DE CAO HOC DAI SO DHQGHN 2009

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2009
MÔN THI CƠ BẢN: ĐẠI SỐ
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu I:
a. CMR tập hợp tất cả các ma trận thực có dạng:
1
0 1
0 0 1
a b
c
 
 ÷
 ÷
 ÷
 
lập thành một nhóm với
phép nhân ma trận thông thường.
b. Nhóm trên có phải là nhóm abel không? Giải thích?
Câu II: Cho f là một tự đồng cấu trong R
3
. Ma trận của f trong cơ sở chính tắc là:
1 1 1
1 1 1
1 1 1
−
 
 ÷
 ÷
 ÷
 

a. Tìm tất cả các giá trị riêng và véc tơ riêng tương ứng
b. Liệt kê tất cả các không gian ổn định của f .
Câu III: Cho ma trận thực đối xứng
13 5 2
1
5 13 2
6
2 2 10
A
− −
 
 ÷
= − −
 ÷
 ÷
− −
 
a. Hãy chéo hoá ma trận A.
b. Kí hiệu v là véc tơ cột
x
y
z
 
 ÷
 ÷
 ÷
 
trong R
3
và v

t
= (x, y, z). Ký hiệu
v
là độ dài của v. Giả
sử v thuộc tập hợp các véc tơ thoả mãn điều kiện v
t
Av = 1. CMR
v
bị chặn và hãy xác
định chặn trên bé nhất của nó.
Câu IV: Kí hiệu M
r x s
(K) là tập hợp các ma trận r x s với hệ số trong trường K. Cho A
thuộc M
m x n
(K).
a. CMR các ánh xạ f: M
n x l
(K) → M
m x l
(K) và g: M
l x m
(K) → M
l x n
(K) cho bởi:
f(B) = AB và g(B) = BA là các ánh xạ tuyến tính.
b. Với kí hiệu như trong câu a) khi l = m = n hãy tìm điều kiện cần và đủ để f = g.
(hết)