Luận văn bài toán cauchy cho phương trình hyperbolic chặt thuần nhất với hệ hằng số

NGUYỄN NGỌC HƯNG
BÀI TOÁN CAUCHY CHO PHƯƠNG TRÌNH
HYPEBOLIC CHẶT THUẦN NHAT VỚI HỆ số
HẰNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2014
NGUYỄN NGỌC HƯNG
BÀI TOÁN CAUCHY CHO PHƯƠNG TRÌNH
HYPEBOLIC CHẶT THUẦN NHAT VỚI HỆ số
HẰNG
Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2
Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Hà Tiến Ngoạn
Hà Nội - 2014
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2
Lời cảm ơn
Tác giả xin được bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đối với PGS. TS Hà Tiến
Ngoạn; thầy đã giao đề tài và tận tình hướng dẫn tác giả hoàn thành luận văn này.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đối với quý thầy cô Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2,
Phòng Sau Đại học, cùng toàn thể đội ngũ giảng viên Khoa Toán Trường Đại học Sư phạm
Hà Nội 2 đã tạo điều kiện, trang bị kiến thức, phương pháp nghiên cứu để tác giả hoàn
thành khoá học.
Tác giả xin cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Cao đẳng Nghề Ninh Thuận đã tạo điều kiện
thuận lợi nhất cho tác giả trong suốt quá trình học tập vừa qua.
Và cuối cùng, tác giả xin cảm ơn những người thân trong gia đình, tập thể lớp K16 Toán
Giải tích Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, quý thầy cô đồng nghiệp Trường Cao đẳng
Nghề Ninh Thuận và bạn bè đã giúp đỡ, động viên rất nhiều trong suốt thời gian học tập và
nghiên cứu.
Tác giả xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, tháng 6 năm 201ị Tác giả
Nguyễn Ngọc Hưng
Lời cam đoan
Dưới sự hướng dẫn của PGS. TS Hà Tiến Ngoạn, tác giả xin cam đoan luận văn Thạc sĩ
chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài “Bài toán Cauchy cho phương trình hyperbolic
chặt thuần nhất với hệ số hằng” được hoàn thành bởi chính sự nhận thức của bản thân tác
giả, không trùng với bất cứ luận văn nào khác.
Trong quá trình làm đề tài, tác giả đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với
sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 6 năm 20lị Tác giả
Nguyễn Ngọc Hưng
Mục lục
BÀI TOÁN CAUCHY ĐỐI VỚI PHƯƠNG
TRÌNH HYPERBOLIC CHẶT THUẦN NHÁT VỐI
HỆ SỐ HẰNG
Toán tử hyperbolic chặt
Bài toán Cauchy
Phát biểu bài toán Cauchy chính tắc
Phát biểu bài toán Cauchy tổng quát
Đưa bài toán Cauchy tổng quát về bài toán Cauchy chính tắc
Bài toán Cauchy chính tắc
Bài toán Cauchy chính tắc với dữ kiện ban đầu là sóng phẳng
Chương
2
.
1
8
1
8
2

0
2
0
2.
1.
2.2
.1.
2.
2.
2.3.
2.3.2 Bài toán
Cauchy chính tắc với dữ kiện ban đầu là hàm bất kỳ 24
2.3.3 Nhân của
toán tử nghiệm 26
Việc biểu diễn nhân của toán tử nghiệm qua tích phân trên mặt
nghiệm đặc trưng
Trường hợp phương trình truyền sóng cổ điển
KẾT LUẬN
2.
2
7
3
4
4
2.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Bài toán Cauchy cho phương trình truyền sóng cổ điển cấp hai với hệ số
hằng đã được các nhà toán học thiết lập công thức biểu diễn nghiệm trong

trường hợp số chiều không gian N

là 1,2,3 bởi các công thức D’Alembert,
Poisson và Kirchoff tương ứng. Kết quả này đầu tiên được mở rộng cho trường
hợp N

là số chẵn, sau đó bằng phương pháp hạ bậc kết quả đã được thiết lập
cho trường hợp số chiều N

