giải tích không trơn dành cho cao học năm 2

Biên Soạn: Dương Quốc Duy
1

Chương 1: Gradient Suy Rộng Trong Không Gian Banach
I. Kiến Thức liên Quan:
1.Phiếm hàm dưới tuyến tính:
Ánh xạ f : X → ℝ được gọi là một phiếm hàm dưới tuyến tính nếu thỏa mãn hai tính chất
i) ∀x, y ∈ X : f (x + y) ≤ f (x) + f (y) ( dưới cộng tính )
ii) ∀λ > 0, ∀x ∈ X : f (λ.x) = λ. f (x) ( thuần nhất dương )
2.Phiếm hàm tuyến tính:
Ánh xạ f : X → ℝ được gọi là một phiếm hàm dưới tuyến tính nếu thỏa mãn hai tính chất
i) ∀x, y ∈ X : f (x + y) = f (x) + f (y) ( cộng tính )
ii) ∀λ > 0, ∀x ∈ X : f (λ.x) = λ. f (x) ( thuần nhất dương )
3. Hàm liên tục Lipschitz: ( hàm Lipschitz )
Ánh xạ f : X → ℝ được gọi là liên tục Lipschitz nếu
∃L > 0, ∀x; y ∈ X : | f (x) – f (y)| ≤ L.|| x - y||
Lúc đó, L được gọi lầ hằng số Lipschitz
• Ánh xạ f : X → ℝ được gọi là Lipschitz địa phương nếu
∀x
o
∈ X, ∃δ > 0, ∃L > 0, ∀x; y ∈ B(x
o
, δ) : | f (x) – f (y)| ≤ L.|| x - y||
VD:
a) Nếu f :
n

→ ℝ là một phiếm hàm tuyến tính thì f Lipschitz
b) f (x) = x
2
là một phiếm hàm Lipschitz địa phương nhưng không Lipschitz

II. Đạo hàm theo hướng suy rộng và dưới gradient suy rộng:
1. Đạo hàm theo hướng suy rộng :
Cho f : X → ℝ là một hàm Lipschitz trong một lân cận của x
o
∈ X với hằng số L ( sau này ta sẽ nói
ngắn gọn là Lipschitz gần x
o
)
∀v ∈ X, ta định nghĩa đạo hàm theo hướng suy rộng của f tại x
o
theo hướng v là:
f
o
(x
o
, v) =
o
x x
t 0
(x + tv) - (x)
lim sup
t


+
f f

• f
o
(x

o
, v) luôn tồn tại nếu f : X →
ℝ
là một hàm Lipschitz trong một lân cận của x
o

∈
X
♦ Nhắc lại: Đạo hàm theo hướng (nếu có) của hàm f :
n

→ ℝ là giới hạn
f '

(x
o
, v) =
o
t 0
(x + tv) - (x)
lim sup
t

+
f f

( Giới hạn có thể không tồn tại lúc đó không có đạo hàm theo hướng )
Biên Soạn: Dương Quốc Duy
2

♦ Chú ý:
•
o
o
x x
0
x B(x , )
lim sup (x) lim sup (x)







f f

• f
o
(x
o
, v) =
o
x x
t 0
(x + tv) - (x)
lim sup
t



+
f f
=
o
0
x B(x , )
t (0, )
(x + tv) - (x)
lim sup
t








+
f f

Bài tập 1: Cho f (x) = - |x| hãy tính f ’(0, 1) và f
o
(0, 1)
Bài làm:
• ∀t > 0, đặt g(t) =
(0 + t.1) - (0)
t
f f
= -1

⇒ f ’(0, 1) =
t 0
lim g(t)

+
= -1
• ∀t > 0,∀x ∈ X, đặt
h(t, x) =
(x + t.1) - (x)
t
f f
=
- x + t + x
t

Ta có, f (x) = - |x| là hàm Lipschitz nên tồn tại giới hạn:

o
x x
t 0
lim sup h(t, x)


+

Chọn dãy x
n
=
1
-

n
→ 0 khi n → ∞
t
n
=
1
n
→ 0
+
khi n → ∞
Ta có:
h(t
n
, x
n
) = 1 → 1 khi n → ∞
Nên f
o
(0, 1) =
o
x x
t 0
lim sup


+
h(t, x) = 1
2.Mệnh đề 1:
Cho f Lipschitz gần x
o

với hằng số L > 0. Lúc đó:
i) f
o
(x
o
, .) hữu hạn, lồi, thuần nhất dương trên X và | f
o
(x
o
, v )| ≤ K.||v|| ,∀v ∈ X
ii) Hàm hai biến f
o
(

. , .) là nửa liên tục trên tại (x
o
, v) còn hàm một biến f
o
(x
o
, .) Lipschitz với hằng
số L trên X.
iii) f
o
(x
o
, - v) = - f
o
(x
o

, v) ,∀v ∈ X.

Biên Soạn: Dương Quốc Duy
3

y
1
-1
2
2
0
x
Bài tập 2:
Tính f
o
(0, 1) và f
o
(0, -1) biết f

(x) =
1
x x 0
2
-2x x < 0







neáu
neáu

Bài làm:
f
o
(x
o
, v) =
o
0
x B(x , )
t (0, )
(x + tv) - (x)
lim sup
t








+
f f

♦ ∀δ > 0, ∀x ∈ (-δ, δ), ∀t ∈ (0, δ)
Đặt
g(x, t) =

(x + t) - (x)
t
f f
=
1
0 x
2
-2 - x - t < 0
1 5.x
+ - -t x < 0
2 2.t




 



 



 


neáu
neáu
neáu

⇒
x (-
δ, δ)
t (0, )
sup





g(x, t) =
1
2

⇒ f
o
(0, 1) =
0
lim


+
x (-
δ, δ)
t (0, )
sup






g(x, t) =
1
2

♦ ∀δ > 0, ∀x ∈ (-δ, δ), ∀t ∈ (0, δ)
Đặt
h(x, t) =
(x - t) - (x)
t
f f
=
2 - x 0
5.x
2 - 0 x t <
2.t
1
0 t x <
2





 


 




  


neáu
neáu
neáu

⇒
x (-
δ, δ)
t (0, )
sup





h(x, t) = 2
⇒ f
o
(0, -1) =
0
lim


+
x (-
δ, δ)
t (0, )

sup





g(x, t) = 2
Bài tập 3:
Cho f và g là hai hàm Lipschitz gần x ∈ X. Chứng minh (f + g)
o
(x, v) = f
o
(x, v) + g
o
(x, v) ,∀v ∈ X
Biên Soạn: Dương Quốc Duy
4

Bài làm:
♦ f, g là hai hàm Lipschitz gần x
⇒ ∃δ
f
; δ
g
> 0, ∃L
f
; L
g
> 0, ∀z
1

; y
1
∈ B(x, δ
f
), ∀z
2
; y
2
∈ B(x, δ
g
):
| f(z
1
) – f(y
1
) | ≤ L
f
.|| z
1
– y
1
||
| g(z
2
) – g(y
2
) | ≤ L
g
.|| z
2

– y
2
||
Đặt
L = L
f
+ L
g
> 0
Δ = min{ δ
f
; δ
g
} > 0
Khi đó ∀z, y ∈ B(x, δ) ⊂ B(x, δ
f
)∩ B(x, δ
g
):
| f(z) – f(y) | ≤ L
f
.|| z – y

||
| g(z) – g(y) | ≤ L
g
.|| z – y||
⇒ |(f + g)(z) – (f + g)(y)| = | f(z) – f(y) + g(z) – g(y)|
≤ | f(z) – f(y)| + |g(z) – g(y)|
≤ L

f
.|| z – y

|| + L
g
.|| z – y||
≤ L.|| z – y

||
⇒ f + g là hàm Lipschitz gần x
Nên tồn tại
(f + g)
o
(x, v) =
y x
t 0
(f + g)(y + tv) - (f + g)(y)
lim sup
t


+
,∀v ∈ X
♦ ∀v ∈ X :
(f + g)
o
(x, v) =
y x
t 0
f (y + tv) - f (y) g (y + tv) - g (y)

lim sup
t t

 

 
 
+

≤
y x
t 0
f (y + tv) - f (y) g (y + tv) - g (y)
lim sup sup
t t

 

 
 
+

≤
y x y x
t 0 t 0
f (y + tv) - f (y) g (y + tv) - g (y)
lim sup lim sup
t t
 
 


+ +

≤ f
o
(x, v) + g
o
(x, v)
3.Dưới Gradient suy rộng: (dưới vi phân theo nghĩa Clake)
Cho f : X → ℝ là một hàm Lipschitz trong một lân cận của x ∈ X với hằng số L. Khi đó, dưới vi
phân Gradient của f tại x
o
là
Biên Soạn: Dương Quốc Duy
5

C

f (x) = { x
*
∈
X
*
:
<
x
*
, v
>

≤
f
o
(x, v) ,
∀
v
∈
X }
4.Mệnh đề 2:
i)
C

f (x) ≠ ∅, lồi, compact yếu * và ||x
*
|| ≤ L ,∀x
*
∈ X
*

ii) f
o
(x, v) = max{<x
*
, v> : x
*
∈
C

f (x)

}
5.Mệnh đề 3:
Cho f :
n

→ ℝ là một hàm Lipschitz trong một lân cận của x
o
∈
n

. Nêu Ω ⊂
n

, μ(Ω) = 0 và
Ω
f
= {x
o
∈
n

: f không khả vi tại x
o
} thì

C

f (x
o
) = co{

i
lim
 
∇ f (x
i
) : (x
i
)
i
⊂
n

\( Ω∪Ω
f
) ,
i
lim
 
x
i
= x
o
}
♦ Chú ý:
• Nếu f và g Lipschitz địa phương gần x
o
thì max{ f , g}, min{ f , g}, f + g, α f, f .g cũng Lipschitz
địa phương gần x
o
.

