tổng hợp bài toán liên quan của hàm số
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.38 MB, 88 trang )
GV: Nguyễn Đức Kiên Chuyên đề Hàm số
Chuyên luyên thi tại Thái Bình- TP Sơn La 01649802923 1
CHUYÊN ĐỀ 1
TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
A. Kiến thức cơ bản
Giả sử hàm số
y f x
( )
có tập xác định D.
Hàm số f đồng biến trên D
y x D
0,
và y
0
chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc D.
Hàm số f nghịch biến trên D
y x D
0,
và y
0
chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc D.
Nếu
y ax bx c a
2
' ( 0)
thì:
+
a
y x R
0
' 0,
0
+
a
y x R
0
' 0,
0
Định lí về dấu của tam thức bậc hai
g x ax bx c a
2
( ) ( 0)
:
+ Nếu < 0 thì
g x
( )
luôn cùng dấu với a.
+ Nếu = 0 thì
g x
( )
luôn cùng dấu với a (trừ
b
x
a
2
)
+ Nếu > 0 thì
g x
( )
có hai nghiệm
x x
1 2
,
và trong khoảng hai nghiệm thì
g x
( )
khác dấu với a,
ngoài khoảng hai nghiệm thì
g x
( )
cùng dấu với a.
So sánh các nghiệm
x x
1 2
,
của tam thức bậc hai
g x ax bx c
2
( )
với số 0:
+
x x P
S
1 2
0
0 0
0
+
x x P
S
1 2
0
0 0
0
+
x x P
1 2
0 0
a b
g x m x a b g x m
( ; )
( ) , ( ; ) max ( )
;
a b
g x m x a b g x m
( ; )
( ) , ( ; ) min ( )
B. Bài tập
DẠNG 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ KHÔNG CHỨA THAM SỐ
PP:
-Tìm TXĐ của hàm số.
-Tính đạo hàm f’(x). Tìm các điểm x
i
mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
-Sắp xếp các điểm x
i
theo thứ tự tăng dần và lập BBT.
-Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Ví dụ 1. Xét chiều biến thiên các hàm số sau:
2
3 2 4 2
3 2 x 2x + 3
) 2x + 3x + 1 b) y = 2 3 ) )
1 1
x
a y x x c y d y
x x
Ví dụ 1. Xét tính đơn điệu của các hàm số sau:
3
2
2 2
) 25 ) ) )
100
16 6
x x x
a y x b y c y d y
x
x x
5
) sin , 0;2 ) 2cos , ;
6 6
a y x x x b y x x x
Ví dụ 1. Chứng minh rằng:
a)
cos2 2 3
f x x x
nghịch biến trên R.
b)
2
cos
f x x x
đồng biến trên R.
Ví dụ 1. Xét chiều biến thiên của các hàm số:
a) y =
3 2
2x + 3x - 1
b) y =
3 2
-x + 2x - x + 1
c) y =
3 2
x - 3x + 9x + 1
d) y =
3 2
-x + 2x - 5x + 2
Ví dụ 1. Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:
GV: Nguyễn Đức Kiên Chuyên đề Hàm số
Chuyên luyên thi tại Thái Bình- TP Sơn La 01649802923 2
a) y =
x + 1
x
b) y =
3x + 1
1 - x
c) y =
2
x - 2x
1 - x
d) y =
2
-x - 2x + 3
x + 2
DẠNG 2: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ CHỨA THAM SÔ
PP: Sử dụng các kiến thức sau đây:
1. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.
Nếu
'( ) 0,
f x x K
thì f(x) đồng biến trên K.
Nếu
'( ) 0,
f x x K
thì f(x) nghịch biến trên K.
2. Cho tam thức bậc hai f(x) = ax
2
+ bx + c có biệt thức
2
4
b ac
. Ta có:
0
( ) 0,
0
a
f x x R
0
( ) 0,
0
a
f x x R
3. So sánh các nghiệm x
1
, x
2
của tam thức bậc hai
2
( )
g x ax bx c
với số 0:
1 2
0
0 0
0
x x P
S
1 2
0
0 0
0
x x P
S
1 2
0 0
x x P
4. Xét bài toán: “Tìm m để hàm số y = f(x,m) đồng biến trên K”. Ta thực hiện theo các bước sau:
( ) ( ), ax ( ) ( )
x K
f x g m x K m f x g m
( ) ( ), min ( ) ( )
x K
f x g m x K f x g m
Chú ý: để xét tính đơn điệu dạng hàm số chứa tham số còn có thể vận dụng tam thức bậc 2 tuy nhiên nó
ko năm trong chương trình dạy
HÀM ĐA THỨC
Ví dụ 1. Cho hàm số
3 2
3( 1) 3 ( 2) 1
y x m x m m x
. Tìm m để hàm số
a. Đồng biến trên R
b. Nghịch biến trên R
Giải
TXĐ: D = R.
2
' 3 6( 1) 3 ( 2)
y x m x m m
a. Hàm số đồng biến trên R khi
' 0,
y x
3 0
' 6 9 0
3
2
a
m
m
b. Hàm số nghịch biến trên R khi
' 0,
y x
3 0
( ô )
' 6 9 0
a
v nghiem
m
GV: Nguyễn Đức Kiên Chuyên đề Hàm số
Chuyên luyên thi tại Thái Bình- TP Sơn La 01649802923 3
Ví dụ 2. Cho hàm số
3 2
1
3
y mx mx x
. Tìm m để hàm số đã cho luôn nghịch biến
Giải
TXĐ: D = R
2
' 2 1
y mx mx
Trường hợp 1:
0 ' 1 0
m y
m = 0 thỏa yêu cầu bài toán
Trường hợp 2:
0
m
Hàm số đã cho nghịch biến trên R khi
' 0,
y x
2
2
2 1 0,
0
' 0
0
0 1
mx mx x
a m
m m
m
m
Ví dụ 3. Cho hàm số
3 2
2 ( 1) 3
y x x m x m
. Tìm m để hàm số đồng biến trên R
Giải
TXĐ: D = R.
2
' 3 4 1
y x x m
Hàm số đồng biến trên R khi
' 0,
y x
2
3 4 1 0,
3 0
' 3 7 0
7
3
x x m x
a
m
m
Ví dụ 4. Cho hàm số
3 2
1
( 1) ( 3) 4
3
y x m x m x
. Tìm m để hàm số luôn luôn giảm
Giải
TXĐ: D = R.
