Luận văn ck khả tổng và áp dụng đối với lý thuyết chuỗi fourier

ĐÀO QUANG HƯNG
KHẢ TỎNG VÀ ÁP DỤNG Đối VỚI LÝ THUYET CHUỖl FOURIER
LUẬN VĂN THẠC Sĩ
HÀ NỘI - 2014
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2
ĐÀO QUANG HƯNG
c

k

-

KHẢ TỎNG VÀ ÁP DỤNG Đối VỚI LÝ THUYET CHUỖl FOURIER
Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 60 46 01 02
LUẬN VĂN THẠC Sĩ
Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN HÀO
HÀ NỘI - 2014
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2
2
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của TS. NGUYỄN VĂN
HÀO. Thầy đã hướng dẫn và truyền đạt cho tác giả những kinh nghiệm quý báu trong học tập cũng như trong
nghiên cứu khoa học. Thầy luôn quan tâm và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình hoàn thành luận văn. Tác giả xin
bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với Thầy.
Tác giả xin cảm ơn Ban giám hiệu nhà trường, phòng Sau đại học, các thầy,cô trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã
trang bị kiến thức và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp chương trình đào tạo Cao học, hoàn thiện
luận văn bảo vệ tốt nghiệp. Tác giả xin cảm ơn Ban lãnh đạo Tỉnh Vĩnh Phúc,Lãnh đạo UBND Huyện Tam Đảo
Phòng GD & ĐT Huyện Tam Đảo đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ để tác giả an tâm học tập và hoàn thành tốt khóa
học. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã động viên tinh thần để tác giả hoàn thiện

khóa học và hoàn thành luận văn này.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 12 năm 20lị Tác giả
ĐÀO QUANG HƯNG
Tôi xin cam đoan. Luận văn này là kết quả nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của TS. NGUYỄN VĂN
HÀO.
Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn
sâu sắc. Các kết quả trích dẫn trong luận văn này đã được chỉ rõ nguồn gốc.
LỜI CẢM ƠN
Hà Nội, tháng 12 năm 20lị Tác giả
ĐÀO QUANG HƯNG
LỜI CẢM ƠN
Mục lục
5
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết chuỗi số cũng như lý thuyết chuỗi hàm đã được nghiên cứu từ rất sớm và gần
như đã mang tính hoàn thiện một cách chuẩn mực. Các kết quả đẹp nhất trong lĩnh vực
này phải nói đến các công trình tính toán của nhà toán học L. Euler cùng một số nhà
Toán học đương thời. Tuy nhiên các kết quả trước đó về lĩnh vực này phải kể đến một
số nhà Toán học như Leibniz, Newton và các cộng sự của họ. Lý thuyết chuỗi được
hình thành một cách khá tự nhiên xuất phát từ các công trình tính toán của các nhà toán
học thời đó từ nhiều lĩnh vực thực tế. về lĩnh vực này, theo tiến trình lịch sử có lẽ phải
kể đến sự quan tâm của các nhà Toán học về chuỗi hình học
1 + X + X
2
+ X
3
+ • • • .
Chuỗi hình học xuất hiện như một kết quả không kết thúc trong phép chia . vấn đề

hôi tu của chuỗi theo nghĩa hiên đai đã
1 — X
được xuất hiện từ rất sớm trong ý nghĩ của các nhà Toán học. Điều đó không ngạc
nhiên khi nhà Toán học L. Euler sử dụng biểu diễn của chuỗi hình học
l + x + x2 + x3 + - = —— ,
1 — X
để khẳng định quả quyết rằng
1 — 1 + 1 — 1 + = -; với X = — 1
Ẩi
1 — 2 + 2
1
— 2
2
+ • ■ • = với X = —2.
3
1 z = 7 —z =1- X + X - X + X - X + . . . ,
21 + X + X
2
1 - X
3
với X = 1 ta lại nhận được quả
1 - 1 + 1 - 1 + = |.
6
Tương tự như thế, từ biểu diễn
1 V
= 1 + 2x + 3rc
2
+ 4a;
3
+

