Sự giãn nở nhanh của vũ trụ thời kì đầu trong lí thuyết tương đối tổng quát mở rộng f(r)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
Đào Thị Kiều Vân
SỰ GIÃN NỞ NHANH CỦA VŨ TRỤ THỜI KÌ ĐẦU
TRONG LÝ THUYẾT TƯƠNG ĐỐI TỔNG QUÁT MỞ
RỘNG f(R)
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số: 60 44 01 03
Người hướng dẫn: TS. Đỗ Thị Hương
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT
Hà Nội - 2014
LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
dưới sự hướng dẫn của TS. Đỗ Thị Hương.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Đỗ Thị Hương, người đã
định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi hoàn thành luận
văn này.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Ban giám hiệu trường Đại
học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà
trường và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Vật lý lý thuyết
và Vậ t lí toán đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình
học tập và nghiên cứu.
Nhân dịp này tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè
đã luôn động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình
học tập và hoàn thành luận văn này.
Hà Nội, tháng 6 năm 2014
Tác giả
Đào Thị Kiều Vân
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đo an luận văn là kết quả nghiên cứu của tôi dưới sự
hướng dẫn của TS. Đỗ Thị Hương.

Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, t ôi đã kế thừa những
thành tựu của các nhà khoa học với sự trân t rọng và biết ơn. Các thông
tin trích dẫn và tài liệu tham khảo đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Hà Nội, tháng 6 năm 2014
Tác giả
Đào Thị Kiều Vân
4
Mục lục
Mở đầu 5
1 Lý thuyết tương đ ối tổng quát và mô hình vũ trụ chuẩn 8
1.1 Lý thuyết tương đối tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.1 Mối tương quan giữa tính chất của hình học Rie-
mann và metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.2 Phương trình Einstein . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2 Mô hình vũ trụ chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.1 Các giả thuyết khoa học về không thời gian mô tả
vũ trụ và metric Robertson Wa lker . . . . . . . . 18
1.2.2 Lời giải về sự tiến hóa của vũ trụ . . . . . . . . . 21
2 Lý thuyết hấp dẫn dựa trên Lagrangian L = f(R) 35
2.1 Các điều kiện biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2 Hình thức luận của lý thuyết hấp dẫn f(R) . . . . . . . 35
2.3 Phương trình trường hấp dẫn dựa trên lý thuyết L = f(R) 36
2.4 Động học của quá trình lạm phát dựa trên lý thuyết f (R) 44
3 Kết luận 54
5
Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Lý thuyết tương đối tổng q uát mô tả m ối liên hệ tính chất hình học
của không gian và vật chất. Mối liên hệ này được thể hiện thông q ua
phương trình Einstein. Robertson và Walker đã áp dụng phương trình

Einstein và tìm ra được lời giả i của metric mô tả tính chất hình học của
không gia n là đồng nhất và đẳng hướng, giãn nở đồng đều. Dựa trên
metric Robert son Walker, Friedmann đã tính toán tensor độ cong của
không gian và tì m ra được lời gi ải mô tả sự tiến hóa của Vũ trụ. Mô
hình vũ trụ dựa trên các điều kiện của không thời gian như trên được
gọi là mô hình Vũ trụ chuẩn. Các tiên đoán của mô hình là hoàn toàn
phù hợp với các thời kỳ mà m ật độ vật chất và mật độ bức xạ chiếm
ưu thế. Tuy nhiên, mô hình Vũ trụ chuẩn còn gặp phải các vấn đề khó
khăn khi giải quyết các vấn đề:
- Vũ tr ụ phẳng.
- Vấn đề đường chân trời.
- Vấn đề đơn cực từ.
Để giải quyết được vấn đề này, chúng ta phải giả thiết là Vũ trụ g iãn
nở nhanh ở thời kỳ đầu, trước thời kỳ bức x ạ. Người ta gọi thờ i kì này
6
là thời kì lạm phá t của Vũ trụ. Dựa trên kịch bản lạm phát của Vũ trụ,
chúng ta không chỉ giải quyết được các khó khăn trên mà chúng ta còn
có thể tiên đoán được các hiện tượng mới như bức xạ nền của Vũ trụ đã
được quan sát bằng thực nghiệm hiện nay. Chính vì lý do trên, chúng
ta cần phải mở rộng mô hình Vũ trụ học chuẩn. Chúng tôi sẽ tiếp cận
cách mở rộng mô hình dựa trên cách mở rộng Lagrangian của trường
hấp dẫn. Tức là phương trình Einstien sẽ thay đổi. Lý thuyết này gọi là
lý thuyết f(R)
2. Mục đ í ch nghiên cứu
Tìm lời giải của Vũ trụ giãn nở theo quy luật hàm mũ của thời gian
dựa trên lý thuyết hấp dẫn f(R).
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tìm hiểu lý thuyết tương đối rộng của Einstein.
- Tìm hiểu hình thức luận f(R).
- Giải quyết bài toán lạm phát trên lý thuyết f(R) .