bất kỳ.
Luận văn đặt vấn đề mô tả công thức biểu diễn nghiệm cho bài toán
Cauchy đối với phương trình hyperbolic chặt thuần nhất với hệ số hằng bằng
việc sử dụng khái niệm sóng phẳng. Với mong muốn được nghiên cứu về vấn
đề này tác giả chọn đề tài: "Bài toán Cauchy cho phương trình hyperbolic
chặt thuần nhất với hệ số hằng".
Bố cục của luận văn gồm 2 chương
Chương 1. Trình bày khái niệm sóng phẳng và một số tính chất. Phát biểu
và chứng minh công thức biểu diễn hàm số bất kỳ qua sóng phẳng. Ngoài ra
luận văn nghiên cứu các tính chất của mặt đặc trưng đối với đa thức
hyperbolic.
Chương 2. Phát biểu bài toán Cauchy tổng quát và bài toán Cauchy chính
tắc. Luận văn chỉ ra có thể đưa bài toán Cauchy tổng quát về bài toán Cauchy
chính tắc. Trình bày lời giải của bài toán Cauchy chính tắc
với dữ kiện là sóng phẳng. Biểu diễn nhân của toán tử nghiệm qua tích
phân trên mặt nghiệm đặc trưng, và áp dụng các kết quả thu được cho phương
trình truyền sóng cổ điển.
Luận văn được trình bày trên cơ sở chương 2 của cuốn sách: "Fritz John
(1955), P L A N E W A V E S A N D S P H E R I C A L M E A N S

, Springer-

Verlag, New York Heidelberg Berlin".
2. Mục đích nghiên cứu
Đưa ra công thức biểu diễn nghiệm tường minh cho bài toán Cauchy đối
với phương trình hyperbolic chặt thuần nhất với hệ số hằng bằng việc sử dụng
khái niệm sóng phẳng.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Trình bày khái niệm sóng phẳng và công thức biểu diễn hàm số bất kỳ qua
sóng phẳng, sau đó dẫn dắt ra công thức mô tả nghiệm tường minh cho bài
toán Cauchy đối với phương trình hyperbolic chặt thuần nhất với hệ số hằng.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Các phương trình hyperbolic chặt thuần nhất với hệ số hằng.
5. Phương pháp nghiên cứu
Đọc tài liệu và tổng quan kết quả về công thức biểu diễn nghiệm cho bài
toán Cauchy đối với phương trình hyperbolic chặt thuần nhất với hệ số hằng.
9
6. Dự kiến đóng góp mới của đề tài
Tổng quan về công thức biểu diễn nghiệm cho bài toán
Cauchy đối với phương trình hyperbolic chặt thuần nhất
với hệ số hằng.
Chương 1 SÓNG PHẲNG VÀ CÔNG THỨC
BIỂU DIỄN HÀM số BẤT KỲ QUA
SÓNG PHẲNG
1.1. Một số ký hiệu
• R
n
= { X

= (xi, X

2

, , X

N

) \ X Ị

e K. , Ỉ

= 1

, N } .
• Các chữ cái X , Y , Z , X , Y, Z , ^ , R } , C

sẽ được thay thế cho các vectơ
( X Ị , . . . , X

N

) , ( Y X , . . . , Y

N

) , . . . , ( ( Ị , . . . , ( N )

trong không gian N
chiều, trong đó 71 > 2. Tất cả các chữ cái khác được thay thế cho các biến
vô hướng.
n
• Tích vô hướng của vectơ у và ж được kí hiệu là Y . X =

YI XỊ.
i
=1
• Độ dài ( X . X ) Z

của vectơ X

là |xỊ.
• Phần tử thể tích D X

1

, , D X

N

được viết tắt là D X ,

trong khi D S

X



được
kí hiệu phần tử diện tích mặt của một siêu mặt trong không gian N

chiều.
• Mặt cầu đơn vị có bán kính 1 với tâm ở gốc tọa độ trong không gian X
được kí hiệu là Í Ì

X

,

phần tử diện tích mặt cầu đơn vị là D U J

X

,
• Thể tích của hình cầu đơn vị trong không gian N

chiều là ( —

ị 0

J

N

.
\nj
1
• Các phép tính tích phân được thực hiện trên toàn bộ miền biến thiên của
biến đó, trừ khi các hạn chế khác được chỉ ra.
• Chứng minh hoàn thành đ ược kí hiệu là □.
1.2. Khái niệm sóng phẳng
Định nghĩa 1

.1

. Cho G ( S

) là một hàm liên tục của biến vô hướng S ,

vectơ Y
= ( Y I , . . . , Y

N

)