\ 1 — £
L. Euler cũng khẳng định đẳng thức sau
l-2 + 3- 4+ = -; với rc = -1 .
4
Điều thực tế rằng, các nhà Toán học đương thời cũng rất nghi ngờ những kết quả đưa ra
trên đây. Tuy nhiên, họ cũng không có sự hiểu biết một cách thấu đáo để phủ định hay
chấp nhận những kết quả như thế.
Đương thời lúc đó, người ta vẫn nghi ngờ các khẳng định ở trên. Để thấy được điều đó ta
có thể xét chuỗi
1 - 1 + 1 - 1 + . . . ,
theo cách suy luận trên đây có kết quả bằng —. Thế nhưng, từ biểu diễn
7
Cauchy và Abel là những người đầu tiên đưa ra khái niệm hội tụ của chuỗi số theo
quan điểm hiện đại như ngày nay. Quan điểm của các nhà Toán học này chỉ xét sự hội
tụ của một chuỗi số thông qua sự hội tụ của một dãy tổng riêng (s

n). Trở lại vấn đề
này ta xét chuỗi
00
7Ỉ
= 0
CÓ dãy tổng riêng
(s„) = l,0 ,1 ,0 , ! , • • • ,
không tồn tại giới hạn. Tuy nhiên, có một ý tưởng được nghĩ đến dạng trung bình số
học
, SQ + Si + + s
n

n
~

n+l ’
bởi vì s

n

=

- [ 1 + (—l)71], chúng ta thấy rằng (n + 1) +
-[1 + (-1)
71
] ị
s" = 2 (n + 1) = 2 + 4(n + 1) '
Theo nghĩa này dãy s'

n

hội tụ tới giá trị - và như thế dẫn đến đẳng
2
thức nghịch lý của Euler
Từ đó, người ta đưa ra khái niệm có tính thử nghiệm như sau: Dãy
00
tổng riêng (s

n) hoặc chuỗi Ỵ2 a

n

được gọi là "hội tụ" tới giới hạn,
71=0
hoặc có tổng là s

khi và chỉ khi dãy trung bình số học
Chỉ đơn giản như thế cũng đã chỉ ra rằng những suy luận của Euler là chưa có cơ sở.
8
/ SQ + Si + . . . + s
n
si = —
71
n

+ 1
hội tụ đến s.

Tính thích hợp của khái niệm này minh chứng rằng
oo
chuỗi (— l)

n

trở thành một chuỗi hội tụ "theo nghĩa mới" với
71 = 0
1
tổng bằng Có hai điều cần lưu ý khi đưa ra khái nệm mới này
2
như sau
(ỉ)

Dãy tổng riêng của chuỗi (s^) hội tụ theo nghĩa thông thường tới s

cũng

hội tụ đến s

theo nghĩa mới.
00 oo
(ii)

Nếu hai chuỗi hội tụ theo nghĩa cũ y2

a

n

= A

và y2 bụ

= B
71 = 0 71 = 0
oo 00
thì chuỗi tích ^2

c

n — ^2

(a0 b

n

+ +

■■■

+ a

n

b

o) không
nhất
71=0 71 = 0
thiết hội tụ theo nghĩa này. Thế nhưng ta thấy rằng
CQ + Ci + + C
n
n + 1
n oo
với C

n

=
c

k-

Điều này có nghĩa là chuỗi tích ^2

c

n

lại hội tụ
k=0 71=0
theo nghĩa mới. Ngoài dạng trung bình số học trên đây, cũng gợi ý cho nghiên cứu
đến một quá trình khác có thể dùng thay thế một số dạng khái niệm hội tụ. Việc áp
dụng Cị

—quá trình vào nghiên cứu chuỗi Fourier được nghiên cứu bởi Fejér,
trong việc nghiên cứu điều kiện để chuỗi Fourier của hàm f(x

) hội tụ tại điểm x

ữ

.
Với mong muốn tìm hiểu về lý thuyết chuỗi phân kỳ và lý thuyết chuỗi Fourier,
nên tác giả đã chọn đề tài. “Cfc—khả tổng và áp dụng đối với lý thuyết chuỗi
Fourier”.
2. Mục đích nghiên cứu và nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về lý thuyết chuỗi phân kỳ và áp dụng Ck

~quá trình vào việc nghiên
cứu chuỗi Fourier
Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
9
Nghiên cứu lý thuyết chuỗi phân kỳ và lý thuyết chuỗi Fourier.
3. Phương pháp nghiên cứu
Tra mạng tìm tài liệu, phân tích và tổng hợp kiến thức, xin ý kiến định hướng của
người hướng dẫn.

4. Dự kiến đóng góp của đề tài
Trình bày một cách có hệ thống về lý thuyết chuỗi phân kỳ,
chuỗi Fourier, các Ck

~quá trình và ứng dụng của Ck

~quá trình
trong việc nghiên cứu lý thuyết chuỗi Fourier.
Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
1.1. Chuỗi số
1.1.1. Một số khái niệm cơ bản
Cho dãy số {an}. Ta gọi tổng vô hạn
oo
ữl + CL2 + • • • + ®7Ỉ + ••• = 'y ]
a
n (1-1)
71=1
là một chuỗi số.
+ a

n

được gọi là số hạng tổng quát thứ n

của chuỗi số.
+ Tổng
s
n —
a

l +
a
2 + • • • +
a
n — y '
a
ki (1-2)
gọi là tổng riêng thứ n

của chuỗi số. Dãy {s^} gọi là dãy tổng riêng của chuỗi (1 .1 ).
Định nghĩa 1.1. Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn
lim s

n

= s,
71—y 00
7
1
= ữ\ ữ2 - ữ
n
= ^ ^
thì ta nói rằng chuỗi (1 .1 ) hội tụ và viết là
ОС
^ ^ — S'
71= 1
Khi đó, s

được gọi là tổng của chuỗi (1.1).
Nếu lim s

n

=

±oo hoặc không tồn tại giới hạn này, ta nói rằng chuỗi
Ti—>00
(1.1) phân kỳ.
Ví dụ 1

.1

. Xét chuỗi số
oo
q
n
=
1
+ я + ỉ + ••• + q
n
+ ••••
71 = 0
Tổng riêng của chuỗi số được xác định như sau
Sn+1

— 1

+ Q

+ Q

2

+ ••• + Q

n

■
Ta xét các trường hợp
(ỉ)

Trường hợp q

Ф

1. Ta có tổng riêng thứ n

+ 1 của chuỗi là
1

- qn+l
S7Ỉ+1 Z. •
1

- q
+ Nếu \q\ <

1 thì lim q

n

= 0. Do đó
rỉ—>00
lim s
n+ 1

= —.
71—^ ОС 1 — q
Vậy chuỗi đã cho hội tụ và có tổng là
00
ỹv = —•
1

-q
71=0 ^
+ Nếu \q\ >

1 thì lim s

n+

1

= oo nên chuỗi đã cho là phân kỳ.
71—>00
(ii) Trường hợp q

= 1. Khi đó, ta có
lim s^+1

= lim (n

+ 1

) = oo.
n—>OQ n—>00
(iii) Trường hợp q

= — 1 dãy tổng riêng được xác định như sau
như vậy dãy (Sn+i) không có giới hạn. Do đó, với \q\

= 1 thì chuỗi đã cho phân kỳ.
Ví dụ 1

.2

. Cho chuỗi số
Ta có
Từ đó, suy ra limSrc = 1. Vậy chuỗi đã cho hội tụ với tổng bằng 1.
1.1.2. Điều kiện để chuỗi hội tụ
Định lý 1.1. (Tiêu chuẩn Cauchy). Dể chuỗi (1.1) hội tụ điều kiện cần và đủ là với £ > 0
tồn tại số nguyên dương n0 = nữ{e) sao cho với mọi n > nữ (e) và với mọi số nguyên
dương p, ta có
\a

n+

i

+ a

n+

2

+ + a

n+

p

I < £.
Chứng minh. Chuỗi (1.1) hội tụ khi và chỉ khi dãy tổng riêng {sn} có giới hạn hữu hạn. Theo
tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ của dãy số, với
0 nếu n = 2k + 1
1 nếu n = 2k
71—1
1 1 1
1
n n + 1
1 1
(1.
mọi £ >

0

tồn tại số nguyên dương щ

=Щ

(e)sao cho vớimọi n

>

Щ

và với mọi số nguyên dương p,

ta có
l^n+p I <
Điều này tương đương với
Ia7i+1 + a
n+
2 + + a
n + p
I < £.
Vậy định lý đã được chứng minh.
Hệ quả 1.1. (Điều kiện cần đối với sự hội tụ củachuỗi). Nếu

chuỗi

(1.1) hội tụ thì lim an = 0

.
71—> ОС
Chứng minh. Thật vậy, theo bất đẳng thức (1.3) thì với mọi n > N

chọn p =

1 ta nhận được

\a

n+

1

| < £.

Do đó, ta có
lim a

n

=

0

.
n4oc
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Chú ý. Điều kiện trên chỉ là điều kiện cần chứ không phảilà điều kiện
đủ. Điều đó được minh họa qua ví dụ dưới đây.
>
Nếu chuỗi số là hội tụ thì các dãy tổng riêng s

n

và s

2n

phải cùng dần tới
một giới hạn khi n —>

oo tức là lim (s

2n

— s

n) = 0. Tuy nhiên, điều này
71—>00
mâu thuẫn với đánh giá trên.
Hệ quả 1.2. Chuỗi (1.1) và chuỗi nhận được từ chuỗi này bằng cách thêm vào hay bỏ
bớt đi một số hữu hạn các số hạng cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.
1.1.3. Một số tính chất của chuỗi hội tụ
Tính chất 1.1 (Các phép toán tuyến tính trên các chuỗi hội tụ). Nếu
1
Chứng minh. Ta kí hiệu
s
n
= a
l +
a
2 + ••• + ữnj tn — bị + ỏ2 + + b
n
.
00
Khi đó {sn ± t

n

}

là tổng riêng của chuỗi (a

n

± b

n) và {Asn} là tổng
7Ỉ=1
00
riêng của chuỗi ^2

(Àa

n

).

Theo tính chất của dãy hội tụ, ta có
71=1
lim (sn ±tn) = sdzt, lim Xsn = Xs.
n—>00 n—toc
Vậy ta có điều cần phải chứng minh.
Tính chất 1.2 (Việc nhóm tùy ý các số hạng của chuỗi). Nếu chuỗi
00
a
n hội tụ và có tổng là s thì chuỗi

71=1
(ữi + ữ2

+ + a„j) + (ữ

nt+

i +

a„

1+

2

+ + a„2) +
+ (<w 1 + 1 + «n,_
1
+ 2 + ••• +
a
n
k
) + (1.4)
cũng hội tụ và có tổng là s.
Chứng minh. Gọi tỵ

là tổng riêng thứ к

của chuỗi (1.4), s

n

là tổng
00
riêng thứ n

của chuỗi Ỵ2 a

n

.

Ta có
71=1
tk

^7ỉjfc •
Do đó, từ lim s

n

= s

suy ra
lim t

k

= lim s

nk

= s.
71—>0071—>00
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Định lý 1.2. (Dấu hiệu Dirichlet). Nếu chuỗi

(1.1) có dẫy các tổng
oo
riêng bị chặn và bn là dẫy số giảm dần đến 0 thì chuỗi anbn hội tụ.
71=1
Chứng minh. Từ giả thiết cho ta thấy, đối với dãy tổng riêng s

n

của chuỗi (1.1), luôn tồn tại M
1
>

0 sao cho với mọi n >

1, ta có
|s„| < M.
Cho £

> 0. Từ b

n

giảm dần tới 0, tồn tại n

0

(г) > 0 sao cho với n > n

0

(г)
£
thì 0 < b

n

<

— K h i đó với n > n

0

(г) và mọi p >

1 ta có
\bn+ian+i + ••• + b
n+pCLfi+p
I
|^n+l(®n+l 8

rì)

""Ь••• ""Ь bfi+p

(^n+p ^n+p—1)|
I
bn+ l S - n
“ b
i p n +l
^ 7 1 + 2 ) ^ 7 1 + 1 “ Ь • • • “ b
b n + p Sfi +p
I
< M [b
n+
1 +
(b
n+
i —
bn+ 2) “Ь ••• “Ь ipn+p— 1^71+p) “1“ ^n+p]
= 2Mbn+i < £.
00
Từ định lý (1.1) suy ra chuỗi a

n

b

n

hội tụ.
71=1
1.1.4. Chuỗi số dương
oo

Định nghĩa 1.2. Chuỗi số a

n

được gọi là chuỗi dương nếu a

n

> 0;
71=1
với mọi n >

1

.
Hiển nhiên, dãy tổng riêng của chuỗi số dương s

n

>

0; với mọi n =

0,1, 2, và là dãy tăng.
Do đó ta có định lý sau
00
Định lý 1.3. Điều kiện cần và đủ để chuỗi số dương ỵ2
a
n hội tụ là dẫy
71=1

tổng riêng sn của nó bị chặn trên.
oo
Chứng minh. Vì chuỗi ^ 0"n

hội tụ nên dãy (s

n) hội tụ. Do dó (sn) bị
П— 1
chặn.
Ngược lại, do dãy tổng riêng của chuỗi dương là dãy (s

n) tăng nên nếu
oo
(sn) bị chặn trên thì tồn tại giới hạn. Do đó chuỗi ^2

a
n hội tụ.
П— 1
00
Định lý 1.4. (Dấu hiệu so sánh thứ nhất). Cho hai chuỗi dương Ỵ2 a

n
71=1
oo
1
và bn- Giả sử tồn tại số с > 0 sao cho
71=1
00
Chứng minh, (i)

Gọi s

n

, t

n

lần lượt là các tổng riêng của chuỗi a

n
71=1
oo
và chuỗi bn-

Theo Hệ quả (1.2), ta có thể coi bất đẳng thức (1.5)
71=1
được thỏa mãn với n >

1. Từ giả thiết, tồn tại số M >

0 sao cho
tn < M, với mọi n.
1
Do đó, ta có
sn < cM\ với mọi n.
Từ định lý (1.3) chuỗi a

n

hội tụ.
71—\
(ii) Suy ra từ (i)
Định lý 1.5. (Dấu hiệu so sánh thứ hai). Giả sử

lim — = k. Khi đó,
71—y oc b
n
ta có các khẳng định sau
kỳ.
Chứng minh, (i)

Bởi vì lim
C

^

L

=

k v ầ O < k < o o , nên tồn tại số
Ti->00 b
n
nguyên dương n
0

để với mọi n > n

0

,

ta có
—- < k + 1 ữ
n
< (Ả: + 1 )b
n
.
1
00
Theo định lý (1.4), thì chuỗi
a

n

hội tụ.
71=1
00
(ii)

Trường hợp 0 < k

< 00

và chuỗi b

n

phân kỳ. Khi đó, ta có

n— 1
h

Ít
1

khi 0

< k

<

00

lim — = k* =

< ^
0 khi k

= oo
oc
Tức là 0 < k* <

00

. Theo phần chứng minh trên, nếu chuỗi ỵ2

a
n hội
71=1

oo 00
tụ thì chuỗi Ỵ2 K

phải hội tụ. Do đó, chuỗi 'Yh

a

n

cũng phân kỳ.
7Ỉ=1 7i=1
n->00
1
00 ^
Ví dụ 1.4. Xét chuỗi ^2

Với mọi n, ta có
n=l n2
s „ - i + i + . . . + ^
<n4 + Ả + . . .
+
1 . 2 2 . 3 ( n - l ) n
111 1 1
-

1

+ 1 _
2
+

2
_
3
+
-
+
^ î " n
1
= 2 - - < 2. n
Vì dãy tổng riêng bị chặn nên chuỗi hội tụ theo định lý (1.2).
n=l ™
n
1- 2

n 1-
77 , 2



lim = lim — =
0

,
t ^ rv°l 1 n- ^ rvn
71—>00 1 71—>00 2
n
2
+ oo Ỵị
nên theo định lý (1.5) chuỗi Ỵ2 —

hội tụ. Từ đó, theo định lí (1.4) chuỗi
71=1 2n
00
7Г
У]

n

tan ——— hội tụ.
_ , 9
r ì
+
1
71 = 1

z
oo
Định lý 1.6. (Dấu hiệu Cauchy). Cho chuỗi số dương Ỵ2 an. Giả sử
71=1
lim ỳãn = c. Khi (?ó
;
ta có các khẳng định sau (ỉ) nếu с <1 thì chuỗi đã cho hội tụ,
(ỉ) nếu с > 1 thì chuỗi đã cho phân kỳ.
n—
1
Chứng minh, (i)

Nếu c < 1 thì tồn tại số ợ để c < q <

1. Lại vì lim -ỰÕLn = c nên tồn tại số

nguyên dương n
0
để
n—>00
< q an < pn\ với mọi n > nữ.
oo oc
Vì chuỗi ^2 p

n

hội tụ, nên chuỗi ^2 a

n

hội tụ theo định lý (1.5).
71=1 71=1
(ii)

Nếu c > 1 thì tồn tại n
0

để
> 1

a

n

>

1

; với mọi n >

n0.
Như vậy, chuỗi phân kỳ theo Hệ quả (1.1) của định lý (1.1).
Vậy ta có điều cần phải chứng minh.
00
Định lý 1.7. (Dấu hiệu D’Alembert). Cho chỗi số a

n

. Giả sử tồn
n— 1
tại qiới hạn lim
7 1+ 1

= d. Khi đó, ta có khẳnq định sau *-*00

an
(ỉ) Nếu d < 1 thì chuỗi đã cho hội tụ.
(i) Nếu d > 1 thì chuỗi đã cho phân kỳ.
Chứng minh, (i)

Nếu d <

1 thì tồn tại p

để d < p <

1. Vì lim
ữn+1

= d
71->00 a

r
nên tồn tại số nguyên dương n
0

để mọi n >

n
0

và
®7Ỉ+1
< p & a
n+

1

< pan.
ar
®7Ỉ0+1 ^
a
n
0
Q
an0+2

< ano+1q2 < anoq2
ano+k < anoqk
*
Từ đó, ta có
2
ОС ОС ОС
Vì chuỗi
a

n

0

Q

k

hội tụ nên chuỗi
a

n

0

+k

hội tụ, nghĩa là chuỗi ^2

a

n
71=1 k= 1 71=1
hội tụ theo định lý (1

.1

).
(ỉ)

Nếu d >

1 thì tồn tại Щ

để n >

Щ

và
a
n +1 -, 1 ^
> 1 hay ữ
n
_|_1 > ũ
n
^ ữ
n o
.
ữn
Vậy không có lim ữ

n

=

0 nên chuỗi đã cho phân kỳ
n—>00
00
Định lý 1.8. (Dấu hiệu tích phân). Cho chuỗi số dương

a

n■ Giả sử
71=1
/ : [a, +00

) — »• R ỉà hàm số không âm, đơn điệu và giảm liên tục, sao cho
f

(n) = a

n; với mọi n

= 0

,1

, 2

,

Khi đó
Chứng minh. Từ giả thiết của định lý, với mọi số tự nhiên к

>

1 và mọi X

G [к , к

+ 1] ta đều
có
ак+1 = f {k + 1

) < / (ж) < / (к) = ak.
Từ đó, ta có
k+1
a
k

+1

< J ĩ ( x ) d x < a
k
.
1
Lấy tổng tích phân theo к từ 1 đến n, ta có
&+1
TI 71
p
n

^2
ak
+
1
- Ĩ2 / f ( x)dx< ^2 k=1 k=1 2 &=1
0
2
hay
71+1
Sn+1 - a < Ị f ( x ) d x < s n ,
1
00
trong đó s

n

là tổng riêng thứ n

của chuỗi ^2 a

k

.

Từ bất đẳng thức kép
k= 1
n+1
trên, ta thấy rằng dãy {sn} và tích phân f f

(x)dx

cùng bị chặn hoặc
1
không cùng bị chặn. Điều đó, cho ta khẳng định của định lý.
Chú ý. Khi áp dụng dấu hiệu D’Alembert hay dấu hiệu Cauchy nếu lim rc
+ 1

= 1

hoặc lim ýcĩn
=

1

thì chưa kết luận được gì về sự hội tụ
n—>00 CLn n—¥oo
hay phân kỳ của chuỗi.
1.1.5. Chuỗi với số hạng có dấu tùy ý
Định nghĩa 1.3. (Chuỗi đan dấu). Một chuỗi có dạng
00
£(-l)"+
1

a„, (1

.6

)
n— 1
với a

n

>

0

, gọi là chuỗi đan dấu.
Định lý 1.9. (Dấu hiệu Leibniz). Giả sử dãy {a
n
} đơn điệu giảm và lim an = 0

, thì chuỗi
đan dấu (1

.6

) hội tụ.
n—>00
Chứng minh.

Gọi s

n

là dãy tổng riêng của chuỗi. Bởi vì
s
2m — (al — ữ2) + (a3 — aề) + ••• + (ữ2m-l —
a
2m)

và các số hạng trong ngoặc đều không âm nên dãy {s2m} đơn điệu tăng. Mặt khác, khi viết
s2m = ữ\ — [(ữ2
—
03) + (ữể
—
ÍI5) + ••• + (o>2m — 2 — a<2m-l) + CL2m,
ta thấy rằng s2m < dị

với mọi m.

Do đó, dãy {s2m} đơn điệu theo tiêu chuẩn hội tụ. Như vậy,
nếu lim s

2m

=
s

thì với mọi £

> 0 tồn tại số
771—>00
2
Nl
nguyên dương Ni

để với mọi m >

—, ta đều có
2

£
1^2771 — s| < 2

'
Lại vì lim a

n

=

0

nên với mọi £ >

0

tồn tại số nguyên dương N

2

để với
ra—>00
mọi n > N

2

,

ta cũng có
kl < \

Đặt N = max{Ni, N2} thì với mọi n > N, ta có
|s„ — s| < với n

chẵn.
I n ' 2
Với n

lẻ thì n

+ 1 chẵn, ta cũng có
1^71 I ^71+1 sQ'n+1 I — l^n+1 4" I Q'n+1 I ^ 2 2
Như thế, với mọi n > N

ta nhận được
\sn — s| < £.
Vậy lim s

n

=

s, tức là chuỗi đã cho hội tụ và có tổng bằng s.
n—toc
Chuỗi đan dấu thỏa mãn điều kiện của định lý (1.1) gọi là chuỗi Leibniz. Vậy chuỗi Leibniz là
hội tụ.
1.1.6. Chuỗi hội tụ tuyệt đối
00
Định nghĩa 1.4. Chuỗi số ^2 a

n

được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi
71= 1
00
\ữ

n

\

hội tụ.
71=1
00 00 00
Khi chuỗi a

n

hội tụ nhưng chuỗi ỵ2 \
a
n\ phân kỳ thì chuỗi ỵ2
a
n
71=1 71=1 71=1
được gọi là bán hội tụ.
Định lý 1.10. (Liên hệ giữa tính chất hộitụ và hội tụ tuyệt đối). Mọi

chuỗi hội tụ tuyệt đối là chuỗi hội tụ.
00
Chứng minh. Giả sử chuỗi a

n

hội tụtuyệt đối.Khi đó, theo tiêu
n— 1
2
Cauchy với mọi £ >

0 tồn tại số nguyên dương n
0

sao cho với mọi số nguyên dương Pi ta có
| ® n + l “ ỉ ” ® n + 2 “ t - • • • “ t -
O'n+p
I < I ữ n + l | + | ® n + 2 I + . . . + I
00
Như thế, theo tiêu chuẩn Cauchy chuỗi ữ

n

hội tụ.
71=1
Ví dụ 1.6. Xét chuỗi (—l)n+1—.
oo
bằng cách đổi chỗ tùy ý các số hạng của chuỗi Ỵ2 an củng hội tụ và có
71=1
tổng là s.
oo oo
Chứng minh. Vì chuỗi ỵ2

a

n

hội tụ tuyệt đối nên chuỗi ỵ2 \

a

n\

hội tụ.
71=1 71=1
Do đó theo định lý Cauchy với mọi £ >

0 tồn tại số nguyên dương 77,1

để
1°íi < 2’
ieF
với mọi tập con hữu hạn F

с {n

G N* : n > n

i}.
Chọn Щ > n
2
sao cho các số hạng Oi, 02, o „
2
đều có mặttrong các số

hạng Ò1

, b
2
, ъ
п з
. Khi đó, với mọi n > Щ , ta có:
It
n
s \ — It
n
s
n o
+ s
n o
s| ^ It
n
s
n o
I + |sno s \ <c - + - — E .
Vậy ta cũng có lim t
n
= s .
71—»00
ОС
Định lý trên chỉ đúng với chuỗi hội tụ tuyệt đối. Còn nếu chuỗi Ỵ 2 a
n
71=1
bán hội tụ thì ta có thể thay đổi thứ tự các số hạng của nó để thu được chuỗi hội tụ và có tổng
bằng một số bất kì cho trước hoặc chuỗi đó phân kỳ.

1.2. Dãy hàm và chuỗi hàm
1.2.1. Một sốkhái niệm cơ bản về dãy hàm
2
Cho dãy hàm số
f i { x ) , f
2
( x ) (1.7)
xác định trên tập A . Điểm X G A gọi là điểm hội tụ hay phân kỳ của dãy (1.7) nếu dãy hàm
{ f n (x)} hội tụ hay phân kỳ tại đó. Tập A
0
các điểm hội tụ của dãy hàm (1.7) gọi là miền hội
tụ của dãy hàm trên. Khi đó, dãy hàm được gọi là hội tụ điểm trên A Q và khi đó ta xác định
được hàm f ( x ) bởi hàm
/ (X ) = lim f
n
(X ); với mọi X G A
ữ
Ti—>00
và hàm f { x ) được gọi là giới hạn của dãy hàm {/„ ( x ) } .
Như vậy, bằng ngôn ngữ Cauchy ta có thể định nghĩa sự hội tụ điểm như sau
Định nghĩa 1.5. Dãy hàm {f
n
(a;)} được gọi là hội tụ điểm về hàm f ( x) trên tập Aq nếu với
mọi X € Aq và mọi £ > 0 tồn tại số nguyên dương n
0
= tiq( e , X ) sao cho ta có
If
n
{ x ) - /(x ) \ < £ ] với mọi n > n
ữ

.
Khi dãy hàm (1.7) hội tụ điểm trên A Q về hàm f { x ) ta viết là
f
n
{ x ) — ¥ /(x )
và đọc là "{/»(*)} hội tụ điểm về
Nếu trong định nghĩa trên số n
0

chỉ phụ thuộc £ mà không phụ thuộc vào X thì ta nói rằng
dãy hàm (1.7) hội tụ đều trên A
0
về hàm f ( x ) và viết là
f n { x ) =4 f { x ) .
Như vậy, theo ngôn ngữ Cauchy, ta nói dãy hàm { f
n
(rr)} hội tụ đều về hàm f ( x ) trên tập A q
nếu với mọi £ > 0 tồn tại số nguyên dương n
0
= n
ữ
(e) để ta có
\ f n { x ) - f ( x ) \ < e ; ( 1

.8

)
với mọi n > n
ữ
và mọi X € AQ.

1.2.2. Điều kiện hội tụ đều của dãy hàm
2