);
2.
ndu
g
c6 cdp bXng 2,tftcIi,
p+i,d,vdp2
-
id,
thi
p(.q)
:
g-L
v6i
moi
g
€
G
vb,
G

te
mQt nh6m aben
c6 cd,p
14,
m6t sd
16.
C6.u IV.
1. Cho
E
le
mQt
vh,nh
Biao
hod,n
v6i
don
vi
1
I
0
vA,
/
lb
mQt
id€an
crla E.
Chfrng
minhrXng
v6i m5i
a

€
R,
t6,p con
J
-
{ar*
I
|
*
€
l?}
C
RlI lh, m6t
id6an
cda
Rl I
sinh bdi o
+
f
€
R/1.
Tri
d6 suy
ra
rXng
khi
f
ld,
id6an
t6i dai crla vA,nh

R
thi moi
phb,n
trl
kh6c
kh6ng c,la
RII dEu
khd,
nglrieh.
2. Chirng
minh
rXng t$p
hqp
c6c
s6 hfru
tj
dang
?
usimAu
sd Ih,
mQt s6
nguyOn
16
n
tao
thb,nh
m6t mibn nguy6n
chfnh.
Ghi chri:
Cd,n b6

coi, th,i, kh,6ng
gi,di,
th{ch
gi,
th€,m.
e0
crAo
DUc
vA
DAo
TAo
2
Hg ud
t€n tht
sinh:
Sd bd,o
danh:
DAI HOC
HUE
Kv
THr
ruyiN
srNH
sAU
D4r
Hgc
NAvr
2008
M6n
thi:

DAI 56
(ddnh
cho
Cao
hq")
Thdi
g'ian
ld"m
bd,i: 180
phrit
CAu
I.
o,. Ky
hieu
M"(F)
lA,
khong gian
vecto
cd,c
ma
trAn
vu6ng
cdp
n
c6
he tri
trong
trudng
F.
Ma trAn

A
-
(o"i).
e
Mn(F) gqi
lb
d6i xfrng
ndu
aai
:
aji,
v6i
moi
i,
j :1, ,D.
Chirng minh
rXng
tap
tdt
cA c6c
ma
trAn
ddi
xirng
trong
A/l.(F)
lb
mot
khong
gian

con
crla
M,(F).
Tim
mQt
ccy sd vi
tfnh
sd chibu
cria khong
gian
con cl6.
b.
Cho
V vd14/
Id, hai
khong gian
vecto
tr6n
trudng
/(
vd
W co
sd
chibu
huu
han.
Cho
f
,
V

-+
W
lb
mot toi,n
cdu
tuy6n
tinh.
Chirng
minh
rHng
tbn
tai m6t
dnh
xa
tuy6n
tinh g
:
W
+
V
sao
cho
f
g
-
idp1,
v6i
idry
ld
5nh

xa
dbng
nhdt
crja
W.
Anh
xq
g
c6 duy
nhdt
khong?
CAu
II.
a.
Cht'rng
minh
rXng
d6i vdi
c6,c vect
a r,,
y,
z bdt
ky trong
mqt
khong gian
vectcy
Euclid,
d8ng
tht'rc
sau 1u6n

xAy
ra:
3
(l"l'
+
lal2
+
lrl")
-
lr
*
a
*
rl,
+
lr
-
al,
+
ly
-
rl,
+
l,
-
rlt.
b.
C6 tbn
tai
hay

khong
hai
ma
tr5,n
vu6ng
A,B
cdp n
c6 he
tri trong
trulng
tr
voi
A khA
nghich
sao
cho
AB
-
BA:
A?
Cdu
III.
Ki
hieu
R le
trudng
cd,c
s6
thuc.
Cho:

G-{(:
1,)lo,b€R,o>o}
vitH-{(t
b\,',
l
t\o
"-r)ta,b€1r{,o)
J
i.(,
;)lae
re}
a.
Chirng
minh
ring
G le
mOt
nh6m
vdi ph6p
nhan
ma
trAn
vd
lI
li
mot
nh6m
con
chudn
t6c

cria
G.
Chi ra
rXng
nh6m
thucrng
G
I
H
d8ng
cdu vdi
"f.O-
lO"u
t .t
,t
c5c
s6
thuc
IR.
b-
Hay
tim
m6t
nh6m
con chudn
tXc
K
ciaG
chira
-tr

