Áp dụng giải tích thời gian tần số trong nghiên cứu toán tử tích phân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2





NGUYỄN THỊ NGÀ





ÁP DỤNG GIẢI TÍCH THỜI GIAN – TẦN SỐ
TRONG NGHIÊN CỨU TOÁN TỬ TÍCH PHÂN

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. Bùi Kiên Cường






HÀ NỘI, 2014

Lời cảm ơn
Tôi xin chân thành cảm ơn Phòng Sau đại học, các thầy giáo, cô giáo,
cùng toàn thể các anh chị em học viên khóa 16 chuyên ngành Toán giải
tích Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã động viên, giúp đỡ để tác giả
có điều kiện tốt nhất trong suốt quá trình hoàn thành luận văn.
Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới TS. Bùi Kiên Cường
đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi hoàn thành
luận văn này.
Hà Nội, tháng 12 năm 2014
Tác giả
Nguyễn Thị Ngà
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Bùi Kiên Cường, luận
văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Áp dụng Giải tích
thời gian - tần số trong nghiên cứu toán tử tích phân” được hoàn
thành bởi chính sự nhận thức của bản thân tác giả.
Trong suốt quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế
thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết
ơn.
Hà Nội, tháng 12 năm 2014
Tác giả
Nguyễn Thị Ngà
Mục lục
Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1. Không gian hàm khả vi vô hạn giảm nhanh và biến đổi Fourier . . 3
1.2. Biểu diễn Wigner . . . . . 9
1.3. Hàm trọng và không gian hỗn hợp chuẩn . . 9
1.4. Không gian biến điệu . . . . . . 19

1.5. Khung Gabor . . . . . . . . 26
1.6. Không gian Wiener amalgam. . . . . . . 29
1.7. Toán tử tích phân Fourier. . . 30
Chương 2. Áp dụng giải tích thời gian - tần số trong nghiên cứu toán tử
tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.1. Hầu chéo hóa toán tử tích phân đối với khung Gabor. . . . . 32
2.2. Tính liên tục của toán tử tích phân trên không gian biến điệu . . 37
2.2.1. Tính liên tục của toán tử tích phân trên M
p
µ
. . . 37
2.2.2. Tính liên tục của toán tử tích phân trên không gian biến điệu M
p,q
. . 41
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
i
Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Toán tử tích phân (FIO) là một công cụ toán học để nghiên cứu rộng
rãi các bài toán sinh ra trong phương trình đạo hàm riêng. Nguồn gốc
của lý thuyết toán tử tích phân là do Peter Lax giới thiệu năm 1957
khi nghiên cứu xây dựng hầu khả nghịch của bài toán Cauchy đối với
phương trình hyperbol, sau đó các nhà toán học đã sử dụng rộng rãi mô
hình này để biểu diễn nghiệm của bài toán Cauchy, trong cả toán học lý
thuyết và toán ứng dụng. Đặc biệt, Helffer và Robert đã ứng dụng toán
tử tích phân để nghiên cứu tính chất phổ của một lớp toán tử elliptic
toàn cục.
Những năm gần đây, nhờ có sự phát triển của lý thuyết giải tích thời
gian - tần số mà một số lớp toán tử tích phân được giải hầu chéo hóa
và nghiên cứu trong khung cảnh của không gian biến điệu.

Với mong muốn hiểu biết sâu hơn về giải tích thời gian - tần số và
toán tử tích phân, những nghiên cứu mới về giải toán tử tích phân trong
không gian biến điệu, dưới sự hướng dẫn của TS. Bùi Kiên Cường, tôi
lựa chọn đề tài “Áp dụng Giải tích thời gian - tần số trong nghiên
cứu toán tử tích phân” làm luận văn tốt nghiệp của mình.
1
2. Mục đích nghiên cứu
+ Nắm được những khái niệm cơ bản, những tính chất của giải tích
thời gian - tần số và toán tử tích phân trong không gian biến điệu.
+ Hệ thống hóa những ứng dụng của giải tích thời gian - tần số trong
nghiên cứu giải phương trình tích phân.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Trình bày tổng quan về giải tích thời gian - tần số, không gian biến
điệu và ứng dụng vào toán tử tích phân,
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
+ Đối tượng nghiên cứu: giải tích thời gian - tần số, toán tử tích
phân.
+ Phạm vi nghiên cứu: Các bài báo và các tài liệu trong và ngoài
nước liên quan đến đối tượng nghiên cứu.
5. Phương pháp nghiên cứu
+ Sử dụng các kiến thức và phương pháp của giải tích hàm để tiếp
cận vấn đề.
+ Thu thập và nghiên cứu các tài liệu có liên quan, đặc biệt là các
bài báo mới trong và ngoài nước về vấn đề mà luận văn đề cập đến.
6. Đóng góp của đề tài
Luận văn là một tài liệu tổng quan về lĩnh vực nghiên cứu của đề tài.
2
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này tôi sẽ sử dụng một số ký hiệu và khái niệm sau:

