Luận văn thạc sĩ toán Một số vấn đề về nội suy vô hạn

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ
NỘI 2
PHAN LẠC DƯƠNG
MỘT số VÁN ĐỀ VỀ NỘI SUY VÔ HẠN ■ ■ ■
Chuyên ngành: Toán giải tích Mã so: 60 46 01 02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC • • •
Ngưòi hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Văn Khải HÀ NỘI, 2014
Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự
hướng dẫn của thầy giáo TS. Nguyễn Văn Khải. Sự giúp đỡ và hướng dẫn tận
tình, nghiêm túc của thầy trong suốt quá trình thực hiện luận văn này đã giúp
tác giả trưởng thành hơn rất nhiều trong cách tiếp cận một vấn đề mới. Tác giả
xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà
Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường đã giúp đỡ, tạo
điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Sở GD-ĐT Hà Nội, Ban giám hiệu, các
thầy cô giáo, đồng nghiệp trường Trung học phổ thông Ba Vì cùng gia đình,
người thân, bạn bè đã giúp đỡ, động viên và tạo điều kiện thuận lợi để tác giả
hoàn thành khóa học Thạc sĩ cũng như hoàn thành luận văn này.
Hà Nội, ngày 08 tháng 11 năm 20lị Tác giả
Phan Lạc Dương
Lời cam đoan
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự
hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Khải.
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi.
Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn tôi đã kế thừa những
thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp
với sự trân trọng và biết ơn. Tôi xin cam đoan rằng các
thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn
gốc.

Hà Nội, ngày 08 tháng 11 năm 20lị Tác giả
Phan Lạc Dương
Mục lục
MỘT số KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Không gian Banach và không gian Hilbert
Không gian vectơ
Không gian metric
Không gian định chuẩn và không gian Banach
Không gian Hilbert
Phân loại hàm
Bài toán nội suy cổ điển
BÀI TOÁN NỘI SUY VÔ HẠN
Mở đầu
Chương 1.
1.1.
5
5
5
7
12
1 7
2
2
3
9
4
2
4
2
4

4
4
9
5
8
5
8
6
3
7
0
7
1
1.1.1.
1.1.2.
1 . 1 .3 .
1 . 1 .4 .
1.2.
1.3.
Chương 2
2.1.
Mở đầu
Cách tiếp cận thứ nhất: Định lí Guichard
Cách tiếp cận thứ hai: Định lí Polya
MỘT số ỨNG DỤNG
ứng dụng của Định lí Polya
Một số bài toán khác
Kết luận
Tài liệu tham khảo
2.2.

2.3.
Chương 3.
3.1.
3.2.
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Nội suy là phương pháp tính giá trị của các điểm dữ liệu chưa biết với giả
thiết một tập hợp điểm dữ liệu đã biết là rời rạc và đó cũng là một công cụ toán học
cơ bản được ứng dụng rộng rãi trong nhiều ngành khoa học như: Công nghệ thông
tin, kinh tế, tài chính, dầu khí, xây dựng, y học, truyền hình, điện ảnh và những
ngành cần xử lý dữ liệu số khác.
Những vấn đề liên quan đến nội suy với một số hữu hạn các điều kiện đã
được nghiên cứu và làm sáng tỏ. Trên cơ sở đó, khi tăng số lượng các điều kiện
lên, trong những trường hợp nhất định, ta vẫn giải quyết được bài toán nội suy
bằng chuỗi vô hạn các đa thức. Tuy nhiên, không phải tất cả các bài toán liên quan
đến tính vô hạn của điều kiện nội suy đều có thể giải quyết được theo cách này.
Hơn nữa trong việc phát triển từ một bài toán với hữu hạn các điều kiện đến bài
toán có vô hạn các điều kiện, ta còn vấp phải khó khăn phát sinh từ những hạn chế
của Giải tích cũng như Đại số. Việc tìm ra các phương cách thay thế cho giải pháp
trên được nhiều Nhà toán học nghiên cứu trong những năm gần đây, tuy nhiên
chưa có nhiều công trình nghiên cứu đề cập tới vấn đề này.
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về bài toán nội suy vô hạn và ứng dụng của
nó, tôi chọn đề tài “Một số vấn đề về Nội suy vô hạn” làm luận văn Thạc sĩ của
mình.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu về Nội suy vô hạn và nêu một số ví dụ ứng dụng của
nó.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu các vấn đề liên quan đến lý thuyết Nội suy vô hạn và một số ứng
dụng của chúng.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Các vấn đề liên quan đến vấn đề nội suy hữu hạn và
nội suy vô hạn.
Phạm vi nghiên cứu: Nội suy vô hạn các điều kiện cụ thể.
5. Phương pháp nghiên cứu
Đọc, tìm hiểu tư liệu trong sách, báo, luận văn, luận án.
Các phương pháp của Đại số và Giải tích (Lý thuyết chuỗi, Hàm phức, Giải
tích hàm)
Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu của đề tài.
6. Đóng góp mới của đề tài
Trình bày một cách có hệ thống về Nội suy vô hạn.
ứng dụng của Nội suy vô hạn để giải một số các bài toán liên quan.
Chương 1 MỘT số KIẾN THỨC CHUẨN
BỊ
1.1. Không gian Banach và không gian Hilbert
Ta kí hiệu c là tập các số phức, M là tập các số thực, Q là tập các số hữu tỷ, z là tập
các số nguyên và Q là tập các số tự nhiên.
1.1.1. Không gian vectơ
Định nghĩa 1.1.1. Tập X

cùng với phép cộng (+) và nhân vô hướng (.) được gọi là
một không gian vectơ trên trường số thực R (gọi tắt là không gian vectơ hay còn
gọi là không gian tuyến tính) nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:
Với mọi x,y,z

€ X,

với mọi a,

ß

€ M, ta có
1) X + y = y + X]
2) (x+ y) + z = X + (y + z);
3) Tồn tại phần tử trung hòa6

€ X

sao cho X

+

9

=

x;

4) Với mỗi X € X,

tồn tạiphần tử đối của X là(—x)

€ X

sao cho
X

+ (-a;) = ớ;
5) (a
+

ß)x
=
ax + ß x\
6) a(x

+ y)

= ax

+ ay,
7) a(ß x )
=
[a ß )x\
8) l x — X , với 1 là phần tử đơn vị.
Mỗi phần tử X

e X

được gọi là một vectơ, các điều kiện trên được gọi là các
tiên đề về không gian vectơ.
Định nghĩa 1.1.2. Cho X

là một không gian vectơ. Biểu thức dạng
ct ịX ị ~ ị~ -ị- Oi
n
X
n
Ị OL ị G R, Xị £ X
được gọi là một tổ hợp tuyến tính của hệ vectơ {xi

, , x

n

}.
Định nghĩa 1.1.3. Cho hệ n

vectơ {^1, , x

n

}

trong không gian vectơ X.

Xét đẳng
thức vectơ OiiXi + + a

n

x

n

= 6.

Nếu đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi O i i
— . . . — a
n
= 0 thì ta nói hệ n vectơ đó độc lập tuyến tính.

Định nghĩa 1.1.4. Hệ vô hạn các phần tử {Xi}

ie l

thuộc không gian vectơ X

được
gọi là độc lập tuyến tính nếu mọi hệ con hữu hạn của nó là độc lập tuyến tính.
Định nghĩa 1.1.5. Cho n

là một số nguyên dương và X

là một không gian vectơ.
Nếu tồn tại một hệ n

vectơ Xí, ,x

n

G X

độc lập tuyến tính và mọi hệ n +

1 vectơ
trong X

đều phụ thuộc tuyến tính thì ta nói không gian X

có số chiều là n

và kí hiệu
dimX

= n.