2
' 2( 1) 3
y x m x m
Hàm số luôn luôn giảm khi
' 0,
y x
2
2
2( 1) 3 0,
1 0
( ô )
' 4 0
x m x m x
a
v nghiem
m m
Vậy: Không có giá trị m thỏa yêu cầu bài toán
Ví dụ 5. Cho hàm số
3 2
1
( 1) 2( 1) 2
3
y x m x m x
. Tìm m để hàm số luôn tăng trên R
Giải
TXĐ: D = R
2
' 2( 1) 2( 1)
y x m x m
Hàm số luôn tăng trên R khi
' 0,
y x
GV: Nguyễn Đức Kiên Chuyên đề Hàm số
Chuyên luyên thi tại Thái Bình- TP Sơn La 01649802923 4
2
2( 1) 2( 1) 0,
1 0
' ( 1)( 3) 0
1 3
x m x m x
a
m m
m
Vậy: Với
1 3
m
thì điều kiện bài toán được thỏa
Ví dụ 6. Định m để hàm số
3 2
1
2(2 ) 2(2 ) 5
3
m
y x m x m x
luôn luôn giảm
Giải
TXĐ: D = R
2
' (1 ) 4(2 ) 4 2
y m x m x m
Trường hợp 1:
1
1 ' 4 2 0
2
m y x x
nên m = 1 không thỏa yêu cầu bài toán
Trường hợp 2:
1
m
Hàm số luôn giảm khi
2
1 0
1
2 3
2 3
' 2 10 12 0
a m
m
m
m
m m
Ví dụ 7. Cho hàm số
2 3 2
( 5 ) 6 6 6
y m m x mx x
. Tìm m để hàm số đồng biến trên R
Giải
TXĐ: D = R
2 2
' 3( 5 ) 12 6
y m m x mx
Trường hợp 1:
2
5 0 0, 5
m m m m
+
0 ' 6 0
m y
m = 0 thỏa yêu cầu bài toán
+
5 ' 60 6
m y x
m = - 5 không thỏa yêu cầu bài toán
Trường hợp 2:
2
5 0
m m
Hàm số đồng biến trên R khi
' 0,
y x
2 2
3( 5 ) 12 6 0,
m m x mx x
2
2
5 0
' 2 10 0
a m m
m m
ko có giá trị
HÀM PHÂN THỨC HỮU TỶ
Ví dụ 8. Tìm m để hàm số
2
3
mx
y
x m
luôn đồng biến
Giải
TXĐ:
\ 3
D R m
2
2
3 2
'
( 3)
m m
y
x m
Hàm số luôn đồng biến khi
' 0, 3
y x m
2
3 2 0
1 2
m m
m m
Ví dụ 9. Cho hàm số
2 2
2
1
x m x m
y
x
. Tìm m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của
nó
Giải
GV: Nguyễn Đức Kiên Chuyên đề Hàm số
Chuyên luyên thi tại Thái Bình- TP Sơn La 01649802923 5
TXĐ:
\ 1
D R
2 2
2
2 2
'
( 1)
x x m m
y
x
Hàm số đồng biến trên tập xác định khi
' 0, 1
y x
2 2
2
2 2
2 2 0, 1
1 0
3 0
( 1) 2( 1) 2 0
1 13 1 13
2 2
x x m m x
a
m m
m m
m m
Ví dụ 10. Cho hàm số
x
y
x m
. Xác định m để hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định
Giải
TXĐ:
\
D R m
2
'
( )
m
y
x m
Hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định khi
' 0,
y x m
0
0
m
m
Ví dụ 11. Cho hàm số
2 2
( 2) 2 2
1
mx m x m m
y
x
. Xác định m để hàm số nghịch biến trên từng
khoảng xác định của nó
Giải
TXĐ:
\ 1
D R
2 2
2
2 3
'
( 1)
mx mx m m
y
x
Trường hợp 1:
0 ' 0
m y
chưa xác định được tính đơn điệu của hàm số nên m=0 không thỏa
yêu cầu bài toán
Trường hợp 2:
0
m
Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định khi
' 0, 1
y x
2 2
3 2
2 2
2 3 0, 1
0
' 2 0
1 2 .1 3 0
0
2 0
0, 6
0
mx mx m m x
a m
m m
m m m m
m
m
m m
m
GV: Nguyễn Đức Kiên Chuyên đề Hàm số
Chuyên luyên thi tại Thái Bình- TP Sơn La 01649802923 6
Ví dụ 12. Cho hàm số
2 3 2
( 1) 2 ( 2)
m x mx m m
y
x m
. Tìm m để hàm số đồng biến trên R
Giải
TXĐ:
\
D R m
2 2 3 2
2
( 1) 2( ) 2
'
( )
m x m m x m m
y
x m
Trường hợp 1:
2
2
1 ' 0, 1
1
m y x
x
m = - 1 thỏa yêu cầu bài toán
Trường hợp 2:
1
m
Hàm số đồng biến trên R khi
' 0,
y x m
2 2 3 2
2 2 3 2
( 1) 2( ) 2 0,
1 0
2 2 0
( 1) 2( ). 2 0
1
1
2 0
1
m x m m x m m x m
a m
m
m m m m m m m
m
m
m
Nâng cao
Ví dụ 13. (A-2013) Cho hàm số
3 2
y x 3x 3mx 1 (1)
, với m là tham số thực. Tìm m để hàm số (1)
nghịch biến trên khoảng (0; +
)
Giải
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy điều kiện bài toán được thỏa khi
2
3
m
Ví dụ 14. Cho hàm số
3 2
3 4
y x x mx
. Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến /
;0
Giải
TXĐ: D = R
2
' 3 6
y x x m
Hàm số đồng biến trên
;0
khi
' 0, ( ,0)
y x
GV: Nguyễn Đức Kiên Chuyên đề Hàm số
Chuyên luyên thi tại Thái Bình- TP Sơn La 01649802923 7
2
2
( ,0)
3 6 0, ( ,0)
3 6 ( ), ( ,0)
min ( )
x x m x
m x x g x x
m g x
Ta có:
'( ) 6 6 0 1
g x x x
Vẽ bảng biến thiên ta có
( ,0)
min ( ) ( 1) 3
m g x g
Kết luận: Với
3
m
thì điều kiện bài toán được thỏa
Ví dụ 15. Cho hàm số
3 2
3 2
y x x mx
. Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến trên
0;2
Giải
TXĐ: D = R
2
' 3 6
y x x m
Hàm số đồng biến trên (0, 2) khi
' 0, (0,2)
y x
2
2
(0,2)
3 6 0, (0,2)
3 6 ( ), (0,2)
max ( )
x x m x
m x x g x x
m g x
Ta có:
'( ) 6 6 0 1
g x x x
Vẽ bảng biến thiên ta có
(0,2)
max ( ) 0
m g x
Vậy:
0
m
thì điều kiện bài toán được thỏa
Ví dụ 16. Cho hàm số
3 2
1
1 3 2
3 3
m
y x m x m x
. Với giá trị nào của m thì hàm số đồng
biến trên
2;
Giải
TXĐ: D = R
2
' 2( 1) 3( 2)
y mx m x m
Trường hợp 1:
0 ' 2 6 0 3
m y x x
nên không thỏa yêu cầu bài toán
Trường hợp 2:
0
m
Hàm số đồng biến trên
2;
khi
' 0, [2, )
y x
2
2
[2, )
' 2( 1) 3( 2) 0, [2, )
6 2
( ), [2, )
2 3
max ( )
y mx m x m x
x
m g x x
x x
m g x
Ta có:
2
2 2
2 12 6
'( ) 0 3 6
( 2 3)
x x
g x x
x x
Vẽ bảng biến thiên ta được
[2, )
2
max ( ) (2)
3
m g x g
Ví dụ 17. Tìm m để hàm số
3 2
1
( 1) ( 3) 4
3
y x m x m x
đồng biến trên (0; 3)
Giải
TXĐ: D = R
GV: Nguyễn Đức Kiên Chuyên đề Hàm số
Chuyên luyên thi tại Thái Bình- TP Sơn La 01649802923 8
2
' 2( 1) 3
y x m x m
Hàm số đồng biến trên (0; 3)
2
' 2( 1) 3 0, (0;3)
y x m x m x
2
2
(2 1) 2 3
2 3
( ) (*)
2 1
m x x x
x x
m g x
x
Ta có:
2
2
2 2 8
'( ) 0, (0;3)
(2 1)
x x
g x x
x
g(x) là hàm số đồng biến trên (0; 3)
12
(0) ( ) (3) 3 ( )
7
g g x g g x
Vậy điều kiện (*) được thỏa khi
12
7
m
Ví dụ 18. Tìm m để hàm số
3 2
1 1
(1 3 ) (2 1)
3 3
y mx m x m x
db trên [1; 5]
Giải
2
' 2(1 3 ) 2 1
y mx m x m
Trường hợp 1:
1
0 ' 2 1 0
2
m y x x
thoa nãm
Trường hợp 2:
0
m
Hàm số đồng biến trên [1; 5] khi
2
' 2(1 3 ) 2 1 0, [1;5]
y mx m x m x
2
2 1
( ), [1;5]
6 2
x
m g x x
x x
[1;5]
ax ( )
m m g x
Ta có:
2
2 2
1 21
2( 5)
2
'( ) 0
( 6 2)
1 21
2
x
x x
g x
x x
x
Vẽ bảng biến thiên ta có
[1;5]
11
ax ( )
3
m m g x
và m=0
Ví dụ 19. Tìm m để
2
6 5 2 1 3
1
mx m x m
y
x
nghịch biến trên [1, )
Giải
Hàm số nghịch biến trên [1, )
2
2
2 7
0 1
1
mx mx
y x
x
2 2
2 7 0 2 7 1
mx mx m x x x
2
7
1
2
u x m x
x x
1
Min
x
u x m
. Ta có:
2 2
7 2 2
0 1
( 2 )
x
u x x
x x
u(x) đồng biến trên [1, )
1
7
Min 1
3
x
m u x u
GV: Nguyễn Đức Kiên Chuyên đề Hàm số
Chuyên luyên thi tại Thái Bình- TP Sơn La 01649802923 9
Ví dụ 20. Tìm m để hàm số
2
(1 ) 2
2 3
mx m x m
y
x
đồng biến trên
4;
Giải
2
2
2 6 3
'
(2 3)
mx mx m
y
x
Hàm số đồng biến trên
4;
khi
2
2
2 6 3
' 0, 4;
(2 3)
mx mx m
y x
x
2
2
4;
2 6 3 0, 4;
3
( ), 4;
2 6 1
ax ( )
x
mx mx m x
m g x x
x x
m m g x
Ta có:
2 2
6(2 3)
'( ) 0, 4;
(2 6 1)
x
g x x
x x
g(x) là hàm số nghịch biến trên
4;
nên
4;
3
ax ( ) (4)
7
x
m m g x f
Ví dụ 21. Cho ham số
4
mx
y
x m
. Với giá trị nào của m thì hs nghịch biến trên (
;1)
Giải
Ta có
2
,
2
4
( ,1)
( )
m
y vs x
x m
Để thỏa mãn yêu cầu bài toán
2
,
4 0
0, ( ,1)
( ,1)
2 2
2 1
1
m
y x
x m
x
m
m
Nếu tham số ơ dưới mẫu thì làm như trên
Ví dụ 22. Định m để hàm số
2
2 3
2 1
x x m
y
x
nghịch biến trong khoảng
1
;
2
Giải
TXĐ:
1
\
2
D R
2
2
4 4 3 2
'
(2 1)
x x m
y
x
Hàm số nghịch biến trên
1
;
2
khi
2
2
4 4 3 2 1
' 0, ;
(2 1) 2
x x m
y x
x
GV: Nguyễn Đức Kiên Chuyên đề Hàm số
Chuyên luyên thi tại Thái Bình- TP Sơn La 01649802923 10
2
1
;
2
3 1
2 2 ( ), ;
2 2
max ( )
m x x g x x
m g x
Ta có:
1
'( ) 4 2 0, ;
2
g x x x
Vậy:
1
;
2
1
max ( ) 1
2
m g x g
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Câu 1. Cho hàm số
y m x mx m x
3 2
1
( 1) (3 2)
3
(1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi
m
2
.
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên tập xác định của nó.
Tập xác định: D = R.
y m x mx m
2
( 1) 2 3 2
.
(1) đồng biến trên R
y x
0,
m
2
Câu 2. Cho hàm số
y x x mx
3 2
3 4
(1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi
m
0
.
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng
( ;0)
.
Tập xác định: D = R.
y x x m
2
3 6
. y
có m
3( 3)
.
+ Nếu m
3
thì
0
y x
0,
hàm số đồng biến trên R
m
3
thoả YCBT.
+ Nếu
m
3
thì
0
PT y
0
có 2 nghiệm phân biệt
x x x x
1 2 1 2
, ( )
. Khi đó hàm số đồng biến
trên các khoảng x x
1 2
( ; ),( ; )
.
Do đó hàm số đồng biến trên khoảng
( ;0)
x x
1 2
0
P
S
0
0
0
m
m
3
0
2 0
(VN)
Vậy: m
3
.
Câu 3. Cho hàm số
y x m x m m x
3 2
2 3(2 1) 6 ( 1) 1
có đồ thị (C
m
).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0.
2) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng
(2; )
Tập xác định: D = R.
y x m x m m
2
' 6 6(2 1) 6 ( 1)
có
m m m
2 2
(2 1) 4( ) 1 0
x m
y
x m
' 0
1
. Hàm số đồng biến trên các khoảng
m m
( ; ), ( 1; )
Do đó: hàm số đồng biến trên
(2; )
m
1 2
m
1
Câu 4. Cho hàm số
y x m x m x m
3 2
(1 2 ) (2 ) 2
.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
2) Tìm m để hàm đồng biến trên khoảng
K
(0; )
.
Hàm đồng biến trên
(0; )
y x m x m
2
3 (1 2 ) (22
) 0
với
x
0 )
( ;
x
f x m
x
x
2
23
( )
4 1
2
với
x
0 )
( ;
Ta có:
xx
xx x xf x
x
2
2
2
6(
1) 1
1
2
( ) 0 2
( )
0 1;
2
4 1
GV: Nguyễn Đức Kiên Chuyên đề Hàm số
Chuyên luyên thi tại Thái Bình- TP Sơn La 01649802923 11
Lập BBT của hàm
f x
( )
trên
(0; )
, từ đó ta đi đến kết luận:
f m m
1 5
2 4
.
Câu hỏi tương tự:
a)
y m x m x m x
3 2
1
( 1) (2 1) 3(2 1) 1
3
m
( 1)
,
K
( ; 1)
. ĐS:
m
4
11
b)
y m x m x m x
3 2
1
( 1) (2 1) 3(2 1) 1
3
m
( 1)
,
K
(1; )
. ĐS:
0
m
c)
y m x m x m x
3 2
1
( 1) (2 1) 3(2 1) 1
3
m
( 1)
,
K
( 1;1)
. ĐS:
m
1
2
Câu 5. Cho hàm số
y m x m x x
2 3 2
1
( 1) ( 1) 2 1
3
(1)
m
( 1)
.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0.
2) Tìm m để hàm nghịch biến trên khoảng
K
( ;2)
.
Tập xác định: D = R;
y m x m x
2 2
( 1) 2( 1) 2
.
Đặt
t x
– 2
ta được:
y g t m t m m t m m
2 2 2 2
( ) ( 1) (4 2 6) 4 4 10
Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng
( ;2)
g t t
( ) 0, 0
TH1:
a
0
0
m
m m
2
2
1 0
3 2 1 0
TH2:
a
S
P
0
0
0
0
m
m m
m m
m
m
2
2
2
1 0
3 2 1 0
4 4 10 0
2 3
0
1
Vậy: Với m
1
1
3
thì hàm số (1) nghịch biến trong khoảng
( ;2)
.
Câu 6 Cho hàm số
3 2
y x 3x 3mx 1 (1)
, với m là tham số thực
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0.
2) Tìm m để hàm nghịch biến trên khoảng K
(2; )
.
Tập xác định: D = R;
y m x m x
2 2
( 1) 2( 1) 2
.
Đặt
t x
– 2
ta được:
y g t m t m m t m m
2 2 2 2
( ) ( 1) (4 2 6) 4 4 10
Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng
(2; )
g t t
( ) 0, 0
TH1:
a
0
0
m
m m
2
2
1 0
3 2 1 0
TH2:
a
S
P
0
0
0
0
m
m m
m m
m
m
2
2
2
1 0
3 2 1 0
4 4 10 0
2 3
0
1
Vậy: Với
m
1 1
thì hàm số (1) nghịch biến trong khoảng
(2; )
Câu 6. Cho hàm số
y x x mx m
3 2
3
(1), (m là tham số).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 3.
2) Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1.
Ta có
y x x m
2
' 3 6
có
m
9 3
.
+ Nếu m ≥ 3 thì
y x R
0,
hàm số đồng biến trên R
m ≥ 3 không thoả mãn.
+ Nếu m < 3 thì y
0
có 2 nghiệm phân biệt
x x x x
1 2 1 2
, ( )
. Hàm số nghịch biến trên đoạn
x x
1 2
;
với
độ dài
l x x
1 2
. Ta có:
m
x x x x
1 2 1 2
2;
3
.
YCBT
l
1
x x
1 2
1
x x x x
2
1 2 1 2
( ) 4 1
m
9
4
.
GV: Nguyễn Đức Kiên Chuyên đề Hàm số
Chuyên luyên thi tại Thái Bình- TP Sơn La 01649802923 12
Câu 7. Cho hàm số
y x mx
3 2
2 3 1
(1).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
2) Tìm các giá trị của m để hàm số (1) đồng biến trong khoảng
x x
1 2
( ; )
với
x x
2 1
1
.
y x mx
2
' 6 6
,
y x x m
' 0 0
.
+ Nếu m = 0 y x0,
hàm số nghịch biến trên
m = 0 không thoả YCBT.
+ Nếu
m
0
, y x m khi m
0, (0; ) 0
hoặc y x m khi m
0, ( ;0) 0
.
Vậy hàm số đồng biến trong khoảng
x x
1 2
( ; )
với
x x
2 1
1
x x m
x x m
1 2
1 2
( ; ) (0; )
( ; ) ( ;0)
và x x
2 1
1
m
m
m
0 1
1
0 1
.
Câu 8. Cho hàm số
y x mx m
4 2
2 3 1
(1), (m là tham số).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
2) Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (1; 2).
Ta có
y x mx x x m
3 2
' 4 4 4 ( )
+
m
0
,
y x
0, (0; )
m
0
thoả mãn.
+
m
0
,
y
0
có 3 nghiệm phân biệt:
m m
, 0, .
Hàm số (1) đồng biến trên (1; 2)
m m
1 0 1
. Vậy
m
;1
.
Câu hỏi tương tự:
a) Với
y x m x m
4 2
2( 1) 2
; y đồng biến trên khoảng
(1;3)
. ĐS:
m
2
.
Câu 9. Cho hàm số
mx
y
x m
4
(1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi
m
1
.
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng
( ;1)
.
Tập xác định: D = R \ {–m}.
m
y
x m
2
2
4
( )
.
Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định
y m
0 2 2
(1)
Để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng
( ;1)
thì ta phải có
m m
1 1
(2)
Kết hợp (1) và (2) ta được: m
2 1
.
Câu 10. Cho hàm số
x x m
y
x
2
2 3
(2).
1
Tìm m để hàm số (2) đồng biến trên khoảng
( ; 1)
.
Tập xác định:
D R {
\ 1}
.
x x m f x
y
x x
2
2 2
2 4 3 ( )
' .
( 1) ( 1)
Ta có:
f x m x x
2
( ) 0 2 4 3
. Đặt
g x x x
2
( ) 2 4 3
g x x
'( ) 4 4
Hàm số (2) đồng biến trên
( ; 1)
y x m g x
( ; 1]
' 0, ( ; 1) min ( )
Dựa vào BBT của hàm số
g x x
( ), ( ; 1]
ta suy ra
m
9
.
Vậy
m
9
thì hàm số (2) đồng biến trên
( ; 1)
Câu 11. Cho hàm số
x x m
y
x
2
2 3
(2).
1
Tìm m để hàm số (2) đồng biến trên khoảng
(2; )
.
GV: Nguyễn Đức Kiên Chuyên đề Hàm số
Chuyên luyên thi tại Thái Bình- TP Sơn La 01649802923 13
Tập xác định:
D R {
\ 1}
.
x x m f x
y
x x
2
2 2
2 4 3 ( )
' .
( 1) ( 1)
Ta có:
f x m x x
2
( ) 0 2 4 3
. Đặt
g x x x
2
( ) 2 4 3
g x x
'( ) 4 4
Hàm số (2) đồng biến trên
(2; )
y x m g x
[2; )
' 0, (2; ) min ( )
Dựa vào BBT của hàm số
g x x
( ), ( ; 1]
ta suy ra m
3
.
Vậy
m
3
thì hàm số (2) đồng biến trên
(2; )
.
Câu 12. Cho hàm số
x x m
y
x
2
2 3
(2).
1
Tìm m để hàm số (2) đồng biến trên khoảng
(1;2)
.
Tập xác định:
D R {
\ 1}
.
x x m f x
y
x x
2
2 2
2 4 3 ( )
' .
( 1) ( 1)
Ta có:
f x m x x
2
( ) 0 2 4 3
. Đặt
g x x x
2
( ) 2 4 3
g x x
'( ) 4 4
Hàm số (2) đồng biến trên
(1;2)
y x m g x
[1;2]
' 0, (1;2) min ( )
Dựa vào BBT của hàm số
g x x
( ), ( ; 1]
ta suy ra
m
1
.
Vậy m
1
thì hàm số (2) đồng biến trên
(1;2)
.
CHUYÊN ĐỀ 2
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
DẠNG 1: TÌM CỰC TRI CỦA HÀM SỐ
*) Điểm tới hạn là điểm mà tại đó
,
y
=0 hoặc không xác định
*) Điều kiện tồn tại cực trị
Hàm số y f (x) có cực trị khi y’ đổi dấu
PP: Tìm điểm cực trị
PP:
Cách 1:
- Tính đạo hàm y
’
= f
’
(x). Tìm các điểm tới hạn x
i
:
- Lập bảng xét dấu của f
’
(x)
- Tại mỗi điểm x
i
mà qua đó nếu:
a) f
’
(x) đổi dấu từ âm sang dương thì f(x) đạt cực tiểu tại điểm đó
b) f
’
(x) đổi dấu từ dương sang âm thì f(x) đạt cực đại tại điểm đó
c) f
’
(x) không đổi dấu thì f(x) không đạt cực trị tại điểm đó
Cách 2:
- Tìm TXĐ của hàm số
- Tính
'( )
f x
. Giải phương trình
'( ) 0
f x
và ký hiệu
i
x
1,2,3,
i là các nghiệm của nó.
- Tính
f x
và
i
f x
- Dựa vào đấu của
i
f x
suy ra tính chất cực trị của điểm
i
x
0
i
f x
hàm số đạt cực tiểu tại
i
x
0
i
f x
hàm số đạt cực đại tại
i
x
Chú ý: Cách 2 chỉ sử dung khi xét dấu của
,
y
khó hoặc để thử xem điểm
i
x
có là điểm cực trị hay ko
Chú ý: Giá trị cực đại, cực tiểu không phải là giái trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên D, nó chỉ là giá trị lớn nhất,
nhỏ nhất trên (a,b) nào đó chứa điểm tới hạn
GV: Nguyễn Đức Kiên Chuyên đề Hàm số
Chuyên luyên thi tại Thái Bình- TP Sơn La 01649802923 14
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. [SGKNC] Sử dụng cách 1 tìm cực trị của hàm số
3 2
1 4
3
3 3
y x x x
.
Giải
Hàm số có TXĐ
Ta có
2
' 2 3
y x x
,
' 0
y
1
x
hoặc
3
x
.
Bảng biến thiên:
+∞
-∞
f x( )
f ' x( ) +
+
_
0
0
-
23
3
3
+∞3-1
-∞
x
Kết luận:
Hàm số đạt cực đại tại
1
x
, giá trị cực đại tương ứng là
1 3
y
; hàm số đạt cực tiểu tại
3
x
, giá trị
cực tiểu tương ứng là
23
3
3
y
.
Ví dụ 2. [SGKNC] Sử dụng cách 2 tìm cực trị của hàm số
3 2
1 4
3
3 3
y x x x
.
Giải
TXĐ
.
Ta có
2
' 2 3
y x x
,
' 0
y
1
x
hoặc
3
x
.
Mặt khác
" 2 2
y x
,
+)
" 1 4 0
y
hàm số đạt cực đại tại
1
x
, giá trị cực đại tương ứng là
1 3
y
;
+)
" 3 4 0
y
hàm số đạt cực tiểu tại
3
x
, giá trị cực tiểu tương ứng là
23
3
7
y
.
23
3
7
y
.
Ví dụ 3. [SGKNC] Sử dụng quy tắc 2 tìm cực trị của hàm số
sin 2 2
y x x
.
Giải
TXĐ
.
Ta có:
' 1 2cos2
y x
,
' 0
y
1
2
cos2x
2 2
3
x k
6
x k
(k
).
Mặt khác:
" 4sin 2
y x
,
+)
4sin 2 2 3 0
6 3
y k k
hàm số đạt cực tiểu tại các điểm
6
x k
, giá
trị cực tiểu tương ứng là
6
3
2
6 2
y k k
.
GV: Nguyễn Đức Kiên Chuyên đề Hàm số
Chuyên luyên thi tại Thái Bình- TP Sơn La 01649802923 15
+)
4sin 2 2 3 0
6 3
y k k
hàm số đạt cực đại tại các điểm
6
x k
, giá trị cực tiểu tương ứng là
3
2
6 6 2
y k k
.
Ví dụ 4. [SGK] Tìm
a
,
b
,
c
sao cho hàm số
3 2
y ax bx cx d
đạt cực tiểu tại điểm
0
x
,
0 0
y
và đạt cực đại tại
1
x
,
1 1
f
.
Giải
Ta có
2 2
' 3 2
y ax bx c
. Từ giả thiết suy ra
' 0 0
0 0
' 1 0
1 1
y
y
y
y
0
0
3 2 0
1
c
d
a b c
a b c d
2
3
0
0
a
b
c
d
.
Khi đó
3 2
2 3
y x x
,
2
' 6 6
y x x
,
" 12 6
y x
. Ta có
" 0 6 0
y
hàm số đạt cực tiểu tại
0
x
,
" 1 6 0
y
hàm số đạt cực đại tại
1
x
(thỏa mãn). Vậy
2
a
,
3
b
,
0
c
,
0
d
.
Bài tập tương tự
Bài 1: Tìm cực trị của các hàm số
1)
3 2
2 9 12 3
y x x x
;
2)
3 2
5 3 4 5
y x x x
;
3)
4 3 2
3 4 24 48 3
y x x x x
;
4)
9
3
2
y x
x
;
5)
2
2
8 24
4
x x
y
x
;
6)
2
4
x
y
x
;
7)
3
y x x
;
8)
2
2 2
y x x
;
9)
2
sin 3 cos
y x x
;
10)
2sin cos2
y x x
.
Bài 2: Tìm
a
,
b
,
c
để hàm số
3 2
y x ax bx c
đạt cực tiểu tại
1
x
,
1 3
y
và đồ thị của hàm số
cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng
2
.
Bài 3: Tìm
p
,
q
sao cho hàm số
1
q
y x p
x
đạt cực đại tại điểm
2
x
và
2 2
y
.
Hướng dẫn giải:
0:
Error! Reference source not found. Hàm số đạt cực đại tại điểm
1
x
,
1 8
y
và đạt cực tiểu tại điểm
2
x
,
2 7
y
;
Error! Reference source not found. Hàm số nghịch biến trên
nên không có cực trị;
GV: Nguyễn Đức Kiên Chuyên đề Hàm số
Chuyên luyên thi tại Thái Bình- TP Sơn La 01649802923 16
Error! Reference source not found. Hàm số đạt cực tiểu tại
2
x
,
2 115
y
và
2
x
,
2 13
y
, đạt
cực đại tại điểm
1
x
,
1 20
y
;
Error! Reference source not found. Hàm số đạt cực đại tại điểm
1
x
,
1 7
y
và đạt cực tiểu tại điểm
5
x
,
5 5
y
;
Error! Reference source not found. Hàm số đạt cực tiểu tại
điểm
1
x
,
1 5
y
và đạt cực đại tại điểm
4
x
,
4 2
y
;
Error! Reference source not found. Hàm số đạt cực tiểu tại
điểm
2
x
,
1
2
4
y
và đạt cực đại tại
điểm
2
x
,
1
4
4
y
;
Error! Reference source not found. Hàm số đạt cực tiểu tại
điểm
1
x
,
1 5
y
và đạt cực đại tại điểm
4
x
,
4 2
y
.
Error! Reference source not found. Hàm số đạt cực tiểu tại
2
x
,
1
2
4
y
, đạt cực đại tại điểm
2
x
,
1
2
4
y
;
Error! Reference source not found. Hàm số đạt cực tiểu tại các điểm
2
x k
,
2 2 3
y k
và
2
x k
,
2 2 3
y k
. Hàm số đạt cực đại tại các điểm
5
2
6
x k
,
5 1
2
6 2
y k
;
Error! Reference source not found. Hàm số đạt cực tiểu tại các điểm
2
2
x k
,
2 1
2
y k
và
2
2
x k
,
2 3
2
y k
. Hàm số đạt cực đại tại các điểm
2
6
x k
,
3
2
6 2
y k
và
5
2
6
x k
,
5 3
2
6 2
y k
.
0:
3
a
,
9
b
,
2
c
.
0:
1
p q
.
DẠNG 2: CỰC TRI TRONG NHỮNG BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ
Hàm bậc ba
3 2 , 2
ax 3 2 0
y bx cx d y ax bx c
1. Hàm số bậc 3 ko có cực trị
TH1: a=0 =>
,
2 0
y bx c
. Vậy để hàm số ko có cực trị cần b=0, c #0
TH2: a#0 .Vậy để hàm số ko có cực trị cần
0
2. Hàm số có cực trị
TH1: Nếu a=0 =>
' 2 0
y bx c
. Vậy để hàm số ko có cực trị cần b#0
TH2: Nếu a#0 .Vậy để hàm số có cực trị thì phương trình
, 2
3 2 0
y ax bx c
có
0
3. Hàm số có cực đại và cực tiểủ , có cực trị
,
0 ó #0; 0
y c a
4. Hàm số đạt cực tiểu tại x = x
0
0
0
' 0
" 0
y x
y x
5. Hàm số đạt cực đại tại x = x
0
0
0
' 0
" 0
y x
y x
GV: Nguyễn Đức Kiên Chuyên đề Hàm số
Chuyên luyên thi tại Thái Bình- TP Sơn La 01649802923 17
6. Hàm số có cực đại cực tiểu và
d
c ct
x x
cần
0, 0
a
7. Hàm số có cực đại cực tiểu và
d
c ct
x x
Cần
0, 0
a
8. Phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu
+ Tìm TXĐ
+ Tính y’
+ Tìm m để hàm số có 2 cực trị. (*)
+ Lấy y chia y’ ta được : y = y’.g(x) + (ax + b)
Gọi
1 1 1 2 2 2
, , ,
M x y M x y
là các điểm cực trị.
=>
1
' 0
y x
và
2
' 0
y x
Suy ra :
1 1
y ax b
,
2 2
y ax b
Do đó : đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là d
m
: y = ax +b
Ví dụ 1. Tìm m để hàm số:
3 2 2 2
1
2 3 1 5
3
y x m m x m x m
đạt cực tiểu tại x 2.
Giải
2 2 2
2 2 3 1
y x x m m x m
2
2 2 2
y x x m m
Để hàm số đạt cực tiểu tại x 2 thì
2
2
2 0 4 3 0 1 3 0
3
1 02 0
0
y m m m m
m
m my
m m
Ví dụ 2. Tìm
m
để hàm số
3 2
2 3 5
y m x x mx
có cực đại, cực tiểu.
Giải
Ta có
2
' 3 2 6
y m x x m
.
có cực đại, cực tiểu thì trước hết
2 0
m
2
m
.
Khi đó
'
y
là tam thức bậc hai có
2
' 3 2 3
m m
.
y
có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi
' 0
2
2 3 0
m m
3 1
m
. (2)
Kết hợp với
1
và
2
ta có những giá trị của
m
thỏa mãn yêu cầu bài toán là
3; 2 2;1
m .
Ví dụ 3. Cho hàm số
y x mx m x m m
3 2 2 3 2
3 3(1 )
(1) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị
của đồ thị hàm số (1).
Giải
Ta có
y x mx m
2 2
3 6 3(1 )
.
PT
y
0
có
m
1 0,
Đồ thị hàm số (1) luôn có 2 điểm cực trị
x y x y
1 1 2 2
( ; ), ( ; )
.
Chia y cho y ta được:
m
y x y x m m
2
1
2
3 3
Khi đó:
y x m m
2
1 1
2
;
y x m m
2
2 2
2
PT đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) là
y x m m
2
2
.
Ví dụ 4. (B-2013 ). Cho hàm số
3 2
2 3( 1) 6 (1)
y x m x mx
, với m là tham số thực.Tìm m để đồ thị hàm số (1)
có hai điểm cực trị A và B sao cho đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng y = x + 2.
GV: Nguyễn Đức Kiên Chuyên đề Hàm số
Chuyên luyên thi tại Thái Bình- TP Sơn La 01649802923 18
Giải
Ta có: y’ = 6(x
2
– (m + 1)x + m)),
Để hàm số có 2 cực trị y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt (m + 1)
2
– 4m > 0 m 1
Thực hiện y chia y’ ta có : y =
1
(2 1). '
6
x m y
- (m – 1)
2
x + m
2
+ m
YCBT -(m – 1)
2
= -1 và m 1 m = 0 hay m = 2.
Ví dụ 5. Tìm m để
3 2
2 3 1 6 1 2
f x x m x m m x
có CĐ, CT nằm trên đường thẳng (d): y 4x.
Giải
Ta có:
2
6 1 1 2 0
f x x m x m m
2
1 1 2 0
x m x m m
Để hàm số có CĐ, CT
' 0
f x
có 2 nghiệm phân biệt
2
1
3 1 0
3
m m
Gọi hai điểm cực trị là
1 1 2 2
( , ); ( , )
A x y B x y
Thực hiện phép chia f (x) cho f’(x) ta có:
2
2 1 ' 3 1 1 1 2
f x x m f x m x m m m
Đường thẳng đi qua CĐ, CT là ():
2
3 1 1 1 2
y m x m m m
với
1
3
m
Để cực đại, cực tiểu nằm trên đường thẳng (d): y 4x thì () (d)
2
3 1 2 3 1 2 0
3 1 4
1
1 1 2 0
1 1 2 0
m m
m
m
m m m
m m m
Ví dụ 6. Tìm m để
3 2
7 3
f x x mx x
có đường thẳng đi qua CĐ, CT vuông góc với y 3x 7.
Giải
Hàm số có CĐ, CT
2
3 2 7 0
f x x mx
có 2 nghiệm phân biệt
2
21 0 21
m m
. Gọi hai điểm cực trị là
1 1 2 2
( , ); ( , )
A x y B x y
Thực hiện phép chia f (x) cho f (x) ta có:
2
7
1 2
3 21 3
9 9 9
m
f x x m f x m x
Với
21
m
Đường thẳng đi qua CĐ, CT là ():
2
7
2
21 3
9 9
m
y m x
Ta có () y 3x 7
2 2
3 10
452
21 .3 1 21
9 2 2
m m m
Ví dụ 7. Cho hàm số
3 2
3 3 –1
y x mx m
.Tìm các giá trị của m để hàm số có cực đại, cực tiểu. Với giá
trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường
thẳng
: 8 – 74 0.
d x y
Giải:
Ta có y’ = - 3x
2
+ 6mx ; y’ = 0 x = 0 v x = 2m.
Hàm số có cực đại , cực tiểu phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt m 0.
Hai điểm cực trị là A(0; - 3m - 1) ; B(2m; 4m
3
– 3m – 1)
Trung điểm I của đoạn thẳng AB là I(m ; 2m
3
– 3m – 1)
Vectơ
3
(2 ;4 )
AB m m
; Một vectơ chỉ phương của đường thẳng d là
(8; 1)
u
.
Hai điểm cực đại , cực tiểu A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng d
I d
AB d
GV: Nguyễn Đức Kiên Chuyên đề Hàm số
Chuyên luyên thi tại Thái Bình- TP Sơn La 01649802923 19
3
8(2 3 1) 74 0
. 0
m m m
ABu
m = 2
Ví dụ 8. Tìm m để hàm số
3 2 2
3
f x x x m x m
có cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua ():
5
1
2 2
y x
Giải:
Hàm số có CĐ, CT
2 2
3 6 0
f x x x m
có 2 nghiệm phân biệt
2
9 3 0 3
m m
. Gọi hai điểm cực trị là
1 1 2 2
( , ); ( , )
A x y B x y
Thực hiện phép chia f (x) cho f (x) ta có:
2
2
1 2
1 3
3 3 3
m
f x x f x m x m
Đường thẳng đi qua CĐ, CT là (d):
2
2
2
3
3 3
m
y m x m
.
Các điểm cực trị
1 1 2 2
, , ,
A x y B x y
đối xứng nhau qua
5
1
:
2 2
y x
(d) () tại trung điểm I của AB (*) . Ta có
1 2
1
2
I
x x
x
suy ra
(*)
2
2
2
2 1
3 1
0
3 2
0
52 1
1 0
3 1 1
3 3 2 2
m
m
m
m
m m
m m
Ví dụ 9. (B-2012) Tìm
m
để đồ thị hàm số
3 2 3
3 3
y x mx m
có hai điểm cực trị
A
và
B
sao cho tam
giác
OAB
có diện tích bằng
48
.
Giải
Ta có
2
' 3 6 3 2
y x mx x x m
,
' 0
y
0
2
x
x m
.
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi
2 0
m
0
m
. (1)
Khi đó, các điểm cực trị của đồ thị hàm số là
3
0;3
A m
,
3
2 ;
B m m
. Ta có:
3
0;3
OA m
3
3
OA m
. (2)
Ta thấy
A Oy
OA Oy
, , 2
d B OA d B Oy m
. (3)
Từ (2) và (3) suy ra
4
1
; 3
2
OAB
S OA d B OA m
.
Do đó:
48
OAB
S
4
3 48
m
2
m
(thỏa mãn (1)).
Ví dụ 10. Cho hàm số
3 2
3 2
y x mx
(1), với m là tham số thực. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có
hai điểm cực trị A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 2 (O là gốc tọa độ).
Giải
Với mọi x
, y' = 3x
2
+ 6mx y' = 0 x = 0 hoặc x = -2m
Để hàm số có cực đại, cực tiểu thì phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt
m 0
Khi đó, tọa độ các điểm cực trị là: A(0; 2); B(-2m; 4m
3
+ 2)
GV: Nguyễn Đức Kiên Chuyên đề Hàm số
Chuyên luyên thi tại Thái Bình- TP Sơn La 01649802923 20
S
OAB
= 1 OA.d(B;OA) = 4
1
2 2
1
m
m
m
(thỏa mãn)
Vậy với m =
1 thì hàm số có 2 cực trị thỏa mãn bài.
Ví dụ 11. Cho hàm số
3
3 1
y x mx
(1). Tìm
m
để đồ thị của hàm số (1) có 2 điểm cực trị
,
A B
sao
cho tam giác
OAB
vuông tại
O
( với
O
là gốc tọa độ ).