sao
choK+Gvit"K*U
CAU
IV.
a'
MOt
mibn
nguy6n
ggi
ld
mibn
nguyen
chinh
ndu
moi
idean
crja
n6
dbu 1A
idean
chinh.
Chirng
t6 ring
vA,nh
cdc
s6
nguy6n
2,, Ib,
mibn
nguy6n

chfnh
nhung
vdnh
da
thfrc
V,ft]
khong ph.Ai
li
mibn
nguy6n
chfnh.
b'
Ky
hieu
Q["]
Ib
vdnh
cdc
da
thirc
co he
tri
trong
trubng
s6
huu
ti
e
Cho
p

le,
mQt
s6 nguy6n
td.
Chirng
minh
rXng
cla
thirc
Ar(r)
-
1*
r
t *
rP-T
bdt
khd
quy
trone
Qlrl.
Ghi
chri:
crin
b6
coi,
thi
khong
gid"i
thtch
gi

th€m.
Typeset
by
AlaS-Tlf,
a0
crao DUC
vA
DAo rAo
2
DAI
}IOC
HUE
K:r
rr{r ruy6N srNH sAU
DAr
Hgc
xAnn
200e
(Dqt
r)
M6n thi: O,A.f Sd
(danh
cho
Cao
hqr)
Thdi
g'ian
ld,m bd"i,r 180
phft
CAU

I.
Cho
U
vh, W
Ii,, hai kh6ng
gian
con
crl.a
lf-kh6ng
gian
vecto 7
hfru han
chi6u.
{-'hr'rns rnin',r
r;\'rg
c6c di6u kien
sau
1},
tucrng dUcrng: f) -* tf'
(f
)
Cir,.r{/
*
Cirn)Z
-
dinnr/
;
/i;\ rh. tai rngl
tu
tlbng

c{"u
f
ciav sao
cho U
-
I-/,W
:
Ker/.
\ ,/.,-*t"7.^
Ci"u
II.
1.
Cho
C?ng
to).n
phucrng
O tr€n
khong
gian
vectcr
thuc rz chibu 7'. Chring minh
ring
c5
thd
khai trrdn
V'
thi,nh tdng truc tidp c6c kh6ng
gian
con:
Vn

:
Vo
@V+ @V-
trcng
d5
1/3
-
K"rO, Ol x6c dinh d.ucrng, Ql x6c
dinh
Am.
rv+
r e'
lv-
FIc*n nfra, CimT-r-
:
sr dimV-
-
t, vdi
s vh, t tucrng frng
Id,
chi
s6 duong vd chi s6
6rn
qu6n
tfnh cda O.
2. i.I.{.y dua d?trg toin
phuong
sau
tr6n
kh6ng

gian
vectcr
thuc
R3 vE
d+ng chfnh
t6c:
Q(r,a, z)
:2r2
*
4rg
-
2rz
+
5a2
*
69z
-
222
vi.
xdc
dinh
co sd tucrng rlng.
C6.u
III.
Coi
Gtr(t, R) i), nh6m cdc
ma tr5,n vu6ng thuc
c6"p
n
khong suy bi6n

v6i
ph6p
tod,n
lir
rrb6p
nir6,n czic rna tr6.n,
X
C
GL(n,R) It t6.p c6c
rna tr6n c6
dinh
thirc bing
+1
vi
Y
C
GL(rt.,lR) 1A tAp
c6c ma trAn c6
dinh
thirc
ducrng. Chirng
minh rXng:
1.
X,Y
1), cdc nh6m con
chu6ln t6c
cl,a
GL(r,R);
2. nh5rn
+"hucrng

G[,(n,R)/X
d8,ng
cdu
v6i nh6m nh6,n c6c s6 thuc
ducrng;
3.
r:irdm
tirucrng GI-,,(n,R)/y di,ng cdu v6i
mQt nh6m cyclic cdp hai.
CAtr IV.
Cho 1i i; mQt vl,nh.
1. Giti,
su B
kh6ng c6
udc
cda
kh6ng, c6 rngt
phb,n
tri rs
l0
co
cdp
v6
han
d6i
vdi
ph6o
cQng
vd,
rnoi nh6m con crLa

(ft,
+)
trong
vdnh
dEu
1),
id6an
trd.i cria vdnh
E.
Ch'ing minh .ing vinh
n
d8,ng cdu v6i
mQt
v)"nh con
crj.a
vinh
Z
ci'"c
s6 nguy6n.
2.
Khi
R
:
Zga, hdy chfrng minh di,ng cdu
vb,nh sau:
Rl$Z,196Z)
=
Za.
Hg
ua

t€n tht
s'inh:
Sd bd,o
danh: