Luận văn bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng quát và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2
TRẦN HUY MẠNH
BÀI TOÁN TựA CÂN BẰNG HỗN Hộp TổNG QUÁT VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 20
LUẬN VĂN THẠC SĨ
Người hướng dẫn khoa học
GS.TSKH. NGUYỄN XUÂN TAN
HÀ NỘI - 2014
1
LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của
GS.TSKH. Nguyễn Xuân Tấn. Thầy đã hướng dẫn và truyền đạt cho tác giả những kinh nghiệm quý báu
trong học tập cũng như trong nghiên cứu khoa học. Thầy luôn quan tâm và giúp đỡ tác giả trong suốt quá
trình hoàn thành luận văn. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với Thầy.
Tác giả xin cảm ơn Ban giám hiệu nhà trường, phòng Sau đại học, các thầy, các cô trường Đại học sư
phạm Hà Nội 2 đã trang bị kiến thức và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp chương trình
đào tạo Cao học, hoàn thiện luận văn bảo vệ tốt nghiệp. Tác giả xin cảm ơn Ban lãnh đạo tỉnh Lào Cai,
Ban giám đốc Sở GD &; ĐT Lào Cai, Ban giám hiệu trường THPT số 2 Huyện Bảo Yên đã tạo mọi điều
kiện giúp đỡ để tác giả an tâm học tập và hoàn thành tốt khóa học. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia
đình, bạn bè, đồng nghiệp đã động viên tinh thần để tác giả hoàn thiện khóa học và hoàn thành luận văn
này.
Hà Nội, tháng 12 năm 20ỈẬ Tác giả
Trần Huy Mạnh
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn này là kết quả nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của
GS.TSKH. Nguyễn Xuân Tấn.
Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng
và biết ơn. Các kết quả trích dẫn trong luận văn này đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Hà Nội, tháng 12 năm 201Ậ Tác giả
2
Trần Huy Mạnh

Mục lục
Mỏ dầu
1 Kiến thức chuấn bị
1.1

Một số không gian thường dùng
n.2 Nón


1.3

Ánh xạ đa trị
1.3.1

Tính liên tục của ánh xạ đa trị


1.3.2

Tính lỗi của ánh xạ đa trị


1.4 Một số định lý về điếm bất động và ánh xạ KKM
3
1 .

1 . 1 Không gian metric
1 .

1 . 2 Không gian đinh ct luẩn

1.1.3 Không gian Hilbert
1.1.4 Không gian tồpồ tuyền tính lỗi địa phương Hausdorff

. . .
2 Bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tống quát và ứng dụng
Kết luận
Tài liệu tham khảo
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Từ rất xa xưa trong lịch sử toán học người ta đã quan tâm đến những bài toán tìm các giá trị
nhỏ nhất (cực tiểu) hay lớn nhất (cực đại), gọi là các bài toán tối ưu. Vào những năm 30-40 của thế kỷ 20
do nhu cầu của sự phát triển kinh tế, kỹ thuật và lý thuyết giá trị của Edgeworth và Pareto người ta đã xây
dựng lên lý thuyết tối ưu véctơ. Sau đó nhiều công trình về lý thuyết tối ưu cũng như ứng dụng của nó đã
xuất hiện trong nhiều lĩnh vực khác nhau của các ngành khoa học và kỹ thuật, kinh tế như: Lý thuyết trò
chơi của Borel (1921), Von Neuman (1926); Lý thuyết lưu thông hàng hóa của Koopman (1947).
Ta biết rằng các bài toán cơ bản trong lý thuyết tối ưu vô hướng bao
gồm:
1) Bài toán tối ưu: Cho hàm số / : -D -> R. Tìm X e D sao cho /(ãQ < F (
X
)Y với mọi X thuộc D .
2) Bài toán bất đẳng thức biến phân: Gọi X* là không gian đối ngẫu của X . Cho ánh xạ T : D -» X *.
Tìm X e D sao cho { T ( X ) ,X — X ) > 0, với mọi X thuộc D .
3) Bài toán cân bằng (Blum-Oettli đưa ra năm 1994): Cho / : D X D -» R . Tìm X e D sao cho
f ( x , x ) > 0 với m ọ i X e D .
Bài toán điểm cân bằng được biết đến từ các công trình của Arrow- Debreu, Nash. Nó là sự mở
rộng của các bài toán như bất đẳng thức biến phân, tối ưu vô hướng đồng thời nó cũng bao gồm các bài
toán điểm bất động, bài toán bù, bất đẳng thức minimax như những trường hợp đặc biệt.
4
2 . 1
Giới thiêu bài toán

2 . 2
Một số bài toán liên quan
2.3 Sự tồn tại nghiệm
2.4 ứng dụng
Do nhu cầu phát triển của bản thân toán học và các lĩnh vực khoa học khác, bài toán cân bằng
và các bài toán tối ưu kể trên cũng được phát triển và mở rộng cho trường hợp véctơ và đa trị như: Bài
toán tựa cân bằng với biến rằng buộc phụ thuộc vào tham số, tựa biến phân hoặc bao hàm thức tựa biến
phân của nhiều ánh xạ đa trị. Với mong muốn hiểu biết thêm về bài toán tựa cân bằng đa trị nên tôi chọn
đề tài nghiên cứu cho luận văn là: “ B à i t o á n t ự a c â n b ằ n g h ỗ n h ợ p t ổ n g q u á t v à ứ n g
d ụ n g ” .
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu sự mở rộng của bài toán cân bằng đối với ánh xạ đơn trị sang các bài toán tựa cân
bằng loại I , tựa cân bằng loại II và bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng quát đối với ánh xạ đa trị.
Mục đích của luận văn là nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng
quát cũng như một số ứng dụng của nó trong lý thuyết tối ưu đa trị.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đọc các tài liệu liên quan tới các bài toán trong lý thuyết tối ưu véctơ và viết luận văn về sự tồn
tại nghiệm, một số ứng dụng của bài toán tựa cân bằng hỗn hợp và mối liên quan giữa những bài toán
quen biết trong lý thuyết tối ưu.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Các dạng khác nhau của những loại bài toán tựa cân bằng, một số bài toán liên quan khác trong
lý thuyết tối ưu véctơ liên quan tới ánh xạ đa trị và một số ứng dụng của chúng.
5. Những đóng góp mới của đề tài
Một cái nhìn cụ thể về bài toán tựa cân bằng, điều kiện để bài toán tựa cân bằng tổng quát có
nghiệm và các bài toán liên quan trong lý thuyết tối ưu đa trị cũng như một số ứng dụng của nó.
6. Phương pháp nghiên cứu
Để chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng
quát, chúng tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu chính là các định lý điểm
bất động của Ky Fan, Fan-Browder và các định lý dạng KKM.
5

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị
Trong cuộc sống con người hay trong các lĩnh vực khoa học, toán học, bất kì một bài toán nào cũng
phải được đặt ra trong một hoàn cảnh cụ thể, một không gian nhất định nào đó. Để nghiên cứu các bài
toán ấy, trước hết ta phải nghiên cứu các không gian và các khái niệm có liên quan. Ta bắt đầu bằng việc
nhắc lại một số không gian mà ta thường đặt ra các bài toán trong lý thuyết tối ưu véctơ đa trị. Khái niệm
về nón, ánh xạ đa trị và một số tính chất của ánh xạ đa trị; Một số định lý về điểm bất động và KKM.
1.1 Một số không gian thường dùng
1.1.1 Không gian metric
Cuối Thế kỷ 17, đầu Thế kỷ 18 lý thuyết tập hợp ra đời, thay đổi cơ bản mục đích, động cơ
nghiên cứu và ứng dụng của toán học, người ta quan tâm tới khái niệm khoảng cách giữa hai phần tử trong
một tập hợp. Để nghiên cứu sâu hơn bản chất các vấn đề đó, ta nhắc lại khái niệm không gian metric.
Định nghĩa 1.1.1.1 Một tập X (mà các phần tử có thể là các đối tượng bất kỳ) được gọi là một K H Ô N G
G I A N M E T R I C nếu:
a) Với mỗi cặp phần tử X ,Y của X đều có xác định, theo một quy tắc nào đó, một số thực P (X ,Y ), gọi là
“khoảng cách giữa X và ?/”;
b) Quy tắc nói trên thỏa mãn các điều kiện (tiên đề) sau đây:
1) P (X ,Y ) > 0 nếu X Ỷ y; P {X ,Y ) = 0 nếu X = Y \
2) P (X ,Y ) — P (Y ,X ) với mọi X, Y (tính đối xứng);
3) p { x , y ) < p ( x , z ) + p ( z , y ) với mọi X , Y , z (bất đẳng thức tam giác).
Hàm số P { X , Y ) gọi là metric của không gian. Các phần tử của X , dù là những đối tượng gì, cũng
thường gọi là điểm của không gian theo cách nói của hình học.
Ví dụ 1.1.1.2
1) Tập con M c R" là một không gian metric với khoảng cách giữa hai điểm
/n
2
6
X = (x
1
, x
2

, e M v à y = (y i , y
2
, ■■■,y
n
) £ M l à p ( x,y ) = ự 2 2 (lị - Vi) .
2) Tập con M c M
n
là một không gian metric với khoảng cách giữa hai đ i ể m X =
( x i , x
2
, . . . , x
n
) e M v à y = ( y i , y
2
,
— , y
n
)
Ẽ M l à p ( x , y ) = m a x \ x ị - y i \
l < i < n
Như vậy, trên một tập hợp có thể xây dựng nhiều metric khác nhau, từ đó ta cũng có những không gian
metric khác nhau.
Nhờ có khái niệm khoảng cách, ta có thể đưa vào không gian metric các khái niệm giới hạn, tập mở,
tập đóng, lân cận, từ đó ta xác định được một cấu trúc tôpô trong không gian metric.
Định nghĩa 1.1.1.3
1) Tập S( A , R ) = {x e X : P ( A , X ) < r} gọi là H Ì N H C Ầ U M Ở tâm A , bán kính
2) Tập 5[a,r] = { X £ X : P ( A , X ) < R } gọi là H Ì N H C Ầ U Đ Ó N G tâm A , bán kính
r\
3) Ta gọi L Â N C Ậ N (R -L Â N C Ậ N ) của điểm X E X là một hình cầu mở S( X ,R )
với T nào đó.

Định nghĩa 1.1.1.4
1) Một tập con A bất kỳ của không gian metric X được gọi là tập mở nếu với X là điểm bất kỳ thuộc
tập A , luôn có một lân cận của X nằm trọn trong A .
2) Một tập con A bất kỳ của không gian metric X được gọi là tập đóng nếu phần bù của nó là tập mở
trong X .
Định nghĩa 1.1.1.5 Dãy {X
N
} c X được gọi là H Ộ I T Ụ tới X € X nếu
lim P { X
N
, X) = 0 .
71—»00
Ví dụ 1.1.1.6 Trong không gian R
fc
, dãy {x”}, với x
n
= (z”, x£) hội tụ tới
X — ( X \, X 2,XỴ ) nghĩa là X " -» XỊ ,( I — 1 , 2 k h i (n -> oo) đó là sự hội tụ
theo tọa độ.
7
Định nghĩa 1.1.1.7 Dãy { X
N
} trong không gian metric X được gọi là D Ã Y C Ơ B Ả N nếu lim P (X
N
, X
m
) = 0,
tức là Ve > 0, 3N sao cho với Vn > N, Vm > N , ta
71,771 —Y 00
c ó p(x

n
, x
m
) < £.
Một không gian metric X trong đó mọi dãy cơbản đều hội tụ (tới một phần
tử của X) được gọi là một K H Ô N G G I A N M E T R I C Đ Ủ .
Ví dụ 1.1.1.8 Khoảng (0 ,1 ) trong không gian các số thực R cùng với metric t h ô n g t h ư ờ n g p ( x , y )
= \ x — y \ , X, y € R l à k h ô n g g i a n m e t r i c k h ô n g đ ầ y đ ủ , v ì dãy Cauchy {-} không
có giới hạn trong (0 ,1 ). (Dãy {-} là dãy Cauchy vì với Ve > 0 , 3N > sao cho với moi N , M > N , I- — — I <
1-1 + I —I < £■).
5
e
J
■
5
—
5
I n m l I n l l r a l /
Nhận xét Bốn khái niệm lân cận, tập đóng, tập mở, sự hội tụ tạo ra trên X cùng một cấu trúc. Người ta gọi
cấu trúc này là cấu trúc tôpô. Từ đó, người ta đưa ra khái niệm về không gian tôpô một cách tổng quát
hơn.
Khái niệm tập bị chặn trên đường thẳng được mở rộng trong không gian metric ( X , P ) như sau
Định nghĩa 1.1.1.9
1) Tập con M ç X là B Ị C H Ặ N (G I Ớ I N Ộ I ) nếu nó nằm trọn trong một hình cầu nào đó, nghĩa là tồn
tại A G X, số thực c > 0 : P ( A , X ) < c, Vz e M;
2) M là H O À N T O À N B Ị C H Ặ N nếu với Ve > 0, luôn tìm được một số hữu hạn h ì n h c ầ u S i , S 2,
■ ■ ■ , S k b á n k í n h £ s a o c h o
M ç U Si. i—l
N h ư v ậ y , một tập hoà n t o à n b ị c h ặ n thì bị chặn.
Định nghĩa 1.1.1.10

1) Tập con M ç X gọi là T Ậ P C O M P A C T nếu với v{z„} ç M đều chứa một dãy con hội tụ tới một điểm
thuộc M;
8
2) M C O M P A C T T Ư Ơ N G Đ Ố I nếu M là tập compact;
3) Không gian metric X được gọi là K H Ô N G G I A N C O M P A C T nếu X là tập compact trong chính nó.
Định nghĩa 1.1.1.11 Ánh xạ / được gọi là L I Ê N T Ụ C tại điểm Xo e X nếu với m ọ i £ > 0 , > 0 s a o
c h o v ớ i m ọ i X G X t h ỏ a m ã n P x { x , x 0) < ố t a đ ề u c ó
P Y ( Ỉ ( X ) J ( X 0)) < £ .
Ánh xạ / được gọi là liên tục trên A nếu / liên tục tại mọi điểm thuộc A. Nếu A = X ta nói /
liên tục.
Ánh xạ / được gọi là liên tục đều trênA ç X nếu với mọi £ >0, EIÆ > 0
sao cho với mọi X ,X ' e A thỏa mãn PX (X ,X ') < Ô ta đều có < £
Ánh xạ / được gọi là đồng phôi nếu / là ánh xạ 1 - 1 từ X lên Y và các
ánh xạ /, /
1
đều liên tục. Khi đó hai không gian X và Y được gọi là hai không gian đồng phôi với nhau.
1.1.2 Không gian định chuẩn
Không gian định chuẩn được xây dựng trên cơ sở của không gian tuyến tính: Một tập hợp trên đó
có một cấu trúc đại số gồm hai phép tính, phép cộng giữa hai phần tử và phép nhân một số với một phần
tử. Ta có:
Định nghĩa 1.1.2.1 Một tập X (mà các phần tử là các đối tượng bất kỳ) được gọi là một K H Ô N G G I A N
V É C T Ơ (hay K H Ô N G G I A N T U Y Ế N T Í N H ), nếu:
a) ứng với mỗi cặp phần tử X, Y của X ta có, theo một qui tắc nào đó, một
phần tử của X gọi là tổng của X với Y và ký hiệu X + Y , ứng với mỗi phần tử X của X và mỗi số thực A
ta có, theo một quy tắc nào đó, một phần tử của X gọi
là tích của X với A và được ký hiệu A X .
b) Các quy tắc nói trên thỏa mãn 8 điều kiện (tiên đề) sau đây:
1) X + y = y + X (tính giao hoán của phép cộng);
2) ( x + y ) + z — X + ( y + z) (tính chất kết hợp củaphép cộng);
3) Tồn tại một phần tử 0 sao cho X + 0 = X với mọi X G X (phần từ này gọi l à p h ầ n t ử

k h ô n g ) ]
9
4) ứng với mỗi phần tử X E X ta có một phần tử — X G X sao cho X + (-X) = 0 (phần tử

— X gọi là phần
tử

đ ố i của

x ) \
5) l . x = x \
6) A ( S S X ) = (A S S ) X (A ,S S là những số thực bất kỳ);
7) (a + S S )X = A X + S S X \
8) a ( x + y ) = a x + a y .
Các phần tử của không gian véctơ thường gọi là các véctơ. Hai phép toán
trên tạo ra trên X một cấu trúc. Người ta gọi đó là cấu trúc đại số.
Ví dụ 1.1.2.2 Tập R" với phép cộng và nhân thông thường là một không gian véctơ.
Trong một không gian véctơ tùy ý, tập lồi và hàm lồi có những tính chất đặc biệt, ta nhắc lại định
nghĩa như sau.
Định nghĩa 1.1.2.3
1) Một tập C trong một không gian véctơ X được gọi là T Ậ P L Ồ I nếu V x , J / Ẽ c , f l < ữ < 1
t a đ ề u c ó a x + ( 1 — a ) y Ễ C ;
2) Một hàm / xác định trên một tập lồi C và có thể lấy giá trị +0 0 , được g ọ i l à h à m l ồ i n ế u :
Va, b E c, 0 < a < 1 =>■ f(aa + (1 — a)b) < af(a) + (1 — a)/(6);
Định nghĩa 1.1.2.4 Một K H Ô N G G I A N V É C T Ơ Đ Ị N H C H U Ẩ N (hoặc vắn tắt: K H Ô N G G I A N ĐỊN H
C H U Ẩ N ) là một không gian véctơ X, trong đó ứng với mỗi phần tử X € X, t ã c ó một số | | a ;| | , gọi l à chuẩn của
nó, sao cho với mọi x, y € X và mọi số A các điều kiện sau được thỏa mãn:
1) ||a;|| > 0 nếu X Ỷ 0; IMI = 0
n
ếu X = 0;

2) ||aa:|| = MIMI (tính thuần nhất của chuẩn);
3) ||x + Y \ \ < ||x + Z II + IlZ + y|| (bất đẳng thức tam giác).
Nhận xét Nếu trong không gian X ta đặt P (X ,Y ) = ||x — Ị/|| thì (X , P ) là không gian metric. Như vậy trong
không gian X có hai cấu trúc tôpô và đại số. Hai cấu trúc này phù hợp.
1
0
Định nghĩa 1.1.2.5 Cho không gian tuyến tính X. Hai chuẩn xác định trên X , llzllj, ||x| |
2
gọi là T Ư Ơ N G
Đ Ư Ơ N G nếu tồn tại hai số dương A , B sao cho
1
1
Ví dụ 1.1.2. 6 Trong không gian véctơ n chiều K
n
,K e {R,C}, hai chuẩn
n
|^i|
2
,Vx = ( x i , x
2
, x
n
)
% — 1
Ia:|[
2
= íĩiax \ xị\, 'ix = (x\, X2,x
n
) £ K”,
l<i<n

tương đương vì
< ||z|li < -\/TZIIa:II2, Va; e K”.
1 < i < n
Như vậy, K H Ô N G G I A N Đ Ị N H C H U Ẩ N (X, ||.||) là không gian metric với khoảng cách P (X ,Y ) = ||a: -
Y \ \, X ,Y £ X.
1.1.3 Không gian Hilbert
Một không gian mà Ở đó có khái niệm tích vô hướng, với những tính chất c ủ a t í c h v ô h ư ớ n g
t r o n g k h ô n g g i a n R
f c
X R
m
, c ó l i ê n h ệ v ớ i c h ẩ n t r o n g k h ô n g gian đã cho. Ta
có các định nghĩa sau:
Định nghĩa 1.1.3.1 Một không gian véctơ thực X được gọi là K H Ô N G G I A N T I Ề N H I Ỉ B E R T , nếu trong đó
có xác định một hàm hai biến (X ,Y ) thỏa mãn các tính chất sau:
1) (x ,y ) = ( y, x ) ',
2) {x + y,z) = {x,z) + {y, z);
3) (AX , Y ) = A {X ,Y ) với mọi số thực a;
4) { x , x ) > 0 với Va:; {x, x) = 0 nếu X = 0.
( X ,Y ) gọi là T Í C H V Ô H Ư Ớ N G của hai phần tử X , Y .
Định nghĩa 1.1.3.2 Không gian tiền Hilbert X cùng với chuẩn ||a:|| = Ý /( X , X ) là không gian định chuẩn đủ
được gọi là K H Ô N G G I A N HI L B E R T .
Nhận xét Trong không gian tiền Hilbert X , tích vô hướng thỏa mãn một số tính chất đặc biệt sau:
1
2
1

=
\
1) Hệ thức ||z|| = Y / ( X , X ) xác định một chuẩn trong X , vì vậy K H Ô N G G I A N T I Ề N HI L B E R T L À

M Ộ T K H Ô N G G I A N Đ Ị N H C H U Ẩ N , do đó nó cũng là không gian metric.
Một không gian tiền Hilbert đủ được gọi là K H Ô N G G I A N HI L B E R T ;
2) BẤ T Đ Ẳ N G T H Ứ C SC H W A R Z : |(x,y)| < ||z|| . Hy II ,Vx,y e X;
3) (x ,y ) là một hàm liên tục đối với X và y .
Ví dụ 1.1.3.3 Không gian R
n
,C" với tích vô hướng (X ,Y ) = Ỵ2
X
I Ỹ L là các
i — 1
không gian Hilbert.
1.1.4 Không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff
Trong mục này, ta sẽ xét lớp không gian mà không cần metric nhưng vẫn có thể nói tới khoảng cách
giữa các điểm và từ đó nói tới sự hội tụ, sự liên tục, đó là lớp không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương
Hausdorff. Các khái niệm giới hạn, lân cận, tập đóng, tập mở đều sinh ra một cấu trúc tôpô.
Định nghĩa 1.1.4.1
1) Cho tập hợp X bất kì. Một họ Q những tập con của X được gọi là là m ộ t t ô p ô t r ê n X n ế u :
(i) Hai tập 0,x đều thuộc họ Q\
(ii) Q kín đối với phép giao hữu hạn, tức là giao của một số hữu hạn tập thuộc họ Q thì cũng thuộc họ
Q\
(iii) Q kín đối với phép hợp bất kì, tức là hợp của một số hữu hạn hay vô h ạ n t ậ p t h u ộ c h ọ
Q t h ì c ũ n g t h u ộ c h ọ Q .
2) Tập X cùng với tôpô Q trên X , được gọi là K H Ô N G G I A N T Ô P Ô (X, Q) (hay k h ô n g g i a n
t ô p ô X ) ;
3) Các tập thuộc họ Q được gọi là T Ậ P M Ở ;
4) Khi có hai tôpô Q , Q 'trên X, nếu Q c Q', ta nói tôpô Q Y Ế U hơn (T H Ô hơn) tôpô Q' hay tôpô Q '
M Ạ N H hơn (M Ị N hơn) tôpô Q. Trường hợp không có
quan hệ đó, ta nói hai tôpô không so sánh được.
Ví dụ 1.1.4.2
1

3
1) Trên X xét họ Q
T
chỉ gồm hai tập con của X đó là 0,x. Rõ ràng Q
T
là một tôpô (gọi là tôpô thô hay
tôpô tầm thường) trên X . Cặp (X , Q
T
) gọi là không gian tôpô thô. Đối với không gian tôpô thô, các
tập 0,x vừa là tập đóng, vừa là tập mở.
2) Trên X, họ Q
D
gồm tất cả các tập con của X cũng là một tôpô (gọi là
tôpô rời rạc) trên X. Rõ ràng, trong không gian tôpô rời rạc (X, Q
D
) , mọi tập con của X đều là tập mở.
Đối với không gian tôpô rời rạc, mọi tập con của X đồng thời vừa là tập đóng, vừa là tập mở. Ta thấy,
trong tất cả cáctôpô trên
X, tôpô rời rạc mạnh nhất, tôpô thô là yếu nhất.
3) Trong không gian metric
( x , d ) ,
họ T các tập mở trong X cũng là một tôpô trên X , ta gọi nó là tôpô
metric phù hợp với metric D , điều đó có nghĩa là, mọi không gian metric (bao gồm cả không gian
định chuẩn và Hilbert), đều là không gian tôpô.
Trong không gian tôpô các khái niệm về lần cận, giới hạn, phần trong, bao đóng, được định nghĩa
khái quát hơn so với không gian metric.
Định nghĩa 1.1.4.3 Cho không gian tôpô (X,Q),A c X. Tập con U của không gian X gọi là L Â N C Ậ N của
Ả nếu U bao hàm một tập mở chứa Ả ; Lân cận của p h ầ n t ử X e X l à l â n c ậ n c ủ a t ậ p c o n
{ a : } ; H ọ t ấ t c ả c á c l â n c ậ n c ủ a m ộ t đ i ể m gọi là H Ệ L Ẫ N C Ậ N của điểm đó.
Định nghĩa 1.1.4.4 Trong không gian định chuẩn X. Dãy {X

N
} c X hội tụ tới X € X n ế u v à c h ỉ
n ế u \ \ x
n
— x | | - > ■ 0 - , k h i n - » 00.
Định nghĩa 1.1.4.5 Cho X,Y là hai không gian tôpô
1) Một ánh xạ / : X -» Y được gọi là liên tục tại
điểm X € Xnếuvới mỗi lân cận U của F (X ) trong Y,
đều tồn tại lân cận V của X trong X thỏa mãn
/00 Ç и ;
2) Ánh xạ / gọi là liên tục trên không gian tôpô X nếu / liên tục tại mọi điểm thuộc X.
Từ một cơ sở tôpô ta có thể xác định các tôpô khác của không gian
Định nghĩa 1.1.4. 6 Cho không gian tôpô (X,Q ):
1
4
1) Cho X e X, họ v
x
nào đó gồm các lân cận của điểm X được gọi là một cơ sở địa phương của tôpô Q tại
điểm X (hay cơ sở lân cận tại X), nếu với bất kì lân cận u của điểm X luôn tồn tại tập V e v
x
sao cho X
£ V Ç [/;
2) Họ con V các phần tử của Q được gọi là một C Ơ S Ở của tôpô G trên X nếu mọi phần tử của Q
đều là hợp nào đó các phần tử thuộc V;
3) H ọ c o n M c á c p h ầ n t ử c ủ a G g ọ i l à m ộ t t i ề n c ơ
s ở c ủ a t ô p ô Q t r ê n X nếu họ các giao hữu hạn có thể có các tập con thuộc M là
một cơ sở của tôpô
Q.
Ví dụ 1.1.4.7 Trong không gian tôpô rời rạc (X,Q
D

), họ tất cả các tập con có một phần tử là một cơ sở
của QD , họ các tập con hai phần tử là một tiền cơ sở của GD ■ Với X £ X bất kì, tập {x} chính là một
cơ sở địa phương tại X .
Định nghĩa 1.1.4. 8 Không gian tôpô (X,Q) được gọi là K H Ô N G G I A N HA U S D O R F F nếu đối với hai
điểm khác nhau tùy ý X , Y £ X luôn tồn tại các lân cận И của X , V c ủ a у s a o c h o и п V =
0 .
Một không gian véctơ có thể đồng thời được trang bị một cấu trúc tôpô, một cấu trúc đại số, nếu hai
cấu trúc tôpô và đại số ấy có mối liên hệ nhất định sẽ làm nảy sinh nhiều tính chất mới trong không
gian.
Định nghĩa 1.1.4.9
1) Cho X là một không gian véctơ trên trường K, một tôpô T trên X gọi là T Ư ƠN G T H Í C H với cấu
trúc đại số của X nếu các ánh xạ
+ : X X X ->■ X , ( x , y ) I-» X + У ]
. :K X X X ( Л , X ) ! - > X x,
liên tục;
1
5
2) M ộ t k h ô n g g i a n v é c t ơ t ô p ô X t r ê n t r ư ờ n g к l à
m ộ t c ặ p ( X , t ) , t r o n g đó X là một không gian véctơ trên trường K, còn T là một
tôpô tương thích với cấu trúc đại số (hay tôpô véctơ) của X ;
3) Mọi lân cận của gốc OẽI gọi là 0 — L Â N C Ậ N hay vắn tắtlà lân cận.
Mệnh đề 1.1.4.10 С ác phép tịnh tiến F ( X ) = X + A , A cố địnhtùy ý cho trước
v à c á c p h é p v ị t ự g ( x ) = a x , a t ù y ý c h o t r ư ớ c , l à n h ữ n g p h é p đ ồ n g p h ô i
t ừ X lên X . Từ đó, V là 0—lân cận khi và chỉ khi V + A là một lân cận của А ; V là 0 —lân cận thì Va Ỷ
A
V là một 0 —lân cận.
Dưới đây ta đưa ra các điều kiện đặc trưng cho một cơ sở lân cận của một không gian véctơ tôpô.
Định nghĩa 1.1.4.11 Trong mỗi không gian véctơ tôpô X bao giờ cũng có một cơ sở lân cận В của gốc, sao
cho:
1) Mỗi V e В

đều cân đối và hấp thu;
2) Mỗi V e В
thì A V E В với mọi A Ỷ 0;
3) Mỗi V e В
bao hàm một tập W € В sao cho W + W с 1 Л
4) Mỗi cặpVI , V2 E В tồn tại W £ В sao cho W QV\n V2 .
Ngược lại, nếu trong không gian véctơ X lấy một họ В ( Ф 0) các tập con của X thỏa mãn các điều
kiện trên thì có một tôpô duy nhất trên X tương hợp với cấu trúc đại số, nhận В làm cơ sở lân cận của gốc.
Chú ý: Nếu ổ là một cơ sở lân cận có các tính chất 1) - 4) thì các bao đóng các phần tử của В cũng làm
thành một cơ sở lân cận có các tính chất đó.
V í d ụ 1 . 1 . 4 . 1 2 K h ô n g g i a n đ ị n h c h u ẩ n l à k h ô n g g i a n véctơ t ô p ô ( d o c á c
p h é p toán cộng và nhân với số ở đây liên tục trong tôpô xác định bởi chuẩn). Gọi В là họ các hình cầu
1
6
mở, B' là họ các hình cầu đóng có tâm tại gốc, khi đó B,B' đều là cơ sở lân cận của gốc (chúng thỏa mãn
bốn điều kiện đã nêu trong định lý trên).
Từ khái niệm cơ sở lân cận, ta có thể chứng minh được điều kiện một không gian véctơ tôpô là không
gian Hausdorff như sau:
Định lí 1.1.4.13 Cho В là một cơ sở lân cận trong không gian véctơ tôpô X. Không gian X là Hausdorff
khi và chỉ khi với mỗi X Ỷ 0 đều có một V € В không
chứa X, tức là п V = {0} .
ỲeB
Trong số các không gian véctơ tôpô, một lớp không gian đặc biệt quan trọng là không gian véctơ
tôpô lồi địa phương.
Định nghĩa 1 . 1 . 4 . 1 4 Một k h ô n g gian véctơ tôpô X gọi là K H Ô N G G I A N V É C T Ơ T Ô P Ô L Ồ I Đ Ị A
P H Ư Ơ N G (và tôpô của nó là tôpô lồi địa phương) nếu trong X có một cơ sở lân cận (của gốc) gồm toàn tập
lồi.
V í d ụ 1 . 1 . 4 . 1 5 M ọ i k h ô n g g i a n đ ị n h c h u ẩ n đ ề u l à k h ô n g g i a n v é c t ơ t ô p ô
l ồ i địa phương với cơ sở lân cận lồi trong đó là tập các hình cầu tâm tại gốc.
Ta biết, tôpô của một không gian định chuẩn xác định bởi chuẩn II a: II. Ta sẽ thấy rằng, tôpô của một

không gian lồi địa phương được xác định bởi một họ
sơ chuẩn.
Định nghĩa 1.1.4.16 Một S Ơ C H U Ẩ N là một hàm số thực hữu hạn P ( X ) xác định trên một không gian
tuyến tính X thỏa mãn hai điều kiện sau:
1) p(x + y) < p(x) + p ( y), Mx, ỉ / ẽ l ;
2) P ( A X ) = |a|p(x),Vx e X,VsỐ A . (Nghĩa là một chuẩn là một sơ chuẩn p ( x ) m à p ( x ) > 0, V : r
7^ o ) .
1.2 Nón
1
7
Để xác định thứ tự trong không gian và xét những bài toán liên quan đến ánh xạ có giá trị là véctơ,
người ta đưa ra khái niệm nón, từ đó mở rộng được các khái niệm đã biết của không gian số thực hoặc số
phức trong không gian tôpô tuyến tính. Mục này dành cho các khái niệm, tính chất của nón.
Định nghĩa 1.2.1 Cho Y là một không gian tuyến tính và C làmột tậpcon
của Y. c được gọi là nón (hay nón có đỉnh tại gốc) trongYnếu vớimọi c e c,
mọi t > 0 thì í c Ẽ c .
Nếu Y là không gian tôpô tuyến tính và C là nón trong Y, ký hiệu C L C , I N T C , C O N V C theo
thứ tự lần lượt là bao đóng, phần trong và bao lồi của nón c.
Ký hiệu L ( C ) = Cn — C :
Nếu C là tập lồi thì C được gọi là nón lồi.
Nếu C là tập đóng thì C được gọi là nón đóng.
Nếu L ( C ) = {0 } thì C được gọi là nón nhọn.
Nếu clC là nón nhọn thì c được gọi là nón sắc.
Nếu C L C + C\ L ( C ) c C thì C gọi là nón đúng.
Cho Y là không gian tôpô tuyến tính, C là nón trong Y . Ta định nghĩa quan hệ như sau:
1) x,y e Y,x >zc y nếu X - y e c, ta có thể kí hiệu đơn giản X >z y.
2) Ký hiệu X Y Y nếu X — Y e C\Ỉ ( C ) vài>|/ nếu X — Y € I N T C .
Nếu C là nón lồi thì quan hệ thứ tự trên là tuyến tính và quan hệ đó là quan h ệ t h ứ t ự t ừ n g p h ầ n
t r ê n Y . N ế u c l à n ó n n h ọ n t h ì q u a n h ệ t r ê n l à q u a n h ệ c ó t í n h p h ả n đ ố i
x ứ n g , n g h ĩ a l à n ế u X y y,y >z X t h ì X = y.

Ví dụ 1.2.2
1) Tập {0} trong không gian tôpô tuyến tính Y là một nón. Ta gọi nó là nón tầm thường.
2)Trong không gian R" tập C = R" = { X = ( X I , X2,X
N
) € K
n
|xj > 0,Vj = 1 ,n} là một nón lồi, đóng,
nhọn. Nó được gọi là nón Orthant dương trong R
n
. Nếu C = { X = X2, X „) € R"|xi > 0} là một nón
lồi, đóng nhưng không
1
8
nhọn vì l ( C ) = {x = (0, X 2, X 3, x
n
) e R”} Ỷ {0}-
Định nghĩa 1.2.3 Cho C là một nón trong không gian tuyến tính Y , B c Y, B được gọi là T Ậ P S I N H của
nón c, ký hiệu C = C O N E ( B ) nếu C = { T B \ B € B,T > 0}. Nếu B không chứa gốc và với mọi c e C,c / ũ
đều tồn tại B £ B sao cho C = T B ,T > 0 thì B được gọi là cơ sở của nón C . Hơn nữa nếu B là tập hữu
hạn phần tử thì tập C = C O N E (C O N V B) gọi là nón đa diện.
Khi ta xây dựng một nón trên không gian tuyến tính tức là ta đã xây dựng một quan hệ thứ tự trên nó, từ
đó ta có các khái niệm về điểm hữu hiệu.
Định nghĩa 1.2.4 Cho Y là một không gian tôpô tuyến tính, C là một nón trong Y và A là một tập con của
Y. Khi đó:
(i) X E A được gọi là điểm hữu hiệu lí tưởng của tập A đối với nón C nếu y — X € c v ớ i m ọ i
y € A . T ậ p t ấ t c ả c á c đ i ể m h ữ u h i ệ u l í t ư ở n g c ủ a t ậ p A đ ố i với nón C
ký hiệu là I M I N (A/C)
(ii) X e A được gọi là điểm hữu hiệu pareto của tập A đối với nón C nếu không tồn tại điểm Y €
A sao cho X — Y € c\{0}. Tập các điểm hữu hiệu pareto của A ký hiệu là M I N ( A / C )
(iii) Giả sử I N T C 7 Í | , I Ẽ Ẩ được gọi là điểm hữu hiệu yếu của A đối với nón c nếu không tồn tại Y

e Ả sao cho X - y £ I N T C . Tập các điểm hữu hiệu yếu của A ký hiệu là W MI N (A/C).
(iv)Điểm X e A được gọi là Đ I Ể M H Ữ U H I Ệ U T H Ự C S Ự của tập Ả đối với nón
c ,
n ế u t ồ n t ạ i
n ó n l ồ i
c
k h á c t o à n k h ô n g g i a n v à c h ứ a C \ l ( C ) t r o n g p h ầ n t r o n g của
nó để X e P M I N ( A/Ỡ ). Tập các điểm hữu hiệu thực sự của tập A đối với nón C , ký hiệu là
PR M I N ( A/C).
1.3 Ánh xạ đa trị
Như chúng ta đều biết, ánh xạ đơn trị cho ta với điểm cho trước tương ứng với duy nhất một giá trị.
Nhưng trong thực tế nói chung và trong toán học nói riêng, với mỗi điểm cho trước ta cần một tập hợp
tương ứng, phép tương ứng đó là ánh xạ đa trị.
Cho X là một tập hợp bất kỳ, ký hiệu 2
X
là tập tất cả các tập con của X
1
9
Định nghĩa 1.3.1 Với X, Y là các tập hợp nào đó. Một ánh xạ F từ X vào 2
y
được gọi là Á N H X Ạ Đ A T R Ị
từ X vào Y . Ký hiệu F : X -> 2
y
N h ư v ậ y m ỗ i X e X , F ( x ) l à m ộ t t ậ p t r o n g Y ( F ( x ) c ó t h ể l à t ậ p
r ỗ n g ) . F l à ánh xạ đơn trị từ X vào Y nếu F ( X ) chỉ gồm một phần tử trong Y. Khi đó ta sử dụng ký
hiệu F : X Y thay cho F : X -» 2
y
.
Với D c X, K c Y. Miền định nghĩa, đồ thị và miền ảnh của ánh xạ đa trị
F

2
0
dom F = {z e D \ F { X ) Ф 0};
Gr F = {(x,y) e D X K\Y e F(a:)};
rge.F = {ị / ễ F|3a: El để Y € F ( X ) } .
Ví dụ 1.3.1 Cho A , B là các số thực và F : R ->• 2 ® được định nghĩa như sau:
Khi đó F là ánh xạ đa trị.
Cho F : X 2
Y
, khi đó ánh X Ạ F
1
: Y — > 2
Х
định nghĩa bởi
F-
1
{y) = {xeX\yeF(x)}
Như vậy ánh xạ đa trị luôn có ánh xạ ngược.Nếu F
1
(y) = { X eX \Y £F(X )}
là mở thì ta nói F có nghịch ảnh mở.
Một số phép toán đối với ánh xạ đa trị
Định n g h ĩ a 1 . 3 . 2 Cho X , Y ,
z , w
là các tập h ợ p bất kỳ, F , F l , F
2
: X - »
2
y
; G :

Y -> 2
Z
là các ánh xạ đa trị
(i) Ánh xạ hợp, giao của hai ánh xạ FI ,F
2
', Ánh xạ bù của ánh xạF từ X
vào Y được xác định như sau:
( . F l и F
2
) ( x ) = F i ( x ) U
F
2
{ x ) \ ự i П F
2
) ( x ) =
F i ( x ) N F
2
(X); F
C
{X) =
Y\F{X).
Hợp của ánh X Ạ F V À G là ánh xạ G О F : X 2
Z
xác định bởi công thức
( GoF)(x)= ỊJ G ( F( x ))
x e x
Tích đề các của F : X 2
y
và G :
w

—> 2
Z
là ánh xạ F X G : I X
w —
> 2
Y X Z
cho
bởi công thức
(G X F)(x,y) = G(x) X F(y).
[a , b ) k h i X Ỷ 0
{0 } k h i X = 0 .
được ký hiệu lần lượt như sau:
2
1
(ii) Khi Y là không gian tôpô tuyến tính. Tổng đại số của hai ánh xạ F I , F 2 v à
p h é p n h â n m ộ t s ố v ớ i á n h x ạ F l à á n h x ạ đ a t r ị t ừ X v à o
Y đ ư ợ c x á c đ ị n h bởi:
( F, + F
2
)(x) = F^x) + F
2
( x)-
(XF)(x) = XF(x)]
Định nghĩa 1.3.3 Cho Y là không gian tôpô tuyến tính, F : X -» 2
y
là ánh xạ
đa trị, ký hiệu F , F ° theo thứ tự lần lượt là ánh xạ bao đóng, phần trong của ánh xạ
F xác định bởi:
( F ) ( x ) = F ụ ~ y , ( F ° ) ( X ) = ( F ( x ) ) °
Nếu X , Y là các không gian tôpô tuyến tính, thì ánh xạ bao lồi và bao lồi đ ó n g

c ủ a á n h x ạ F l à
( c o F) (x ) = c o F ( x) ] (coF)(x) = coF(x )
1.3.1 Tính liên tục của ánh xạ đa trị
Định nghĩa 1.3.4 Cho X , Y là các không gian tôpô, F : X -» 2
y
là ánh xạ đa
trị
(i) F g ọ i l à n ử a l i ê n t ụ c t r ê n t ạ i X €
d o m F n ế u m ọ i t ậ p m ở V c h ứ a t r o n g Y
thỏa mãn F(x) с V đều tồn tại một lân cận и của X trong X sao cho F(x) с V v ớ i
m ọ i X € u .
(ii) F gọi là N Ử A L I Ê N T Ụ C D Ư Ớ I tại X e domí
1
nếu mọi tập mở V chứa trong
Y thỏa mãn F(X ) N V Ỷ 0 đều tồn tại một lân cận И của X trong X sao cho
F(X ) n V Ỷ 0 với mọi X E U .
được ký hiệu lần lượt như sau:
2
2
(iii) F được gọi là L I Ê N T Ụ C tại X e X nếu nó vừa là nửa liên tục trên
vừa là n ử a l i ê n t ụ c dưới t ạ i X . F g ọ i l à l i ê n t ụ c t r ê n X
n ế u n ó l i ê n t ụ c t ạ i m ọ i X e X.
Ví dụ 1.3.5
1) Cho F, G : R -» 2 ®, A € R, A > 0 xác định như sau:
J [ —a , a ] , k h i X Ỷ 0 J [ — a , a] , k h i X = 0
\ { 0 } , k h i X = 0 . ’ l { 0 } : ^ 2
x
Ф 0 -
Khi đó F là ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới tại X = 0, G là ánh xạ đa trị nửa liên tục
trên tại X — 0

2) Cho H : R ->■ 2
r
xác định bởi H(x) = co{sinx, cosx} là ánh xạ đa trị l i ê n
t ụ c t r ê n R .
Định nghĩa 1.3.6 Cho X , Y là các không gian tôpô, F : X -» 2
y
là ánh xạ đa trị. F là
ánh xạ đa trị đóng nếu GrF là đóng t r o n g X X Y.
Nếu F ( X ) là compact trong Y thì F là ánh xạ compact. Từ định nghĩa trên
cho thấy, F là ánh xạ đóng khi và chỉ khi với bất kỳ dãy { X
A
},{Y
A
}, X
A
-» x , y
a
- >
y , y
a
€ F ( z a ) t h ì y e F ( x ) . N ế u F ( x ) l à t ậ p đ ó n g v ớ i m ọ i X
£ X t h ì F được gọi là ánh xạ có giá trị đóng.
Các mệnh đề sau cho ta điều kiện cần và đủ để một ánh xạ đa trị là nửa liên tục
trên và nửa liên tục dưới
Bổ đề 1.3.7 fz] Cho X, Y là các không gian tôpô, D chứa trong X , F : D ^ 2
Y
là
ánh xạ đa trị. Nếu F là nửa liên tục trên với giá trị đóng, thì F là ánh xạ đ ó n g .
N g ư ợ c l ạ i n ế u F l à á n h x ạ đ ó n g v à Y l à c o m p a c t , t h ì F
l à n ử a l i ê n t ụ c trên.

được ký hiệu lần lượt như sau:
2
3
Mệnh đề 1.3.8
(i) | 6 ] C h o F : £ > - > ■ 2
y
l à á n h x ạ đ a t r ị . F
l à n ử a l i ê n t ụ c d ư ớ i t ạ i X E dom F khi và chỉ
khi với bất kỳ y € F(x) và với bất kỳ dãy x
a
e D,x
a
-» X, tồn tại dãy {yß}ßeA,Vß €
F(
x
ß)
sao
cho Uß -» y, trong đó Л là tập các chỉ số.
(ii) Nếu í
1
có nghịch ảnh mở thì C O F cũng có nghịch ảnh mở.
Mệnh đề 1.3.9 [11OỊ Một ánh xạ đa trị có nghịch ảnh mở là ánh xạ nửa liên tục dưới.
Ngược lại không đúng.
Ví dụ 1.3.10 Cho F : R -» 2
R
xác định bởi F(X ) — (—0 0 , — X ] . Ta có:
F
~
1
( y) = i

x
'■ У
e
(-0 0 , -ж]} = i
x
'■ У < ~
x
} = (-0 0 , -у]
không là tập mở.
Gọi V là tập mở bất kỳ trong R, khi đó и F~
1
( Y ) = {x : F ( X ) п V Ỷ 0}-
y e v
Đặt b = inf{u : V € V}. Ta sẽ chứng minh (—00, —Ö) с и F~
1
(y).
y € V
Thật vậy, lấy X e (—00, —b), khi đó b < —X. Theo cách xác định điểm b ta suy ra
tồn tại những điểm У £ V sao cho B < У < — X suy ra X E (-0 0 , - Y ] Ç ỊJ
y e v
Vậy (-0 0 ,-0 ) С u F ~
1
(Y ) hay ỊJ F~
1
( Y ) là tập mở. Do đó F là ánh xạ nửa
y e v y e v
liên tục dưới.
Cho X, Y là các không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương. D, К là các tập
con của X , С là nón trong Y và í
1

là ánh xạ đa trị từ D vào Y. Ta có định nghĩa sau:
Định nghĩa 1.3.11 F là C - Ỉ I Ê N T Ụ C T R Ê N (hay C-L I ÊN T Ụ C D Ư Ớ I ) tại X e domí
1
nếu với bất kì lân cận V của gốc trong Y đều tồn tại lân cận И của X trong Y sao
cho:
F ( x ) С F ( x ) + V + C ( x )
(tương ứng F(x) с F(x) + V - C(x)) với mọi X £ un domí
1
được ký hiệu lần lượt như sau:
2
4
Trong các phần sau, ta sử dụng khái niệm C-liên tục trên (dưới) với с là ánh x ạ
n ó n ( á n h x ạ c ó t ậ p g i á t r ị l à n ó n ) .
Đ ị n h n g h ĩ a 1 . 3 . 1 2 C h o F : к X D X D - > 2
Y
, c : к X D - >
2
y
l à á n h x ạ n ó n . F được gọi là C- L I Ê N T Ụ C T R Ê N (hoặc C - L I Ê N T Ụ C
D Ư Ớ I ) tại ( Ÿ , X , ~ Z ) e domF nếu với bất kỳ lân cận V của 0 trong Y đều tồn tại lân
cận И của (Ỹ ,X ,Z ) sao cho:
F(y,x,z) ç F(y,x,z) + V + C( y,x),
( H a y F ( ÿ , x , z ) ç F ( y , x , z ) + V - C ( ỹ , x ) t ư ơ n g ứ n g
với mọi (Y , X , Z ) e UN dom.F
Các khái niệm C-liên tục tại điểm trên D cũng được định nghĩa như trường hợp
С là nón hằng.
Nhận xét. Nếu F là ánh xạ đơn trị thì khái niệm C-liên tục trên (dưới) là một v à k h i
đ ó F đ ư ợ c g ọ i l à C - l i ê n t ụ c .
Mệnh đề sau đề cập đến điều kiện để một ánh xạ là C-liên tục trên (dưới)
Mệnh đề 1.3.13 [5] Cho F : К X D X D 2

Y
,C : К X D -» 2
V
là ánh xạ đa trị.
(i) Nếu С là nửa liên tục trên với giá trị nón lồi khác rỗng. F là C- liên tục trên
tại ( Y O , Z O ,
Z
O ) € domi
7 1
với F(Y O , X(Ị, Z Ữ ) + С (i/o 1 ^ 0 ) đóng, với dãy
t ù y ý ( V ß , X ß , Z ß ) - > ( y a , x
0
, z
0
) , t ß e F ( y ß , X ß , Z ß ) +
C ( y ß , X ß ) , t ß - > t
0
k é o t h e o t o e F ( у о , X o , Z o ) + С ( у о ,
Х о ) .
Ngược lại, nếu F là ánh xạ compact và với dãy tùy ý ( Y S S , X S S , Z S S ) -»
( y o , x
0
, z
0
) , t ß G F ( y
ß
, X ß , Z ß ) + C ( y
ß
, X ß ) , t ß - > t o k é o t h e o
í

0
e F ( y
ữ
, x
0
, z
0
) + C(Y O ,X O ). Thì F là C- liên tục trên tại (Y O , XO , го).
được ký hiệu lần lượt như sau:
2
5