4. Đối t ượng và phạm vi nghiên c ứu
Tính chất hình học của không thời gian và hấp dẫn ảnh hưởng đến
sự tiến hóa của Vũ trụ.
7
5. Phương pháp n g hiên cứu
Hình thức luận metric của lý thuyết tương đối tổng quát.
6. Giả thuyết khoa học
Trong lý thuyết tương đối rộng, Lagrangia n mô tả hấp dẫn là hàm
bậc nhất của độ cong vô hướ ng. Dựa trên nguyên lý tác dụng tối thiểu,
chúng ta thu được phương trình Einstein. Tuy nhiên, trong luận văn này,
chúng tôi dựa trên giả thiết Lagra ngian mô tả hấp dẫn là hàm bất kỳ
của độ cong vô hướng và từ đó chúng tôi sẽ nghiên cứu dạng tổng quát
của phươ ng trình trường hấp dẫn. Chúng tôi sẽ nghiên cứu động học của
thời kỳ lạm phát trong Vũ trụ dựa trên giả thiết này.
Luận văn được trình bày gồm 3 chương nội dung:
• Trong chương 1, tôi sẽ trình bày về hình thức luận của lý thuyết
GR. Dựa trên lý thuyết GR, tôi sẽ tìm kiếm metric thỏa mãn điều
kiện vũ trụ là đồng nhất, đẳng hướng và đang giãn nở. Các lời giải
về sự g iãn nở của Vũ t rụ trong mô hình Vũ trụ chuẩn học sẽ được
trình bày.
• Trong chương 2, tôi sẽ nghiên cứu phương trình hấp dẫn dựa trên
hình thức l uận metric. Tôi sẽ nghiên cứu các điều k iện biên để rút
ra phương trình trường hấp dẫn trong lý thuyết f(R) tổng quát.
Dựa trên Lagrangian L = R + λR
2
, tôi chứng minh lời gi ải của vũ
trụ biến đổi thỏa mãn điều kiện giãn nở và tăng tốc.
• Chương cuối cùng là các kết luận của luận văn.
8
Chương 1

Lý thuyết tương đối tổng quát và
mô hình vũ trụ chuẩn
1.1 Lý thuyết tương đối tổn g quát
1.1.1 Mối tương quan giữa tính chất của hình học Riemann
và metric
a. Sự khác nhau giữa thuyết tương đối rộng và thuyết tương đối hẹp
Theo lý thuyết tương đối hẹp, tất cả các hiện tượng vật lí đều diễn
ra như nhau trong mọi hệ quy chiếu quán tính. Hay, các phương trình
mô tả các hiện tượng vật lí đều bất biến dưới phép biến đổi Lorentz.
Lý thuyết tương đối rộng cho rằng, mọi hiện tượng là diễn ra như nhau
trong mọi hệ quy chiếu. Tức là, các phương trình mô tả các quá trình
Vật lí là bất biến dưới phép biến đổi tổng quát.
Lý thuyết tương đối hẹp đưa ra các phương trình về chuyển động của
các vật thể chuyển động khá c nhau t rên cơ sở hằ ng số là tốc độ ánh
sáng, đó là một bất biến trong các hệ quy chiếu chuyển động thẳng đều
9
tương đối với nhau. Hệ quả của điều này là vật lí không thể tách rời
không gian và thời gian khỏi nhau mà phải xét chúng như một hệ không
- thời gian bố n chiều, phụ thuộc vào chuyển động của người quan sát.
Lý thuyết tương đối rộng b ổ sung thêm là không thời gian cục bộ có
thể bị bẻ cong do khối lượng của vật chất trong đó. Do đó, đường thẳng
trong không - thời gian có thể đượ c chúng ta cảm nhận là đường cong
trong không gian mà chúng t a trải nghiệm.
b. Mối liên hệ giữa hình học Riemann và thuyết tương đối rộ ng
Như ta đã biết, trường hấp dẫn trên thực t ế là không đồng đều, càng
gần các ngôi sao và các hành tinh thì trường hấp dẫn càng mạnh. Do đó
không gian mô tả trường hấp dẫn là không gian cong. Tuy nhiên, trong
không gian cong mô tả hấp dẫn luôn phải thỏa mãn tính chất: Khi vùng
không gian khảo sát rất gần nhau thì không gian lại được coi là không
gian phẳng. Hình học mô tả tốt tính chất không gian cong của trường

hấp dẫn l à hình học Riemann. Chính vì vậy, lý thuyết tương đối rộng
của Einstein chủ yếu sử dụng hình học Riemann để mô tả không gian.
Tính chất của không thời gian hấp dẫn thể hiện qua metric g
µν
.
c. Hình học Riemann
Trong phần này, tôi xin trình bày một vài sự khác biệt về tensor tr ong
không gian phẳng và không gian cong.
Trong không gian phẳng, đạo hàm của trường vô hướng là tensor hạ ng
nhất, đạo hàm của tensor hạng nhất l à tensor hạng hai. Tổng quát:
tensor hạng n + 1 sẽ được xây dựng từ tensor hạng n.
10
Tuy nhi ên, trong khô ng gian cong thì điều này không đúng. Cụ thể khi
giải tích vector, ta đã chứng minh được đạo hàm thông t hường theo thời
gian b ốn chiều của vector bốn chiều biến thiên theo quy luật:
∂A
′
ν
∂x
′µ
=
∂x
α
∂x
′µ

∂
2
x
β

∂x
α
∂x
′ν
A
β
+
∂x
β
∂x
′ν
∂A
β
∂x
α

(1.1)
So sánh với quy luật biến đổi của tensor hạng hai:
Γ
′
µν
=
∂x
α
∂x
′µ
∂x
β
∂x
′µ

Γ
αβ
thì ta thấy đạo hàm của một vector không biến đổi như một tensor hạng
hai.
Để tìm hiểu điều này chúng ta xét hai vector A
µ
(x) và A
µ
(x + dx) =
A
µ
(x) + dA
µ
(x) lần lượt là các vector định xứ tại hai vị trí x
µ
, x
µ
+ dx
µ
.
Vì hai vector định xứ tại hai điểm khác nhau nên biến đổi của hai vector
tại hai điểm khá c nha u sẽ khác nhau. Nghĩa là dA
µ
(x) không phải là
vector. Tuy nhiên dA
µ
(x) có thể viết dưới dạng:
dA
µ
(x) =

∂A
µ
∂x
ν
dx
ν
(1.2)
Vì dx
µ
là vector và dA
µ
cũng phải là vector nên
∂A
µ
∂x
ν
không phải là tensor.
Như vậy, đại lượng đặc trưng cho sự khác nhau của một vector định xứ
tại hai điểm khác nhau không phải là tensor hạng hai.
Chính vì vậy, trong không gian cong, người ta mo ng muốn tìm một đại
lượng đặc trưng cho sự thay đổi của một vector tại hai điểm mà biến đổi
như một tensor.
Như ta đã biết, khi t ính đạo hàm của một vector thì ta phả i quy về cùng
một tọa độ không gian. Tuy nhiên, trong không gian phẳng, khi chúng
ta dịch chuyển song song một vector về cùng một điểm thì vector không
11
bị thay đổi , nhưng trong không gian cong, k hi chúng ta dịch chuyển
song song một vector từ điểm này sang điểm kia thì vector sau khi dịch
chuyển sẽ bị t hay đổi. Đây chính là lí do để đưa ra khái niệm về dịch
chuyển song song.

Có rất nhiều cá ch tiếp cận để đưa ra dịch chuyển song song, trong luận
văn này, tôi không đi sâu vào các cách tiếp cận đó mà tôi công nhậ n kết
quả và từ đó tìm hi ểu ý nghĩa của hình học và hấp dẫn. Cụ thể, khi dịch
chuyển song song vector dọc theo đường cong thì vector t rước khi dịch
chuyển và vector sau khi dịch chuyển khác biệt nhau một đại lượng:
δA
µ
=
∂x
ν
∂y
α
∂
2
y
α
∂x
µ
∂x
β
dx
β
A
ν
= Γ
ν
µβ
dx
β
A

ν
(1.3)
Với:
Γ
ν
µβ
≡
∂x
ν
∂y
α
∂
2
y
α
∂x
µ
∂x
β
(1.4)
Đại lượng Γ
ν
µβ
gọi là hệ thống liên kết không gian giữa hai điểm của
không gian. Được gọi là liên thông Affi ne (hay chỉ số Christoffel) và nó
phụ thuộc vào tính chất của không gian cong. Do đó, để lấy đạo hàm
của t rường vector, ta phải dịch chuyển song song A
µ
(x) từ x đến x + dx
trước khi thực hiện phép trừ. Khi đó ta thu được:

lim
x→0
A
µ
(x + dx) −A
µ
(x) −δA
µ
(x)
dx
ν
= lim
x→0
A
µ
(x + dx) −A
µ
(x)
dx
ν
− Γ
α
µβ
A
α
dx
β
dx
ν
=

∂A
µ
∂x
ν
− Γ
α
µβ
A
α
Đây ch ính là đạo hàm hiệp biến.
Chúng ta dịch chuyển vector từ vị trí x đến vị trí x + dx có thể theo
nhiều con đường khác nhau và kết quả đạo hàm hiệp bi ến lấy theo hai
hướng khác nhau là hoàn toàn khác nhau.
12
Cụ thể, chúng ta khảo sát sự khác nhau của đạo hàm hiệp biến lấy theo
hai hướng khác nhau. Xét hệ thức giao hoán của đạo hàm hiệp biến
[D
µ
, D
ν
]:
[D
µ
, D
ν
]A
β
= A
β;µ;ν
− A

β;ν;µ
Tính A
β;µ;ν
:
A
β;µ;ν
= A
β;µ,ν
− Γ
σ
βν
A
σ;µ
− Γ
σ
µν
A
β;σ
= (A
β,µ
− Γ
α
βµ
A
α
), ν − Γ
σ
βν
(A
σ,µ

− Γ
α
σµ
)A
α
−Γ
σ
µν
(A
β,σ
− Γ
α
βσ
A
α
)
= [A
β,µ,ν
− Γ
σ
βν
A
α,ν
− Γ
σ
βν
A
σ,µ
− Γ
σ

µν
(A
β,σ
− Γ
α
βσ
A
α
)]
−Γ
α
βµ,ν
A
α
+ Γ
σ
βν
Γ
α
σµ
A
α
(1.5)
Ta thấy, số hạng trong móc vuông của biểu thức trên là đối xứng theo
µ, ν, do đó dễ dàng chứng minh được:
A
β;µ;ν
− A
β;ν;µ
= −Γ

α
βµ,ν
A
α
+ Γ
σ
βν
Γ
α
σµ
A
α
− (−Γ
α
βν,µ
A
α
+ Γ
σ
βµ
Γ
α
σν
A
α
)
= (−Γ
α
βµ,ν
+ Γ

σ
βν
Γ
α
σµ
+ Γ
α
βν,µ
− Γ
σ
βµ
Γ
α
σν
)A
α
) (1.6)
= R
α
βµν
A
α
(1.7)
Với: R
α
βµν
= −Γ
α
βµ,ν
+ Γ

σ
βν
Γ
α
σµ
+ Γ
α
βν,µ
−Γ
σ
βµ
Γ
α
σν
: Gọi là tensor độ cong
Riemann.
*Một số tính c hất của tensor độ con g Riemann:
• Tính phản xứng
R
σ
λνµ
= −R
σ
λµν
• Tính chất hoán vị vòng
R
σ
λνµ
+ R
σ

µλν
+ R
σ
νµλ
= 0 (1.8)
13
• Tính chất đối xứng và phản đối xứng của R
ρλνµ
R
σ
λνµ
= g
ρσ
R
ρλνµ
⇒ R
ρλνµ
= g
ρσ
R
σ
λνµ
(1.9)
– Tính chất đối xứng:
R
ρλνµ
= R
µνρλ
(1.10 )
– Tính chất phản đối xứng:

R
ρλνµ
= −R
ρλµν
; R
ρλνµ
= −R
λρνµ
(1.11 )
Hình thức luận me tric trong lý thuyết tương đối tổng q uá t.
Xét khoảng khô ng g ian vô cùng nhỏ thì khô ng gian được coi gần như
phẳng (Không gian thuần chủng Riemann), khi đó tensor metric không
thay đổi nên đạo hàm hiệp biến của nó bằng không. Do đó ta có:
∂g
µν
∂x
β
= g
αν
Γ
α
βµ
+ g
µα
Γ
α
βν
∂g
νβ
∂x

µ
= g
αβ
Γ
α
µν
+ g
να
Γ
α
µβ
∂g
βµ
∂x
ν
= g
αµ
Γ
α
µβ
+ g
βα
Γ
α
νµ
⇒
∂g
νβ
∂x
µ

+
∂g
βµ
∂x
ν
−
∂g
µν
∂x
β
= 2g
αβ
Γ
α
µν
⇒ Γ
α
µν
=
1
2
g
αβ
(
∂g
νβ
∂x
µ
+
∂g

βµ
∂x
ν
−
∂g
µν
∂x
β
) (1.12 )
Trạng thái và tương lai của vũ trụ phụ thuộc hoàn toàn vào g
µν
, và g
µν
có thể được tính qua các chỉ số liên kết không thời gian và ngược lại,
đồng thời tensor metric thỏa mãn điều kiện g
µν;α
= 0. Hình học thỏa
14
mãn điều kiện này được gọi là hình học Riemann.
Như vậy, tensor m etric g
µν
quyết định tính chất hình học của khô ng thời
gian. Tuy nhiên, yếu tố nào gây nên sự cong của không gian? Điều này
sẽ được trình bày trong phần tiếp theo.
1.1.2 Phương trình Einstein
Xét tác động:
S =

d
4

x
√
−gR + S
M
δS =

d
4
x[δ(
√
−g)R +
√
−gδR] + δS
M
Với:
δ
√
−g =
−δg
2
√
−g
• Tính δg:
Ta có:
1
det g
µν
δ(det g
µν
) = g

µν
δg
µν
(1.13 )
Mà det g
µν
= g nên:
1
g
δg = g
µν
δg
µν
δg = gg
µν
δg
µν
= −gg
µν
δg
µν
δ
√
−g =
−1
2
√
−gg
µν
δg

µν
(1.14 )
• Tính δR:
δR = δ(g
µν
R
µν
)
= δg
µν
R
µν
+ g
µν
δR
µν
(1.15 )
15
• Tính δR
µν
:
δR
µν
= δR
σ
µνσ
= δ(∂
ν
Γ
σ

σµ
− ∂
σ
Γ
σ
νµ
) (1.16 )
= ∂
ν
(δΓ
σ
σµ
) −∂
σ
(δΓ
σ
νµ
)
Mặt khác, từ định nghĩa:
Γ
λ
µν
=
1
2
g
λα
(∂
µ
g

αν
+ ∂
ν
g
αµ
− ∂
α
g
µν
)
lấy biến phân hai vế:
δΓ
λ
µν
=
1
2
δg
λα
(∂
µ
g
αν
+ ∂
ν
g
αµ
− ∂
α
g

µν
) +
1
2
g
λα
δ(∂
µ
g
αν
+ ∂
ν
g
αµ
− ∂
α
g
µν
)
=
1
2
g
λα
(∂
µ
δg
αν
+ ∂
ν

δg
αµ
− ∂
α
δg
µν
) −δg
αλ
Γ
αβν
(1.17 )
Vì δΓ là sự khác nhau giữa hai trường liên kết nên biến đổi giống như
một tensor. Do đó, chúng có thể viết dưới dạng đạo hàm hiệp biến:
δΓ
λ
µν
=
1
2
g
λα
(δg
αν;µ
+ δg
αµ;ν
− δg
µν;α
) (1.18 )
Khi đó:
δR

µν
= ∂
ν
[
1
2
g
σα
(δg
αν;σ
+ δg
ασ;µ
− δg
σµ;α
)]
−∂
σ
[
1
2
g
σα
(δg
σµ;ν
+ δg
σν;µ
− δg
νµ;σ
)] (1.19 )
Ta có:

δS
H
=

d
4
x[−
1
2
√
−gg
µν
δg
µν
R +
√
−gδg
µν
R
µν
]
+

d
4
x
√
−gg
µν
δR

µν
(1.20 )
16
⇒ δS
H
=

d
4
x[−
1
2
√
−gg
µν
δg
µν
R +
√
−gδg
µν
R
µν
]
+

d
4
x
√

−gg
µν
[∂
ν
[
1
2
g
σα
(δg
αν;σ
+ δg
ασ;µ
−δg
σµ;α
)] −∂
σ
[
1
2
g
σα
(δg
σµ;ν
+ δg
σν;µ
− δg
νµ;σ
)]]
=


d
4
x[−
1
2
√
−gg
µν
δg
µν
R +
√
−gδg
µν
R
µν
] + I (1.21)
Tích phân I = 0 do tích phân của một đạo hàm hiệp bi ến lấy tr ên toàn
bộ không gian là bằng không.
⇒ δS
H
=

d
4
x
√
−gδg
µν

(−
1
2
g
µν
R + R
µν
) (1.22 )
Nếu không kể đến tương tác hấp dẫn thì S
M
= 0, khi đó:
δS = δS
H
(1.23 )
Theo nguyên lý tác dụng tối thiểu thì:
δS = 0
δS
H
= 0
−
1
2
g
µν
R + R
µν
= 0
⇒
1
2

g
µν
R −R
µν
= 0 (1.24 )
Đây là phương trình Einstein trong chân không.
17
Nếu kể đến trường hấp dẫn thì:
δS
M
=

d
4
xδ(
√
−gL
M
)
=

d
4
x[
δ(
√
−gL
M
)
δg

µν
δg
µν
+
√
−g
δL
M
δ(∂
α
g
µν
)
δ(∂
α
g
µν
)]
=

d
4
x[
δ(
√
−gL
M
)
δg
µν

δg
µν
+
√
−g
δL
M
δ(∂
α
g
µν
)
∂
α
(δg
µν
)]
=

d
4
x[
δ(
√
−gL
M
)
δg
µν
δg

µν
+ ∂
α
(
√
−g
δL
M
δ(∂
α
g
µν
)
δg
µν
)]
−∂
α
(
√
−g
δL
M
δ(∂
α
g
µν
)
δg
µν

)
=

d
4
x[
δ(
√
−gL
M
)
δg
µν
+ ∂
α
(
√
−g
δL
M
δ(∂
α
g
µν
)
]δg
µν
(1.25 )
Đặt:
T

µν
=
1
8πG
1
√
−g
[
δ(
√
−gL
M
)
δg
µν
− δ
α
(
δ(
√
−gL
M
)
δ(∂
α
g
µν
)
)] (1.26 )
là tensor năng xung lượng trường hấp dẫn thì:

δS
M
= 8πG

d
4
x
√
−gT
µν
δg
µν
(1.27 )
δS =

d
4
x
√
−gδg
µν
[−
1
2
g
µν
R + R
µν
+ 8πGT
µν

] (1.28 )
Với δS = 0 ta được:
−
1
2
g
µν
R + R
µν
+ 8πGT
µν
= 0
⇒
1
2
g
µν
R −R
µν
= 8πGT
µν
(1.29 )
Đây chính là phương trình Einst ein cho trường hấp dẫn. Phương trình
này m ô tả mối tương quan giữa hình học và vật chất. Vế trái của phương
trình là sự mô tả hình học và vế phải của phương trình là mô tả vật chất
(Vật chất quyết định độ cong của không gian hay độ cong của không
gian mô tả vật chất).
18
1.2 Mô hình vũ trụ chuẩn
1.2.1 Các giả thuyết khoa h ọc về không thời gian mô tả vũ

trụ và metric Robertson Walker
Để mô tả thế giới thực, ta đưa ra các tiên đề: Vũ trụ là đồng nhất,
đẳng hướng và giãn nở ra theo thời gian. Bỏ qua sự khác biệt ở khoảng
cách nhỏ, ta coi vũ trụ ở khoảng cách lớn như là chất lỏng với mật độ
khối lượng không đổi ở mọi nơi.
Trong hệ tọa độ đồng chuyển động, ta có khoảng không thời gi an giữa
hai thiên hà bất kì luôn không đổi và sự nở của vũ trụ kết quả là sự thay
đổi của metric không thời gian.
Với tọa độ thời gian x
0
, ta sử dụng thời gian riêng đo bởi đồng hồ gắn
với thiên hà, với giả thiết rằng các đồng hồ này chạy như nhau và đồng
bộ.
Metric không thời gian có dạng:
ds
2
= dt
2
+ g
ij
dx
i
dx
j
Với: dl
2
=
(3)
g
ij

dx
i
dx
j
và g
ij
= −g
ij
.
Để xác định hình học của không gian, trước hết ta xác định hình học
của không gian ba chiều đồng nhất và đẳng hướng. Tại điểm cho trước,
ta đưa vào tọa độ trắc địa, khi đó metric trở thành:
(3)
g
′
mk
= δ
k
m
Từ điều kiện đẳng hướng thì t enso r cong phải k hông thay đổi theo phép
quay của tọa độ trắc địa. Do chỉ có tensor đơn vị δ
k
m
không thay đổi đối
19
với phép quay nên tensor cong phải là hàm của tổ hợp các tensor đơn
vị:
(3)
R
mnsk

= Kδ
s
m
δ
k
n
+ K
1
δ
k
m
δ
s
n
+ K
2
δ
n
m
δ
s
k
Sử dụng điều kiện phản đối xứng:
(3)
R
mnsk
=
(3)
R
mnks

⇒ K
1
= −K và K
2
= 0
⇒
(3)
R
mnsk
= K(δ
s
m
δ
k
n
− δ
k
m
δ
s
n
) (1.30 )
Chuyển (1.30) sang tọa độ thường, ta có:
(3)
R
mnsk
= K(
(3)
g
(3)

ms
g
nk
−
(3)
g
(3)
mk
g
ns
) (1.31 )
Đồng nhất (1.30) và (1.31) ta suy ra được K là hằng số.
Bây giờ ta trở lại bài toán không gian đối xứng cầu, từ lờ i giải Schwarzschild,
metric được viết dưới dạng:
dl
2
= g
ij
dx
i
dx
j
= e
L(r)
dr
2
+ r
2
dθ
2

+ r
2
sin
2
θdϕ
2
(1.32 )
Và các tensor Ricci đã tính được:
(3)
R
11
=
1
r
∂
1
L(r)
(3)
R
22
= e
−L(r)
(
r
2
∂
1
L(r) −1) + 1 (1.33 )
(3)
R