Giải
Ta có:
2 2
' 3 3 3
y x m x m
2
' 0 0 *
y x m
Để hàm số (1) có 2 điểm cực trị
PT (*) có 2 nghiệm phân biệt
0 **
m
Khi đó 2 điểm cực trị
;1 2
A m m m
,
;1 2
B m m m
Tam giác OAB vuông tại O
. 0
OAOB
3
1
4 1 0
2
m m m
( TM (**) )
Vậy
1
2
m
Ví dụ 12. Tìm m để hàm số
3 2
1 1
1 3 2
3 3
f x mx m x m x
đạt cực trị tại x
1
, x
2
thoả mãn
1 2
2 1
x x
.
Giải
Hàm số có CĐ, CT
2
2 1 3 2 0
f x mx m x m
có 2 nghiệm phân biệt
2
0
1 3 2 0
m
m m m
6 6
1 0 1
2 2
m (*)
Với điều kiện (*) thì
0
f x
có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
và hàm số f (x) đạt cực trị tại x
1
, x
2
. Theo định lý Viet
ta có:
1 2 1 2
2 1 3 2
;
m m
x x x x
m m
Ta có:
1 2 2 1
2 1 2 1
2 2 3 4
2 1 1 ;
m m
m m m
x x x x
m m m m m
3 2
2 3 4
2 3 4 3 2
m
m m
m m m m
m m m
2
2
3
m
m
Cả 2 giá trị này đều thoả mãn điều kiện (*). Vậy
1 2
2 1
x x
2
2
3
m m
Ví dụ 13. Cho hàm số
3 2
3( 1) 9
y x m x x m
với m là tham số thực. Tìm m để hàm số đã cho có cực trị
tại
1 2
,
x x
sao cho
1 2
2
x x
Giải
Ta có
.9)1(63'
2
xmxy
- Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại
21
, xx
phương trình 0'
y có hai nghiệm pb là
21
, xx
Pt
03)1(2
2
xmx
có hai nghiệm phân biệt là
21
, xx .
31
31
03)1('
2
m
m
m )1(
GV: Nguyễn Đức Kiên Chuyên đề Hàm số
Chuyên luyên thi tại Thái Bình- TP Sơn La 01649802923 21
- Theo định lý Viet ta có .3);1(2
2121
xxmxx
Khi đó
41214442
2
21
2
2121
mxxxxxx
2
( 1) 4 3 1 (2)
m m
Từ (1) và (2) suy ra giá trị của m là
313 m
hoặc
.131 m
Hàm bậc bốn trùng phương
4 2
ax ( 0)
Dang y bx c a
+ TXĐ : D = R
+ Tính y’ = 4ax
3
+2bx
2
0
' 0
( ) 4 2 0
x
y
g x ax b
1. Hàm số luôn đạt cực trị tại x = 0
2. Hàm số có 3 cực trị
y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt
pt g(x) có 2 nghiệm phận biệt khác 0
a.b <0
3. Hàm số có 2 CĐ và 1 CT
y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt và a<0
0
0
a
b
4. Hàm số có 2 CT và 1 CĐ
y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt và a>0
0
0
a
b
5. Hàm số có đúng 1 cực trị
pt g(x) vô nghịêm hoặc có nghiệm kép bằng 0.
Lưu ý : Khi đồ thị hàm số có 3 cực trị A, B ,C và A thuộc Oy thì tam giác ABC cân tại A.
6. phương trình đường cong đi qua điểm cực trị
+ Tìm TXĐ
+ Tính y’
+ Tìm đk để
'
y
=0 có 3 nghiệm phân biệt
Thực hiện phép chia f (x) cho f (x) ta có:
.
4 3 2
f x q x f x r x
b b b
Vậy phương trình đường cong là r(x)
Các ví dụ minh họa
Ví dụ 14. (B 2002) Tìm m để hàm số
4 2 2
9 10
y mx m x
có 3 điểm cực trị
Giải
Ta có
2 2
2 2 9 2 . 0
y x mx m x g x
có 3 nghiệm phân biệt
2
3
9
0
2
0 3
m
m
m
m
Ví dụ 15. (A -2004) Tìm m để hàm số
4 2 2
2 1
y x m x
có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông
cân
Giải
GV: Nguyễn Đức Kiên Chuyên đề Hàm số
Chuyên luyên thi tại Thái Bình- TP Sơn La 01649802923 22
Hàm số có 3 cực trị
2 2
4 0
y x x m
có 3 nghiệm phân biệt
0
m
, khi đó đồ thị có 3 điểm cực trị
là
4 4
0,1 ; ,1 , ,1
A B m m C m m
. Do
y
là hàm chẵn nên YCBT
. 0 1
AB AC m
Ví dụ 16. Cho hàm số
4 2
2 1
y x mx
(1)Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A,
B, C sao cho BC = 4 và A là điểm cực trị thuộc trục tung.
Giải
Ta có
3 2
' 4 4 4
y x mx x x m
;
2
0
' 0
*
x
y
x m
Để hàm số có ba cực trị thì y’=0 có ba nghiệm phân biệt và y’ đổi dấu qua ba nghiệm đó
(*) có hai
nghiệm phân biệt khác 0
0
m
(**)
Khi đó
2 2
0 0;1
' 0
;1 , ;1
x A
y
x m B m m C m m
Do đó
4 2 4 4
BC m m
(t/m (**))
Ví dụ 17. Tìm m để
4 2 4
2 2
f x x mx m m
có CĐ, CT lập thành tam giác đều.
Giải
3 2
4 4 4
f x x mx x x m
. Ta có:
2
0 0
f x x x m
.
Để hàm số có CĐ, CT
0
f x
có 3 nghiệm phân biệt m > 0
3 nghiệm là:
1 2 3
; 0 ;
x m x x m
3 điểm CĐ, CT là:
4 2 4 4 2
, 2 ; 0, 2 ; , 2
A m m m m B m m C m m m m
4
; 2
AB BC m m AC m
.
Để A, B, C lập thành tam giác đều
thì
AB BC AC
4
2
m m m
4 4
3
4 3 3
m m m m m m
Ví dụ 18. Cho hàm số
4 2 2
( ) 2( 2) 5 5
y f x x m x m m
m
C
( )
. Tìm các giá trị của m để đồ thị
m
C
( )
của
hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành 1 tam giác vuông cân.
giải
Giải
Ta có
3
2
0
4 4( 2) 0
2
x
f x x m x
x m
Hàm số có CĐ, CT PT f x
( ) 0
có 3 nghiệm phân biệt
m
2
(*)
Khi đó toạ độ các điểm cực trị là:
A m m B m m C m m
2
0; 5 5 , 2 ;1 , 2 ;1
AB m m m AC m m m
2 2
2 ; 4 4 , 2 ; 4 4
Do ABC luôn cân tại A, nên bài toán thoả mãn khi ABC vuông tại A
1120.
3
mmACAB
GV: Nguyễn Đức Kiên Chuyên đề Hàm số
Chuyên luyên thi tại Thái Bình- TP Sơn La 01649802923 23
Ví dụ 19. Cho hàm số
m
Cmmxmxy 55)2(2
224
Với những giá trị nào của m thì đồ thị (C
m
) có
điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại và điểm cực tiểu lập thành một tam giác đều.
Giải
Ta có
3
2
0
4 4( 2) 0
2
x
f x x m x
x m
Hàm số có CĐ, CT PT f x
( ) 0
có 3 nghiệm phân biệt m
2
(*)
Khi đó toạ độ các điểm cực trị là:
A m m B m m C m m
2
0; 5 5 , 2 ;1 , 2 ;1
AB m m m AC m m m
2 2
2 ; 4 4 , 2 ; 4 4
Do ABC luôn cân tại A, nên bài toán thoả mãn khi
A
0
60
A
1
cos
2
AB AC
AB AC
. 1
2
.
3
32m .