Nếu không tồn tại n

như vậy ta nói không gian X

là vô hạn chiều.
Định nghĩa 1.1.6. Cho X

là một không gian vectơ. Tập hợp các phần tử Xi, ,x

n
G X

được gọi là một cơ sở của X

nếu với mỗi X & X, X

luôn biểu diễn được dưới
dạng một tổ hợp tuyến tính của Xị, ,x

n

và biểu diễn này là duy nhất.
Định lí 1.1.1. Không gian vectơ X có số chiều n khi và chỉ khi cơ sở của
X gồm n phần tử. Nếu X có số chiều lầ n thì mọi hệ vectơ độc lập
tuyến tính gồm n phần tử đều ỉầ cơ sở của nó.

Ví dụ 1.1.1. (Không gian vectơ Euclide 77,-chiều K
n
)
Giả sử K là kí hiệu của trường các số thực hoặc phức. Với mỗi số nguyên không
âm n, tập hợp các bộ n số dạng X

= (íEi, , x

n

) ,Xị € K (i =

0,1, ) tạo thành một
không gian vectơ n

chiều trên R, kí hiệu là K
n
. Các phép toán của không gian vectơ
K
n
được định nghĩa bởi:
X + y = (x
1
+ y
u
,

x
n
+ y

n
);
ax = (ax

I

, , ax

n

).
Ví dụ 1.1.2. (Không gian các hàm khả tích bậc p

trên [a;6])
Cho p >

0, tập các hàm fix)

đo được sao cho \f(x)\

p

khả tích trên [a; 6] tạo thành
một không gian vectơ được kí hiệu là L

p



[a; b] .

(Nếu p

= 1 thì ta kí hiệu là L[a\
b

]).
1.1.2. Không gian metric
Định nghĩa 1.1.7. Cho tập hợp tùy ý X Ỷ

0- Một metric trong X

là ánh xạ
d : X xJÍ4R
thỏa mãn các điều kiện sau:
i) d(x,y)>

0 Vx,y G X;

d (x,
y)

= 0 X = y\
ii) d (X, y) = d (y, X) Vi,|/el;
iii) d (X, y)

< d (X, z)

+ d (z,

y) \/x, y,z G X.
Tập hợp X và một metric trong X gọi là một không gian metric, ký hiệu là (X,
d

). số d

(X

, y

) gọi là khoảng cách giữa các điểm X

và y.
Nếu M là một tập con khác rỗng của X thì M cùng với d hạn chế trên M là
một không gian metric con của không gian metric X.
Ví dụ 1.1.3. Với hai vectơ bất kỳ X

= (xi

, , Xỵ), y

= (yi

, , yk)

thuộc không gian
vectơ thực k-chiều (k là số nguyên dương nào đó) ta đặt
(1.1)
Dễ dàng thấy hệ thức (1.1) thỏa mãn các tiên đề
i), ii) về metric. Để kiểm tra hệ thức (1.1) thỏa mãn tiên đề iii) về metric, trước hết

ta chứng minh bất đẳng thức Cauchy- Bunhiacopski:
Với 2k

số thực a , j , bj

(j = 1, ,k) ta có
(1.2)
Thật vậy
k V k
0 < (
a i b
i -
a
i
b
rf
Từ đó suy ra bất đẳng thức (1.2).
Với 3 vectơ bất kỳ X = (x

u

.,x

k

), y = (y

1

, .,y

k

), z

= {z

u

,z

k

)

thuộc M
fc
ta
có:
k
k k k
1=1 Lj =l
k k k k k k
i= 1 3= 1
i= 1 3 = 1 i=1 j=1
k
d
2
i
x

, y ) = ^ {
x
3 - V i Ỷ j=i k
= ^ 2 [ (
x
j -
z
j ) + (
z
j - V á ) ]
2
j=l
k
= [{
x
j -
z
j) + i
z
j - Vũ) ]
2
3 = 1
k k k
= (
x
i -
z
ỉ f
+ 2
- Y l (

x
j -
z
ỉ ) (
z
i - V i ) +Y 1 (
z
3 - y ^
2
j=i j=Ị________ __________j=Ị
A:
< d

2



{x, y) +

2 ^ - Zj)
2
., “ ^')
2
+
ẽ2



(

z



’ y

)
^ j=i ^ j=i = d
2
(x, y) + 2.d
(x, z) .d {z, y) + ừ
2
(2, y)
= [d(x,z) + d(z,y)]
2
=> d(x,y) < d (x, z) + d

(2, y)
Do đó hệ thức (1.1) thỏa mãn tiên đề iii) về metric. Vì vậy hệ thức (1.1) xác định
một metric trên không gian M
fc
.
Không gian metric tương ứng vẫn ký hiệu là M
fc
và thường được gọi là không gian
Euclide, còn metric (1.1) gọi là metric Euclide.
Định nghĩa 1.1.8. Dãy điểm {z
n
} trong không gian metric (X

, d)

được
gọi là hội tụ tới điểm X

e X

nếu lim d

(x

n
, X

) = 0.
n—¥00
Ký hiệu lim x

n

= X hay x

n

—>

X khi n

00.
n—¥ 00

Định nghĩa 1.1.9. Một dãy điểm {x
n
} trong không gian metric (X

:

d)

được gọi là
dãy cơ bản (hay dãy Cauchy) nếu lim d (x

m

,x

n

) —

0.
m,n—¥ 00
Định nghĩa 1.1.10. Không gian metric (x,d)

được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy cơ bản
trong X

đều hội tụ tới một phần tử của X.
Định lí 1.1.2. Mọi tập đóng trong không gian metric đầy đủ ỉắ khồng
gian metric đầy đủ.
Chứng minh.

Giả sử F

là một tập đóng trong không gian metric đầy đủ (X,
d

), {x

n

}

là một dãy cơ bản trong F

tức là lim d (x

m

,x

n

) —

0.
m,n—¥ 00
Suy ra {:r
n
} là một dãy cơ bản trong X.
Do X

là không gian đầy đủ nên dãy {x

n

}

hội tụ, tức là
=h
0
€ X : x

n

—> x

0

, n —>

00.
Như vậy (x
n
) c F : x
n
—»■ x
0
G X, n —> 00. Do F là tập đóng nên x
0
G F.

Vậy F là không gian metric đầy đủ.
Định nghĩa 1.1.11. Cho hai không gian metric tùy ý (X

, dị)

và (Y, d

2
). Ánh xạ
A

: X

—>• Y

gọi là ánh xạ co nếu tồn tại một số a

€ [0,1) sao cho Vxi, x

2

€ X
ta đều có
d

2



{A{X

1
)
Ì
A{X
2

)) < adi {x

u

x

2

),
a

gọi là hệ số co của ánh xạ CO A

.
Định lí 1.1.3. (Nguyên lý Banach về ánh xạ co)
Mọi ảnh xạ co Ả ấnh xạ không gian metric đầy đủ (X, d) vào chính
nó đều có một điểm bất động duy nhất.
Chứng minh.

Lấy một điểm bất kỳ x

0

€ X

và lập dãy x

n

— A

(x
n
_i),
77, = 1,2, ta được
d (x2, Xi) = d (Axi,Ax

ữ

) < ad (xi,x

0

)

= ad {Ax

ữĩ

x

0
),
d

(x

3

, x

2

) = d (Ax

2

, Axi) <

ad

(X

2, Xi

) < a

2



d

(Ax

0

, a^o),
d (x

n +

i,x

n

)

= d (Ax
n
, Ax
n
_i) < ad (x

n

, x

n

_i) < a

n

d {Ax

ữ

, x

0

) ,n=

1,2,
Từ đó suy ra Vn,p = 1, 2, ta có
Oi
d (Ax

ữ

,

XQ) < - d (Ax

0, z
0
).
1 — a
Vì 0 < a

<

1 nên lim d (x

n+ p

,x

n

) =

0,
Vp G N* nghĩa là (x
n
) là dãy cơ
bản trong không gian metric đầy đủ (X,
d).

Từ đó tồn tại lim x

n

= X * e X.

Ta có
d (Ax*,x*) < d (Ax*,x

n

) + d

(x

n

, X*) = d (Ax*,

Ax
n
-i) + d
(x
n
, £*)
< ad (x

n

-i,x*) + d (x

n

, X

*), Vn
= 1, 2,
Cho n —> oo

ta được d (Ax*,x*)

= 0
hay Ax*

= X*,

nghĩa là X * là điểm bất
động của ánh xạ A.
Giả sử tồn tại điểm y*

€ X

cũng là
điểm bất động của ánh xạ A

thì
d (x*, y

*) = d (Ax*,Ay*)
< ad (x*,y*)
=>- (1 — a) d(x*,y*) <

0 d
=
0,
(0
<
a
<
1)
V __ỉ |e _ :

p
1 —
a
p
d (^n+pj x

n

)

^ d (Ax
n + k
, Ac
n+fc
_i) < d {Ax0, Xo) a
n + h
1
=► X = y
Vậy X * là điểm bất động duy nhất của
ánh xạ A.
Ví dụ 1.1.4. Không gian vectơ Euclide
thực k—

chiều M
fc
là một không gian
metric đầy đủ với
metric Euclide
(1.3)
trong đó X = (xi, ,

X k ) , y

= (yi, ,
ĩjk

) là hai điểm bất kỳ thuộc K
fc
.
k
Ví dụ 1.1.5. ư[a]b]

là không gian các
hàm khả tích bậc p

trên [a; 6]
thì ư[a\ b]

là không gian metric đầy đủ
với metric
b
đ {x , y ) = Ị |x(í) -
y{ t ) \
p
dt , x { t) , y { t ) e ư [a,
6].
a
Ví dụ 1.1.6. Trong không gian metric
đầy đủ (X, d),

hình cầu đóng s

(x

ũ :

r)


= {x

G X : d(x

:

£0) <
r
} 5
r

ẽ M+ là
không gian metric đầy đủ.
1.1.3. Không gian định chuẩn và
không gian Banach
Định nghĩa 1.1.12. Cho X

là không gian
vectơ trên M. Chuẩn trong X,

ký hiệu

ll-ll, là một ánh xạ từ X

vào tập số thực
M thỏa mãn các tiên đề sau
i) (Vx €
X
) ỊỊz|| > 0,
\\ x \ \
= 0 ^
X
=
ớ;
ii) (Vx £ X) (Vcc G M) IIQÍÍCII = |a| ||a:||
;
iii) (Vz, y £ X)

||x + y\\ <

ll^ll +
\\y\\ .
Số \\x\\ gọi là chuẩn (hay độ dài)
của vecto X.
Một không gian vectơ X

cùng với một
chuẩn xác định trong không gian đó
được gọi là không gian tuyến tính
định chuẩn.
Định lí 1.1.4. Giả sử X ỉầ không
gian tuyến tính

định chuẩn, đặt
d(x,y) = \\x -
y\\ ,Vx,y

e X.

Khi đó, d lầ một metric trên X.
Nhận xét 1.1.1. Mọi không gian
tuyến tính định chuẩn đều là
không gian metric với metric
(1.5) .
Định nghĩa 1.1.13. Dãy điểm {x

n

}

của
không gian tuyến tính định chuẩn X
được gọi là hội tụ

tới điểm X

e X

nếu
lim ỊỊ:r
n
— ;cỊỊ = 0.

n—>00
Ký hiệu lim x

n

= X

hay x

n

—> X

khi
n

—>• 00.
71—>00
Định nghĩa 1.1.14. Dãy điểm {a;
n
}
trong không gian tuyến tính định chuẩn
X