• Nếu f khả vi liên tục trên một lân cận của x thì f Lipschitz địa phương tại x và
f
o
(x, v) = < f ’(x), v> , ∀v ∈ X

c

f (x) = { f ’(x)} , f ’(x) ≡ ∇f (x)
Bài tập 5:
Cho f (x, y) = max{ x
2
– y, x + y, -3x + 2y + 5}
a) Chứng minh f Lipschitz địa phương trên
2

.
b) Tính
c

f(1,1) ,
c

f(2,1),
c

f(0, 0)
Bài làm:
a)
Đặt
• f

1
(x, y) = x
2
– y ⇒ Df
1
(x, y) = (2x, -1)
• f
2
(x, y) = x + y ⇒ Df
2
(x, y) = ( 1 , 1)
• f
3
(x, y) = -3x + 2y + 5 ⇒ Df
3
(x, y) = (-3, 2)
Ta có
Df
1
(x, y), Df
2
(x, y), Df
3
(x, y) là các hàm liên tục
Nên
f
1
, f
2
, f

3
là các hàm khả vi liên tục nên Lipschitz địa phương trên
2


⇒ f(x, y) = max{f
1
(x, y), f
2
(x, y), f
3
(x, y)} là Lipschitz địa phương trên
2


Biên Soạn: Dương Quốc Duy
6

b)
♦ Đặt
• C
1
= { (x, y) ∈
2

: x
2
– y ≥ x + y và x
2
– y ≥ -3x + 2y + 5}

= { (x, y) ∈
2

: x
2
– x ≥ 2y và x
2
+ 3x – 5 ≥ 3y}
• C
2
= { (x, y) ∈
2

: x + y ≥ x
2
– y và x + y ≥ -3x + 2y + 5}
= { (x, y) ∈
2

: x
2
– x ≤ 2y và 4x - 5 ≥ y}
• C
3
= { (x, y) ∈
2

: -3x + 2y + 5 ≥ x
2
– y và -3x + 2y + 5 ≥ x + y}

= { (x, y) ∈
2

: x
2
+ 3x - 5 ≤ 3y và 4x - 5 ≤ y}
Ta có:
1
2
3
2
x - y neáu (x,y) C
(x, y) x + y neáu (x,y) C
-3x + 2y + 5 neáu (x,y) C




 





f

Và Và C
1
∪ C
2

∪ C
3
= ℝ
2

♦
+ ∀(x, y) ∈ ℝ
2
, đặt
• f
1
(x, y) = x
2
– y • f
2
(x, y) = x + y • f
3
(x, y) = -3x + 2y + 5
+ Đặt Ω =
1 2 3
C C C
  
 
(
1
C

: biên của tập C
1
)

⇒ μ(Ω) = 0 ( độ đo của Ω )
• Ω
f
⊂ Ω ⇒ Ω
f
∩ Ω = Ω
+
• Nếu (x, y) ∈ C
1
thì ∇f(x, y) = ∇f
1
(x, y) = (2x, -1)
• Nếu (x, y) ∈ C
2
thì ∇f(x, y) = ∇f
2
(x, y) = (1, 1)
• Nếu (x, y) ∈ C
3
thì ∇f(x, y) = ∇f
3
(x, y) = (-3, 2)
♦ Ta có
+ (1, 1) ∉ C
1
, (1, 1) ∉ C
2
và (1, 1) ∈ C
3

⇒
c

f(1,1) = co{∇f
3
(1, 1)} = {(-3, 2)}
+ (2, 1) ∈ C
1
, (2, 1) ∈ C
2
và (2, 1) ∉ C
3

⇒
c

f(2, 1) = co{∇f
1
(2, 1), ∇f
2
(2, 1)} = co{(4, -1), (1, 1)}
+ (0, 0) ∉ C
1
, (0, 0) ∉ C
2
và (0, 0) ∈ C
3

⇒
c


f(0, 0) = co{∇f
3
(0, 0)} = {(-3, 2)}
Biên Soạn: Dương Quốc Duy
7

II. Nón tiếp xúc – nón pháp tuyến:
1. Hàm khoảng cách:
Cho S là tập con đóng khác roogx trong không gian Banach X. Ta định nghĩa hàm khoảng cách từ
điểm x ∈ X đến S là
d
S
(x) =
s S
inf


||x - s||
• Nếu X =
n

thì
d
S
(x) =
s S
inf



2 2 2
1 1 2 2 n n
(s - x ) + (s - x ) + + (s -x )

2.Nón tiếp xúc – nón pháp tuyến:
♦ Nón tiếp xúc của tập S tại điểm a ∈ S là
T
S
(a) = {v
∈
X :
o
S
d (a, v) = 0
}

♦ Nón pháp tuyến của tập S tại a ∈ S là
N
S
(a) = { x
*

∈
X
*
: < x
*
, v > ≤ 0 ,
∀
v

∈
T
S
(a)}
♦ Mệnh đề 4:
Nếu S là tập lồi và a ∈ S thì
i) T
S
(a) =
{ (S - a): 0 }
 



ii) N
S
(a) = { x
*
∈ X
*
: < x
*
, a’ - a > ≤ 0 ,∀a’ ∈ S }

Quá Trình Tìm Dưới Gradient Suy Rộng Và Đạo Hàm Theo Hướng Suy Rộng
Đối Với Hàm Hai Biến Tại (x
o
, y
o
)

(chúng ta chỉ sử dụng khi f là hàm lipschitz trên lân cận của (x
o
,y
o
)
∈
C
1
∩
C
2
∩
C
3
)
Bước 1: xác định tường minh hàm f về dạng
1 1
2 2
3 3
((x, y)) , (x,y) C
((x, y)) ((x, y)) , (x,y) C
((x, y)) , (x,y) C
f
f f
f



