Một số phương pháp giải gần đúng phương trình tích phân và ứng dụng

LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2,
dưới sự hướng dẫn của TS. Khuất Văn Ninh. Tác giả xin được bày tỏ
lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Khuất Văn Ninh, người thầy đã luôn tận
tình chỉ bảo, động viên và khuyến khích tác giả trong những ngày đầu
làm quen với nghiên cứu khoa học và trong quá trình thực hiện bản luận
văn. Đồng thời, tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới các
thầy cô giáo trong Khoa Toán, Đại học sư phạm Hà Nội 2 cùng các thầy
cô tham gia giảng dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã giúp đỡ
tác giả trong suốt thời gian học tập từ những năm còn là sinh viên cho
đến ngày hôm nay. Thêm nữa, tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các
đồng nghiệp trong Khoa tự nhiên, Trường Cao đẳng sư phạm Vĩnh Phúc
(nơi tác giả mới nhận công tác) đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác
giả trong những khoảng thời gian cuối cùng hoàn thành bản luận văn
này.
Hà Nội, ngày 30 tháng 9 năm 2010
Tác giả
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới
sự hướng dẫn của T.S Khuất Văn Ninh.
Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học
của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Một số kết quả đã đạt được trong luận văn là mới và chưa từng được
công bố trong bất kỳ công trình khoa học nào của ai khác.
Hà Nội, ngày 30 tháng 9 năm 2010
Tác giả
Mục lục
Lời mở đầu 1
1 Một số kiến thức liên quan 4
1.1. Các khái niệm cơ bản của giải tích hàm . . . . . . . . . . 4
1.1.1. Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.2. Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.3. Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2. Khái niệm về phương trình tích phân . . . . . . . . . . . 10
1.2.1. Phương trình toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2. Phương trình tích phân . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.3. Một số điểm chú ý . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Một số phương pháp giải gần đúng phương trình tích
phân 14
2.1. Phương pháp nhân suy biến . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.1. Phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.2. Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
iii
iv
2.2. Phương pháp Fredholm thay phiên . . . . . . . . . . . . 20
2.2.1. Phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.2. Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3. Phương pháp xấp xỉ nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3.1. Phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.2. Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4. Phương pháp xấp xỉ liên tiếp . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4.1. Lược đồ lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4.2. Phương trình tích phân Volterra . . . . . . . . . . 36
2.4.3. Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.5. Phương pháp Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.5.1. Phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.5.2. Mối liên hệ giữa phương pháp Galerkin với phương
pháp nhân suy biến . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.5.3. Ví dụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.6. Phương pháp cầu phương . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.6.1. Phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.6.2. Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3 Ứng dụng 58
3.1. Ứng dụng vào phương trình vi phân thường . . . . . . . 58
3.1.1. Bài toán giá trị ban đầu . . . . . . . . . . . . . . 58
v
3.1.2. Bài toán giá trị biên . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.1.3. Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2. Ứng dụng giải số bằng lập trình Maple 12 . . . . . . . . 64
3.2.1. Phương pháp nhân suy biến . . . . . . . . . . . . 65
3.2.2. Phương pháp xấp xỉ nhân . . . . . . . . . . . . . 70
3.2.3. Phương pháp xấp xỉ liên tiếp . . . . . . . . . . . 75
3.2.4. Phương pháp Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.2.5. Phương pháp cầu phương . . . . . . . . . . . . . 86
Kết luận 88
Tài liệu tham khảo 89
BẢNG KÝ HIỆU
N Tập số tự nhiên
N
∗
Tập số tự nhiên khác không
Q Tập số hữu tỷ
R Tập số thực
Z Tập số nguyên
C Tập số phức
R
k
Không gian thực k chiều
C
[a;b]
Tập tất cả các hàm số thực liên tục trên [a, b]

C
L
[a;b]
Tập tất cả các hàm số thực liên tục và khả tích trên [a, b]
D
k
[a;b]
Tập tất cả các hàm số xác định và có đạo hàm liên tục đến
cấp k trên [a, b]
. Chuẩn
∅ Tập hợp rỗng
1
LỜI MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Rất nhiều bài toán vật lý thường được giải bằng phương pháp phương
trình vi phân đều có thể giải một cách hiệu quả hơn bằng cách sử dụng
phương trình tích phân. Thật vậy, phương pháp sử dụng phương trình
tích phân được xuất hiện trong nhiều tài liệu với một tần suất tăng dần
và đã cung cấp những lời giải cho các bài toán mà sẽ gặp khó khăn nếu
giải bằng những phương pháp cơ bản của phương trình vi phân. Những
bài toán như vậy xuất hiện rất nhiều trong những lĩnh vực ứng dụng
và những phương pháp được khảo sát trong luận văn này sẽ rất hữu ích
trong toán học ứng dụng, vật lý toán và cơ lý thuyết.
Phương trình tích phân đem đến một kĩ thuật hiệu quả cho việc giải
quyết rất nhiều những bài toán thực tế khác nhau. Một trong những lí
do của ích lợi này là tất cả những điều kiện ban đầu và điều kiện biên
của một bài toán phương trình vi phân đều có thể gói gọn lại trong một
phương trình tích phân đơn.
Sự thay thế một mô hình toán học phức tạp của một tình huống vật
lí thành một phương trình tích phân đơn đã là một bước tiến đáng kể

nhưng còn rất nhiều những lợi ích của việc thay thế phép tính vi phân
bởi phép tính tích phân. Một trong những lợi thế này nảy sinh bởi phép
tính tích phân là một quá trình “uyển chuyển” được thể hiện trong quá
trình tìm nghiệm xấp xỉ. Nếu ta cần tìm một lời giải chính xác hay gần
đúng của bài toán cho trước thì phương trình tích phân chính là một
phương pháp hữu ích được trông đợi. Cũng bởi lí do này mà phương
2
trình tích phân đã thu hút được sự chú ý của các nhà toán học trong
phần lớn thời gian của thế kỉ trước và đầu thế kỉ này, và lí thuyết của
nó đang phát triển rất mạnh mẽ.
Cùng với mong muốn hiểu biết sâu hơn về vấn đề này, dưới sự hướng
dẫn của TS. Khuất Văn Ninh, tôi mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu:
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG
PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
Bố cục của luận văn bao gồm 3 chương:
Chương 1 của luận văn trình bày một số khái niệm của giải tích hàm
và khái niệm về phương trình tích phân. Cuối chương trình bày một số
điểm chú ý.
Chương 2 của luận văn tập trung trình bày một số phương pháp giải
phương trình tích phân tuyến tính.
Chương 3 của luận văn trình bày ứng dụng của phương trình tích
phân vào giải phương trình vi phân và ứng dụng giải số bằng lập trình
Maple 12.
2. Mục đích nghiên cứu
Xây dựng các phương pháp giải gần đúng phương trình tích phân và
ứng dụng của những phương pháp này trong thực tế.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Làm rõ những nội dung cần thể hiện. Qua đó, thấy được lợi ích và
tính hữu dụng của các phương pháp này.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

3
Nghiên cứu phương trình tích phân ở phương diện giải xấp xỉ nghiệm
và ứng dụng của nó vào thực tế.
5. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu tài liệu, suy luận logic, phân tích tổng hợp.
6. Dự kiến đóng góp mới
Lập trình trên máy tính điện tử giải một số phương trình tích phân.
Hà Nội, ngày 30 tháng 9 năm 2010
Tác giả luận văn
Nguyễn Thị Hoài
Chương 1
Một số kiến thức liên quan
1.1. Các khái niệm cơ bản của giải tích hàm
1.1.1. Không gian metric
Cho X là một tập tùy ý.
Định nghĩa 1.1.1. Một metric trong X là một ánh xạ
d : X × X → R
của tích X × X vào đường thẳng thực R, thỏa mãn các điều kiện sau
đây:
1) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X;
2) d(x, y) = 0 ⇔ x = y;
3) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X;
4) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X.
Một không gian metric là một tập hợp cùng với một metric trong
4
5
tập hợp ấy. Các phần tử của một không gian metric được gọi điểm của
không gian ấy; số d(x, y) được gọi là khoảng cách giữa các điểm x và y.
Định nghĩa 1.1.2. Một dãy điểm (x
n

), n = 1, 2, trong không gian
metric X gọi là hội tụ đến điểm a ∈ X nếu
lim
n→∞
d(a, x
n
) = 0.
Khi đó, ta kí hiệu
lim
n→∞
x
n
= a hoặc x
n
→ a, khi n → ∞.
Định nghĩa 1.1.3. Dãy điểm (x
n
) được gọi là dãy cơ bản trong không
gian metric X nếu với mọi ε > 0 cho trước , đều tồn tại một số n
0
sao
cho với mọi n ≥ n
0
và m ≥ n
0
ta đều có
d(x
n
, x
m

) < ε.
Nói cách khác, ta có
lim
n,m→∞
d(x
n
, x
m
) = 0.
Dễ thấy mọi dãy điểm hội tụ trong không gian metric đều là dãy cơ
bản.
Định nghĩa 1.1.4. Một không gian metric X được gọi là đầy đủ nếu
mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ tới một phần tử trong X.
Định nghĩa 1.1.5. Cho X và Y là hai không gian metric tùy ý. Ánh xạ
f : X → Y được gọi là một ánh xạ co nếu tồn tại một số α với 0 ≤ α < 1
sao cho với mọi x, x

∈ X ta đều có
d(f(x), f(x

)) ≤ α d(x, x

).
6
Hiển nhiên một ánh xạ co là liên tục đều.
Định lý 1.1.1. (Nguyên lý ánh xạ co) Giả sử X là một không gian
metric đầy đủ, và f : X → X là một ánh xạ co của X vào chính nó.
Khi đó tồn tại một và chỉ một điểm x
∗
∈ X sao cho f (x

∗
) = x
∗
.
1.1.2. Không gian định chuẩn
Cho X là một không gian vectơ trên trường P (P = R hoặc C).
Định nghĩa 1.1.6. Một chuẩn, kí hiệu || · ||, trong X là một ánh xạ đi
từ X vào R thỏa mãn các điều kiện:
1) ||x|| ≥ 0 với mọi x ∈ X ;
2) ||x|| = 0 khi và chỉ khi x = θ (θ là kí hiệu phần tử không);
3) ||λx|| = |λ|||x|| với mọi số λ ∈ P và mọi x ∈ X;
4) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| với mọi x, y ∈ X.
Số ||x|| được gọi là chuẩn ( hay độ dài) của vectơ x ∈ X. Một không
gian vectơ X cùng với một chuẩn xác định trong không gian ấy, được
gọi là một không gian định chuẩn (thực hoặc phức, tùy theo P thực hay
phức).
Định lý 1.1.2. Giả sử X là một không gian định chuẩn. Với mọi x, y ∈
X, đặt
d(x, y) = ||x − y||
Khi đó, d là một metric trên X.
7
Định nghĩa 1.1.7. Dãy (x
n
) trong không gian định chuẩn X được gọi
là hội tụ đến x
0
∈ X nếu lim
n→∞
||x
n

− x
0
|| = 0.
Khi đó, ta kí hiệu
lim
n→∞
x
n
= x
0
hoặc x
n
→ x
0
, khi n → ∞.
Định nghĩa 1.1.8. Dãy (x
n
) trong không gian định chuẩn X được gọi
là một dãy cơ bản nếu
lim
m,n→∞
||x
m
− x
n
|| = 0.
Định nghĩa 1.1.9. Giả sử không gian định chuẩn X là một không gian
metric đầy đủ (với khoảng cách d(x, y) = ||x −y||). Khi đó X được gọi là
một không gian định chuẩn đầy đủ, hay còn gọi là không gian Banach.
Định nghĩa 1.1.10. Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường

P . Ánh xạ A từ không gian X vào không gian Y được gọi là tuyến tính
nếu A thỏa mãn:
1) A(x + y) = Ax + Ay, với mọi x, y ∈ X;
2) A(αx) = αAx, với mọi x ∈ X, α ∈ P .
A cũng được gọi là toán tử tuyến tính. Khi đó, nếu A chỉ thoả mãn 1)
thì A được gọi là toán tử cộng tính; nếu A chỉ thỏa mãn 2) thì A được
gọi là toán tử thuần nhất. Khi Y = P thì toán tử tuyến tính A được gọi
là phiếm hàm tuyến tính.
Định nghĩa 1.1.11. Cho không gian định chuẩn X và Y . Toán tử tuyến
tính A từ không gian X vào không gian Y gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng
số c ≥ 0 sao cho:
||Ax|| ≤ c||x||, với mọi x ∈ X.
8
Định nghĩa 1.1.12. Cho hai không gian định chuẩn X và Y . Kí hiệu
L(X, Y ) là tập tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian X
vào không gian Y . Ta đưa vào L(X, Y ) hai phép toán:
• Tổng của hai toán tử A, B ∈ L(X, Y ) là toán tử, kí hiệu A + B, xác
định bởi biểu thức
(A + B)(x) = Ax + Bx, với mọi x ∈ X;
• Tích vô hướng của α ∈ P (P = R hoặc P = C) với toán tử A ∈
L(X, Y ) là toán tử, kí hiệu αA, được xác định bởi biểu thức
(αA)(x) = α(Ax).
Dễ kiểm tra được rằng A + B ∈ L(X, Y ), αA ∈ L(X, Y ) và hai phép
toán trên thỏa mãn tiên đề tuyến tính. Khi đó, tập L(X, Y ) trở thành
một không gian tuyến tính trên trường P .
Định lý 1.1.3. Nếu Y là một không gian Banach thì L(X, Y ) là không
gian Banach.
1.1.3. Không gian Hilbert
Định nghĩa 1.1.13. Cho không gian tuyến tính X trên trường P (P =
R hoặc P = C). Ta gọi là tích vô hướng trên không gian X mọi ánh xạ

từ tích Descartes X × X vào trường P , kí hiệu (·, ·), thỏa mãn các tiên
đề:
1) (y, x) = (x, y) với mọi x, y ∈ X ;
2) (x + y, z) = (x, z) + (y, z) với mọi x, y, z ∈ X;
9
3) (αx, y) = α(x, y) với mọi số α ∈ P và mọi x, y ∈ X;
4) (x, x) > 0 , nếu x = θ (θ là kí hiệu phần tử không) , với mọi
x ∈ X;
5) (x, x) = 0, nếu x = θ, với mọi x ∈ X.
Các phần tử x, y, z, gọi là các nhân tử của tích vô hướng. Số (x, y)
gọi là các tích vô hướng của hai nhân tử x và y, các tiên đề 1), 2), 3),
4), 5) gọi là hệ tiên đề tích vô hướng.
Định nghĩa 1.1.14. Không gian tuyến tính X trên trường P cùng với
một tích vô hướng trên X gọi là không gian tiền Hilbert.
Định lý 1.1.4. Cho X là một không gian tiền Hilbert. Với mỗi x ∈ X,
ta đặt ||x|| =

(x, x). Khi đó, ta có bất đẳng thức sau (gọi là bất đẳng
thức Schwarz)
|(x, y)| ≤ ||x||.||y||, ∀x, y ∈ X.
Từ bất đẳng thức trên có thể chứng minh được rằng mọi không gian
tiền Hilbert đều là không gian định chuẩn, với chuẩn ||x|| =

(x, x).
Định nghĩa 1.1.15. Ta gọi không gian tuyến tính H = ∅ trên trường
P là không gian Hilbert H thỏa mãn các điều kiện:
1) H là không gian tiền Hilbert;
2) H là không gian Banach với chuẩn ||x|| =

(x, x) với x ∈ X.

Ta gọi mỗi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert
H là không gian Hilbert con của không gian H.
10
1.2. Khái niệm về phương trình tích phân
1.2.1. Phương trình toán tử
Cho A là toán tử tuyến tính liên tục từ không gian định chuẩn X vào
chính nó.
Định nghĩa 1.2.1. Phương trình dạng
Ag = f, (1.1)
trong đó f ∈ X cho trước, được gọi là phương trình loại I.
Phương trình dạng
g = λAg + f, (1.2)
trong đó f ∈ X cho trước, tham số λ ∈ P , được gọi là phương trình loại
II.
1.2.2. Phương trình tích phân
Định nghĩa 1.2.2. Phương trình dạng

b
a
K(t, s)g(s)ds = f(t), (1.3)
với K(t, s) là hàm số 2 biến (t, s) ∈ [a; b] × [a; b] cho trước, g là hàm số
liên tục trên đoạn [a; b], được gọi là phương trình tích phân tuyến tính
loại I.
Phương trình dạng
g(t) = λ

b
a
K(t, s)g(s)ds + f(t), (1.4)
11

với K(t, s) là hàm số hai biến (t, s) ∈ [a; b] × [a; b]; g(s) là hàm số liên
tục trên đoạn [a; b]; tham số λ ∈ P (P = R hoặc P = C ), được gọi là
phương trình tích phân tuyến tính loại II.
Định lý 1.2.1. Cho K(t, s) là hàm số hai biến (t, s) ∈ [a; b] × [a; b], g
là hàm số liên tục trên đoạn [a; b] hay g ∈ C
[a;b]
. Đặt
(Ag)(t) =

b
a
K(t, s)g(s)ds
Khi đó A là toán tử tuyến tính từ C
[a;b]
vào C
[a;b]
Chứng minh. Do K liên tục trên [a; b]×[a; b], g là hàm liên tục trên [a; b]
nên biểu thức dưới dấu tích phân K(t, s)g(s) là hàm liên tục theo hai
biến (t, s) ∈ [a; b] × [a; b]. Suy ra,

b
a
K(t, s)g(s)ds ∈ C
[a;b]
hay A là toán
tử tác động từ C
[a;b]
vào C
[a;b]
.

Với mọi α, β ∈ R, với mọi g
1
, g
2
∈ C
[a;b]
, ta có
A(αg
1
+ βg
2
)(t)) =

b
a
K(t, s)[αg
1
(s) + βg
2
(s)]ds
= α

b
a
K(t, s)g
1
(s)ds + β

b
a

K(t, s)g
2
(s)ds
= (αAg
1
)(t) + (βAg
2
)(t)
Vậy A = (αg
1
+ βg
2
) = αAg
1
+ βAg
2
. Hay A tuyến tính.
Định nghĩa 1.2.3. Cho toán tử tuyến tính liên tục A.
• A được gọi là toán tử tích phân Fredholm nếu
(Ag)(t) =

b
a
K(t, s)g(s)ds
trong đó, hàm K(t, s) gọi là nhân của các toán tử tích phân
12
• A là toán tử tích phân Volterra nếu
(Ag)(t) =

t

a
K(t, s)g(s)ds
trong đó, hàm K(t, s) gọi là nhân của các toán tử tích phân.
Nếu A là toán tử tích phân Fredholm thì tương ứng với (1.1) và (1.2) ta
có phương trình tích phân Fredholm loại I và loại II. Nếu A là toán tử
tích phân Volterra thì tương ứng với (1.1) và (1.2) ta có phương trình
tích phân Volterra loại I và loại II.
1.2.3. Một số điểm chú ý
1) Phương trình tích phân Volterra là trường hợp riêng của phương
trình tích phân Fredholm.
Thật vậy, đặt
˜
K(t, s) :=





K(t, s), a ≤ s ≤ t
0, t ≤ s ≤ b
thì ta có

t
a
K(t, s)g(s)ds =

b
a
˜
K(t, s)g(s)ds.

2) Nếu K(t, t), f khả vi liên tục theo biến t , K(t, t) = 0 với mọi
t ∈ [a; b] thì phương trình Volterra loại I đưa được về phương trình
Volterra loại II. Thật vậy đạo hàm hai vế đẳng thức

t
a
K(t, s)ds = f(t)
ta được
K(t, t)g(t) +

t
a
∂K
∂t
(t, s)g(s)ds = f

(t).
Từ đây ta suy ra
g(t) = −

b
a
∂K
∂t
K(t, t)
g(s)ds +
f

(t)
K(t, t)

13
3) Phương trình tích phân Fredholm đặt không chỉnh theo nghĩa: chỉ
một kích động nhỏ của vế trái dẫn đến sự thay đổi lớn của nghiệm, thậm
chí làm cho phương trình vô nghiệm. Bởi vậy, trong giới hạn của đề tài,
giới hạn hiểu biết của riêng tác giả, và nhằm đạt được mục đích nghiên
cứu, luận văn này chỉ xét tới phương trình tích phân Fredholm loại II.
Chương 2
Một số phương pháp giải gần đúng
phương trình tích phân
2.1. Phương pháp nhân suy biến
2.1.1. Phương pháp
Kí hiệu X là không gian Banach. Trong X ta xét phương trình tích
phân Fredholm loại II
g(t) = f(t) + λ

b
a
K(t, s)g(s)ds (2.1)
trong đó, f là phần tử cho trước thuộc X.
Định nghĩa 2.1.1. Nhân K(t, s) của phương trình tích phân được gọi
là nhân suy biến nếu nó được biểu diễn dưới dạng
K(t, s) = K
n
(t, s) =
n

i=1
α
i
(t)β

i
(s) (2.2)
với a ≤ t, s ≤ b. Trong đó {α
i
(t)}, {β
i
(s)} , i = 1, 2, là những hệ độc
lập tuyến tính.
14
15
Nhân suy biến gồm các đa thức và nhiều hàm siêu việt như: (t + s),
ts, cos(s − t), e
(s−t)
,
Với mỗi nhân có dạng (2.2) phương trình (2.1) trở thành
g
n
(t) = f (t) + λ
n

i=1
α
i
(t)

b
a
β
i
(s)g

n
(s)ds. (2.3)
Từ đó, nó dẫn đến phương pháp giải phương trình này về cơ bản phụ
thuộc vào việc lựa chọn tham số phức λ và
c
i
=

b
a
β
i
(s)g
n
(s)ds, (2.4)
ở đây, c
i
là hằng số chưa biết. Thay (2.4) vào (2.3) ta được
g
n
(t) = f (t) + λ
n

i=1
c
i
α
i
(t), (2.5)
và bài toán trở thành đi tìm c

i
. Cuối cùng, chúng ta thay (2.5) vào (2.3)
ta được
n

i=1
α
i
(t){c
i
−

b
a
β
i
(s)[f(s) + λ
n

k=1
c
k
α
k
(s)]ds} = 0. (2.6)
Do các hàm α
i
(t) là độc lập tuyến tính nên
c
i

−

b
a
β
i
(s)[f(s) + λ
n

k=1
c
k
α
k
(s)]ds = 0, (2.7)
với i = 1, 2, Đặt

b
a
β
i
(s)f(s)ds = f
i
,

b
a
β
i
(s)α

k
(s)ds = a
ik
(2.8)
ở đây, f
i
và a
ik
là những hằng số đã biết, phương trình (2.7) trở thành
c
i
− λ
n

k=1
a
ik
c
k
= f
i
(2.9)
16
(i = 1, 2, ). Đó là một hệ phương trình đại số n ẩn c
i
, (i = 1, 2, ).
Định thức của hệ là
D(λ) =













1 − λa
11
−λa
12
· · · −λa
1n
−λa
21
1 − λa
22
· · · −λa
2n
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
−λa
n1
−λa
n2
· · · 1 − λa
nn












(2.10)
Định thức là một đa thức của λ, có bậc cao nhất n. Hơn nữa, định thức
này không đồng nhất không, vì ngay cả khi λ = 0 thì D(λ) = 1.
Với mọi giá trị của λ sao cho D(λ) = 0, hệ phương trình đại số (2.9),
và do đó phương trình tích phân (2.1), có nghiệm duy nhất. Mặt khác,
với mọi giá trị của λ sao cho D(λ) = 0, hệ phương trình đại số (2.9)
và do đó phương trình tích phân (2.1) hoặc vô nghiệm hoặc có vô số
nghiệm.

Như vậy, việc giải phương trình (2.1) với nhân suy biến gồm các bước:
1) Tính các tích phân:

b
a
β
i
(s)f(s)ds = f
i

b
a
β
i
(s)α
k
(s)ds = a
ik
2) Giải hệ đại số tuyến tính:
c
i
− λ
n

k=1
a
ik
c
k
= f

i
, i = 1, 2,
Nếu định thức của hệ khác không thì tồn tại nghiệm duy nhất c
i
, i =
1, 2,
17
3) Nghiệm cần tìm (nếu có) có dạng
g
n
(t) = λ
n

i=1
c
i
α
i
(t) + f (t)
Phương pháp này được làm sáng tỏ bằng các ví dụ sau đây.
2.1.2. Các ví dụ
Ví dụ 2.1.1. Giải phương trình
g(t) = t + λ

1
0
(st
2
+ s
2

t)g(s)ds (2.11)
Lời giải. Nhân K(t, s) = st
2
+ ts
2
là nhân suy biến và chúng ta có
c
1
=

1
0
s
2
g(s)ds, c
2
=

1
0
sg(s)ds.
Phương trình (2.11) trở thành
g(t) = t + λc
1
t + λc
2
t
2
. (2.12)
Thế (2.12) vào (2.11) ta nhận được hệ phương trình đại số






c
1
=
1
4
+
1
4
c
1
+
1
5
c
2
c
2
=
1
3
+
1
3
c
1

+
1
4
c
2
(2.13)
Giải hệ (2.13) ta nhận được





c
1
=
60+λ
240−120λ−λ
2
c
2
=
80
240−120λ−λ
2
(2.14)
Từ (2.12) và (2.14) ta có nghiệm
g(t) =
[(240 − 60λ)t + 80λt
2
]

240 − 120λ − λ
2
(2.15)
18
Ví dụ 2.1.2. Giải phương trình
x(t) − λ

π
2
0
sin t cos s x(s)ds = sin t
Lời giải. Phương trình đã cho được viết lại là
x(t) = λ

π
2
0
sin t cos s x(s)ds + sin t,
hay
x(t) = λ sin t

π
2
0
cos s x(s)ds + sin t. (2.16)
Đặt
c =

π
2

0
cos s x(s)ds. (2.17)
Thay (2.17) vào (2.16)
x(t) = cλ sin t + sin t = (cλ + 1) sin t. (2.18)
Thay (2.18) vào (2.17)
c =

π
2
0
(cλ + 1) cos s sin sds
=(cλ + 1)

π
2
0
cos s sin sds
=
1
2
(cλ + 1)

π
2
0
sin 2sds
= −
1
4
(cλ + 1) cos 2s




π
2
0
=
cλ + 1
2
Suy ra c(2 − λ) = 1
Với λ = 2 thì c =
1
2−λ
. Thay giá trị của c vào (2.1.18) ta nhận được
x(t) = (
1
2 − λ
λ + 1) sin t =
2
2 − λ
sin t
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là
x(t) =
2
2 − λ
sin t.
19
Ví dụ 2.1.3. Giải phương trình
g(t) = λ


1
0
e
s
e
t
g(s)ds + t
Lời giải.
g(t) = λe
t

1
0
e
s
g(s)ds + t (2.19)
Đặt
c =

1
0
e
s
g(s)ds (2.20)
Thay (2.1.20) vào (2.1.19):
g(t) = λe
t
c + t (2.21)
Thay (2.1.21) vào (2.1.20)
c =


1
0
e
s
(λe
s
c + s)ds
=

1
0
(λe
2s
c + e
s
s)ds
=λc

1
0
e
2s
ds +

1
0
e
s
sds

=
λc
2
e
2s



1
0
+ e
s
s



1
0
− e
s



1
0
=
cλ
2
e
2

− 1 + 1
Suy ra:
cλ
2
(2 − e
2
) = 1. Từ đó có
c =
2
λ(2 − e
2
)
(2.22)
Cuối cùng, thay (2.22) vào (2.21) ta được
g(t) = λe
t
2
λ(2 − e
2
)
+ t.
Nghiệm của phương trình ban đầu là
g(t) =
2e
t
2 − e
2
+ t.