được gọi là dẫy cơ bản (hay dẫy
Cauchy)

nếu lim ||x
n
— x

m

\\ =
m,n —»00
0.
Định nghĩa 1.1.15. Trong không gian
tuyến tính định chuẩn X,

chuỗi
Định nghĩa 1.1.17. Không gian tuyến
tính định chuẩn X

được gọi là không
gian Banach

nếu mọi dãy cơ bản
trong X

đều hội tụ tới một phần tử trong
X.
Ví dụ 1.1.7. Xét không gian vectơ
Euclide thực k- chiều với mỗi
k
X

ẽ M

k

ì

X =

(xi, , Xỵ)

trong đó, ỉ
=1 ,. . ., k.

Đặt ||a;|| =
AXị

2



.

\ i=i
Khi đó là không gian Banach.
Thật vậy, dễ dàng kiểm tra được là
không gian định chuẩn. Lấy {x
n
} là dãy
cơ bản trong M
fc
. Ta có lim \\x

n

— x

m

\\
= 0 nghĩa là
m
,
n
—
>
0
0
(Ve > 0)
(3 M
e N*) (Vm
,n > M)
:
\\ x
n
-
x
m
\\ < £
n
<=> ^ ] \
x
n,j ~
x
m,j \ < £ •

3 = 1
1
3
Suy ra (với mỗi j

€ N cố định), (Ve >
0) (3Mj £

N*) (Vm, n > Mj

):
x
n,j 3'm, j II < £
Vậy với mỗi j

G N cố định thì dãy
{x
n
j} là một dãy cơ bản hội tụ.
Ký hiệu X j — lim x

n

j

:

j

— l,k

nghĩa là
n—>QO
(Ve > 0) (Vj = 1 {3M

j

€ N*)
(Vn > M

ấ

)

: 11^- - 2^11 <
Đặt X — (X j ) .
=
^ , ta sẽ chứng minh {x
n
}
hội tụ đến X .
Đặt M
0
= max {Mị, M
2
,M
k
} thì
E
|2

E
\%n ,j - XjI < -7=, j = 1,
2 , / c =>- \x
n J
- Xj\ <
y n n
Vậy {a;
n
} hội tụ đến X .
Ví dụ 1.1.8. Không gian l

2

bao gồm tất
cả những dãy số thực (phức)
00

00
X =


(x
n
) sao cho chuỗi |x
n
|
2
hội tụ với
chuẩn ||a;|| = .
|x

n
|
2
là
n=1
n=1
không gian Banach.
Thật vậy, lấy (a

n
) là một dãy
Cauchy trong l

2



.

Giả sử (a
n
) = (a

n


1, a

n

2, ). Với £ >

0 tùy ý, tồn tại
y/n
,] -^3I
k
£
j=i
\
j=l
Ị^n,j - Zi|
2
< £
2
=>
một số N

ữ

thỏa mãn
00
^2 \oi
m
,k - <Xn,k\
2
< £
2
, Vm,n >
N
0

. k=1
Điều này kéo theo rằng với mỗi k £
N cố định và với mỗi £ >

0 tồn tại
một số N

ữ

thỏa mãn Ia

m

ỵ

— a

n

fc|
< £,


\/m,n >

NQ. Nhưng điều này
cũng có nghĩa là, với mỗi k

dãy (a

n

k)


là một dãy Cauchy và vì vậy nó
(1.6)
hội tụ.
Kí hiệu: Oíỵ

= lim a

n

k, k

= 1, 2 và
a

= (aijfc).
n—>oc ’
Chúng ta sẽ chứng minh rằng a là
một phần tử của l
2
và rằng dãy (a
n
)
hội tụ tới a.

Thật vậy, từ (ỊTTẽỊ) cho

m —>

oo ta được
00
^ ^ I O i k ^ n , k I — E ĩ
k= 1
00
với mỗi n > N

0

.