 






Trong đó C
1
∪ C
2
∪ C
3
= ℝ
2

Bước 2:
• Đặt Ω =
1 2 3
C C C
  
 
(
1
C

: biên của tập C
1
)
⇒
μ(Ω) = 0 ( độ đo của Ω )
Biên Soạn: Dương Quốc Duy
8

• Ω
f
⊂ Ω ⇒ Ω
f
∩ Ω = Ω
Bước 3: tìm dưới gradien
• Nếu (x, y) ∈ C
1
thì ∇f(x, y) = ∇f
1
(x, y) = ?
• Nếu (x, y) ∈ C
2
thì ∇f(x, y) = ∇f
2
(x, y) = ?
• Nếu (x, y) ∈ C
3
thì ∇f(x, y) = ∇f
3
(x, y) = ?
Nên
D = { lim∇f(x
j
, y
j
) | lim(x
j
, y

j
) = (x
o
, y
o
) và (x
j
, y
j
) ∉ Ω, ∀j ∈ ℕ }
= { ∇f
1
(x
o
, y
o
), ∇f
2
(x
o
, y
o
), ∇f
3
(x
o
, y
o
)}
⇒

C
o o
(x ,y ) = coD
f
Bước 4: Tìm đạo hàm suy rộng
o
C
o o o o
((x ,y ),(u,v)) max{x.u + y.v:(x,y) (x ,y )}
f f 
Bài tập 1.15 :
Tính
C
(0,0)
f với f (x, y) = max{min{x, - y}, y - x}
Bài làm :
* ∀(x, y) ∈ ℝ
2
, đặt
f
1
(x,y) = x
f
2
(x, y) = -y
f
3
(x, y) = y – x
• f (x, y) = f
1

(x,y) ⇔ y - x ≤ x ≤ - y
⇔ (x , y) ∈ C
1
= { (x,y) : y ≤ - x và y ≤ 2x }
• f (x, y) = f
2
(x,y) ⇔ y - x ≤ - y ≤ x
⇔ (x , y) ∈ C
2
= { (x,y) : y ≥ - x và y ≤ x / 2}
• f (x, y) = f
3
(x,y) ⇔ y - x ≥ x hoặc y - x ≥ - y
⇔ (x , y) ∈ C
3
= { (x,y) : y ≥ 2x hoặc y ≥ x/2 }
Do đó,
f








1
2
3
x neáu (x, y) C

(x,y) = - y neáu (x, y) C
y - x neáu (x, y) C

Và C
1
∪ C
2
∪ C
3
= ℝ
2
, (0,0) ∈ C
1
∩C
2
∩C
3

* Đặt Ω =
1 2 3
C C C
  
 
(
1
C

: biên của tập C
1
)

⇒ μ(Ω) = 0 ( độ đo của Ω )
• Ω
f
⊂ Ω ⇒ Ω
f
∩ Ω = Ω
Biên Soạn: Dương Quốc Duy
9

*
• Nếu (x, y) ∈ C
1
thì ∇f(x, y) = ∇f
1
(x, y) = (1, 0)
• Nếu (x, y) ∈ C
2
thì ∇f(x, y) = ∇f
2
(x, y) = (0, -1)
• Nếu (x, y) ∈ C
3
thì ∇f(x, y) = ∇f
3
(x, y) = (-1, 1)
Nên
D = { lim∇f(x
j
, y
j

) | lim(x
j
, y
j
) = (0, 0) và (x
j
, y
j
) ∉ Ω, ∀j ∈ ℕ }
= { ∇f
1
(0, 0), ∇f
2
(0 , 0), ∇f
3
(0 , 0)}
⇒
C
o o
(x ,y ) = coD
f = co{ (1, 0), (0, -1), (-1, 1) }
Bài 1.18 :
Cho hàm f (x,y) =
2
x - y - x - 2y + 1
. Xác định
c c
(0,0), (1,1)
 f f và
o

((1 , 1),(-1, 2))
f
Bài làm :
2
2
2
2
0
0
0
0
2
2
2
2
x - x + y - 1 neáu x vaø x - 2y + 1 0
x + x - 3y + 1 neáu x vaø x - 2y + 1 0
(x, y)
-x - x + 3y - 1 neáu x vaø x - 2y + 1 0
-x + x - y + 1 neáu x vaø x - 2y + 1 0

  


  


  



  

y
y
f
y
y

♦ Đặt
C
1
= { (x,y) :
2
0
x vaø x - 2y + 1 0
  
y }
C
2
= { (x,y) :
2
0
x vaø x - 2y + 1 0
  
y }
C
3
= { (x,y) :
2
0

x vaø x - 2y + 1 0
  
y }
C
4
= { (x,y) :
2
0
x vaø x - 2y + 1 0
  
y }
⇒ C
1
∪ C
2
∪ C
3
∪ C
4
= ℝ
2

♦ Đặt Ω =
1 2 3 4
C C C C
   
  
(
1
C


: biên của tập C
1
)
⇒ μ(Ω) = 0 ( độ đo của Ω )
• Ω
f
⊂ Ω ⇒ Ω
f
∩ Ω = Ω
♦
• Nếu (x, y) ∈ C
1
thì ∇f(x, y) = ∇f
1
(x, y) = (2x - 1, 1)
• Nếu (x, y) ∈ C
2
thì ∇f(x, y) = ∇f
2
(x, y) = (2x + 1, -3)
• Nếu (x, y) ∈ C
3
thì ∇f(x, y) = ∇f
3
(x, y) = (-2x - 1, 3)
• Nếu (x, y) ∈ C
4
thì ∇f(x, y) = ∇f
4

(x, y) = (-2x + 1, -1)
♦ Ta có :
Biên Soạn: Dương Quốc Duy
10

-
x
+ 2y = 0
y
x
1
3
-3
-1
-1
-3
3
0 1
C
6
C
5
C
4
C
3
C
2
C
1

y
1
x
• f (0, 0) = f
1
(0, 0) = f
3
(0, 0) = -1 ≠ f
2
(0, 0) = f
4
(0, 0) = 1
Nên với D
1
= { lim∇f(x
j
, y
j
) | lim(x
j
, y
j
) = (0, 0) và (x
j
, y
j
) ∉ Ω, ∀j ∈ ℕ }
= { ∇f
1
(0, 0), ∇f

3
(0 , 0)}= { (-1, 1), (-1, 3)}
⇒
c
(0,0)
 f = co{ (-1, 1), (-1, 3)}
• f (1, 1) = f
1
(1, 1) = f
2
(1, 1) = f
3
(1, 1) = f
4
(1, 1) = 0
Nên với D
2
= { lim∇f(x
j
, y
j
) | lim(x
j
, y
j
) = (1, 1) và (x
j
, y
j
) ∉ Ω, ∀j ∈ ℕ }

= { ∇f
1
(1,1), ∇f
2
(1,1), ∇f
3
(1,1), ∇f
4
(1,1)}= {(1,1), (3,-3),(-3,3),(-1,-1)}
⇒
c
(1,1)
 f = co{(1,1), (3,-3),(-3,3),(-1,-1)}
⇒
o
c
((1,1),(-1,2)) max{ (x, y), (-1, 2) :(x,y) (
1,1)}
 f f
Mà
•
(1, 1), (-1, 2)
= 1 •
(-3, 3), (-1, 2)
= 9
•
(3, -3), (-1, 2)
= -9 •
(-1, -1), (-1, 2)
= -1

Nên :
o
((1, 1),(-1,2 )) 9

f
Bài tập 6:
Cho S = {(x,y)∈ ℝ

: (

+ 

≤ 1) à ( ≤ 0 ℎặ  ≤ 0)}
Dùng định nghĩa xác định 

(
0,0
)
, 

(0,1)
Bài làm:
♦ Ta có
d
S
(x, y) =
1
2
3
2 2

4
2 2
5
2 2
0 (x, y) C
x (x, y) C
y (x, y) C
(x - 1) + y (x, y) C
x + (y - 1) (x, y) C
x + y - 1
neáu
neáu
neáu
neáu
neáu
neáu





6
(x, y) C
















Trong đó:
• C
1
= {(x, y) ∈ ℝ

: x
2
+ y
2
≤ 1 và (x ≤ 0 hoặc y ≤ 0) }
• C
2
= {(x, y) ∈ ℝ

: 0 ≤ x ≤ y ≤ 1}
• C
3
= {(x, y) ∈ ℝ

: 0 ≤ y ≤ x ≤ 1}
• C
4

= {(x, y) ∈ ℝ

: 0 ≤ y ≤ x và x ≥ 1}
Biên Soạn: Dương Quốc Duy
11

• C
5
= {(x, y) ∈ ℝ

: 0 ≤ x ≤ y và y ≥ 1}
• C
6
= {(x, y) ∈ ℝ

: x
2
+ y
2
≥ 1 và (x ≤ 0 hoặc y ≤ 0) }
⇒ C
1
∪C
2
∪C
3
∪C
4
∪C
5

∪C
6
=
2


♦
• Đặt Ω = ∂C
1
∪∂C
2
∪∂C
3
∪∂C
4
∪∂C
5
∪∂C
6

⇒ μ(Ω) = 0
•
S
Ω
d
⊂ Ω ⇒
S
Ω
d
∪ Ω = Ω

♦ ∀(x, y) ∈
2

, đặt :
• g
1
(x, y) = 0 ⇒ ∇g
1
(x, y) = (0, 0)
• g
2
(x, y) = x ⇒ ∇g
2
(x, y) = (1, 0)
• g
3
(x, y) = y ⇒ ∇g
3
(x, y) = (0, 1)
• g
4
(x, y) =
2 2
(x - 1) + y
⇒ ∇g
4
(x, y) =
2 2 2 2
x - 1 y
(x - 1) + y (x - 1) + y

,
 
 
 
 
, (x, y) ≠ (1, 0)
• g
5
(x, y) =
2 2
x + (y - 1)
⇒ ∇g
5
(x, y) =
2 2 2 2
x y - 1
x + (y - 1) x + (y - 1)
,
 
 
 
 
, (x, y) ≠ (0, 1)
• g
6
(x, y) =
2 2
x + y - 1
⇒ ∇g
6

(x, y) =
2 2 2 2
x y
x + y x + y
,
 
 
 
 
, (x, y) ≠ (0, 0)
♦ Ta có:
+ (0, 0) ∈ C
1
∩C
2
∩C
3
và (0, 0) ∉ C
4
∪C
5
∪C
6

Nên
c
S
d ((0,0))
 = co{∇ g
1

(0, 0), ∇ g
2
(0, 0), ∇ g
3
(0, 0)} = co{(0, 0), (1, 0), (0, 1)}
⇒
o
S
d ((0,0), (u, v))
=
c
S
d ((0,0))
, (u, v)
max



= max{0, u, v}
⇒ T
S
(0, 0) = {(u, v) ∈
2

:


o
S
d (0, 0), (u, v) = 0

} = {(u, v) ∈
2

: u ≤ 0 và v ≤ 0}
+ (0, 1) ∈ C
1
∩C
3
∩C
5
∩C
6
và (0, 0) ∉ C
2
∪C
4

Nên
c
S
d ((0, 1))
 = co{∇ g
1
(0, 1), ∇g
3
(0, 1), ∇g
6
(0, 1)} (do ∄ ∇g
5
(0, 1) ) = co{(0, 0), (0, 1), (0, 1)}

⇒
o
S
d ((0,1), (u, v))
=
c
S
d ((0,1))
, (u, v)
max



= max{0, u, v}
⇒ T
S
(0, 1) = {(u, v) ∈
2

:


o
S
d (0, 1), (u, v) = 0
} = {(u, v) ∈
2

: u ≤ 0 và v ≤ 0}
Biên Soạn: Dương Quốc Duy

12

Chương 2: Phép Tính Xấp Xỉ Trong Không Gian Hilbert
I. Pháp tuyến xấp xỉ:
1.Điểm chiếu:
Cho X là không gian Hilbert thực, < . , . > là tích vô hướng. ∅ ≠ S ⊂ X. Điểm s ∈ S được gọi là
hình chiếu của x ∈ X lên nếu
||x - s|| = d
S
(x) = inf{ ||x – s’|| : s’ ∈ S }
♦ Tập tất cả các điểm chiếu của x lên S được kí hiệu là proj
S
(x).
♦ Nếu proj
S
(x) chỉ có 1 phần tử thì ta nói proj
S
(x) là đơn tử.
2.Mệnh đề 2.1:
Cho S ⊂ X, x ∈ X và s ∈ S. Các điều kiện sau tương đương:
i) s ∈ proj
S
(x).
ii) < x - s , s’ - s > ≤
1
2
||s’ - s||
2
, ∀s’ ∈ S.
iii) s ∈ proj

S
(s + t(x - s)). ,∀t ∈ [0, 1]
iv) d
S
(s + t(x - s)) = t.||x - s|| ,∀t ∈ [0, 1]
3.Pháp tuyến xấp xỉ:
♦ Cho x ∈ X và s ∈
proj
S
(x), vectơ pháp tuyến xấp xỉ của S tại s là vectơ có dạng:
ξ = t(x - s) ,t ≥ 0
♦ Nón pháp tuyến xấp xỉ của S tại s ∈ X là tập hợp:

p
N (s)
S
= { ξ = t(x - s) | (x ∈ X sao cho s ∈
proj
S
(x)) và t ≥ 0}
= { ξ ∈ X | ∃λ > 0: d
S
( s + λξ ) = λ||ξ|| }
• Nếu s ∈ S không phải là điểm chiếu của bất kì một điểm x nào nằm ngoài S thì
p
N (s)
S
= {0}
• Quy ước
p

N (s)
S
= ∅ ,∀s ∉ S
4.Mệnh đề 2.2:
Cho S ⊂ X, s ∈ S. Khi đó:
i) ξ ∈
p
N (s)
S
⇔ ∃σ > 0, ∀s’ ∈ S:
ξ, s' - s s' - s

σ

ii) ξ ∈
p
N (s)
S
⇔ ∃δ > 0, ∃σ > 0, ∀s’ ∈ S∩(s, δ):
ξ, s' - s s' - s

σ


Biên Soạn: Dương Quốc Duy
13

1
S
y

0 1
x
5.Mệnh đề 2.3:
Cho S là tập lồi trong X. Khi đó:
i) ∀s ∈ S: ξ ∈
p
N (s)
S
⇔
ξ, s' - s 0

,∀s’ ∈ S
ii) Nếu X hữu hạn chiều thì
p
N (s)
S
≠ 0 ,∀s ∈ ∂S
♦ Chú ý:
Nếu S
1
và S
2
là hai tập chứa trong X thỏa s ∈ S
1
∩S
2
và ∃δ > 0 sao cho
S
1
∩B(s, δ) = S

2
∩B(s, δ) thì
p
1
N (s)
S
=
p
2
N (s)
S

• Diễn tả bằng lời nghĩa là S
1
= S
2
trong một lân cận nào đó của điểm s
6.Đa tạp khả vi:
Tập S ⊂
n