1.1. Không gian hàm khả vi vô hạn giảm nhanh và
biến đổi Fourier
Ta ký hiệu |t|
2
= t · t, với t ∈ R
d
và xy = x · y là tích vô hướng trên
R
d
. Với α = (α
1
, α
2
, , α
d
) , β = (β
1
, β
2
, , β
d
) ∈ Z
d
+
, ta nhắc lại ký hiệu
D
α
và X
β
đối với phép lấy vi phân và phép nhân toán tử

D
α
f =
d

j=1
∂
α
j
t
j
f và X
β
f(t) =
d

j=1
t
β
j
j
f(t),
trong đó t = (t
1
, t
2
, , t
d
). Ta viết dx ∧ dξ =
d


j=1
dx
j
∧ dξ
j
đối với 2-dạng
đối ngẫu.
Định nghĩa 1.1. Không gian các hàm giảm nhanh, ký hiệu là S

R
d

là tập hợp
S

R
d

=

ϕ ∈ C
∞

R
d






X
α
D
β
ϕ (x)


≤ c
α,β
, ∀x ∈ R
d
, ∀α, β ∈ Z
d
+

với khái niệm hội tụ được định nghĩa như sau:
Dãy {ϕ
k
}
∞
k=1
trong S

R
d

được gọi là hội tụ đến ϕ ∈ S

R

d

nếu
lim
k→∞
sup
x∈R
n


X
α
D
β
ϕ
k
(x) − X
α
D
β
ϕ (x)


= 0, ∀α, β ∈ Z
d
+
.
3
Ký hiệu S_ lim
k→∞

ϕ
k
= ϕ.
Định lý 1.1. Không gian S

R
d

là đầy đủ.
Định nghĩa 1.2. Không gian các hàm suy rộng tăng chậm, ký hiệu bởi
S


R
d

là không gian đối ngẫu của S(R
d
), tức là không gian tất cả các
phiếm hàm tuyến tính liên tục trên S

R
d

với tô pô yếu
∗
.
Với f ∈ S



R
d

, ϕ ∈ S(R
d
), ta viết (f, ϕ) thay cho f(ϕ) khi nói đến
giá trị của phiếm hàm f tại ϕ.
Định nghĩa 1.3. Dãy {u
k
}
∞
k=1
trong S

(R
d
) được gọi là hội tụ về 0 trong
S

(R
d
) nếu
u
k
(ϕ) → 0 khi k → ∞, với mọi ϕ ∈ S(R
d
).
Khi đó ký hiệu u
k
→ 0.

Định lý 1.2. Không gian S


R
d

là đầy đủ.
Chúng ta sử dụng dấu ngoặc f, g để ký hiệu mở rộng của tích vô
hướng f, g =

f(t)
g(t)dt trên L
2

R
d

lên S

R
d

× S


R
d

.
Định nghĩa 1.4. Biến đổi Fourier chuẩn hóa của hàm f ∈ S(R

d
) được
định nghĩa bởi
ˆ
f(η) = Ff(η) =

f(t)e
−2πitη
dt. (1.1)
Nhận xét 1.1.
1. Từ (1.1) ta suy ra



ˆ
f



∞
≤ f
1
.
2. Ta dùng ký hiệu F(f) để nhấn mạnh rằng phép biến đổi Fourier là
một toán tử tuyến tính tác động trên một không gian hàm.
4
3. Nếu f là một tín hiệu, đối với một kĩ sư ω là một tần số và
ˆ
f (ω)
được hiểu là biên độ của tần số ω của tín hiệu f. Trong vật lý, ω là biến

động lượng và



ˆ
f(ω)



2
/



ˆ
f



2
2
là mật độ xác suất của động lượng. Do đó



ˆ
f




−2
2

I



ˆ
f (ω)



2
dω là xác suất của chất điểm trong trạng thái f có động
lượng của nó trong miền I ⊂ R
d
.
Bổ đề 1.1. (Riemann - Lebesgue) Nếu f ∈ L
1

R
d

thì
ˆ
f liên tục đều
và lim
|ω|→∞




ˆ
f (ω)



= 0.
Ký hiệu C
0

R
d

là không gian Banach của các hàm liên tục triệt tiêu
tại vô hạn. Khi đó Bổ đề Riemann - Lebesgue diễn đạt tính chất ánh xạ
của biến đổi Fourier như sau
F : L
1

R
d

→ C
0

R
d

.
Nếu bỏ đi điều kiện mà biến đổi Fourier được định nghĩa theo từng điểm

bởi công thức (1.1), chúng ta có thể thác triển nó lên các không gian
hàm khác. Kết quả cơ bản là Định lý Plancherel mà chúng ta sẽ nghiên
cứu sau đây.
Định lý 1.3. (Plancherel) Cho f ∈ L
1
∩ L
2
(R
d
). Khi đó
f
2
=



ˆ
f



2
.
Biến đổi F mở rộng thành toán tử unita trên L
2
(R
d
) và thoả mãn công
thức Paseval
f, g =


ˆ
f, ˆg

.
Định nghĩa 1.5. Cho f ∈ L
1

R
d

. Biến đổi Fourier ngược của hàm f,
5
ký hiệu F
−1
(f) được định nghĩa bởi
F
−1
(f) (x) =

R
d
f (ω) e
2πixω
dω, ∀x ∈ R
d
. (1.2)
Từ định nghĩa trên ta có F
−1
(f) =


ˆ
f với

f(x) = f(−x).
Định lý 1.4. Nếu f ∈ L
1

R
d

và
ˆ
f ∈ L
1

R
d

thì
f (x) =

R
d
ˆ
f (ω) e
2πixω
dω, ∀x ∈ R
d
nghĩa là F

−1
và F là các toán tử ngược của nhau.
Định nghĩa 1.6. Cho f ∈ S


R
d

. Biến đổi Fourier của hàm suy rộng
f, ký hiệu là Ff là hàm suy rộng tăng chậm xác định bởi
(Ff, ϕ) = (f, Fϕ) , ϕ ∈ S

R
d

và biến đổi Fourier ngược của hàm f, ký hiệu là F
−1
f là hàm suy rộng
tăng chậm xác định bởi

F
−1
f, ϕ

=

f, F
−1
ϕ


, ϕ ∈ S

R
d

.
Ký hiệu phép đối hợp g
∗
là g
∗
(t) = g(−t). Khi đó biến đổi Fourier
ngược là
ˇ
f(η) := F
−1
f(η) =
ˆ
f
∗
(−η)
và ta có ϕ =
ˆ
ˆϕ
∗
, ∀ϕ ∈ S(R
n
).
Phép tịnh tiến và phép biến điệu (dịch chuyển thời gian - tần số) được
định nghĩa lần lượt bởi
T

x
f(t) = f(t − x)
6
và
M
η
f(t) = e
2πiηt
f(t).
Ta có công thức
(T
x
f)
∧
= M
−x
ˆ
f, (M
η
f)
∧
= T
η
ˆ
f và M
η
T
x
= e
2πixη

T
x
M
η
.
Lấy biến đổi Fourier của đạo hàm cấp α của f ta được

D
α
f

∧
(ω) = (2πiω)
α
ˆ
f(ω) (1.3)
và


(−2πix)
α

f

∧
(ω) = D
α
ˆ
f(ω) (1.4)
hoặc viết dưới dạng toán tử FD

α
= (2πi)
|α|
X
α
F và FX
α
=

i
2π

|α|
D
α
F.
Định nghĩa 1.7. Biến đổi Fourier thời gian ngắn của một hàm suy rộng
f ∈ S


R
d

đối với một hàm cửa sổ g ∈ S

R
d

khác không được định
nghĩa bởi

V
g
f(x, η) = f, M
η
T
x
g =

R
d
f(t)g(t − x)e
−2πiηt
dt.
Biến đổi Fourier thời gian ngắn xác định trên R
d
nhiều cặp của các
không gian Banach. Chẳng hạn, nó ánh xạ L
2

R
d

× L
2

R
d

thành
L

2

R
2d

và S

R
d

× S

R
d

thành S

R
2d

. Hơn nữa, nó có thể thác
triển thành một ánh xạ từ S


R
d

× S



R
d

vào S


R
2d

.
7
Bổ đề 1.2. Nếu f, g ∈ L
2

R
d

thì V
g
f là liên tục đều trên R
2d
và
V
g
f (x, ω) = (f.T
x
g)
∧
(ω)
= f, M

ω
T
x
g
=

ˆ
f, T
ω
M
−x
ˆg

= e
−2πixω

ˆ
f.T
ω
ˆg

∧
(−x)
= e
−2πixω
V
ˆg
ˆ
f (ω, −x)
= e

−2πixω
(f ∗ M
ω
g
∗
) (x)
=

ˆ
f ∗ M
−x
ˆg
∗

(ω)
= e
−πixω

R
d
f

t +
x
2

g

t −
x

2

e
−2πitω
dt.
Định lý 1.5. Giả sử f
1
, f
2
, g
1
, g
2
∈ L
2

R
d

, khi đó V
g
j
f
j
∈ L
2

R
2d


với
j = 1, 2 và
V
g
1
f
1
, V
g
2
f
2

L
2
(R
2d
)
= f
1
, f
2
 g
1
, g
2
. (1.5)
Ta nhắc lại bất đẳng thức sau
Bổ đề 1.3. ([7], Bổ đề 11.3.3) Cho g
0

, g
1
, γ ∈ S

R
d

sao cho γ, g
1
 = 0
và f ∈ S


R
d

. Khi đó,
|V
g
0
f(x, η)| ≤
1
|γ, g
1
|
(|V
g
1
f| ∗ |V
g

0
γ|) (x, η) ,
với mọi (x, η) ∈ R
2d
.
8
1.2. Biểu diễn Wigner
Định nghĩa 1.8. Biểu diễn Wigner của một hàm f ∈ L
2