Khi đó |aíjv
0
k\

2



<

00,
bởi bất đẳng thức Minkowski.
k=1
Ta có
00 00
53 l
Qífc

|
2 =
A
^2
(ỉ“*!
—
l
aAr
o,fcl +
I^ATo,*!)
2

k= l \ k =1
00 00
Y, (I^fcl - l^iVo,*;!)
2
+ A l
aiVo
f c = l \ f c = l
00 00
yi \
a
k -
a
N
0
,k \
2
+ A ^2 \
a

N
0
,k \
2
<
oo f c = i \ f c = i
Điều này chứng minh rằng dãy a =

(a

n

)
là một phần tử của l

2



.

Hơn
nữa, khi đó £

là nhỏ tùy ý, nên (1.7) kéo
theo
tức là dãy (a
n
) hội tụ tới a trong l

2



.
Định lí 1.1.5. (Tiêu chuẩn Cauchy
về sự hội tụ của chuỗi)
00
Cho X lầ không gian tuyến tính
<
<
\
(1.7)
lim IIa — aj| = lim
\
n—>oo n—>oo
00
(la* -
a
n, k\Ỷ = °>
f c = l
Banach. Chuỗi x
n
hội tụ khi vầ chỉ
n= 1
khi

Ve > 0, tồn tại

77,0 € N* sao cho

Vn > n

ữ

vầ

Vp £

N*:
\x

n

+l

3'Ti+2

“I“ ■ ■ ■ “I“ *En+p|| ^ ^
Định lí 1.1.6. Không giãn tuyến tính
định chuẩn X ỉà không giãn
Banach khi và chỉ khi mọi chuỗi
hội tụ tuyệt đối trong X đều hội
tụ.
00
Chứng minh.

Giả sử X

là không gian
Banach và chuỗi ll^rall hội
n= 1
tụ. Khi đó Ve > 0, tồn tại n

0

e N* sao
cho Vn > n

0

và \/p

e N* thì
p
X! 11®"+* II <
e
-
3=
1
Suy ra Ve > 0, tồn tại n

ữ

G
N* sao cho Vn > n

0

và Vp e N*
thì
00
Theo tiêu chuẩn Cauchy, chuỗi
hội tụ trong không gian X.
n= 1
Ngược lại, giả sử trong không gian
tuyến tính định chuẩn X

mọi chuỗi
hội tụ tuyệt đối đều hội tụ và (x

n
) là dãy
Cauchy tùy ý trong X.

Ta có
Ve > 0, tồn tại n

ữ

G N* sao cho \/n,m
> n

0

: \\x

n

— x

m

\\ < e.
1
Nhờ đó, với số e là phần tử của dãy số
(—T-) ta tìm đươc số ri ỵ

sao cho
2
k
p
j=l
É
3 =
1
a:
< k

<E N*) với n

k

< n

k+

1.
Pn

fe+1
Từ đó, suy ra chuỗi ||a;
ni
II + \\x

n 2

- x

n i
II + + \\x

ni + 1

- x

n k

\\ +

là hội tụ.
Theo giả thiết, chuỗi x

Ul

+ (Xn

2

- x

n i

)
+

+ (Xn

k+1

- x

Uk
) + hội tụ trong
không gian X,

kí hiệu tổng của chuỗi
này là s.

Hiển nhiên
s = lim [x
ni
+ (x
n 2
-x

ni

)

+

+
(x
n k+ 1
- x
n k
)\ = lim x
n k +1
.
k—>oo
Từ chứng minh trên và từ hệ thứcsuy ra
s =

lim x

n

trong không gian tuyến tính
định chuẩn X.

Do đó,
n—t 00
X

là không gian Banach. Định lý được
chứng minh.
1.1.4. Không gian Hilbert
Định nghĩa 1.1.18. Cho không gian vectơ
X

trên R. Ánh xạ ip

: X

X X —>

M thỏa
mãn các điều kiện sau được gọi là một
tích vô hướng

trên X:
i) i
p
(
x
,
x
)

>
0

V
a
;

£

X

;

i
p
(
x
,

x
)

=

0

<
=
>

X

=