Ví dụ 20. Cho hàm số
y x mx m m
4 2 2
2
có đồ thị (C
m
) . Với những giá trị nào của m thì đồ thị (C
m
) có ba
điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành một tam giác có một góc bằng
0
120
.
Giải
Ta có
y x mx
3
4 4
;
x
y x x m
x m
2
0
0 4 ( ) 0
(m < 0)
Khi đó các điểm cực trị là:
A m m B m m C m m
2
(0; ), ; , ;
AB m m
2
( ; )
;
AC m m
2
( ; )
. ABC cân tại A nên góc
120
chính là
A
.
A
120
AB AC m m m
A
m m
AB AC
4
4
1 . 1 . 1
cos
2 2 2
.
m loaïi
m m
m m m m m m
m
m m
4
4 4 4
4
3
0 ( )
1
1
2 2 3 0
2
3
Vậy m
3
1
3
.
Ví dụ 21. Cho hàm số y x mx m
4 2
2 1
có đồ thị (C
m
) .Với những giá trị nào của m thì đồ thị (C
m
) có ba điểm
cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng
1
.
Giải
Ta có
x
y x mx x x m
x m
3 2
2
0
4 4 4 ( ) 0
Hàm số đã cho có ba điểm cực trị
PT y
0
có ba nghiệm phân biệt và
y
đổi dấu khi
x
đi qua các nghiệm đó
m
0
. Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị (Cm) là:
A m B m m m C m m m
2 2
(0; 1), ; 1 , ; 1
ABC B A C B
S y y x x m m
2
1
.
2
;
AB AC m m BC m
4
, 2
ABC
m
AB AC BC m m m
R m m
S
m
m m
4
3
2
1
. . ( )2
1 1 2 1 0
5 1
4
4
2
Ví dụ 22. Cho hàm số
y x mx m m
4 2 4
2 2 có đồ thị (C
m
) .Với những giá trị nào của m thì đồ thị (C
m
) có ba
điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành một tam giác có diện tích bằng 4
Giải
GV: Nguyễn Đức Kiên Chuyên đề Hàm số
Chuyên luyên thi tại Thái Bình- TP Sơn La 01649802923 24
Ta có
3
2
0
' 4 4 0
( ) 0
x
y x mx
g x x m
Hàm số có 3 cực trị
' 0
y
có 3 nghiệm phân biệt
0 0
g
m m
(*)
Với điều kiện (*), phương trình
y
0
có 3 nghiệm
1 2 3
; 0;
x m x x m
. Hàm số đạt cực trị tại
1 2 3
; ;
x x x
.
Gọi
4 4 2 4 2
(0;2 ); ; 2 ; ; 2
A m m B m m m m C m m m m
là 3 điểm cực trị của (C
m
) .
Ta có:
2 2 4 2
; 4
AB AC m m BC m ABC
cân đỉnh A
Gọi M là trung điểm của BC
M m m m AM m m
4 2 2 2
(0; 2 )
Vì
ABC
cân tại A nên AM cũng là đường cao, do đó:
ABC
S AM BC m m m m m
5
2 5 5
2
1 1
. . . 4 4 4 16 16
2 2
Vậy
m
5
16
.
Bài tập tương tự
Câu 1. Cho hàm số
y x x mx m
3 2
3 2
(m là tham số) có đồ thị là (C
m
). Xác định m để (C
m
) có các điểm cực
đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành.
ĐS: m
3
Câu 2. Cho hàm số
y x m x m m x
3 2 2
(2 1) ( 3 2) 4
(m là tham số) có đồ thị là (C
m
). Xác định m để (C
m
)
có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung.
ĐS:
m
1 2
Câu 3. Cho hàm số
y x mx m x
3 2
1
(2 1) 3
3
(m là tham số) có đồ thị là (C
m
). Xác định m để (C
m
) có các điểm
cực đại, cực tiểu nằm về cùng một phía đối với trục tung.
ĐS:
1
1
2
m
m
Câu 4. Cho hàm số
y x x mx
3 2
3 2
(m là tham số) có đồ thị là (C
m
).Xác định m để (C
m
) có các điểm cực đại
và cực tiểu cách đều đường thẳng
y x
1
.
ĐS:
m
0
.
Câu 5. Cho hàm số
y x mx m
3 2 3
3 4
(m là tham số) có đồ thị là (C
m
). Xác định m để (C
m
) có các điểm cực đại
và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x.
ĐS: m
2
2
Câu 6. Cho hàm số
y x mx m
3 2
3 3 1
. Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực
tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d:
x y
8 74 0
.
ĐS:
m
2
Câu 7. Cho hàm số
y x m x x m
3 2
3( 1) 9 2
(1) có đồ thị là (C
m
). Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có
điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d:
y x
1
2
.
ĐS:
m
1
Câu 8. Cho hàm số
y x mx mx
3 2
1
1
3
, với
m
là tham số thực. Xác định
m
để hàm số đã cho đạt cực trị tại
GV: Nguyễn Đức Kiên Chuyên đề Hàm số
Chuyên luyên thi tại Thái Bình- TP Sơn La 01649802923 25
x x
1 2
,
sao cho
x x
1 2
8
.
ĐS:
m
m
1 65
2
1 65
2
Câu 9. Cho hàm số
y x mx x
3 2
4 3
.Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị
x x
1 2
,
thỏa
x x
1 2
4
.
ĐS:
9
2
m
Câu 10. Cho hàm số
y x ax ax
3 2
1
3 4
3
(1) (a là tham số). Tìm a để hàm số (1) đạt cực trị tại
x
1
,
x
2
phân biệt
và thoả mãn điều kiện:
x ax a
a
a x ax a
2
2
1 2
2 2
2 1
2 9
2
2 9
(2)
ĐS:
a
4
Câu 11. Cho hàm số
y x mx m x
3 2 2
2 9 12 1
(m là tham số).Tìm các giá trị của m để hàm số có cực đại tại x
CĐ
,
cực tiểu tại x
CT
thỏa mãn:
CÑ CT
x x
2
.
ĐS:
m
2
Câu 12. Cho hàm số
y x mx m x m m
3 2 2 3
3 3( 1)
(1)Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng
cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O bằng
2
lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm
số đến gốc tọa độ O.
Câu 13. Cho hàm số
y x x mx
3 2
3 2
có đồ thị là (C
m
).Tìm m để (C
m
) có các điểm cực đại, cực tiểu và đường
thẳng đi qua các điểm cực trị song song với đường thẳng d:
y x
4 3
.
ĐS: m=3
Câu hỏi tương tự:
a) y x mx m x
3 2
1
(5 4) 2
3
, d x y
:8 3 9 0
ĐS: m m
0; 5
.
Câu 14. Cho hàm số
y x mx x
3 2
7 3
có đồ thị là (C
m
).Tìm m để (C
m
) có các điểm cực đại, cực tiểu và đường
thẳng đi qua các điểm cực trị vuông góc với đường thẳng d:
y x
3 7
.
ĐS: m
3 10
2
Câu 15. Cho hàm số
y x x mx
3 2
3 2
có đồ thị là (C
m
). Tìm m để (C
m
) có các điểm cực đại, cực tiểu và đường
thẳng đi qua các điểm cực trị tạo với đường thẳng d:
x y
4 5 0
một góc
0
45
a
.
ĐS:
m
1
2
.
Câu hỏi tương tự:
a)
y x m x m m x m m
3 2 2
3( 1) (2 3 2) ( 1)
,
d y x
1
: 5
4
,
0
45
a
. ĐS:
m
3 15
2
Câu 16. Cho hàm số
y x x
3 2
3 2
(C). Tìm m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của (C) tiếp xúc với
đường tròn (S) có phương trình
x m y m
2 2
( ) ( 1) 5
.
ĐS:
m m
4
2;
3
Câu 17. Cho hàm số
y x mx x m
3 2
6 9 2
(1), với m là tham số thực. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm
