Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp euler trong việc giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
VƯƠNG THÀNH NAM
SỰ KẾT HỢP CỦA PHƯƠNG PHÁP THÁC TRIỂN
THEO THAM SỐ VÀ PHƯƠNG PHÁP EULER
TRONG VIỆC GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHI
TUYẾN NHIỀU BIẾN SỐ
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02
Người hướng dẫn khoa học
PGS. TS. Khuất Văn Ninh
HÀ NỘI, 2014
Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS. Khuất Văn Ninh, người
đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn
thành luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, các
thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học
Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ và tao điều kiện cho tôi trong suốt quá
trình học tập.
Qua đây tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới Ban Giám hiệu trường THPT
Thái Hòa- Lập Thạch- Vĩnh Phúc đã giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi
nhất giúp tôi hoàn thành tốt khóa học này.
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,
bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi
trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 7 năm 2014
Tác giả
Vương Thành Nam
Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Khuất Văn Ninh,
luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Sự kết hợp của
phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp Euler trong việc
giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến số” được hoàn thành bởi nhận
thức của bản thân tác giả.
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những
thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 7 năm 2014
Tác giả
Vương Thành Nam
Mục lục
Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1. Không gian Banach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1. Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2. Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.3. Nguyên lí ánh xạ co Banach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2. Hệ phương trình phi tuyến. . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1. Hệ phương trình phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2. Một số chuẩn trong không gian R
n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3. Một số kiến thức về phương trình, hệ phương trình vi phân
thường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.1. Phương trình vi phân thường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.2. Hệ phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4. Phương pháp Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4.1. Đạo hàm Fréchet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4.2. Phương pháp Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Chương 2. Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham

số và phương pháp Euler trong việc giải hệ phương trình phi
tuyến nhiều biến số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1. Phương pháp thác triển theo tham số. . . . . . . . . 24
2.2. Phương pháp Euler và các phương pháp Euler cải tiến . . 29
2.2.1. Phương pháp Euler giải phương trình vi phân cấp một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1
2
2.2.2. Phương pháp Euler cải tiến thứ nhất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.3. Phương pháp Euler cải tiến thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.4. Phương pháp Euler cải tiến giải hệ phương trình vi phân cấp một . . . . . . . . . 31
2.3. Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Chương 3. Lập trình trên Maple để giải hệ phương trình phi
tuyến. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Bài toán giải hệ phương trình phi tuyến là bài toán được dẫn tới từ nhiều
bài toán: Giải phương trình toán tử tích phân phi tuyến theo phương
pháp cầu phương; giải phương trình vi phân tuyến tính bằng phương
pháp sai phân. Vì vậy bài toán giải hệ phương trình phi tuyến được sự
quan tâm của nhiều nhà toán học. Nhiều công trình nghiên cứu về giải
gần đúng hệ phương trình phi tuyến hệ đã được đề xuất như: Phương
pháp lặp đơn, Phương pháp Newton-Raphson, Phương pháp thác triển
theo tham số kết hợp với phương pháp Euler. Với mong muốn tìm hiểu
sâu hơn vấn đề giải hệ phương trình phi tuyến nên tôi đã chọn nghiên
cứu đề tài “Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham
số và phương pháp Euler trong việc giải hệ phương trình phi
tuyến nhiều biến số”.
2. Mục đích nghiên cứu