X được gọi là đa tạp khả vi nếu
S = { x ∈
n

| h
i
(x) = 0 ,i =
1, k
}

Với h
i
:
n

→ ℝ là các hàm khả vi thuộc lớp C
1
( C
1
tập các hàm khả vi liên tục)
5.Mệnh đề 2.4:
Cho S là đa tạp khả vi, s ∈ S và hệ {∇h
i
(s) = 0 ,i =
1, k
} độc lập tuyên tính. Khi đó:
i)
p
N (s)
S
⊂ span{∇h
i
(s) = 0 ,i =
1, k
} (không gian con sinh bởi {
∇
h
i
(s) = 0 ,i =
1, k

} )
ii) Dấu “ = ” xảy ra
⇔
h
i

∈
C
2
,
∀
i =
1, k
(C
2
: tập các hàm khả vi liên tục cấp 2)
♦ Chú ý:
Để tìm được
p
N (s)
S
ta sử dụng chủ yếu là mệnh đề 2.3 và chú ý ở mệnh đề đó cùng với hai quy
ước ở định nghĩa.
Bài tập 2.4:
a) S = {(x, y) ∈
2
+

| x
2

+ y
2
≤ 2 }
S là tập lồi nên theo mệnh đề 2.3:
• Với s
1
= (0, 0) ∈ S:
ξ = (u, v)∈
p
N ((0, 0))
S

⇔
1
ξ, s' - s 0

,∀s’ = (x, y) ∈ S
Biên Soạn: Dương Quốc Duy
14

S
y
2
0
1
x
⇔
(u, v), (x, y) 0

,∀s’ = (x, y) ∈ S

⇔ ux + vy ≤ 0 , ∀(x, y) ∈ S
⇔ u ≤ 0 và v ≤ 0
( vì S là tập có x, y ≥ 0)
Vậy,
p
N ((0, 0))
S
= {(u, v) ∈
2

: u ≤ 0 và v ≤ 0}
• Với s
2
= (2, 0) ∉ S
⇒
p
N ((2, 0))
S
= ∅

b) S = {(x, y) ∈
2

| x
2
+ y
2
≥ 2 và |x| ≤ 2 và |y| ≤ 2}
♦ Với s
1

= (0, 0) ∉ S:
⇒
p
N ((0, 0))
S
= ∅
♦ Với s
2
= (2, 0) ∈ S
Đặt S’ = {(x, y) ∈
2

: |x| ≤ 2 và |y| ≤ 2}
Chọn
δ = 1/2 > 0 thì S∩B((2, 0), δ) = S’∩B((2, 0), δ)
⇒
p
N ((2, 0))
S
=
p
N ((2, 0))
S'

+ S’ là tập lồi
Với ξ = (u, v) ∈
2

:

(u, v), (x - 2, y) 0

,∀ (x, y) ∈ S’
⇔ u(x – 2) + vy ≤ 0

,∀ (x, y) ∈ S’ (*)
• Chọn (x, y) = (2, 1) ∈ S’ : v ≤ 0
• Chọn (x, y) = (2, -1) ∈ S’: v ≥ 0
Nên v = 0
⇒ (*) trở thành:
u(x – 2) ≤ 0

,∀ (x, y) ∈ S’ (*)
⇔ u ≥ 0
Vậy,
p
N ((2, 0))
S
=
p
N ((2, 0))
S'
= {(u, 0) ∈
2

: u ≥ 0}
Biên Soạn: Dương Quốc Duy
15

epi

f
y
-1
0
1
x
♦ Với s
3
= (1, 1) ∈ S\∂S : s
3
không phải là điểm chiếu của bất kì điểm x nào nằm ngoài S nên
p
N ((1, 1))
S
= {(0, 0)}
♦ Với s
4
= (2, 2) ∈ S\∂S : s
3
không phải là điểm chiếu của bất kì điểm x nào nằm ngoài S nên
II. Dưới gradient xấp xỉ:
1.Khái niệm cũ:
Từ nay ta luôn giả thiết f : X → (-∞, +∞]
• dom f = {x ∈ X: f (x) < +∞}
• gr f = {( x, f (x) ): x ∈ dom f }
• epi f = {(x, r) ∈ dom f × ℝ : r ≥ f (x)}
• f được gọi là nữa liên tục dưới ( l.s.c) tại x ∈ X nếu
x' x
(x) (x)
lim inf



f f

• f được gọi là l.s.c trên tập U ⊂ X nếu f l.s.c tại mọi điểm x ∈ U.
• Kí hiệu: ℱ(U) = { f : f l.s.c trên U và dom f ∩U ≠ ∅ }
ℱ = ℱ(X) = { f : f l.s.c trên X và dom f ≠ ∅ }
• f được gọi là lồi nếu epi f là tập lồi
2.Dưới gradient xấp xỉ:
Cho f ∈ ℱ và x ∈ dom f . Dưới gradient xấp xỉ của f tại x là vectơ ξ ∈ X thỏa mãn:
( ξ , -1) ∈
P
epi
N
f
( x, f (x) )
♦ Tập hợp tất cả các dưới gradient xấp xỉ của f tại x được gọi là dưới vi phân xấp xỉ của f tại x và
được kí hiệu là
∂
P
f (x) = { ξ ∈ X : ( ξ , -1) ∈
P
epi
N
f
( x, f (x) ) }
VD: f(x) = -|x|
epif = {(x, y) ∈
2


: y ≥ - |x| }
♦ (0, 0) ∈ grf và không có điểm (x, y) nào nằm ngoài
eipf có điểm chiếu là (0, 0)
nên
P
epi
N
f
(0, 0) = {(0, 0)}
Do đó ∀ξ ∈ X : (ξ, -1) ∉
P
epi
N
f
(0, 0)
⇒ ∂
P
f (0) = ∅
♦ (1, - 1) ∈ epif
Biên Soạn: Dương Quốc Duy
16

Xét S = { (x, y) ∈
2

: y ≥ -x và x ≥ 0}
Vơi δ = 1/2: epif ∩B( (1, -1), δ ) = S∩B( (1, -1), δ )
⇒
P
epi

N
f
(1, -1) =
P
S
N
(1, -1)
∀(u, v) ∈
2

:




u, v , x – 1, y + 1
≤ 0 ,∀(x, y) ∈ S
⇔ u(x – 1) + v(y + 1) ≤ 0 ,∀(x, y) ∈ S
(⇒)
• Chọn (x, y) = ( 1, 0) ∈ S: v ≤ 0
• Chọn (x, y) = (0, 0) ∈ S: v ≤ u
• Chọn (x, y) = (2, -2) ∈ S: u ≤ v
Nên u = v ≤ 0
(⇐)
Khi u = v ≤ 0: u(x – 1) + v(y + 1) = u(x + y) ≤ 0 ,∀(x, y) ∈ S (do x + y ≥ 0)
Vậy,
P
epi
N
f

(1, -1) =
P
S
N
(1, -1) = {(x, x) ∈
2

: x ≤ 0}
Do đó
∀ξ ∈ ℝ: (ξ , -1) ∈
P
epi
N
f
(1, -1) ⇔ ξ = -1
Vậy ∂
P
f (1) = {-1}
3.Định lý 2.5:
Cho f ∈ ℱ và x ∈ dom f . Lúc đó:
ξ ∈ ∂
P
f (x) ⇔ ∃δ, σ > 0: f (y) ≥ f (x) +
, y - x

- σ||y - x||
2
, ∀y ∈ B(x, δ)
4.Hệ quả 2.1:
Cho f ∈ ℱ và tập mở U ⊂ X. Lúc đó:

i) Nếu f khả vi Gateaux tại x ∈ U thì ∂
P
f (x) ⊂ { f
G
’ (x)}
ii) Nếu f ∈ C
2
(U) thì ∂
P
f (x) ⊂ { f

’(x)}
iii) Nếu f lồi thì ξ ∈ ∂
P
f (x) ⇔ f (y) ≥ f (x) +
, y - x

, ∀y ∈ X
♦ Chú ý:
• Để tìm ∂
P
f (x) ta sử dụng chủ yếu là định lý 2.5 và hệ quả 2.1.
• Những hàm không khả vi tại x thường có ∂
P
f (x) = ∅ ( đây chỉ là dự đoán cá nhân cho bài tập, chưa
phải là dự đoán chính xác )
Biên Soạn: Dương Quốc Duy
17

Bài tập 2.8: tính ∂

P
f (x)
a) f (x) =
3
x
tại 0
ξ ∈ ∂
P
f (0) ⇔ ∃δ, σ > 0: f (y) ≥ f (0) + ξ.(y – 0) - σ. (y – 0)
2
, ∀y ∈ (- δ, δ)
⇔ ∃δ, σ > 0:
3
y
≥ ξ. y – σ. y
2
, ∀y ∈ (- δ, δ)
Chọn y ∈ (- δ, 0): 1 ≤ ξ.
2
3
y
- σ. y.
2
3
y
=
2
3
y
( ξ - σ.y)

Cho y → 0: 1 ≤ 0 ( vô lý)
Vậy, ∂
P
f (0) = ∅
b) f (x) = -|x| tại 0 và 1
( bài này đã được giải trước đó, nhưng bây giờ ta sử dụng cách 2 để giải dựa trên định lý 2.5 và hệ
quả 2.1)
♦ tại 0
ξ ∈ ∂
P
f (0) ⇔ ∃δ, σ > 0: f (y) ≥ f (0) + ξ.(y – 0) - σ. (y – 0)
2
, ∀y ∈ (- δ, δ)
⇔ ∃δ, σ > 0: - |y| ≥ ξ. y – σ. y
2
, ∀y ∈ (- δ, δ)
• chọn y ∈ (0, δ) :
⇒ - y ≥ ξ. y – σ. y
2
, ∀y ∈ (0, δ)
⇒ 1 ≤ - ξ + σ.y , ∀y ∈ (0, δ)
Cho y → 0 thì 1 ≤ - ξ
⇒ ξ ≤ -1
• Chọn y ∈ (- δ, 0) :
⇒ y ≥ ξ. y – σ. y
2
, ∀y ∈ (0, δ)
⇒ 1 ≤ ξ - σ.y , ∀y ∈ (0, δ)
Cho y → 0 thì ξ ≥ 1
Do đó,

1
1



 



( vô lý)
Vậy, ∂
P
f (0) = ∅
♦ tại 1
Ta có: f (x) = -|x| ∈ C
2
(0, +∞) và 1 ∈ (0, +∞)
Nên ∂
P
f (1) = { f ’(1)} = { -1}