Nghiệm suy rộng của phương trình elliptic tuyến tính cấp 2 dạng bảo toàn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2





NGUYỄN THÙY DUNG



NGHIỆM SUY RỘNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC
TUYẾN TÍNH CẤP HAI DẠNG BẢO TOÀN


Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02



LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Hà Tiến Ngoạn

HÀ NỘI, 2014
LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới
sự hướng dẫn của PGS. TS Hà Tiến Ngoạn.
Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới PGS. TS Hà Tiến
Ngoạn. Sự giúp đỡ và hướng dẫn tận tình của thầy trong suốt quá trình
làm luận văn đã giúp tác giả trưởng thành hơn rất nhiều trong cách tiếp
cận một vấn đề mới.
Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn tới Ban giám hiệu trường đại
học sư phạm Hà Nội 2, Phòng sau đại học, các thầy cô giảng dạy chuyên
ngành Toán giải tích, gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã giúp đỡ, động
viên và tạo điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình tác giả học tập và
hoàn thành bản luận văn này.
Hà Nội, tháng 12 năm 2014
Tác giả
ii
LỜI CAM ĐOAN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
dưới sự hướng dẫn của PGS. TS Hà Tiến Ngoạn.
Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học
của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 12 năm 2014
Tác giả
Mục lục
Mở đầu 1
1 Một số không gian hàm 4
1.1. Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1. Không gian L
p
(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.2. Đạo hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.3. Khái niệm không gian Sobolev . . . . . . . . . . . 5
1.2. Không gian Holder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1. Không gian C
l

Ω

. . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2. Không gian C
l,γ

Ω

với 0 ≤ γ ≤ 1 . . . . . . . . 7
1.3. Định lý nhúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4. Định lý Lax-Milgram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5. Nguyên lý loại trừ Fredholm trong không gian Hilbert . . 9
2 Nghiệm suy rộng của phương trình elliptic tuyến tính
cấp hai dạng bảo toàn 11
2.1. Sự tồn tại nghiệm suy rộng của bài toán Dirichlet . . . . 11
iii
iv
2.1.1. Định nghĩa nghiệm suy rộng . . . . . . . . . . . . 11
2.1.2. Nguyên lý cực đại yếu . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.3. Tính giải được của bài toán Dirichlet . . . . . . . 16
2.2. Tính khả vi của nghiệm suy rộng . . . . . . . . . . . . . 20
2.3. Bất đẳng thức Harnack . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.1. Bất đẳng thức Harnack yếu . . . . . . . . . . . . 24
2.3.2. Bất đẳng thức Harnack mạnh . . . . . . . . . . . 24

2.4. Tính chính quy toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5. Tính bị chặn của nghiệm suy rộng . . . . . . . . . . . . . 28
2.6. Một số đánh giá tiên nghiệm theo chuẩn Holder đối với
nghiệm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.6.1. Đánh giá đối với nghiệm . . . . . . . . . . . . . . 35
2.6.2. Đánh giá đối với đạo hàm cấp một . . . . . . . . 38
2.7. Các đánh giá trên biên của nghiệm suy rộng . . . . . . . 40
Kết luận 47
Tài liệu tham khảo 48
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong lý thuyết phương trình đạo hàm riêng elliptic tuyến tính cấp
hai, việc nghiên cứu về tính giải được của bài toán Dirichlet cho phương
trình elliptic cấp hai tổng quát là hết sức cần thiết. Đối với phương trình
cấp hai tuyến tính dạng bảo toàn có thể đưa vào lớp nghiệm suy rộng
có độ trơn tối thiểu và phù hợp với các đòi hỏi của thực tế.
Lớp nghiệm suy rộng thường được tìm trong các không gian Sobolev
thích hợp. Sau khi nghiệm suy rộng đã được chỉ ra sự tồn tại, thì các
nghiên cứu về tính chất định tính của chúng như về đánh giá độ lớn và
độ trơn của chúng là rất cần thiết. Để tìm hiểu những vấn đề đó tôi
mạnh dạn chọn đề tài cho luận văn thạc sĩ của mình là:
“Nghiệm suy rộng của phương trình elliptic tuyến tính cấp
hai dạng bảo toàn”.
Luận văn gồm hai chương. Chương 1, trình bày các không gian hàm
như không gian Sobolev, không gian Holder và một số định lý, đặc biệt
là định lý Lax-Milgram dùng để nghiên cứu bài toán. Trong chương
2, phần đầu chúng tôi mô tả khái niệm nghiệm suy rộng của bài toán
Dirichlet, trình bày Nguyên lý cực đại yếu và tính giải được của bài toán
Dirichlet. Luận văn trình bày một số tính chất định tính như tính khả vi
của nghiệm suy rộng, bất đẳng thức Harnack, tính chính quy toàn cục,

tính bị chặn của nghiệm suy rộng, cuối cùng là trình bày một số đánh
giá tiên nghiệm theo chuẩn Holder đối với nghiệm suy rộng ở bên trong
2
miền và trên biên.
Nội dung chính của luận văn được tham khảo từ chương 8 của tài liệu
[3].
2. Mục đích nghiên cứu
Trình bày lớp nghiệm suy rộng cùng với các điều kiện về sự tồn tại
và duy nhất nghiệm.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Khái niệm nghiệm suy rộng của bài toán Dirichlet.
- Tính khả vi của nghiệm suy rộng.
- Nguyên lý cực đại yếu.
- Các tính chất định tính của nghiệm suy rộng.
- Các đánh giá tiên nghiệm đối với nghiệm suy rộng.
- Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Dirichlet.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Loại phương trình elliptic tuyến tính cấp hai dạng bảo toàn.
3
5. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lý thuyết, thu thập tài liệu, đọc và phân tích, tổng hợp
để được nghiên cứu tổng quan về lớp nghiệm suy rộng của phương trình
elliptic tuyến tính cấp hai dạng bảo toàn.
6. Những đóng góp mới của đề tài
Luận văn là tài liệu tham khảo về chuyên đề này.
Chương 1
Một số không gian hàm
1.1. Không gian Sobolev
1.1.1. Không gian L
p

(Ω)
Giả sử Ω ⊂ R
n
là miền bị chặn với biên ∂Ω.
L
p
(Ω) là không gian các hàm u(x) = u(x
1
, x
2
, , x
n
), 1 ≤ p < +∞ sao
cho
u (x)
p
L
p
(Ω)
=

Ω
|u(x)|
p
dx < +∞.
Không gian L
p
(Ω) với chuẩn trong L
p
(Ω) là không gian Banach.

Khi p = 2 :
u (x)
2
L
2
(Ω)
=

Ω
|u (x)|
2
dx.
Chuẩn trong L
2
(Ω) được sinh bởi tích vô hướng
(u (x) , v (x))
L
2
(Ω)
=

Ω
u (x) v (x)dx
4
5
và do đó L
2
(Ω) là không gian Hilbert.
Khi p = ∞ ta định nghĩa L
∞

(Ω) gồm các hàm u(x) sao cho
u (x)
L
∞
(Ω)
= ess sup
x∈Ω
|u (x)| < +∞.
1.1.2. Đạo hàm suy rộng
Giả sử u, v ∈ L
1
loc
(Ω) và α là một đa chỉ số. Ta nói rằng v là đạo hàm
suy rộng cấp α của u nếu

Ω
uD
α
φdx = (−1)
|α|

Ω
vφdx
đúng với mọi hàm thử φ ∈ C
∞
o
(Ω). Kí hiệu D
α
u = v.
Trong trường hợp Ω = (a, b) ⊂ R, nếu u(x) có đạo hàm suy rộng

u

(x) = v(x) ∈ L
1
loc
(a, b) thì ta nói u(x) là khả vi yếu trên (a, b).
1.1.3. Khái niệm không gian Sobolev
Với k ∈ N, 1 ≤ p ≤ +∞, không gian W
k,p
(Ω) là không gian bao gồm
tất cả các hàm u (x) ∈ L
p
(Ω) có các đạo hàm suy rộng D
α
u (x) ∈ L
p
(Ω),
với mọi α, sao cho
|α| ≤ k, α = (α
1
, , α
n
) , |α| = α
1
+ + α
n
,
D
α
= D

α
1
1
D
α
n
n
, D
j
=
∂
∂x
j
, α
j
∈ N,
tức là
W
k,p
(Ω) = {u ∈ L
p
(Ω) ; D
α
u ∈ L
p
(Ω) , ∀ |α| ≤ k} .
6
Không gian W
k,p
(Ω) là không gian Banach khi được trang bị chuẩn sau

đây
u
k,p;Ω
= u
W
k,p
(Ω)
=



Ω

|α|≤k
|D
α
u|
p
dx


1/p
. (1.1)
Ta viết u
k,p
thay cho u
k,p;Ω
. Ta có thể xét chuẩn tương đương sau
u
W

k,p
(Ω)
=

|α|≤k
D
α
u
p
. (1.2)
Khi p = 2 người ta thường kí hiệu
H
k
(Ω) = W
k,2
(Ω) ,
H
k
0
(Ω) = W
k,2
0
(Ω) ,
trong đó W
k,p
0
(Ω) là một bao đóng của không gian C
∞
0
(Ω) theo chuẩn

của W
k,p
(Ω).
1.2. Không gian Holder
1.2.1. Không gian C
l

Ω

Cho Ω là miền bị chặn trong R
n
, Ω là bao đóng của nó.
Ta kí hiệu C

Ω

= C
0

Ω

là không gian các hàm số liên tục trên Ω với
chuẩn
u
C
(
Ω
)
= u
0,Ω

= sup
x∈Ω
|u (x)| . (1.3)
Ta cũng định nghĩa được C
l

Ω

như sau
C
l

Ω

=

u (x) ; D
α
u ∈ C
0

Ω

, ∀α : |α| ≤ l

và trang bị chuẩn cho C
l
(Ω) như sau
u
C

l
(
Ω
)
= u
l,Ω
=

|α|≤l
sup
Ω
|D
α
u (x)|. (1.4)
7
Các không gian C
l
(Ω) với chuẩn (1, 4) là không gian Banach.
1.2.2. Không gian C
l,γ

Ω

với 0 ≤ γ ≤ 1
Trước tiên ta định nghĩa không gian C
0,γ

Ω

như sau

C
0,γ

Ω

=





u ∈ C
0

Ω

; [u]
γ,Ω
= sup
x,y∈Ω
x=y
|u (x) − u (y)|
|x − y|
γ
< +∞






,
và trang bị chuẩn cho C
0,γ
(
¯
Ω) như sau
u
γ,Ω
= u
0,Ω
+ [u]
γ,Ω
. (1.5)
Với l ∈ N, 0 ≤ γ ≤ 1 ta định nghĩa của không gian C
l,γ

Ω

bởi điều
kiện
C
l,γ

Ω

=

u ∈ C
l


Ω

; [D
α
u]
γ,Ω
< +∞, ∀ |α| = l

,
và trang bị chuẩn sau cho C
l,γ
(Ω)
u
l,γ,Ω
= u
l,Ω
+

|α|=l
[D
α
u]
γ,Ω
. (1.6)
Các không gian C
l,γ

Ω

là không gian Banach. Ta có C

l,0

Ω

= C
l

Ω

và C
0,1

Ω

là không gian các hàm thỏa mãn điều kiện Lipschitz.
1.3. Định lý nhúng
Một không gian Banach B
1
được gọi là nhúng liên tục vào không gian
Banach B
2
, ký hiệu B
1
→ B
2
, nếu tồn tại một đơn ánh tuyến tính liên
tục B
1
→ B
2

. Phép nhúng liên tục từ B
1
→ B
2
được gọi là phép nhúng
compact nếu ảnh mọi tập bị chặn là tiền compact.
8
Định lý 1.1. [3] Ta có phép nhúng liên tục sau
W
1,p
0
(Ω) ⊂



L
np/(n−p)
(Ω)
C
0

Ω

với p < n
với p > n,
hơn nữa, tồn tại một hằng số dương C = C (n, p) mà chỉ phụ thuộc vào
n và p sao cho với mọi u ∈ W
1,p
0
(Ω), ta có

u
np/(n−p)
≤ CDu
p
với p < n,
sup |u|
Ω
≤ C|Ω|
1/n−1/p
Du
p
với p > n.
(1.7)
Định lý 1.2. [3] Các phép nhúng sau là liên tục
W
k,p
0
(Ω) → L
np/(n−kp)
(Ω) nếu kp < n,
W
k,p
0
(Ω) → C
m

Ω

nếu 0 ≤ m < k −
n

p
,
trong đó không gian W
k,p
0
(Ω) ta đưa vào chuẩn tương đương sau đây
u
W
k,p
0
(Ω)
=



Ω

|α|=k
|D
α
u|
p
dx


1/p
. (1.8)
Nhận xét 1.1. Các phép nhúng liên tục trong Định lý 1.1, Định lý 1.2
còn là phép nhúng compact.
1.4. Định lý Lax-Milgram

Dạng song tuyến tính B(x, y) trong không gian Hilbert H được gọi
là bị chặn nếu tồn tại một hằng số K sao cho
|B (x, y)| ≤ K x y , ∀x, y ∈ H (1.9)
và được gọi là bức nếu tồn tại một số ν > 0 sao cho
B (x, x) ≥ νx
2
, ∀x ∈ H. (1.10)
9
Định lý 1.3. [3] Giả sử B là một dạng song tuyến tính bị chặn và
bức trên không gian H. Khi đó với mọi phiếm hàm tuyến tính bị chặn
F ∈ H
∗
, luôn tồn tại duy nhất một phần tử f ∈ H sao cho
B (x, f) = F (x) , ∀x ∈ H.
Chứng minh. Tồn tại ánh xạ tuyến tính T : H → H định nghĩa bởi
B (x, f) = (x, T f) , ∀x ∈ H. Hơn nữa T f ≤ K f bởi (1.9), nên T bị
chặn. Từ (1.10) ta thu được νf
2
≤ B (f, f) = (f, Tf) ≤ f Tf ,
nên ν f ≤ T f ≤ K f với ∀f ∈ H. Đánh giá này chỉ ra rằng T là
một đối một và T
−1
là bị chặn. Giả sử rằng T (H) = H. Khi đó tồn tại
một phần tử z = 0 thỏa mãn (z, T f) = 0 với ∀f ∈ H. Chọn f = z, ta thu
được (z, T z) = B (z, z) = 0, kéo theo z = 0 bởi (1.10). Hệ quả T
−1
là ánh
xạ tuyến tính bị chặn trong H. Ta có F (x) = (x, g) = B

x, T

−1
g

với
∀x ∈ H và duy nhất g ∈ H, kết quả được chứng minh với f = T
−1
g.
1.5. Nguyên lý loại trừ Fredholm trong không gian
Hilbert
Định lý 1.4. [3] Giả sử H là không gian Hilbert và T là ánh xạ compact
của H vào chính nó. Khi đó tồn tại một tập Λ ⊂ R vô hạn đếm được trừ
điểm λ = 0, do đó nếu λ = 0, λ /∈ Λ thì phương trình
λx − T x = y, λx − T
∗
x = y
có duy nhất x ∈ H với mọi y ∈ H, và ánh xạ ngược (λI − T )
−1
, (λI − T
∗
)
−1
là bị chặn. Nếu λ ∈ Λ, thì hạch của các ánh xạ (λI − T ), (λI − T
∗
) có
số chiều dương hữu hạn và phương trình λx − T x = y, λx − T
∗
x = y là
10
giải được khi và chỉ khi y trực giao với hạch của (λI − T
∗

) trong trường
hợp đầu tiên và λI − T trong trường hợp khác.
Chương 2
Nghiệm suy rộng của phương trình
elliptic tuyến tính cấp hai dạng bảo
toàn
2.1. Sự tồn tại nghiệm suy rộng của bài toán Dirich-
let
2.1.1. Định nghĩa nghiệm suy rộng
Trong miền bị chặn Ω ⊂ R
n
ta xét đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai
L mà được viết dưới dạng bảo toàn
Lu = D
i

a
ij
(x) D
j
u + b
i
(x) u

+ c
i
(x) D
i
u + d (x) u, (2.1)
trong đó a

ij
, b
i
, c
i
, d

i, j = 1, n

là các hàm đo được, bị chặn trên Ω⊂ R
n
.
Ta quy ước rằng phép cộng được lấy theo các chỉ số lặp từ 1 đến n. L là
elliptic ngặt trong Ω, có nghĩa là tồn tại số dương λ sao cho
a
ij
(x) ξ
i
ξ
j
≥ λ|ξ|
2
, ∀x ∈ Ω, ξ∈ R
n
. (2.2)
11
12
Chúng ta cũng giả sử rằng L có các hệ số bị chặn, tức là tồn tại các hằng
số Λ và ν ≥ 0 ta có với mọi x ∈ Ω:




a
ij
(x)


2
≤ Λ
2
, λ
−2




b
i
(x)


2
+


c
i
(x)



2

+ λ
−1
|d (x)| ≤ ν
2
.
(2.3)
Định nghĩa 2.1. Giả sử f
i
, g; i = 1, n là khả tích địa phương trên Ω.
Hàm u (x) ∈ H
1
(Ω) được gọi là nghiệm suy rộng của phương trình không
thuần nhất
Lu = g + D
i
f
i
trong Ω, (2.4)
nếu đồng nhất thức tích phân sau được thỏa mãn
L (u, v) =

Ω

f
i
D
i
v − gv


dx, ∀v ∈ H
1
0
(Ω), (2.5)
trong đó dạng song tuyến tính L(u, v) được định nghĩa như sau:
L (u, v) =

Ω

a
ij
D
j
u + b
i
u

D
i
v −

c
i
D
i
u + du

v


dx. (2.6)
Ta nhận xét rằng một nghiệm cổ điển cũng là nghiệm suy rộng và
một nghiệm suy rộng thuộc lớp C
2
(Ω) cũng là một nghiệm cổ điển khi
các hệ số của L là đủ trơn.
Giả sử f
i
, g; i = 1, n là khả tích địa phương trên Ω. Ta xét bài toán
Dirichlet



Lu (x) = g (x) + D
i
f
i
(x) , x ∈ Ω
u (x) = ϕ (x) , x ∈ Ω,
(2.7)
trong đó ϕ (x) ∈ H
1
(Ω).
Khi đó một hàm u thuộc vào không gian Sobolev H
1
(Ω) được gọi là một
nghiệm suy rộng của bài toán Dirichlet nếu u là một nghiệm suy rộng
13
của phương trình (2.4) và u − ϕ ∈ H
1

(Ω).
Hàm v ∈ H
1
0
(Ω) trong công thức (2.5) được gọi là hàm thử.
Từ điều kiện (2.3) và bất đẳng thức Schwarz, ta suy ra tồn tại C > 0
sao cho
|L (u, v)| ≤

Ω



a
ij
D
j
uD
i
v


+


b
i
uD
i
v



+


c
i
vD
i
u


+ |duv|

dx
≤ Cu
H
1
(Ω)
v
H
1
(Ω)
. (2.8)
Cố định u ∈ H
1
0
(Ω), từ điều kiện (2.3) ta suy ra ánh xạ v → L (u, v) là
một phiếm hàm tuyến tính bị chặn trên H
1

0
(Ω).
2.1.2. Nguyên lý cực đại yếu
Nguyên lý cực đại yếu cổ điển cũng được mở rộng tự nhiên tới các
phương trình elliptic dạng bảo toàn. Để xây dựng nó, chúng ta đưa vào
bất đẳng thức tại biên cho các hàm số trong không gian Sobolev H
1
(Ω).
Cụ thể là, ta nói rằng u ∈ H
1
(Ω) thỏa mãn trên ∂Ω điều kiện u ≤ 0 nếu
phần dương của nó u
+
= max {u, 0} ∈ H
1
0
(Ω). Nếu u là liên tục trên
một lân cận của ∂Ω, thì u thỏa mãn u ≤ 0 trên ∂Ω theo nghĩa cổ điển
tại từng điểm của ∂Ω. Các bất đẳng thức khác trên ∂Ω như u ≤ v được
đưa vào một cách tự nhiên.
Ví dụ 2.1. u ≥ 0 trên ∂Ω nếu −u ≤ 0 trên ∂Ω; u ≤ v ∈ H
1
(Ω) trên ∂Ω
nếu u − v ≤ 0 trên ∂Ω.
Ta có
sup
∂Ω
u = inf

k : u ≤ k trên ∂Ω, k ∈ R


,
inf
∂Ω
u = − sup
∂Ω
(−u) .
14
Ta giả thiết các hệ số d(x) và b
i
(x) thỏa mãn điều kiện sau

Ω

dv − b
i
D
i
v

dx ≤ 0 ∀v ≥ 0, v ∈ H
1
0
(Ω). (2.9)
Do b
i
và d là bị chặn, bất đẳng thức (2.9) sẽ vẫn được thỏa mãn với tất
cả v ∈ W
1,1
0

(Ω) không âm.
Chúng ta phát biểu Nguyên lý cực đại yếu như sau
Định lý 2.1. [3] Giải sử u ∈ H
1
(Ω) thỏa mãn Lu ≥ 0 (≤ 0) trong Ω.
Khi đó
sup
Ω
u ≤ sup
∂Ω
u
+
, (2.10)
inf
Ω
u ≥ inf
∂Ω
u
−
(2.11)
Chứng minh. Nếu u ∈ H
1
(Ω), v ∈ H
1
0
(Ω) chúng ta có uv ∈ W
1,1
0
(Ω) và
Duv = vDu + uDv. Ta có thể viết bất đẳng thức L (u, v) ≤ 0 dưới dạng


Ω

a
ij
D
j
uD
i
v −

b
i
+ c
i

vD
i
u

dx ≤

Ω

duv − b
i
D
i
(uv)


dx ≤ 0,
với mọi v ≥ 0 sao cho uv ≥ 0, do được suy ra từ (2.9). Do các hệ số là
bị chặn nên

Ω
a
ij
D
j
uD
i
vdx ≤ 2λν

Ω
v |Du| dx (2.12)
với mọi v ≥ 0 sao cho uv ≥ 0.
Trong trường hợp đặc biệt b
i
+ c
i
= 0, ta có

Ω
a
ij
D
j
uD
i
vdx ≤ 0 suy ra

(2.10) đúng .
Ta xét trường hợp b
i
+ c
i
= 0, chứng minh trực tiếp bởi việc đặt v =
max {u − l, 0}, ở đây l = sup
∂Ω
u
+
. Ta chứng minh sup
Ω
u ≤ l là không
15
đúng, ta chọn k thỏa mãn l ≤ k ≤ sup
∂Ω
u và ta đặt v = (u − k)
+
. Theo
quy tắc dây chuyền, ta có v ∈ H
1
0
(Ω) và
Dv =



Du khi u > k (nói cách khác khi v = 0)
0 khi u ≤ k (nói cách khác khi v = 0).
Kết quả nhận được từ (2.12)


Ω
a
ij
D
j
vD
i
vdx ≤ 2λν

Γ
v |Dv|dx, Γ = supp Dv ⊂ supp v,
trong đó
supp v = {x ∈ Ω; v(x) = 0}.
Do tính elliptic ngặt của L, tức là điều kiện (2.2) ta suy ra

Ω
|Dv|
2
dx ≤ 2ν

Γ
v |Dv|dx ≤ 2νv
2;Γ
Dv
2
,
vì thế
Dv
2

≤ 2νv
2;Γ
.
Bây giờ ta áp dụng bất đẳng thức Sobolev, cho n ≥ 3 nhận được
v
2n/(n−2)
≤ Cv
2;Γ
≤ C| supp Dv|
1/n
v
2n/(n−2)
.
Ở đây C = C (n, ν), vì thế
|supp Dv| ≥ C
−n
. (2.13)
Trong trường hợp n = 2, một bất đẳng thức có dạng giống như vậy
với C = C (n, ν, |Ω|) cũng chỉ ra từ bất đẳng thức Sobolev bởi việc thay
thế 2n/ (n − 2) bởi số bất kì lớn hơn 2. Vì các bất đẳng thức đó là độc
16
lập đối với k nên chúng vẫn đúng khi k tiến đến sup
Ω
u, k = sup
Ω
u. Đó
là hàm u phải đạt được cận trên đúng trong Ω trên một tập có độ đo
dương, đồng thời tại đó Du = 0. Điều này mâu thuẫn với (2.13). Mâu
thuẫn này chứng tỏ (2.10) là đúng.
Tính duy nhất nghiệm của bài toán Dirichlet tổng quát cho phương

trình (2.4) là một hệ quả trực tiếp của Định lý 2.1.
Hệ quả 2.1. [3] Giả sử u ∈ H
1
0
(Ω) thỏa mãn Lu = 0 trong Ω. Khi đó
u = 0 trong Ω.
2.1.3. Tính giải được của bài toán Dirichlet
Định lý 2.2. [3] Giả sử toán tử L thỏa mãn điều kiện (2.2), (2.3) và
(2.9) . Khi đó với mọi ϕ ∈ H
1
(Ω) và g, f
i
∈ L
2
(Ω) , i = 1 n, bài toán
Dirichlet (2.7) Lu = g + D
i
f
i
trong Ω, u = ϕ trên ∂Ω là giải được duy
nhất.
Chứng minh. Định lý 2.2 sẽ được suy ra như một hệ quả của Định lý
Lax-Milgram. Trước tiên ta quy bài toán Dirichlet về trường hợp giá trị
biên bằng không. Đặt ω = u − ϕ, ta thu được từ (2.4)
Lω = Lu − Lϕ
= g − c
i
D
i
ϕ − dϕ + D

i

f
i
− a
ij
D
j
ϕ − b
i
ϕ

= ˆg + D
i
ˆ
f
i
.
trong đó ˆg = g − c
i
D
i
ϕ − dϕ,
ˆ
f
i
=

f
i

− a
ij
D
j
ϕ − b
i
ϕ

, và từ điều kiện
trên L và ϕ, ta có ˆg,
ˆ
f
i
∈ L
2
(Ω) , i = 1 n và ω ∈ H
1
0
(Ω). Do đó để
chứng minh, ta chỉ xét trường hợp ϕ ≡ 0.
17
Ta viết
H = H
1
0
(Ω), g =

g, f
1
, , f

n

và
F (v) = −

Ω

gv − f
i
D
i
v

dx
cho v ∈ H.
Từ
|F (v)| ≤ g
2
v
H
1
(Ω)
.
Ta có F ∈ H
∗
. Dạng song tuyến tính L được định nghĩa bởi (2.6) là bức
trên H. Khi đó từ Định lý 1.3 có thể kết luận về tính giải được duy nhất
của bài toán Dirichlet (2.7).
Bổ đề 2.1. [3] Giả sử L thỏa mãn điều kiện (2.2) và (2.3). Khi đó
L (u, v) ≥

λ
2

Ω
|Du|
2
dx − λν
2

Ω
u
2
dx, (2.14)
trong đó có hằng số dương λ và ν được mô tả trong (2.2) và (2.3).
Chứng minh.
L (u, u) =

Ω

a
ij
D
i
uD
j
u +

b
i
− c

i

uD
i
u − du
2

dx
≥

Ω

λ|Du|
2
−
λ
2
|Du|
2
− λν
2
u
2

dx
=
λ
2

Ω

|Du|
2
dx − λν
2

Ω
u
2
dx.
Cho σ ∈ R, ta định nghĩa toán tử L
σ
bởi
L
σ
u = Lu − σu.
18
Từ Bổ đề 2.1 ta thấy rằng các dạng song tuyến tính tương ứng với L
σ
sẽ là bức nếu σ là số dương đủ lớn.
Tiếp tục, ta định nghĩa một phép nhúng I : H → H
∗
bởi
Iu (v) =

Ω
uvdx, v ∈ H. (2.15)
Từ đó ta có
Bổ đề 2.2. [3] Ánh xạ I từ H vào H
∗
, được xác định bởi (2.15) là

compact.
Chứng minh. Chúng ta có thể viết I = I
1
I
2
ở đây I
2
: H → L
2
(Ω) là
phép nhúng tự nhiên và I
1
: L
2
(Ω) → H
∗
được đưa ra bởi (2.15). Theo
kết quả của Nhận xét 1.1, I
2
là compact và do I
1
rõ ràng là liên tục, điều
đó chỉ ra rằng I là compact.
Tiếp tục, ta chọn σ
0
sao cho dạng L
σ
0
là bị chặn và bức trong không
gian Hilbert H. Phương trình Lu = F với u ∈ H, F ∈ H

∗
tương đương
với phương trình
L
σ
0
u + σ
0
Iu = F.
Từ Định lý Lax-Milgram, L
−1
σ
0
F là liên tục, ánh xạ 1 − 1 của H
∗
vào H,
áp dụng vào phương trình ở trên, ta thu được phương trình tương đương
u + σ
0
L
−1
σ
0
Iu = L
−1
σ
0
F. (2.16)
Ánh xạ T = −σ
0

L
−1
σ
0
I là compact (do Bổ đề 2.2). Do đó theo Nguyên
lý Fredholm, sự tồn tại của hàm u ∈ H thỏa mãn phương trình (2.16)
là hệ quả của tính duy nhất nghiệm tầm thường trong H của phương
trình Lu = 0.
19
Ta định nghĩa liên hợp hình thức L
∗
của L bởi
L
∗
u = D
i

a
ji
D
j
u − c
i
u

− b
i
D
i
u + du. (2.17)

Từ L
∗
(u, v) = L (v, u) với u, v ∈ H = H
1
0
(Ω) chỉ ra rằng L
∗
là liên
hợp của L trong không gian Hilbert H. Khi thay L bởi L
σ
trong lí luận
trên, ta thấy rằng phương trình L
σ
u = F sẽ tương đương với phương
trình u + (σ
0
− σ) L
−1
σ
0
Iu = L
−1
σ
0
F và liên hợp T
∗
σ
của ánh xạ compact
T
σ

= (σ
0
− σ) L
−1
σ
0
I được đưa ra bởi T
∗
σ
= (σ
0
− σ)

L
∗
σ
0

−1
I.
Ta có thể áp dụng Nguyên lý Fredholm để thu được kết quả sau.
Định lý 2.3. [3] Giả sử toán tử L thỏa mãn điều kiện (2.2), (2.3). Khi
đó tồn tại một tập đếm được, rời rạc

⊂ R sao cho nếu σ /∈

, bài
toán Dirichlet, L
σ
u, L

∗
σ
u = g +D
i
f
i
, u = ϕ trên ∂Ω là giải được duy nhất
với g, f
i
∈ L
2
(Ω) và ϕ ∈ H
1
(Ω) tùy ý. Nếu σ ∈

, thì không gian con
các nghiệm của bài toán thuần nhất, L
σ
u, L
∗
σ
= 0, u = 0 trên ∂Ω có số
chiều dương hữu hạn và bài toán L
σ
u = g + D
i
f
i
, u = ϕ trên ∂Ω là giải
được khi và chỉ khi



g − c
i
D
i
ϕ − dϕ + σϕ

v −

f
i
− a
ij
D
i
ϕ − b
i
ϕ

D
i
v

dx = 0
(2.18)
với mọi v thỏa mãn L
∗
σ
v = 0, v = 0 trên ∂Ω. Ngoài ra nếu điều kiện

(2.9) được thỏa mãn thì

⊂ (−∞, 0).
Toán tử G
σ
: H
∗
→ H cho bởi G
σ
= L
−1
σ
với σ /∈

được gọi là toán
tử Green cho bài toán Dirichlet cho L
σ
. Do G
σ
là toán tử tuyến tính bị
chặn trên H
∗
nên ta có định lý sau.
Định lý 2.4. [3] Giả sử u ∈ H
1
(Ω) thỏa mãn L
σ
u = g + D
i
f

i
, u = ϕ
trên ∂Ω với σ /∈

. Khi đó tồn tại hằng số C chỉ phụ thuộc vào L, σ và
20
Ω sao cho
u
H
1
(Ω)
≤ C

g
2
+ ϕ
H
1
(Ω)

. (2.19)
2.2. Tính khả vi của nghiệm suy rộng
Mục này chủ yếu dành cho việc xem xét tính trơn bên trong miền Ω
của nghiệm suy rộng. Ta sẽ nghiên cứu trong phần này sự tồn tại của
đạo hàm suy rộng cấp cao của nghiệm suy rộng của phương trình (2.4).
Với sự trợ giúp của các kết quả tính khả vi nhận được dưới đây, ta sẽ
suy ra sự tồn tại nghiệm cổ điển của bài toán Dirichlet. Trong các mục
sau đây ta sẽ nghiên cứu các thuộc tính của nghiệm suy rộng, chẳng
hạn như bất đẳng thức Harnack, tính liên tục Holder. Kết quả về tính
trơn trong định lý dưới đây cho các điều kiện đủ để nghiệm suy rộng

của phương trình Lu = f là hai lần khả vi yếu.
Định lý 2.5. [3] Giả sử u ∈ H
1
(Ω) là một nghiệm suy rộng của phương
trình Lu = f trên Ω, trong đó L là elliptic ngặt trên Ω, các hệ số
a
ij
, b
i
; i, j = 1, , n là liên tục Lipschitz đều trên Ω, các hệ số c
i
, d; i =
1, , n bị chặn thực sự (bị chặn hầu khắp nơi) và hàm f thuộc L
2
(Ω).
Khi đó với miền con bất kì Ω

⊂⊂ Ω, ta có u ∈ H
2
(Ω

) và
u
H
2
(Ω

)
≤ C


u
H
1
(Ω)
+ f
L
2
(Ω)

, (2.20)
với C = C (n, λ, K, d

), ở đây λ được cho bởi (2.2),
K = max



a
ij
, b
i


C
0,1
(
Ω
)
,



c
i
, d


L
∞
(Ω)

và d

= dist (Ω

, ∂Ω) .
Ngoài ra u thỏa mãn phương trình
Lu = a
ij
D
ij
u +

D
j
a
ji
+ b
i
+ c
i


D
i
u +

D
i
b
i
+ d

u = f (2.21)