33
= [e
L(r)
(
r
2
∂
1
L(r) −1) + 1]sin
2
θ
Vì Vũ trụ là đồng nhất và đẳng hướng nên ta có
(3)
R
mn
tỉ lệ với metric
(3)
g
mn
. Dễ dàng chứng minh được:
(3)
R
mn
= 2K
(3)
g
mn
(1.34 )
20
Thay

(3)
R
11
,
(3)
g
11
vào (1. 34) ta được:
1
r
∂
1
L(r) = 2Ke
L(r)
dL(r)
dr
= 2kre
L(r)
e
−L(r)
dL(r) = 2krdr
−e
−L(r)
= kr
2
+ C
−L(r) = ln(− kr
2
− C)
L(r) = −ln(− kr

2
− C) (1.35 )
Thay
(3)
R
22
,
(3)
g
22
vào (1. 34) và kết hợp (1 .35) ta được:
e
−L(r)
(
r
2
∂
1
L(r) −1) + 1 = −2Kr
2
(−kr
2
− C)(
r
2
−2Kr
2 −Kc
2
− C
− 1) + 1 = −2Kr

2
Kr
2
+ Kr
2
+ C + 1 = 2Kr
2
C = −1 (1.36 )
Thay (1.36) vào (1.35) ta được:
L(r) = −ln(1 −Kr
2
)
Khi đó, metric trong bề mặt ba chiều là:
dσ
2
=
dr
2
1 −Kr
2
+ r
2
dθ
2
+ r
2
sin
2
θdϕ
2

Như vậy:
ds
2
= dt
2
− a(t)(
dr
2
1 −Kr
2
+ r
2
dθ
2
+ r
2
sin
2
θdϕ
2
) (1.37)
Đây ch ính là metric Robertson Walker.
21
1.2.2 Lời giải về sự tiến hóa của vũ trụ
Trườ ng hợp hằng số vũ trụ rất nhỏ hoặc bằng không
Xét siêu bề mặt 4 chiều:
(x
1
)
2

+ (x
2
)
2
+ (x
3
)
2
+ (x
4
)
2
= a
2
Trong đó a là bán kính hình cầ u. Khoảng cách giữa hai điểm liền kề trên
bề mặt là:
dl
2
= (dx
1
)
2
+ (dx
2
)
2
+ (dx
3
)
2

+ (dx
4
)
2
với:
(x
4
)
2
= a
2
− (x
1
)
2
− (x
2
)
2
− (x
3
)
2
⇒ (dx
4
)
2
=
(x
1

dx
1
+ x
2
dx
2
+ x
3
dx
3
)
2
a
2
− (x
1
)
2
− (x
2
)
2
− (x
3
)
2
⇒ dl
2
= (dx
1

)
2
+ (dx
2
)
2
+ (dx
3
)
2
+
(x
1
dx
1
+ x
2
dx
2
+ x
3
dx
3
)
2
a
2
− (x
1
)

2
− (x
2
)
2
− (x
3
)
2
(1.38 )
Ta đã biết :
r
2
= (x
1
)
2
+ (x
2
)
2
+ (x
3
)
2
2rdr = 2(x
1
dx
1
+ x

2
dx
2
+ x
3
dx
3
)
rdr = x
1
dx
1
+ x
2
dx
2
+ x
3
dx
3
r
2
d
2
r = (x
1
dx
1
+ x
2

dx
2
+ x
3
dx
3
)
2
(1.39 )
Thay vào metric trên ta có:
dl
2
= (dx
1
)
2
+ (dx
2
)
2
+ (dx
3
)
2
+
r
2
d
2
r

a
2
− r
2
(1.40 )
Sử dụng hệ tọa độ cầu, khi đó:
dl
2
= d
2
r + r
2
d
2
θ + r
2
sin
2
θd
2
ϕ +
r
2
d
2
r
a
2
− r
2

=
1
1 +
r
2
a
2
d
2
r + r
2
sin
2
θd
2
ϕ (1.41 )
22
Do đó, khoảng bất biến giữa hai sự kiện bây giờ l à:
ds
2
= dt
2
+
1
1 +
r
2
a
2
d

2
r + r
2
sin
2
θd
2
ϕ (1.42 )
Đồng nhất (1.37) với (1.42) ta được:
K =
1
a
2
• Độ cong dương ứng với K > 0.
Tìm sự phụ thuộc của bán kính cong vào thời gian:
Đặt r = a sin χ, với 0 < χ < π.
Lúc này a đóng vai trò như là thừa số kích thước chung đặc trưng
cho khoảng cách của hình học ba chiều.
Khi đó:
ds
2
= dt
2
− a
2
(t)(dχ
2
+ sin
2
χdθ

2
+ sin
2
χ sin
2
θdϕ
2
) (1.43 )
Lời giải của phương trì nh Einstein có dạng đơn giản nhất khi t a
đặt:
dt = adη
ds
2
= a
2
(η)dη
2
− a
2
(η)(dχ
2
+ sin
2
χdθ
2
+ sin
2
χ sin
2
θdϕ

2
)
= a
2
(η)(dη
2
− dχ
2
− sin
2
χdθ
2
− sin
2
χ sin
2
θdϕ
2
)
⇒ g
µν
= diag(a
2
, −a
2
, −a
2
sin
2
χ, −a

2
sin
2
χ sin
2
θ)
g
µν
= diag(
1
a
2
, −
1
a
2
, −
1
a
2
sin
2
χ
, −
1
a
2
sin
2
χ sin

2
θ
) (1.44 )
Từ đây ta dễ dàng tính được các chỉ số Christo ffel:
Γ
0
00
=
˙a
a
, Γ
0
kn
= −
˙a
a
3
g
kn
, Γ
k
0n
=
˙a
a
δ
k
n
,
Γ

0
k0
= Γ
0
00
= 0 (1.45 )
23
Trong đó ˙a =
da
dη
. Và ta tính được:
R
00
=
3
a
2
(a¨a −a
2
)
R
kn
=
1
a
4
(2a
2
+ ˙a
2

+ a¨a)g
kn
(1.46 )
Suy ra độ cong vô hướng:
R = R
0
0
+ R
1
1
+ R
2
2
+ R
3
3
=
3
a
2
(a¨a −a
2
) +
1 + 1 + 1
a
4
(2a
2
+ ˙a
2

+ a¨a)
=
6
a
3
(a + ¨a) (1.47 )
Phương trình Einstein với hằng số vũ trụ Λ = 0 hoặc rất nhỏ có
dạng:
R
ν
µ
−
1
2
δ
ν
µ
R = −8πGT
µ
ν
⇒ R
0
0
−
1
2
R = −8πGT
0
0
(1.48 )

với:
R
0
0
= g
00
R
00
=
3
a
4
(a¨a − ˙a
2
)
⇒
3
a
4
(a¨a − ˙a
2
) −
1
2
6
a
3
(a + ¨a) = −8πGT
0
0

−
3
a
4
(a
2
+ ˙a
2
) = −8πGT
0
0
3
a
4
(a
2
+ ˙a
2
) = 8πGT
0
0
(1.49 )
Ta biết rằng, vũ trụ đồng nhất và đẳng hướng nên:
T
µ
ν
= diag(ρ, −P, −P, −P ) ⇒ T
0
0
= ρ

Mặt khác, thể tích của vũ trụ thay đổi theo thời gian như a
3
nên
mật độ sẽ biến đổi:
ρ(t) =
M
2π
2
a
3
⇒ T
0
0
=
M
2π
2
a
3
24
Do đó:
3
a
4
(a
2
+ ˙a
2
) =
4GM

πa
3
3
a
(a
2
+ ˙a
2
) =
4GM
π
˙a
2
=
4GM
π
a − a
2
(1.50 )
Đặt A =
4GM
π
, phương trình trên trở thành:
˙a
2
= Aa − a
2
˙a =

Aa − a

2
da
dη
=

Aa − a
2
da =

Aa − a
2
dη
da =

(−
A
2
4
+ Aa − a
2
) +
A
2
4
dη
1

A
2
4

− (
A
2
− a)
2
da = dη (1.51 )
Đặt
A
2
− a =
A
2
cos b, (0 < b < π), ⇒ da =
A
2
(sin b)db
Tích phân trên trở thành:
A
2
(sin b)

A
2
4
−
A
2
4
cos b
db = dη

db = dη
b = η + C (1.52 )
25
Trong đó C là hằng số tùy ý. Chọn C = 0
⇒ b = η
⇒
A
2
− a =
A
2
cos η
a =
2GM
3π
(1 − cos η)
⇒ dt =
2GM
3π
(1 − cos η)dη
t =
2GM
3π
(η − sin η) (1.53)
Đặt; a
∗
=
2GM
3π
.

Vậy:
a = a
∗
(1 − cos η)
t = a
∗
(η − sin η) (1.54 )
Ta có đồ thị hình 1.1 .
1
2
3
4
5
6
ta

0.5
1.0
1.5
2.0
ata

Hình 1.1: Bán kính với độ cong dương, Λ = 0
• Độ cong âm
Trường hợp này ứng với K = −
1
a
2
. Biểu thức k hoảng cách không