Luận văn nghiên cứu cách giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến
số dựa trên hai phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp
Euler.
3
4
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu cách giải một số hệ phương trình phi tuyến nhiều biến số
dựa trên sự kết hợp hai phương pháp thác triển theo tham số và phương
pháp Euler.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Hệ phương trình phi tuyến n biến.
Phương pháp thác triển theo tham số, phương pháp Euler .
5. Phương pháp nghiên cứu
Sưu tầm, nghiên cứu các tài liệu liên quan. Áp dụng các phương pháp
của Giải tích cổ điển, Giải tích hàm, Giải tích số, Đại số tuyến tính,
Phương trình vi phân.
6. Đóng góp mới của luận văn
Hệ thống lại các nội dung của phương pháp thác triển theo tham số kết
hợp phương pháp Euler và vận dụng vào giải những hệ phương trình phi
tuyến cụ thể.
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1. Không gian Banach
1.1.1. Không gian định chuẩn
Giả sử X là không gian véc-tơ trên trường vô hướng K (thực hay phức).
Hàm thực p trên X gọi là một chuẩn trên X nếu:
i) p (x) ≥ 0, ∀x ∈ X; p (x) = 0 ⇔ x = θ;
ii) p (λx) = |λ| p (x) , ∀λ ∈ K, ∀x ∈ X;
iii) p (x + y) ≤ p (x) + p(y), ∀x, y ∈ X.
Không gian véc-tơ X cùng với một chuẩn trên nó được gọi là không gian

định chuẩn.
Sau này ta luôn dùng kí hiệu ||.|| để chỉ một chuẩn trên không gian
định chuẩn X.
Không gian định chuẩn X là không gian metric với metric sinh bởi
chuẩn
d (x, y) = x − y.
5
6
1.1.2. Không gian Banach
Dãy điểm (x
n
) của không gian định chuẩn X gọi là hội tụ tới điểm x ∈ X,
nếu
lim
n→∞
x
n
− x = 0.
Kí hiệu
lim
n→∞
x
n
= x hay x
n
→ x (n → ∞) .
Dãy điểm (x
n
) trong không gian định chuẩn X gọi là dãy cơ bản, nếu
lim

m,n→∞
x
n
− x
m
 = 0.
Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach, nếu mọi dãy cơ
bản trong X đều hội tụ.
Ví dụ 1.1. Cho không gian C
[a,b]
. Với mọi hàm x(t), y(t) ∈ C
[a,b]
, ∀k ∈ R,
ta định nghĩa:
i) (x + y) (t) = x(t) + y(t), ∀t ∈ [a, b] ;
ii) (kx) (t) = kx(t), ∀t ∈ [a, b].
Như vậy với hai phép toán trên, không gian C
[a,b]
là một không gian véc-tơ
trên trường số R.
Với x(t) ∈ C
[a,b]
, đặt
x = max |x(t)|
t∈[a,b]
khi đó, ta có  ·  là một chuẩn trên C
[a,b]
, hơn nữa C
[a,b]
cùng với || · ||

trên là một không gian Banach.
7
Ví dụ 1.2. Xét không gian
l
2
= {x = (x
1
, x
2
, , x
i
, ) |x
i
∈ R, ∀i ∈ N
∗
,
∞

i=1
|x
i
|
2
< +∞}.
Với x = (x
i
), y = (y
i
) ∈ l
2

, ∀k ∈ R, ta định nghĩa:
i) (x + y)
i
= x
i
+ y
i
, ∀i ∈ N
∗
;
ii) (kx)
i
= kx
i
, ∀i ∈ N
∗
.
Khi đó l
2
là một không gian véc-tơ trên trường số R. Với x ∈ l
2
, đặt
x =

∞

i=1
|x
i
|

2

1
2
.
Khi đó ta có · là một chuẩn trên l
2
, l
2
cùng với chuẩn đó là một không
gian Banach.
1.1.3. Nguyên lí ánh xạ co Banach
Định nghĩa 1.1. Cho hai không gian metric M
1
= (X, d
1
), M
2
= (Y, d
2
).
Ánh xạ A : M
1
→ M
2
được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại số 0 ≤ α < 1
sao cho
d
2
(Ax, Ay) ≤ αd

1
(x, y) , ∀x, y ∈ X.
Định lý 1.1. Mọi ánh xạ co A ánh xạ không gian metric đầy M = (X, d)
vào chính nó đều có điểm bất động duy nhất, nghĩa là tồn tại duy nhất
x ∈ X sao cho Ax = x.
Giả sử X là không gian metric đầy và ánh xạ A : X → X thỏa mãn
điều kiện
d (Ax, Ay) ≤ αd(x, y), 0 ≤ α < 1
8
và với mọi x, y ∈ X. Khi đó tồn tại duy nhất phần tử x
∗
sao cho x
∗
= Ax
∗
,
hơn nữa với mọi x
0
∈ X thì dãy (x
n
) xác định bởi
x
k+1
= Ax
k
, ∀k ∈ N
là hội tụ đều, đồng thời ta có ước lượng
d (x
n
, x

∗
) ≤
α
n
1 − α
d(x
1
, x
0
).
Nhận xét 1.1. Sử dụng nguyên lí ánh xạ co Banach ta có thể giải
phương trình toán tử phi tuyến có dạng
x = Ax. (1.1)
Phương pháp thường dùng để giải phương trình (1.1) dựa trên nguyên lí
ánh xạ co là phương pháp xấp xỉ liên tiếp.
1.2. Hệ phương trình phi tuyến
1.2.1. Hệ phương trình phi tuyến
Định nghĩa 1.2. Hệ phương trình phi tuyến nhiều biến số là hệ có dạng
















f
1
(x
1
, x
2
, , x
p
) = 0
f
2
(x
1
, x
2
, , x
p
) = 0
· · ·
f
p
(x
1
, x
2
, , x
p

) = 0
(1.2)
ở đây f
i
, i = 1, 2, , p và các đạo hàm riêng của chúng cho đến cấp hai
được giả thiết là liên tục và giới nội, x
i
, i = 1, p là các biến số.
9
Ví dụ 1.3. Hệ phương trình









x
1
2
+ x
2
x
3
− x
2
2
− 10 = 0

5x
1
2
+ x
3
− x
2
− 1 = 0
x
1
+ x
2
x
3
− x
2
3
+ 3 = 0
là hệ phi tuyến ba ẩn là x
1
, x
2
, x
3
.
Nhận xét 1.2. Để giải hệ phương trình phi tuyến (1.2) người ta thường
dùng các phương pháp như: phương pháp lặp đơn, phương pháp Newton-
Raphson, sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương
pháp Euler, Khi đó ta tìm được các nghiệm gần đúng của hệ phương
trình (1.2).

1.2.2. Một số chuẩn trong không gian R
n
Với x ∈ R
n
, x = (x
1
, x
2
, , x
n
) và A : R
n
→ R
n
, A = (a
ij
)
n
i,j=1
;
x
1
=
n

i=1
|x
i
|; A
1

= max
i=1,n
n

j=1
|a
ij
|;
x
2
=




n

i=1
|x
2
i
|; A
2
=

max

λ
i
(A

T
A)

1
2
;
x
∞
= max
i=1,n
|x
i
| ; A
∞
= max
i=1,n
n

j=1
|a
ij
|.
Trong đó λ
i

A
T
A

là các giá trị riêng của ma trận đối xứng và xác định

không âm A
T
A.
Định lý 1.2. Giả sử phương trình (1.2) được đưa về dạng
x = Bx + g.
10
Nếu B < 1 thì dãy lặp
x
k+1
= Bx
k
+ g; k = 0, 1, 2, ;
với x
0
bất kì cho trước, hội tụ đến nghiệm duy nhất x
∗
của hệ
x = Bx + g
và ta có đánh giá
x
k
− x
∗
 ≤
B
1 − B
x
k
− x
k−1

 ; k = 1, 2, ,
trong đó B là một trong các chuẩn ·
1
·
2
, ·
∞
được tính tương
ứng theo chuẩn của véc-tơ x, B là ma trận [b
ij
]
n×n
, x, g là các ma trận
cột cấp n.
1.3. Một số kiến thức về phương trình, hệ phương
trình vi phân thường
1.3.1. Phương trình vi phân thường
Định nghĩa 1.3. Phương trình vi phân thường là phương trình có dạng
y

(x) = f (x, y(x)) . (1.3)
Ở đây y

=
dy
dx
; y : R → R
N
, f : R × R
N

→ R. Khi ta giải quyết các bài
toán cụ thể, để thuận tiện ta không xét trên các hàm giá trị véc-tơ f và
y mà trên các thành phần đơn lẻ. Vì vậy, để thay thế các viết phương
11
trình vi phân ở dạng (1.3) chúng ta viết phương trình vi phân dưới dạng
y

1
(x) = f
1
(x, y
1
, y
2
, , y
N
)
y

2
(x) = f
2
(x, y
1
, y
2
, , y
N
)
. . .

y

N
(x) = f
N
(x, y
1
, y
2
, , y
N
)
Bài toán giá trị ban đầu của phương trình vi phân thường
Bài toán
Tìm nghiệm y(x) của phương trình (1.3) thỏa mãn điều kiện ban đầu
y(x
0
) = y
0
. (1.4)
Ở đây y = (y
1
, y
2
, , y
N
), f = (f
1
, f
2

, , f
N
), y
0
= (y
01
, y
02
, , y
0N
) là
các hàm véc-tơ trong R
n
.
Phương trình vi phân (1.3) thỏa mãn điều kiên (1.4) được gọi là bài toán
giá trị ban đầu của phương trình vi phân thường.
Nghiệm của bài toán giá trị ban đầu
Giả sử f ∈ C

Ω, R
N

(f xác định và liên tục trên Ω và nhận giá trị
trong R
n
), ở đây Ω là một tập mở trong R
N+1
.
Một nghiệm y = y(x) của bài toán (1.3), (1.4) là một hàm khả vi của x
sao cho với một khoảng J chứa x

0
ta có
y (x
0
) = y
0
(x, y(x)) ∈ Ω, y

(x) = f (x, y(x)) .
Nhận xét 1.3. Hàm khả vi y(x) là nghiệm của bài toán (1.3), (1.4) trên
J khi và chỉ khi nó là nghiệm của phương trình tích phân Volterra:
y(x) = y
0
+
x

x
0
f (s, y(s)) ds, x ∈ J. (1.5)
12
Các định lí về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán
giá trị ban đầu
Định lý 1.3. (Định lí Picard-Lindel¨of) Giả sử f(x, y) liên tục trên B
0
:
x
0
≤ x ≤ x
0
+ a, y − y

0
 ≤ b, ở đây a, b là các số thực dương và thỏa
mãn điều kiện Lipschitz trên B
0
, nghĩa là tồn tại một hằng số dương L
sao cho, với 0 ≤ h ≤ h
0
và với mọi (x, u), (x, v) ∈ B
0
thì
f (x, u) − f (x, v) ≤ L u − v .
Đặt M = max
(x,y)∈B
0
f (x, y) , α = min

a,
b
M

. Khi đó bài toán giá trị ban
đầu (1.3), (1.4) có nghiệm duy nhất trên [x
0
, x
0
+ α] .
Chứng minh. Theo nhận xét trên thì nghiệm của bài toán (1.3)-(1.4)
tương đương với nghiệm của phương trình tích phân (1.5). Do vậy ta
chỉ cần chứng tỏ với các giả thiết của Định lý 1.3 thì phương trình
(1.5) tồn tại nghiệm duy nhất y = y(x) trong đoạn [x

0
, x
0
+ α] , ở đó
α = min(a,
b
M
). Ta định nghĩa một dãy các hàm
y
0
(x) = y
0
,
y
k
= y
0
+
x

x
0
f (s, y
k−1
(s))ds, k = 1, 2, . . . , n,
x
0
≤ x ≤ x
0
+ α.

Vì f (x, y (x)) liên tục trên đoạn [x
0
, x
0
+ α] nên các hàm số y
0
(x) ,
y
1
(x) , , y
n
(x) xác định và liên tục trên [x
0
, x
0
+ α]. Hiển nhiên (x, y
0
(x)) ∈
B
0
. Vì vậy ta có:
y
1
(x) − y
0
 ≤ M(x − x
0
) ≤ Mα ≤ b
13
và hơn nữa (x, y

1
(x)) ∈ B
0
. Ta có thể chứng minh bằng quy nạp rằng
y
k
(x) − y
0
 ≤ b
với (x, y
k
(x)) ∈ B
0
, k = 1, 2, , n.
Đặt
z
n
(x) = y
n
(x) − y
n−1
(x).
Vì f thỏa mãn điều kiện Lipschitz trên B
0
nên suy ra
z
2
(x) ≤
x


x
0
f (s, y
1
(s)) − f (s, y
0
(s))ds ≤ L
x

x
0
y
1
(s) − y
0
(s)ds
≤ L
x

x
0
M(s − x
0
)ds = LM
(x − x
0
)
2
2!
.

Lập luận tương tự bằng quy nạp với x ∈ [x
0
, x
0
+ α] ta có
z
k
(x) ≤ ML
k−1
(x − x
0
)
k
k!
, k = 1, 2, , n. (1.6)
Chứng minh điều này, giả sử với x ∈ [x
0
, x
0
+ α] thì:
z
k−1
(x) ≤ ML
k−2
(x − x
0
)
k−1
(k − 1)!
, k = 1, 2 , n.

Khi đó với x ∈ [x
0
, x
0
+ α] , ta có
z
n
(x) ≤
x

x
0
f (s, y
n−1
(s)) − f (s, y
n−2
(s))ds
≤ L
x

x
0
y
n−1
(s) − y
n−2
(s)ds
≤ L
x


x
0
z
n−1
(s) ds = ML
n−1
x

x
0
(s − x
0
)
n−1
(n − 1)!
ds
= ML
n−1
(x − x
0
)
n
n!
.
14
Vậy (1.6) được chứng minh. Xét chuỗi vô hạn dạng:
y
0
+ z
1

(x) + z
2
(x) + · · · + z
n
(x) + · · · . (1.7)
Tổng riêng thứ n của chuỗi này là
y
n
(x) = y
0
+
n

k=1
z
k
(x). (1.8)
Ta có dãy {y
n
(x)} hội tụ khi và chỉ khi chuỗi (1.7) hội tụ. Từ bất đẳng
thức (1.6) ta có:
y
0
+
∞

k=1
z
k
(x) ≤ y

0
+ M
∞

k=1
L
k−1
α
k
k!
= y
0
+
M
L
∞

k=1
(Lα)
k
k!
. (1.9)
Vì chuỗi
∞

k=1
(Lα)
k
k!
hội tụ đến


e
Lα
− 1

do đó chuỗi (1.7) hội tụ đều trên
đoạn [x
0
, x
0
+ α] , khi n → ∞. Gọi tổng của chuỗi (1.7) là y(x), khi đó
theo (1.8) ta có
lim
n→∞
y
n
(x) = y(x).
Từ tính hội tụ của y
n
(x) đến y(x) và tính liên tục của hàm f(x, y)
trên B
0
suy ra rằng f (x, y
n
(x)) hội tụ đều đến f (x, y(x)) trên đoạn
[x
0
, x
0
+ α] , khi n → ∞. Do đó

y
n
(x) = y
0
+
x

x
0
f (s, y
n−1
(s))ds,
hay
y(x) = y
0
+ lim
n→∞
x

x
0
f (s, y
n−1
(s))ds.
Nên
y(x) = y
0
+
x


x
0
f (s, y (s))ds.
15
Như vậy tồn tại nghiệm y(x) của phương trình (1.3), (1.4).
Ta sẽ chứng minh nghiệm này là duy nhất. Thật vậy, giả sử y(x), z(x)
là hai nghiệm của (1.3), (1.4).
Hàm không âm ω(x) = y(x) − z(x) thỏa mãn điều kiện ω(x
0
) = 0 và
ω(x) ≤
x

x
0
f (s, y(s)) − f (s, z(s))ds
≤ L
x

x
0
y(s) − z(s)ds ≤ L
x

x
0
ω (s) ds. (1.10)
Giả sử K là giá trị lớn nhất của ω(x) trên đoạn [x
0
, x

0
+ α] và do đó
0 ≤ K. Khi đó
ω(x) ≤ L
x

x
0
ω (s) ds ≤ KL(x − x
0
), ∀x ∈ [x
0
, x
0
+ α] . (1.11)
Từ (1.10) và (1.11) suy ra
ω(x) ≤ L
2
K
x

x
0
(s − x
0
)ds =
KL
2
(x − x
0

)
2
2!
.
Tiếp tục quá trình trên ta thu được
ω(x) ≤
KL
k
(x − x
0
)
k
k!
, ∀x ∈ [x
0
, x
0
+ α] . (1.12)
Chứng minh (1.12) bằng quy nạp, hơn nữa vế phải của (1.12) bị chặn
trên bởi
KL
k
(x − x
0
)
k
k!
, ∀x ∈ [x
0
, x

0
+ α] .
Biểu thức này có thể nhỏ tùy ý bởi chọn k đủ lớn. Vì vậy
ω(x) → 0, ∀x ∈ [x
0
, x
0
+ α] .
Hay y(x) ≡ z(x) là nghiệm duy nhất của bài toán. 
16
Nhận xét 1.4. Nếu y, z thỏa mãn (1.3) cùng với y(a) = y
0
, z(a) = z
0
thì
d
dx
y(x) − z(x) ≤ L y(x) − z(x) .
Nhân cả hai vế e
−Lx
và ta có
d
dx

e
−Lx
y(x) − z(x)

≤ 0
suy ra

y(x) − z(x) ≤ y
0
− z
0
 e
L(x−a)
. (1.13)
Định lý 1.4. (Định lí tồn tại Peano: Trường hợp véc-tơ)
Cho f ∈ C [B
0
, R
n
] , ở đây B
0
là tập
B
0
= {(x, y) ∈ Ω : x
0
≤ x ≤ x
0
+ α, y − y
0
 ≤ b}
và f ≤ M trên B
0
. Khi đó bài toán ban đầu (1.3), (1.4) có ít nhất một
nghiêm y(x) trên x
0
≤ x ≤ x

0
+ α, ở đó α = min

a,
b
M

.
Định lý 1.5. Giả sử f ∈ C [Ω, R
n
] và y(x) là một nghiệm của (1.3) và
(1.4) trên x
0
≤ x ≤ x
0
+ b
0
. Khi đó y(x) có thể được mở rộng thành
nghiệm của (1.3), (1.4) trên biên của Ω.
Nghiệm xấp xỉ-ε
Cho f(x, y) là hàm liên tục nhận giá trị véc-tơ trên miền Ω.
Định nghĩa 1.4. Một hàm β(t) gián đoạn đơn tại điểm x = x
1
nếu giới
hạn trái và giới hạn phải của β(t) tại điểm x = x
1
tồn tại nhưng không
bằng nhau.
17
Định nghĩa 1.5. Một hàm y(x) xác định và liên tục trên đoạn J ⊂ R

được gọi là nghiệm xấp xỉ-ε của phương trình
y

= f(x, y) (1.14)
trên J nếu
i) (x, y(x)) ∈ Ω, x ∈ J;
ii) y

(x) ∈ C
1
trên J có thể trừ một tập S-hữu hạn các điểm trên
J, ở đây y

(x) có thể có các điểm gián đoạn đơn;
iii) y

(x) − f (x, y(x)) ≤ ε, x ∈ J\S.
Định lý 1.6. Giả sử f(x, y) là hàm liên tục trên
B
0
= {(x, y) ∈ Ω : x
0
≤ x ≤ x
0
+ a, y − y
0
 ≤ b} .
Đặt M = max
(x,y)∈B
0

f(x, y) , α = min

a,
b
M

. Khi đó, với 0 < ε tồn tại
một nghiệm xấp xỉ−ε của (1.14) trên đoạn x
0
≤ x ≤ x
0
+ α sao cho
y (x
0
) = y
0
.
Định lý 1.7. (Định lí tồn tại Cauchy-Peano)
Giả sử tất cả các giả thiết của Định lí 1.6 xảy ra. Khi đó tồn tại một
nghiệm y(x) của phương trình (1.14) trên đoạn x
0
≤ x ≤ x
0
+ α sao cho
y (x
0
) = y
0
.
18

1.3.2. Hệ phương trình vi phân
Định nghĩa 1.6. Hệ n phương trình vi phân cấp một dạng chuẩn tắc là
hệ có dạng

















dy
1
dx
= f
1
(x, y
1
, y
2
, , y

n
)
dy
2
dx
= f
2
(x, y
1
, y
2
, , y
n
)

dy
n
dx
= f
n
(x, y
1
, y
2
, , y
n
)
(1.15)
ở đây x là biến số độc lập, y
1

= y
1
(x), y
2
= y
2
(x), , y
n
= y
n
(x) là
các hàm phải tìm. Các hàm f
i
(i = 1, 2 , n) xác định trong miền G của
không gian n + 1 chiều R
n+1
.
Hệ n hàm khả vi y
1
= β
1
(x) , y
2
= β
2
(x) , , y
n
= β
n
(x) xác định trên

khoảng (a, b) được gọi là nghiệm của hệ phương trình vi phân (1.15) nếu
với mọi x ∈ (a, b) điểm (x, β
1
(x) , β
2
(x) , , β
n
(x)) ∈ G và khi thay
chúng vào hệ (1.15) thì ta được n đồng nhất thức theo x trên (a, b) .
Tập hợp điểm
Γ = {(x, β
1
(x) , β
2
(x) , , β
n
(x)) , x ∈ (a, b)}
được gọi là đường cong tích phân ứng với nghiệm β
1
(x) , β
2
(x) , , β
n
(x) .
Hiển nhiên Γ ⊂ R
n+1
.
Bây giờ ta coi (y
1
, y

2
, , y
n
) như tọa độ của mỗi điểm trong không
gian n chiều R
n
mà ta gọi là không gian pha. Khi đó tập hợp điểm
γ = {(β
1
(x) , β
2
(x) , , β
n
(x)) , x ∈ (a, b)}
được gọi là đường cong pha hay quỹ đạo pha. Hiển nhiên đường cong
pha chứa trong không gian pha. Không gian R
n+1
thường được gọi là
19
không gian pha suy rộng. Đường cong tích phân chứa trong không gian
pha suy rộng.
Bài toán Cauchy
Cho điểm

x
0
, y
0
1
, y

0
2
, , y
0
n

∈ G. Tìm nghiệm
y
1
(x), y
2
(x), , y
n
(x)
của hệ phương trình vi phân (1.15) thỏa mãn điều kiện ban đầu
y
1
(x
0
) = y
0
1
, y
2
(x
0
) = y
0
2
, , y

n
(x
0
) = y
0
n
được gọi là bài toán Cauchy.
Định lý 1.8. (Định lí tồn tại duy nhất nghiệm) Xét hệ phương trình vi
phân

















dy
1
dx
= f

1
(x, y
1
, y
2
, , y
n
)
dy
2
dx
= f
2
(x, y
1
, y
2
, , y
n
)

dy
n
dx
= f
n
(x, y
1
, y
2

, , y
n
)
Giả sử:
i) Các hàm f
1
, f
2
, , f
n
liên tục trong miền
G =

|x − x
0
| ≤ a;


y
1
− y
0
1


≤ b;


y
2

− y
0
2


≤ b; ;


y
n
− y
0
n


≤ b

và do đó giới nội
|f
i
(x, y
1
, y
2
, , y
n
)| ≤ M (i = 1, 2, n) ;
20
ii) Các hàm f
1

, f
2
, , f
n
thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo y
1
, y
2
, , y
n
trong miền G với cùng hằng số Lipschitz L dương.
|f
i
(x, y
1
, y
2
, , y
n
) − f
i
(x, ¯y
1
, ¯y
2
, , ¯y
n
)| ≤ L
n


i=1
|y
i
− ¯y
i
| ,
∀ (x, y
1
, y
2
, , y
n
) , ∀ (x, ¯y
1
, ¯y
2
, , ¯y
n
) ∈ G.
Khi đó tồn tại duy nhất một nghiệm
y(x) = (y
1
(x), y
2
(x), , y
n
(x))
của hệ phương trình (1.15) thỏa mãn điều kiện ban đầu
y
1

(x
0
) = y
0
1
, y
2
(x
0
) = y
0
2
, , y
n
(x
0
) = y
0
n
.
Nghiệm này xác định trong khoảng đóng [x
0
− h, x
0
+ h] với h =
min

a,
b
M


.
1.4. Phương pháp Newton-Raphson
1.4.1. Đạo hàm Fréchet
Cho X, Y là hai không gian định chuẩn, kí hiệu L (X, Y ) là tập hợp tất
cả các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y.
f : X → Y, x
0
∈ X, h ∈ X.
Nếu tồn tại toán tử A ∈ L (X, Y ) sao cho
f(x
0
+ h) − f (x
0
) = A(h) + α (x
0
, h) ,
trong đó
lim
h→0
α (x
0
, h)
h
= 0
21
thì ta nói ánh xạ f khả vi tại x
0
và biểu thức A(h) được gọi là vi
phân Fréchet của ánh xạ f tại x

0
và kí hiệu là df(x
0
, h). Vậy ta có
df(x
0
, h) = A(h).
Ánh xạ A : h → A(h) gọi là đạo hàm Fréchet của ánh xạ f tại x và
kí hiệu là f

(x
0
) . Vậy, ta có df(x
0
, h) = f

(x
0
) (h) .
1.4.2. Phương pháp Newton-Raphson
Giả sử R
n
là không gian Euclid n chiều f : R
n
→ R
n
x = (x
1
, x
2

, , x
n
) ∈ R
n
, f(x) = (f
1
(x) , f
2
(x) , , f
n
(x)) ∈ R
n
.
Giải phương trình
f(x) = 0 (1.16)
trong R
n
. Giả sử f ∈ C
2
(R
n
) và giả sử ξ là nghiệm của phương trình
(1.16). Ta có
f(x) = 0 ⇔ f(x) − f(x
0
) = −f (x
0
).
Đạo hàm của hàmf hiểu theo nghĩa đạo hàm Fréchet.
Ta có

f(x) − f(x
0
) = f

(x
0
) (x − x
0
) + α (x
0
, x) .
Bỏ qua α (x
0
, x) thì
f(x) − f(x
0
) ≈ f

(x
0
) (x − x
0
) .
Thay thế phương trình (1.16) bởi phương trình xấp xỉ
f

(x
0
) (x − x
0

) = −f (x
0
). (1.17)
22
Ta có
f

(x
0
) =
D (f
1
, f
2
, , f
n
) (x
0
)
D (x
1
, x
2
, , x
n
)
=











∂f
1
(x
0
)
∂x
1
∂f
1
(x
0
)
∂x
2
· · ·
∂f
1
(x
0
)
∂x
n
∂f

2
(x
0
)
∂x
1
∂f
2
(x
0
)
∂x
2
· · ·
∂f
2
(x
0
)
∂x
n
· · · · · · · · · · · ·
∂f
n
(x
0
)
∂x
1
∂f

n
(x
0
)
∂x
2
· · ·
∂f
n
(x
0
)
∂x
n










.
Giả sử nghiệm của (1.17) là x
1
, ta có
f


(x
0
) (x
1
− x
0
) = −f (x
0
) ⇔ x
1
− x
0
= −[f

(x
0
)]
−1
f(x
0
). (1.18)
Xét phương trình
f(x) − f(x
1
) = −f (x
1
). (1.19)
Thay phương trình (1.19) bởi phương trình xấp xỉ với nó
f


(x
1
) (x − x
1
) = −f (x
1
). (1.20)
Giả sử x
2
là nghiệm của (1.20), ta có
f

(x
1
) (x
2
− x
1
) = −f (x
1
)
⇔ x
2
− x
1
= −[f

(x
1
)]

−1
f(x
1
)
⇔ x
2
= x
1
− [f

(x
1
)]
−1
f(x
1
).
Làm tương tự quá trình trên ta thu được dãy
x
m
= x
m−1
− [f

(x
m−1
)]
−1
f(x
m−1

), m = 1, 2 (1.21)
(1.21) được gọi là thuật toán Newton-Raphson. Ta có thể viết thuật toán