Một số phương pháp biến phân và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2








NGUYỄN THỊ SEN








MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN
VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Toán Giải Tích
Mã số: 60 46 01 02



LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Văn Tuấn








HÀ NỘI, 2014
LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2,
dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Tuấn.
Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn
Tuấn, người thầy đã luôn tận tình chỉ bảo, động viên và khuyến khích
tác giả trong những ngày đầu làm quen với nghiên cứu khoa học và trong
quá trình thực hiện bản luận văn. Đồng thời, tác giả cũng xin được gửi
lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô giáo trong Khoa Toán, Trường
Đại học sư phạm Hà Nội 2 cùng với các thầy cô tham gia giảng dạy cao
học chuyên ngành Toán giải tích đã giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian
học tập từ những năm còn là sinh viên cho đến ngày hôm nay. Thêm
nữa, tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các đồng nghiệp trong trường
THPT Hàm Long, Bắc Ninh (nơi tác giả đang công tác) đã tạo điều kiện
thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn
này.
Hà Nội, tháng 07 năm 2014
Tác giả
ii

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới
sự hướng dẫn của T.S Nguyễn Văn Tuấn.
Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học
của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Một số kết quả đạt được trong luận văn là mới và chưa từng được
công bố trong bất kì công trình khoa học nào của ai khác.
Hà Nội, tháng 07 năm 2014
Tác giả
Mục lục
Mở đầu 1
1 Kiến thức chuẩn bị 4
1.1. Các khái niệm cơ bản của giải tích hàm . . . . . . . . . . 4
1.1.1. Không gian tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2. Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.3. Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.4. Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2. Spline đa thức bậc ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3. Sai số và xấp xỉ tốt nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.1. Sai số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.2. Xấp xỉ tốt nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.3. Tốc độ hội tụ của nghiệm xấp xỉ . . . . . . . . . 14
1.4. Ma trận đường chéo trội . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5. Khái niệm về phương trình tích phân . . . . . . . . . . . 15
1.5.1. Phương trình toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . 15
iii
iv
1.5.2. Phương trình tích phân . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Một số phương pháp biến phân 17
2.1. Phương pháp biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2. Phương pháp Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.2. Phương pháp Galerkin đối với phương trình vi
phân cấp n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.3. Phương pháp Galerkin đối với phương trình tích
phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3. Phương pháp collocation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3.2. Phương pháp spline collocation đối với phương
trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.3.3. Phương pháp spline collocation đối với phương
trình vi tích phân Fredholm - Volterra . . . . . . 54
3 Một số ứng dụng của phương pháp biến phân 61
3.1. Áp dụng phương pháp Galerkin giải xấp xỉ phương trình
vi phân bậc cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2. Áp dụng phương pháp collocation giải xấp xỉ phương trình
vi tích phân Fredholm - Volterra . . . . . . . . . . . . . . 66
Kết luận 70
v
Tài liệu tham khảo 71
BẢNG KÍ HIỆU
Luận văn sử dụng những kí hiệu với ý nghĩa xác định trong bảng dưới
đây:
N Tập số tự nhiên
N
∗
Tập số tự nhiên khác không
Z Tập số nguyên
Q Tập số hữu tỷ
R Tập số thực

C Tập số phức
C[a; b] Tập tất cả các hàm số thực liên tục trên [a, b]
C
k
[a; b] Tập tất cả các hàm số xác định và có đạo hàm liên tục đến
cấp k trên [a, b]
L
2
[a; b] Tập tất cả các hàm bình phương khả tích trên [a, b]
span(A) Tập tất cả các tổ hợp tuyến tính các phần tử trong A
Ø Tập hợp rỗng.
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong khoa học, kỹ thuật chúng ta thường gặp rất nhiều bài toán
liên quan tới giải bài toán biên với phương trình toán tử vi phân, vi tích
phân.
Việc giải tìm nghiệm đúng của các bài toán này nhiều trường hợp
không giải được hoặc nghiệm đúng không có ý nghĩa thiết thực. Bởi vậy
người ta dùng nhiều phương pháp khác nhau để giải bài toán biên với
phương trình toán tử vi phân tuyến tính. Trong đó phương pháp biến
phân có nhiều ưu điểm đã và đang được nhiều nhà toán học trong và
ngoài nước quan tâm nghiên cứu.
Do vậy, nhờ sự giúp đỡ hướng dẫn tận tình của Tiến sĩ Nguyễn Văn
Tuấn tôi đã chọn và nghiên cứu đề tài:
“ Một số phương pháp biến phân và ứng dụng”.
Bố cục của luận văn gồm 3 chương:
Chương 1 của luận văn trình bày một số khái niệm của giải tích hàm,
khái niệm không gian hàm spline đa thức, sai số và khái niệm về phương
trình tích phân.
Chương 2 của luận văn tập trung trình bày phương pháp Galerkin và

phương pháp collocation.
Chương 3 của luận văn trình bày ứng dụng của phương pháp Galerkin
và phương pháp collocation giải phương trình vi phân bậc cao, phương
2
trình vi tích phân Fredholm - Volterra và ứng dụng giải số bằng lập trình
Maple 14.
2. Mục đích nghiên cứu
- Tìm hiểu khái niệm và các tính chất cơ bản của hai phương pháp
biến phân: phương pháp Galerkin và phương pháp collocation.
- Nghiên cứu ứng dụng của hai phương pháp biến phân trên trong
việc giải phương trình vi phân, phương trình vi tích phân.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu khái niệm và các tính chất của hai phương pháp biến
phân ở trên.
- Nghiên cứu ứng dụng của hai phương pháp biến phân ở trên trong
giải phương trình vi phân và phương trình vi tích phân.
- Nghiên cứu về lập trình Maple để ứng dụng.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: "phương pháp Galerkin và phương pháp
collocation".
- Phạm vi nghiên cứu: Các khái niệm, tính chất, ứng dụng vào giải
phương trình vi phân, phương trình tích phân. Lập trình Maple để giải
các bài toán đặt ra.
3
5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng phương pháp phân tích, tổng hợp và phương pháp lấy ý kiến
chuyên gia.
6. Giả thuyết khoa học
Áp dụng phương pháp Galerkin và phương pháp collocation cho một
lớp phương trình vi phân, vi tích phân bậc cao thu được nghiệm xấp xỉ

với độ chính xác cao.
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
(Kiến thức trong chương này được trích dẫn từ tài liệu [1] và [4])
1.1. Các khái niệm cơ bản của giải tích hàm
1.1.1. Không gian tuyến tính
Định nghĩa 1.1.1. Cho tập hợp X = ∅ cùng với một phép toán hai ngôi
viết theo lối cộng (+) và một ánh xạ ϕ : K × X → X. Với mỗi α ∈ K
và mỗi x ∈ X thì phần tử ϕ (α, x) được gọi là tích của số α với phần tử
x và được kí hiệu là αx. Giả sử rằng các điều kiện sau được thỏa mãn:
1) x + y = y + x, ∀x, y ∈ X;
2) x + (y + z) = (x + y) + z, ∀x, y, z ∈ X;
3) Trong X tồn tại phần tử θ sao cho x + θ = θ + x, ∀x ∈ X;
4) Với mỗi phần tử x ∈ X, tồn tại phần tử đối (−x) ∈ X sao cho
x + (−x) = θ;
5) 1.x = x, ∀x ∈ X ;
4
5
6) α (βx) = (αβ) x, ∀α, β ∈ K, ∀x ∈ X;
7) (α + β) x = αx + βx, ∀α, β ∈ K, ∀x ∈ X;
8) α (x + y) = αx + αy, ∀α ∈ K, ∀x, y ∈ X .
Khi đó ta nói rằng X là một không gian tuyến tính trên trường K,
K là trường số thực R hoặc trường số phức C và mỗi phần tử x ∈ X
được gọi là một vectơ; còn các điều kiện trên được gọi là các tiên đề về
không gian tuyến tính.
Ví dụ 1.1.1. Dễ dàng kiểm tra C [a, b] là một không gian tuyến tính.
Định nghĩa 1.1.2. Cho X là một không gian tuyến tính trên trường K.
Các vectơ x
1
, x

2
, x
n
∈ X gọi là độc lập tuyến tính nếu
n

i=1
α
i
x
i
= θ
kéo theo α
i
= 0, ∀i = 1, 2, , n.
Các vectơ x
1
, x
2
, x
n
∈ X gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu chúng
không độc lập tuyến tính.
Định nghĩa 1.1.3. Giả sử X là một không gian tuyến tính trên trường
K.
Một hệ vectơ trong X gọi là hệ sinh của X nếu mọi vectơ của X đều
biểu thị tuyến tính theo hệ đó.
Nếu X có một hệ sinh gồm hữu hạn phần tử thì X được gọi là một
không gian tuyến tính hữu hạn sinh.
Một hệ vectơ trong X gọi là một cơ sở của X nếu mọi vectơ của X

đều biểu thị tuyến tính duy nhất qua hệ đó.
Định nghĩa 1.1.4. Giả sử X là không gian tuyến tính hữu hạn sinh.
Khi đó X có cơ sở hữu hạn và số phần tử của các cơ sở trong X đều như
6
nhau. Số đó được gọi là số chiều của không gian tuyến tính X.
Nếu X là một không gian tuyến tính trên trường K có số chiều n ta
viết
dimX = n hoặc dim
K
X = n
Định nghĩa 1.1.5. Một tập con khác rỗng M của không gian tuyến tính
X gọi là một không gian con tuyến tính của X nếu nó ổn định với hai
phép toán của X, nghĩa là thỏa mãn các điều kiện sau:
1) ∀x, y ∈ M, x + y ∈ M;
2) ∀x ∈ M, ∀α ∈ K, αx ∈ M.
1.1.2. Không gian metric
Cho X là một tập tùy ý.
Định nghĩa 1.1.6. Một metric trong X là một ánh xạ
d : X × X → R
của tích X × X vào đường thẳng thực R, thỏa mãn các điều kiện sau
đây:
1) d (x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X;
2) d (x, y) = 0 ⇔ x = y;
3) d (x, y) = d (y, x) , ∀x, y ∈ X;
4) d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y) , ∀x, y, z ∈ X.
Một không gian metric là một tập hợp cùng với một metric trong tập
hợp ấy. Các phần tử của một không gian metric được gọi là điểm của
không gian ấy; số d (x, y) được gọi là khoảng cách giữa các điểm x và y.
7
Định nghĩa 1.1.7. Một dãy điểm (x

n
) , n = 1, 2, trong không gian
metric X gọi là hội tụ đến điểm a ∈ X nếu:
lim
n→∞
d (a, x
n
) = 0.
Khi đó, ta kí hiệu
lim
n→∞
x
n
= a hoặc x
n
→ a khi n → ∞.
Định nghĩa 1.1.8. Dãy điểm (x
n
) được gọi là dãy cơ bản trong không
gian metric X nếu với mọi ε > 0 cho trước, đều tồn tại một số n
0
sao
cho với mọi n ≥ n
0
và m ≥ n
0
ta đều có
d (x
n
, x

m
) < ε.
Nói cách khác, ta có
lim
n, m→∞
d (x
n
, x
m
) = 0.
Định nghĩa 1.1.9. Một không gian metric X được gọi là đầy đủ nếu
mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ tới một phần tử trong X.
Định nghĩa 1.1.10. Cho X và Y là hai không gian metric tùy ý. Ánh
xạ f : X → Y được gọi là một ánh xạ co nếu tồn tại một số α với
0 ≤ α < 1 sao cho với mọi x, x

∈ X ta đều có
d (f (x) , f (x

)) ≤ αd (x, x

) .
Định lý 1.1.1. (Nguyên lý ánh xạ co) Giả sử X là không gian metric
đầy đủ, và f : X → Y là ánh xạ co của X vào chính nó. Khi đó tồn tại
một và chỉ một điểm x
∗
∈ X sao cho f (x
∗
) = x
∗

.
8
1.1.3. Không gian định chuẩn
Giả sử X là một không gian tuyến tính trên trường K.
Định nghĩa 1.1.11. Một chuẩn, kí hiệu ., trong X là một ánh xạ đi
từ X vào R thỏa mãn các điều kiện:
1) x ≥ 0 với mọi x ∈ X;
2) x = 0 khi và chỉ khi x = θ;
3) λx = |λ| x với mọi số λ ∈ K và mọi x ∈ X;
4) x + y ≤ x + y với mọi x, y ∈ X.
Số x gọi là chuẩn (hay độ dài) của vectơ x ∈ X. Một không gian
tuyến tính X cùng với chuẩn xác định trong không gian ấy, được gọi là
một không gian tuyến tính định chuẩn (thực hoặc phức, tùy theo K là
thực hay phức).
Định lý 1.1.2. Giả sử X là một không gian định chuẩn. Với mọi x, y ∈
X, đặt
d (x, y) = x − y .
Khi đó, d là một metric trên X.
Định nghĩa 1.1.12. Dãy (x
n
) trong không gian định chuẩn X được gọi
là hội tụ đến x
0
∈ X nếu lim
n→∞
x
n
− x
0
 = 0.

Khi đó, ta kí hiệu
lim
n→∞
x
n
= x
0
hoặc x
n
→ x
0
, khi n → ∞.
Định nghĩa 1.1.13. Dãy (x
n
) trong không gian định chuẩn X được gọi
là một dãy cơ bản nếu
lim
m, n→∞
x
m
− x
n
 = 0.
9
Định nghĩa 1.1.14. Giả sử không gian định chuẩn X là một không gian
metric đầy đủ (với khoảng cách d (x, y) = x − y). Khi đó X được gọi
là một không gian định chuẩn đầy đủ, hay còn gọi là không gian Banach.
Định nghĩa 1.1.15. Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường
K. Ánh xạ A từ không gian X vào không gian Y được gọi là tuyến tính
nếu thỏa mãn:

1) A(x + y) = Ax + Ay với mọi x, y ∈ X;
2) A(αx) = αAx với mọi x ∈ X, α ∈ K.
A cũng được gọi là toán tử tuyến tính. Khi đó, nếu A chỉ thỏa mãn 1)
thì A được gọi là toán tử cộng tính; nếu A chỉ thỏa mãn 2) thì A được
gọi là toán tử thuần nhất. Khi Y = K thì toán tử tuyến tính A được gọi
là phiếm hàm tuyến tính.
Định nghĩa 1.1.16. Cho không gian định chuẩn X và Y . Toán tử tuyến
tính A từ không gian X vào không gian Y gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng
số c ≥ 0 sao cho:
Ax ≤ c x , với mọi x ∈ X.
1.1.4. Không gian Hilbert
Định nghĩa 1.1.17. Cho X là không gian tuyến tính trên trường K.
Ta gọi là tích vô hướng trên không gian X mọi ánh xạ từ tích Descartes
X × X vào trường K, kí hiệu (., .), thỏa mãn các tiên đề:
1) (y, x) = (x, y) với mọi x, y ∈ X;
2) (x + y, z) = (x, z) + (y, z) với mọi x, y, z ∈ X;
10
3)(αx, y) = α (x, y) với mọi x, y ∈ X, và mọi số α ∈ K;
4) (x, x) > 0 nếu x = θ với mọi x ∈ X;
5) (x, x) = 0 nếu x = θ với mọi x ∈ X.
Các phần tử x, y, z gọi là các nhân tử của tích vô hướng. Số (x, y)
gọi là tích vô hướng của hai nhân tử x và y; các tiên đề 1), 2), 3), 4), 5)
gọi là hệ tiên đề tích vô hướng.
Định nghĩa 1.1.18. Không gian tuyến tính X trên trường K cùng với
một tích vô hướng trên X gọi là không gian tích vô hướng.
Định lý 1.1.3. Cho X là không gian tích vô hướng. Với mỗi x ∈ X,
ta đặt x =

(x, x). Khi đó, ta có bất đẳng thức sau (gọi là bất đẳng
thức Schwarz )

|(x, y)| ≤ x . y , ∀x , y ∈ X
Từ bất đẳng thức trên có thể chứng minh được rằng mọi không gian
tích vô hướng đều là không gian định chuẩn, với chuẩn x =

(x, x)
Định nghĩa 1.1.19. Ta gọi không gian tuyến tính H = ∅ trên trường
K là không gian Hilbert H thỏa mãn các điều kiện:
1) H là không gian tích vô hướng;
2) H là không gian Banach với chuẩn x =

(x, x) với x ∈ X.
Ta gọi mỗi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert
H là không gian Hilbert con của không gian H.
11
1.2. Spline đa thức bậc ba
Xét phân hoạch π trên đoạn [a, b] với các mốc nội suy
a = t
0
< t
1
< t
2
< < t
n
= b
Kí hiệu h
i
= t
i
−t

i−1
, nếu h
i
= h = const thì các mốc nội suy t
0
, t
1
, , t
n
gọi là các mốc nội suy cách đều.
Định nghĩa 1.2.1. Một spline đa thức bậc ba trên đoạn [a, b] với phân
hoạch π là hàm số y = s(t) thỏa mãn hai điều kiện sau:
1)s (t) ∈ C
2
[a, b];
2) Hạn chế của s(t) trên mỗi khoảng ∆
i
= [t
i
, t
i+1
] là đa thức đại số

s(t)|
∆
i

với deg

s(t)|

∆
i

≤ 3, ∀i = 0, 1, 2, , n.
Không gian gồm tất cả các hàm số s(t) thỏa mãn hai điều kiện trên
kí hiệu là S
3
(π) .
Mệnh đề 1.2.1. Không gian S
3
(π) là không gian tuyến tính và không
gian đó chứa tất cả các đa thức có bậc nhỏ hơn bằng 3.
Bài toán 1. Tồn tại duy nhất hàm s(t) ∈ S
3
(π) thỏa mãn điều kiện









s

(t
0
) = f


(t
0
)
s (t
i
) = f (t
i
) , 0 ≤ i ≤ n
s

(t
n
) = f

(t
n
)
(1.1)
Khi đó, s(t) được gọi là spline đa thức bậc ba nội suy của hàm số f(t).
Xây dựng sự tồn tại của hàm s(t) với các mốc nội suy cách đều t
i
=
t
0
+
i (b − a)
n
bằng cách bổ sung thêm bốn mốc nội suy t
−2
< t

−1
< t
0
,
12
t
n+2
> t
n+1
> t
n
, và định nghĩa lớp hàm B
i
(t) như sau
B
i
(t) =
1
h
3
























(t − t
i−2
)
3
, nếu t ∈ [t
i−2
, t
i−1
]
h
3
+ 3h
2
(t − t
i−1
) + 3h(t − t
i−1

)
2
− 3(t − t
i−1
)
3
, nếu t ∈ [t
i−1
, t
i
]
h
3
+ 3h
2
(t
i+1
− t) + 3h(t
i+1
− t)
2
− 3(t
i+1
− t)
3
, nếu t ∈ [t
i
, t
i+1
]

(t
i+2
− t)
3
, nếu t ∈ [t
i+1
, t
i+2
]
0 nếu t không thuộc các trường hợp bên trên
Mệnh đề 1.2.2. B
i
(t) ∈ S
3
(π).
Mệnh đề 1.2.3. Tập B = {B
−1
, B
0
, , B
n+1
} là độc lập tuyến tính và
B
3
(π) = spanB là không gian tuyến tính n + 3 chiều.
Định lý 1.2.1. Tồn tại duy nhất hàm s (t) ∈ B
3
(π) là nghiệm bài toán
1
Định lý 1.2.2.

S
3
(π) = B
3
(π).
Hệ quả 1.1. S
3
(π) là không gian tuyến tính n + 3 chiều với hệ cơ sở
B = {B
−1
, B
0
, , B
n+1
} .
Hệ quả 1.2. Tồn tại duy nhất spline bậc ba s(t) là nghiệm của bài toán
1. Hàm s(t) như vậy gọi là spline đa thức bậc ba nội suy của f(t).
1.3. Sai số và xấp xỉ tốt nhất
1.3.1. Sai số
Định nghĩa 1.3.1. Số a được gọi là số gần đúng của số a
∗
nếu a sai
khác với a
∗
không nhiều.
Kí hiệu: a ≈ a
∗
.
13
Định nghĩa 1.3.2. Đại lượng ∆ = (a

∗
− a) được gọi là sai số thực sự
của a.
Nói chung, ta không biết được a
∗
nên không biết ∆ . Tuy nhiên ta có
thể ước lượng sai số thực sự của a bằng số dương ∆
a
≥ 0 sao cho
|a
∗
− a| ≤ ∆
a
(1.2)
Định nghĩa 1.3.3. Số ∆
a
nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện (1.2) gọi là sai
số tuyệt đối của a.
Khi đó a
∗
= a ± ∆
a
.
Định nghĩa 1.3.4. Số δ
a
=
∆
a
|a|
được gọi là sai số tương đối của a.

Rõ ràng ∆
a
và δ
a
càng nhỏ càng tốt.
1.3.2. Xấp xỉ tốt nhất
Định nghĩa 1.3.5. Cho X là không gian tuyến tính định chuẩn với
chuẩn ., M ⊂ X là một tập con của X và p ∈ X. Điểm y
0
∈ M được
gọi là xấp xỉ tốt nhất tới p từ M nếu
p − y
0
 ≤ p − y , ∀y ∈ M.
Xấp xỉ tốt nhất có thể tồn tại, có thể không tồn tại.
Định lý 1.3.1. Nếu X là không gian tuyến tính định chuẩn với chuẩn
. và X
N
là không gian con hữu hạn chiều của X thì với mỗi x ∈ X
tồn tại xấp xỉ tốt nhất x
N
∈ X
N
; do đó
x − x
N
 = min
y∈X
N
x − y .

Định lý 1.3.2. Xấp xỉ tốt nhất từ không gian con hữu hạn chiều (đóng)
của không gian tích vô hướng là duy nhất.
14
1.3.3. Tốc độ hội tụ của nghiệm xấp xỉ
Cho đoạn [a, b], chia đoạn [a, b] thành n phần bằng nhau bởi các điểm
chia t
i
, i = 0, n thỏa mãn:
t
0
= a < t
1
< t
2
< < t
n
= b
Đặt
h =
b − a
n
.
Giả sử x là nghiệm đúng và x
N
là nghiệm xấp xỉ của phương trình đã
cho (theo phương pháp xấp xỉ nào đó). Nếu có:
x − x
N
 ≤ Mh
k

với M là hằng số dương không phụ thuộc vào h và k thì ta nói nghiệm
xấp xỉ x
N
đạt tốc độ hội tụ bậc k tới nghiệm đúng x.
1.4. Ma trận đường chéo trội
Định nghĩa 1.4.1. Cho ma trận vuông A = (a
ij
)
n
i, j=1
.
Ma trận A có tính chất đường chéo trội nếu nó thỏa mãn một trong
hai tính chất sau:
1)
n

j=1, j=i
|a
ij
| < |a
ii
| , ∀i = 1, 2, , n;
2)
n

i=1, i=j
|a
ij
| < |a
jj

| , ∀j = 1, 2, , n.
Định lý 1.4.1. Ma trận A có tính chất đường chéo trội thì A không suy
biến.
Khi đó hệ phương trình Ax = y luôn có nghiệm.
15
1.5. Khái niệm về phương trình tích phân
1.5.1. Phương trình toán tử
Cho A là toán tử từ không gian định chuẩn X vào chính nó.
Định nghĩa 1.5.1. Phương trình dạng
Au = f (1.3)
trong đó, f ∈ X cho trước được gọi là phương trình toán tử loại I.
Phương trình dạng
u = λAu + f (1.4)
trong đó, f ∈ X cho trước, tham số λ ∈ K được gọi là phương trình toán
tử loại II.
Nếu A không giả thiết tuyến tính tức A phi tuyến thì các phương
trình (1.3) và (1.4) gọi là các phương trình toán tử phi tuyến.
1.5.2. Phương trình tích phân
Định nghĩa 1.5.2. Phương trình dạng
b

a
K (t, s) u (s) ds = f (t) , (1.5)
với K(t, s) là hàm số hai biến (t, s) ∈ [a, b] × [a, b] cho trước, u là hàm
số liên tục trên đoạn [a, b], được gọi là phương trình tích phân tuyến tính
loại I.
Phương trình dạng
u (t) = λ
b


a
K (t, s) u (s) ds + f (t) , (1.6)
16
với K(t, s) là hàm hai biến (t, s) ∈ [a, b] × [a, b] cho trước, u(s) là hàm
liên tục trên đoạn [a, b]; tham số λ ∈ K, được gọi là phương trình tích
phân tuyến tính loại II.
Định lý 1.5.1. Cho K(t, s) là hàm hai biến (t, s) ∈ [a, b] × [a, b], u(s)
là hàm số liên tục trên đoạn [a, b] hay u (s) ∈ C [a, b]. Đặt
(Au) (t) =
b

a
K (t, s) u (s) ds.
Khi đó, A là toán tử tuyến tính từ C [a, b] vào C [a, b].
Định nghĩa 1.5.3. Cho toán tử tuyến tính liên tục A
• A được gọi là toán tử tích phân Fredholm nếu
(Au) (t) =
b

a
K (t, s) u (s) ds
trong đó, hàm K(t, s) gọi là nhân của các toán tử tích phân.
• A là toán tử tích phân Volterra nếu
(Au) (t) =
t

a
K (t, s) u (s) ds
trong đó, hàm K(t, s) gọi là nhân của các toán tử tích phân.
Nếu A là toán tử tích phân Ferdholm thì tương ứng với (1.3) và (1.4)

ta có phương trình tích phân Fredholm loại I và loại II. Nếu A là toán
tử tích phân Volterra thì tương ứng với (1.3) và (1.4) ta có phương trình
tích phân Volterra loại I và loại II.
Chương 2
Một số phương pháp biến phân
(Kiến thức trong chương này được trích dẫn từ tài liệu [2], [5] và [7])
2.1. Phương pháp biến phân
Khái niệm 2.1.1.
Cho X, Y là các không gian tuyến tính định chuẩn với các chuẩn kí hiệu
tương ứng  
X
,  
Y
và A là một toán tử xác định
A : X → Y
u → Au
Xét phương trình
Au = f
trong đó, f là phần tử đã biết thuộc Y .
Giả sử X
N
là không gian con N− chiều của X và {φ
1
, φ
2
, , φ
N
} là
một cơ sở của X
N

.
Khi đó, phương pháp biến phân là một thuật toán xác định u
N
thuộc
17
18
X
N
có dạng
u
N
= c
1
φ
1
+ c
2
φ
2
+ + c
N
φ
N
sao cho
Au
N
− f
Y
+ u
N

− u
X
nhỏ nhất có thể.
Các phương pháp biến phân cơ bản:
1) Phương pháp bình phương nhỏ nhất
2) Phương pháp Rayleigh-Ritz
3) Phương pháp collocation
4) Phương pháp Galerkin
5) Phương pháp sai phân hữu hạn

Các phương pháp biến phân kể trên được quan tâm nghiên cứu trong
và ngoài nước.
Trong luận văn này tôi trình bày hai phương pháp thường được
dùng trong giải gần đúng các phương trình toán tử. Đó là phương pháp
Galerkin và phương pháp collocation.
2.2. Phương pháp Galerkin
2.2.1. Định nghĩa
Định nghĩa 2.2.1. Cho X là không gian tích vô hướng với tích vô hướng
kí hiệu là (., .) và A là toán tử tuyến tính (hoặc phi tuyến) với miền xác