^ 0 được cố định thuộc không gian R
n
. Hàm số G ( Y . X

) là
một hàm theo biến X

= ( X I , . . . , X

n
) và nhận giá trị hằng số trên các siêu
phẳng mà vectơ Y

là pháp tuyến. Hàm G ( Y . X

) được gọi là một sóng phẳng.
Định lý 1.1. Giả sửn > 2, g(s) là một hầm liên tục củ ã biến vô hướng
s. Ta có công thức

+1
J g(y.x)duj
x
= w
n
_i Ị (1 -p
2
)
,í
^g{\y\p)dp = U)
n
h(\y\) (
1
.
1
)
n« -1

trong đó h(s) được xắc định bởi (
1
.
1
), rỉa: là mặt cầu đơn vị trong R
n
.
Chứng minh. Ta tính tích phân của G

(Y . X

) trong toàn hình cầu có bán kính

R

với tâm ở gốc tọa độ bằng cách phân tích hình cầu thành các phần thiết diện
vuông góc với y-hướng. Trên mặt phẳng Y . X

= IY \ P

mà có khoảng cách từ
gốc là \ P \ ,

hàm G

(X . Y

) có giá trị G ( \ Y \ P ) .

Phần giao ( N —

1) chiều
của mặt phẳng đó với hình cầu có diện tích (xem Hình 1.1)
U!
n
_
1

2
71—1
1
Suy ra
1

+ r
J g{y.x)dx = —зуУ { r
2
- p
2
) ^ g ( \ y \ p ) d p .
|x|<r —r
Lấy đạo hàm hai vế theo r và đặt r = 1 ta được
+1
Ị

g

(y.x)duj

x

= u

n

_


1
J

(l-p

2

)^g(\y\p)dp = uj

n

h(\y\).
Định lý 1.2. Cho g(s

) là hàm liên tục và giả sử

к

>

0. Khi đ( các
công thức sau
2^
_1
Г (*±ỉ)
r(*±±)
2v^
_

1
r(^)
r(s±i)
/|
*.

-1
trong đó c

n

ỵ là hằng số, T(t) là hàm
(1.2)
□
5 ta
có
(1.3
)
x\

k




lĩ /
í
J \y.x\

h





log

ịy.xịdUa
M (
lo
s Ivl +
C

«T)
Chứng minh. Với G ( S

) = C O N S T . =

1 ta có H

= 1, và từ (1.1)
ta suy ra công thức sau
Từ công thức (1.5) suy ra một công thức nổi tiếng
2y/ĩfĩ
“ ” ' ĩ ( ĩ ĩ
đối với diện tích của mặt cầu đơn vị trong không gian N

chiều. Cho G ( S

) = E

I S
ta được
1
h(s) =
U}n

~

1



í
(1
— p
2
)^e
isp
dp =
^n J
-1
trong đó J„ là hàm Bessel với chỉ số V =
Với g(s) = |sỊ
fc
và #(s) = Ịs|
fc
logỊs|, từ (-L1

) ta nhận được các kết quả tương
ứng sau đây
2
v
y-
1

r(í±i)
t
dw
* = -
1
r - - l»l
Ị \ Y . X \

K

log |ỉ/.x| Đ U ,

= lí/l +
trong đó C

N

Ỵ

là các hằng số nào đó.
r (g)
r
(ầ)
r(|)
(1.5
d
Nhận xét 1.1. Công thức (1.3), (1.4) hiển nhiên cũng đúng khi k = 0.
1
^

n ___ Í Í-\

„ 2\
______ —
„ = / (
1
-P ) ’
(1.
2"I> + 1)
(1.
N

—
□
1.3. Công thức biểu diễn hàm số
1.3.1. Biểu diễn hàm số qua sóng phẳng
Định lý 1.3. Giả sử f(x) ỉầ một hàm thuộc lớp c\ vầ bằng khồng ngoầi
tập bị chặn nào đó. Khỉ đó tã có công thức biểu diễn sau
(A*)
5
^ J Ịj f( y ) \ ( y - z ). x \
h
d y = 4(2?ĩ i )
n
~
1
k \ f ( z ) (1.8)
với n lẻ vầ k = 1 , 3 , 5 , . . .
(A
a

)"í* j (/ f {y) [{ y - z) .x f log |(ỉ/ - z).i| du j
x
j dy = - (2 ir iỴ k\ ị( z)
(1.9)
v ớ i n chẵn vầ k = 0 , 2 , 4 , . . . (cho cần = 2), trong đó
_

n



í)2
j
=1
J
ỉầ toẩn tử Lãpỉace theo biến z.
Chứng minh. Ta xét một hàm F ( X

) tùy ý thuộc lớp C Ị

và bằng không ngoài
tập bị chặn nào đó. Khi đó
/
I |2

—n
9 I I ,


dy

(
L 1
°)
(2
ĩi)UJ
n
là một hàm của 2

: thuộc lớp Ơ2

, thỏa mãn phương trình vi phân Poisson
trong đó là Laplace đối với các biến ZI ,. , Z
N
.
u
1
A
Z
u ( z ) = f ( z ) (1.11)
Với N

= 2 hàm nhân trong (1.10) được thay thế bằng — log IY

— Z \ .
2ĩĩ
Thật vậy, từ (ỊTTTTỊ) ta có
A
z
u = — ^ 2 w ~ Ị f ( y ) { y i - Zi) Iy - z \ ~
n

d y
ỞZị J
i
= !<* + *)*№’*1
i
= — ^ 2 Ị ĩ y Ả V +
z
)yi\ y\ ~
n
d y
^n J
i
=
~
ỉim
n
ĩ2 í ỉyẢV +
z
) y i \ y \ ~
n
d y
%
\y\>r
=
~
ìim
n
ĩ2 / “1 y \ ~
n
f ( y +

z
)
d S
v ~ Ị f { y +
z
) ^ - { y i \ y \ ~
n
) d y
n

r —
J T J OĩỊị
Ị[ĩ/|=r |ĩ/|>r
= — limr
1_n
[ f(y + z)dSy
u
n
r
->0
J
I y\ = r
= m.
Việc chứng minh của công thức Poisson được đưa ra ở đây một cách chi
tiết, bởi sự quan trọng của nó cho những phần sau, vì tất cả các phép tính đạo
hàm đối với các tích phân kỳ dị sẽ được thực hiện bằng việc đưa đến công
thức này. Công thức tương tự vẫn đúng nếu giả thiết rằng F ( X

) thỏa mãn điều
kiện Hổlder.

Bây giờ ta chọn N

chẵn cho đồng nhất thức (1.4), N

lẻ cho đồng nhất
thức (1.3), thay Y

bằng Y — Z ,

nhân hai vế với F ( Y

) và lấy tích phân theo
Y

(ta vẫn giả thiết rằng / là thuộc lớp Cị và bằng không ngoài tập bị chặn nào
đó). Ta chọn một số nguyên K

không âm sao cho N

+ K

là một số chẵn, và áp
dụng toán tử A

Z

vào hai vế của đẳng thức cuối
N

^ lần.

A* \y - z\
k
= k(k + n -
2
) \y - z
và N >

2

ta nhận được các công thức sau
on+ỉ-lr fk+2\ -p f k+n\ T' í n\
( A \y - z\' = -— I , -
*1
[2 — n) 7Ĩ
(1.12)
với N

lẻ,
( A O ^ I y - ^ l o g l y - ^ l
=
2
n+fc
~
2
r (***) r (*y) r (f) ^ _
(2
- n) K ) \y
với N

chẵn.

Từ công thức (|1.3|), (|1.4Ị), (|1.11|) ta có
(A.)
với N

lẻ và K =

1,3, 5 , . . .
f(y) [(y - z).x]
k
log I (y - z).xI duj
x
\dy=- (2ĩri)
n
k\f(z)
với N

chẵn và K

= 0

, 2

, 4 , . . . (cho cả N

= 2

), trong đó
_

n

í)2
j=
1
J
là toán tử Laplace theo biến Z .
k
—
Ta thấy, với
2
2 — n
(1.1
7
ì
n
(A.
□
Nhận xét 1.2. Về mặt hình thức ta có thể kết hợp các công thức cho N

chẵn và N

lẻ
thành công thức sau
№ =(A,)
!
kũầrJ\f
ỉ m v
~

z )
'
x ] k
'
ì o s
(1.14)
trong đó log S

kí hiệu các nhánh chính của hàm log xác định trong mặt phẳng
phức S

với đường cắt dọc theo trục thực âm.
Công thức (1.8), (1.9) biểu diễn cho một nghiệm của bài toán thu được một hàm
F ( Z

) như một tổ hợp tuyến tính của “sóng phẳng” hàm của Z .

Các sóng phẳng ở
đây có một trong hai dạng \ { Y — Z ) . X Ỷ

hoặc [ ( Y

- Z ) . X F

log I ( Y

- Z ) . X
|.
1.3.2. Biểu diễn hàm số qua tích phân của nó trên các siêu phẳng
Định lý 1.4. Giả sử f(x) là một hầm thuộc lớp C\ vầ bằng không ngoài

tập bị chặn nao đó. Với X G R
n
, Ị;cỊ = 1 và p € K ía đặt
X G R
n
, \x\ = 1 vầ p & J(x,p)= Ị
f(y)dSy
y.x = p
_________7
z
_____________A . _ ! / _
J____
lầ tích phẫn của f trên siêu phẳng với phấp tuyến đơn vị X vầ có
khoảng cách p (có tính tới dấu) từ gốc. Khi đó ta có cấc công thức
biểu diễn sau
7
r 1 1
R
(1.1
2
(
2
?ĨỈỴ
1
f(z) = (A
z
)
n
z
1

J J(x,x.z)du)
2
íĩ*
với n
p= + oc
(2ĩri)
n
f(z) = (A
z
)
r
^
Ẵ
Jduj
x
Ị

d J

^

p

)
íĩ*P = -

00

với n chẵn, trong đó phân tích f(z) thành cấc hầm sóng phẳng.
Chứng minh. Theo công thức (1.15) J ( X , P

) = Sử dụng
công thức (1

.8

) cho N

lẻ với K =

1

ta có
+ 00
JJf(y)\(y-z).x\d
Ul
dy = Jdu>,J |p| dp J" f(y)dSy
iîz fi* —oo (y — z).x=p
+ 00
= J

düJ
x
J

\p\ J(x,p + z.x)dp. (1-18) f
2
x
-00
Ta nhận thấy rằng đối với |x| = 1

+ 00
A* J \p\ J{x,p + z.x)dp
—
—
— Ta nhận được từ (1.8) cho trường hợp N

lẻ công thức sau đây
— 2(27 TỈỴ
1
f(z) = (A
z
)
n
z
1
J J(x,x.z)duj
x
.
— íL
— ở đây tích phân biểu diễn (ngoại trừ một hệ số không đổi U

)
n
) đại lượng
trung bình của các tích phân phẳng của / trên các mặt phẳng đi qua
(1.1
1
điểm Một công thức tương tự có thể được suy ra cho n chẵn từ (1.9)
— với K

= 0. Ta chú ý ở đây đối với \ X \ =

1,
—+
00

+00
A
z

J

log \p\ J(x,p + z.x)dp = / (log
\p\)Jpp{x,p + z.x)dp
—— 00 —00
— + 00
— = / (log \p - z.x\)J
p p
(x,p)dp
— — 00
— + 00
— = - - — - Jp(x,p)dp
— J p - z.x
— 00 p= + 00
=
_ f dJ(x,p)
—
J
p - x . z
— p= — oo

— Hai tích phân cuối cùng ở đây được hiểu theo nghĩa giá trị chính
Cauchy. Giá trị chính Cauchy của tích phân ở đây được hiểu là
— + 00
— J

f{z)dp= lim J

f(z)dp.
— ■00 \p— z.x\>e
— Khi đó ta nhận được từ (1.9) cho trường hợp N

chẵn công thức
sau
— p= + oc
— (2ĩĩỉ)
n
f(z) = (A
z
)
r
^
Ẵ
Jduj
x
Ị
d J



^'

Ấ

— tìx P=-00
—
n
d
2
— trong đó A

Z

= > —là toán tử Laplace theo biến ■*—
1
' D Z I
— 3=1
j
□
2
điểm Một công thức tương tự có thể được suy ra cho n chẵn từ (1.9)
1.4. Hình học các siều mặt nghiệm đặc trưng của đa
thức hyperbolic chặt thuần nhất với hệ số hằng
1.4.1. Đa thức hyperbolic
— Với 77

= (771

,772

, . . . , T ]

N

)

e A ẽ E , xét đa thức thuần
nhất bậc M
— Q{n,X) = ^2
a
<xkV
ữ
^
k
(1-19)
— \a\ + k=m
— trong đó
• A

A K

e R
• A

=

(«1

, A

2

, . . . , A

N

) E

M
n
• I Qí I = Oil + OÍ2 + • • • + OL
n
• v
a
= VĨ'V2
2
■■■Vn
n
-
— Ta giả thiết điều kiện sau đây được thỏa mãn
— «(0,1) =
1
.
— Nhận xét 1.3. Vì đa thức Q

là
thuần nhất bậc M ,

nên
— Q ( H R J , H X

) = H

M

Q ( R ) ,

À), Wi € M
(1.20)
— trong đó (77

, A) € M
n + 1

là bất kỳ.
— Định nghĩa 1.2 (Đa thức hyperbolic). Đa thức Q ( R ] , X

) được gọi là
hyperbolic đối với biến A nếu V77

G M
n
thì phương trình
— Q(n,\) = 0
(1.21)
— chỉ có các nghiệm thực đối với biến À.
— Định nghĩa 1.3 (Đa thức hyperbolic chặt). Giả sử (77

, A) € R
n
X R, khi
đó đa thức Q ( Ĩ ] , X )

được gọi là hyperbolic chặt đối với biến À nếu nó thỏa
mãn hai điều kiện sau
• Nó là hyperbolic đối với biến À.
• Khi 77

7

^ 0 thì phương trình (|1.19|) có M

nghiệm thực theo A đôi một
khác nhau.
— Ví dụ 1.1. Đa thức thuần nhất bậc hai sau đây
— n
-
x
*
—
3
=1
— là hyperbolic chặt. Thật vậy, từ phương trình Q ( R ] ,

A)
— n
—
x 2
= ỉ, ni
—
3
=1

— từ đó suy ra
— 71
— E^
eR
-
— 3

=1
— Khi 77

7

^ 0 ta có
Ai Ỷ

^2

- Ví dụ 1.2. Xét đa
thức
— n n
— <3(í.
x
) = +
2A b
iS i -
x 2
í
1
-
23

)
— j,k=
1

3
=
1
— 71
— trong đó B J E

R, A

J K

= A

K J

E

R,
A

J K £ J £ K > Ổ

|£|
2
, ổ > 0

.

— j,k=i
— Khi đó đa thức Q(£, A) là hyperbolic chặt, do
(1.22)
0 ta nhận được
\
1.4.2. Siêu mặt đặc trưng của đa thức hyperbolic chặt thuần nhất
— Định nghĩa 1.4. Giả sử Q ( R ] ,

A) là một đa thức hyperbolic chặt thuần
nhất. Khi đó tập hợp
— E = {(
77
, A) e M
n
X M;
77
^ 0, Q(r], A) = 0}
— được gọi là mặt đặc trưng.
— Nhận xét 1.4. Ta thấy ( Ĩ ) , X

) ẽ s khi và chỉ khi
— (hr], hX) Ẽ S , V/ ỉ ^
0
— do đó s là mặt nón trong R
n
X K.
— Định lý 1.5. Mặt nón £ có thể biểu diễn thành hợp của cấc mặt
nón ỉiên thông vầ rời nhau sau đẫy
— £ = £1 u £2 u u £ I
(1.24)

— trong đó
— ị !H±i
v ô i m l ẻ
—
L =

\ M

2
t
1
-
25
)
— với m chẵn.
— I 2
— Chứng minh. Trong trường hợp của một phương trình hyperbolic chặt
— phương trình đặc trưng (1

.21

) với 7 ] Ỷ

0

có đúng M

nghiệm thực phân
— biệt X Ị

, . . . , A
m
. Ta đánh số theo một dạng duy nhất
sao cho
— Ai > À
2
> > A
m
.
(1.26)
— Cho 77

là vectơ đơn vị, khi đó Àfc bị chặn đềudo
hệ số của A
m
trongliên tục vào các hệ số, và do (1.26)
đúng với mọi 77

trên Í L Q ,

nên Afc (77

) là các hàm liên tục trên mặt cầu đơn vị.
— Phương trình
— suy ra
— Q{~V: -A) =
0
,
— nẽn
— Q{-1h =

0
.
— Như vậy —(77

) là cácnghiệm phụ thuộcvectơ— Ĩ ] .

Vì
— nên ta có
- h(v) = A
m
_
fe+
i(-r/)
— với K =

1

, . . . , r a .
— Từ (1.27) ta suy ra các công thức (1.24) và (1.25)
— Nhận xét 1.5. Trong trường hợp đặc biệt quan trọng, trong đó
— Q(I7

,0

)^Ũ
— với mọi Ĩ ]

trên Q Q ,

thì không có Afc có thể bằng 0. Từ sự liên tục của

— Ằ K ( Ĩ ] )

suy
ra
rằng các số dương Àjfc là như nhau với mọi R J .

Theo
(1.27) số
— dương A
fc
(77

) bằng số âm Afc(—Ĩ ] ) .

Từ đó theo giả thiết (1.28) số
dương
(1.2
□
(1.2