R
d

, ký hiệu
là Wigf và xác định bởi
Wigf(x, w) =

R
d
f

x +
t
2

f

x −
t
2


e
−2πiwt
dt. (1.6)
Biểu diễn Wigner chéo tương ứng của f, g ∈ L
2

R
d

được định nghĩa
bởi
Wig(f, g)(x, w) =

R
d
f

x +
t
2

g

x −
t
2

e
−2πiwt

dt. (1.7)
Phân phối Wigner chéo là một biến đổi Fourier thời gian ngắn ở dạng
ẩn.
1.3. Hàm trọng và không gian hỗn hợp chuẩn
Trong mục này chúng ta tìm hiểu về không gian hỗn hợp chuẩn
(mixed-norm spaces) một lớp mở rộng của các không gian L
p
(R
d
) và
là nền tảng để xây dựng không gian hỗn hợp chuẩn có trọng.
Định nghĩa 1.9. Cho 1 ≤ p, q < ∞, không gian hỗn hợp chuẩn, ký hiệu
L
p,q
là tập hợp tất cả các hàm F (x, ω) đo được Lebesgue trên R
2d
sao
cho
F 
L
p,q
=


R
d


R
d

|F (x, ω)|
p
dx

q
p
dω

1
q
< ∞.
Trong trường hợp p = ∞ hoặc q = ∞ thì chuẩn trên được thay thể bởi
chuẩn cốt yếu, nghĩa là ta có
F 
L
∞,q
=


R
d

esssup
x∈R
d
|F (x, ω)|

q
dω


1
q
9
và
F 
L
p,∞
= esssup
ω∈R
d


R
d
|F (x, ω)|
p
dx

1
p
.
Mệnh đề 1.1. Không gian L
p,q
với 1 ≤ p, q ≤ ∞ với chuẩn được định
nghĩa trong Định nghĩa 1.9 là không gian định chuẩn.
Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh với mọi F, G ∈ L
p,q
thì
F + G
L

p,q
≤ F 
L
p,q
+ G
L
p,q
.
Thật vậy, với p, q < ∞ chúng ta có
F + G
L
p,q
=


R
d


R
d
|F + G|
p
dx

q
p
dω

1

q
≤


R
d



R
d
|F |
p
dx

1/p
+


R
d
|G|
p
dx

1/p

q
dω


1/q
≤


R
d


R
d
|F |
p
dx

q/p
dω

1/q
+


R
d


R
d
|G|
p
dx


q/p
dω

1/q
= F 
L
p,q
+ G
L
p,q
.
Với p = ∞ hoặc q = ∞ tương tự chúng ta cũng có
F + G
L
∞,q
≤ F 
L
∞,q
+ G
L
∞,q
và
F + G
L
p,∞
≤ F 
L
p,∞
+ G

L
p,∞
.
Vậy L
p,q
là không gian định chuẩn.
Mệnh đề được chứng minh. 
Hơn thế nữa, chúng ta còn có:
10
Mệnh đề 1.2. Với mọi 1 ≤ p, q < ∞ thì L
p,q
(R
2d
) là không gian Banach.
Mệnh đề được chứng minh tương tự như chứng minh L
p
(R
d
) là không
gian Banach.
Định nghĩa 1.10. [Hàm trọng] Hàm trọng là một hàm khả tích địa
phương và không âm trên R
2d
.
Định nghĩa 1.11. Một hàm trọng v trên R
2d
được gọi là dưới tính nhân
(submultiplicative), nếu
v(z
1

+ z
2
) ≤ v(z
1
)v(z
2
) với mọi z
1
, z
2
∈ R
2d
. (1.8)
Một hàm trọng m trên R
2d
được gọi là v-ôn hòa (v-moderate) nếu
tồn tại hằng số C > 0 sao cho
m(z
1
+ z
2
) ≤ Cv(z
1
)m(z
2
) với mọi z
1
, z
2
∈ R

2d
. (1.9)
Hai hàm trọng m
1
, m
2
được gọi là tương đương và viết là m
1
 m
2
nếu có hằng số C > 0 sao cho
C
−1
m
1
(z) ≤ m
2
(z) ≤ Cm
1
(z) với mọi z ∈ R
2d
. (1.10)
Chú ý:
1. Từ đây về sau, chúng ta gọi v là một hàm trọng dưới tính nhân và m
là hàm trọng v-ôn hòa. Từ (1.8) ta có v(0) ≥ 1 vì v(0 + 0) ≤ v
2
(0).
2. Trong luận văn này giả thiết rằng v(x, ω) thỏa mãn
v(x, ω) = v(−x, ω) = v(x, −ω) = v(−x, −ω).
11

3. Nếu v là một hàm trọng dưới tính nhân bất kì và ψ ≥ 0 là hàm số
liên tục có giá compact thì v ∗ ψ là liên tục và tương đương với v.
Hơn nữa trọng
v(x, ω) = max{v(x, ω), v(−x, ω), v(x, −ω), v(−x, −ω)}
là đối xứng.
4. Xét hàm x =

1 + |x|
2

1/2
và lũy thừa của nó là x
s
, s ∈ R.
Ta có
x
|x|
→ 1, |x| → ∞. Chúng ta chú ý rằng với m ∈ N
∗
x
2m
=

1 + x
2
1
+ x
2
2
+ + x

2
n

m
=

|α|≤m
C
m,α
x
2α







≤ C
m

|α|≤m
x
2α
≥

|α|≤m
x
2α
với các số nguyên dương C

m,α
và C
m
, và với C
m,α
=
m!
α!(m−|α|)!
.
Ví dụ 1.1. Lớp của những hàm trọng thông thường trên R
2d
là những
hàm trọng của đa thức có dạng
v
s
(z) = (1 + |z|)
s
=


1 +

2n

=1
z
2
j

1

2


s
=

1 +

x
2
+ ω
2

1
2

s
(1.11)
với mọi z = (x, ω) ∈ R
2d
; s ≥ 0.
Chúng ta thấy rằng v
s
(z) là tương đương với những trọng
(1 + |x| + |ω|)
s
và

1 + |z|
2


s
2
=

1 + x
2
+ ω
2

s
2
.
Ví dụ 1.2. Hàm trọng mũ kiểu
v(z) = e
α|z|
β
với α > 0 và 0 ≤ β < 1.
12
Ví dụ 1.3. Những hàm trọng chỉ phụ thuộc vào thời gian hoặc chỉ phụ
thuộc vào tần số kiểu
m(x, ω) = (1 + |x|)
s
hoặc m(x, ω) = (1 + |ω|)
s
.
Bổ đề 1.4. a) Nếu m là một v-ôn hòa, thì ta có
1
C
m(z)

v(t)
≤ m(z − t) ≤ Cv(t)m(z).
Đặc biệt,
1
Cv(z)
≤ m(z) ≤ Cv(z) và với mọi z ∈ l + [0, 1]
2n
và l ∈ R
2n
1
C

m(l) ≤ m(z) ≤ C

m(l). (1.12)
b) Những trọng đa thức v
s
là dưới tính nhân và 0 ≤ t ≤ s thì cả v
t
và
v
−1
t
là v
s
-ôn hòa.
c) Nếu s > 2d, thì

1
v

s
∗
1
v
s

(z) ≤ C
s
1
v
s
(z). (1.13)
Chứng minh. a) Từ m(z−t) ≤ Cv(t)m(z) thì m(z−t+t) ≤ Cv(t)m(z−
t) và Định nghĩa 1.11, viết z = l + z

với z

∈ [0, 1]
2n
, chúng ta có
m(z

+ l) ≤ Cm(l)v(z

) và m(l) ≤ Cm(l + z

).v(z

).
Chúng ta chọn hằng số C


là C

= C max
z

∈[0,1]
2n
v(z

).
b) Vì 1 + |z
1
+ z
2
| ≤ (1 + |z
1
|) + (1 + |z
2
|) nên với 0 ≤ t ≤ s,
v
t
(z
1
+ z
2
) ≤ v
(
z
1

)v
t
(z
2
) ≤ v
s
(z
1
)v
s
(z
2
). (1.14)
Đặt z
2
= w
1
+ w
2
và z
1
= −w
1
trong (1.14) thì
v
t
(w
1
+ w
2

)
−1
≤ v
s
(w
1
)v
t
(w
2
)
−1
.
13
c) Chúng ta cần chứng minh rằng

R
2d
(1 + |t|)
−s
(1 + |x − t|)
−s
dt ≤ C
s
(1 + |x|)
−s
. (1.15)
Mà x ∈ R
2d
, chia R

2d
thành những miền
N
x
= {t : |t − x| ≤
|x|
2
} và N
c
x
= {t : |t − x| >
|x|
2
}.
Nếu t ∈ N
x
thì |t| ≤
|x|
2
và do (1 + |t|)
−s
≤ (1 +
|x|
2
)
−s
≤ 2
s
(1 + |x|)
−s

nên

N
x
(1 + |t|)
−s
(1 + |x − t|)
−s
dt ≤ 2
s
(1 + |x|)
−s

N
x
(1 + |x − t|)
−s
dt.
Tương tự, với t ∈ N
c
x
chúng ta có (1 + |t − x|)
−s
≤ (1 +
|x|
2
)
−s
và


N
c
x
(1 + |t|)
−s
(1 + |x − t|)
−s
dt ≤ 2
s
(1 + |x|)
−s

N
c
x
(1 + |x − t|)
−s
dt.
Nếu s > 2d thì tích phân hội tụ và hằng số C
s
= 2
s+1

(1 + |t|)
−s
dt.
Vậy định lý được chứng minh. 
Định nghĩa 1.12. Cho m là một hàm trọng trên R
2d
và 1 ≤ p, q < ∞.

Không gian hỗn hợp chuẩn có trọng L
p,q
m
(R
2d
) gồm tất cả những hàm đo
được (Lebesgue) trên R
2d
, sao cho chuẩn
F 
L
p,q
m
=


R
d


R
d
|F (x, ω)|
p
m(x, ω)
p
dx

q
p

dω

1
q
là hữu hạn.
Nếu p = ∞ hoặc q = ∞, thì các chuẩn tương ứng là
F 
L
∞,p
m
=


R
d
esssup
x∈R
d
|F (x, ω)|m(x, ω)
p
dx

1
p
và
F 
L
p,∞
m
= esssup

x∈R
d


R
d
|F (x, ω)|
p
m(x, ω)
q
dx

1
p
.
14
Vậy L
p,q
m
xác định bởi không gian định chuẩn L
p
theo x, và một L
q
theo
ω. Vì hàm ω → F (., ω)m(., ω) lấy giá trị trong L
q
nên không gian L
p,q
m
có thể xem như một không gian L

q
với các phần tử thuộc L
p
.
Nếu p = q, thì L
p,q
m
= L
p
m
là không gian L
p
có trọng thông thường. Hơn
nữa, L
∞
m
(R
2d
) bao gồm tất cả những hàm f (đo được) thỏa mãn
esssup |f(z)|m(z) ≤ C hay |f(z)| ≤ Cm(z)
−1
, x ∈ R
2d
. (1.16)
Theo định nghĩa về chuẩn của toán tử, ta có f
L
∞
m
= sup C với mọi C
thỏa mãn (1.16). Mệnh đề sau đây cho thấy không gian L

p,q
m
cũng có các
tính chất tương tự như L
p
.
Mệnh đề 1.3. Giả sử m là v-ôn hòa và 1 ≤ p, q ≤ ∞ thì
a) L
p,q
m
(R
2d
) là một không gian Banach.
b) L
p,q
m
là bất biến qua phép tịnh tiến T
z
, z ∈ R
2d
, và với mọi F ∈ L
p,q
m
ta có
T
z
F 
L
p,q
m

≤ Cv(z) F  f
L
p,q
m
. (1.17)
c) Bất đẳng thức H¨older:
Nếu F ∈ L
p,q
m
(R
2d
), H ∈ L
p

,q

1/m
(R
2d
) với
1
p
+
1
p

= 1 thì F.H ∈ L
1
(R
2d

) và





R
2d
F (z)H(z)dz




≤ F 
L
p,q
m
H
L
p

,q

1/m
. (1.18)
d) Tính đối ngẫu: Nếu p, q < ∞, thì (L
p,q
m
)
∗

= L
p

,q

1
m
với phép toán
F, H =

R
2d
F (z)H(z)dz với F ∈ L
p,q
m
và H ∈ L
p

,q

1/m
.
Chứng minh. a) Trước hết bằng cách chứng minh tương tự như trong
Mệnh đề 1.1 ta cũng có L
p,q
m
là không gian định chuẩn. Ta sẽ chứng minh
L
p,q
m

là không gian Banach. Giả sử {F
k
}, k = 1, 2, . . . là dãy Cauchy trong
15
L
p,q
m
. Khi đó dãy {mF
k
}, k = 1, 2, . . . là dãy Cauchy trong L
p,q
. Do L
p,q
là không gian Banach nên tồn tại hàm G ∈ L
p,q
sao cho lim
k→∞
mF
k
= G
trong L
p,q
. Đặt F (z) =
G(z)
m(z)
thì F ∈ L
p,q
m
. Hơn nữa
F

k
− F
L
p,q
m
= mF
k
− mF
L
p,q
= mF
k
− G
L
p,q
→ 0 khi k → ∞.
Do đó F
k
→ F trong L
p,q
m
khi k → ∞ hay L
p,q
m
là không gian Banach.
b) Với z = (u, η), thì
T
z
F 
L

p,q
m
=


R
d


R
d
|F (x − u, ω − η)|
p
m(x, ω)
p
dx

q
p
dω

1
q
=


R
d



R
d
|F (x, ω)|
p
m(x + u, ω + η)
p
dx

q
p
dω

1
q
≤ C


R
d


R
d
|F (x, ω)|
p
v(u, η)
p
m(x, ω)
p
dx


q
p
dω

1
q
= Cv(z) F 
L
p,q
m
.
c) Ta có





R
2d
F (z)H(z)dz




≤

R
2d





m(x, ω)F (x, ω).
1
m(x, ω)
H(x, ω)




dxdω.
16
Áp dụng bất đẳng thức H¨older trong L
p
ta có:

R
d


R
d
|m(x, ω)F (x, ω).
1
m(x, ω)
G(x, ω)|dx

dω
≤


R
d


R
d
m
p
(x, ω)|F (x, ω)|
p
dx

1/p


R
d
1
m
p
(x, ω)
|G(x, ω)|
p

dx

1/p

dω

≤


R
d


R
d
m
p
(x, ω)|F (x, ω)|
p
dx

q/p
dω

1/q
.
.


R
d


R
d
m

p

(x, ω)|F (x, ω)|
p

dx

q

/p

dω

1/q

= F 
L
p,q
m
. G
L
p

,q

1/m
d) Với mọi H ∈ L
p

,q


1/m
thì L
H
xác định bởi
L
H
: L
p,q
m
→ C
F → L
H
(F ) =

R
2d
F (z)G(z)dz
là một phiếm hàm tuyến tính xác định trên L
p,q
m
. Điều này có được từ
(1.18). Ngược lại, giả sử L là một phiếm hàm tuyến tính tùy ý xác định
trên L
p,q
m
, nghĩa là L ∈ (L
p,q
m
)

∗
Bằng cách chứng minh tương tự như trong
không gian L
p
ta cũng suy ra tồn tại G ∈ L
p

,q

1/m
sao cho
L(F ) =

R
2d
F (z)G(z)dz.
Vậy chứng tỏ (L
p,q
m
)
∗
= L
p

,q

1/m
. Mệnh đề được chứng minh. 
Mở rộng quan hệ tích chập sau L
1

∗ L
p
⊆ L
p
cho những không gian
hỗn hợp chuẩn và sẽ được sử dụng thường xuyên.
Mệnh đề 1.4. a) Nếu m là v-ôn hòa, F ∈ L
1
v
(R
2d
) và G ∈ L
p,q
m
(R
2d
) thì
F ∗ G
L
p,q
m
≤ C F 
L
1
v
G
L
p,q
m
. (1.19)

17
nghĩa là, L
1
v
∗ L
p,q
m
⊆ L
p,q
m
.
b) Nếu s > 2d thì L
∞
v
s
∗ L
∞
v
s
⊆ L
∞
v
s
và
F ∗ G
L
∞
v
s
≤ C

s
F 
L
∞
v
s
G
L
∞
v
s
. (1.20)
Chứng minh. a) Giả sử H ∈ L
p

,q

1/p
(R
2d
). Ta có



F (w)G(Z − w)
H(z)



∈ L

1
(R
2d
× R
2d
),
nên theo Định lý Fubini
|F ∗ G, H| =





R
2d

R
2d
F (w)G(z − w)H(z)dwdz




≤

R
2d
|F (w)| (

R

2d
|T
w
G(z)| |H(z)| dz)dw theo(1.18)
≤

R
2d
|F (w)|T
w
G
L
p,q
m
H
p

,q

1/m
dw
≤ C

R
2d
|F (w)|v(w)dwT wG
L
p,q
m
H

p

,q

1/m
.
Theo tính đối ngẫu, ta có
F ∗ G
L
p,q
m
= sup
H
p

,q

L
1/m
≤1
| < F ∗ G, H > | ≤ C F 
L
1
v
G
L
p,q
m
và (1.19) được chứng minh.
b) Giả sử rằng F, G ∈ L

∞
v
s
(R
2d
). Khi đó
|F (z)| ≤ F 
L
∞
v
s
(1 + |z|)
−s
và |G(z)| ≤ G
L
∞
v
s
(1 + |z|)
−s
,
suy ra
|F ∗ G(z)| ≤ F v
s

∞
Gv
s
 |
∞


R
2d
(1 + |w|)
−s
(1 + |z − w|)
−s
≤ C
s
F v
s

∞
Gv
s

∞
(1 + |z|)
−s
theo (1.13).
Do đó F ∗ G ∈ L
∞
v
s
(R
2d
) và (1.20) được chứng minh.
Mệnh đề được chứng minh. 
18
Định nghĩa 1.13. Không gian l

p,q
µ
= l
q
l
p
µ
, với trọng m, là không gian
Banach của các dãy {a
m,n
}
m,n
, sao cho
a
m,n

l
p,q
m
:=



n


m
|a
m,n
|

p
m(m, n)
p

q/p


1/p
< ∞.
Khi p = ∞ hoặc q = ∞ thì chuẩn được chuyển thành cận trên đúng.
Ta ký hiệu c
0
là không gian các dãy triệt tiêu tại vô cùng.
Trong luận văn này, chúng tôi sử dụng ký hiệu A  B để chỉ A ≤ cB
với một hằng số c > 0 thích hợp và ký hiệu A  B nếu c
−1
B ≤ A ≤ cB
với c > 0 thích hợp.
1.4. Không gian biến điệu
Cố định một hàm Schwartz g = 0 và xét biến đổi Fourier thời gian
ngắn V
g
f của hàm f ∈ S

(R
d
) đối với g
V
g
f (x, η) = f, M

η
T
x
g =

R
d
f(t)g(t − x)e
−2πiηt
dt
với một biểu diễn thời gian - tần số của f cho trước.
Không gian biến điệu M
p,q
là bao đóng của lớp Schwartz với chuẩn
f
M
p,q
= V
g
f
L
p,q
=


R
d


R

d
|V
g
f (x, η)|
p
dx

q/p
dη

1/p
.
Khi p = q ta viết đơn giản M
p,p
= M
p
.
Các chuẩn của không gian biến điệu là một độ đo của hàm suy rộng
thời gian - tần số của f ∈ S

.
19
Với sự mô tả định hướng của các tính chất, chúng ta sử dụng các hàm
trọng trên mặt phẳng thời gian - tần số. Theo đó v luôn là một hàm
số liên tục, dương, chẵn, do đó v(0) = 1, v(z) = v(−z) và v (z
1
+ z
2
) ≤
v (z

1
) v (z
2
), với mọi z, z
1
, z
2
∈ R
2d
. Một hàm trọng µ dương trên R
2d
là
thuộc M
v
, nghĩa là, µ ∈ R
2d
là v-ôn hòa nếu µ (z
1
+ s
2
) ≤ Cv (z
1
) µ (z
2
)
với mọi z
1
, z
2
∈ R

2d
.
Để nghiên cứu các toán tử tích phân Fourier, hầu hết chúng ta sử
dụng các trọng đa thức xác định bởi
v
s
(z) = v
s
(x, η) = z
s
=

1 + |x|
2
+ |η|
2

s/2
, z = (x, η) ∈ R
2d
.
Cho hàm cửa sổ g ∈ S

R
d

khác không, µ ∈ M
v
, và 1 ≤ p, q ≤ ∞.
Không gian biến điệu M

p,q
µ

R
d

bao gồm tất cả các hàm suy rộng ôn
hòa f ∈ S


R
d

thỏa mãn V
g
f ∈ L
p,q
µ

R
2d

(không gian hỗn hợp chuẩn
có trọng). Chuẩn trên M
p,q
µ
là
f
M
p,q

µ
= V
g
f
L
p,q
µ
=


R
d


R
d
|V
g
f (x, η)|
p
µ(x, η)
p
dx

q/p
dη

1/p
.
Nếu p = q, thì ta viết M

p
µ
thay cho M
p,p
µ
, và nếu µ(z) ≡ 1 trên R
2d
, thì
ta viết M
p,q
và M
p
lần lượt thay cho M
p,q
µ
và M
p,p
µ
.
Mệnh đề 1.5. Giả sử m là v-ôn hòa và γ ∈ S

R
d

. Khi đó
(a) V
∗
γ
ánh xạ L
p,q

m

R
2d

vào M
p,q
m

R
2

và thỏa mãn


V
∗
γ
F


M
p,q
m
≤ C V
g
0
γ
L
1

v
F 
L
p,q
m
. (1.21)
(b) Đặc biệt, nếu F = V
g
f thì công thức nghịch đảo
f =
1
γ, g
 
R
2d
V
g
f(x, ω)M
ω
T
x
γdωdx (1.22)
20
thỏa mãn trong M
p,q
m
. Viết gọn là I
M
p,q
m

= γ, g
−1
V
∗
γ
V
g
.
(c) M
p,q
m
xác định độc lập với hàm cửa sổ g ∈ S

R
d

. Các hàm cửa
sổ khác cho ta các chuẩn tương đương.
Chứng minh. (a) Trước tiên ta chứng tỏ rằng V
∗
γ
F ∈ S


R
d

. Với
ϕ ∈ S


R
d

và áp dụng Bổ đề 1.3(c), ta có



V
∗
γ
F, ϕ



= |F, V
γ
ϕ|
≤ F 
L
p,q
m
V
γ
ϕ
L
p

,q

1/m

(1.23)
≤ F 
L
p,q
m
(1 + |z|)
n
V
γ
ϕ
∞


(1 + |z|)
−n


L
p

,q

1/m
.
Biểu thức trên là hữu hạn với n đủ lớn. Sử dụng các nửa chuẩn tương
đương ta suy ra rằng biểu thức
V
∗
γ
F =

 
R
2d
F (x, ω)M
ω
T
x
γdxdω
xác định một hàm suy rộng ôn hòa. Do đó, V
∗
γ
F có biến đổi Fourier thời
gian ngắn xác định bởi
V
g
V
∗
γ
F (u, η) =

V
∗
γ
F, M
η
T
u
g

=

 
R
2d
F (x, ω)V
γ
(M
η
T
u
g) (x, ω)dxdω
=
 
R
2d
F (x, ω)V
g
γ (u − x, η − ω) e
−2πix(η−ω)
dxdω.
Lấy giá trị tuyệt đối đẳng thức trên, ta thu được đánh giá


V
g
V
∗
γ
F (u, η)



≤ (|F | ∗ |V
g
γ|) (u, η). (1.24)
Theo Mệnh đề 1.4 ta thu được đánh giá theo chuẩn


V
g

V
∗
γ
F



L
p,q
m
≤ C F 
L
p,q
m
V
g
γ
L
1
v
. (1.25)

21